Максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною
Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричным суперкавитирующим телом по инерции под произвольным углом к горизонту. Начальная скорость и глубина предполагаються фиксированными. Использовались две группы изопериметрических условий при постоянной массе и при постоянной средн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4662 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною / I.Г. Нестерук // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 3. — С. 51-64. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4662 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-46622009-12-18T12:00:38Z Максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною Нестерук, I.Г. Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричным суперкавитирующим телом по инерции под произвольным углом к горизонту. Начальная скорость и глубина предполагаються фиксированными. Использовались две группы изопериметрических условий при постоянной массе и при постоянной средней плотности тела. Получены простые аналитические зависимости для оптимальных формы тела и радиуса кавитатора для случаев фиксированных длины, калибра и объема тела. Рассчитаны максимально возможные значения пройденного пути. Показано, что для восходящего суперкавитационного движения возможно резкое увеличение дальности и выход тела на поверхность при бесконечно малом превышении некоторого критического значения начальной скорости. Рассчитаны соответствующие значение критических чисел Фруда. Проанализированы особенности задач оптимизации в случаях тонких кавитаторов и для входа в воду из атмосферы. Сделаны оценки максимальной дальности для осесимметричных тел, обеспечивающих обтекание без отрыва пограничного слоя и кавитации. Показано, что при достаточно больших числах Рейнольдса они могут быть конкурентноспособными с суперкавитирующими телами. Приведены аналитические формулы для максимальной дальности равномерного суперкавитационного движения. Розглянутi задачi максимизацiї вiдстанi, пройденої осесиметричним суперкавiтуючим тiлом за iнерцiєю пiд довiльним кутом до горизонту. Початковi швидкiсть та глибина вважаються заданими. Використовувались двi групи iзопариметричних умов при сталiй масi та сталiй середнiй густинi тiла. Отриманi простi аналiтичнi залежностi для оптимальних форми тiла i радiуса кавiтатора у випадках фiксованих довжини, калiбру та об'єму тiла. Розрахованi максимально можливi значення пройденого шляху. Показано, що у випадку висхiдного суперкавiтацiйного руху можливе рiзке збiльшення дальностi та вихiд тiла на поверхню при нескiнченно малому перевищеннi деякого критичного значення початкової швидкостi. Розрахованi вiдповiднi значення критичних чисел Фруда. Проаналiзовано особливостi задач оптимiзацiї у випадках тонких кавiтаторiв та для входу до води з атмосфери. Зроблено оцiнки максимальної дальностi для осесиметричних тiл, що забезпечують обтiкання без вiдриву примежового шару та кавiтацiї. Показано, що при достатньо великих числах Рейнольдса вони можуть бути конкурентноспроможними з суперкавiтуючими тiлами. Наведi аналiтичнi формули для максимальної дальностi рiвномiрного суперкавiтацiйного руху. Maximum range problems are considered for the supercavitating motion of the axisymmetric body on inertia under an arbitrary angle to horizon. The starting velocity and depth are accepted as fixed. Two groups of isoperimetric conditions were used: with the constant body mass and with the constant average body density. Simple analitic relations for the optimal body shapes and the cavitator radius were obtained for the cases of the fixed length, caliber and volume of the body. The maximum possible values of the range are calculated. For the upward supercavitating motion, it was shown that infinite small exceeding of some critical value of the starding velocity can cause a jump of the range and coming to the water surface. The corresponding values of the critical Froude number are calculated. The peculiarities of the optimization problems in the cases of the slender cavitators and the entrance into the water from atmosphere are analysed. The maximum range of axisymmetric bodies, which provide the flow pattern without boundary layer separation and cavitation, is estimated. It is shown that at high Reynolds numbers these bodies can be preferable in comparison with the supercavitating ones. Analitical formulas for the maximum range of the steady supercavitating movement. 2008 Article Максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною / I.Г. Нестерук // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 3. — С. 51-64. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4662 532.528 uk Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричным суперкавитирующим телом по инерции под произвольным углом к горизонту. Начальная скорость и глубина предполагаються фиксированными. Использовались две группы изопериметрических условий при постоянной массе и при постоянной средней плотности тела. Получены простые аналитические зависимости для оптимальных формы тела и радиуса кавитатора для случаев фиксированных длины, калибра и объема тела. Рассчитаны максимально возможные значения пройденного пути. Показано, что для восходящего суперкавитационного движения возможно резкое увеличение дальности и выход тела на поверхность при бесконечно малом превышении некоторого критического значения начальной скорости. Рассчитаны соответствующие значение критических чисел Фруда. Проанализированы особенности задач оптимизации в случаях тонких кавитаторов и для входа в воду из атмосферы. Сделаны оценки максимальной дальности для осесимметричных тел, обеспечивающих обтекание без отрыва пограничного слоя и кавитации. Показано, что при достаточно больших числах Рейнольдса они могут быть конкурентноспособными с суперкавитирующими телами. Приведены аналитические формулы для максимальной дальности равномерного суперкавитационного движения. |
| format |
Article |
| author |
Нестерук, I.Г. |
| spellingShingle |
Нестерук, I.Г. Максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною |
| author_facet |
Нестерук, I.Г. |
| author_sort |
Нестерук, I.Г. |
| title |
Максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною |
| title_short |
Максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною |
| title_full |
Максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною |
| title_fullStr |
Максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною |
| title_full_unstemmed |
Максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною |
| title_sort |
максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4662 |
| citation_txt |
Максимiзацiя дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою початковою глибиною / I.Г. Нестерук // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 3. — С. 51-64. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT nesterukig maksimizaciâdalʹnostisuperkavitacijnogoruhuzainerciêûzfiksovanoûpočatkovoûglibinoû |
| first_indexed |
2025-07-02T07:54:14Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:54:14Z |
| _version_ |
1836520943012282368 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
УДК 532.528
МАКСИМIЗАЦIЯ ДАЛЬНОСТI СУПЕРКАВIТАЦIЙНОГО
РУХУ ЗА IНЕРЦIЄЮ
З ФIКСОВАНОЮ ПОЧАТКОВОЮ ГЛИБИНОЮ
I. Г. Н ЕСТ ЕРУ К
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Отримано 19.11.2007
Розглянутi задачi максимизацiї вiдстанi, пройденої осесиметричним суперкавiтуючим тiлом за iнерцiєю пiд довiль-
ним кутом до горизонту. Початковi швидкiсть та глибина вважаються заданими. Використовувались двi групи
iзопариметричних умов при сталiй масi та сталiй середнiй густинi тiла. Отриманi простi аналiтичнi залежностi для
оптимальних форми тiла i радiуса кавiтатора у випадках фiксованих довжини, калiбру та об’єму тiла. Розрахованi
максимально можливi значення пройденого шляху. Показано, що у випадку висхiдного суперкавiтацiйного руху
можливе рiзке збiльшення дальностi та вихiд тiла на поверхню при нескiнченно малому перевищеннi деякого кри-
тичного значення початкової швидкостi. Розрахованi вiдповiднi значення критичних чисел Фруда. Проаналiзовано
особливостi задач оптимiзацiї у випадках тонких кавiтаторiв та для входу до води з атмосфери. Зроблено оцiн-
ки максимальної дальностi для осесиметричних тiл, що забезпечують обтiкання без вiдриву примежового шару та
кавiтацiї. Показано, що при достатньо великих числах Рейнольдса вони можуть бути конкурентноспроможними з
суперкавiтуючими тiлами. Наведi аналiтичнi формули для максимальної дальностi рiвномiрного суперкавiтацiйного
руху.
Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричным суперкавитирующим телом по инер-
ции под произвольным углом к горизонту. Начальная скорость и глубина предполагаються фиксированными.
Использовались две группы изопериметрических условий при постоянной массе и при постоянной средней плот-
ности тела. Получены простые аналитические зависимости для оптимальных формы тела и радиуса кавитатора
для случаев фиксированных длины, калибра и объема тела. Рассчитаны максимально возможные значения прой-
денного пути. Показано, что для восходящего суперкавитационного движения возможно резкое увеличение дально-
сти и выход тела на поверхность при бесконечно малом превышении некоторого критического значения начальной
скорости. Рассчитаны соответствующие значение критических чисел Фруда. Проанализированы особенности задач
оптимизации в случаях тонких кавитаторов и для входа в воду из атмосферы. Сделаны оценки максимальной даль-
ности для осесимметричных тел, обеспечивающих обтекание без отрыва пограничного слоя и кавитации. Показано,
что при достаточно больших числах Рейнольдса они могут быть конкурентноспособными с суперкавитирующи-
ми телами. Приведены аналитические формулы для максимальной дальности равномерного суперкавитационного
движения.
Maximum range problems are considered for the supercavitating motion of the axisymmetric body on inertia under an
arbitrary angle to horizon. The starting velocity and depth are accepted as fixed. Two groups of isoperimetric conditions
were used: with the constant body mass and with the constant average body density. Simple analitic relations for the
optimal body shapes and the cavitator radius were obtained for the cases of the fixed length, caliber and volume of
the body. The maximum possible values of the range are calculated. For the upward supercavitating motion, it was
shown that infinite small exceeding of some critical value of the starding velocity can cause a jump of the range and
coming to the water surface. The corresponding values of the critical Froude number are calculated. The peculiarities of
the optimization problems in the cases of the slender cavitators and the entrance into the water from atmosphere are
analysed. The maximum range of axisymmetric bodies, which provide the flow pattern without boundary layer separation
and cavitation, is estimated. It is shown that at high Reynolds numbers these bodies can be preferable in comparison with
the supercavitating ones. Analitical formulas for the maximum range of the steady supercavitating movement.
