Моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець
Дослідження впливу схеми базування на похибки вимірювання параметрів геометричної точності крутильних кілець здійснено машинним моделюванням з використанням теорії математичного планування експериментів другого порядку за матрицею центрального рототабельного композиційного плану. Моделювання триточк...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2009
|
| Назва видання: | Математичні машини і системи |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47037 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець / О.Н. Чередніков, І.О. Чередніков, О.О. Борисов // Мат. машини і системи. — 2009. — № 2. — С. 94–106. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-47037 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-470372013-07-09T03:06:28Z Моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець Чередніков, О.Н. Чередніков, І.О. Борисов, О.О. Моделювання і управління великими системами Дослідження впливу схеми базування на похибки вимірювання параметрів геометричної точності крутильних кілець здійснено машинним моделюванням з використанням теорії математичного планування експериментів другого порядку за матрицею центрального рототабельного композиційного плану. Моделювання триточкової схеми вимірювання круглості внутрішньої поверхні проведено для овоїдів, що відповідають за формою дійсним видам відхилень від круглості робочих поверхонь крутильних кілець, виміряних на кругломірі. Отримані результати моделювання дозволяють обґрунтувати використання в виробничій практиці триточкових схем вимірювання з урахуванням уточнених поправкових коефіцієнтів. Исследование влияния схемы базирования на погрешности измерения параметров геометрической точности крутильных колец осуществлено машинным моделированием с использованием теории математического планирования экспериментов второго порядка по матрице центрального рототабельного композиционного плана. Моделирование трехточечной схемы измерения круглости внутренней поверхности проведено для овоидов, что отвечают по форме действительным видам отклонений от круглости рабочих поверхностей крутильных колец, измеренных на кругломере. Полученные результаты моделирования позволяют обосновать использование в производственной практике трехточечных схем измерения с учетом уточненных поправочных коэффициентов. Research of influence of chart of basing on the errors of measuring of parameters of geometrical exactness of turning rings is carried out the computer-aided engineering with the use of theory of the mathematical planning of experiments of the second order after the matrix of central rototable of composition plan. The design of three-point chart of measuring of roundless of internal surface is conducted for ovoid, that answer after a form the actual types of deviations from roundless of working surfaces of turning rings, measured on roundmeter. The got results of design allow to ground the use in production practice three point charts of measuring taking into account the specified correction coefficients. 2009 Article Моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець / О.Н. Чередніков, І.О. Чередніков, О.О. Борисов // Мат. машини і системи. — 2009. — № 2. — С. 94–106. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47037 621.311.001.57 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами |
| spellingShingle |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами Чередніков, О.Н. Чередніков, І.О. Борисов, О.О. Моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець Математичні машини і системи |
| description |
Дослідження впливу схеми базування на похибки вимірювання параметрів геометричної точності крутильних кілець здійснено машинним моделюванням з використанням теорії математичного планування експериментів другого порядку за матрицею центрального рототабельного композиційного плану. Моделювання триточкової схеми вимірювання круглості внутрішньої поверхні проведено для овоїдів, що відповідають за формою дійсним видам відхилень від круглості робочих поверхонь крутильних кілець, виміряних на кругломірі. Отримані результати моделювання дозволяють обґрунтувати використання в виробничій практиці триточкових схем вимірювання з урахуванням уточнених поправкових коефіцієнтів. |
| format |
Article |
| author |
Чередніков, О.Н. Чередніков, І.О. Борисов, О.О. |
| author_facet |
Чередніков, О.Н. Чередніков, І.О. Борисов, О.О. |
| author_sort |
Чередніков, О.Н. |
| title |
Моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець |
| title_short |
Моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець |
| title_full |
Моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець |
| title_fullStr |
Моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець |
| title_full_unstemmed |
Моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець |
| title_sort |
моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Моделювання і управління великими системами |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47037 |
| citation_txt |
Моделювання невизначеності базування при вимірюванні відхилень від круглості крутильних кілець / О.Н. Чередніков, І.О. Чередніков, О.О. Борисов // Мат. машини і системи. — 2009. — № 2. — С. 94–106. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT čeredníkovon modelûvannâneviznačenostíbazuvannâprivimírûvannívídhilenʹvídkruglostíkrutilʹnihkílecʹ AT čeredníkovío modelûvannâneviznačenostíbazuvannâprivimírûvannívídhilenʹvídkruglostíkrutilʹnihkílecʹ AT borisovoo modelûvannâneviznačenostíbazuvannâprivimírûvannívídhilenʹvídkruglostíkrutilʹnihkílecʹ |
| first_indexed |
2025-07-04T06:39:56Z |
| last_indexed |
2025-07-04T06:39:56Z |
| _version_ |
1836697463888543744 |
| fulltext |
94 © Чередніков О.М., Чередніков І.О., Борисов О.О., 2009
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2
МОДЕЛЮВАННЯ І УПРАВЛІННЯ ВЕЛИКИМИ СИСТЕМАМИ
УДК 621.311.001.57
О.М. ЧЕРЕДНІКОВ, І.О. ЧЕРЕДНІКОВ, О.О. БОРИСОВ
МОДЕЛЮВАННЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ БАЗУВАННЯ ПРИ ВИМІРЮВАННІ
ВІДХИЛЕНЬ ВІД КРУГЛОСТІ КРУТИЛЬНИХ КІЛЕЦЬ
Abstract: Research of influence of chart of basing on the errors of measuring of parameters of geometrical exactness
of turning rings is carried out the computer-aided engineering with the use of theory of the mathematical planning of
experiments of the second order after the matrix of central rototable of composition plan. The design of three-point
chart of measuring of roundless of internal surface is conducted for ovoid, that answer after a form the actual types of
deviations from roundless of working surfaces of turning rings, measured on roundmeter. The got results of design
allow to ground the use in production practice three point charts of measuring taking into account the specified
correction coefficients.
Key words: errors of measuring, mathematical planning of experiments.
Анотація: Дослідження впливу схеми базування на похибки вимірювання параметрів геометричної
точності крутильних кілець здійснено машинним моделюванням з використанням теорії математичного
планування експериментів другого порядку за матрицею центрального рототабельного композиційного
плану. Моделювання триточкової схеми вимірювання круглості внутрішньої поверхні проведено для овоїдів,
що відповідають за формою дійсним видам відхилень від круглості робочих поверхонь крутильних кілець,
виміряних на кругломірі. Отримані результати моделювання дозволяють обґрунтувати використання в
виробничій практиці триточкових схем вимірювання з урахуванням уточнених поправкових коефіцієнтів.
Ключові слова: похибки вимірювання, математичне планування експерименту.
Аннотация: Исследование влияния схемы базирования на погрешности измерения параметров
геометрической точности крутильных колец осуществлено машинным моделированием с использованием
теории математического планирования экспериментов второго порядка по матрице центрального
рототабельного композиционного плана. Моделирование трехточечной схемы измерения круглости
внутренней поверхности проведено для овоидов, что отвечают по форме действительным видам
отклонений от круглости рабочих поверхностей крутильных колец, измеренных на кругломере.
Полученные результаты моделирования позволяют обосновать использование в производственной
практике трехточечных схем измерения с учетом уточненных поправочных коэффициентов.
Ключевые слова: погрешности измерения, математическое планирование эксперимента.
1. Вступ
З великої кількості методів найбільш часто у промислових умовах використовують різностні методи,
з яких найбільш розповсюдженими є триточкові схеми. Триточкове вимірювання відхилення від
круглості – один із найпростіших і, як наслідок, поширених розповсюджених способів вимірювання
відхилення від правильної геометричної форми поперечного перерізу деталей типу тіл обертання.
Наведене моделювання схем вимірювання геометричних параметрів спрямовано на пошук
оптимального розташування вимірювальних баз та напрямку положення вимірювального елемента
(датчика). Наведені в технічних джерелах відомості [1–3, 5] свідчать про неоднозначність підходів
до визначення передаточних відношень і не охоплюють усієї гами засобів вимірювання.
