Геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами
Рассмотрен подход к определению компонентов напряженно-деформированного состояния композитных оболочек большого прогиба. Разработана методика решения системы уравнений по определению компонентов напряженно-деформированного состояния с учетом геометрической нелинейности оболочек с переменными геом...
Saved in:
| Date: | 2000 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2000
|
| Series: | Проблемы прочности |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46194 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами / А.О. Рассказов, В.М. Трач, В.Н. Гупалюк // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 128-135. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-46194 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-461942013-06-28T17:43:45Z Геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами Рассказов, А.О. Трач, В.М. Гупалюк, В.Н. Научно-технический раздел Рассмотрен подход к определению компонентов напряженно-деформированного состояния композитных оболочек большого прогиба. Разработана методика решения системы уравнений по определению компонентов напряженно-деформированного состояния с учетом геометрической нелинейности оболочек с переменными геометрическими параметрами. Приведены примеры расчета конической и составной оболочек вращения нулевой гауссовой кривизны переменной вдоль образующей толщины, находящихся под действием внешнего давления. Розглянуто підхід до визначення компонентів напружено-деформованого стану композитних оболонок великого прогину. Розроблено методику розв ’язку системи рівнянь для визначення компонентів напружено-деформованого стану з урахуванням геометричної нелінійності оболонок зі змінними геометричними параметрами. Наведено приклади розрахунку конічної та складеної оболонок обертання нульової гаусової кривизни змінної вздовж твірної товщини, які знаходяться під дією зовнішнього тиску. An approach to the determination of the stress-strain state components for composite shells with large deflection is considered. A procedure for solving a system of equations has been developed to determine the components of the stress-strain state taking into account geometrical non-linearity of shells with variable geometrical parameters. Examples are presented of the calculation of a conical and a compound shells of revolution with zero Guassian curvature varying along the thickness generator, which are subjected to external pressure. 2000 Article Геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами / А.О. Рассказов, В.М. Трач, В.Н. Гупалюк // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 128-135. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46194 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Рассказов, А.О. Трач, В.М. Гупалюк, В.Н. Геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами Проблемы прочности |
| description |
Рассмотрен подход к определению компонентов напряженно-деформированного состояния
композитных оболочек большого прогиба. Разработана методика решения системы уравнений
по определению компонентов напряженно-деформированного состояния с учетом
геометрической нелинейности оболочек с переменными геометрическими параметрами.
Приведены примеры расчета конической и составной оболочек вращения нулевой гауссовой
кривизны переменной вдоль образующей толщины, находящихся под действием внешнего
давления. |
| format |
Article |
| author |
Рассказов, А.О. Трач, В.М. Гупалюк, В.Н. |
| author_facet |
Рассказов, А.О. Трач, В.М. Гупалюк, В.Н. |
| author_sort |
Рассказов, А.О. |
| title |
Геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами |
| title_short |
Геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами |
| title_full |
Геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами |
| title_fullStr |
Геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами |
| title_full_unstemmed |
Геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами |
| title_sort |
геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2000 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46194 |
| citation_txt |
Геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек вращения с переменными геометрическими параметрами / А.О. Рассказов, В.М. Трач, В.Н. Гупалюк // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 128-135. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT rasskazovao geometričeskinelinejnoenaprâžennodeformirovannoesostoâniemnogoslojnyhoboločekvraŝeniâsperemennymigeometričeskimiparametrami AT tračvm geometričeskinelinejnoenaprâžennodeformirovannoesostoâniemnogoslojnyhoboločekvraŝeniâsperemennymigeometričeskimiparametrami AT gupalûkvn geometričeskinelinejnoenaprâžennodeformirovannoesostoâniemnogoslojnyhoboločekvraŝeniâsperemennymigeometričeskimiparametrami |
| first_indexed |
2025-07-04T05:21:22Z |
| last_indexed |
2025-07-04T05:21:22Z |
| _version_ |
1836692520762867712 |
| fulltext |
УДК 539.3
Геометрически нелинейное напряженно-деформированное
состояние многослойных оболочек вращения с переменными
геометрическими параметрами
А. О . Р а с с к а з о в а, В. М . Т р а ч б, В. Н . Г у п а л ю к 6
а Украинский транспортный университет, Киев, Украина
6 Украинская государственная академия водного хозяйства, Ровно, Украина
Рассмотрен подход к определению компонентов напряженно-деформированного состояния
композитных оболочек большого прогиба. Разработана методика решения системы урав
нений по определению компонентов напряженно-деформированного состояния с учетом
геометрической нелинейности оболочек с переменными геометрическими параметрами.
