Динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом
Розв'язано лінійну задачу про гармонічні коливання в'язко-пружного шару, навантаженого плоским круговим штампом за умов повного прилипання або гладкого контакту. Така постановка моделює контактну взаємодію поверхневих біотканин з вібратором або сенсором. Побудовано ефективний алгоритм для...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2005
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/476 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом / В.Т. Грінченко, В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 42-50. — Бібліогр.: 22 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-476 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-4762008-10-15T19:57:26Z Динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом Грінченко, В.Т. Олійник, В.Н. Розв'язано лінійну задачу про гармонічні коливання в'язко-пружного шару, навантаженого плоским круговим штампом за умов повного прилипання або гладкого контакту. Така постановка моделює контактну взаємодію поверхневих біотканин з вібратором або сенсором. Побудовано ефективний алгоритм для визначення фізико-механічних полів та імпедансу поверхні, яка контактує зі штампом. Встановлено, що у розглянутому діапазоні частот система демонструє резонансну поведінку, причому частота резонансу спадає при збільшенні відносного радіуса штампа. Для малих штампів активна і реактивна частини імпедансу мають один порядок. При зростанні радіуса штампа відносна доля активної частини імпедансу зменшується. Показано, що реактивні частини імпедансу при гладкому контакті та прилипанні мають близькі значення. Водночас, при повному прилипанні штампа активна частина імпедансу шару зростає з частотою значно швидше. Для відносно малих вібраторів і сенсорів величина імпедансу поверхні піддатливого шару значно менша за значення, яке дається стержньовим наближенням для циліндра. Для пристроїв з радіусом контактної зони, який перевищує товщину шару, імпеданс поверхні зростає у порівнянні зі стержньовим наближенням. Така поведінка дозволяє адекватно описати у рамках єдиного підходу результати, одержані різними групами дослідників при різних геометричних параметрах системи ``поверхня тіла людини - контактний сенсор (вібратор)''. Різке зростання нормальних і дотичних напружень на краю штампа свідчить про тенденцію до його відриву при його коливаннях на поверхні досліджуваного об'єкта. Виходячи з цього, при розробці методик зйому віброакустичних сигналів з піддатливих поверхонь першочергову увагу слід приділяти надійному закріпленню на них країв контактних сенсорів. The paper deals with solution of a linear problem on harmonic vibrations of viscoelastic layer loaded with a smooth plane round piston under the conditions of full adhesion and smooth contact. Such a statement is used to model the contact interaction between the surface biotissue and the vibrator or sensor. An efficient algorithm is developed for determining physico-mechanical fields and impedance of the surface contacting with the piston. It is proved that the system demonstrates resonant behavior in the considered frequency range, and the resonant frequency decreases with the increase of relative piston radius. The active and reactive parts of the impedance are of the same order for small pistons. The piston radius being increased, the share of the active impedance component decreases. It is shown that the reactive impedance components have close values at smooth contact and full adhesion. At the same time, at full adhesion the active component of the layer impedance increases with frequency much faster. For relatively small vibrators and sensors the surface impedance of compliant layer lies significantly below the value given by rod approximation for the cylinder. For the devices with the contact zone radius exceeding the layer height, the impedance increases in comparison with the rod approximation. Such behavior allows the adequate description within the unified approach of the results obtained by different research groups under various geometric parameters of the system ``human body surface - contact sensor (vibrator)''. A sharp increase of normal and tangential stresses at the piston edge is the evidence of the tendency to its separation when vibrating on the surface of the investigated object. Originating from this fact, when developing the techniques of signal recording from compliant surfaces, the top-priority attention should be given to reliable fixture of the edges of contact sensors. 2005 Article Динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом / В.Т. Грінченко, В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 42-50. — Бібліогр.: 22 назв. — укp. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/476 534.26 uk Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розв'язано лінійну задачу про гармонічні коливання в'язко-пружного шару, навантаженого плоским круговим штампом за умов повного прилипання або гладкого контакту. Така постановка моделює контактну взаємодію поверхневих біотканин з вібратором або сенсором. Побудовано ефективний алгоритм для визначення фізико-механічних полів та імпедансу поверхні, яка контактує зі штампом. Встановлено, що у розглянутому діапазоні частот система демонструє резонансну поведінку, причому частота резонансу спадає при збільшенні відносного радіуса штампа. Для малих штампів активна і реактивна частини імпедансу мають один порядок. При зростанні радіуса штампа відносна доля активної частини імпедансу зменшується. Показано, що реактивні частини імпедансу при гладкому контакті та прилипанні мають близькі значення. Водночас, при повному прилипанні штампа активна частина імпедансу шару зростає з частотою значно швидше. Для відносно малих вібраторів і сенсорів величина імпедансу поверхні піддатливого шару значно менша за значення, яке дається стержньовим наближенням для циліндра. Для пристроїв з радіусом контактної зони, який перевищує товщину шару, імпеданс поверхні зростає у порівнянні зі стержньовим наближенням. Така поведінка дозволяє адекватно описати у рамках єдиного підходу результати, одержані різними групами дослідників при різних геометричних параметрах системи ``поверхня тіла людини - контактний сенсор (вібратор)''. Різке зростання нормальних і дотичних напружень на краю штампа свідчить про тенденцію до його відриву при його коливаннях на поверхні досліджуваного об'єкта. Виходячи з цього, при розробці методик зйому віброакустичних сигналів з піддатливих поверхонь першочергову увагу слід приділяти надійному закріпленню на них країв контактних сенсорів. |