2. Постановка задачі
Методи математичного моделювання дозволяють урахувати велику кількість чинників, що
впливають на точність вимірювання. Згідно з ГОСТ [4], похибки форми необхідно визначати
відносно прилеглого кола, яке не співпадає з вимірювальною базою, що реалізовано двома
опорами. Невизначеність базування полягає у зміні положення вимірювальної бази внаслідок
похибок форми поверхні, що вимірюється.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 95
При обробці на токарних верстатах найбільш часто зустрічаються похибки форми
внутрішньої поверхні у вигляді тригранної огранки, що викликано використанням трикулачкових
патронів. Для проведення експерименту вибрано три фактори, які найбільш впливають на точність
вимірювання: положення базових опор α , положення датчика β , величина похибки форми Ф∆ .
Розташування базових опор (рис. 1) впливає на положення вимірюваної поверхні, оскільки
змінюється положення центру за рахунок зміни базування, а отже даний фактор впливає на
точність вимірювання.
Рис. 1. Вплив положення базових опор та датчика на базування вимірювальної поверхні
Вплив розміщення вимірювального елемента (датчика) на точність вимірювання відхилення
від круглості пояснюється тим, що, в залежності від кожного положення базових опор та
геометричної форми вимірювальної поверхні, існують зони, в яких показання датчика будуть
максимальні ( )1β , та «нульові зони» ( )2β , в яких не буде фіксуватися відхилення форми.
Математичне планування експерименту здійснюється за допомогою рототабельного плану
для вибраних рівнів варіювання (табл. 1) для отворів номінального діаметра 120 мм.
Таблиця 1. Фактори та рівні їх варіювання
Досліджувані фактори
Кут між опорами α Кут від опори до датчика β Допуск форми ∆ф
Рівні варіювання
досліджуваних факторів
х1° х1 х2° х2 х3 ,мм х3
Зоряна точка +α 140 +1,682 140 +1,682 0,37 +1,682
Верхній рівень хі тах 120 + 1 120 + 1 0,30 + 1
Нульовий рівень x0i 90 0 90 0 0,20 0
Нижній рівень хі тin 60 –1 60 –1 0,10 –1
Зоряна точка – α 40 –1,682 40 –1,682 0,03 –1,682
Інтервали варіювання ∆
хі
30 1 30 1 0,10 1
3. Методи рішення поставленої задачі
Машинний експеримент було реалізовано у програмному середовищі CATIA V5R18, яке дозволяє
встановлювати прив’язки (спряження дотику) до профілю, що моделюється у вигляді кривої Бєз’є.
Методика моделювання починається зі створення трикутного овоїду, у якого відхилення від
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 96
круглості Ф∆ відповідає заданому рівню для кожного експерименту. Базові опори прийнято з
постійним радіусом 2,5 мм на відстані 57,5 мм від центру О (рис. 2), кут між опорами α
встановлюється згідно з матрицею планування
експериментів.
Радіус опор та положення їх центрів фіксуються,
що виключає можливість випадкового порушення їх
розташування чи розміру при проведенні експерименту.
До встановлених опор, згідно зі схемами вимірювання, за
допомогою прив’язок (спряження дотику) фіксується
положення овоїда. Наступним кроком з центру (точки О)
проводиться промінь під кутом β , що відповідає даному
експерименту. Ставиться «точка перетину» даного
променя і заданого овоїда.
Рис. 2. Модель об’єкта вимірювання
Розмір Ri від центру до «точки перетину» під час обертання овоїду змінюється, тому
використовується параметризація на кожному кутовому положенні. Автоматично фіксується
максимальне і мінімальне значення Ri . Така схема імітує процес вимірювання у приладі, а розмір
Ri імітує вимірювальний елемент (датчик) приладу. Різниця максимального і мінімального значень
Ri буде результатом ВИМ∆ моделювання процесу вимірювання. Статистичні дані для параметра
ВИМ∆ отримуються шляхом випадкової побудови форми овоїда з однаковою величиною похибки
форми Ф∆ .
