О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения
Здійснюється моделювання суб’єкта системи прийняття рішень — того, хто приймає рішення (ТПР) з точністю до інформації, на основі якої він приймає конкретне рішення, орієнтуючись на вибір суб’єктивно найкращого рішення. Вказана модель ТПР суттєво залежить від об’єкта прийняття рішення — ситуації прий...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45655 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения / В.М. Михалевич // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 140–154. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-45655 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-456552013-06-18T03:12:19Z О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения Михалевич, В.М. Системный анализ Здійснюється моделювання суб’єкта системи прийняття рішень — того, хто приймає рішення (ТПР) з точністю до інформації, на основі якої він приймає конкретне рішення, орієнтуючись на вибір суб’єктивно найкращого рішення. Вказана модель ТПР суттєво залежить від об’єкта прийняття рішення — ситуації прийняття рішень, яку цей ТПР огрублює до ситуації задачі рішення шляхом відкидання неможливих для нього рішень і неможливих наслідків у вихідній ситуації, отримуючи схему ситуації задачі рішення. Досліджується питання про взаємозв’язок отриманих моделей. The topic under discussion is modeling the subject of the system of decision problem of the decision making subject (DMS) up to the information, which it relies upon while making a concrete decision, directing towards the purpose before it, i.e., choosing the best possible action. Clearly, the indicated model of the DMS essentially depends on the object of the situation of decision making (SDM), which this DMS roughly presents in the form of the so-called situation of decision problem (SDP) through discarding the decisions impossible (or not interesting) for itself as well as impossible (according to its views) consequences from the initial situation, thus obtaining the so-called system of decision problem scheme (SDPS). For obtained models the issue of their interchangeability is studied, which would allow, if possible, to pick the most suitable criterion. 2010 Article О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения / В.М. Михалевич // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 140–154. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45655 519.81 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Михалевич, В.М. О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения Кибернетика и системный анализ |
| description |
Здійснюється моделювання суб’єкта системи прийняття рішень — того, хто приймає рішення (ТПР) з точністю до інформації, на основі якої він приймає конкретне рішення, орієнтуючись на вибір суб’єктивно найкращого рішення. Вказана модель ТПР суттєво залежить від об’єкта прийняття рішення — ситуації прийняття рішень, яку цей ТПР огрублює до ситуації задачі рішення шляхом відкидання неможливих для нього рішень і неможливих наслідків у вихідній ситуації, отримуючи схему ситуації задачі рішення. Досліджується питання про взаємозв’язок отриманих моделей. |
| format |
Article |
| author |
Михалевич, В.М. |
| author_facet |
Михалевич, В.М. |
| author_sort |
Михалевич, В.М. |
| title |
О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения |
| title_short |
О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения |
| title_full |
О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения |
| title_fullStr |
О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения |
| title_full_unstemmed |
О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения |
| title_sort |
о некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45655 |
| citation_txt |
О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения / В.М. Михалевич // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 140–154. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT mihalevičvm onekotoryhklassahpravilvyborapredpočtenijvzadačahprinâtiârešeniâ |
| first_indexed |
2025-07-04T04:33:03Z |
| last_indexed |
2025-07-04T04:33:03Z |
| _version_ |
1836689479854718976 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.81
Â.Ì. ÌÈÕÀËÅÂÈ×
Î ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÊËÀÑÑÀÕ ÏÐÀÂÈË ÂÛÁÎÐÀ ÏÐÅÄÏÎ×ÒÅÍÈÉ
 ÇÀÄÀ×ÀÕ ÏÐÈÍßÒÈß ÐÅØÅÍÈß
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü, ñèòóàöèÿ çàäà÷è ðåøåíèÿ,
íåíàáëþäàåìûé ïàðàìåòð, ïðàâèëî âûáîðà ïðåäïî÷òåíèé, ìîäåëü, ïðèíöèï ãà-
ðàíòèðóåìîãî ðåçóëüòàòà.
Èññëåäóåìàÿ ñèñòåìà ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé [2] ðàññìàòðèâàåòñÿ â âèäå ïàðû — òîãî,
êòî ïðèíèìàåò ðåøåíèå (ÒÏÐ), è îáúåêòà ñèñòåìû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ — ñèòóàöèè
ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ (ÑÏÐ). Â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ (ïðèðîäà êîòîðîãî íàñ íå èíòå-
ðåñóåò) ÒÏÐ â ÑÏÐ âîçíèêàåò ïîñëåäñòâèå, ïðèðîäà êîòîðîãî îïÿòü-òàêè âíå íà-
øåãî âíèìàíèÿ. Ïîä ðåøåíèåì áóäåì ïîíèìàòü âûáîð, êîòîðûé ïðèíèìàåò ÒÏÐ
ñ öåëüþ âûÿâëåíèÿ ýëåìåíòà èç ìíîæåñòâà äëÿ íåãî âîçìîæíûõ äåéñòâèé.
H. Raiffa ñêàçàë: «Îñîáåííî çàáîòÿò íàñ ñèòóàöèè, â êîòîðûõ ïîñëåäñòâèÿ ëþ-
áûõ äåéñòâèé, êîòîðûå ìû ìîæåì ïðåäïðèíÿòü, íåèçâåñòíû â òî÷íîñòè èç-çà òîãî,
÷òî îíè çàâèñÿò åùå è îò íåêîòîðûõ ñîáûòèé, êîòîðûå ìû íå ìîæåì êîíòðîëèðîâàòü
èëè ïðåäâèäåòü, à èõ èñõîäû íåèçáåæíî îòðàçÿòñÿ íà ðåçóëüòàòå íàøèõ äåéñòâèé».
È òåì íå ìåíåå, «...èíäèâèäóóì, ñòîëêíóâøèéñÿ ñ ïðîáëåìîé âûáîðà â óñëîâèÿõ íå-
îïðåäåëåííîñòè, äîëæåí âûéòè èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ, âûáðàâ äåéñòâèå, íàèëó÷øèì
îáðàçîì îòâå÷àþùåå åãî èíäèâèäóàëüíûì îöåíêàì è ïðåäïî÷òåíèÿì» [4].
Ñîâîêóïíîñòü «ñîáûòèé, êîòîðûå ìû íå ìîæåì êîíòðîëèðîâàòü èëè ïðåäâè-
äåòü», â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé íåíàáëþäàåìîãî ïàðà-
ìåòðà è îáîçíà÷àòü �, à ñèòóàöèþ â ñëó÷àå èçâåñòíîãî ìíîæåñòâà � íàçîâåì ïàðà-
ìåòðè÷åñêîé. Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî � ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïàðå ñ íåêîòîðîé ôèêñèðî-
âàííîé (ïðîèçâîëüíîé) àëãåáðîé � ñâîèõ ïîäìíîæåñòâ, ýëåìåíòû êîòîðîé áóäåì
íàçûâàòü ñëó÷àéíûìè ñîáûòèÿìè äëÿ ïðîñòðàíñòâà íåíàáëþäàåìîãî ïàðàìåòðà � .
 ñëó÷àå, êîãäà àëãåáðà � íå çàäàåòñÿ, ïî óìîë÷àíèþ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî � �� 2 .
Êðîìå òîãî, ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ äëÿ àíàëèçèðóåìîãî ÒÏÐ ïîñëåäñòâèé, îáî-
çíà÷àåìîå X , òàêæå ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïàðå ñ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé (ïðîèçâîëü-
íîé) àëãåáðîé � ñâîèõ ïîäìíîæåñòâ. Àëãåáðà � âñåãäà ëèáî áóäåò ïðèñóòñòâîâàòü
â êîíòåêñòå, ëèáî ïî óìîë÷àíèþ ïîëàãàåì � � 2X .
ÒÏÐ â äîñòèæåíèè óêàçàííîé öåëè èñïîëüçóåò ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåìû ïðèíÿ-
òèÿ ðåøåíèé, ðàññìîòðåííîå â íàñòîÿùåé ðàáîòå. Ââåäåì íåîáõîäèìûå îïðåäåëå-
íèÿ è ïîíÿòèÿ, íà÷èíàÿ ñ âàæíåéøåãî ïîíÿòèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòè,
äàííîãî â [1], êîòîðîå îáîáùàåò ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 1. Ñòàòèñòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòüþ íà � , ãäå �— ïðîèçâîëü-
íîå ìíîæåñòâî ñ çàäàííîé àëãåáðîé ïîäìíîæåñòâà � (åñëè � íå çàäàåòñÿ, òî ñ÷èòà-
åòñÿ ïî óìîë÷àíèþ, ÷òî � �� 2 ), íàçûâàåòñÿ ëþáîå íåïóñòîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî
P â òîïîëîãèè �( )� ïðîñòðàíñòâà
PF p p( ): ([ , ]) : ( )� ��� � �{ 0 1 1,
p C D p C p C D C D( ) ( ) ( \ ) ,� � � ��} (1)
âñåõ àääèòèâíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð íà � , ÿâëÿþùåéñÿ ñëåäîì
— ñëàáîé òîïîëî-
140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
© Â.Ì. Ìèõàëåâè÷, 2010
ãèè â ñîïðÿæåííîì ê áàíàõîâîìó ïðîñòðàíñòâó B� �( ) ñ íîðìîé | | | | : | ( )|f f�
�
sup
�
�
�
.