ВСТУП
Аналiз задач суперкавiтацiйного руху за iнерцi-
єю ускладнюється вiдсутнiстю точних розв’язкiв
та нестацiонарним характером течiї. Разом з тим,
у деяких випадках високошвидкiсного руху iснує
дiапазон квазистацiонарного обтiкання з фiксова-
ним значенням опору тиску, коли можна кори-
стуватись вiдомими спiввiдношеннями для форми
стацiонарної каверни в невагомiй рiдинi, напри-
клад [1]. В статтях [2 – 5] розглянуто низку задач
оптимiзацiї пройденого за iнерцiєю шляху в режи-
мi горiзонтального суперкавiтацiйного руху. В ро-
ботах [6,7] вперше проаналiзовано випадок негорi-
зонтального руху кавiтуючого тiла i було показа-
но, що розв’язок залежить вiд iзопериметричних
умов. Дана стаття присвячена задачам з фiксова-
ною початковою глибиною для високошвидкiсного
руху тiла у водi пiд довiльним кутом до горизонту.
Обмежимося випадком малих чисел кавiтацiї та
великих чисел Фруда:
σ =
2(p∞ − pc)
ρU2
<< 1, Fr =
U√
g L
>> 1, (1)
де ρ – густина води; U – поточна швидкiсть тiла;
p∞ – тиск у водi далеко вiд перерiзу початку ка-
верни на глибинi його руху; pc – тиск у кавернi,
який можна вважати сталим через велику рiзницю
у густинах води та газiв, що заповнюють каверну;
L – довжина каверни.
c© I.Г.Нестерук, 2008 51
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
Рiвняння прямолiнiйного руху тiла за iнерцiєю
та умову квазiстацiонарностi можна записати у ви-
глядi (див., наприклад, [8]):
m
dU
dt
= −ρU2CxπR2
n
2
− mg sin γ, (2)
L
U2
∣
∣
∣
∣
dU
dt
∣
∣
∣
∣
<< 1, (3)
де m – маса тiла; Rn – радiус кавiтатора; Cx – ко-
ефiцiєнт кавiтацiйного опору; γ – кут руху тiла по
вiдношенню до горизонту (γ > 0 для руху догори).
З рiвнянь (2), (3) випливає, що для великих чисел
Фруда (при виконаннi другого обмеження (1)) те-
чiю можна вважати квазiстацiонарною, якщо
ρCxπR2
nL
2ρbVb
<< 1, (4)
де Vb – об’єм тiла; ρb = m/Vb – середня густи-
на тiла. Оскiльки Cx < 1, величини ρb = ρb/ρ та
Vb/(πR2
nL) в бiльшостi випадкiв значно перевищу-
ють одиницю, то умова (4), як правило, викону-
ється. Для дуже тонких кавiтаторiв недостатньо
велики значення величини Vb/(πR2
nL) компенсую-
ться меншими величинами опору (наприклад, за
отриманою в [9] формулою коефiцiєнт опору при
нульовому числi кавiтацiї Cx0 для конiчних кавiта-
торiв з кутом при вершинi менше 10o не перевищує
0, 029). Обмежимося в подальшому випадками, ко-
ли умова (4) виконується.
Окрiм того, будемо нехтувати впливом сили тя-
жiння порiвняно з силою гiдродинамiчного опору,
тобто вважати число Фруда достатньо великим,
щоб виконувалась умова
Fr2ρCxπR2
nL
2ρbVb
>> 1, (5)
яку можна отримати з рiвняння (2). Тодi, якщо
додатково вважати коефiцiєнт кавiтацiйного опо-
ру Cx сталим, то рiвняння руху (2) легко iнтегрує-
ться i пройдений тiлом шлях S визначається фор-
мулою (див. [2 – 5])
S =
2m
ρCxπR2
n
ln
U0
U
, (6)
де U0 – фiксована початкова швидкiсть тiла; U–
кiнцева швидкiсть тiла, при якiй вiдбувається його
замивання водою (припинення суперкавiтацiйного
режиму обтiкання i зупинка).
Формула (6) дозволяє проаналiзувати питання
максимизацiї пройденого шляху для рiзних iзопе-
рiметричних умов. Зокрема, для випадку горизон-
тального руху деякi з таких задач розглядались
в [2 – 5]. В данiй роботi сформулюванi та розв’я-
занi декiлька задач оптимiзацiї за умови, що крiм
початкової швидкостi U0 фiксованою є початкова
глибина h0. При цьому найбiльш цiкавими є п’ять
iзопериметричних задач, подiбних до розглянутих
в [7]. А саме, окрiм початкових швидкостi та гли-
бини можна вважати також фiксованими:
1. Масу та калiбр тiла Db;
2. Масу та довжину тiла Lb;
3. Масу та об’єм тiла Vb або еквiваленту задачу з
фiксованими середньою густиною та об’ємом тiла;
4. Середню густину та калiбр тiла;
5. Середню густину та довжину тiла.
Тодi з формули (6) випливають висновки щодо
оптимальної форми тiла (докладний аналiз можна
знайти в [7]). Для iзоперiметричної задачi 1 калiбр
оптимального тiла повинен збiгатися з максималь-
ним радiусом каверни в момент замивання. Для
задачi 2 довжина оптимального тiла повинна збi-
гатися з довжиною каверни в момент замивання.
Iнших обмежень на форму оптимальних тiл в цих
задачах немає, при умовi, що вони вписуються в
каверну в момент замивання. Приклади оптималь-
них тiл для задач 1 та 2 наведенi в [7]. Для iзопе-
рiметричних задач 3–5 форма оптимального тiла
збiгається з формою каверни в момент замивання.
Вiдповiдно об’єм оптимального тiла Vb дорiвнює
об’єму каверни V в момент замивання. Слiд за-
уважити, що задачу 5 вже розв’язано в [6].
Таким чином, задача максимiзацiї шляху пра-
ктично зводиться до визначення форми каверни
в момент замивання, яка, в свою чергу, залежить
вiд особливостей суперкавiтацiйного режиму обтi-
кання, аналiз яких у загальному випадку вимагає
неабияких зусиль. У данiй роботi розглядатиму-
ться лише два важливi для практики випадки:
1.Парова кавiтацiя (без пiддуву газу в каверну)
з тиском pc набагато меншим вiд атмосферного.
Додатково будемо вважати, що сила тяжiння ма-
ло впливає на форму та розмiри каверни, тобто
виконується умова σFr2 >> 1 (див. [8]), перетво-
рення якої з врахуванням (1) дає
ρgL
2(p∞ − pc)
≈ L
2(h + 10)
<< 1, (7)
де глибина руху кавiтатора h та L вимiрюються в
метрах.
2. Вхiд тiла у воду з атмосфери пiсля початкової
стадiї перетину вiльної поверхнi. В цьому випадку
форма каверни є суттево нестацiонарною, нехту-
вати силами тяжiння не можна, та умова (7) не
виконується.
В данiй роботi зроблено також спробу порiвня-
ти максимальнi вiддалi, що забезпечують тонкi та
52 I.Г.Нестерук
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
нетонкi кавiтатори, а також тiла, що обтiкаються
в безвiдривному режимi. Розглянуто також рiв-
номiрний суперкавiтацiйний рух з реактивною тя-
гою.
1. ОПТИМАЛЬНI ТIЛА
З НЕТОНКИМИ КАВIТАТОРАМИ
Будемо вважати, що вимоги (1), (4), (5), (7) ви-
конуються, i скористаємось напiвемпiричними за-
кономiрностями для стацiонарних видовжених ка-
верн за нетонкими кавiтаторами з поточним зна-
ченням числа кавiтацiї [1]:
R
2
=
x(1 − x)
λ2
, (8)
λ =
L
D
=
√
− lnσ
σ
, (9)
D
Rn
= 2
√
Cx
σ
, (10)
L
Rn
=
2
√
−Cx lnσ
σ
, (11)
де R = R/L – безрозмiрний радiус перерiзу кавер-
ни; x = x/L – поздовжня координата; λ – видовже-
ння каверни; D – максимальний дiаметр каверни;
L – довжина каверни.
1.1. Максимальнi значення
дальностi для рiзних
iзопериметричних умов
Рiвняння для дальностi (6) можна перетворити
з використанням (8)–(11) та виразу для числа ка-
вiтацiї
σ =
2g(h1 − S sin γ)
U2
0 U
2 , U =
U
U0
. (12)
Тут i в подальшому початкова глибина h0 та h1 =
10 + h0 вимiрюються в метрах.
