Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі
У роботі роль вихідного об'єкта відіграє додатно визначений оператор L0, що діє у гільбертовому просторі H. Основний об'єкт дослідження — оператор L˜B — інтерпретується як збурення деякого власного розширення оператора L0. Із застосуванням методів теорії розширень встановлено критерії макс...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48842 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі / Г.М. Качурiвська, О.Г. Сторож // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 11-17. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-48842 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-488422013-09-05T03:07:01Z Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі Качурівська, Г.М. Сторож, О.Г. Математика У роботі роль вихідного об'єкта відіграє додатно визначений оператор L0, що діє у гільбертовому просторі H. Основний об'єкт дослідження — оператор L˜B — інтерпретується як збурення деякого власного розширення оператора L0. Із застосуванням методів теорії розширень встановлено критерії максимальної акретивності та максимальної невід'ємності оператора L˜B. У випадку, коли цей оператор є додатно визначеним, побудовано його енергетичний простір і доведено розв'язність відповідної варіаційної задачі. Більше того, розглядається ситуація, коли L0 є мінімальним оператором, породженим у просторі нескінченновимірних вектор-функцій диференціальним виразом Штурма–Ліувілля. В работе роль исходного объекта играет положительно определенный оператор L0, действующий в гильбертовом пространстве H. Основной объект исследования — оператор L˜B — интерпретируется как возмущение некоторого собственного расширения оператора L0. С применением методов теории расширений установлены критерии максимальной аккретивности и максимальной неотрицательности оператора L˜B. В случае, когда этот оператор является положительно определенным, построено его энергетическое пространство и доказана разрешимость соответствующей вариационной задачи. Более того, рассматривается ситуация, когда L0 является минимальным оператором, порожденным в пространстве бесконечномерных вектор-функций дифференциальным выражением Штурма–Лиувилля. The role of initial object is played by the positive definite operator L0 acting in a Hilbert space H. The main object of the investigation — operator L˜B — is interpreted as a perturbation of some proper extension of L0. Using methods of the extension theory, the criteria of maximal accretivity and maximal nonnegativity for L˜B are established. In the case where L˜B is a positive definite operator, its energetic space is constructed, and the solvability of the corresponding variational problem is proved. Moreover, the situation when L0 is a minimal differential operator generated in the space of infinite-dimensional vector-functions by the Sturm–Liouville differential expression is considered. 2012 Article Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі / Г.М. Качурiвська, О.Г. Сторож // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 11-17. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48842 513.88 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Качурівська, Г.М. Сторож, О.Г. Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі Доповіді НАН України |
| description |
У роботі роль вихідного об'єкта відіграє додатно визначений оператор L0, що діє у гільбертовому просторі H. Основний об'єкт дослідження — оператор L˜B — інтерпретується як збурення деякого власного розширення оператора L0. Із застосуванням методів теорії розширень встановлено критерії максимальної акретивності та максимальної невід'ємності оператора L˜B. У випадку, коли цей оператор є додатно визначеним, побудовано його енергетичний простір і доведено розв'язність відповідної варіаційної задачі. Більше того, розглядається ситуація, коли L0 є мінімальним оператором, породженим у просторі нескінченновимірних вектор-функцій диференціальним виразом Штурма–Ліувілля. |
| format |
Article |
| author |
Качурівська, Г.М. Сторож, О.Г. |
| author_facet |
Качурівська, Г.М. Сторож, О.Г. |
| author_sort |