Під час обертання овоїда змінювалися значення параметризованого розміру (рис. 3).
Обертання здійснюється в інтерактивному режимі, моделюючи дії контролера на реальному
пристрої. Збільшення точності вимірювання і визначення максимального та мінімального значень
Ri через певний проміжок залежить від величини кута повороту тому, що покази розміру лише
наближаються до екстремальної похибки форми.
Рис. 3. Динаміка процесу вимірювання
Для пошуку оптимальних параметрів триточкової схеми вимірювання круглості реалізовано
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 97
центральний композиційний рототабельний уніформ-план другого порядку при 3=k [6]. Величина
зоряного плеча 682,1±=α і кількість нульових точок 60 =n , паралельних у центрі плану, вибрано
з умови рототабельності.
Результати повного факторного експерименту типу 23 (ядро плану) дозволили знайти оцінку
вільного члена '
0b лінійної моделі, середнє значення експериментальних даних та дисперсію
помилок спостереження, що визначені за результатами паралельних дослідів у центрі плану:
,420,08/361,3N/у 'b
8
1и
u0 ==′=∑
=
,076,06/455,0n/)(у 0
n
1i
0i0
0
===∑
=
y
.000286,05/00143,0)1n/()у(у 0
n
1i
2
00i
2
пом
0
==−−=∑
=
s
Число ступенів волі дисперсії ( ) 510 =−= nfпом . При рівні значущості 05,0=α і 5=помf
дорівнює табличне значення t -критерію Стьюдента 571,2=таблt .
Значущість відмінності між завбаченим )( ,
0b і спостережуваним ( 0y ) визначено значення
функції відгуку в центрі плану, використовуючи залежність
,)
Nn(
у
0
0
пом00 Nn
n
stb табл ⋅
⋅+⋅>′−
де n – кількість паралельних дослідів у кожній точці плану, прийнято 3=n ;
N – загальна кількість серій дослідів у плані, 8=N .
Якщо умова виконується, відмінність вважається значущою. Це свідчить про істотний вплив
на функцію відгуку ефектів при квадратичних членах і необхідність постановки додаткових дослідів,
щоб дістати квадратичну модель.
Оскільки розрахунки показали, що 0776,0344,0у 00 >=′−b , тому в подальшому були
реалізовані досліди в зоряних точках.
Знайдемо оцінки коефіцієнтів моделі другого порядку, попередньо визначивши всі суми і
коефіцієнти:
,уу b
k
1i
N
1
u
2
2
N
1u
u10 ∑∑∑
= ==
⋅−=
u
iuxaa
,,...,2,1,у b
N
1u
u3i kixa iu =⋅= ∑
=
,1,у b
N
1u
u4ij kjixxa juiu ≤<≤⋅⋅= ∑
=
,,...,2,1,ууу b
k
1i
N
1u
N
1u
u7u
2
6
N
1u
u
2
5ii kiaxaxa iuiu =−⋅−⋅= ∑∑ ∑∑
= = ==
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 98
( ) .077,0259,3967,4146,605679,0368,516634,00 =++⋅−⋅=b
.
1119,0
0001,0
0,0041
528,1
002,0
056,0
07322,0
3
2
1
−
−
=
−
−
⋅=
b
b
b
.
0025,0
0013,0
0,2575
020,0
010,0
060,2
12500,0
23
13
12
−
−=
−
−⋅=
b
b
b
{ } { } .
0021,0
1046,0
1783,0
368,505679,0372,1400689,0
259,3
967,4
146,6
06250,0
33
22
11
−
=⋅−⋅+
⋅=
b
b
b
Тоді шукане рівняння регресії
+−−++−−= 323121321 0025,00013,02575,01119,00001,00041,00771,0ˆ xxxxxxxxxу
.0021,01046,01783,0 2
3
2
2
2
1 xxx −++
Для перевірки адекватності моделі визначено дисперсію неадекватності за формулою
,
)1('
)ˆ(
0
1
1
2
2
на
0
−−−
−
=
∑
+−
=
nkN
yyn
s
nN
u
uuu
де uŷ
– значення функції в u-му рядку, обчислене за знайденою математичною моделлю;
'k – кількість значущих коефіцієнтів рівняння регресії.