Ñåìåéñòâî âñåõ ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé íà � îáîçíà÷èì P( )� .
Îòìåòèì, ÷òî â òîïîëîãèè �( )� ïðîñòðàíñòâî PF ( )� êîìïàêòíî.
Óïîðÿäî÷åííóþ òðîéêó ( , , )� � P áóäåì íàçûâàòü ïðîñòðàíñòâîì ñ ðàñïðåäåëåíèåì.
Îïðåäåëåíèå 2. Ïàðàìåòðè÷åñêîé ñõåìîé ñèòóàöèè çàäà÷è ðåøåíèÿ (ÑÑÇÐ)
íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ÷åòâåðêà âèäà ( , , , )X U g� , ãäå g äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íå-
ïóñòûõ ìíîæåñòâ X U, ,� ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì èç ��U íà X , äëÿ êîòîðîãî
img X� è äëÿ ëþáûõ u U� , X ���
g u( , )� �� , (2)
{ }� �� � � �� �: ( , )g u X . (3)
Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ïîñëåäñòâèé, � — ìíîæåñòâîì
çíà÷åíèé íåíàáëþäàåìîãî ïàðàìåòðà, U — ìíîæåñòâîì ðåøåíèé, à g — îòîáðà-
æåíèåì ïîñëåäñòâèé ÑÑÇÐ ( , , , )X U g� .
Êëàññ âñåõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ÑÑÇÐ âèäà ( , , , )X U g� áóäåì îáîçíà÷àòü�, à ïðè
ôèêñàöèè X èìååì � �(X X): {( , , , ) }�
� , � �( , }X X� �): {( , , , )�
� .
Ðàññìîòðèì êëàññ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ÑÑÇÐ ñ çàäàííûìè îòíîøåíèÿìè ïðåäïî÷òå-
íèé íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâàõ ïîñëåäñòâèé. Òîãäà êàæäîé òàêîé ïàðàìåòðè-
÷åñêîé ÑÑÇÐ ñîîòâåòñòâóåò óïîðÿäî÷åííàÿ ÷åòâåðêà âèäà Z: (( , ), , , )� X U g� � , ãäå
( )� — ñîîòâåòñòâóþùåå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ íà ïîñëåäñòâèÿõ ýòîé ÑÇÐ. Òîãäà
÷åðåç Z îáîçíà÷èì êëàññ âñåõ ÑÑÇÐ âèäà Z . Êàê è ðàíåå, Z( ):X �
: (( , ), , , )�
�{ }X t Z , Z Z(( , )): (( , ), , , )X X� ��
�{ }, Z(( , )): (( , ), , , )X X� ��
�{
�Z}, Z Z(( , ), ): (( , ), , , )X X� �� ��
�{ }. Ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî Z �� , Z( )X �
�� (X ) è ò.ä.
Îïðåäåëåíèå 3. Ïðîåêöèåé ÑÑÇÐ êëàññà Z íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå
Ïð : Z�� , ÷òî äëÿ ëþáîé ÑÑÇÐ (( , ), , , )X U g� � �Z èìååò ìåñòî
Ïð ((( (X U, g X U, g, ), , )) , , )� � �� .
Îïðåäåëåíèå 4. Ïîä îñíîâíîé çàäà÷åé ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ (ÎÇÐ) ÒÏÐ áóäåì
ïîíèìàòü óñòàíîâëåíèå ýòèì ÒÏÐ îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ íà ïîñëåäñòâèÿõ (ïåð-
âàÿ ÇÐ) è ðåøåíèÿõ (âòîðàÿ ÇÐ) â çàäàííîé ñèòóàöèè.
Îïðåäåëåíèå 5. Ïðàâèëîì âûáîðà ïðåäïî÷òåíèé (ÏÂÏ) äëÿ ÇÐ â êëàññå ÑÑÇÐ
��� � (ò.å. ÏÂÏ â ��� �) áóäåì íàçûâàòü ëþáîå îòîáðàæåíèå � � �� ( , )1 2 , îïðåäå-
ëåííîå íà �� è ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé Z X U g� � �( , , , ) �� � íåêîòîðóþ ïàðó
ñîîòâåòñòâèé ( , )X Z� è ( , )*U Z� , ò.å. � � �� � � �
( , ) ( )( ) ( )
1 2 2 2
2 2X U � , ÷òî îçíà÷àåò
� � �Z Z Z Z ZX U� �( , ) (( , ), ( , ))*
1 2 � � . Êëàññ âñåõ ÏÂÏ â ��� � áóäåì îáîçíà÷àòü
�( )�� .
Çàìå÷àíèå 1. Êàæäûé ÒÏÐ èìååò îïðåäåëåííîå (ñâîå) ÏÂÏ äëÿ êëàññà �� , êîòîðûé
ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ ÒÏÐ îòíîñèòåëüíî ðåøåíèÿ èì ÇÐ â êëàññå �� . Çíàÿ ÏÂÏ äëÿ ��� �
ïðîèçâîëüíîãî ÒÏÐ, ìîæíî îïðåäåëèòü åãî (ò.å. ÒÏÐ) ðåøåíèå îñíîâíîé ÇÐ äëÿ
Z� ��� � .
Îïðåäåëåíèå 6. ÏÂÏ â Z Z� � áóäåì íàçûâàòü ëþáîå îòîáðàæåíèå ï , îïðåäå-
ëåííîå íà Z� è ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé Z � � �(( , ), , , )X U g� � Z íåêîòîðîå ñîîòâåò-
ñòâèå ( , )*
U �
Z
, ò.å. ï Z� �[2
2( ) ]U . Áóäåì îáîçíà÷àòü òàêæå ýòî îòîáðàæåíèå êàê
ÏZ � ( , )*
U �
Z
. Êëàññ âñåõ ÏÂÏ â Z Z� � áóäåì îáîçíà÷àòü Ï (Z� ) .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 141
Îïðåäåëåíèå 7. Ìîäåëüþ ÏÂÏ (ÌÏÂÏ) (�-ïàðàìåòðè÷åñêîé ìîäåëüþ ÏÂÏ
(�-ÌÏÂÏ)) â êëàññå ÑÑÇÐ ��� �, Z Z� � áóäåì íàçûâàòü êîíå÷íóþ ñîâîêóïíîñòü
óñëîâèé (àêñèîì) Ó íà ÏÂÏ äëÿ êëàññà � �� ( )Z , êîòîðûå çàäàþò åäèíñòâåííîå ÏÂÏ
(ñ òî÷íîcòüþ äî ïàðàìåòðà ��� , ãäå � — ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà �),
è îáîçíà÷àòü [ ]Ó â êëàññå � �� ( )Z (ñ ïàðàìåòðîì ���).
Ðàññìîòðèì òàê íàçûâàåìûå íåîáàéåñîâñêèå ÇÐ (ñì. [7]), ðàñøèðèâ ìíîæåñòâî
ïîñëåäñòâèé Õ äî ìíîæåñòâà Y ñëó÷àéíûõ ïîñëåäñòâèé, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé
ìíîæåñòâî ðàñïðåäåëåíèé íà Õ ñëåäóþùåãî âèäà:
Y y X y X y x
x X
� � �� �
�
�{ card{ } }( : [ , ]): ( ) , ( )0 1 1 . (4)
Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî Y èìååò åñòåñòâåííóþ ëèíåéíóþ (âûïóêëóþ) (êàñàòåëüíî
ëèíåéíîñòè, ñì. [3]) ñòðóêòóðó. Áîëåå òî÷íîå îïðåäåëåíèå âûïóêëîé ñòðóêòóðû
íà ìíîæåñòâå Y ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà ñìåñåé [5, 6].
Îïðåäåëåíèå 8. Ìíîæåñòâî P íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ñìåñåé, åñëè çàäàíî
îòîáðàæåíèå, êîòîðîå ëþáîé ïàðå ( , )P Q �P2 è ëþáîìó ��[ , ]0 1 ñòàâèò â ñîîòâåò-
ñòâèå òàêîé ýëåìåíò � �P Q� � �( )1 P , ÷òî äëÿ âñåõ P Q, �P è � �, [ , ]� 01 âûïîëíÿ-
þòñÿ óñëîâèÿ:
1) 1 0P Q P� � ;
2) � � � �P Q Q P� � � � �( ) ( )1 1 ;
3) � � � � �� ��[ ( ) ] ( ) ( )P Q Q P Q� � � � � � �1 1 1 .
Îïðåäåëåíèå 9. Ïðîñòîé âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé íà X íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ôóíê-
öèÿ P, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X , ò.å. íà 2X , ÷òî:
1) P A( ) � 0 äëÿ ëþáîãî A X� ;
2) P X( ) �1;
3) P A B P A P B( ) ( ) ( )� � � , åñëè A B X, � è A B� � � ;
4) P A( ) �1 äëÿ íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî A.
Îïðåäåëåíèå 10. Åñëè P è Q ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè âåðîÿòíîñòíûìè ìåðàìè íà X
è ��[ , ]0 1 , òî � �P Q� �( )1 åñòü ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó
A X� ÷èñëî � �P A Q A( ) ( ) ( )� �1 .
Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ïðîñòûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð íà X ÷åðåç Y . Òîãäà ìíî-
æåñòâî Y ñ îïåðàöèåé, îïèñàííîé â îïðåäåëåíèè 10, ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ñìåñåé, à
íà ìíîæåñòâå Y � ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëèíåéíàÿ (âûïóêëàÿ) ñòðóêòóðà ââîäèòñÿ
ñëåäóþùèì î÷åâèäíûì ñïîñîáîì.
Äëÿ ëþáûõ f g Y, � � è ��[ , ]0 1 îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå � �f g Y� � �( )1 �
òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ���
[ ( ) ]( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � �f g f g� � � � �1 1 .
Îïðåäåëåíèå 11. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íåïóñòûõ ìíîæåñòâ A , � è íåñòðîãîãî
ïîðÿäêà ( , )A � îòîáðàæåíèå f A� � íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì îòíîñèòåëüíî
( , )A � , åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå a b A, � , ÷òî a f b� �( )� äëÿ âñåõ ��� .
Îïðåäåëåíèå 12. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íåïóñòûõ ìíîæåñòâ A,� , íåñòðîãîãî ïî-
ðÿäêà ( , )A � è àëãåáðû � �� 2 îòîáðàæåíèå f A� � íàçûâàåòñÿ �-èçìåðèìûì îò-
íîñèòåëüíî ( , )A � , åñëè äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ a A� ìíîæåñòâà { }� �: ( )f a� è
{ }� �: ( )f a� ïðèíàäëåæàò � .
Îáîçíà÷èì L A0 ( , )� ìíîæåñòâî âñåõ �-èçìåðèìûõ êîíå÷íîçíà÷íûõ îòîáðàæå-
íèé íà ìíîæåñòâå � ñî çíà÷åíèÿìè â ìíîæåñòâå A , ò.å. f L A� 0 ( , )� , åñëè
card{ }f ( )� �� è f a a A� � �1 ( ) � .
142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
Îïðåäåëåíèå 13. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íåïóñòûõ ìíîæåñòâ X , � è íåñòðîãîãî
ïîðÿäêà ( , )X � îòîáðàæåíèå f Y� � , ãäå Y îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (4), áóäåì íàçû-
âàòü îãðàíè÷åííûì îòíîñèòåëüíî ( , )X � , åñëè îòîáðàæåíèÿ f f X, � � , çàäàííûå
íà � êàê
f x X f x( ) min { :[ ( )]( ) }� �� � �
def
0 �� � ,
f x X f x( ) max{ :[ ( )]( ) }� �� � �
def
0 �� � ,
ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè îòíîñèòåëüíî ( , )X � .
Îïðåäåëåíèå 14. ÑÑÇÐ Z Y U g Y� �( , , , ) ( , )� �� , ãäå Y îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñ-
íî (4), íàçîâåì îïðåäåëÿþùåé, åñëè
L Y g U g U Y0 ( , ) ( , ) [ ( , )]� ��
�
�co . (5)
Îïðåäåëåíèå 15. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íåïóñòûõ ìíîæåñòâ A , � è áèíàðíîãî îò-
íîøåíèÿ ( , )A � îòîáðàæåíèÿ f f A1 2, � � íàçûâàþòñÿ êîìîíîòîííûìè îòíîñèòåëü-
íî îòíîøåíèÿ ( )� , åñëè íè äëÿ êàêèõ � �1 2, �� íå âûïîëíÿåòñÿ f f1 1 1 2( ) ( )� �� è
f f2 2 2 1( ) ( )� �� . Çäåñü ( )� , êàê îáû÷íî, îáîçíà÷àåò àñèììåòðè÷íóþ ÷àñòü ( )� .
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè A �� (äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà) ñ åñòåñòâåííûì ïîðÿäêîì
îòîáðàæåíèÿ f f1 2, ��� áóäóò êîìîíîòîííûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
( ( ) ( ))( ( ) ( ))f f f f1 1 1 2 2 1 2 2 0� � � �� � � äëÿ âñåõ � �1 2, �� .
×åðåç L Y�( , )� áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî âñåõ îãðàíè÷åíûõ è �-èçìåðè-
ìûõ îòíîñèòåëüíî íåñòðîãîãî ïîðÿäêà ( , )X � îòîáðàæåíèé íà ìíîæåñòâå � ñî çíà-
÷åíèÿìè â ìíîæåñòâå Y .
Äàëåå ïðèâåäåì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ èç [7].
Îïðåäåëåíèå 16. Íåàääèòèâíîé âåðîÿòíîñòüþ (åìêîñòüþ) íà ( , )� � íàçûâàþò
ôóíêöèþ ìíîæåñòâà v íà � (� — àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ìîæåñòâà �), åñëè âûïîë-
íÿþòñÿ óñëîâèÿ íîðìèðîâêè (v ( )� � 0 è v( )� �1) è ìîíîòîííîñòè (ò.å. äëÿ ëþáûõ
� � �1 2, � , åñëè � �1 2� , òî v v( ) ( )� �1 2� ).
Îïðåäåëåíèå 17. Eìêîñòü v íà ( , )� � íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè äëÿ âñåõ
� � �1 2, �
v v v v( ) ( ) ( ) ( )� � � � � �1 2 1 2 1 2� � � � � .
Îáîçíà÷èì Qco ( )� ìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ åìêîñòåé íà ( , )� �2 .
Îïðåäåëåíèå 18. ßäðîì åìêîñòè v íà ( , )� � íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
core ìåðà íà
def
v � � � � � �{ : — ( , ) , ( (� � � � � � � � � � � , �( ) ( )}� �� v .
Îïðåäåëåíèå 19. Èíòåãðàëîì Øîêå äëÿ ëþáîé �-èçìåðèìîé, îãðàíè÷åííîé
ôóíêöèè f íàçûâàåòñÿ ÷èñëî âèäà
fdv f t dt f t dt
�
� ��� � � � �
�
��
def
[ ( ) ] ( ) 1
0
0
,
ãäå èíòåãðàëû â ïðàâîé ÷àñòè ÿâëÿþòñÿ ðàñøèðåííûìè èíòåãðàëàìè Ðèìàíà.
Îïðåäåëåíèå 20. Ïîä íåîáàéåñîâñêîé ìîäåëüþ ÑÇÐ (ÌÑÇÐ) äëÿ ÑÑÇÐ
Z Y�� ( ) áóäåì ïîíèìàòü óïîðÿäî÷åííóþ ïÿòåðêó âèäà M Y U g I: ( , , , , )� � . Çäåñü
Z Y U g Y� �( , , , ) ( )� � , ãäå Y îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (4), I — çàêîíîìåðíîñòü, îïè-
ñûâàþùàÿ ìåõàíèçì íåîïðåäåëåííîñòè çíà÷åíèÿ íåíàáëþäàåìîãî ïàðàìåòðà ���
êëàññà çàêîíîìåðíîñòåé I ( )� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 143
Ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ìîäåëåé áóäåì îáîçíà÷àòü �, à ïðè ôèêñàöèè Y è �
èìååì �( , ): {( , , , , )}Y Y� ��
.
Äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ íàïðàâëåíû íà âûäåëåíèå è êëàññèôèêàöèþ ÏÂÏ è
ÑÑÇÐ, äëÿ êîòîðûõ ðåøåíèå âòîðîé ÎÇÐ èìååò âèä îæèäàåìîé (ïî îïðåäåëåííîé
çàêîíîìåðíîñòè, îïèñûâàþùåé ìåõàíèçì ñëó÷àéíîñòè ïðèíÿòèÿ çíà÷åíèÿ íåíàá-
ëþäàåìîãî ïàðàìåòðà) ïîëåçíîñòè.
Íèæå ïðèâîäÿòñÿ íåêîòîðûå óñëîâèÿ íà ÏÂÏ � � �� �( ( , ))� Y , êîòîðûå äîëæíû
èìåòü ìåñòî äëÿ ëþáîé îïðåäåëÿþùåé ÑÑÇÐ Z Y U g Y Y� � � �( , ) ( , ) ( , )�� � � �� � .
Y1. Åñëè Z Y U g Yi i i� � �( , ) ( , )�� � �� , i �1 2, òî:
a) ( , ) ( , ) ( , )Y Y YZ Z� � �
1 2
� �
def
— íåâûðîæäåííîå, ò.å. íå äëÿ âñåõ y y Y1 2, �
âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå y y1 2� ;
á) èç ( ) ( )*y y
Z1 2� �� ñëåäóåò y y1 2� �y y Y1 2, ;
â) èç u v U u v U1 1 1 2 2 2, , ,� � , g u g u1 1 2 2( , ) ( , )� �� , g v g v1 1 2 2( , ) ( , )� ��
�� � , u v
Z1 11
�
* ñëåäóåò u v
Z2 2
2
�
* .
Y2. ( , )*U Z� — íåñòðîãèé ïîðÿäîê.
Y3. Åñëè u Ui � , i �1 3, , u uZ1 2�
* , �� ( , )0 1 , òî
� � � �u u u uZ1 3 2 31 1� � � �( ) ( )*
� .