Для iзопериметричних задач 1–5 можна отри-
мати вiдповiдно:
1. Фiксованi маса та калiбр тiла Db = D –
S(h1 − S sinγ) = − 4
π
U
2
lnU, (13)
S =
SD
U0
√
ρg
m
, h1 =
h1D
U0
√
ρg
m
; (14)
2. Фiксованi маса та довжина тiла Lb = L –
S(h1 − S sin γ)2 =
2
π
U
4
lnU lnσ, (15)
S =
Sρ1/3L2/3g2/3
m1/3U
4/3
0
, (16)
h1 =
h1ρ
1/3L2/3g2/3
m1/3U
4/3
0
;
3. Фiксованi маса та об’єм тiла Vb = V або фi-
ксованi середня густина та об’єм тiла –
S(h1 − S sin γ)4/3 =
2U
8/3
lnU(lnσ)1/3
π1/332/3
, (17)
S =
Sρ3/7V 2/7g4/7
m3/7U
8/7
0
, (18)
h1 =
h1ρ
3/7V 2/7g4/7
m3/7U
8/7
0
;
4. Фiксованi середня густина та калiбр тiла–
S(h1 − S sin γ)3/2 = −
√
2
3
U
3
lnU
√
− lnσ, (19)
S =
Sg3/5
D2/5ρ
2/5
b U
6/5
0
, h1 =
h1g
3/5
D2/5ρ
2/5
b U
6/5
0
; (20)
5. Фiксованi середня густина та довжина тiла–
S(h1 − S sin γ) = − 4
π
U
2
lnU, (21)
S =
S
U0
√
6g
πLρb
, h1 =
h1
U0
√
6g
πLρb
. (22)
У рiвняннях (15), (17), (19) можна замiнити ве-
личину lnσ на близьке значення lnσ0, де початко-
ве число кавiтацiї задається формулою
σ0 =
2gh1
U2
0
.
Спiввiдношення (13), (15), (17), (19), (21) свiд-
чать, що безрозмiрна дальнiсть S залежить лише
вiд безрозмiрних початкової глибини h1, кiнцевої
швидкостi U та кута γ (для задач 2–4 є ще залеж-
нiсть вiд початкового числа кавiтацiї). При цьо-
му для кожної iзопериметричної задачi безрозмiр-
нi дальнiсть та початкова глибина визначаються
рiзними формулами (див. (14), (16), (18), (20),
(22)). Рiвняння (13) та (21) збiгаються за рахунок
спецiально пiдiбраних сталих при визначеннi без-
розмiрних величин S та h1 у спiввiдношеннях (22),
I.Г.Нестерук 53
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
тому в подальшому аналiзi задачi 1 та 5 можна об’-
єднувати.
Для визначення максимального пройденого за
iнерцiєю шляху продиференцiюємо обидвi части-
ни рiвнянь (13), (15), (17), (19) по U . Тодi для
зазначених iзопериметричних задач легко отрима-
ти:
1 або 5. Фiксованi маса та калiбр тiла або фiксо-
ванi середня густина та довжина тiла –
S
′
[
h1 − 2S sin γ
]
= − 4
π
U
(
1 + 2 lnU
)
. (23)
2. Фiксованi маса та довжина тiла –
S
′
(
h1 − S sin γ
) [
h1 − 3S sin γ
]
= (24)
=
2 lnσ0
π
U
3
(1 + 4 lnU);
3. Фiксованi маса та об’єм тiла або фiксованi се-
редня густина та об’єм тiла –
S
′
(
h1 − S sin γ
)1/3
[
h1 −
7
3
S sinγ
]
= (25)
=
2(lnσ0)
1/3
π1/332/3
U
5/3
(
1 +
8
3
lnU
)
;
4. Фiксованi середня густина та калiбр тiла –
S
′
√
h1 − S sin γ
[
h1 −
5
2
S sin γ
]
= (26)
= −
√
−2 lnσ0
3
U
2
(1 + 3 lnU).
Для руху донизу (γ ≤ 0) квадратнi дужки в
лiвих частинах рiвнянь (23)–(26) завжди додатнi.
Для руху догори (γ > 0) вони можуть бути та-
кож вiд’ємними, але розглянемо спочатку випадок
великих початкових глибин, достатнiх для того,
щоб вирази у квадратних дужках у правих части-
нах рiвнянь (23)–(26) були додатними. Тодi ма-
ксимальна дальнiсть досягатиметься при значен-
нях кiнцевої швидкостi U
∗
, що вiдповiдають нулям
правих частин цих рiвнянь. Отже для задач 1 (або
5) та 2:
U
∗
= e−0,5; U
∗
= e−0,25 ≈ 0, 78, (27)
а для задач 3 та 4 вiдповiдно:
U
∗
= e−0,375 ≈ 0, 68; U
∗
= e−1/3 ≈ 0, 72. (28)
Отриманi оптимальнi значення кiнцевої швид-
костi збiгаються або є близькими до вiдповiдних
величин U
∗
для задач з фiксованою кiнцевою гли-
биною [6,7]. Пiдстановка виразiв (27), (28) у спiв-
вiдношення (13), (15), (17), (19) дозволяють отри-
мати наступнi рiвняння для значень максимальної
дальностi S
∗
для рiзних iзопериметричних умов:
1 або 5. Фiксованi маса та калiбр тiла або фiксо-
ванi середня густина та довжина тiла –
S
∗
(h1 − S
∗
sin γ) =
2
eπ
; (29)
2. Фiксованi маса та довжина тiла –
S
∗
(h1 − S
∗
sin γ)2 = − lnσ0
2eπ
; (30)
3. Фiксованi маса та об’єм тiла або фiксованi се-
редня густина та об’єм тiла –
S
∗
(h1 − S
∗
sinγ)4/3 = −31/3(lnσ0)
1/3
4eπ1/3
; (31)
4. Фiксованi середня густина та калiбр тiла–
S
∗
(h1 − S
∗
sin γ)3/2 =
√
−2 lnσ0
9e
. (32)
Рiвняння (29) є квадратним, тому розв’язок за-
дач 1 або 5 задається формулами:
S
∗
=
2
eπh1
, γ = 0; (33)
S
∗
=
h1
2 sinγ
(1 −
√
1 − 8 sinγ
eπh
2
1
), γ 6= 0. (34)
Нелiнiйнi рiвняння (30)–(32) можна розв’язати
чисельно. Приклади розрахункiв за рiвняннями
(30)–(34) для рiзних значень кута руху γ наве-
денi на рис. 1–4 суцiльними лiнiями. Видно, шо
для фiксованої початкової глибини максимальна
дальнiсть зростає при збiльшеннi кута γ вiд −90o
до +90o, але для значень безрозмiрної початкової
глибини h1 > 1, 5 цi вiдмiнностi стають малими.
В той час, як для малих значень h1 максимальна
дальнiсть горизонтального руху може значно пе-
ревищувати вiдповiднi значення при руховi донизу
γ < 0. Слiд також вiдзначити подiбний характер
залежностей S
∗
(h1) для рiзних iзопериметричних
задач. З рис. 1–4 також видно, що рiвняння (29)
мають розв’язки i для вiд’ємних значень парамет-
ра h1. Фiзичний змiст таких розв’язкiв буде обго-
ворюватись у наступних роздiлах.
54 I.Г.Нестерук
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
Рис. 1. Залежностi максимальної дальностi та
оптимального числа кавiтацiї для задач 1 (фiксованi
маса та калiбр тiла) або 5 (фiксованi середня густина
та довжина тiла)
Рис. 2. Залежностi максимальної дальностi та
оптимального числа кавiтацiї для задачi 2 (фiксованi
маса та довжина тiла, σ0 = 0, 01)
1.2. Оптимальнi значення
кiнцевого числа кавiтацiї
та критичнi початковi глибини
Оптимальнi значення кiнцевого числа кавiтацiї
σ∗, що визначають форму оптимального тiла, мо-
жна знайти за допомогою рiвняння (12):
σ∗ =
2g(h1 − S∗ sin γ)
U2
0 (U
∗
)2
. (35)
Якщо скористатись безрозмiрними величинами
S
∗
, h1, що визначаються рiвняннями (14), (16),
(18), (20), (22), та спiввiдношеннями (27), (28)
для оптимальних значень кiнцевої швидкостi U
∗
,
то рiвняння (35) можна записати в iнварiантному
безрозмiрному виглядi
σ∗ = h1 − S
∗
sin γ, (36)
де безрозмiрне оптимальне кiнцеве число кавiтацiї
Рис. 3. Залежностi максимальної дальностi та
оптимального числа кавiтацiї для задачi 3 (фiксованi
маса та об’єм тiла або фiксованi середня густинаю та
об’єм тiла, σ0 = 0, 01)
Рис. 4. Залежностi максимальної дальностi та
оптимального числа кавiтацiї для задачi 4 (фiксованi
середня густина та калiбр тiла, σ0 = 0, 01)
σ∗ для iзопериметричних задач 1–5 обчислюється
вiдповiдно до таких формул:
1. Фiксованi маса та калiбр тiла –
σ∗ =
σ∗DU0
2
√
ρ
gm
; (37)
2. Фiксованi маса та довжина тiла –
σ∗ =
σ∗ρ1/3L2/3U
2/3
0
2
√
eg1/3m1/3
; (38)
3. Фiксованi маса та об’єм тiла або фiксованi се-
редня густина та об’єм тiла –
σ∗ =
σ∗ρ3/7V 2/7U
6/7
0
2e0,75m3/7g3/7
; (39)
4. Фiксованi середня густина та калiбр тiла –
I.Г.Нестерук 55
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
σ∗ =
σ∗U
4/5
0
2e2/3D2/5ρ
2/5
b g2/5
; (40)
5. Фiксованi середня густина та довжина тiла –
σ∗ =
√
6σ∗U0
2e
√
πgLρb
. (41)
Пiсля визначення безрозмiрного кiнцевого чис-
ла кавiтацiї за унiверсальним спiввiдношенням
(36) можна за однiєю з формул (37)–(41), що вiд-
повiдає заданiй iзопериметричнiй задачi, розраху-
вати оптимальне значення кiнцевого числа кавiта-
цiї σ∗, а далi за рiвняннями (8)–(11) – оптимальнi
розмiри кавiтатора, оптимальнi габаритнi розмiри
тiла та його оптимальну форму.