.1232,05/0,6160 2
на ==s
Розрахункове значення F -критерію Фішера:
,
)ˆ(
'
1
)(
N
1u
n
1
2
1
2
u
∑∑
∑
= =
=
−
−⋅
−
−
=
i
uui
N
u
u
yy
kNn
kT
yy
F
.769,430000286,0/1232,0 ==F
Оскільки 05,5=> таблFF , вибране при 05,0=α , 5=наf , 5=помf , то знайдена модель
адекватно описує досліджуваний процес.
Щоб перевірити значущість коефіцієнтів, визначаються їх дисперсії за такими формулами
[6]:
, 2
8
2
b0 помsas ⋅=
, 2
10
2
bij помsas ⋅=
, 2
9
2
bi помsas ⋅=
, 2
11
2
bii помsas ⋅=
,00005,0000286,016634,0 2
b0
=⋅=s
,00002,0000286,007322,0 2
bi
=⋅=s
,00004,0000286,012500,0 2
bij
=⋅=s
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 99
.00002,0000286,006939,0 2
bii
=⋅=s
Враховуючи, що 571,2=таблt при 05,0=α і 5=помf , дістанемо:
,01818,00071,0571,2
00
=⋅=⋅=∆ bтаблb st
,01149,000447,0571,2 =⋅=⋅=∆
ii bтаблb st
,01626,000632,0571,2 =⋅=⋅=∆
ijij bтаблb st
.01149,000447,0571,2 =⋅=⋅=∆
iiii bтаблb st
Якщо виконується умова bb ∆≥ , то коефіцієнти рівняння регресії вважаються значущими,
тобто їх вплив на функцію відгуку перевищує похибки вимірювання.
Оскільки 01818,0077,00 >=b .
{ },01149,0
1119,0
0001,0
0,0041
3
2
1
>
<
<
=
=
=
b
b
b
{ },01626,0
0025,0
0013,0
0,2575
23
13
12
>
<
>
=
=
=
b
b
b
{ },01149,0
0021,0
1046,0
0,1783
33
22
11
>
<
>
=
=
=
b
b
b
то бачимо, що деякі коефіцієнти є незначущими.
Тоді шукане рівняння регресії набирає вигляду
.1046,01783,02575,01119,00771,0ˆ 2
2
2
1213 xxxxxу ++++=
Щоб перевірити якість моделі, визначимо коефіцієнт множинної кореляції :
,)(/)ˆ(1
2
1
1 1
22
−−−= ∑ ∑
= =
N
u
N
u
uuu yyyyR
9994,03054,521/6160,01 =−=R
і перевіримо його значущість за F -критерієм:
( )[ ] ( )[ ] .2341,7706160,0/7206/6160,03054,521 =−⋅−=F
Оскільки величина R близька до одиниці, а 92,2=> таблFF , вибраного при 05,0=α ,
61 =f , 132 =f , то ця модель є адекватною і надійно описує досліджуваний процес.
Проведемо статичну обробку отриманих результатів. Для перевірки відтворювання дослідів
по критерію Кохрена при вибраному рівні значущості 05,0=α розрахуємо в кожній точці
факторного простору середнє значення:
20,1i,
3
yyy
y
321 iii
i =++=
та оцінку дисперсії спостережень використовуваного параметра:
( ) ,20,1,
13
1
)(
3
1
22 =−
−
= ∑
=
iyyiS
t
ii
y
t
де tiy – значення залежної змінної в i -й точці плану при t -м у паралельному досліді.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 100
Оцінки коефіцієнтів регресійного рівняння виконуються з використанням матриці планування
експерименту F , розраховується дисперсійна матриця С за формулою: ( ) 1
:
−⋅= FFC T .