Y3.1. Åñëè u Ui � , i �1 3, , — ïîïàðíî êîìîíîòîííû, u u
Z1 2�
* , �� ( , )0 1 , òî
� � � �u u u uZ1 3 2 31 1� � � �( ) ( )*
� .
Y3.2. Åñëè u Ui � , i �1 2, , y Y u u
Z
� , *
1 2� , �� ( , )0 1 , òî
� � � �u y u yZ1 21 1� � � �( ) ( )*
� �� .
Y3.3. Åñëè u Ui � , i �1 2, , u uZ1 2�
* , �� ( , )0 1 , òî
� �u u u
Z1 2 21� �( ) *
� .
Y3.4. Åñëè u Ui � , i �1 2, , u uZ1 2~* , �� ( , )0 1 , òî
� �u u uZ1 2 21� �( ) *
� .
Y4. Åñëè u Ui � , i �1 3, , u u uZ Z1 2 3� �
* * , òî ñóùåñòâóþò òàêèå � �, ( , )� 01 , ÷òî
� � � �u u u u u
Z Z1 3 2 1 31 1� � � �( ) ( )* *
� � .
Y5. Åñëè u Ui � , i �1 2, , g u g u( , ) ( , )� �1 2�
Z
äëÿ âñåõ ��� , òî
u u
Z1 2�
* .
Y5.1. Åñëè u Ui � , y Yi � , g u yi i( , )� � � �� � �1 , i �1 2, ,
g u g u( , ) ( , )� �1 2� äëÿ âñåõ ��� �\ 1, u uZ1 2�
* , òî
y yZ1 2� .
144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
Çàìå÷àíèå 2. Óñëîâèå Y3 ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:
Åñëè u Ui � , i �1 4, , u uZ1 2�
* , u u
Z3 4�
* , �� ( , )01 , òî
� � � �u u u u
Z1 3 2 41 1� � � �( ) ( )*
� .
Äåéñòâèòåëüíî, èç óñëîâèÿ Y3 ñëåäóåò, ÷òî
� � � � � �u u u u u u
Z Z1 3 2 3 2 41 1 1� � � � � �( ) ( ) ( )* *
� � .
Îáðàòíîå î÷åâèäíî.
Çàìå÷àíèå 3. Åñëè ( )*
� — ñâÿçíî, òî óñëîâèå Y3.3 ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó
óñëîâèþ:
åñëè u Ui � , i �1 3, , u u u u
Z Z1 3 2 3 0 1� �
* *, , ( , )�� , òî � �u u u
Z1 2 31� �( ) *
� .
Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî Y3.3, åñëè u uZ1 2�
* , òî u u u
Z Z1 2 3� �
* * ; çíà÷èò,
� �u u u uZ Z1 2 2 31� �( ) * *
� � .
 ñèëó ñèììåòðèè äëÿ u u
Z2 1�
* ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû. Îáðàòíîå î÷åâèäíî.
Óñëîâèÿ Y1 è Y5 (Y5.1) îáåñïå÷èâàþò íåâûðîæäåííîñòü è ñîãëàñîâàííîñòü
îòíîøåíèé ïðåäïî÷òåíèÿ êàê äëÿ ïîñëåäñòâèé è ðåøåíèé, òàê è äëÿ ðàçëè÷íûõ
ïðåäñòàâèòåëåé êëàññà �� . Óñëîâèÿ Y3.1, Y3.2, Y3.3, Y3.4 ÿâëÿþòñÿ â òîé èëè èíîé
ñòåïåíè îñëàáëåíèÿìè óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè Y3, à èìåííî óñëîâèå Y3.1 ÿâëÿåòñÿ
óñëîâèåì êîìîíîòîííîé íåçàâèñèìîñòè, óñëîâèå Y3.2 — óñëîâèåì íåçàâèñèìîñòè
îò îïðåäåëåííîñòè, óñëîâèå Y3.3 — óñëîâèåì íåçàâèñèìîñòè îò íå ìåíåå ïðåäïî÷-
òèòåëüíîãî (íå ëó÷øåãî), óñëîâèå Y3.4 — óñëîâèåì íåïðèíÿòèÿ íåîïðåäåëåííîñòè.
Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî èç óñëîâèÿ Y3.3 ñëåäóåò óñëîâèå Y3.4. Áîëåå äåòàëüíàÿ âçàè-
ìîñâÿçü ìåæäó íèìè áóäåò ïîêàçàíà íèæå. Óñëîâèÿ Y4, Y5 è Y5.1 ÿâëÿþòñÿ
ñîîòâåòñòâåííî óñëîâèÿìè íåïðåðûâíîñòè, ìîíîòîííîñòè è ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè.
Äàëåå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîäêëàññà ÑÑÇÐ �� ( , )Y � êëàññà � ( , )Y � áóäåì îò-
íîñèòü ê ñëåäóþùèì ìíîæåñòâàì:
— � �1 ( ( , ))�� Y âñå ÏÂÏ â �� ( , )Y � , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Y1,
Y2, Y3, Y4, Y5;
— � �13 ( ( , ))�� Y âñå ÏÂÏ â �� ( , )Y � , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Y1,
Y2, Y3.1, Y3.3, Y4, Y5;
— � �12 ( ( , ))�� Y âñå ÏÂÏ â �� ( , )Y � , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Y1,
Y2, Y3.1, Y3.4, Y4, Y5;
— � �11 ( ( , ))�� Y âñå ÏÂÏ â �� ( , )Y � , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Y1,
Y2, Y3.1, Y4, Y5;
— � �22 ( ( , ))�� Y âñå ÏÂÏ â �� ( , )Y � , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Y1,
Y2, Y3.1, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5;
— � �21 ( ( , ))�� Y âñå ÏÂÏ â �� ( , )Y � , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Y1,
Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5.
Î÷åâèäíî, ÷òî
� � � �1 13( ( , )) ( ( , ))� � �� �Y Y ,
à òàêæå, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ äèàãðàììà:
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 145
146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
� � � �12 22( ( , )) ( ( , ))� � � �� �Y Y
��� � � �
� �
�11 21
11
21
( ( , )) ( ( , ))]
( ( , ))
( (
� � �
� � �
� �
� �
�
�
Y Y
Y
Y
Y
, ))
( ( , ))
�
� �
�
� �� .
Îáîçíà÷èì ��1 ( , )Y � ëþáîé ïîäêëàññ ÑÑÇÐ êëàññà � ( , )Y � , â êîòîðîì äëÿ
êàæäîé ÑÑÇÐ � � � � � �Z Y U g Y( , , , ) ( , )� ��1 è äëÿ ëþáûõ � � �u Ui , i �1 2, , íàéäóòñÿ òà-
êàÿ îïðåäåëÿþùàÿ ÑÑÇÐ Z Y U g Y� � �( , , , ) ( , )� ��1 è òàêèå u U ii � �, ,1 2 , ÷òî
� � � �g u g ui i( , ) ( , )� � � � , i �1 2, . (6)
Îáîçíà÷èì ��0 ( , )Y � ëþáîé òàêîé êëàññ ��1 ( , )Y � , ÷òî åñëè Z Y U g� �( , , , )�
� ��1( , )Y � — îïðåäåëÿþùàÿ, ôèãóðèðóþùàÿ â îïðåäåëåíèè ��1 ( , ) ,Y � òî äëÿ íåå äîëæ-
íî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå
g U L Y( , ) ( , )
� 0 � .
Îáîçíà÷èì �Z1 ( , )Y � ëþáîé ïîäêëàññ ÑÑÇÐ êëàññà Z( , )Y � , ýëåìåíòû êîòîðî-
ãî çàäàþò ïåðâóþ êîìïîíåíòó íåêîòîðîãî ÏÂÏ äëÿ ��1 ( , )Y � . Ïðè ýòîì åñëè
(( , ), , , ) ( , )Y U g Y� � �� �Z1 , à Z Y U g Y� � �( , , , ) ( , )� ��1 ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùåé,
ôèãóðèðóþùåé â îïðåäåëåíèè ��1 ( , )Y � , òî äëÿ íåå, íàðÿäó ñî ñâîéñòâîì (5), äîë-
æíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè è �-èçìåðèìîñòè îòíîñèòåëüíî ñóæåíèÿ
( , )Y � íà X äëÿ îòîáðàæåíèÿ g u( , )
ïðè âñåõ u U� , ò.å.
g U g U L Y( , ) ( , ) ( , )
�
� � � .
Äëÿ ëþáîãî êëàññà �Z1 ( , )Y � îïðåäåëèì êëàññ ��0 ( , )Y � , êîòîðûé áóäåì îáî-
çíà÷àòü ��01 ( , )Y � , ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� � � � � ��01 1( , ): {( , ): ( , ) ( ,Y Y U , g Y U, g Y� �� �� ��Ïð Z ,
� � �
�U u u U g u L Y{ }: , ( , ) ( , )0 � , g u g u u U� � � � �( , ) ( , ) ,� � � � }.
Äàëåå ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñîîòâåòñòâèå
�� ( , )Y �
èç �X P� ( )�
â � �( ( , ))�� Y , ãäå P( )� — ñåìåéñòâî âñåõ ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé íà � .