Качурівська, Г.М. |
| title |
Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі |
| title_short |
Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі |
| title_full |
Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі |
| title_fullStr |
Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі |
| title_full_unstemmed |
Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі |
| title_sort |
умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48842 |
| citation_txt |
Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі / Г.М. Качурiвська, О.Г. Сторож // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 11-17. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kačurívsʹkagm umovidodatnoíviznačenostízburennâabstraktnogoanalogaoperatoratretʹoíkrajovoízadačítavídpovídnívaríacíjnízadačí AT storožog umovidodatnoíviznačenostízburennâabstraktnogoanalogaoperatoratretʹoíkrajovoízadačítavídpovídnívaríacíjnízadačí |
| first_indexed |
2025-07-04T09:35:57Z |
| last_indexed |
2025-07-04T09:35:57Z |
| _version_ |
1836708536517656576 |
| fulltext |
УДК 513.88
© 2012
Г.М. Качурiвська, О. Г. Сторож
Умови додатної визначеностi збурення абстрактного
аналога оператора третьої крайової задачi та вiдповiднi
варiацiйнi задачi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
У роботi роль вихiдного об’єкта вiдiграє додатно визначений оператор L0, що дiє у гiль-
бертовому просторi H. Основний об’єкт дослiдження — оператор L̃B — iнтерпретуєть-
ся як збурення деякого власного розширення оператора L0. Iз застосуванням методiв
теорiї розширень встановлено критерiї максимальної акретивностi та максимальної
невiд’ємностi оператора L̃B. У випадку, коли цей оператор є додатно визначеним, по-
будовано його енергетичний простiр i доведено розв’язнiсть вiдповiдної варiацiйної за-
дачi. Бiльше того, розглядається ситуацiя, коли L0 є мiнiмальним оператором, по-
родженим у просторi нескiнченновимiрних вектор-функцiй диференцiальним виразом
Штурма–Лiувiлля.
Систематичне дослiдження невiд’ємних самоспряжених розширень невiд’ємного операто-
ра у гiльбертовому просторi почалося, мабуть, зi статтi К. Фрiдрiхса [1] i знайшло свiй
розвиток у працях багатьох математикiв. У працi авторiв [2], було обгрунтовано важли-
вiсть дослiдження умов максимальної акретивностi (зокрема, максимальної невiд’ємностi)
рiзних класiв лiнiйних операторiв у гiльбертовому просторi. Зазначимо, що самоспряжений
максимально акретивний оператор є максимально невiд’ємним, а тому iндукується деякою
невiд’ємною квадратичною формою, задача про мiнiмiзацiю якої еквiвалентна питанню про
розв’язнiсть вихiдного оператора. Деякi з таких форм розглянуто нижче.
У цiй роботi використовуємо такi позначення: D(T ), R(T ), ker T — вiдповiдно область
визначення, область значень та многовид нулiв оператора T ; B(X,Y ) — простiр лiнiйних
неперервних операторiв T : X → Y таких, що D(T ) = X; B(X) = B(X,X); C(X) — су-
купнiсть замкнених щiльно визначених лiнiйних операторiв T : X → X; T |E — звуження
оператора T на множину E; IX — тотожне перетворення в просторi X; ⊕, +̇ — символи
ортогональної та прямої суми вiдповiдно; якщо Ai : X → Yi (i = 1, . . . , n) — лiнiйнi опера-
тори, то запис A = A1⊕· · ·⊕An означає, що ∀x ∈ X Ax = (A1x, . . . , Anx); s− lim — символ
сильної операторної границi. Оператор, спряжений з оператором T , позначаємо (якщо не
омовлено протилежного) через T ∗.
Роль вихiдного об’єкта вiдiграє додатно визначений оператор L0 ∈ C(H), де H — гiль-
бертiв простiр зi скалярним добутком (·|·) та вiдповiдною нормою ||.||. Через LF позначаємо
розширення за Фрiдрiхсом оператора L0, а через He та (·|·)e — його енергетичний простiр та
енергетичний скалярний добуток. Як i в [2], пiд (H,Γ1,Γ2) розумiємо фiксований жорсткий
простiр граничних значень (ПГЗ), тобто позитивний ПГЗ, що вiдповiдає розширенню LF ,
оператора L0 (деталi див. [3–5]), а пiд P — проектор He ∔ kerL → He паралельно до kerL
(тут i далi L
def
= L∗
0).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 11
Якщо Ψ ∈ B(He,H), то (спряжений) оператор Ψ• ∈ B(H,He) визначаємо виходячи
з умови
∀u ∈ He ∀h ∈ H (Ψu|h)H = (u|Ψ•h)e.