Рис. 4. Дисперсійна матриця
Матриця С свідчить (відповідні ненульові елементи матриці), що оцінки 0b і всі iib
корельовані між собою.
Після обчислення коефіцієнтів рівняння регресії прийме вигляд:
+−−++−−= 323121321 0025,00013,02575,01119,00001,00041,00772,0ˆ xxxxxxxxxу
.0023,01045,01782,0 2
3
2
2
2
1 xxx −++
Для перевірки статистичної значущості коефіцієнтів знайдемо оцінку дисперсії одиничного
спостереження:
( ) ,000135,000135,0004736,0
45
1
)()(
1
14
1
14
1
3
1
20
3
1
22
н =+=
+−+−= ∑ ∑∑∑
= = ==і і t
i
t
ii
н
tt yyyy
q
s
де
,0759,0
18
366,1
63
11 20
15
3
11 10
0
0
==
⋅
== ∑∑∑∑
= =
+
+= = i t
t
nr
ri t
t ii yy
n
y
ν
ν
( ) ( ) 451632141122 0 =−⋅+⋅=−+−⋅+= − vnvnq pn
н – число степенів волі.
Знайдемо оцінки дисперсій отриманих коефіцієнтів регресії:
для 0b̂ : 0,000022,0,16634000135,00
22
0 =⋅=⋅= сss н
для jb̂ : ,000099,007322,0000135,01
22 =⋅=⋅= сss нj
для jjb̂ : ,0000093,006900,0000135,02
22 =⋅=⋅= сss нjj
для jpb̂ : .000017,012500,0000135,03
22 =⋅=⋅= сss нjp
Розрахункове значення t -критерію Стьюдента:
,
ˆ
b
p s
b
t =
C
0.166 0 0 0 -0.057 -0.057 -0.057 0 0 0
0 0.073 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.073 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.073 0 0 0 0 0 0
-0.057 0 0 0 0.069 0.007 0.007 0 0 0
-0.057 0 0 0 0.007 0.069 0.007 0 0 0
-0.057 0 0 0 0.007 0.007 0.069 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0.125 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125
=
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 101
,459,16
004690,0
0772,0ˆ
0
0 ==
bs
b
,412,0
009949,0
0041,01̂ ==
jbs
b
,010,0
009949,0
0001,0ˆ
2 ==
jbs
b
,247,11
009949,0
1119,03̂ ==
jbs
b
,434,58
003049,0
1782,01̂1 ==
jjbs
b
,273,34
003049,0
1045,0ˆ
22 ==
jjbs
b
,754,0
003049,0
0023,0ˆ
33 ==
jjbs
b
,453,62
004123,0
2575,01̂2 ==
jpbs
b
,315,0
004123,0
0013,01̂3 ==
jpbs
b
.606,0
004123,0
0025,0ˆ
23 ==
jpbs
b
За t -критерієм Стьюдента знайдемо статистичну значущість коефіцієнтів регресії при
05,0=α та 45qн = , 018,2=kpt .
З розрахунків видно, що коефіцієнти 1b̂ , 2b̂ , 33b̂ , 13b̂ , 23b̂
є незначущими, тому їх
необхідно виключити з математичної моделі. Оскільки це призведе до зміни значущих коефіцієнтів,
то ці оцінки і їх дисперсії необхідно розрахувати заново (виключивши незначущі члени).
Дисперсійна матриця С:
Коефіцієнти регресійного рівняння після відкидання незначущих факторів:
,: YFCb T ⋅⋅= .
2575,0
1047,0
1784,0
1119,0
0753,0
=b
Рівняння регресії після відкидання незначущих факторів отримає вигляд
.1047,01784,02575,01119,00753,0ˆ 2
2
2
1213 xxxxxу ++++=
За t -критерієм Стьюдента визначаємо статистичну значущість нових коефіцієнтів регресії
при 05,0=α .