| format |
Article |
| author |
Грінченко, В.Т. Олійник, В.Н. |
| spellingShingle |
Грінченко, В.Т. Олійник, В.Н. Динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом |
| author_facet |
Грінченко, В.Т. Олійник, В.Н. |
| author_sort |
Грінченко, В.Т. |
| title |
Динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом |
| title_short |
Динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом |
| title_full |
Динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом |
| title_fullStr |
Динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом |
| title_full_unstemmed |
Динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом |
| title_sort |
динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/476 |
| citation_txt |
Динамічні властивості в'язко-пружного шару при гармонічному навантаженні круговим штампом / В.Т. Грінченко, В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 42-50. — Бібліогр.: 22 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT grínčenkovt dinamíčnívlastivostívâzkopružnogošaruprigarmoníčnomunavantaženníkrugovimštampom AT olíjnikvn dinamíčnívlastivostívâzkopružnogošaruprigarmoníčnomunavantaženníkrugovimštampom |
| first_indexed |
2025-07-02T04:15:56Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:15:56Z |
| _version_ |
1836507209131884544 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 42 – 50
УДК 534.26
ДИНАМIЧНI ВЛАСТИВОСТI В’ЯЗКО-ПРУЖНОГО ШАРУ
ПРИ ГАРМОНIЧНОМУ НАВАНТАЖЕННI
КРУГОВИМ ШТАМПОМ
В. Т. Г Р IН Ч Е НК О, В. Н. ОЛ IЙ Н И К
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 16.02.2005
Розв’язано лiнiйну задачу про гармонiчнi коливання в’язко-пружного шару, навантаженого плоским круговим штам-
пом за умов повного прилипання або гладкого контакту. Така постановка моделює контактну взаємодiю поверхневих
бiотканин з вiбратором або сенсором. Побудовано ефективний алгоритм для визначення фiзико-механiчних полiв
та iмпедансу поверхнi, яка контактує зi штампом. Встановлено, що у розглянутому дiапазонi частот система де-
монструє резонансну поведiнку, причому частота резонансу спадає при збiльшеннi вiдносного радiуса штампа. Для
малих штампiв активна i реактивна частини iмпедансу мають один порядок. При зростаннi радiуса штампа вiдносна
доля активної частини iмпедансу зменшується. Показано, що реактивнi частини iмпедансу при гладкому контактi та
прилипаннi мають близькi значення. Водночас, при повному прилипаннi штампа активна частина iмпедансу шару
зростає з частотою значно швидше. Для вiдносно малих вiбраторiв i сенсорiв величина iмпедансу поверхнi пiдда-
тливого шару значно менша за значення, яке дається стержньовим наближенням для цилiндра. Для пристроїв з
радiусом контактної зони, який перевищує товщину шару, iмпеданс поверхнi зростає у порiвняннi зi стержньовим
наближенням. Така поведiнка дозволяє адекватно описати у рамках єдиного пiдходу результати, одержанi рiзни-
ми групами дослiдникiв при рiзних геометричних параметрах системи “поверхня тiла людини – контактний сенсор
(вiбратор)”. Рiзке зростання нормальних i дотичних напружень на краю штампа свiдчить про тенденцiю до його
вiдриву при його коливаннях на поверхнi дослiджуваного об’єкта. Виходячи з цього, при розробцi методик зйому
вiброакустичних сигналiв з пiддатливих поверхонь першочергову увагу слiд придiляти надiйному закрiпленню на
них країв контактних сенсорiв.
Решена линейная задача о гармонических колебаниях вязко-упругого слоя, нагруженного плоским круговым штам-
пом при условиях полного прилипания и гладкого контакта. Такая постановка моделирует контактное взаимодей-
ствие поверхностных биотканей с вибратором или датчиком. Построен эффективный алгоритм для определения
физико-механических полей и импеданса поверхности, контактирующей со штампом. Установлено, что в рассмо-
тренном диапазоне частот система демонстрирует резонансное поведение, причем частота резонанса спадает при
увеличении относительного радиуса штампа. Для малых штампов активная и реактивная части импеданса имеют
один порядок. При возрастании радиуса штампа относительная доля активной части импеданса уменьшается. По-
казано, что реактивные части импеданса при гладком контакте и прилипании имеют близкие значения. Вместе с
тем, при полном прилипании штампа активная часть импеданса слоя возрастает с частотой значительно быстрее.
Для относительно малых вибраторов и датчиков величина импеданса поверхности податливого слоя значительно
меньше значения, которое дается стержневым приближением для цилиндра. Для устройств с радиусом контактной
зоны, превышающим толщину слоя, импеданс поверхности возрастает по сравнению со стержневым приближением.
Такое поведение позволяет адекватно описать в рамках единого подхода результаты, полученные разными груп-
пами исследователей при разных геометрических параметрах системы “поверхность тела человека – контактный
датчик (вибратор)”. Резкое возрастание нормальных и касательных напряжений на краю штампа свидетельствует
о тенденции к его отрыву при колебаниях на поверхности исследуемого объекта. Исходя из этого, при разработке
методик съема виброакустических сигналов с податливых поверхностей первоочередное внимание следует уделять
надежному закреплению на них краев контактных датчиков.
