Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями

Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями

Разработана методика расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций с тонкими многослойными покрытиями, основанная на моделировании таких покрытий оболочками с соответствующими геометрическими и механическими свойствами покрытия. При таком подходе влияние покрытий на механиче...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2000
1. Verfasser: Шевчук, В.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2000
Schriftenreihe:Проблемы прочности
Schlagworte:
Научно-технический раздел
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46191
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями / В.А. Шевчук // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 136-150. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-46191
record_format dspace
spelling irk-123456789-461912013-06-28T17:24:00Z Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями Шевчук, В.А. Научно-технический раздел Разработана методика расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций с тонкими многослойными покрытиями, основанная на моделировании таких покрытий оболочками с соответствующими геометрическими и механическими свойствами покрытия. При таком подходе влияние покрытий на механическое состояние всей системы тело-покрытие описывается специальными обобщенными граничными условиями. Эффективность предложенного подхода иллюстрируется сравнением результатов, полученных с помощью этого приближенного подхода, с точным решением тестовой задачи Ламе о нагружении сплошного цилиндра с п-слойным покрытием. A procedure has been developed for the calculation of the stress-strain state of structural elements with thin multilayer coatings. The procedure is based on modeling these coatings by thin shells having corresponding geometrical and mechanical properties of the coating. With this approach, the influence of thin coatings on the mechanical behavior of a body-coating system is described by special generalized boundary conditions. The efficiency of the proposed approach is illustrated by comparing the results obtained using this approximate approach with an exact solution of the test Lame problem on loading of a solid cylinder with an n-layer coating. 2000 Article Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями / В.А. Шевчук // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 136-150. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46191 539.3:620.198 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Научно-технический раздел
Научно-технический раздел
spellingShingle Научно-технический раздел
Научно-технический раздел
Шевчук, В.А.
Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями
Проблемы прочности
description Разработана методика расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций с тонкими многослойными покрытиями, основанная на моделировании таких покрытий оболочками с соответствующими геометрическими и механическими свойствами покрытия. При таком подходе влияние покрытий на механическое состояние всей системы тело-покрытие описывается специальными обобщенными граничными условиями. Эффективность предложенного подхода иллюстрируется сравнением результатов, полученных с помощью этого приближенного подхода, с точным решением тестовой задачи Ламе о нагружении сплошного цилиндра с п-слойным покрытием.
format Article
author Шевчук, В.А.
author_facet Шевчук, В.А.