,991,15
004690,0
075,0ˆ
0
0 ==
bs
b
,248,11
009949,0
112,03̂ ==
jbs
b
C FT F⋅( ) 1−
:= , C
0.12
0
0.051−
0.051−
0
0
0.073
0
0
0
0.051−
0
0.069
0.006
0
0.051−
0
0.006
0.069
0
0
0
0
0
0.125
=
.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 102
,434,58
003049,0
178,01̂1 ==
jjbs
b
.273,34
003049,0
105,0ˆ
22 ==
jjbs
b
,454,62
004123,0
258,01̂2 ==
jpbs
b
За F -критерієм Фішера перевіримо адекватність математичної моделі при 05,0=α . При
цьому оцінка дисперсії неадекватності 2
аs визначається рівнянням
( ) ,04645,01548,00000049,06
10
3
)ˆ()ˆ(6
3 14
1
22102 =+⋅=
−+−= ∑
=
+
i
iir
a
a yyyy
q
s
де 105101620w
2
)2n()1n(
1nNq 0a =+−+−=++⋅+−+−=
– число ступенів волі,
w – число незначущих коефіцієнтів регресії.
,074,344
000135,0
04645,0
2
2
===
н
a
p s
s
F
08,2=табF .
Так як табp FF > , то модель вважається адекватною.
Для зручності та наочності розрахунку коефіцієнтів рівняння регресії вирішено використати
загально прийнятий програмний продукт для наукових досліджень – Statistica v7.0.61.0. Даний
програмний продукт дозволяє розраховувати коефіцієнти рівняння регресії, аналізувати їх та
побудувати поверхні відгуку для отриманого поліному.
Для цього в модулі програми Design of Experiments (планування експерименту) задаємо
матрицю планування експерименту та вводимо дані, отримані при проведенні експерименту
(рис. 5).
З рисунку видно, що статистично значимі ефекти (рівень 05,0<p ) мають два квадратних
члени Х1 та Х2, добуток Х1*Х2 та лінійний член Х3. Карта Парето свідчить, що два квадратних
члени Х1 та Х2, добуток Х1*Х2 та лінійний член Х3 моделі дають значимі ефекти (з 95%-ною
імовірністю).
Графічне представлення поверхонь відгуку використовувалося для визначення ступеня
впливу факторів (рис. 6), що свідчить про нелінійність одержаної залежності.
Для більш детального розгляду області максимуму Statistica дозволяє розглянути контурні
графіки (рис. 7) у вигляді ліній рівнів одержаної поверхні відгуку.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 103
Рис. 5. Матриця планування експерименту та результати дисперсійного аналізу
Рис. 6. Поверхні відгуку: а) залежність виміряної величини відхилення від круглості від напрямку
вимірювання ( )β=2X та кута між опорами ( )α=1X ; б) від допуску форми ( )ФX ∆=3 та кута між
опорами ( )α=1Х ; в) від допуску форми ( )ФX ∆=3 та напрямку вимірювання ( )β=2X
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 104
Рис. 7. Контурні графіки поверхонь відгуку
Після аналізу даних та відкидання незначущих факторів рівняння регресія отримає вигляд
.1046,01783,02575,01119,00767,0ˆ 2
2
2
1213 xxxxxу ++++=
Порівняльна таблиця отриманих та розрахункових даних наведена на рис. 8.
Об’єкт дослідження мав фіксовану (відому) величину відхилення від круглості, яка порівнювалась з
величиною, кілька разів виміряною.
Рис. 8. Відносне порівняння отриманих та вихідних даних
Проаналізувавши результати машинного моделювання у програмному пакеті Statistica,
отримали, що при певних значеннях факторів модель не відповідає дійсності на певних ділянках
області вимірювання.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 105
Це пов’язано з тим, що зі зміною величини відхилення від круглості змінюються й величини
кутів, що визначають положення опор і датчика. Таким чином, даний фактор є корельованим. Отже,
вирішено повторно провести експеримент для двох факторів: кута α , що визначає положення
базових опор, та кута β , що визначає положення вимірювального елемента (датчика).