Проста залежнiсть (36) для рiзних iзопериме-
тричних задач та кутiв руху тiла по вiдношенню
до горизонту показана на рис. 1–4 штриховими
лiнiями. Видно, шо для фiксованої безрозмiрної
початкової глибини безромiрнi оптимальнi числа
кавитацiї зменшуються при збiльшеннi кута γ вiд
−90o до +90o. Слiд також вiдзначити подiбний ха-
рактер залежностей σ∗(h1) для рiзних iзопериме-
тричних задач.
Для додатнiх значень кута γ (рух тiла догори)
розв’язки рiвннянь (29)–(32) iснують не для всiх
h1, а лише для значень, бiльших певного крити-
чного, див. рис. 1–4. Цi критичнi значення зале-
жать лише вiд кута γ (для задач 2–4 iснує ще
слабка залежнiсть вiд величини lnσ0). Досягнен-
ня критичного значення початкової глибини свiд-
чить, що тiло виходить з води в режимi суперка-
вiтацiї (без замивання). Тому дальнiсть для руху
догори з початковими глибинами, меншими кри-
тичного значення, практично задається простим
геометричним спiввiдношенням
S =
h0
sin γ
.
Цим фактом пояснюється також дещо особливий
характер кривих, що вiдповiдають горизонтально-
му руху (γ = 0). Значно бiльшi значення дально-
стi обумовленi неможливостю досягнення поверхнi
води в цьому випадку.
Зупинимося докладнiше на визначеннi крити-
чних значень безрозмiрної початкової глибини для
рiзних iзопериметричних задач. З рiвнянь (23)–
(26) видно, що для руху тiла догори (γ > 0) ви-
рази у квадратних дужках у лiвих частинах цих
рiвнянь можуть прямувати до нуля, що призво-
дить до нескiнченних значень похiдної S
′
, тоб-
то нескiнченно великому зростанню дальностi при
нескiнченно малому зростаннi величини U . Крити-
чнi значення безрозмiрної початкової глибини мо-
жна знайти шляхом занулення виразiв у квадра-
тних дужках рiвнянь (23)–(26). Тодi для задач 1
(або 5) та 2:
h1 = 2S sin γ, h1 = 3S sin γ, (42)
а для задач 3 та 4:
h1 =
7
3
S sin γ, h1 =
5
2
S sin γ. (43)
Пiдстановка спiввiдношень (42), (43) в (29)–(32)
дозволяє визначити критичнi значення безрозмiр-
ної початкової глибини h
(cr)
1 для оптимальних тiл
в рiзних iзопериметричних задачах:
1 або 5. Фiксованi маса та калiбр тiла або фiксо-
ванi середня густина та довжина тiла –
h
(cr)
1 =
√
8 sin γ
eπ
; (44)
2. Фiксованi маса та довжина тiла –
h
(cr)
1 = −3
2
[
lnσ0 sin γ
eπ
]1/3
; (45)
3. Фiксованi маса та об’єм тiла або фiксованi се-
редня густина та об’єм тiла –
h
(cr)
1 = −7(sin γ)3/7(lnσ0)
1/7
4e3/732/7π1/7
; (46)
4. Фiксованi середня густина та калiбр тiла–
h
(cr)
1 = −5(sin γ)0,4(lnσ0)
0,2
31,420,2e0,4
. (47)
Слiд зауважити, що формула (44) вiдповiдає
отриманому в [6] спiввiдношенню. Значення h
(cr)
1
для рiзних iзопериметричних задач та кутiв γ =
30o та γ = 90o можна побачити на рис. 1–4. Iсну-
вання критичних значень глибини доводять також
розрахунки за допомогою комп’ютерної програми
SCAV, розробленої в Iнститутi гiдромеханiки НАН
України (див. [10, 11]). З формул (44)–(47) випли-
ває, що критичне значення початкої глибини на-
ближається до нуля при прямуваннi γ до нуля.
2. МАКСИМАЛЬНА ДАЛЬНIСТЬ
ДЛЯ ТОНКИХ КАВIТАТОРIВ
Наведений в попередньому роздiлi аналiз свiд-
чить, що оптимальнi значення дальностi та чис-
ла кавiтацiї, а також критичнi величини для по-
чаткової глибини не залежать вiд форми кавiтато-
56 I.Г.Нестерук
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
ра. Отриманi формули не мiстять коефiцiєнта опо-
ру тиску Cx i є iнварiантними для всiх нетонких
кавiтаторiв, для яких справедливi напiвемпiричнi
залежностi (8)–(11). Форма кавiтатора має значе-
ння лише для визначення його оптимального радi-
уса. При цьому для бiльших значень Cx слiд вико-
ристовувати меньшi кавiтатори i навпаки – бiльш
тонкi кавiтатори мають бiльшi оптимальнi розмi-
ри (див. рiвняння (10), (11)).
У зв’язку з цим виникає питання про ефектив-
нiсть тонких кавiтатрiв, для яких замiсть зале-
жностей (8)–(11) можна користуватись наведени-
ми в [8,9] результатами для форми тонкої каверни
в першому наближеннi та опору тиску тонкого ка-
вiтатора:
R2
R2
n
=
σ
2 lnβ
x2
R2
n
+ 2β
x
Rn
+ 1, (48)
Cx ≈ Cx0 = −2β2 [ln(0, 5β) + 1], (49)
де β – похiдна вiд радiуса кавiтатора в точцi по-
чатку каверни x = 0 (для конiчного кавiтатора β
дорiвнює тангенсу напiвкута при вершинi θ).
Рiвняння першого наближення (48) дозволяє ви-
значити максимальний дiаметр каверни
D2
R2
n
= 4
(
1 − 2β2 lnβ
σ
)
, (50)
а для добутку CxR2
n, що фiгурує у формулi для
дальностi (6), отримати вираз
CxR2
n = −D2β2[ln(0, 5β) + 1]σ
2(σ − 2β2 lnβ)
. (51)
Якщо обмежитись першою iзопериметричною
задачею (фiксованi маса та калiбр тiла) i порiвня-
ти (51) з виразом CxR2
n = 0, 25D2σ, що випливає з
рiвняння (10) для нетонких насадкiв, то можна дi-
йти висновку, що ефективнiсть тонких кавiтаторiв
порiвняно з диском або iншими нетонкими тiлами
залежить вiд величини функцiї
F (β, σ) =
2β2 lnβ − σ
2β2[ln(0, 5β) + 1]
. (52)
Якщо значення цiєї функцiї перевищують одини-
цю, то тонкi конуси забезпечують бiльшу даль-
нiсть.
Обчислення функцiї (52), зробленi для нульово-
го числа кавитацiї, дають значення в межах 1,15–
1,34 для дiапазона 0, 1 < β < 0, 3. Для σ > 0 вiд-
повiднi значення F (β, σ) ще бiльшi. Отже, простi
оцiнки, виконанi з використанням рiвняння пер-
шого наближення для форми каверни свiдчать про
ефективнiсть тонких кавiтаторiв.
Для перевiрки цього була проведена серiя розра-
хункiв у нелiнiйнiй постановцi за описаною в [12]
методикою. В табл. 1 наведенi результати обчи-
слень величини D2σ/(4CxR2
n) для рiзних значень
напiвкута θ при вершинi конiчних кавiтаторiв.Для
товстих насадкiв вiдповiдно до формули Гарабедя-
на (10) ця величина дорiвнює одиницi.
Видно, що тонкi кавiтатори можуть забезпечу-
вати дещо бiльшу дальнiсть порiвняно з товсти-
ми, але нелiнiйна теорiя дає не такi оптимiстичнi
оцiнки ефективностi тонких насадкiв, як рiвнян-
ня першого наближення. Разом з тим можна зро-
бити висновок, що тонкi кавiтатори цiлком конку-
рентноспроможнi i можуть використовуватись для
органiзацiї суперкавiтацiйного режиму обтiкання.
Оцiнки показують, що подiбне можна стверджу-
вати не тiльки в розглянутiй задачi з фiксованими
масою та калiбром тiла, а для всiх iзопериметри-
чних умов 1–5, якщо довжину та об’єм кавiтатора
вважати також корисними (разом з довжиною та
об’ємом каверни).
Таблиця 1
σ 0,1 0,05 0,025 0,01
θ=15o 1,115 1,094 1,072 1,031
θ=10o 1,116 1,094 1,078 1,064
θ=5o 1,128 1,107 1,089 1,066
θ=3o 1,113 1,108 1,097 1,079
3. ДАЛЬНIСТЬ РУХУ ЗА IНЕРЦIЄЮ
ДЛЯ БЕЗВIДРИВНИХ ТIЛ
Виникає також питання про ефективнiсть су-
перкавiтацiйного режиму порiвняно зi стандар-
тними гiдродинамiчними формами, що обтiкаю-
ться без вiдриву примежового шару та кавiтацiї.