Ми вважаємо даними оператори Φ ∈ B(H,H), Ψ ∈ B(He,H), який задовольняє умови
R(Ψ•)
⋂
D(L) = {0}, (1)
R(Ψ) = R(Ψ|D(L0))
def
= G замкнена в H, (2)
kerL∔R(Ψ•) замкнена в H. (3)
Введемо позначення X = ΨP + Φ, X • = (X ↓ He)
• (= Ψ• + L−1
F Φ∗) i зазначимо, що
пiд W (Ψ) ми розумiємо продовження за лiнiйнiстю нулем на R(Ψ•) оператора W : D(L) → H,
а пiд Γ
(Ψ)
3 — вiдображення Dmax
def
= D(L)+̇R(Ψ•) → G, яке визначається з умови
Γ
(Ψ)
3 y = g ⇔ y +Ψ•g ∈ D(L).
Припустимо, що B ∈ B(H) i визначимо оператори LB, L̃B, L̃0 таким чином:
D(LB) = {y ∈ D(L) : Γ
(Ψ)
1 y −BΓ
(Ψ)
2 y = Xy}, LB ⊂ L;
D(L̃B) = {y ∈ Dmax : y + X •Γ
(Ψ)
2 y ∈ D(L),Γ
(Ψ)
1 y −BΓ
(Ψ)
2 y = Xy},
∀ y ∈ D(L̃B) L̃By = L(y + X •Γ
(Ψ)
2 y);
D(L̃0) = {y ∈ D(L̃B) : Γ
(Ψ)
2 y = 0}, L̃0 ⊂ L̃B .
(4)
Вiдзначимо, що L̃B можна трактувати як збурення (iз змiною областi визначення) опе-
ратора LB, який є абстрактним аналогом оператора задачi типу третьої крайової, розгля-
нутої в [6].
Мета цiєї роботи — встановлення умов максимальної акретивностi та максимальної не-
вiд’ємностi оператора L̃B , а у випадку, коли вiн є додатно визначеним (L̃B ≫ 0), побудова
його енергетичного простору та дослiдження питання про мiнiмум квадратичного функцiо-
нала, який iндукує оператор L̃B.
Окремо буде розглянуто випадок, коли L0 — мiнiмальний оператор, породжений
в L2(H0; (a, b)), де H0 — допомiжний гiльбертiв простiр, диференцiальним виразом
Штурма–Лiувiлля.
Зазначимо, що весь час припускаємо, що
R((Γ1 − X )⊕ Γ2) = H⊕H. (5)
Критерiй додатної визначеностi оператора L̃B. Нагадаємо (див. [6]), що трiйка
(H,Γ1,Γ2), де H — гiльбертiв простiр, а Γ1, Γ2 — лiнiйнi оператори з D(L) в H, називається
ПГЗ оператора L0, якщо
R(Γ1 ⊕ Γ2) = H⊕H, ker Γ1
⋂
ker Γ2 = D(L0),
∀ y, z ∈ D(L) (Ly|z) − (y|Lz) = (Γ1y|Γ2z)H − (Γ2y|Γ1z)H.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
Лема 1.
а) L̃B, L̃0 ∈ C(H);
б) D(L̃∗
0) = {z ∈ Dmax : z + X •Γ
(Ψ)
2 z ∈ D(L)},
∀ z ∈ D(L̃∗
0) L̃∗
0z = L(z + X •Γ
(Ψ)
2 z).
Лема 2. Якщо справджуються спiввiдношення (1)–(3), (5), то (H,Γ
(Ψ)
1 − X ,Γ
(Ψ)
2 ) —
ПГЗ оператора L̃0.