Розрахунок передаточних коефіцієнтів схем вимірювання круглості з використанням
регресійної моделі полягає у визначенні вихідних параметрів, таких як альфа та бета. Як відомо,
показання приладу вим∆ пов'язані зі значенням відхилення від круглості Ф∆ рівнянням
фвим к ∆⋅=∆ ,
де к – коефіцієнт пропорційності, який називають "коефіцієнтом відтворення" або "передаточним
коефіцієнтом".
Даний коефіцієнт залежить від кута, що характеризує положення датчика β , кута, що
визначає положення опор α та кількості граней ( )βα ,: fkn = .
Таким чином, коефіцієнт відтворення буде визначатися:
.
∆
∆
k
ф
вим=
Оскільки похибка форми під час моделювання була постійною величиною 2,0=∆Ф мм, а
показання приладу вим∆ визначаються знайденими математичними залежностями
– для овальності ( )2=n 2
22121 0667,01003,00768,00878,04010,0 xxxxxвим −−−−=∆ , мм;
– для огранки ( )3=n 2
221
2
1 1308,02643,01883,00740,0 xxxxвим +++=∆ , мм,
то отримаємо математичні залежності, що визначають передаточний коефіцієнт різницевої
схеми вимірювання:
– для овальності ;3335,05015,03840,04390,00050.2 2
22121 xxxxxk −−−−=
– для огранки .6540,03215,19415,03700,0 2
221
2
1 xxxxk +++=
Порівняння отриманих математичних залежностей з довідниковими значеннями, що
застосовуються на виробництві для приведеної схеми вимірювання (рис. 9), свідчить про
підвищення точності.
Рис. 9. Порівняння довідкових та розрахункових передаточних коефіцієнтів для типових
(виробничих) різницевих схем вимірювання
Верифікація моделі здійснювалась шляхом співставлення передаточних коефіцієнтів для
відомих схем вимірювання. Розбіжність розрахункових та довідникових значень не перевищує 5%,
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 106
що допускається в машинобудуванні. Тому виведені математичні залежності передаточного
коефіцієнта можна використовувати як універсальні, що дозволяють розраховувати коефіцієнт
відтворення будь-якої різницевої триточкової схеми.
4. Висновки
Варіації розміщення базових опор та датчика при постановці експерименту охоплюють всю зону
вимірювання, що дозволяє виявити особливості вимірювання за даною схемою. Змодельовані
таким чином схеми вимірювання дають змогу в повній мірі судити про процес вимірювання і виявити
вплив кожного фактора. Найбільш впливає на точність вимірювання вибір напрямку вимірювання
( )22xb , який при співпаданні з похибкою, спричиненою невизначеністю базування, збільшує
величину передаточного відношення в залежності від відстані між опорами ( )2121 xxbb .
Отримано адекватні математичні моделі для дослідження триточкової схеми вимірювання
круглості поверхонь типу овоїд, форма яких відповідає дійсним параметрам геометричної точності
робочих поверхонь крутильних кілець діаметром 120 мм, що виготовлені науково-виробничим
підприємством «ТЕХТОН», м. Чернігів.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Авдулов А.Н. Контроль и оценка круглости деталей машин. – М.: Издательство стандартов, 1974. – 176 с.
2. Верхотуров Б.Я., Кузьмин Б.И. Трехточечный разностный метод измерения отклонений от круглости //
Вестник машиностроения. – 1982. – № 11. – С. 80 – 83.
3. Гебель И.Д. Выбор базовой окружности при измерении формы профиля тел вращения // Измерительная
техника. – 1973. – № 10. – С. 58 – 60.
4. ГОСТ 24642-81 (СТ СЭВ 301-88). Допуски формы и расположения поверхностей. Основные термины и
определения. – М.: Издательство стандартов, 1990. – 70 с.
5. ИСО 6318-1985 P. Методы контроля круглости – термины, определения и параметры круглости. – 1985. –
14 с.
6. Душинський В.В. Основи наукових досліджень. Теорія та практикум: Навч. посібник – К.: НТУУ «КПІ», 1998. –
408 с.
Стаття надійшла до редакції 22.08.2008
|