В статтi [13] було показано, що для рiвномiрного
руху суперкавiтацiя може давати меншi значення
об’ємного коєфiцiєнта опору
CV =
2X
ρU2V
2/3
b
(53)
лише для достатньо малих значень об’ємного чис-
ла Рейнольдса ReV = UV
1/3
b /ν та числа кавiтацiї.
Зробимо порiвняння ефективностi суперкавiта-
цiйного та безвiдривного режиму обтiкання для
зазначених нестацiонарних iзопериметричних за-
дач руху за iнерцiєю. Для коректностi потрiбно
оцiнити дальнiсть тiла, що рухається без вiдриву
примежового шару, при змiнi його швидкостi вiд
I.Г.Нестерук 57
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
фiксованої початкової U0 до кiнцевої швидкостi за-
мивання U , оптимальнi значення якої задаються
формулами (27), (28). За цими спiввiдношеннями
величини U0 та U вiдрiзняються не дуже сильно.
До того ж коефiцiєнти опору слабко залежать вiд
швидкостi. Наприклад, в [14] отриманi наступнi
формули для чисто ламiнарного та чисто турбу-
лентного випадкiв:
CV =
4.708√
ReV
= (54)
=
4.708√
ReD
(
D3
b
Vb
)1/6
=
4.708√
ReL
(
L3
b
Vb
)1/6
,
CV =
0.073
Re
1/7
V
(
Vb
L3
b
)5/21
= (55)
=
0.073
Re
1/7
D
(
Vb
L3
b
)5/21 (
D3
b
Vb
)1/21
.
Отже, достатньо порiвняти коефiцiєнти опору в
момент замивання супервакiтуючого тiла. Бiльш
ефективний режим повинен мати меншi значення
CV . Це вже було зроблено в [14] з використанням
оцiнок (54), (55) та формули роботи [15] для об’-
ємного коефiцiєнта опору товстих кавiтаторiв. То-
му для iзопериметричних задач 3 (з фiксованим
об’ємом тiла) суперкавiтацiйний режим може ма-
ти переваги лише при ReV < 107, що для руху у
водi в дiапозонi швидкостей 500–1000 м/с вiдпо-
вiдає дуже малим тiлам з об’ємом вiд 10 до 1 см3.
Для бiльших об’єктiв безвiдривний режим обтiка-
ння може бути цiлком конкурентноспроможним.
Для першої iзопериметричної задачi з фiксова-
ними масою та калiбром тiла достатньо порiвняти
добуток πCxR2
n (або приблизно рiвну йому вели-
чину 0, 25πD2σ) з
CDD2
b = CV V
2/3
b = CV D2
b
(
Vb
D3
b
)2/3
, (56)
Оскiльки для оптимального тiла D = Db та чис-
ло кавiтацiї в момент замивання з конструктив-
них мiркувань практично не може бути меншим
0, 01 (див. [14]), достатньо порiвняти величину
CV (Vb/D3
b )2/3 з 0, 00785. Оскiльки величина Vb/D3
b
пропорцiйна видовженню тiла, то оптимальнi без-
вiдривнi тiла повиннi мати мiнiмальне видовже-
ння як при ламiнарному, так i при турбулентно-
му обтiканнi (див. формули (54)–(56)). Граничний
випадок нульового видовження i опору вiдповiд-
ає диску, що обтiкається в безвiдривному режимi.
Подiбний результат попри його нефiзичнiсть варто
було очiкувати, оскiльки при безвiдривному обтi-
каннi залишається тiльки опiр тертя, що має мiнi-
мальне значення при мiнiмальнiй площi поверхнi.
Без застосування методiв активного управлiн-
ня примежовим шаром (вiдсмоктування, охоло-
дження тощо) досягти безвiдривного режиму об-
тiкання можна лише на тiлах особливої форми,
зокрема такої, що забезпечує вiд’ємний градiєнт
тиску, наприклад, тiло U-1 з роботи [14]. Оцiни-
мо для замкненого тiла U-1c, подiбного до U-1
(Vb/L3
b = 0, 036; Vb/D3
b = 1, 48), критичне значе-
ння числа Рейнольдса Re
(cr)
D , вирахованого з ви-
користанням фiксованого мiделя тiла, при якому
опори (та дальностi) однаковi для обидвох режи-
мiв обтiкання. Якщо обмежитись чисто ламiнар-
ним безвiдривним примежовим шаром, то за до-
помогою (54) можна знайти Re
(cr)
D = 5, 3 × 105.
Отримане значення вiдповiдає саме ламiнарному
примежовому шару, тому застосування формули
(54) є виправданим. Отже, в дiапозонi швидкостей
100–1000 м/с суперкавiтацiйний режим обтiкання
варто використовувати лише для тiл з калiбром,
меншим вiд 5–0,5 мм. Для бiльших об’єктiв безвiд-
ривний режим обтiкання може бути цiлком конку-
рентноспроможним.
Для другої iзопериметричної задачi з фiксова-
ними масою та довжиною тiла достатньо порiв-
няти добуток πCxR2
n (або приблизно рiвну йому
величину −0, 25πL2σ2/ lnσ, див. (9), (10)) з
CLL2
b = CV V
2/3
b = CV L2
b
(
Vb
L3
b
)2/3
. (57)
Оскiльки для оптимального тiла L = Lb та чис-
ло кавiтацiї в момент замивання практично не мо-
же бути меншим 0, 01, то достатньо порiвняти ве-
личину CV (Vb/L3
b)
2/3 з 1, 7 × 10−5. Оскiльки ве-
личина Vb/L3
b обернено пропорцiйна квадрату ви-
довження тiла, то оптимальнi безвiдривнi тiла по-
виннi мати максимальне видовження як при ламi-
нарному, так i при турбулентному обтiканнi (див.
формули (54), (55), (57)). Якщо важати, що ви-
довження практично не може перевищувати вели-
чину 20, i взяти для оцiнок форму U-1c, афiнно
"сплюснуту" до цього видовження (вiдповiднi зна-
чення радiуса множаться на коефiцiєнт 0, 172; а
Vb/L3
b = 0, 0011), то за допомогою спiввiдношень
(55), (57) можна отримати Re
(cr)
L = 4.8 × 107. От-
же, в дiапозонi швидкостей 500–1000 м/с для тiл
з довжиною, меншою вiд 10–5 см, варто викори-
стовувати суперкавiтацiйний режим. Для бiльших
об’єктiв безвiдривна схема обтiкання може бути
цiлком конкурентноспроможною.
Для четвертої iзопериметричної задачi (фiксо-
58 I.Г.Нестерук
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
ванi середня густина та калiбр тiла) потрiбно по-
рiвняти величину πCxR2
n/V (або приблизно рiвне
йому значення 1, 5σ1,5/(D
√
− lnσ), див. (8)–(11) )
з
CDD2
b
Vb
= CV V
−1/3
b =
CV
Db
(
D3
b
Vb
)1/3
. (58)
Оскiльки для оптимального тiла D = Db та чис-
ло кавiтацiї практично не може бути меншим
0, 01, достатньо порiвняти величину CV (D3
b/Vb)
1/3
з 0, 0007. Оскiльки величина Vb/D3
b пропорцiйна
видовженню тiла, то оптимальнi безвiдривнi тi-
ла повиннi мати максимальне видовження як при
ламiнарному, так i при турбулентному обтiканнi
(див. формули (54), (55), (58)).
Якщо як i ранiше вважати, що видовження пра-
ктично не може перевищувати величину 20, i взя-
ти для оцiнок форму U-1c, афiнно "сплюснуту" до
цього видовження, то за допомогою спiввiдношень
(55), (58) можна отримати Re
(cr)
D = 4.8 × 106. От-
же, в дiапозонi швидкостей 500–1000 м/с для тiл
з калiбром, меншим вiд 10–5 мм, варто використо-
вувати суперкавiтацiйний режим обтiкання. Для
бiльших об’єктiв безвiдривнi тiла можуть бути цiл-
ком конкурентноспроможними.
Дещо iнша ситуацiя властива п’ятiй iзопери-
метричнiй задачi (фiксованi середня густина та
довжина тiла), де потрiбно порiвняти величину
πCxR2
n/V (або приблизно рiвне йому значення
1, 5σ/L, див. (8)–(11)) з
CLL2
b
Vb
= CV V
−1/3
b =
CV
Lb
(
L3
b
Vb
)1/3
. (59)
Оскiльки для оптимального тiла L = Lb та чис-
ло кавiтацiї в момент замивання практично не мо-
же бути меншим 0, 01, достатньо порiвняти вираз
CV (L3
b/Vb)
1/3 з 0, 015. Оскiльки величина Vb/L3
b
обернено пропорцiйна квадрату видовження тiла,
то оптимальнi безвiдривнi тiла повиннi мати мiнi-
мальне видовження як при ламiнарному, так i при
турбулентному обтiканнi (див. формули (54), (55),
(59)). Беручi для оцiнок приклад замкненої фор-
ми U-1c, подiбної до безвiдривного тiла U-1, можна
вирахувати критичне значення числа Рейнольдса
Re
(cr)
L = 1, 8 × 106. Отже, в дiапозонi швидкостей
100–1000 м/с суперкавiтацiйний режим варто ви-
користовувати лише для тiл з довжиною, меншою
вiд 20–2 мм. Для бiльших об’єктiв безвiдривний
режим обтiкання може бути цiлком конкурентно-
спроможним.