The paper deals with solution of a linear problem on harmonic vibrations of viscoelastic layer loaded with a smooth
plane round piston under the conditions of full adhesion and smooth contact. Such a statement is used to model the
contact interaction between the surface biotissue and the vibrator or sensor. An efficient algorithm is developed for
determining physico-mechanical fields and impedance of the surface contacting with the piston. It is proved that the
system demonstrates resonant behavior in the considered frequency range, and the resonant frequency decreases with
the increase of relative piston radius. The active and reactive parts of the impedance are of the same order for small
pistons. The piston radius being increased, the share of the active impedance component decreases. It is shown that the
reactive impedance components have close values at smooth contact and full adhesion. At the same time, at full adhesion
the active component of the layer impedance increases with frequency much faster. For relatively small vibrators and
sensors the surface impedance of compliant layer lies significantly below the value given by rod approximation for the
cylinder. For the devices with the contact zone radius exceeding the layer height, the impedance increases in comparison
with the rod approximation. Such behavior allows the adequate description within the unified approach of the results
obtained by different research groups under various geometric parameters of the system “human body surface – contact
sensor (vibrator)”. A sharp increase of normal and tangential stresses at the piston edge is the evidence of the tendency
to its separation when vibrating on the surface of the investigated object. Originating from this fact, when developing
the techniques of signal recording from compliant surfaces, the top-priority attention should be given to reliable fixture
of the edges of contact sensors.
ВСТУП
Вiдомо, що присутнiсть контактного сенсора на
пiддатливiй поверхнi може стати причиною iсто-
тного спотворення вiброакустичного поля в око-
лi точки прийому [1 – 4]. Тому вивчення особли-
востей динамiчної взаємодiї поверхнi грудної клi-
тки з пристроями рiзного призначення є важли-
42 c© В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник, 2005
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 42 – 50
вим для розвитку методик електронної реєстра-
цiї звукiв життєдiяльностi органiзму [1,5 – 7] i аку-
стичних систем активного контролю стану бронхо-
легеневого тракту [8, 9].
На жаль, незважаючи на значну кiлькiсть екс-
периментальних i теоретичних робiт, присвячених
цiй проблемi [1,2,4,10 –13], на сьогоднiшнiй день не
iснує чiткого i однозначного уявлення про основ-
нi риси формування iмпедансних властивостей по-
верхнi тiла людини. Деякi проблеми, пов’язанi з
трактуванням дослiдних даних, викладенi в робо-
тах [4, 13, 14]. Так, одне з принципових питань по-
лягає у тому, чи можна вважати контактну вза-
ємодiю з сенсором лiнiйною [2]. Iнший суттєвий
момент пов’язаний iз впливом граничних умов у
зонi контакту на величину нормальної складової
сили реакцiї бiотканини, яка породжується прису-
тнiстю сенсора [14, 15]. Нарештi, важливою є роль
геометричного фактора: серед дослiдникiв нема
єдностi у тому, як правильнiше моделювати ха-
рактер залягання поверхневих бiотканин – в’язко-
пружним пiвпростором [12,13] чи шаром, який ле-
жить на основi, утворенiй бiльш твердими ткани-
нами [16,17].
Попереднi модельнi дослiдження [14 – 16,18] до-
зволили з достатньою долею вiрогiдностi обгрун-
тувати твердження про те, що для вiдносно легких
сенсорiв поведiнка м’яких поверхневих бiотканин
тiла людини залишається лiнiйною, а геометрич-
нi та фiзичнi параметри системи не змiнюються.
Окрiм того, показано, що спрощений пiдхiд, який
дозволяє обчислити механiчний iмпеданс зони кон-
такту в стержньовому наближеннi (при нехтуваннi
поперечними хвилями), виявляється недостатнiм.
При цьому суттєво враховувати наявнiсть вiльної
поверхнi за краєм сенсора або вiбратора, який є,
по сутi, жорстким штампом, що контактує з тiлом.
Ця робота узагальнює результати дослiджен-
ня [16], в якому моделювалась поведiнка в’язко-
пружного шару бiотканини при гармонiчному на-
вантаженнi гладким штампом. Нижче буде роз-
глянуто ще один важливий випадок граничних
умов – повне прилипання штампа до деформiвної
поверхнi, що вiдповiдає закрiпленню робочих по-
верхонь медичних контактних сенсорiв на тiлi лю-
дини за допомогою клею або спецiальної липкої
стрiчки.
1. МАТЕМАТИЧНА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Розглянемо задачу про коливання в’язко-
пружного шару 0≤r<∞, 0≤z≤h при наванта-
женнi його абсолютно жорстким штампом радiуса
a. Вважатимемо, що на торцi штампа z=h зада-
0
2a
h
r
z
uz=0, rz=0
z=0, rz=0
uz=u0, ur=0 ( rz=0)
Рис. 1. Схема в’язко-пружного шару,
навантаженого штампом
нi гармонiчнi нормальнi змiщення uz(r, h)=u0e
iωt
(ω=2πf), рис. 1. Що ж до другої граничної умо-
ви на торцi, будемо розглядати два характерних
випадки: гладкий контакт або повне прилипан-
ня (зчеплення). Для простоти вважаємо, що шар
лежить на абсолютно жорсткiй гладкiй основi.
Це дозволяє звести задачу до формулювання, си-
метричного вiдносно площини нижньої поверхнi
z=0 [16].
Основна мета дослiдження полягає у встанов-
леннi закономiрностей поведiнки механiчного iм-
педансу поверхнi пiд штампом
Z =
2π
iωu0
a
∫
0
σzrdr при z = h (1)
як функцiї частоти i геометричних параметрiв си-
стеми (σz – осьовi нормальнi напруження у шарi).
Тому, аналогiчно до [16], знак показника компле-
ксної експоненти вибрано таким, щоб у ImZ знак
“−” вiдповiдав iмпедансу типу пружностi, а “+” –
iмпедансу типу маси.
Динамiчнi деформацiї матерiалу шару описую-
ться рiвнянням Ламе, яке для гармонiчного випад-
ку має вигляд [19]
c2
1
grad div u − c2
2
rot rotu = ω2
u (2)
(експоненцiйний часовий множник eiωt опущено).