Ýòî ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè ���X , P P� ( )� ,
Z Y U g� �( , , , )� � �� �( , ) ( , )Y Y� � , òî
�
�
�� � �� � �� �( , ) ( , ) ( , )( , ) ( ( , ), ( , ))Y Y YP P P� � � �
def
1 2 ( ( , ))�� Y � ,
[ ( , )]( ): ( , )( , )
*
�1� �� �Y ZP Z Y� , [ ( , )]( ): ( , )( , )
*
�2� �� �Y ZP Z Y�
è äëÿ ëþáûõ y Yi � , u Ui � , ãäå y xi ij
j
n
ij
i
�
�
� �
1
, � ij �[ , ]0 1 , � ij
j
ni
�
� �
1
1, x Xij � ,
a �� � g u g ui ij
j
k
j i
i
( , ) ( , )� � ��
�
�
1
, � ij �[ , ]0 1 , � ij
j
ki
�
� �
1
1, g u Xj i( , )� � , j ki�1, ,
i �1 2, , èìååì
y y x xZ j
j
n
j i
i
n
i1 2 2
1
2 1
1
1
2 1
� �
� �
� �� � � �( ) ( ) , (7)
u u g u p d
Z p P
j
j
k
j1 2 1
1
1
1
�
* min ( ( , )) ( ) �
� �
� �� � � �
�
�
� �
� �min ( ( , )) ( )
p P
j
j
k
jg u p d� � � �2
1
2
2
�
. (8)
Çàìå÷àíèå 4. Îòìåòèì, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
� �( , )Y � íå ñîâïàäàåò ñ
�
X P� ( )� . Òî÷íåå, Dom
1� �� �( , )Y
X
� , Dom
2� � �( , ) ( )Y P� � , èáî íå âñåãäà
ôóíêöèÿ �( ( , ))g u
èíòåãðèðóåìà ïî ìåðå p , ò.å. íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ýëåìåí-
òîì ïðîñòðàíñòâà L p1 ( , , )� � [8, ãë. VII, §1].
Äàëåå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íåïóñòîãî ìíîæåñòâà A îïðåäåëèì â ôóíêöèîíàëü-
íîì ïðîñòðàíñòâå �
A îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ( !
ma
) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ
ëþáûõ f g A, ��
f g f ag b! � �
ma
, a b, ��, a " 0 . (9)
Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâèå � �
� ( , )Y � èç �
X P/ ( ) /!� !
ma co
� â � �( ( , ))�� Y
òàêèì îáðàçîì, ÷òî åñëè ~� è
~
P — êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ñ ïðåäñòàâèòåëÿìè
ñîîòâåòñòâåííî � è P , òî
� �� �
��
��� �( , ) ( , )(~ ~
) ( )Y YP P� �
def
.
È, íàêîíåö, îïðåäåëèì ñîîòâåòñòâèå �� �( , )Y � èç �
X Q/ ( )!�
ma
� â � �( ( , ))�� Y ,
ãäå Q( )� — ñåìåéñòâî âñåõ eìêîñòåé íà ( , )� � , ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè ~� —
êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî ( !
ma
) ñ ïðåäñòàâèòåëåì ���X, a v Q� ( )� ,
� � � �� � �( , ) ( )Y � , Z Y U g� �( , , , )� � �� �( , ) ( , )Y Y� � , �( ) (( , ), ( , ))*Z Y UZ Z� � � ,
òî äëÿ ëþáûõ y Yi � , u Ui � , ãäå y xi ij
j
n
ij
i
�
�
� �
1
, � ij
j
ni
�
� �
1
1, x Xij � , � ij
j
ki
�
� �
1
1,
g u g ui ij
j
k
j i
i
( , ) ( , )� � ��
�
�
1
, g u Xj i( , )� � , j ki�1, , i �1 2, , âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøå-
íèå (7) è
u u g u dv gZ j
j
k
j j
j
k
j1 2 1
1
1 2
1
1 2
�
* ( ( , )) ( ( �� � ��
� �� �
� � � � � �, ))u dv2 . (10)
Òåîðåìà 1. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ ��0 ( , )Y � ñîîòâåòñòâèå � �
�0 ( , )Y �
ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé íà �
X PF/ ( )!�
ma
� :
� �
�0 ( , )Y �
( / , ( )) ( ( , ))� �
X PF Y! � �
ma
� � �# 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî � � �# �
( ( , )) ( ( ))
( , )
� � �� �
�0
0
Y , PF
Y
X
.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü � � �� �# ( ( , ))�0 Y . Âûáåðåì ëþáóþ ÑÑÇÐ
� � � � � �Z Y, U g Y,( , ) ( )�� ��0 è ëþáóþ ïàðó ðåøåíèé u Ui � � , i �1 2, . Òîãäà â ñèëó
îïðåäåëåíèÿ ��0 ( , )Y � íàéäåòñÿ íåêîòîðàÿ îïðåäåëÿþùàÿ ÑÑÇÐ
Z Y, U g Y,� � �( , ) ( )�� ��0 , äëÿ êîòîðîé ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (6).
Ñîãëàñíî óñëîâèþ Y1 èìååì ( , ) ( , )Y YZ Z� �� � . Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì îòíî-
øåíèå ( )�Z � íà Y áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòî ( )� .
Ëåììà 1. Äëÿ íåñòðîãèõ ïîðÿäêîâ ( ( , ), )*L Y0 � � , ( , )Y � ñâîéñòâî ìîíîòîí-
íîñòè (äëÿ ëþáûõ f g L, � 0 , åñëè f g( ) ( )� � �� ��, òî f g�
* ) ýêâèâàëåíòíî
ñâîéñòâó ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè (äëÿ ëþáûõ f g L, � 0 , y z Y, � , åñëè
f g f y�
* , ( )� � � �� � �1 , g z( )� � �� �1, f g( ) ( )� �� �� � �\ 1, òî y z� ) .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 147
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî èç ìîíîòîííîñòè ñëåäóåò
ñòðîãàÿ ìîíîòîííîñòü. Ïóñòü íàéäóòñÿ òàêèå f g L, � 0 , y z Y, � , ÷òî f g�
* ,
f y( )� � �� �1 , f g( ) ( )� �� �� � �\ 1 , g z( )� � �� �1 è y z� . Òîãäà äëÿ
ýòèõ f è g èìååì f g( ) ( )� � �� �� , à â ñèëó ìîíîòîííîñòè g f�
* , ÷òî ïðîòè-
âîðå÷èò óñëîâèþ f g�
* .
È íàîáîðîò, òî, ÷òî èç ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè ñëåäóåò ìîíîòîííîñòü, äîêàçûâà-
åòñÿ èíäóêöèåé ïî ÷èñëó îáëàñòåé, íà êîòîðûõ ôóíêöèè f è g ïîñòîÿííû è íå ñîâ-
ïàäàþò ìåæó ñîáîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè { }� i i n, ,�1 — ðàçáèåíèå îáëàñòè � �\ 0
ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèé f è g , íà êîòîðûõ f g� , à �0 — îáëàñòü, ãäå f g� , òî âû-
áåðåì ïðîèçâîëüíîå � i i, � 0 , íàïðèìåð �1. Ïóñòü f y( )� � �� �1, à g z( )� �
�� �1 . Îïðåäåëèì íîâóþ ôóíêöèþ h L� 0 ñëåäóþùèì îáðàçîì:
h
z
f
( )
, ,
( ),
�
�
� �
�
�
$
%
&
'
åñëè
åñëè
�
�(
Òîãäà ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè èìååì h g�
* , à â ñèëó ñòðîãîé ìîíî-
òîííîñòè èìååì f h�
* . Îòñþäà â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè ( )*
� ïîëó÷èì f g�
* .
Ëåììà äîêàçàíà. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìû Ýíñêîìáà–Àóìàíà [5] èç óñëîâèé
Y1, Y2, Y3, Y4, Y5.1, êîòîðûå âûïîëíÿþòñÿ äëÿ � � �� �# ( ( , ))�0 Y , ñîãëàñíî äîêà-
çàííîé ëåììå ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííàÿ êîíå÷íî-àääèòèâíàÿ âåðîÿò-
íîñòíàÿ ìåðà p íà � , ò.å. p PF� ( )� , è àôèííàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ � íà Y òà-
êèå, ÷òî äëÿ ëþáûõ u U ii � �, ,1 2 ,
u u W u W uZ1 1 2�
* ( ) ( ) � , (11)
ãäå
W u g u p d( ) ( ( , )) (� �
def
� � �
�
äëÿ ëþáûõ u U� , (12)
ïðè÷åì ôóíêöèÿ � — åäèíñòâåííàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîãî ëèíåéíîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ. Òîãäà ñîãëàñíî (11), (12) äëÿ ëþáûõ � �� �y y Y,
� �� � � �� � � ��� �y y y p d y p d y yZ� �
� �
�
* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � .
Ýòî ïîçâîëÿåò, âîñïîëüçîâàâøèñü óñëîâèåì Y1, ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ôóíêöèÿ �
áóäåò ôóíêöèåé ïîëåçíîñòè, ñîõðàíÿþùåé ïðåäïî÷òåíèÿ äëÿ ( , )Y � , ò.å.