Нагадаємо (див. [5, 6]), що ПГЗ (H,Γ1,Γ2) оператора L0 ≫ 0 називається позитивним,
якщо ker Γ1 = D(L0)+̇ kerL i L̂
def
= L ↓ ker Γ2 ≫ 0. Якщо L̂ = LF , то (H,Γ1,Γ2) — жорсткий
ПГЗ оператора L0.
Кожному ПГЗ (H,Γ1,Γ2) оператора L0 вiдповiдає введена в [7] функцiя Вейля M(λ),
яку еквiвалентним чином можна (див. [8]) визначити так.
Нехай L̂ ≫ 0, L̂λ
def
= (L̂ − λIH)−1, Zλ
def
= (Γ1L̂λ)
∗ (λ 6 0). Функцiю Zλ називатимемо
фундаментальною функцiєю оператора L0, яка вiдповiдає розглядуваному ПГЗ. Вiдомо
(див. [8] i цитовану там лiтературу), що ∀λ 6 0 y = Zλa ⇔ Ly = λy, Γ2y = a, а згадана
функцiя Вейля має такий вигляд: M(λ) = Γ1Zλ.
Використовуючи результати працi [9], неважко довести (див. [7, 8, 10]), що:
а) ПГЗ (H,Γ1,Γ2) оператора L0 є позитивним тодi i тiльки тодi, коли M(0) = 0;
б) позитивний ПГЗ (H,Γ1,Γ2) оператора L0 є жорстким тодi i тiльки тодi, коли s −
− lim
λ→−∞
M(λ)−1 = 0.
Вiдомо (див. [5, 6]), що якщо (H,Γ1,Γ2) — жорсткий ПГЗ оператора L0, то оператор LB ,
визначений згiдно з (4), є максимально акретивним (максимально невiд’ємним; коректно
оборотним) тодi i тiльки тодi, коли B є акретивним (невiд’ємним; оборотним) в B(H). Зокре-
ма, LB — самоспряжений додатно визначений оператор тодi i тiльки тодi, коли B ≫ 0.
Перш нiж формулювати основнi результати, введемо такi позначення:
{
B0 = 2Re(XZ0)− XX •, Γ̃1 = (Γ
(Ψ)
1 − X ) +B0Γ
(Ψ)
2 ,
B(λ) = B0 − 2Re(XZλ) + X (XLλ)
∗, Γ̃2 = Γ
(Ψ)
2 , B̃ = B +B0,
де Lλ
def
= (LF − λIH)−1, λ 6 0.
З леми 2 випливає, що (H, Γ̃1, Γ̃2) — ПГЗ оператора L̃0. Знайдемо вiдповiдну фундамен-
тальну функцiю Z̃λ.
Лема 3. Для будь-якого λ 6 0
Z̃λ = Zλ − (IH + λLλ)X
•.
Лема 4. (H, Γ̃1, Γ̃2) — позитивний ПГЗ оператора L̃0, якому вiдповiдає функцiя Вейля
M̃(λ) = M(λ) +B(λ) (λ 6 0).
Теорема 1. (H, Γ̃1, Γ̃2) — жорсткий ПГЗ оператора L̃0.
Наслiдок 1. Оператор L̃B є максимально акретивним (максимально невiд’ємним; ко-
ректно оборотним) тодi i тiльки тодi, коли B̃ є акретивним (невiд’ємним; коректно
оборотним).
Зокрема, L̃B є (максимально) додатно визначеним тодi i тiльки тодi, коли
B̃ = B +B0 = B + 2Re(XZ0)− XX • ≫ 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 13
Зауваження 1.
а) Оскiльки енергетичний простiр додатно визначеного оператора збiгається з енер-
гетичним простором його жорсткого розширення, а LF є жорстким розширенням не тiльки
для L0, але й для L̃0, то He є енергетичним простором не тiльки для L0, але й для L̃0.