Приведены примеры расчета конической и составной оболочек вращения нулевой гауссовой
кривизны переменной вдоль образующей толщины, находящихся под действием внешнего
давления.
В современных конструкциях, широко используемых в различных
областях машиностроения, наиболее распространенным элементом являют
ся гибкие оболочки вращения с разнообразным очертанием меридиана. Для
снижения их массы могут использоваться, например, композиционные мате
риалы, обладающие низкой сдвиговой жесткостью. Как известно, расчет
конструкций из таких материалов необходимо проводить с помощью уточ
ненных подходов, позволяющих более полно описывать их напряженно-
деформированное состояние.
В настоящей работе рассматривается геометрически нелинейное напря
женно-деформированное состояние (НДС) оболочек вращения с произволь
ной формой образующей, которые состоят из конечного числа слоев пере
менной толщины. Материал слоев ортотропный. Оболочки отнесены к орто
гональной системе координат. Линиями главных кривизн поверхности при
ведения, которая может и не совпадать со срединной поверхностью оболоч
ки, являются координатные линии. Оси же ортотропии совпадают с осями
принятой системы координат. На поверхностях контакта слоев выполня
ются условия, обеспечивающие их совместную работу без отрыва и про
скальзывания.
Для исследования НДС таких оболочек применяется уточненная теория
[1], основанная на совместном использовании кинематических и стати
ческих гипотез о распределении перемещений и изменении поперечных
касательных напряжений по толщине многослойного пакета.
Опираясь на уточненную теорию, согласно принципу Рейсснера, после
варьирования по независимым напряжениям и перемещениям получим сис
тему пяти дифференциальных уравнений равновесия в усилиях в рамках
теории пологих оболочек:
© А. О. РАССКАЗОВ, В. М. ТРАЧ, В. Н. ГУПАЛЮК, 2000
128 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, N 1
(A 2 N 1l ),1 — A2,1N 22 + (A 1N 12),2 + A1,2 N 12 + A1A 2 q 1 = 0;
- A1,2N 11 + (A1N 22 ) ,2 + (A2 N 12 ) ,1 + A2,1 N 12 + A1A 24 2 = 0;
' (A2013 ) ,1 + (A1Q 23 ) ,2 - A1A2k 1N 11 - A1A2к 2N 22 + A1A2q3 = 0; (1)
(A 2M 111 ) ,1 - A2,1M 122 + (A 1M 112 ) ,2 + A1,2M 112 - A1A2 ( Q 11 - m 1 ) = 0;
- A1,2M 211 + (A 1M 222 ) ,2 + (A 2M 212 ) ,1 + A2,1M 212 - A1A2 ( Q 22 - m 2 ) =
где N j , M tjk и Qj-3 , Q j - соответственно мембранные, изгибающие и попе
речные усилия; A - параметры Ламе; к г - кривизны (г, j , к = 1, 2). Запятые
при индексах за скобками обозначают операцию дифференцирования.
Индексы 1 и 2 указывают направление дифференцирования соответственно
по меридиональной S и широтной в координатам.
Разрешающую систему уравнений, описывающую геометрически нели
нейные деформации при равновесии многослойных ортотропных оболочек
вращения, будем искать в смешанной форме. Предварительно перейдем в
этой системе к новым неизвестным функциям, посредством которых наи
более просто можно выполнить условия сопряжения оболочек вращения,
имеющих различные формы образующих, собранных в единую гибкую
упругую систему. Для этого вместо усилий N и , Q 13 и перемещений и , w
введем их линейные комбинации:
N x = cos<pN 11 + sin<pQ 13; N z = sinp N 11 - co spQ 13;
(2 )U x = cos pu + sin pw; U z = sin pu - cos pw, v ’
где N x , N z и U x , U z - соответственно радиальные и осевые усилия и
перемещения.