Тут u = {ur, uz} – вектор амплiтуд змiщень; c1,
c2 – комплекснi швидкостi поздовжнiх та попере-
чних хвиль у матерiалi вiдповiдно:
c2
1 = 2
1 − ν
1− 2ν
G
ρ
, c2
2 =
G
ρ
;
ρ – густина матерiалу цилiндра; G – комплексний
модуль зсуву для в’язко-пружного матерiалу; ν –
коефiцiєнт Пуассона.
В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник 43
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 42 – 50
Сформулюємо граничнi умови при z=h. При
гладкому контактi виконується умова вiдсутностi
дотичних напружень τrz пiд штампом. Тому для
цього випадку
uz = u0, τrz = 0 при z = h, 0 ≤ r ≤ a. (3a)
При повному прилипаннi пiд штампом задаються
вертикальнi й радiальнi змiщення, причому амплi-
туда останнiх дорiвнює нулю:
uz = u0, ur = 0 при z = h, 0 ≤ r ≤ a. (3b)
На поверхнi за межами контакту вiдсутнi нор-
мальнi й дотичнi напруження:
σz = τrz = 0 при z = h, r ≥ a. (4)
Як уже сказано, основу, на якiй лежить шар,
вважаємо жорсткою i гладкою:
uz = 0, τrz = 0 при z = 0, 0 ≤ r < ∞. (5)
Напруження σz i τrz вiдповiдно до закону Гука
виражаються через компоненти змiщень [19]:
1 − 2ν
2G
σz = (1 − ν)
∂uz
∂z
+ ν
(
ur
r
+
∂ur
∂r
)
,
1
G
τrz =
∂ur
∂z
+
∂uz
∂r
.
(6)
2. МЕТОДИКА РОЗВ’ЯЗАННЯ
Сформульовану змiшану задачу динамiчної тео-
рiї пружностi розв’язуватимемо за допомогою ме-
тодики, запропонованої у попереднiй роботi [16].
Для цього компоненти змiщень i механiчних на-
пружень у шарi представимо у виглядi iнтегралiв
Ханкеля [16, 20]:
ur(r, z)
u0
=
∞
∫
0
U(λ, z)J1(λr)λdλ,
uz(r, z)
u0
=
∞
∫
0
W (λ, z)J0(λr)λdλ,
(7)
σz(r, z)
2G
=
∞
∫
0
S(λ, z)J0(λr)λdλ,
τrz(r, z)
2G
=
∞
∫
0
T (λ, z)J1(λr)λdλ.
(8)
Використання закону Гука (6) дозволяє зв’язати
образи напружень i змiщень:
2S(λ, z) = (κ − 2)λU + κ
dW
dz
,
2T (λ, z) =
dU
dz
− λW,
(9)
де
κ =
c2
1
c2
2
= 2
1 − ν
1 − 2ν
> 1.
Вiдомо, що вирази (7) будуть розв’язками дина-
мiчного векторного рiвняння Ламе (2), якщо [21]
U(λ, z) = κλA(λ)ch p1z − p2B(λ)ch p2z,
W (λ, z) = −κp1A(λ)ch p1z + λB(λ)ch p2z.
(10)
Тут A(λ) i B(λ) – деякi невiдомi функ-
цiї параметра перетворення Ханкеля;
p1,2 = p1,2(λ, ω)=
√
λ2−ω2/c2
1,2.
Застосування спiввiдношень (9), (10) дає лiнiй-
ний зв’язок мiж образами змiщень i напружень на
поверхнi шару z=h:
U(λ, h) = −
1
∆(λ, ω)
{
S(λ, h)×
×λ
[(
λ2 −
1
2
ω2
c2
2
)
cth p1h − p1p2cth p2h
]
+
+T (λ, h)
1
2
ω2
c2
2
p2cth p1hcth p2h
}
,
W (λ, h) = −
1
∆(λ, ω)
{
T (λ, h)×
×λ
[(
λ2 −
1
2
ω2
c2
2
)
cth p1h − p1p2cth p2h
]
+
+S(λ, h)
1
2
ω2
c2
2
p1
}
.
(11)
Тут введене позначення для визначника Релея –
Лемба:
∆(λ, ω) =
(
λ2 −
1
2
ω2
c2
2
)2
cth p1h − λ2p1p2cth p2h.
Конкретний вигляд функцiй S(λ), T (λ), якi ха-
рактеризують специфiку просторового розподiлу
фiзичних полiв у шарi, має бути визначений з гра-
ничних умов. Однак, оскiльки при r=a вiдбуває-
ться змiна типу цих умов, для одержання розв’яз-
ку задачi необхiдно зробити додатковi припущен-
ня. Запишемо нормальнi й дотичнi напруження
44 В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 42 – 50
пiд штампом у виглядi невiдомих неперервних
функцiй радiальної координати. Це дозволяє фор-
мально поширити граничнi умови для σz, τrz на
всю поверхню шару:
σz(r, h) =
σ(r), 0 ≤ r ≤ a,
0, a < r < ∞,
(12)
τrz(r, h) =
τ (r), 0 ≤ r ≤ a,
0, a < r < ∞.
(13)
Невiдомi функцiї σ(r), τ (r) можна розкласти у
ряди Фур’є – Дiнi за вiдповiдними повними i орто-
гональними на промiжку 0≤r≤a системами бази-
сних функцiй. Як i у [16], для нормальних напру-
жень варто взяти
σ(r)
2G
=
∞
∑
n=0
SnJ0(µnr),
µ0 = 0, J ′
0(µna) = 0, n ≥ 1.