author_sort Шевчук, В.А.
title Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями
title_short Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями
title_full Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями
title_fullStr Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями
title_full_unstemmed Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями
title_sort расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями
publisher Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate 2000
topic_facet Научно-технический раздел
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46191
citation_txt Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями / В.А. Шевчук // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 136-150. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series Проблемы прочности
work_keys_str_mv AT ševčukva rasčetnaprâžennogosostoâniâtelsmnogoslojnymitonkimipokrytiâmi
first_indexed 2025-07-04T05:21:10Z
last_indexed 2025-07-04T05:21:10Z
_version_ 1836692507325366272
fulltext Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями В. А . Ш е в ч у к Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, Украина Разработана методика расчета напряженно-деформированного состояния элементов кон­ струкций с тонкими многослойными покрытиями, основанная на моделировании таких по­ крытий оболочками с соответствующими геометрическими и механическими свойствами покрытия. При таком подходе влияние покрытий на механическое состояние всей системы тело-покрытие описывается специальными обобщенными граничными условиями. Эффек­ тивность предложенного подхода иллюстрируется сравнением результатов, полученных с помощью этого приближенного подхода, с точным решением тестовой задачи Ламе о нагружении сплошного цилиндра с п-слойным покрытием. О б о з н а ч е н и я ( « 1, а 2 , У) п д S о А1, А 2 к 1, к 2 а 3 а ] 3 й г Щ, ^ 1, и>1 й т ит, Vт, wт N , б , 5 , М , Н N 1, N 2 , 5 N 12 , N 21 © В. А. ШЕВЧУК, 2000 136 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 УДК 539.3:620.198 - триортогональная смешанная система координат - число слоев покрытия - толщина покрытия - толщина г'-го слоя покрытия (i = 1 , n) - базисная поверхность оболочки - коэффициенты Ламе базисной поверхности S 0 - главные кривизны базисной поверхности S о - вектор напряжений, действующий на поверхности Y = const - компоненты вектора напряжений 5 3 - вектор перемещения точек i-го слоя покрытия - компоненты вектора перемещения точек покрытия на поверхности контакта покрытие-тело - значение вектора перемещения точек тела на границе контакта с покрытием - компоненты вектора перемещения точек тела на границе контакта с покрытием - усилия и моменты, возникающие в покрытии - нормальные и симметричное сдвигающее усилия - касательные усилия Расчет напряженного состояния тел б 1, б 2 М 1, м 2 , н М 12’ М 21 Ж }, б } , 5 і , м ) , Н 1 £ 1 ’ £ 2 ’ £ 12 ’ к 1 ’ к 2 ’ к 12 с п С 1’ С 2 ’ В 1 ’ В 2 1А ’ А перерезывающие силы изгибающие и симметричный скручивающий моменты скручивающие моменты усилия и моменты, возникающие в і-м слое покрытия компоненты деформации базисной поверхности 5 0 жесткостные характеристики покрытия некоторые константы дифференциальные операторы оператор Лапласа в криволинейных ортогональных координатах д у = ----- 1 да ; еА Т е А V Е Р Я 5 + (Р) £ і, с, т 2 д2 д 2 = — да 2 А 1,1 = дАу д а , 1 , I = 1 ,2 символ Кронеккера компоненты тензора деформаций тела граничные значения компонент тензора