� �� � � ��y y y y� � �( ) ( ) .
Èç ýòîãî ñëåäóåò â ñèëó àôèííîñòè � ñîîòíîøåíèå (7).
Äàëåå, åñëè g u g ui ij
j
k
j i
i
( , ) ( , )� � ��
�
�
1
, � ij
j
ki
�
� �
1
1, i �1 2, , òî èç (11), (12) èìååì
òàêæå (8) äëÿ P p�{ }. Ñëåäîâàòåëüíî,
� �
�
� �
�
0 0
� ��
( , ) ( , )
( , ) ( ( ))
Y Y
Xp , PF
� �
� .
Ïóñòü, íàîáîðîò, � �
�
�0
� ( , )
( , )
Y
p
�
, ãäå ���X, p PF� ( )� . Òîãäà â ñèëó òåî-
ðåìû Ýíñêîìáà–Àóìàíà è îïðåäåëåíèÿ ��0 ( )Y, � ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáîé
Z Y U g Y,� � �( , , , ) ( )� ��0 , åñëè � Z Z ZY U� (( , ), ( , ))*
� � óäîâëåòâîðÿåò (7), (8), òî
äëÿ ( , )Y Z� è ( , )*U Z� âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Y1, Y2, Y3, Y4, Y5.1.
148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
Èíúåêòèâíîñòü � �
�0 ( , )Y �
íà �
X PF/ ( )!�
ma
� ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè ñ òî÷-
íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîãî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèè � è åäèíñòâåííî-
ñòè êîíå÷íî-àääèòèâíîé âåðîÿòíîñòíîé ìåðû p â ñèëó òåîðåìû Ýíñêîìáà–Àóìàíà.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî êëàññà ��0 ( )Y, � óñëîâèÿ Y1, Y2, Y3, Y4, Y5 íà ÏÂÏ
â êëàññå ��0 ( )Y, � ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé �
X PF/ ( )!�
ma
� –ÏÌÏÂÏ â êëàññå
��0 ( )Y, � , ò.å. [Y1, Y2, Y3, Y4, Y5] â ��0 ( )Y, � ñ ïàðàìåòðàìè ~ /�� !�
X ma
è
p PF� ( )� , ïðè ýòîì ðàçíûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ ~� è p ñîîòâåòñòâóþò íåñîâïà-
äàþùèå ÏÂÏ.
Ñëåäñòâèå 2. ÌÑÇÐ M Y U g p� ( , , , , )� (ãäå Z Y U g Y,� � �( , , , ) ( )� ��0 , à çàêî-
íîìåðíîñòü p PF� ( )� ) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïèñàíèåì ñèòóàöèè äëÿ
[Y1, Y2, Y3, Y4, Y5] â ��0 ( )Y, � ñ ïàðàìåòðàìè ~ /�� !�
X ma
è p PF� ( )� .
Äðóãèìè ñëîâàìè, ÒÏÐ ñ ÏÂÏ èç êëàññà � �1 0( ( ))�� Y, ïðèíèìàþò â ñèòóàöèè
ñ çàäàííîé ìîäåëüþ îäèíàêîâûå ðåøåíèÿ âòîðîé îñíîâíîé ÇÐ.
Òåîðåìà 2. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ �Z1 ( , )Y � ëþáîå ÏÂÏ
� � �� �1 01( ( ))� Y, ìîæíî, è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì, ïðîäîëæèòü äî ÏÂÏ
� � �� �1 1( ( ))Ïð Y,Z . Ïðè ýòîì � �
Ïð Y,Z1 ( )� — áèåêöèÿ è
� ! � ��
Ïð Y,
X PF Ïð (Y,Z Z
1 1 1( ) ( / , ( )) ( ))� � � ��
ma
.
Äîêàçàòåëüñòâî cëåäóåò èç Âûâîäîâ ñîãëàñíî Çàìå÷àíèþ 3, «ôîðìàëüíî ðàñ-
øèðÿþùèõ àääèòèâíóþ òåîðèþ» (ñì. [7, c. 589]), îïðåäåëåíèþ êëàññîâ �Z1 ( , )Y � ,
��01 ( )Y, � è òåîðåìû 1.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî êëàññà �Z1 ( , )Y � óñëîâèÿ Y1, Y2, Y3, Y4, Y5 íà ÏÂÏ
â êëàññå Ïð Y,�Z1 ( )� ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé �
X PF/ ( )!�
ma
� -ÏÌÏÂÏ â êëàññå
Ïð Y,�Z1 ( )� , ò.å. [Y1, Y2, Y3, Y4, Y5] â Ïð Y,�Z1 ( )� ñ ïàðàìåòðàìè ~ /�� !�
X ma
è
p PF� ( )� , ïðè ýòîì ðàçíûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ ~� è p ñîîòâåòñòâóþò íåñîâïà-
äàþùèå ÏÂÏ.
Ñëåäñòâèå 2. ÌÑÇÐ M Y U g p� ( , , , , )� (ãäå Z Y U g Ïð Y,� � �( , , , ) ( )� �Z1 ,
çàêîíîìåðíîñòü p PF� ( )� ) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïèñàíèåì ñèòóàöèè
äëÿ [Y1, Y2, Y3, Y4, Y5] â Ïð Y,�Z1 ( )� ñ ïàðàìåòðàìè ~ /�� !�
X ma
è p PF� ( )� .
Äðóãèìè ñëîâàìè, ÒÏÐ ñ ÏÂÏ èç êëàññà � �1 1( ( ))Ïð Y,�Z ïðèíèìàþò â ñèòóà-
öèè ñ çàäàííîé ìîäåëüþ îäèíàêîâûå ðåøåíèÿ âòîðîé îñíîâíîé ÇÐ.
Òåîðåìà 3. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ ��0 ( )Y, � ñîîòâåòñòâèå �
�0
� ( , )Y �
ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé è
�
�0
� ( , )Y �
( / , ( )) ( ))� �
X Q (Y,! � �
ma
� � �11 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1, ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ
îïðåäåëÿþùèìè ÑÑÇÐ Z Y U g Y,� � �( , , , ) ( )� ��0 . Ïðåäïî÷òåíèå íà Y áóäåì îáî-
çíà÷àòü ( )� , ÷òî êîððåêòíî â ñèëó óñëîâèÿ Y1.
Òîãäà â ñèëó òåîðåìû Øìåéäëåðà [7, c. 578] èç óñëîâèé Y1, Y2, Y3.1, Y4, Y5,
êîòîðûå âûïîëíÿþòñÿ äëÿ � � �� �## ( ( , ))�0 Y , ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò åäèíñòâåí-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 149
íàÿ íåàääèòèâíàÿ âåðîÿòíîñòü v Q� ( )� è àôèííàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ � íà Y
òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáûõ u Ui � , i �1 2, , âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (11), ãäå
W u g u d( ) ( ( ))� �
def
� �
�
äëÿ ëþáûõ u U� . (13)
È íàîáîðîò. Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ � åäèíñòâåííàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîãî
ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Îòñþäà ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ (7), (10) è óòâåðæäå-
íèå òåîðåìû.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî êëàññà ��0 ( )Y, � óñëîâèÿ Y1, Y2, Y3.1, Y3.4, Y4, Y5
íà ÏÂÏ â êëàññå ��0 ( )Y, � ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé �
X Q/ ( )!�
ma
� -ÏÌÏÂÏ â êëàññå
��0 ( )Y, � , ò.å. [Y1, Y2, Y3.1, Y3.4, Y4, Y5] â ��0 ( )Y, � ñ ïàðàìåòðàìè ~ /�� !�
X ma
è
v Q� ( )� . Ïðè ýòîì ðàçíûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ ~� è v ñîîòâåòñòâóþò íåñîâïàäà-
þùèå ÏÂÏ.
Ñëåäñòâèå 2. ÌÑÇÐ M Y U g v� ( , , , , )� (ãäå Z Y U g Y,� � �( , , , ) ( )� ��0 , à çàêî-
íîìåðíîñòü v Q� ( )� ) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïèñàíèåì ñèòóàöèè äëÿ
[Y1, Y2, Y3, Y4, Y5] â ��0 ( )Y, � ñ ïàðàìåòðàìè ~ /�� !�
X ma
è v Q� ( )� .
Äðóãèìè ñëîâàìè, ÒÏÐ ñ ÏÂÏ èç êëàññà � �## ( ( , ))��0 Y ïðèíèìàþò â ñèòóàöèè
ñ çàäàííîé ìîäåëüþ îäèíàêîâûå ðåøåíèÿ âòîðîé îñíîâíîé ÇÐ.
Òåîðåìà 4. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ �Z1 ( , )Y � ëþáîå ÏÂÏ
� � �� �## ( ( , ))�01 Y ìîæíî (è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì) ïðîäîëæèòü äî ÏÂÏ
� � �� �## ( ( , ))Ïð YZ1 . Ïðè ýòîì �Ïð Z1
� ( )Y, � ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé è
�Ïð Z1
� ( )Y, � ( / , ( )) ( ( , ))�
X Q Y! � �
ma
� � �11 1ÏðZ .