(14)
Для представлення дотичних напружень розгля-
немо два варiанти:
τ (r)
2G
=
∞
∑
m=1
TmJ1(µmr),
J ′
0(µma) = 0, m ≥ 1
(15a)
i
τ (r)
2G
=
∞
∑
m=1
T̄mJ1(µ̄mr),
J0(µ̄ma) = 0, m ≥ 1.
(15b)
У рядах для σ(r), τ (r) коефiцiєнти Sn
(n=0, 1, 2, . . .) i Tm (m=1, 2, . . .) – довiльнi. Їхнi
величини мають бути визначенi з граничних умов
у зонi контакту. Очевидно, що при гладкому кон-
тактi τ (r)≡0. Тому в цьому випадку для усiх m
справедливо Tm = T̄m =0.
Враховуючи властивостi iнтегральних перетво-
рень Ханкеля для напружень (8) i властивос-
тi використаних власних функцiй, зi спiввiдно-
шень (14), (15a), (15b) легко одержати образи
σr(r, h), τrz(r, h) у виглядi вiдповiдних рядiв:
S(r, h) =
∞
∑
n=0
Sn
λa
λ2 − µ2
J0(µna)J1(λa), (16)
T (r, h) =
∞
∑
m=1
Tm
µma
λ2 − µ2
m
J0(µma)J1(λa),
∞
∑
m=1
T̄m
µ̄ma
λ2 − µ̄2
m
J0(µ̄ma)J1(λa).
(17)
На основi перетворень Ханкеля (7), з граничних
умов для змiщень пiд штампом (3b) маємо два iн-
тегральних рiвняння:
∞
∫
0
U(λ, h)J1(λr)λdλ = 0,
∞
∫
0
W (λ, h)J0(λr)λdλ = 1.
(18)
Зауважимо, що для гладкого штампа, виходячи з
граничних умов (3a), треба залишити тiльки друге
зi спiввiдношень (18).
Пiдставивши у формули (18) зв’язок мiж обра-
зами змiщень i напружень (11), а також дискре-
тнi представлення (16), (17), одержуємо систему
двох функцiональних рiвнянь, алгебраїзацiя якої
дає нескiнченну лiнiйну систему для визначення
невiдомих коефiцiєнтiв Sn, Tm (T̄m):
∞
∑
n=0
αU
mnSn +
∞
∑
m=1
βU
nmTm = 0,
∞
∑
n=0
αW
mnSn +
∞
∑
m=1
βW
nmTm = δ0n.
(19)
Ця процедура повнiстю аналогiчна до наведеної у
роботi [16], тому явнi вирази для αU
mn, αW
mn, βU
mn,
βW
mn не наводитимо. У випадку гладкого штампа
у системi (19) потрiбно залишити тiльки рiвняння
другої групи, вiдкинувши доданки, якi мiстять Tm.
Насамкiнець варто зазначити, що викладену ме-
тодику розв’язання контактних задач для шару
легко узагальнити на випадок будь-якого непе-
рервного закону радiального розподiлу напружень
або змiщень пiд штампом.
При обчисленнi шуканих фiзико-механiчних по-
лiв застосуємо метод редукцiї, який полягає у замi-
нi рядiв (14), (15a), (15b) їхнiми скiнченними вiд-
рiзками (n=0, . . . , N − 1 для Sn i m=1, . . . , N − 1
для Tm або T̄m). Це призводить до обмеження по-
рядку вихiдної алгебраїчної системи. У статтi [16]
для випадку гладкого контакту зi штампом з ура-
хуванням апрiорної iнформацiї про поведiнку на-
пружень на краю штампа був розроблений метод
покращення редукцiї на основi явного видiлення у
розв’язку компоненти, яка мiстить локальну осо-
бливiсть. Проте, як зазначено у роботi [22], при
розривному характерi дотичних напружень на по-
верхнi штампу (що, ймовiрно, справедливо i у на-
шому випадку) сингулярнiсть напружень на краю
штампа повинна мати бiльш складний характер.
Це може значно ускладнити застосування проце-
дури покращення редукцiї. Зауважимо, однак, що
В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник 45
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 42 – 50
r / a
0 0.5 1 1.5
|u
r|
/u
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
N=2
N=4
N=8
N=12
r / a
0 0.5 1 1.5
|u
z|
/u
0
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
N=2
N=4
N=8
N=12
а б
Рис. 2. Iлюстрацiя точностi виконання граничних умов для чисельного розв’язку
на частотi f =100 Гц при повному прилипаннi штампа (a=8 мм):
а – амплiтуда горизонтальних змiщень |ur |, б – амплiтуда вертикальних змiщень |uz|
результати дослiдження [16] дають упевненiсть у
тому, що вже при N =10÷20 навiть метод простої
редукцiї здатний забезпечити достатню точнiсть
чисельного розв’язку задачi.
3. АНАЛIЗ ЧИСЕЛЬНИХ РЕЗУЛЬТАТIВ
Як i в роботi [16], обчислення проведемо у
частотнiй смузi f ≤400 Гц для шару з таки-
ми фiзичними характеристиками: ρ=1100 кг/м3,
c1 =Re c1 =1500 м/с, Re c2 =1.7 м/с,
c2 = Re c2(1 + i(δ1 + ωδ2)),
причому δ1 =0.1, δ2 =0.0001 с. Товщину в’язко-
пружного шару приймемо рiвною h=20 мм. Ра-
дiус штампа a будемо варiювати у межах вiд 8 до
80 мм (0.4≤a/h≤4). Це вiдповiдає розмiрам вiбра-
торiв у натурних експериментах [2, 10] i сенсорiв,
якi використовуються для електронної аускульта-
цiї звукiв дихання [5 –7].