деформаций тела на поверхности контакта с покрытием коэффициент Пуассона модуль Юнга внешнее давление в задаче Ламе радиус сплошного цилиндра в задаче Ламе асимметричная единичная функция относительная жесткость покрытия индексы, относящие величины к г-му слою покрытия, среде и телу соответственно В связи с широким использованием в практике элементов конструкций с нанесенными на их несущие поверхности тонкими защитными покры­ тиями становится актуальной разработка эффективных методик расчета напряженно-деформированного состояния таких систем. Решению подоб­ ных задач для тел с одно- и многослойными покрытиями посвящены работы [1-14]. Одним из наиболее рациональных представляется подход, в котором для описания напряженно-деформированного состояния в массивных эле­ ментах конструкций (подложке) используются уравнения теории упругости, І55Ж 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 137 а для расчета состояния в тонкостенных элементах конструкций (покрытии) - уравнения теории оболочек [2, 6 , 7, 14, 15-18]. При этом в работе [1] для случая однородного покрытия был предложен подход, позволивший исклю­ чить из рассмотрения покрытие, моделируемое тонкой оболочкой, и лишь косвенно учитывать его геометрические и механические параметры в спе­ циальных обобщенных граничных условиях механического сопряжения те­ ла со средой через тонкое покрытие, что существенно упрощает исходную задачу. Подобного рода неклассические граничные условия другими мето­ дами получены в работах [4, 11]. В данном сообщении проведено обобщение и уточнение подхода [1] для случая многослойных тонких покрытий. В. А. Шевчук Схема для расчета напряженного состояния тела с п-слойным покрытием. Рассмотрим покрытие как многослойную тонкую изотропную по п механическим свойствам оболочку толщиной д = X д і , отнесенную к три- і=1 ортогональной смешанной системе координат (а ^, а 2 , у), являющихся со­ ответственно линиями главных кривизн поверхности раздела тело-покры­ тие и нормалью к ней (рисунок). Примем, что на границе покрытие-среда задан вектор напряжений п д £ = д 3 при у = у п = Х д і = д, (1) і=1 а на поверхностях контакта слоев покрытия и покрытия с телом выпол­ няются условия идеального механического контакта: і -1 ___ и і = и і-і при у = у і-1 = Х д ] , і = 2 п; и 1 = и т при у = у о; (2 а) і =1 138 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 Расчет напряженного состояния тел о 3 = о 3 1 при Y = Y i—1, i = 2 , n ; о \ = о 3 при у = у 0 , (26) где о з - вектор напряжений, действующий на поверхности у = const: о з = о 13 e 1 + о 23 e 2 + о 33 e3; e1, e2 , e3 - орты координатного триэдра на базисной поверхности S о оболочки; д i , U t - толщина и вектор пере­ мещения точек i-го слоя ( i = 1, n ); U T - значение вектора перемещений точек тела (подложки) на границе контакта с покрытием. Уравнения равновесия слоистой оболочки в отсутствие массовых сил при учете условий контакта (26) и условия (1) запишем в виде [19] d(A l N j ) дА, д( A jN i j ) dAj N l + ------------ + “---- N jl + A1A 2 k jQ j + A1A 2 q j = 0;да j да j да , да , J J J J d( A 2Q 1) д( A-iQ 2 ) - I - A1A2k 1N 1 - A1A 2k 2 N 2 + A1A 24 3 = 0;д а 1 да 2 д(A lM j ) дAl д(A j M lj) ' ^ j (3 ) M l + + - M jl - A1A2Q j + A1A 2mj = 0, ( ) да j да j да l да l j j j N 12 — k 2M 21 — N 21 + k 1M 12 = ^ j , l = 1, 2; j ^ l ; 4 j = 0 cj 3(1 + dk1 )(1 + d k 2 ) — о T3, j = 1 ,2 ,3 ; m = д о j-3(1 + dk1)(1 + d k 2 ), j = 1 , 2 . Здесь N , Q , М - усилия и моменты, возникающие