б) He+̇ kerL = He+̇ ker L̃∗
0. (6)
Вiдомо (див. [8] i цитовану там лiтературу), що якщо B ≫ 0, то оператори P ↓ D(L) i Γ2
допускають єдинi неперервнi продовження P̂(= P) i Γ̂2(Γ̂2 ↓ Dmax = Γ
(Ψ)
2 ) до вiдображень
He+̇ kerL → He, He+̇ kerL → H вiдповiдно. При цьому
∀u ∈ He+̇ kerL P̂u = u− Z0Γ̂2u, (7)
а He+̇ kerL трактується як гiльбертiв простiр зi скалярним добутком
∀u, v ∈ He+̇ kerL πB(u, v) = (P̂u|P̂v)e + (BΓ̂2u|Γ̂2v)H.
Бiльше того, HB
def
= He+̇ kerL є енергетичним простором оператора LB , а P — оператором
(ортогонального) проектування HB → He. Застосовуючи цей результат до оператора L̃0
(замiсть L0) i беручи до уваги (6), (7), бачимо, що
∀u ∈ He+̇ kerL = He+̇ ker L̃∗
0 P̃u = u− Z̃0Γ̂2u,
де P̃ — проектор He+̇ ker L̃∗
0 → He паралельно до ker L̃∗
0.
Теорема 2. Нехай B̃ = B + B0 ≫ 0, а H̃B, π̃B — вiдповiдно енергетичний простiр та
енергетичний скалярний добуток оператора L̃B. Тодi H̃B = HB i
∀u, v ∈ H̃B π̃B(u, v) = πB(u, v) + (Xu|Γ̂2v)H + (Γ̂2u|Xv)H.
Наслiдок 2. Якщо B̃ = B + B0 ≫ 0, то для будь-якого f ∈ H варiацiйна задача
π̃B(u, u) − 2Re(f |u) → min, u ∈ He+̇ kerL
має єдиний розв’язок u0 = L̃−1
B f .
Випадок диференцiальних операторiв. Нехай −∞ < a < b < +∞, H0 — сепа-
рабельний гiльбертiв простiр i для будь-якого x ∈ [a, b] p(x) = p(x)∗ ∈ B(H0) — додатно
визначений оператор, причому оператор-функцiя x 7→ p(x) сильно неперервна на [a, b]. Роз-
глянемо диференцiальний вираз
l[y] = −y′′(x) + p(x)y (x ∈ [a, b]) (8)
i позначимо через L та L0 вiдповiдно максимальний та мiнiмальний оператори, породженi
в гiльбертовому просторi H
def
= L2(H0; (a, b)) зi скалярним добутком
∀ y, z ∈ H (y|z) =
b∫
a
(y(x)|z(x))H0
dx
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
цим виразом. Вiдомо (див. [11] i цитовану там лiтературу), що L, L0 ∈ C(H), L∗
0 = L,
а трiйка (H,Γ1,Γ2), де
H = H0 ⊕H0; ∀ y ∈ D(L) Γ1y = (y′(a),−y′(b)), Γ2y = (y(a), y(b)),
є ПГЗ оператора L0, а (He, (.|.)e), де
He = {y ∈ H : y абсолютно неперервна на [a, b], y′ ∈ H, y(a) = y(b) = 0},
∀u, v ∈ He (u|v)e =
b∫
a
[(u′(x)|v′(x))H0
+ (p(x)u(x)|v(x))H0
] dx,
є енергетичним простором оператора L0, а LF
def
= L ↓ ker Γ2 — його жорстким, тобто фрiд-
рiхсiвським розширенням (деталi — див. [3, 4, 6]).