Перш за все, проiлюструємо швидкiсть збiжно-
стi запропонованого обчислювального алгоритму.
Для прикладу, рис. 2 показує, наскiльки точно ви-
конуються граничнi умови для змiщень (3b) на ча-
стотi f =100 Гц при рiзних порядках N редукцiї
алгебраїчної системи (τrz розкладено у ряд (15b)).
З графiкiв видно, що при N =8÷12 характер змi-
щень пiд штампом вiдслiдковується досить точно.
Що ж до механiчного iмпедансу контактної дiлян-
ки Z, який є iнтегральною динамiчною характе-
ристикою системи, то двi-три його значущi цифри
стабiлiзуються вже при N =4÷6. Аналогiчна си-
туацiя спостерiгалась i для шару, навантаженого
гладким штампом [16]. Зауважимо, що при обчи-
сленнi iмпедансу доцiльно використовувати роз-
клад (15a), оскiльки у цьому випадку вираз для
iмпедансу Z мiстить тiльки один коефiцiєнт S0.
На рис. 3 показанi частотнi залежностi ReZ та
ImZ у заданому частотному дiапазонi при рiзних
спiввiдношеннях a/h. На графiках iндексом “u”
позначенi величини, обчисленi при повному при-
липаннi штампа (неперервнi кривi), а “τ ” – при
гладкому контактi (штриховi). Окрiм того, штрих-
пунктиром показано ImZrod – iмпеданс цилiндра
з вiльною боковою поверхнею, обчислений у стер-
жньовому наближеннi за умови вiдсутностi зату-
хання [14].
Проведений аналiз дозволив зробити висновок
про те, що в широкому дiапазонi змiни a/h за-
гальна поведiнка iмпедансу залишається незмiн-
ною: на низьких частотах ImZ має характер пру-
жностi, при певному f0 переходить через резонанс
i набуває характеру маси. Для 0.4≤a/h≤4 значе-
ння резонансної частоти становить f0 <100 Гц та
iстотно знижується при зростаннi вiдносного дiа-
метра штампа. Цiкаво, що в цiлому значення уяв-
них частин iмпедансу для рiзних варiантiв гра-
ничних умов виявились дуже близькими. Водно-
час, для усiх a/h значення ReZ зростає з ча-
стотою значно швидше за умови повного прили-
пання штампа до поверхнi шару. Очевидно, цей
ефект пов’язаний з тим, що у цьому випадку
на краю штампа сильнiше збуджуються попере-
чнi моди, пов’язанi з загасанням по c2. Окрiм то-
го, навiть для δ1 6=0 за рахунок вiдсутностi ра-
дiальних змiщень пiд штампом маємо ReZu→0
при f →0. Для a/h<1 активна i реактивна части-
46 В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 42 – 50
f (Hz)
0 100 200 300 400
{R
e
Z
,I
m
Z
}
/(
a2
R
e
c 2
)
-3
0
3
6
Im ZuIm Z
Im Zrod
Re Zu
Re Z
f (Hz)
0 100 200 300 400
{R
e
Z
,I
m
Z
}
/(
a2
R
e
c 2
)
-6
0
6
12
Im ZuIm Z
Im Zrod
Re Zu
Re Z
а б
f (Hz)
0 100 200 300 400
{R
e
Z
,I
m
Z
}
/(
a2
R
e
c 2
)
-10
0
10
20 Im Zu
Im Z
Im Zrod
Re Zu
Re Z
f (Hz)
0 100 200 300 400
{R
e
Z
,I
m
Z
}
/(
a2
R
e
c 2
)
-30
0
30
60 Im Zu
Im Z Im Zrod
Re Zu
Re Z
в г
Рис. 3. Частотнi залежностi iмпедансу контактної дiлянки поверхнi шару:
а – a=8 мм (a/h=0.4), б – a=20 мм (a/h=1), в – a=30 мм (a/h=1.5), г – a=80 мм (a/h=4)
ни iмпедансу мають один порядок. При зростаннi
a/h вiдносна доля ReZ зменшується. Вiдзначимо
ще один важливий момент. Для малих вiдносних
радiусiв штампа (див. рис. 3, а) для усiх частот
справедливо ImZ/ImZrod <1. При збiльшеннi a
це вiдношення зростає, наближаючись до одини-
цi при a/h=1 (див. рис. 3, б). Для a/h>1 (див.
рис. 3, в, г), незважаючи на домiнування поздов-
жньої моди, при f >f0 виконується спiввiдношен-
ня ImZ>ImZrod. Очевидно, це можна пояснити
додатковим навантаженням бiчних стiнок умовно-
го цилiндра 0≤r≤a, 0≤z≤h у шарi iнерцiйнiстю
матерiалу поза межами штампа.
Таким чином, величина механiчної реакцiї (та
iмпедансу) поверхнi шару на присутнiсть штам-
па контролюється, насамперед, геометричним па-
раметром – вiдношенням висоти шару до радiу-
са штампа. При урахуваннi загасання поперечних
хвиль тип граничних умов впливає, здебiльшого,
на активну частину iмпедансу. При цьому порiв-
няння одержаних розрахункових даних з експери-
ментальними [10, 16] дозволяє припустити, що за
реальних умов робочi частини вiбраторiв повнiстю
або частково зчiплюються з поверхнею тiла люди-
ни. Важливо, що для вiбраторiв i сенсорiв з бiль-
шою площею контактної зони iмпеданс поверхнi
пiддатливого шару зростає (при a/h>1 поверхня
“краще тримає” пристрiй, який закрiплюється на
нiй). Звiдси випливає практичний висновок про те,
що сенсор з бiльшою площею контакту менше спо-
творює картину коливань поверхнi тiла у зонi при-
йому.