4. ОСОБЛИВОСТИ МАКСИМIЗАЦIЇ
ДАЛЬНОСТI ПРИ ВХОДI ДО ВОДИ
З АТМОСФЕРИ
Для входу тiла до води з атмосфери властивi
складнi нестацiонарнi процеси на поверхнi роздi-
лу середовищ та значнi ударнi навантаження на
конструкцiю, див., наприклад [16]. Пiсля зануре-
ння у воду на деяку глибину опiр тиску стабiлi-
зується i може вважатись сталим, (див., напри-
клад [16,17]). Тому формула (6) залишається спра-
ведливою, якщо початковою швидкiстю U0 вважа-
ти швидкiсть тiла пiсля стабiлiзацii опору.
Разом з тим форма каверни може бути суттє-
во нестацiонарною i навiть незамкненою. Для iлю-
страцiї цього можна скористатись отриманим в [8]
розв’язком задачi для вертикального занурення
тонкого конiчного кавiтатора у воду зi сталими
швидкiстю та тиском у кавернi:
R2
R2
n
=
σ(t)
2 lnβ
x2
R2
n
− 1
Fr2
R lnβ
x3
R3
n
+ 2β
x
Rn
+ 1, (60)
де число Фруда FrR визначається формулою FrR =
U/
√
gRn, а поточне число кавiтацiї такою залежнi-
стю:
σ(t) =
2(pa − pc)
ρU2
+
2gt
U
, (61)
де pa – атмосферний тиск; вiдлiк часу t почина-
ється у момент перетину донним зрiзом кавiтато-
ра незбуреної горiзонтальної поверхнi води, в яко-
стi параметра тонкостi системи каверна–кавiтатор
обране вiдношення максимального радiуса кавiта-
тора до його довжини β.
Формула (60) свiдчить, що квадрат радiуса не-
стацiонарної каверни є бiльшим вiд вiдповiдного
значення для квазiстацiонарного випадку у нева-
гомiй рiдинi на величину −x3/(R3
nFr2R lnβ), а у ва-
гомiй – вiдповiдно на −2x3/(3R3
nFr2R lnβ) (див. [8]).
Якщо пiсля занурення тiла каверна сполучається
з атмосферою i тиск у нiй дорiвнює атмосферно-
му, то вiдповiдно до формули (61) в нульовий мо-
мент часу число кавiтацiї дорiвнює нулю i нехту-
вати зазначеними добавками не можна навiть при
дуже великих числах Фруда. Якщо тiло рухається
з надзвуковою для повiтря швидкiстю, то ситуацiя
може бути дещо вiдмiнною, оскiльки тиск у кавер-
нi не встигатиме вирiвнюватись до атмосферного
значення. Зокрема, якщо вiн буде значно меншим
вiд pa, то можна користуватись оцiнкою (7) i вва-
жати форму каверни квазiстацiонарною, якщо її
довжина буде набагато меншою 20 м.
I.Г.Нестерук 59
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
Формулу (60) можна також використовувати
для оцiнки часу так званого глибинного змикання
каверни, коли на деякiй глибинi утворюється "гор-
ловина", мiнiмальнiй дiаметр якої зменшується до
нуля. Пiсля моменту змикання вiдповiдно до рiв-
няння (60) форма каверни стає обмеженою. Але
характерна картина з "горловиною" на поверхнi
каверни може виникати не завжди. Зупинимося
коротко на цьому питаннi. Глибинне змикання тра-
питься тодi, коли кубiчний многочлен (60) матиме
два дiйсних рiвних коренi. Використовуючи влас-
тивостi таких многочленiв (див., наприклад, [18])
можна отримати рiвняння для числа кавiтацiї в
момент глибинного змикання σc:
σ3
c−2σ2
cβ
2 lnβ+
36σcβ lnβ
Fr2R
+
54 lnβ
Fr4R
−64β3 ln2 β
Fr2R
= 0.
(62)
Кубiчне рiвняння (62) можна роз’язувати чисель-
но або за допомогою наведених в [18] формул.
Зокрема, для випадку дуже великих чисел Фру-
да з (62) можна отримати
σc =
4
√
−2β lnβ
FrR
, (63)
а для вiдстанi вiд донного зрiзу насадка, на якiй
вiдбувається змикання з (60), (63) можна отрима-
ти
xc
Rn
= FrR
√
−2β lnβ. (64)
Якщо вiддаль Utc/Rn, яку пройшло тiло до мо-
менту змикання tc, буде бiльшою вiд xc/Rn, то
утвориться "горловина" i глибинне змикання вiд-
будеться. Скориставшись залежнiстю (61), умову
iснування глибинного змикання можна записати у
виглядi:
(σc − α1)Fr2R
2
>
xc
Rn
, α1 =
2(pa − pc)
ρU2
. (65)
З використанням рiвнянь (63), (64) умова (65) дає:
2FrR
√
−2β lnβ − α > FrR
√
−2β lnβ, (66)
α =
(pa − pc)
ρgRn
.
Нерiвнiсть (66) свiдчить, що наявнiсть глибин-
ного змикання визначається значенням безроз-
мiрного параметра α. Так, у разi однакових ти-
скiв у кавернi та над поверхнею незбуреної рiди-
ни (характерних для невеликих, зокрема, дозву-
кових швидкостей руху тiл у газi) α = 0, тому
слiд очикувати глибинного змикання. В разi бiль-
ших, зокрема, надзвукових швидкостей у повiтрi
α 6= 0, тому глибинного змикання може не вiд-
буватися. Для тонких конусiв вiдповiдно до (66)
можна визначити критичне значення цього пара-
метра: α(cr) = FrR
√
−2β lnβ.
Якщо скористатись рiвняннями (61), (63) та
умовою pc = pa, то для часу глибинного змикання
можна отримати
tc =
√
−8β lnβ
√
Rn
g
. (67)
Отже, рiвняння (67) свiдчить, що фiзичний час
глибинного змикання не залежить вiд швидкостi
руху, а лише вiд форми та радiуса кавiтатора. По-
дiбнi висновки отримано також у статтi [19] для
дискiв у результатi розрахункiв з використанням
принципу "незалежностi" розширення i напiвем-
пiричних спiввiдношень та для сферичних кавiта-
торiв в експериментальному дослiдженнi [20].
Варто зауважити, що пiсля глибинного змика-
ння може виконуватись умова квазiстацiонарно-
стi σFr2 >> 1, оскiльки за спiввiдношенням (64)
σcFr2 = σcFr2RRn/xc = 4. Коли ця умова стає спра-
ведливою, то можна користуватись формулами
Гарабедяна (8)–(11) або вiдповiдними спiввiдно-
шеннями для тонких стацiонарних каверн за тон-
кими кавiтаторами зi статей [8, 9]. Зокрема, якщо
течiя виходить на квазiстацiонарний режим та ко-
ефiцiєнт опору не залежить вiд часу, то справедли-
вi всi висновки першого роздiлу щодо оптималь-
ного пройденого шляху та найкращої форми тiла,
якщо пiд початковою швидкiстю розумiти швид-
кiсть пiсля проходження перших стадiй занурення
(для яких характернi великi значення опору).
Зокрема, можна користуватись рiвняннями
(29)–(32), якщо вважати, що
h1 = 10 + h0 − pc, (68)
де тиск в кавернi pc вимiрюється в метрах водного
стовпа. Тодi, якщо вважати, що в момент замива-
ння цей тиск дорiвнює атмосферному (вiдповiднi
свiдчення про змiну тиску в кавернi для дозвуко-
вих рухiв у повiтрi можна знайти в експеримен-
тальнiй роботi [17]), то з урахуванням того, що
h1 = 0, формули (29)–(32) та (14), (16), (18),
(20), (22) для рiзних iзопериметричних задач да-
ють:
1. Фiксованi маса та калiбр тiла –
S
∗ ≈ 0, 48√
− sin γ
, S∗ ≈ 0, 48U0
D
√
− m
ρg sin γ
; (69)
2. Фiксованi маса та довжина тiла –
60 I.Г.Нестерук
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
S
∗ ≈ 0, 65
(− sin γ)2/3
, (70)
S∗ ≈ 0, 65m1/3U
4/3
0
(− sin γ)2/3ρ1/3L2/3g2/3
;
3. Фiксованi маса та об’єм тiла або фiксованi се-
редня густина та об’єм тiла –
S
∗ ≈ 0, 44
(− sin γ)4/7
, (71)
S∗ ≈ 0, 44m3/7U
8/7
0
(− sin γ)4/7ρ3/7V 2/7g4/7
;
4. Фiксованi середня густина та калiбр тiла–
S
∗ ≈ 0.43
(− sin γ)3/5
, (72)
S∗ ≈ 0.43D2/5ρ
2/5
b U
6/5
0
(− sin γ)3/5g3/5
;
5. Фiксованi середня густина та довжина тiла –
S
∗ ≈ 0, 48√
− sin γ
, S∗ ≈ 0, 48U0√
− sin γ
√
πLρb
6g
. (73)
Для оцiнок (70)–(72) використане значення σ0 =
0.01. Безрозмiрне оптимальне число кавiтацiї вiд-
повiдно до спiввiдношення (36) отримується мно-
женням правих частин перших формул (69)–(73)
на величину -sinγ, тому розрахунок оптимальних
форм тiл у цьому випадку не складає жодних про-
блем.