в покрытии; А х, А2 , к х, к 2 - коэффициенты Ламе и главные кривизны базисной по­ верхности Б 0. Исключая в выражениях (3) перерезывающие силы и пренебрегая сла­ гаемыми высшего порядка малости (с учетом к ^ , к 2д << 1), представим их следующим образом: т 1 о j' 3 — A1A 2 д(A l N j ) дA , д(Aj S ) дA j L N l + — + — - S + да j да j да t да l + k j д( A iM j ) 'A i d(Aj H ) - M t + 2 - да j да j да i + 2k l A да l H = о j3 j j = 1 ,2 ; l = 3 — j ; T о 33 — 1 A1A2 д а 1 [ ' ( A2 M 1) — dAa M + ' ( A H ) — ^ H Л A 1 ^ д а 1 д а 1 да 2 да 2 y ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1 139 В. А. Шевчук 1 д А1А 2 да 2 1 Гд( А1М 2 ) _ М 1 + д( а 2 н ) + дА2 Н л А 2 ^ д а 2 д а 2 д а 1 д а 1 , + ^ 1Ж1 + к 2 Ж 2 — - °33 + А1А 2 д(А 2 ° 13 ) + д(А1° 2з ) д а 1 где 5 — N 12 _ к 2 М 21 — Ж 21 _ к 1М 12 ; Н — да 2 ) (М 12 + М 21 ) (4) 2 Принимая кинематическую гипотезу недеформируемых нормалей для всего пакета п-слойной оболочки [2 0 ] (что обеспечивает, в частности, авто­ матическое выполнение условий контакта для перемещений (2 а)), но, учи­ тывая при этом нормальные поперечные напряжения согласно [2 0 ], за­ пишем соотношения упругости, т.е. соотношения между усилиями, момен­ тами и компонентами деформации ^ , е 2 , е12, к 1, к 2 , к 12 базисной поверх­ ности в виде Ж 3 — &1 7 е 1 + &Ие 2 + & 2] к 1 + &21к 2 + ; М ] — &2] е 1 + &21 е 2 + &3] к 1 + &31к 2 + М д , 3 — 1,2; 1 — 3 _ 3; (5) 5 — & 13е12 + 2&23к 12; Н — &23е12 + 2&33к 12 , где Жа — С 1° 33 + С 2° 33; М а — О 1° 33 + О 2 ° 33, а жесткостные характеристики 1 _ V 1 V Е; V; 1 _ V з * 1 _ V 2 1 ^п Е 1 Е & 33 — - [ — у 3_ > —— у — — (у ; _ у 3 а з —1 33 2 0 1 + V 27';--1 + V, ; ;_ ^ —1 ,2 ,3 с 1 — У Г ^ й 1 _ V; 3 3 4 4 У ,• _ У ;_1 У ,• _ У ;_1 2д 3 ; с 2 —У ^ ; —1 1 - д ; _ С 1; Д V; О 1 — ^ 1 _ V ; 3 У 4 _ У 4_1 2 у 5 _ у 5_1 4 д 2 5 д X-"4 V О 2 —У — ; —1 1 П V ; У 2 _ У 2_1 ■О, у у 0 2д 140 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 Компоненты деформации отсчетной поверхности раздела тело-покры­ тие связаны с перемещениями этой поверхности соотношениями Расчет напряженного состояния тел ... 1 д и 1 ЗА-, = ----------- 1--------------- V1 + к 1̂ 1; = А1 д«1 А1А2 да 2 1 дУ1 1 дА2 + А2 да 2 А1А2 д а 1 «1 + к 2 ̂ ; А 1 д £ 12 А 2 да 2 V А1) + А 2 д А 1 д а 1 V А 2 ) к -■ 1 д ̂ 1 д^1 \ - к 1 «1 1 дА1 г 1 д^1 1 Л А 1 д а 1 ч А1 д а 1 А1А 2 да 2 к 2 V1 чА 2 да 2 у К 2 =■ 1 д А 2 да 2 1 дWl А 2 да 2 к 2 ̂ 1 1 дА2 А1А2 д а 1 1 дWl А 1 да 1 ■ к 1^1 к 12 = ' А1А 2 Г д 2 ̂ 1 1 дА1 д^1 1 дА2 дн^ д а 1да 2 А1 да 2 д а 1 А2 д а 1 да 2 + + к 1 А 1 д А 2 да 2 М1 ЧА1У + к А 2 д А1 д а 1 V А 2 ) при у - у 0 - 0 . (6 ) Подставляя (5), (6 ) в (4) и учитывая непрерывность смещений на границе тело-покрытие (2 а), получим С С о т 3 - д у о 33 + ь ^ и т + 2 V т + 3 = о у 3 + —- д у о 33 , у = 1,2; А_̂' Ау где (1 - О 2 ̂ )о 33 + ь 31ит + ь 32 V т + ь 33 ̂ т = (1 + О 1А)о 33 А1А 2 [(А2,1 + А 2д 1)о 13 + (А1,2 + А1д 2 )о 23 ]> А - 1 / Г а 2 ^ Г А1 ̂ — д 2 \ д1 V ~ Г д 1V А 1 у + д 2 А1А 2 ч А 2 у) (7) а дифференциальные операторы Ьу{ имеют следующий вид: г - ^11 п 1 ̂ 1\ У + 1 G13 ь у1 - — д Уд 1 - (-1) 7 7 " 3- г 3-1 л Л " у АуА{ А3-уА3- г а а 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, N 1 д 3- уд 3 - 1 ------— д ,• 3 7 3 1 А1А2 ' Л Л А3-1 А уV з ) ду 141 и V V В. A. Шевчук G 13 A1A 2 3 -J ' i л VA3-ly д 3-/ - — д / 3 ] ^ ] AA3-1 ,l V A1A 2 у + G 13 A -3- д 3 - AAl ,3- 1 \ A1A 2 у Gii + Gi3 A1A 2 A J l д A l- д д/ — — д lA ; V J A 2ô „G + iJG13 A1A 2 д A3-J ,J A ;V J У A 2 + J ,3-J A1A 2 21 L] 3 = ' A.3 A д 3 + b i д ;д 3 ; + b i д 2 + — — д ;1 3- 2 A 3- j ' A3-i ,V 3 ] y д 1д2 - 2b / ä !