Далi, нехай a < c1 < c2 < b. Визначимо оператори Lmin, Lmax за допомогою спiввiд-
ношень
D(Lmin) = {y ∈ D(L0) : y(c1) = y(c2) = 0}, Lmin ⊂ L0;
D(Lmax) = {y ∈ H : y абсолютно неперервна на [a, b], y′ абсолютно неперервна
на [a, c1)
⋃
(c1, c2)
⋃
(c2, b], lcl[y] ∈ H},
∀ y ∈ D(Lmax) Lmaxy = lcl[y].
Пiд lcl[y] ми маємо на увазi вираз (8), в якому усi похiднi потрiбно розумiти у класичному
сенсi.
Опишемо основний у цьому пунктi об’єкт нашого дослiдження. Припустимо, що Φ1,
Φ2 ∈ B(H,H0) βij ∈ B(H0) (i, j = 1, 2), B
def
= (βij)
2
i,j=1 i введемо у розгляд оператор TB ,
область визначення якого D(TB) складається з усiх тих y ∈ D(Lmax), якi задовольняють
умови
y′(c1 + 0)− y′(c1 − 0) = y(a), y′(c2 + 0)− y′(c2 − 0) = y(b),
{
y′(a)− (β11y(a) + β12y(b)) = Φ1y + y(c1),
−y′(b)− (β21y(a) + β22y(b)) = Φ2y + y(c2),
а закон дiї такий:
∀ y ∈ D(TB) TBy = lcl[y] + Φ∗
1y(a) + Φ∗
2y(b).
Введемо такi позначення:
∀u ∈ H1 def
= He+̇ kerL(= H1
0 (H0; (a, b))) Ψu = (u(c1), u(c2)),
Φ = Φ1 ⊕ Φ2, X = Φ+Ψ.
∀ y ∈ D(Lmax) Γ
[Ψ]
1 y = (y′(a),−y′(b)), Γ
[Ψ]
2 y = (y(a), y(b)).
Нехай {ω1(x), ω2(x)} — фундаментальна система розв’язкiв рiвняння −Y ′′ + p(x)Y =
= 0, яка задовольняє спiввiдношення ω1(a) = ω2(b) = IH0
, ω1(b) = ω2(a) = 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 15
Приймемо
∀ a = (a1, a2) ∈ H Za = ω1a1 + ω2a2,
Ω =
(
ω′
1(a) ω′
2(a)
−ω′
1(b) ω′
2(b)
)
.
Безпосередньо з результатiв працi [12] випливає, що TB є самоспряженим додатно ви-
значеним оператором тодi i тiльки тодi, коли
B̂
def
= B − Ω+ 2Re(XZ)− XX • ≫ 0. (9)
Далi, нехай
π(u, v)
def
=
b∫
a
[(u′(x)|v′(x))H0
+ (p(x)u(x)|v(x))H0
] dx+ (β11u(a)|v(a))H0
+
+ (β12u(b)|v(a))H0
+ (β21u(a)|v(b))H0
+ (β22u(b)|v(b))H0
+
+ (Φ1u+ u(c1)|v(a))H0
+ (Φ2u+ u(c2)|v(b))H0
+ (u(a)|Φ1v + v(c1))H0
+
+ (u(b)|Φ2v + v(c2))H0
∀u, v ∈ H1, (10)
J [u]
def
= π(u, u) − 2Re
b∫
a
(u(x)|f(x))H0
dx ∀u ∈ H1, (11)
де f — фiксований елемент простору H = L2(H0; (a, b)).
Теорема 3. Якщо TB — додатно визначений оператор (тобто якщо справджується
умова (9)), то H1 = H1(H0; (a, b)) є його енергетичним простором, а форма π(u, v), ви-
значена згiдно з (10), — вiдповiдним енергетичним скалярним добутком.
Наслiдок 3. В умовах теореми 3 варiацiйна задача
J [u] → min, u ∈ H1,
де J визначено згiдно з (11), для будь-якого f ∈ H має єдиний розв’язок u0 = T−1
B f . При
цьому
J [u0] = −(TBu0|u0) = −(f |u0).