Формули (69)–(73) свiдчать, що дальнiсть збiль-
шується при зростаннi кута руху тiла вiд -90o (вер-
тикальне занурення) до 0o (вхiд до води близький
до горiзонтального). Нескiнченно великi значен-
ня дальностi для горiзонтального руху насправ-
дi обмеженi з мiркувань мiцностi конструкцiї i бу-
дуть обговоренi в наступному роздiлi. З формул
(69)–(73) також випливає, що максимальне загли-
блення тiла для всiх iзопериметричних задач до-
сягається при руховi вертикально вниз.
З других рiвнянь (69)–(73) видно, що фiзи-
чна (розмiрна) максимальна дальнiсть зростає при
збiльшеннi швидкостi занурення (для першої та
та п’ятої задачi ця залежнiсть лiнiйна (див. (69),
(73)) для iнших – нелiнiйна (див. (70)–(72)). Для
перших трьох задач з фiксованою масою фiзична
максимальна дальнiсть зростає при зменшеннi ка-
лiбру, довжини або об’єму тiла вiдповiдно (див.
(69)–(71)). В задачах з фiксованою середньою гу-
стиною розмiрна максимальна дальнiсть зростає
при збiльшеннi об’єму, калiбру та довжини тiла
вiдповiдно (див. (71)–(73)).
Якщо pc не дорiвнює атмосферному, то слiд ко-
ристуватись рiвняннями (29)–(32) або графiками
1–4. Цiкаво вiдзначити, що цi рiвняння допуска-
ють також вiд’ємнi значення параметра h1, що
вiдповiдає тисковi в кавернi, бiльшому вiд атмо-
сферного. Оскiльки максимальна дальнiсть зрос-
тає при зменшеннi h1 (див рис. 1–4), то при збiль-
шеннi тиску в кавернi на останнiх стадiях супер-
кавiтацiйного руху тiла перед замиванням (на-
приклад, за рахунок пiддуву газу) можна значно
збiльшити дальнiсть.
5. ОБМЕЖЕННЯ ДАЛЬНОСТI,
ПОВ’ЯЗАНI З ВИДОВЖЕННЯМ
СУПЕРКАВIТУЮЧОГО ТIЛА
Дуже великi значення дальностi, що виплива-
ють з формул (69)–(73) при малих кутах γ, легко
пояснити i усунути, якшо взяти до уваги, що без-
розмiрнi та фiзичнi оптимальнi числа кавiтацiєї в
цьому випадку прямують до нуля. Як вже не раз
зауваживалось, з мiркувань мiцностi конструкцiї
тiла його видовження практично не може пере-
вищувати значення 20, а кiнцеве число кавiтацiї,
при якому вiдбувається замивання тiла потоком
води та його зупинка, не може бути меншим вiд
0,01. Даний факт дозволяє оцiнити максимально
можливi значення дальностi S
∗∗
та вiдповiднi фi-
зичнi (розмiрнi) величини S∗∗.
Беручи до уваги формули (29)–(32), а також
(36)–(41) та (14), (16), (18), (20), (22) для iзо-
периметричних задач 1–5 можна отримати:
1. Фiксованi маса та калiбр тiла –
S
∗∗ ≈ 127
DU0
√
gm
ρ
, S∗∗ ≈ 127m
ρD2
; (74)
2. Фiксованi маса та довжина тiла –
S
∗∗ ≈ 29318g2/3m2/3
ρ2/3L4/3U
4/3
0
, S∗∗ ≈ 29318m
ρL2
; (75)
3. Фiксованi маса та об’єм тiла або фiксованi се-
редня густина та об’єм тiла –
S
∗∗ ≈ − 479m4/7g4/7
ρ4/7V 8/21U
8/7
0
, S∗∗ ≈ 479m
ρV 2/3
; (76)
4. Фiксованi середня густина та калiбр тiла–
I.Г.Нестерук 61
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
S
∗∗ ≈ 954D0,6ρ0,6
b g0,6
U1,2
0
, S∗∗ ≈ 954Dρb; (77)
5. Фiксованi середня густина та довжина тiла –
S
∗∗ ≈
92, 1
√
gLρb
U0
, S∗∗ ≈ 66, 7Lρb. (78)
Отже, спiввiдношення (74)–(78) обмежують зна-
чення максимальної дальностi. Навiть з викори-
станням пiддуву газу в каверну перевищити за-
значенi величини неможливо. Варто зауважити,
що максимально можлива дальнiсть не залежить
вiд кута руху γ, а її фiзичнi значення не зале-
жать вiд початкової швидкостi. Для висхiдного ру-
ху (γ > 0) слiд враховвувати зазначенi в Роздiлi
1.2 обмеження дальностi, пов’язанi з критичними
початковими глибинами.
Дальнiсть можна збiльшити шляхом застосува-
ння кавiтаторiв змiнної форми або розмiрiв. При-
клад розрахунку приросту дальностi за рахунок
використання меншого за розмiрами або меншого
за коефiцiєнтом опору кавiтатора на першiй ста-
дiї руху (коли число кавiтацiї ще достатньо мале)
наведений в [6].
Iншим засобом збiльшення дальностi є викори-
стання двигунiв. Оцiнимо можливий прирiст даль-
ностi за рахунок двигуна з фiксованою тягою T
для оптимальних тiл, розрахованих за неведеною
вище методикою. Для цього скористаємось фор-
мулою роботи [2]
T = Q
∆m
τ
, (79)
де Q – питомий iмпульс палива; ∆m – його маса;
τ – час роботи двигуна. Припустимо також, що
з двигуном тiло рухається рiвномiрно, тобто тяга
урiвноважує опiр. Тодi з формул (2), (79) можна
отримати
τ =
2Q∆m
πρU2CxR2
n
, (80)
а для приросту шляху за час роботи двигуна з (80)
випливає
∆S = Uτ =
2Q∆m
πρUCxR2
n
. (81)
Формула (81) свiдчить, що дальнiсть рiвномiр-
ного руху з двигуном обернено пропорцiйна до
швидкостi. Тому двигун слiд вмикати на останнiй
фазi руху за iнерцiєю, беспосередньо перед момен-
том замивання. Це збiльшує не тiльки шлях ∆S,
але i дозволяє уникнути втрат дальностi на дiлян-
цi руху за iнерцiєю через зменшення маси тiла вна-
слiдок вигоряння палива.
Оцiнимо можливi значення приросту дальностi
для тiла з двигуном. Розглянемо для прикладу рух
оптимального тiла з масою 4 кг та калiбром 50 мм.
Вiдповiдно до формули (74) таке тiло може прой-
ти за iнерцiєю не бiльше нiж 203 м. Якщо це тi-
ло занурюється до води вертикально вниз та тиск
у кавернi дорiвнює атмосферному, то за другою
формулою (69) початкова швидкiсть такого тiла
становить 1047 м/c, а за першим спiввiдношенням
(27) кiнцева швидкiсть дорiвнює 635 м/c.
Якшо це оптимальне тiло має ще двигун та
запас палива 1 кг з питомим iмпульсом 4000
м/c, то формула (81) з врахуванням πCxR2
n =
0, 25πD2σ = 0.0025πD2 дає ∆S=642 м. Отже, ця
вiддаль бiльше, нiж у три рази перевищує шлях,
який тiло подолало за iнерцiєю. Правда, для да-
ного рiвномiрного руху вертикально вниз потрiбно
пiдтримувати число кавiтацiї 0,01, що потребує ду-
же значного пiдвищення тиску в кавернi.
Цiкаво оцiнити дальнiсть цього ж тiла з дви-
гуном, що рухається рiвномiрно на швидкостi 150
м/c (що дозволяє пiдтримувати число кавiтацiї
0,01 без пiддуву газу при горизонтальному супер-
кавiтацiйному руховi на невеликiй глибинi). З ви-
користанням формули (81) отримуємо ∆S= 2716
м. Значне зростання дальностi пояснюється мен-
шою швидкiстю руху.
Оцiнимо також дальнiсть того ж тiла з двигу-
ном, що рухається рiвномiрно з тiєю самою швид-
кiстю 150 м/c без вiдриву примежового шару i ка-
вiтацiї. З використанням формул (55), (56), (81)
можна отримати ∆S= 5333 м. Цiкаво вiдзначи-
ти, що дальнiсть можна суттєво збiльшити, якщо
використовувати тiла меншого видовженя, подiбнi
до безвiдривної форми U-1c. Отже, безвiдривний
режим обтiкання на таких швидкостях має пере-
ваги навiть для вiдносно невеликих тiл.