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç Âûâîäîâ ñîãëàñíî Çàìå÷àíèþ 1 [7, ñ. 582], îïðåäå-
ëåíèþ êëàññîâ ��1 ( )Y, � , �� 01 ( )Y, � è òåîðåìû 3.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî êëàññà �Z1 ( , )Y � óñëîâèÿ Y1, Y2, Y3.1, Y3.4, Y4, Y5
íà ÏÂÏ â êëàññå Ïð �Z1 ( , )Y � ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé �
X Q/ ( )!�
ma
� -ÌÏÂÏ â êëàññå
Ïð �Z1 ( , )Y � , ò.å. [Y1, Y2, Y3.1, Y3.4, Y4, Y5] â Ïð �Z1 ( , )Y � ñ ïàðàìåòðàìè
~ /�� !�
X ma
è v Q� ( )� , ïðè ýòîì ðàçíûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ ~� è v ñîîòâåòñòâó-
þò íåñîâïàäàþùèå ÏÂÏ.
Ñëåäñòâèå 2. ÌÑÇÐ M Y U g v� ( , , , , )� (ãäå Z Y U g Y� � �( , , , ) ( , )� �ÏðZ1 , à çà-
êîíîìåðíîñòü v Q� ( )� ) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïèñàíèåì ñèòóàöèè äëÿ
[Y1, Y2, Y3.1, Y3.4, Y4, Y5] â Ïð �Z1 ( , )Y � ñ ïàðàìåòðàìè ~ /�� !�
X ma
è v Q� ( )� .
Äðóãèìè ñëîâàìè, ÒÏÐ ñ ÏÂÏ èç êëàññà � �## ( ( , ))Ïð Y�Z1 ïðèíèìàþò â ñèòóà-
öèè ñ çàäàííîé ìîäåëüþ îäèíàêîâûå ðåøåíèÿ âòîðîé OÇÐ.
Òåîðåìà 5. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ ��0 ( )Y, � ñîîòâåòñòâèå � �
�0 ( , )Y �
ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé è
�
�
�0 ( , )Y �
( / , ( ) / ) ( ( , ))� �
X P Y! ! � �
ma co
� � �21 0 .
150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 3 ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé,
÷òî â äàííîì ñëó÷àå èç òåîðåìû Ãèëüáîà–Øìåéäëåðà [9, ñ. 145] è óñëîâèé Y1, Y2,
Y3.2, Y3.4, Y4, Y5 ñëåäóåò äëÿ îïðåäåëÿþùåé Z Y U g Y,� � �( , , , ) ( )� ��0 êðèòåðèé
W u g u p d
p P
( ) min ( ( , )) (�
� �
def
� � �
�
äëÿ ëþáûõ u U� , (14)
ïðè÷åì ôóíêöèÿ ���X — åäèíñòâåííàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîãî ëèíåéíî-
ãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, à ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü P ïðèíàäëåæèò Pco ( )� .
Òîãäà
� � �
� �21 0
0 0
( ( )) ( , ( )) (
( , ) ( , )
� � � �� �� � �
� �
Y, P
Y
X
Y
X
co / , ( ) / )! !
ma co
P � .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî êëàññà ��0 ( )Y, � óñëîâèÿ Y1, Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5
íà ÏÂÏ â êëàññå ��0 ( )Y, � ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé �
X P/ ( ) / )!� !
ma co
� -ÏÌÏÂÏ â
êëàññå ��0 ( )Y, � , ò.å. [Y1, Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5] â ��0 ( )Y, � ñ ïàðàìåòðàìè
~ /�� !�
X ma
è p P� !( ) /�
co
, ïðè ýòîì ðàçíûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ ~� è v ñîîòâåò-
ñòâóþò íåñîâïàäàþùèå ÏÂÏ.
Ñëåäñòâèå 2. ÌÑÇÐ M Y U g p� ( , , , , )� (ãäå Z Y U g Y,� � �( , , , ) ( )� ��0 , à çàêî-
íîìåðíîñòü p P� !( ) /�
co
) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïèñàíèåì ñèòóàöèè
äëÿ [Y1, Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5] â ��0 ( )Y, � ñ ïàðàìåòðàìè ~ /�� !�
X ma
è
p P� !( ) /�
co
.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ÒÏÐ ñ ÏÂÏ èç êëàññà � �#2 0( ( , ))�� Y ïðèíèìàþò â ñèòóà-
öèè ñ çàäàííîé ìîäåëüþ îäèíàêîâûå ðåøåíèÿ âòîðîé îñíîâíîé ÇÐ.
Òåîðåìà 6. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ �Z1 ( , )Y � ëþáîå ÏÂÏ
� � �� �#2 01( ( , ))� Y ìîæíî (è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì) ïðîäîëæèòü äî ÏÂÏ
� � �� �#2 1( ( , ))Ïð YZ . Ïðè ýòîì � �
Ïð Y,Z1 ( )� ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé è
� �
Ïð Y,Z1 ( )� ( / , ( ) / ) ( ( , ))�
X P Y! ! � �
ma co
� � �21 1ÏðZ .
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç Çàìå÷àíèÿ ê Òåîðåìå 4.1 (ñì. [9, c. 150]), îïðåäå-
ëåíèÿ êëàññîâ �Z1 ( , )Y � , ��01 ( , )Y � è òåîðåìû 5.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî êëàññà �Z1 ( , )Y � óñëîâèÿ Y1, Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5
íà ÏÂÏ â êëàññå Ïð Y�Z1 ( , )� ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé �
X P/ ( ) / )!� !
ma co
� -ÏÌÏÂÏ â
êëàññå Ïð Y�Z1 ( , )� , ò.å. [Y1, Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5] â Ïð Y�Z1 ( , )� ñ ïàðàìåòðàìè
~ /�� !�
X ma
è p P� !( ) /�
co
, ïðè ýòîì ðàçíûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ ~� è v ñîîòâåò-
ñòâóþò íåñîâïàäàþùèå ÏÂÏ.
Ñëåäñòâèå 2. ÌÑÇÐ M Y U g p� ( , , , , )� (ãäå Z Y U g Y� � �( , , , ) ( , )� �ÏðZ1 , çà-
êîíîìåðíîñòü p P� !( ) /�
co
) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïèñàíèåì ñèòóàöèè
äëÿ [Y1, Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5] â Ïð Y�Z1 ( , )� ñ ïàðàìåòðàìè ~ /�� !�
X ma
è
p P� !( ) /�
co
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 151
Äðóãèìè ñëîâàìè, ÒÏÐ ñ ÏÂÏ èç êëàññà � �#2 1( ( , ))Ïð Y�Z ïðèíèìàþò â ñèòóà-
öèè ñ çàäàííîé ìîäåëüþ îäèíàêîâûå ðåøåíèÿ âòîðîé ÎÇÐ.
Òåîðåìà 7. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ ��0 ( , )Y �
�
�
�0 ( , )Y �
( / , ( ) / )
( , )�
�
X
Y
P! ! � �
ma co
�
�
�
0
( / , ( )) ( ( , ))� �
X Q Y! � �
ma
� � �22 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî cëåäóåò èç òîãî, ÷òî � � � �22 11( ( , )) ( ( , ))� � � �� �Y Y
� �� �21 ( ( , ))� Y , à òàêæå èç òåîðåì 3 è 5.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 8. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ �Z1 ( , )Y �
� �
Ïð Z1 ( )Y, � ( / , ( ) / ) ( / , ( ))( )� �
X
Y,
XP Q! ! � ! ��
ma co ma
� ���Ïð Z1
� � �22 1( ( , ))Ïð �Z Y .
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî � � � �22 11( ( , )) ( ( , ))Ïð Ïð� � � �Z ZY Y
� �� �21 ( ( , ))ÏðZ Y , òàêæå òåîðåì 4 è 6.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Îïðåäåëåíèå 21. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü P P� ( )� íàçûâàåòñÿ åìêî-
ñòíîé, åñëè íàéäåòñÿ òàêàÿ åìêîñòü v Q� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîé f B� ( )� èìååò ìåñòî
fdv f p d
p P
� �
� ��
�
min ( ) ( )� � .
Ìíîæåñòâî âñåõ åìêîñòíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé íà � áóäåì îáîçíà-
÷àòü P1 ( )� .
Òåîðåìà 9. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ ��0 ( , )Y � èìååì � �13 0( ( , ))� �� Y
� !��
�
�
0 ( , )
( / , ( ))
Y
X Q
�
�
ma
co = � ! !�
�
�
0 ( , )
( / , ( ) / )
Y
X P
�
�
ma
1
co
= � �12 0( ( , ))� �� Y
� �� �22 0( ( , ))� Y , ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ ~ /�� !�
X ma
, ëþáûõ � �� ~ è ëþáûõ
v Q� co ( )� âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
� �
�
� �0 0
� ��
( , ) ( , )
(~, ) ( , )
Y Y
P
� �
, core co � P.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàâåíñòâî � �13 0( ( , ))� �� Y �
�
�
0
� !