Преобразуем систему в усилиях с учетом параметров Ламе и кривизн
A 1 = 1, A 2 = R s , к1 = 0, к 2 = sin p R - к виду
(R s cospN x + R s s inp N z ),1 - cosp N 22 + N 12,2 + R s41 = 0 ;
N 22,2 + (R sN 12 ) ,1 + cos p N 12 + R sq 2 = 0 ;
<(R s s inp N x - R s cosp N z ) ,1 + Q 23,2 - s i n p n 22 + R sq 3 = 0 ; (3)
(R sM 111 ) ,1 - cosp M 122 + M 112,2 - R sQ 11 + R sm 1 = 0;
M 222,2 + (R sM 212 ) ,1 + cos p M 212 - R sQ 22 + R sm 2 = 0 .
Для приведения двумерной задачи к одномерной воспользуемся ме
тодом прямых [2]. Прежде всего отметим, что криволинейные ортогональ
ные координаты S и в на недеформированной поверхности неравноправ
ны. Поверхность в направлении в замкнута, поэтому искомое решение по
ней периодическое с периодом 2п. В меридиональном направлении поверх
ность ограничена координатными линиями S = S 0 и S = S n, на которых
зададим граничные условия. С учетом изложенного осуществим по коорди
нате в аппроксимацию частных производных, а по координате S - инте
грирование.
Геометрически нелинейное напряженно-деформированное ...
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1 129
А. О. Рассказов, В. М. Трач, В. П. Гупалюк
Проведем на координатной поверхности I координатных линий в = в г,
2п
где в г = ( г - 1 ) “^ ( г = 1 ,2 ,..., I). Поскольку координатная поверхность
оболочки отображается на плоскости -в в прямоугольную область
Я = {50 < 5 < вп ; 0 < в < 2п}, координатные линии в = в г на этой плоскости
отобразятся в прямые, параллельные оси 5. Допустим, что решение задачи
(1) есть достаточно гладким в окружном направлении и что его можно
представить с помощью следующих приближенных решений вдоль этих I
линий:
дМ(5, в ,•)
д5 = / 5, в , N (5, в ),
дМ(5, в г) д 2 М(5, в г)
дв (4)
?1 ( N (s 0 , в г )) = 0 ; g 2 ( М(5п , в г )) = 0 ( г = 1 ,2 , ..., 1) , (5)
где N (5, в г) - решение на г-й линии.
Частные производные по в в правой части системы (4) заменим при
ближенно разностными отношениями, которые являются линейными комби
нациями решений на линиях в = в г:
дМ(5, в г) = у 1 М( в )
— дв— = 2 аи М (5, в 1 );
д 2 N(5, в г)
дв 2
(6 )
г=1
Коэффициенты а , Ь задаются с помощью формул численного дифференци
рования [2].
Подставим выражения (6) в систему (4), полагая, что N г (5) = N (5, в г).
Тогда исходная двумерная нелинейная задача (1) сводится к одномерной
краевой задаче более высокого порядка, которую можем записать в виде
N
= Г
I I
в , N . , 2 а , 2 Ь
г=1 г=1
(7)
(5о )) = 0 ; g 2 ( N i (5п )) = 0 (г = 1 ,2 , ..., 0 . (8)
Векторы N 1(5), N 2(5),..., N 1 (5) есть решениями исходной краевой задачи
на выбранных координатных линиях в = в г поверхности приведения обо
лочки. Таким образом, исходная двумерная нелинейная задача (1) с помо
щью метода прямых сведена к одномерной нелинейной краевой задаче (7),
(8).
В зависимости от способа выбора коэффициентов а , Ь в аппрокси
мирующих выражениях (6) можем строить одномерные системы уравнений,
которые позволяют получать решение с разной степенью точности.