6. ЗБIЛЬШЕННЯ ДАЛЬНОСТI ДЛЯ
МАЛИХ СТАЛИХ ШВИДКОСТЕЙ РУХУ
Наведений приклад та формула (81) свiдчать,
що в тих випадках, коли великi швидкостi руху
не потрiбнi, можна знехтувати вiдстанню, що його
пройшло тiло за iнерцiєю, i вважати, що вся даль-
нiсть описується рiвнянням (81). Оскiльки це спiв-
вiдношення не мiстить маси тiла, доцiльно розгля-
нути три iзопериметричнi задачi, в яких поряд зi
швидкiстю фiксованi калiбр або довжина або об’єм
тiла. Повторюючи наведенi в [7] простi мiркуван-
62 I.Г.Нестерук
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
ня, можна дiйти висновку, що оптимальна фор-
ма суперкавiтуючуго тiла повинна бути вписана у
форму каверни, i калiбр, довжина та об’єм тiла по-
виннi збiгатись вiдповiдно з калiбром, довжиною
та об’ємом каверни. Для трьох згаданих iзопери-
метричних задач з врахуванням формул (8)–(11)
та (81) отримуємо вiдповiдно:
∆S =
8Q∆m
πρUD2σ
, (82)
∆S = −8Q∆m lnσ
πρUL2σ2
, (83)
∆S =
8Q∆m(− lnσ)1/3
π1/362/3ρUV 2/3σ4/3
. (84)
Формули (82)–(84) свiдчать, що максимальна
дальнiсть досягається при найменшому числi ка-
вiтацiї. Беручи, як i ранiше, в якостi мiнiмального
значення σ = 0, 01, отримуємо формули для ма-
ксимальних дальностей в зазначених трьох iзопе-
риметричних задачах:
∆S∗ ≈ 255Q∆m
ρUD2
, (85)
∆S∗ ≈ 1, 17 ∗ 105Q∆m
ρUL2
, (86)
∆S∗ ≈ 1277Q∆m
ρUV 2/3
. (87)
Для описаного в попередньому роздiлi тiла з
двигуном, швидкiстю 10 м/c та калiбром 50 мм
(воно буде оптимальним для першої iзопериметри-
чної задачi, якщо буде вписаним в каверну при
σ = 0, 01) з формули (85) отримуємо ∆S∗ ≈ 40, 8
км. Отже, за рахунок зменшення швидкостi мо-
жна суттєво збiльшити дальнiсть. Але досягти
цього можна лише з використанням пiддуву газу
в каверну для забезпечення σ = 0.01.
Цiкаво вiдзначити, що для зазначеного тiла з
цiєю та меншими швидкостями доцiльно викори-
стовувати саме суперкавiтацiйний режим обтiка-
ння, оскiльки вiдповiдне число Рейнольдса буде
меншим вiд розрахованого у роздiлi 3 критичного
значення Re
(cr)
D . Наведенi в цьому роздiлi критичнi
значення числа Рейнольдса для iзопериметричних
задач 1–3 з фiксованою масою можна використо-
вувати для оцiнок ефективностi рiвномiрного су-
перкавiтацiйного руху зi сталою тягою.
Формули (82)–(87) отриманi для випадку фiксо-
ваної маси палива. Якщо вважати, що паливо з фi-
ксованою щiльнiстю ρp може займати тiльки пев-
ну фiксовану частину об’єму тiла Kp (див. [21]),
то оптимальне суперкавiтуюче тiло повинно мати
форму, максимально наближену до форми кавер-
ни, а рiвняння (82)–(84) можна записати у виглядi
∆S =
4QρpKpD
√
− lnσ
3ρUσ1,5
, (88)
∆S =
4QρpKpL
3ρUσ
, (89)
∆S =
461/3QρpKpV
1/3
3π1/3ρUσ4/3
. (90)
Спiввiдношення (89) збiгається з вiдповiдним
рiвнянням роботи [21]. З формул (89)–(91) випли-
ває, що для всiх iзопериметричних задач (з фi-
ксованими калiбром, довжиною або об’ємом) ма-
ксимальна дальнiсть досягається при найменшому
числi кавiтацiї. Беручи, як i ранiше, в якостi мiнi-
мального значення σ = 0, 01, отримуємо формули
для максимальних дальностей в зазначених трьох
iзопериметричних задачах
∆S∗ ≈ 2861QρpKpD
ρU
, ∆S∗ ≈ 133QρpKpL
ρU
,
∆S∗ ≈ 769QρpKpV
1/3
ρU
.
ВИСНОВКИ
Розглянутi задачi максимизацiї вiдстанi, прой-
деної осесиметричним суперкавiтуючим тiлом за
iнерцiєю пiд довiльним кутом до горизонту. Отри-
манi аналiтичнi спiввiдношення дозволяють лег-
ко оцiнити гранично можливу дальнiсть та знайти
оптимальнi форму тiла та радiус кавiтатора для
рiзних iзопериметричних умов з фiксованими по-
чатковими швидкiстю та глибиною, в тому числi i
для входу до води з атмосфери.
Показано, що у випадку висхiдного суперкавiта-
цiйного руху можливе рiзке збiльшення дальностi
та вихiд тiла на поверхню при нескiнченно малому
перевищеннi деякого критичного значення поча-
ткової швидкостi. Розрахованi вiдповiднi значення
критичних чисел Фруда.
Показано, що тонкi кавiтатори є цiлком конку-
рентноспроможними порiвняно з дисками та iнши-
ми товстими кавiтаторами. Оцiнки максимальної
дальностi для осесиметричних тiл, що забезпечу-
ють обтiкання без вiдриву примежового шару та
кавiтацiї, показали, що при достатньо великих чи-
слах Рейнольдса такi тiла мають переваги.
I.Г.Нестерук 63
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 51 – 64
Для збiльшення дальностi на малих швидкостях
доцiльно використовувати рiвномiрний суперкавi-
тацiйний рух. Наведенi аналiтичнi формули дозво-
ляють легко оцiнити максимальну дальнiсть для
задач з фiксованими калiбром, довжиною та об’є-
мом.
1. Garabedian P.R. Calculation of axially symmetric
cavities and jets // Pac. J. Math.– 1956.– Vol. 6, No.
4.– P. 611-684.
2. Путилин С. И. Некоторые особенности динами-
ки суперкавитирующих моделей // Прикладна
гiдромеханiка.– 2000.– Т. 2 (74), N 3.– С. 65-74.
3. Gieseke T.J. Toward an optimal weapon system uti-
lizing supercavitating projectiles. Int. Conference on
Cavitation "Cav2001", 2001. Pasadena, USA.
4. Serebryakov V.V. The models of the supercavitati-
on prediction for high speed motion in water. Int.
Summer Scientific School "High Speed Hydrodynami-
cs". 2002, Cheboksary, Russia.– С.71-92.
5. Нестерук I. Г., Семененко В.М. Задачi оптимiзацiї
для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл
за iнерцiєю // Прикладна гiдромеханiка.– 2006.–
Т. 8 (80), N 1.– С. 51-59.
6. Нестерук I. Г., Савченко Ю.М„ Семененко В.М.
Оптимiзацiя дальностi для суперкавiтацiйного ру-
ху за iнерцiєю // Доповiдi НАН України.– 2006.–
N 8.– С. 57-66.
7. Нестерук I. Г., Семененко В.М. Задачi оптимiза-
цiї дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю
з фiксованою кiнцевою глибиною // Прикладна
гiдромеханiка.– 2006.– Т. 8 (80), N 4.– С. 33-42.
8. Нестерук И.Г. О форме тонкой осесимметри-
чной нестационарной каверны // Изв. АН СССР,
МЖГ.– 1980.– N 4.– С. 38-47.
9. Нестерук И.Г. Некоторые задачи осесимметри-
чных кавитационных течений // Изв. АН СССР,
МЖГ.– 1982.– N 1.– С. 28-34.
10. Savchenko Yu.N., Semenenko V.N., Putilin S.I.
and others. Designing the high-speed supercavitati-
ng vehicles. Int. Conf. on Fast Sea Transportation
"FAST’2005", June 2005. St. Petersburg, Russia.
11. Семененко В.Н. Компьютерное моделирование ди-
намики суперкавитирующих тел // Прикладна
гiдромеханiка.– 2000.– Т. 2(77), N 1.– С. 64-69.
12. Нестерук I. Г. Моделювання осесиметричних i
плоских вiльних поверхонь за допомогою джерел
та стокiв // Прикладна гiдромеханiка.– 2003.– Т.
5 (77), N 2.– С. 37-44.
13. Нестерук I. Г. Часткова кавiтацiя на видовжених
тiлах// Прикладна гiдромеханiка.–2004.– T. 6 (78),
N 3.– C. 64-75.
14. Nesteruk I.The Problems of Drag Reduction in High
Speed Hydrodynamics// International Summer Sci-
entific School “High Speed Hydrodynamics”.– June
16-23, 2002.– Cheboksary, Russia.– P. 351- 359.
15. Нестерук I. Г. Розрахунок опору тонких ко-
нусiв з використанням другого наближення для
форми утворених ними каверн // Прикладна
гiдромеханiка.– 2003.– Т. 5 (77), N 1.– С. 42-46.
16. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со сво-
бодными границами.– Киев: Наукова думка, 1969.–
208 с.
17. Abelson H. I. Pressure measurements in water-entry
cavity // J. Fluid Mech.– 1970.– vol.44, part 1.–
P. 129-144.
18. Корн Г., Корн Т. Спаравочник по математике
для научних работников и инженеров.– М.: Нау-
ка, 1974.– 832 с.
19. Журавлев Ю. Ф. Методы возмущений в про-
странственных струйных течениях // Труды
ЦАГИ.– 1973.– Bып. 1532.– С. 3-24.
20. Gilbarg D., Anderson R. A. Influence of Atmosferic
Pressure on the Phenomena Accompaning the Entry
of Spheres into Water // J. Appl. Phys.– 1948.–
vol.19.– С. 127-138.
21. Савченко Ю. Н. Исследования суперкавитаци-
онных течений // Прикладна гiдромеханiка.–
2007.– Т. 9 (81), N 2-3.– С. 150-158.
64 I.Г.Нестерук
|