( , )
( / , ( ))
Y
X Q
�
�
ma
co ñëåäó-
åò èç òåîðåìû 3 è ïï. IV, IX Ïðåäëîæåíèÿ [7, c. 582]. Ðàâåíñòâî � �12 0( ( , ))� �� Y
�
� ! !�� �
0
1( , )
( / , ( ) / )
Y
X P
�
�
ma co
ñëåäóåò èç òåîðåìû 5 è ïï. VII, X Ïðåäëîæåíèÿ
[7, c. 582]. Ðàâåíñòâî � �12 0( ( , ))� �� Y � �22 0( ( , ))�� Y ñëåäóåò èç ïï. IV, VII
Ïðåäëîæåíèÿ [7, c. 582]. Ðàâåíñòâî � � � �13 0 12 0( ( , )) ( ( , ))� � �� �Y Y ñëåäóåò èç
ïï. IV, X Ïðåäëîæåíèÿ [7, c. 582]. Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå â ôîðìóëèðîâêå òåîðå-
ìû 9 ñëåäóåò èç óñëîâèÿ YI è ïï. I, X Ïðåäëîæåíèÿ [7, c. 582].
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 10. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ �Z1 ( , )Y � èìååì� �13 1( ( , ))Ïð � �Z Y
� ! � � !� ��
Ïð ÏðZ Z1 1( ) ( )( / , ( )) ( / ,Y,
X
Y,
XQ� ��� �
ma
co
ma
P Y1
co
( ) / ) ( ( , ))� � �! � � �12 1ÏðZ
� �� �22 1( ( , ))ÏðZ Y , è ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ ~ /�� !�
X ma
, ëþáûõ � �� ~ , ëþáûõ
v Q� co è ëþáûõ P P� 1 ( )� âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
� �
�Ïð ÏðZ Z1 1
� ��( ) ( )(~, ) ( , )Y, Y, P� � , core co � P.
152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 9 ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè
ññûëêàìè íà òåîðåìû 4, 6.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Íà îñíîâàíèè äîêàçàííûõ òåîðåì ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùèå äèàãðàììû:
� �
� � � �
�
13 0
1 0 12 0
22
( ( , ))
| |
( ( , )) ( ( , ))
| |
(
�
� � � �
�
�
� �
�
Y
Y Y
0 ( , ))Y �
� � � �[ ( ( , )) ( ( , ))]� � � �11 0 21 0� �Y Y
� �
� �
� �
� �
11 0
21 0
( ( , ))
( ( , ))
;
�
�
Y
Y
� �
� � � �
13 1
1 1 12 1
( ( , ))
| |
( ( , )) ( ( , ))
| |
Ïð
Ïð Ïð
�
� � � �
Z
Z Z
Y
Y Y
� �22 1( ( , ))Ïð �Z Y
� � � �[ ( ( , )) ( ( , ))]� � � �11 1 21 1Ïð ÏðZ ZY Y
� �
� �
� �
� �
11 1
21 1
( ( , ))
( ( , ))
.
Ïð
Ïð
Z
Z
Y
Y
Ïðîâåäåííûé âûøå àíàëèç, â ÷àñòíîñòè, íàïðàâëåí íà èññëåäîâàíèå âîçìîæ-
íîñòè ïåðåõîäà îò êðèòåðèÿ ìèíèìóìà îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè íà ðåøåíèÿõ â ñèòó-
àöèÿõ ÇÐ, çàäàííûõ â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå, êîãäà ðàñïðåäåëåíèå íåíàáëþäàåìî-
ãî ïàðàìåòðà ïîä÷èíÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòè, ê êðèòåðèþ îæèäàåìîé
ïîëåçíîñòè ïî ðàñïðåäåëåíèþ íåíàáëþäàåìîãî ïàðàìåòðà, ïîä÷èíåííîãî íåêîòî-
ðîé íåàääèòèâíîé âåðîÿòíîñòíîé ìåðå.
Íà ýòîò âîïðîñ îòâå÷àåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 11. Äëÿ îïðåäåëÿþùåé ÑÑÇÐ Z Y U g� ( , , , )� êëàññà Ïð �Z1 ( , )Y �
( ( , ))��0 Y � ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
— ôóíêöèè ïîëåçíîñòè W u g u p d
p P
1 1( ) min ( ( , )) ( )�
� � � � �
�
è W u2 ( ) �
� � � �2
�
( ( , ))g u dv , ãäå P P� ( )� , v Q� ( )� , � �1 2, ,��X u U� , îïðåäåëÿþò îäíî
è òî æå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèé íà U (çíà÷èò, è íà Y );
— W u W u1 2( ) ( )� �u U ;
— åìêîñòü v — âûïóêëàÿ, ò.å. v Qco� ( )� , w x w x1 2( ) ( )� �x X , co coreP v� ;
— ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü P — åìêîñòíàÿ, ò.å. P P� 1 ( )� ,
w x w x1 2( ) ( )� �x X , co coreP v� ;
— ÏÂÏ äëÿ ÑÑÇÐ êëàññà Ïð �Z1 ( , )Y � ( ( , ))��0 Y � ïðèíàäëåæèò êëàññó
� �)2 1( ( , ))Ïð �Z Y ( ( ( , )))� �)2 0�� Y .
Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ýêâèâàëåíòíûìè ÿâëÿþòñÿ òàêæå ñëåäóþùèå ïðåäëîæåíèÿ:
— åìêîñòü v — àääèòèâíà;
— card P �1;
— ÏÂÏ äëÿ ÑÑÇÐ êëàññà Ïð �Z1 ( , )Y � ( ( , ))��0 Y � ïðèíàäëåæèò êëàññó
� �1 1( ( , ))Ïð �Z Y ( ( ( , )))� �1 0�� Y .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 153
Äîêàçàòåëüñòâî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç òåîðåì 3, 5, 9 (4, 6, 10).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿ Y3.2 (íåçàâèñèìîñòè îò îïðåäåëåííîñòè), Y3.4 (íåçà-
âèñèìîñòè ýêâèâàëåíòíûõ ðåøåíèé îò ñàìèõ ñåáÿ) ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äî-
ñòàòî÷íûìè äëÿ çàìåíû êðèòåðèÿ îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè ïî íåàääèòèâíîé ìåðå íà
êðèòåðèé ìèíèìóìà îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè ïî ñòàòèñòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòè.
Ïðè ýòîì óñëîâèå Y3.4 ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ôîðìîé ïðèíöèïà ãàðàíòèðîâàííîãî ðå-
çóëüòàòà èëè, ñëåäóÿ Øìåéäëåðó [10], óñëîâèåì íåïðèíÿòèÿ íåîïðåäåëåííîñòè
(uncertainty aversion). Óñëîâèå Y3.1 (êîìîíîòîííîé íåçàâèñèìîñòè) ÿâëÿåòñÿ íåîá-
õîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ çàìåíû êðèòåðèÿ ìèíèìóìà îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè ïî
ñòàòèñòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòè íà êðèòåðèé îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè ïî íåàääèòèâ-
íîé ìåðå.
 ñëó÷àå âîçìîæíîñòè òàêîé çàìåíû, ÷òî ðàâíîñèëüíî òðåáîâàíèþ óñëîâèé
Y3.1, Y3.2, Y3.4 èëè óñëîâèé Y3.1, Y3.3 (íåçàâèñèìîñòü îò õóäøåãî), óñëîâèå Y3
(íåçàâèñèìîñòè) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ òîãî, ÷òîáû ñòàòèñòè-
÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü P ñîñòîÿëà èç îäíîãî ýëåìåíòà (ýòî ðàâíîñèëüíî àääèòèâ-
íîñòè åìêîñòè v ).
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. È â à í å í ê î  . È . , Ë à á ê î â ñ ê è é  . À . Ïðîáëåìà íåîïðåäåëåííîñòè â çàäà÷àõ ïðèíÿòèÿ ðå-
øåíèé. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1990. — 135 ñ.
2. I v a n e n k o V . I . Decision systems and non-stochastic randomness. — Berlin etc.: Springer, 2010. —
272 p.
3. Â è ë ê à ñ Ý . É . Îïòèìàëüíîñòü â èãðàõ è ðåøåíèÿõ. — Ì.: Íàóêà, 1990. — 256 ñ.
4. R a i f f a H . Decision analysis: introductory lectures on choice under uncertainty, Harvard University,
Addison-Wesley, 1975. — 310 p.
5. F i s h b u r n P . C . Utility theory for decision making. Publications in operations research. — 1970. — 18.
— New York: John Wiley and Sons. — 350 p.
6. H e r s t e i n I . N . a n d M i l n o r I . An axiomatic approach to measurable utility // Econometrica. — 1953.
— 21. — P. 291–297.
7. S c h m e i d l e r D . Subjective probability and expected utility without additivity // Ibid. — 1989. — 57. —
P. 571–587.
8. Ê î ë ì î ã î ð î â À . Í . , Ô î ì è í Ñ . Â . Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. —
Ì.: Íàóêà, 1981. — 544 p.
9. G i l b o a I . a n d S c h m e i d l e r D. Maxmin expected utility with non-unique prior // J. of Mathematical
Economics. — 1989. — 18. — P. 141–153.
10. S c h m e i d l e r D . Subjective probability and expected utility without additivity, IMA Preprint Series, Uni-
versity of Minnesota, 1984.
Ïîñòóïèëà 06.11.2009
154 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
|