130 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1
Геометрически нелинейное напряженно-деформированное
Пусть действующая на оболочку нагрузка вызывает только ее осе
симметричное деформирование. В таком случае компоненты напряженно-
деформированного состояния не зависят от окружной координаты и конеч
но-разностные операторы (6 ) превращаются в нуль. Учитывая вышеизло
женное, присоединим к (3) геометрические соотношения
£П = и ,1 + 2 1УІ;
є 22 = С0э р я - 1и + эш -1 р я ^ + 2 -1 у 2 ;
£ 12 = 2 1V ,1 - 2 1 С0 Э р я / у + у 1У 2 ;
к 111 = X 1,1; к 222 = - 2 1 8ІП 1 р я -эх2;
к 122 = Я- 1 соэр х 1; К ц2 = 0 ;
к 211 = 0 ; к 212 = 2-1X 2,1 - 2-1 С0э РХ 2 ;
у 1 = Т ^ 7 2 = Я“ ■
1-1 -1
(9)
После несложных преобразований получим геометрически нелинейную
систему из десяти дифференциальных уравнений нормального вида Коши,
которая описывает геометрически нелинейное напряженно-деформирован
ное состояние многослойных оболочек вращения:
Шх1 = - С0 э рЯ 5 1 Шх + Я - 1 N 22 - С0 э р д 1 - э т р д 3;
N 12,1 = - 2 соэ р я - N 12;
N 2,1 = - С0 эр Я - N 2 - э т р д 1 + С0 эр д 3;
М 111,1 = - С0 Эр я - М 111 + С0 эр я - М 122 + Qll - ті;
М 212,1 = - 2 с0 Э р я - М 212 + Q 22 ;
и х,1 = С0э р єи + ^ п р у 1 - 2 1 у 2;
и в,1 = 2 є 12 + с0э р я - 1и в - у 1У 2 ;
и 2,1 = эш р є 11 - С0 э р у 1 - 2 -1 у;2;
х 1,1 = к 111;
X 2,1 = 2к 212 + я - 1с0Э рХ 2 ■
(10)
Решение системы (1) возможно с учетом граничных условий
в 0у (5о) = ьо; В пу (^ ) = Ьп, (11)
которые могут быть заданы в усилиях, перемещениях или в смешанной
форме и в общем случае - нелинейны.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 131
Реализацию полученной системы проведем при использовании метода
линеаризации. Рассмотрим нелинейную систему обыкновенных дифферен
циальных уравнений
А. О. Рассказов, В. М. Трач, В. П. Гупалюк
сШ
— = / (5, N ), 50 ^ 5 ̂ 5п
а$
( 12)
где N (5) = ^ і ( 5), N 2(5),..., N 1 (5)} с краевыми условиями
Я 1( = 0 Я 2( N (sn )) = 0 (13)
Пусть N (5) - точное решение, N (5) - приближенное, так что можно
представить
N *( 5) = N k (5) + Ш к , (14)
к * где ЛN - малая поправка. Поскольку N (5) - точное решение, то систему
(12) с учетом (14) можно записать в виде
^ = / ( 5, N *) = / ( 5, ^ + М к ).
а$
(15)
На основе формулы Лагранжа вектор-функции / (s, N (5)) в окрест
ности решения N k (5) представим следующим образом:
Ь ̂ Ь д г (5, ^ ) ,
/ (5, ^ + ЛМк ) = / (5, ^ -----ЛМк ,
дN
(16)
д / (5, N )
где с и м в о л а м и — обозначены матрицы Якоби, определяемые по
формулам
У ( N ) =
д / (5, N )
дN
д/ 1 д/ 1 д/ 1
дN 1 Ш 2 Ж 10
д / 2 д / 2 д / 2
дN 1 Ш 2 Ж 10
д/і д/і д/і
дN 1 дN 2 дN 10
(17)
Подставим выражения (16) в (15), полагая при этом, что N = N k+1. В
результате получим систему линейных дифференциальных уравнений:
132 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1
Геометрически нелинейное напряженно-деформированное ...
(18)
с линеиными граничными условиями
В 1( N (50 )) = ь 0 , В 2 ( Ш(яп)) = Ьп. (19)
Пусть известно нулевое приближение N 0 (5). Тогда, решая линеИную
краевую задачу при к = 0 , получим первое приближение, т.е. N '(5).
Полученное решение можно уточнить, и с помощью итерационной
схемы (18) построить последовательность решений исходной задачи ( 12):
Практически итерационный процесс осуществляется до тех пор, пока
не будет выполнено условие
где £ - малая заданная величина для некоторой последовательности зна
чений к.
Таким образом, метод линеаризации позволяет нелинейную краевую
задачу (10), (11) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
свести к последовательности линейных краевых задач (18), (19). Для их
реализации привлекается численный метод Рунге-Кутта с дискретной орто-
гонализацией по Годунову. В целом алгоритм решения задачи о геомет
рически нелинейном напряженно-деформированном состоянии многослой
ных оболочек вращения реализован в виде пакетов прикладных программ
для персональных ЭВМ. Для этого авторами были использованы известные
программные модули [3], а также написаны специальные, учитывающие
специфику решаемых задач. В этих модулях на каждой итерации про
водится: вычисление правой части системы дифференциальных уравнений
по заданной информации о геометрических и механических характеристи
ках оболочечной конструкции; численное решение линейной краевой зада
чи; вычисление в заданных точках всех факторов, характеризующих напря
женно-деформированное состояние оболочечной системы. Предложенный
алгоритм расчета оболочечных систем с учетом геометрической нелиней
ности позволяет рассчитывать оболочки как с постоянными, так и с пере
менными геометрическими параметрами. Для учета последних необходимо
геометрические размеры и физико-механические параметры оболочки опре
делять в каждой точке интегрирования и ортогонализации.