Варто зазначити, що розглянута модель конта-
ктної взаємодiї дозволяє адекватно описати в рам-
ках єдиного пiдходу результати, одержанi неза-
лежно рiзними групами дослiдникiв у натурних
В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник 47
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 42 – 50
r / a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
{|
z|,
|
rz
|}
/2
G
0
200
400
600
800
1000
z
z ( rz=0)
rz (Tn)
rz (Tn)
r / a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
{|
z|,
|
rz
|}
/2
G
0
200
400
600
800
z
z ( rz=0)
rz (Tn)
rz (Tn)
а б
r / a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
{|
z|,
|
rz
|}
/2
G
0
1000
2000
3000
4000
z
z ( rz=0)
rz (Tn)
rz (Tn)
r / a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
{|
z|,
|
rz
|}
/2
G
0
5000
10000
15000
z
z ( rz=0)
rz (Tn) rz (Tn)
в г
Рис. 4. Розподiли нормальних i дотичних напружень пiд штампом:
а – a=8 мм, f =50 Гц; б – a=30 мм, f =50 Гц; в – a=8 мм, f =300 Гц; г – a=30 мм, f =300 Гц
i модельних експериментах при рiзних геометри-
чних параметрах системи [1, 2, 10, 12]. При цьому
для вiдносно малих штампiв (a/h<1) маємо ситу-
ацiю, бiльш близьку до навантаження пiвпросто-
ру [12]. При зростаннi вiдносного радiусу штам-
па роль жорсткої пiдложки z=0 стає бiльш вiдчу-
тною, що вiдображається на значеннях еквiвален-
тних параметрiв пiддатливої поверхнi [18].
Перейдемо до розгляду чисельних даних про
розподiли механiчних напружень пiд штампом
(рис. 4). Для усiх частот i a/h нормальнi напруже-
ння на поверхнi при гладкому контактi i повному
прилипаннi штампа виявились близькими за вели-
чиною i характером радiального розподiлу (обра-
хунки проводились при N =16). Окрiм того, зав-
жди справедливо |σz|�|τrz|. Зауважимо, що σz i
τrz рiзко зростають на краю штампа. Ймовiрно,
що i нормальнi, i дотичнi напруження мають тут
особливостi (для бiльш чiткого їх вiдображення на
рис. 4, г слiд збiльшити кiлькiсть утриманих чле-
нiв у редукованих рядах). Висновок про зростан-
ня τrz при r→ a свiдчить про тенденцiю до вiдри-
ву краю приклеєного сенсора при його коливаннях
на пiддатливiй поверхнi. Дiйсно, явище часткового
вiдставання робочої поверхнi сенсора досить до-
бре вiдоме у практицi проведення вимiрювань з
поверхнi тiла людини. Тертя або удари вiльної ча-
стини робочої поверхнi сенсора об поверхню спри-
чиняють появу iнтенсивної завади у виглядi ша-
рудiння, рипiння або iмпульсiв, якi маскують ко-
рисний сигнал, ускладнюючи його реєстрацiю та
обробку. Таким чином, при розробцi методик зйо-
му вiброакустичних сигналiв з пiддатливих повер-
хонь першочергову увагу слiд придiляти надiйно-
му закрiпленню на них країв контактних сенсорiв.
Для a/h>1 розподiл |σz| пiд штампом на усiх
48 В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 42 – 50
частотах має чiтко виражений локальний макси-
мум у центрi (див. рис. 4, а, в). Для a/h<1 на
дорезонансних частотах розподiл |σz| пiд штам-
пом виглядає, скорiше, монотонним зi зростанням
його величини при збiльшеннi r (див. рис. 4, б).
На пiслярезонансних частотах тут теж формує-
ться максимум при r=a (див. рис. 4, г). Зi збiль-
шенням частоти зона концентрацiї напружень на
краю штампа дещо звужується. Осциляцiї кривих
на рис. 4 є наслiдком розрахункових похибок при
утриманнi скiнченного числа мод.
ВИСНОВКИ
1. Розв’язано змiшану задачу про гармонiчнi ко-
ливання в’язко-пружного шару, навантажено-
го плоским штампом кругового перерiзу за
умови його повного прилипання до поверхнi
шару. Розроблено ефективний алгоритм обчи-
слення фiзико-механiчних полiв у зонi конта-
кту.
2. Встановлено, що у розглянутому дiапазонi ча-
стот, незалежно вiд спiввiдношення геометри-
чних параметрiв a/h, система демонструє ре-
зонансну поведiнку, причому частота резонан-
су спадає при збiльшеннi вiдносного дiаме-
тра штампа. Для a/h<1 активна i реактивна
частини iмпедансу мають один порядок. При
зростаннi a/h вiдносна доля активної частини
iмпедансу зменшується.
3. Порiвняння показало, що значення реактив-
них частин iмпедансу при гладкому конта-
ктi та прилипаннi виявились дуже близьки-
ми. Водночас, при повному прилипаннi штам-
па активна частина iмпедансу шару зростає з
частотою значно швидше за рахунок сильнi-
шого збудження поперечних мод, пов’язаних
iз загасанням по c2.
4. Встановлено, що при формуваннi iмпедансних
властивостей поверхнi тiла вплив геометри-
чних факторiв превалює над впливом типу
граничних умов. Для вiдносно малих вiбра-
торiв i сенсорiв величина iмпедансу поверх-
нi пiддатливого шару значно менша за значе-
ння, яке дається стержньовим наближенням
для цилiндра. Для пристроїв з дiаметром кон-
тактної зони, який перевищує товщину шару,
iмпеданс поверхнi зростає у порiвняннi зi стер-
жньовим наближенням. Така поведiнка дозво-
ляє адекватно описати в рамках єдиного пiд-
ходу результати, одержанi рiзними групами
експериментаторiв.