_] + + A2 ь4д / + A2«/ Aj д A I T 3"]3- A A 3-J A ,V J У J д 3-J - Н д/ - 2G13 (kJ - k 3-J )A3-J,] A1A 2 L = G 21 L3J = - "AT A3 д 3 + Ч д/ д 2- / ^ - f д/ A 3- ' A _ л vA3-J y д2 - b7 A j дід 2 + з д3-J A u3-J A 3- , A 2 A 3-J,J A / A 3-j 3- 21 A1A 2 д 1 ----д ; A j ]V V J A A 3-J A ; , ,V J J J + + — д / AJ ] A3- / / V A1A 2 y - д 3- A \ \ J,3-J V A1A 2 j j - b 6 д J - G 21Л AA 3-J,J V A1A 2 y + + 2G 23 A1A д/ (A Jb5 ) + (G 11k 3-/ + G12 k / )A3- 1A 2 A1A 2 , J , l = 1 ,2 ; L33 2 = 1 /= 2 G 31 A j дj - 2Ь1д з + b i д 2д 3-J - 2AJbl/ д 2д 3-J + + b7 AJ,J - A 3-JA J,3-Jд J _ A _ " \ A 3-J yy д J д 3-J + + G31 A1A1A 2 2 д A 3-J . A 3 \ J J A 3- + ^ ~ bJ - 2д з - ' A J,3-J A 2 A3-j w д2 + yy + G 31Л -------д ; A1A 2 / л W A 3-J y A / ) ) д/ - 142 ISSN O556-Î7ÎX. Проблемы прочности, 2OOO, № І Расчет напряженного состояния тел ... 2 0 33 А, А1 А 2 Н д) + дЛ Ф 3! + (к] - к 3 - А / Л Л А 3-] V А] , V - / у 2 ( 0 21 к + С 22 к 3-..) Здесь А1А 2 д 2 + д . А. ] ] А А 3-] А . V 3 ) А 2 ь ] = Ь °1 ,2 ’ Ь 2 А 3- ] _ 3-]Ь] = А 3- 3 д] А3 чА3-]'у 0 ц (к? + к 2 ) + 2012 к хк 2 А1А 2 ; Ь{ = Ь 1 А 3-и \ Ь4 = д] -------д / А1А 2 А А 3-] А,- , , V 3 / ) ■ Ь = —; Ь5 2 5 А 2 ' /А 2ДЛ V \ А1 / + д- А 1,2 А где Ь] = 2023 Ь] + 0 " 1] + 0 -2к3-] ; Ь] 1 6 _ А 5 А 3- А 7 - 3 д 3 - ] (А1 А2) ! А3-] А , I = - Поскольку соотношения (7) связывают компоненты тензора напряже­ ний и вектора перемещений на границе тела с компонентами заданной поверхностной нагрузки, то их можно трактовать как граничные условия на механические переменные тела. Для частного случая напряженно-деформированного состояния, при котором отсутствуют изгибные деформации поверхности раздела тело-по­ крытие К1 = К2 = К12 = 0 , можно получить упрощенный вариант обобщен­ ных граничных условий, в которых будут присутствовать лишь компоненты тензора напряжений. В этом случае ввиду непрерывности тангенциальных деформаций £1 = е1 , £2 = е22 , £12 = 2еТ2 усилия и моменты в покрытии можно выразить лишь через граничные значения тензора деформации тела: М ] = ° 1 ]е1Т1 + ° И е22 + ; £ = 2 0 13 е12 ; М ] = 0 2 ] е 11 + 0 2Iе 22 + ; Н = 2 0 23е12 , ] = 1 ,2 ; 1 = 3 - ] . (8) После подстановки соотношений (8) в уравнения (4) с учетом закона Гука для тела (9) 2 (д ]1 - символ Кронеккера) запишем 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, N 1 143 В. А. Шевчук с °}э + р у1° П + Р ]2° 22 + Р ]3° 33 + Ру4° т2 = ° /3 + А " 3 у ° 33 > у = Ь 2; О + Р 33 33 + Р 3 1 °П + Р 32° 22 + Р 34° 12 = (1 + В 1 ̂ )° 33 - А 1 А 2 [(А2, 1 + А2дО ° 13 + (А 1 ,2 + А 1 д 2 )° 23 ]> ( 10) где дифференциальные операторы р у1 имеют следующий вид: РА = ^ V т ( 0 Ь - 0 1г ) д 7 — 2А 3-у А 1 + V т (-1) 7+1 А А1А 2 Е тА у Е т ( - 1)7+ ^ 13; Ру 3 АУ У т ( 0 11 + 0 12) Е т ду; Р 4 2(1 + V т )^13 / ^ л \ 1 д . у,3-у -------д 3—,■ +------------ \ А 3-у А1А2 у 2 |У т 0 , г - 0 2 т=1 I V I У т 0 2 г — 0 21 -а , ( 1Л Р 3/ = -----1- 2----- д т + (-1) Е А 2т т / 2(1 + V т ) 0 23 Е т А1А 2 'А , Л3—т ,т Ат + + А 2А 0 21 У т 0 2г А т ,т (2 + У т ) 0 2/ (1 + 2у т ) 0 2г А3—т Е А Е А 3—т д т Г + + (0 1/ — У т 0 1г ) к 1 + (0 1г — У т 0 11 )к 2 Е- Р 33 ( 0 21 + 0 22) — В 2 'ч т У т ( 0 11 + 0 12)( к 1 + к 2 ) . Ет . Р 34 4 1 + у А1А 2 Е т т 0 23 А1 2 А2 1 д 1 д 2 + - г ~ д 1 + ~ ^ ~ д 2 + д 1 А 1 А 2 'А , -Л Г А л1,2 V А 1 У 2,1 V А 2 у у у, / = 1 ,2 ; г = 3 — /; 5 = 1 + д у ; г = 3 — 5. После нахождения напряженно-деформированного состояния тела с помощью уравнений трехмерной теории упругости и обобщенных гранич­ ных условий (7) или (10) интегральные усилия и моменты по всему покры­ тию могут быть определены по соотношениям (5) с учетом (6 ) и (2а). 