1. Friedrichs K. Spektral theorie nalbbeschraanter Operatoren und Anwendung auf die Spektral-zerlegung
von Differential Operatoren // Math. Ann. – 1934. – 109. – S. 465–487.
2. Пiпа Г.М., Сторож О.Г. Акретивнi збурення власних розширень додатно визначеного оператора //
Мат. студiї. – 2006. – 25, № 2. – С. 181–190.
3. Крейн М.Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее
приложения. I, II // Мат. сб. – 1947. – 20, № 3. – С. 431–495; 21, № 3. – С. 365–404.
4. Михлин С.Г. Курс математической физики. – Москва: Наука, 1968. – 576 с.
5. Кочубей А.Н. Про розширення додатно визначеного симетричного оператора // Доп. АН УРСР.
Сер. А. – 1979. – № 3. – С. 168–171.
6. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. –
Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1
7. Деркач В.А., Маламуд М.М. Функция Вейля эрмитова оператора и ее связь с характеристической
функцией. – Донецк, 1985. – 52 с. – (Препр. / АН УССР. Дон. физ.-тех. ин-т; 85–9).
8. Сторож О.Г. Методи теорiї розширень та диференцiально-граничнi оператори: Дис. . . . д-ра фiз.-мат.
наук. – Львiв, 1995. – 277 с.
9. Штраус А.В. О расширениях полуограниченного оператора // Докл. АН СССР. – 1973. – 231, № 3. –
С. 543–546.
10. Арлiнський Ю.М. Максимальнi акретивнi розширення секторiальних операторiв: Автореф. дис. . . .
д-ра фiз.-мат. наук. – Київ, 2000. – 36 с.
11. Рофе-Бекетов Ф.С. Самосопряженные расширения дифференциальных операторов в пространстве
вектор-функций // Докл. АН СССР. – 1969. – 184, № 5. – С. 1034–1037.
12. Пiпа Г.М. Невiд’ємнi та акретивнi збурення оператора третьої крайової задачi для диференцiаль-
ного виразу Штурма–Лiувiлля з обмеженим операторним потенцiалом // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер.
мех.-мат. – 2008. – Вип. 68. – С. 207–214.
Надiйшло до редакцiї 01.02.2011Львiвський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка
Г. М. Качуривская, О. Г. Сторож
Условия положительной определенности возмущения абстрактного
аналога оператора третьей краевой задачи и соответствующие
вариационные задачи
В работе роль исходного объекта играет положительно определенный оператор L0, дейст-
вующий в гильбертовом пространстве H. Основной объект исследования — оператор
L̃B — интерпретируется как возмущение некоторого собственного расширения операто-
ра L0. С применением методов теории расширений установлены критерии максималь-
ной аккретивности и максимальной неотрицательности оператора L̃B. В случае, когда
этот оператор является положительно определенным, построено его энергетическое про-
странство и доказана разрешимость соответствующей вариационной задачи. Более то-
го, рассматривается ситуация, когда L0 является минимальным оператором, порожден-
ным в пространстве бесконечномерных вектор-функций дифференциальным выражением
Штурма–Лиувилля.
H.M. Kachurivska, O.G. Storozh
The criteria of positive definiteness of the perturbation of an abstract
analog for the operator of the third boundary-value problem and
corresponding variational problems
The role of initial object is played by the positive definite operator L0 acting in a Hilbert space H.
The main object of the investigation — operator L̃B — is interpreted as a perturbation of some
proper extension of L0. Using methods of the extension theory, the criteria of maximal accretivity
and maximal nonnegativity for L̃B are established. In the case where L̃B is a positive definite
operator, its energetic space is constructed, and the solvability of the corresponding variational
problem is proved. Moreover, the situation when L0 is a minimal differential operator generated
in the space of infinite-dimensional vector-functions by the Sturm–Liouville differential expression
is considered.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 17
|