N 0( 5), N 1(5), N 2( 5),..., ^ (5),..., N *( 5),
которая при удачном выборе начального приближения N 0 (5) стремится к
точному решению N (5).
N k+ 1 - N к < е, (2 0 )
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 133
Проиллюстрируем возможности предложенного алгоритма. Рассмотрим
влияние на прогиб посередине образующей трехслойной конической обо
лочки, находящейся под действием равномерного внешнего давления, отно
шения Е | / Е (Е | и Е 5 - модули Юнга несущих слоев и заполнителя).
Закрепление краев оболочки соответствует шарнирно-неподвижному. Ради
ус оболочки Я = 0,2 м, длина Ь = 0,4 м, толщина оболочки изменялась по
закону к = 1 -0 ,0 1 2 5 s; отношение толщины несущего слоя к заполнителю
составляло 1:2,6; модуль Юнга несущего слоя 106 МПа; коэффициент Пуас
сона 0,3; угол полураствора конуса а = 25°. Результаты сравнения расчета
прогиба оболочки, полученные при геометрически линейном и нелинейном
подходах к определению НДС, приведены в таблице. Как видно, при отно
шении Е | / Е 5 < 90 величины прогиба практически совпадают и только с
увеличением Е | / Е^ различие между ними начинает возрастать.
А. О. Рассказов, В. М. Трач, В. Н. Гупалюк
Расчет прогиба посередине конической оболочки в зависимости от Е 1
Е\ / Е Линейный подход Нелинейный подход А,%
1 1,3165 1,3203 0,3
50 5,3956 5,5776 3,4
90 5,5369 6,1792 11,6
100 5,5509 7,7447 39,5
15 35 а , град
Прогибы и усилия посередине цилиндрического и конического отсеков составной оболочки.
134 ШБИ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1
Кроме того, проведено определение прогиба w и мембранных усилий
, N 0 для составной трехслойной расширяющейся оболочки, подвержен
ной действию равномерного внешнего давления. Граничные условия на ее
торцах также приняты шарнирно-неподвижными. Радиус большего осно
вания конической части равен 0,2 м, меньшего - 0,1 м. Для расчета выбрана
оболочка, у которой оставались неизменными наибольший и наименьший
радиусы поверхностей приведения, а также расстояния между краями, рав
ные 0,4 м. В качестве переменной величины выбран угол а. При этом
однозначно изменялись длины образующих конического и цилиндрического
участков. Толщина оболочки в месте сопряжения конического и цилиндри-
—2 —3ческого отсеков равна 10 м, на торцах - 5 10 м. Отношение толщины
несущего слоя к заполнителю 1:2,6; модуль Юнга несущего слоя 1 1 0 5 МПа,
заполнителя - 2 10 МПа; коэффициент Пуассона слоев равен 0,3. Анализ
результатов (рисунок) свидетельствует о том, что наиболее напряженной
частью составной оболочки при данном нагружении является конический
отсек.
Р е з ю м е
Розглянуто підхід до визначення компонентів напружено-деформованого
стану композитних оболонок великого прогину. Розроблено методику роз
в’язку системи рівнянь для визначення компонентів напружено-деформо-
ваного стану з урахуванням геометричної нелінійності оболонок зі змінними
геометричними параметрами. Наведено приклади розрахунку конічної та
складеної оболонок обертання нульової гаусової кривизни змінної вздовж
твірної товщини, які знаходяться під дією зовнішнього тиску.
1. Рассказов А. О., Соколовская И. И., Шульга Н. А. Теория и расчет
слоистых ортотропных пластин и оболочек. - Киев: Вища шк., 1986. -
191 с.
2. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. - М.: Физматгиз,
1962. - Т. 1. - 464 с. - Т. 2. - 620 с.
3. Григоренко Я. М., Крюков Н. Н. Численные решения задач статики
гибких слоистых оболочек с переменными параметрами. - Киев: Наук.
думка, 1988. - 264 с.
Поступила 06. 04. 98
Геометрически нелинейное напряженно-деформированное ...
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 135
|