1 1 144 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 Аналогично можно вычислить усилия и моменты отдельно в каждом слое покрытия по формулам Расчет напряженного состояния тел ... ш 1- = — —Ш 3 1 2 1 - V ,• 2 2 У ,• - У г-1 М г = ---- —М 3 Л 2 1 - V 2 (£ 3 + V г £з- 3) 7 * 7 1 1 + (К 3 + V г к з- .■)7 ' 7 ' 1 2 3 + м : Е ■ 0 0 = П(Л + 1 Л (£12д г + К12(УI - У г-1)); 2(1 + V г) Н г = Е г 2 2 з з £ г г - У г-1 , К У г - У г-1 £ 12 , + К 12 т , г = 1 , П ; 3 = 1 , 2 , где (а 33 - а 33 ) ( 3 3 4 4 Л У г - У г-1 У г - У г-1 + а 33 <5г3б д м : = -М Я 1 V г (а 33 - а 33 ) 4 43 У 4 - У 4-1 4 д 2 2 у 5 - у 5- 1Л 5 д 3 + а 33 33 2 V Для случая К1 = к 2 = К12 = 0 напряжения в покрытии определяются формулами а 33( У) = ^с . т а 33 + а 33 1 Г у Л 1 - 2 - с т а 33 - а 33 2 22 Е а 3 (у) = — " 1 Т~[(1 - V гV т )а 3 + (V г ^ т )а и - т (1 + V г)а 33] + Е т (1 - V ,•) + г “ ^ “ а 33( у ) ;1 - V : : Е : (1 + V т ) а 12 = Е (1 + т ) а 1 2 , 3 = 1 , 2 ; I = 3 - 3 ; 0 < у < д, Е т (1 + V г) ( 11) которые следуют из представления касательных тангенциальных напряже­ ний в покрытии через деформации, нормальных тангенциальных напря­ жений - через деформации и нормальные поперечные напряжения согласно [2 0 ] при использовании условий непрерывности тангенциальных дефор­ маций на поверхности раздела тело-покрытие и соотношений закона Гука. ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 145 Отметим, что для данного вывода обобщенных граничных условий в отличие от [1] характерен учет нормальных поперечных напряжений в уравнениях состояния (5). Объясняется это тем, что специфической особен­ ностью большинства реальных задач о нагружении элементов конструкций с тонкими покрытиями является близость значений нормальных поперечных напряжений на границе тела с покрытием и со средой именно в силу малости толщины покрытия по сравнению с соответствующим размером тела. Поэтому необходимо отказаться от статической гипотезы Кирхгофа- Лява. В качестве тестового примера рассмотрим задачу Ламе о нагружении внешним давлением Р закрепленного по торцам от осевых перемещений сплошного цилиндра радиуса Я с я-слойным покрытием. Для этого случая третье обобщенное граничное условие (10) примет вид (первые два удовле­ творяются тождественно) при г = Я В. А. Шевчук (Є н + о п : ЯЕ^ Є 11 - V т Є 12 ЯЕ _ о вв = Р. ( 12) Т Воспользовавшись представлением решения уравнений теории упру­ гости в напряжениях [21] о ТГ = а + Ь / г , овв = а - Ь / г , с учетом условий о Гг | г= о ^ ^ = 0, соотношений закона Гука (9) и обобщенного граничного условия (12) находим Т _ Т о ГГ = о вв 2у п Р 1 + (13) ЯЕ 11 Подставив (13) в (11), имеем Р + о Г 2 1 - 2 г - Я 3 - 1 - 2 г - Я (14) 2 „і Е і (1 - V т - 2У т ^ т о вв = -----------------------о . Е Т (1- V 2 ) + 1 - V і о г (15) о гг Е іУ і (1 - У Т - 2У Т ) о Т + У о гг + Е Т (1 - V 2 ) 1 - V і о г (16) Точное решение поставленной задачи, полученное аналогично подходу [2 2 ], таково: 146 НБЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 Расчет напряженного состояния тел о - ( р = Х г т р ; ° » ( р = ш P; о " (р ) = а д P (17) Здесь X ( р ) = E( Р) (1 + v(P ))(1 - 2v(р )) | i=1 1 + (1 - 2v( р)) % Р E( р ) (1 + v(P ))(1 - 2v(Р )) [ i =1 2 ' 1 - (1 - 2v( р)) ̂ Р 2 Z( р ) = 2E( P )v( Р ) n-1 (1 + v( p ))(1 - 2v( p )) 1 - X a i + 1 f , P = i=1 где i -1 1 h = c i - X a j (c i + d ip 2- 1) ; c i = 2(1 - ) j =2 2(1 v i ) E t- 1(1 + v , )(1 - 2v ,) E t (1 + v i- 1)(1 - 2v — )y r d i = 1 - 2v , 2 ( 1 - v , )p 2 v 1 - E i- 1(1 + v , ) E i (1 + v i- Д ----- [0 , r < ri ; i = 2 , n ; 5 + (p - P i ) = •! > I1, r > ri ■ Для количественного сравнения приближенного и точного решений в табл. 1 и 2 приведены значения межслойных безразмерных окружных на­ пряжений ~ 0Q = о 00 / P, рассчитанных по приближенным формулам (15) и по точным (17) в зависимости от относительной толщины покрытия д / R и относительной жесткости материала покрытия е = E 1 / E T ■ При этом в первом столбце представлены значения напряжений в теле ~ 00 = lim о 00(r ) / P, в остальных - граничные значения ~ 00 = r— R - 0 = lim о 00(r ) / P в i-м слое покрытия. При расчетах принимали n = 3, r—— R+д i—д1 + 0 E 1:E 2 :E 3 = 4:15:2; v T = 0,3, v j = 0,2, v 2 = 0,35, v 3 = 0,4; д 1 = д 2 = 0,5д3 = = 0,25д. Анализ полученных данных показывает, что независимо от величины относительной жесткости покрытия е при д / R < 0,03 приближенное ре­ шение (13), (15) отличается от точного (17) менее чем на 1,5%. Зависимость погрешности получаемого решения лишь от малости толщины покрытия делает предлагаемый подход к расчету напряженно-деформированного со­ стояния тел с тонкими покрытиями более общим по сравнению с описанным в работе [4]. ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1 147 В. А. Шевчук Т а б л и ц а 1 Расчет контактных напряжений в зависимости от относительной толщины покрытия при £ = 0,4 й / К ~3 0,001 1,00013 0,46673 1,42753 0,79054 1,00013 0,46673 1,42815 0,79063 0,010 1,00130 0,46727 1,42910 0,79107 1,00128 0,46726 1,43529 0,79204 0,020 1,00258 0,46787 1,43082 0,79166 1,00260 0,46783 1,44310 0,79357 0,030 1,00384 0,46846 1,43250 0,79223 1,00365 0,46837 1,45079 0,79506 Примечание. Здесь и в табл. 2 в верхних строках приведены значения напряжений, рас­ считанные по приближенным формулам (15), в нижних строках - значения напряжений, рассчитанные по точным формулам (17). Т а б л и ц а 2 Расчет контактных напряжений в зависимости от относительной жесткости материала покрытия при 8/К = 0, 01 £ ~2 ~3 0,1 1,00383 0,30533 0,76327 0,69901 1,00380 0,30532 0,77155 0,70009 1 0,99629 0,78873 2,75075 0,97381 0,99628 0,78872 2,75278 0,97456 10 0,92672 5,25140 21,0989 3,51065 0,92682 5,25198 21,0456 3,50870 100 0,54567 29,6934 121,592 17,3992 0,54610 29,7167 121,315 17,4049 Р е з ю м е Розроблено методику розрахунку напружено-деформованого стану елемен­ тів конструкцій з тонкими багатошаровими покриттями, яка грунтується на моделюванні таких покрить оболонками з відповідними механічними вла­ стивостями покриття. При такому підході вплив покрить на механічний стан всієї системи тіло-покриття описується спеціальними узагальненими гра­ ничними умовами. Ефективність запропонованого підходу ілюструється по­ рівнянням результатів, отриманих за допомогою цього наближеного під­ ходу, з точним розв’язком тестової задачі Ламе про навантаження суціль­ ного циліндру з л-шаровим покриттям. 1. Подстригач Я. С., Шевчук П. Р. Температурные поля и напряжения в телах с тонкими покрытиями // Тепловые напряжения в элементах конструкций. - 1967. - Вып. 7. - С. 227 - 233. 2. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. - М.: Наука, 1983. - 296 с. 148 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 3. Воячек А. И. Расчет упругих тел с поверхностным слоем // Изв. вузов. Машиностроение. - 1986. - № 4. - С. 11 - 15. 4. Пелех Б. Л., Флейшман Ф. Н. Приближенный метод решения задач теории упругости для тел с тонкими криволинейными покрытиями // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1988. - № 5. - С. 3 6 - 4 1 . 5. Ивашко В. С., Луцко Н. Я. Методика расчета напряженно-деформи­ рованного состояния деталей с многослойным покрытием // Порошк. металлургия. - 1988. - № 12. - С. 9 - 13. 6 . Ольшанский В. П. Исследование напряженно-деформированного со­ стояния покрытий при действии локальной нагрузки // Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов: Тез. докл. 3 Всесоюзн. конф. (24 - 26 окт. 1989 г.) - Запорожье, 1989. - С. 140. 7. Сухорольский М. А., Зашкильняк И. М., Колесник В. М., Мусий Р. С. Расчет упругих цилиндрических тел с многослойными покрытиями при силовом и температурном воздействиях // Там же. - С. 198 - 199. 8 . Третьяченко Г. Н., Барило В. Г. Тепловое и напряженное состояние многослойных покрытий // Пробл. прочности. - 1993. - № 1. - С. 41 - 43. 9. Долгов Н. А., Ляшенко Б. А., Рущицкий Я. Я. и др. Влияние различия характеристик упругости основы и покрытия на напряженно-деформи­ рованное состояние композиции. Сообщ. 1 // Там же. - 1995. - № 9. - С. 37 - 44. 10. Долгов Н. А., Ляшенко Б. А., Рущицкий Я. Я. и др. Влияние различия характеристик упругости основы и покрытия на напряженно-деформи­ рованное состояние композиции. Сообщ. 2 // Там же. - 1996. - № 5. - С. 63 - 67. 11. Curtin M. E., Murdoch A. I. Surface stress in solids // Int. J. Solids Structures. - 1978. - 14. - P. 431 - 440. 12. Suhir E. An approximate analysis of stresses in multilayered elastic thin films // Trans. ASME: J. Appl. Mech. - 1988. - 55, N 1. - P. 343 - 348. 13. Vilms L., Kerps D. Simple stress formula for multilayered thin films on a thick substrate // J. Appl. Phys. - 1982. - 53, N 3. - P. 1536 - 1537. 14. Beevers C. E. Some static problems for elastic bodies with a crust // Meccanica. - 1985. - 20, N 1. - P. 38 - 42. 15. Капустин С. А. Численный анализ нелинейных квазистатических процессов деформирования составных конструкций // Прикл. пробл. прочности и пластичности. - 1979. - Вып. 10. - С. 68 - 80. 16. Савула Я. Г., Дыяк И. И., Дубовик А. В. Применение комбинированной модели для расчета напряженно-деформированного состояния про­ странственных конструкций // Прикл. механика. - 1989. - 25, № 9 . - С. 62 - 67. Расчет напряженного состояния тел ... ISSN 0556-171X. Проблемыы прочности, 2000, № 1 149 17. Савула Я. Г., Муха I. С., Дубовик А. В. Адаптивне чисельне моде­ лювання пружних конструкцій // Доп. АН УРСР. - 1993. - № 1. - C. 49 - 53. 18. Surana K. S. Transition finite elements for three dimensional stress analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1980. - 15, N 7. - P. 991 - 1000. 19. Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Методы расчета оболочек. Теория оболочек переменной жесткости. - Киев: Наук. думка, 1981. - Т. 4. - 544 с. 20. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. - М.: Наука, 1972. - 446 с. 21. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с. 22. Вигак В. М., Ригин А. М. Температурные напряжения в многослойном кусочно-однородном цилиндре // Матем. методы и физ.-мех. поля. - 1982. - Вып. 15. - С. 63 - 67. Поступила 01. 04. 98 В. А. Шевчук 150 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1

Ähnliche Einträge