5. Рiзке зростння нормальних i дотичних напру-
жень на краю штампа свiдчить про тенден-
цiю до вiдриву краю приклеєного сенсора при
його коливаннях на поверхнi дослiджуваного
об’єкта. Виходячи з цього, при розробцi ме-
тодик зйому вiброакустичних сигналiв з пiд-
датливих поверхонь першочергову увагу слiд
придiляти надiйному закрiпленню на них кра-
їв контактних сенсорiв.
1. Verburg J., van Vollenhoven E. Phonocardiography:
physical and technical aspects and clinical uses //
Non invasive physiological measurements.– London:
Academic press, 1979.– P. 213–259.
2. Vermarien H., van Vollenhoven E. The recordi-
ng of heart vibrations: A problem of vibration
measurement on soft tissue // Med. Biol. Engng
Comput.– 1984.– 22.– P. 168–178.
3. Вовк И. В., Гринченко В. Т., Олейник В. Н.
Проблемы моделирования акустических свойств
грудной клетки и измерения шумов дыхания //
Акуст. ж.– 1995.– 41, N 5.– С. 758–768.
4. Олiйник В. Н. Рацiональне проектування п’єзо-
акселерометрiв для вимiрювань на пiддатливих
поверхнях // Акуст. вiсн.– 1998.– 1, N 3.– С. 54–65.
5. Gavriely N. Breath sounds methodology.– London,
Tokyo: CRC Press, 1995.– 203 p.
6. Pasterkamp H., Kraman S. S., Wodicka G. R. Respi-
ratory sounds. Advances beyond the stetoscope //
J. Respir. Crit. Care Med.– 1997.– 156.– P. 974–987.
7. Вовк И. В., Дахнов С. Л., Крижановский В. В.,
Олийнык В. Н. Возможности и перспективы ди-
агностики легочных патологий с помощью ком-
пьютерной регистрации и обработки шумов дыха-
ния // Акуст. вiсн.– 1998.– 1, N 2.– С. 21–33.
8. Wodicka G. R., Stevens K. N., Golub H. L.,
Cravalho E. G., Shannon D. C. A model of acoustic
transmission in the respiratory system // IEEE
Trans. Biomed. Engng.– 1989.– 36, N 9.– P. 925–
933.
9. Paciej R., Vyshedskiy A., Shane J., Murphy R.
Transpulmonary speed of sound input into the
supraclavicular space // J. Appl. Physiol.– 2003.– 94,
N 2.– P. 604–611.
10. Тиманин Е. М. Модель формирования импедан-
сных свойств мягких биологических тканей // Ме-
тоды вибрационной диагностики реологических
характеристик мягких материалов и биологиче-
ских тканей.– Горький: ИПФ АН СССР, 1989.–
С. 75–91.
11. Еремин Е. В., Тиманин Е. М. Интерпретация ме-
ханического импеданса слоя, измеренного с по-
мощью твердого круглого штампа // Акуст. ж.–
2000.– 46, N 4.– С. 490–495.
12. Oestreicher H. L. Field and impedance of an ocsillat-
ing sphere in a viscoelastic medium with an applicati-
on to biophysics // J. Acoust. Soc. Amer.– 1951.– 23,
N 6.– P. 707–714.
В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник 49
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 42 – 50
13. Zhang X., Royston T. J., Mansy H. A., Sandler R. H.
Radiation impedance of a finite circular piston on
a viscoelastic half-space with application to medical
acoustics // J. Acoust. Soc. Amer.– 2001.– 109, N 2.–
P. 795–802.
14. Олiйник В. Н. Моделювання контактної взаємодiї
обмеженої дiлянки поверхнi тiла людини з вiбра-
тором // Акуст. вiсн.– 2003.– 6, N 2.– С. 58–67.
15. Олiйник В. Н. Моделювання механiчної реакцiї
цилiндра з в’язко-пружної бiотканини при гармо-
нiчному навантаженнi торцiв в умовах повного
зчеплення з вiбратором // Акуст. вiсн.– 2004.– 7,
N 2.– С. 65–71.
16. Грiнченко В. Т., Олiйник В. Н. Гармонiчнi ко-
ливання в’язко-пружного шару бiотканини при
навантаженнi круговим гладким штампом //
Акуст. вiсн.– 2004.– 7, N 4.– С. 34–47.
17. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Волны в поверх-
ностном слое мягкой биоткани на полупростран-
стве из твердой биоткани // Акуст. ж.– 1994.– 40,
N 2.– С. 270–274.
18. Олiйник В. Н. Визначення еквiвалентних параме-
трiв поверхнi тiла людини при взаємодiї з кон-
тактним сенсором // Доп. НАН України.– 2004.–
N 10.– С. 193–198.
19. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: На-
ук. думка, 1981.– 284 с.
20. Сеймов В. М. Динамические контактные задачи.–
К.: Наук. думка, 1976.– 284 с.
21. Куценко А. Г., Олийнык В. Н., Улитко А. Ф. Пе-
ремещения точек поверхности упругого полупро-
странства, вызванные мгновенным приложением
осесимметричной нагрузки // Акуст. вiсн.– 1999.–
2, N 2.– С. 57–68.
22. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. О локальных осо-
бенностях в математических моделях физических
полей // Мат. методи i фiз.-мех. поля.– 1998.– 41,
N 1.– С. 12–34.
50 В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник
|