Наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною
У статті будується та досліджується розривний інтерлінаційний сплайн для наближення розривної функції двох змінних з областю визначення, що розбивається на прямокутні трикутники з криволінійною гіпотенузою. Сформульовані та доведені теореми про інтерлінаційні властивості та похибку побудованої розри...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48890 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною / Ю.І. Першина // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 213-221. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-48890 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-488902013-09-06T03:01:09Z Наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною Першина, Ю.І. У статті будується та досліджується розривний інтерлінаційний сплайн для наближення розривної функції двох змінних з областю визначення, що розбивається на прямокутні трикутники з криволінійною гіпотенузою. Сформульовані та доведені теореми про інтерлінаційні властивості та похибку побудованої розривної конструкції. In work it is under construction and investigated discontinuous interlineation spline for approach of discontinuous function of two variables with a range of definition which breaks into rectangular triangles with a curvilinear hypotenuse. Theorems about interlineational properties and an error of the constructed discontinuous design are formulated and proved. 2012 Article Наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною / Ю.І. Першина // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 213-221. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48890 519.6 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У статті будується та досліджується розривний інтерлінаційний сплайн для наближення розривної функції двох змінних з областю визначення, що розбивається на прямокутні трикутники з криволінійною гіпотенузою. Сформульовані та доведені теореми про інтерлінаційні властивості та похибку побудованої розривної конструкції. |
| format |
Article |
| author |
Першина, Ю.І. |
| spellingShingle |
Першина, Ю.І. Наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Першина, Ю.І. |
| author_sort |
Першина, Ю.І. |
| title |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною |
| title_short |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною |
| title_full |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною |
| title_fullStr |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною |
| title_full_unstemmed |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною |
| title_sort |
наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48890 |
| citation_txt |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами з використанням трикутників з однією криволінійною стороною / Ю.І. Першина // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 213-221. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT peršinaûí nabližennârozrivnihfunkcíjrozrivnimisplajnamizvikoristannâmtrikutnikívzodníêûkrivolíníjnoûstoronoû |
| first_indexed |
2025-07-04T09:39:55Z |
| last_indexed |
2025-07-04T09:39:55Z |
| _version_ |
1836708786674335744 |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
213
УДК 519.6
Ю. І. Першина, канд. фіз.-мат. наук
Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків
НАБЛИЖЕННЯ РОЗРИВНИХ ФУНКЦІЙ РОЗРИВНИМИ
СПЛАЙНАМИ З ВИКОРИСТАННЯМ ТРИКУТНИКІВ
З ОДНІЄЮ КРИВОЛІНІЙНОЮ СТОРОНОЮ
У статті будується та досліджується розривний інтерліна-
ційний сплайн для наближення розривної функції двох змін-
них з областю визначення, що розбивається на прямокутні
трикутники з криволінійною гіпотенузою. Сформульовані та
доведені теореми про інтерлінаційні властивості та похибку
побудованої розривної конструкції.
Ключові слова: розривна функція, розривний сплайн-
інтерлінант, криволінійний прямокутний трикутник.
Вступ. Класична теорія наближення диференційовних функцій
багатьох змінних використовує оцінки похибок, які істотно основані
на припущенні, що наближувана функція має обмежені похідні дос-
татньо високого порядку. Наприклад, в роботі [1] оцінка наближення
поліномами Лагранжа степеня n вимагає неперервності похідної по-
рядку 1n , в роботах [2—4] похибка наближення сплайнами вимагає
неперервності r -ої (1 1r n ) похідної, де n — степінь сплайна.
Для наближення неперервних функцій замість похідних використо-
вуються модулі неперервності.
У той же час практика показує, що необхідно вміти з достат-
ньою точністю наближувати розривні функції, зокрема, розривні фу-
нкції, які мають в області задання розриви першого роду в окремих
точках або на окремих лініях тощо. Наприклад, дослідження внутрі-
шньої структури тіла людини за допомогою методів комп’ютерної
томографії в заданій площині повинно враховувати, що різні частини
тіла мають свою форму і свою щільність, тобто щільність внутріш-
ньої структури всього тіла описується розривною функцією від трьох
змінних, яка має розриви першого роду на поверхнях між різними
частинами тіла (серце, шлунок, печінка тощо). У деяких випадках
досліднику відома форма цих поверхонь (як правило, наближено).
Розроблені методи в подальшому будуть використовуватися для
розв'язання плоскої задачі радонівської комп'ютерної томографії. Для
цього доцільніше використовувати оператори інтерлінації функцій,
оскільки ці оператори відновлюють функції (можливо, наближено) за
відомими їх слідами на даній системі ліній. Тобто, вони надають мо-
жливість будувати оператори, інтеграли від яких по вказаних лініях
© Ю. І. Першина, 2012
Математичне та комп’ютерне моделювання
214
(лінійні інтеграли) будуть дорівнювати інтегралам від самої віднов-
люваної функції. Звідси витікає, що інтерлінація є математичним
апаратом, природно пов'язаним із задачею відновлення характерис-
тик об'єктів за відомими їх проекціями.
Тому актуальною є задача наближення такого роду функцій за
допомогою конструкцій, які на вказаних лініях зберігають властивос-
ті наближуваної функції, тобто мають розриви першого роду (взагалі
кажучи, з невідомими значеннями розривів).
У роботі [6] був запропонований метод наближення розривних фу-
нкцій двох змінних розривними інтерполяційними білінійними сплай-
нами, а в роботі [7] — інтерлінаційними розривними сплайнами на рек-
тангульованій області визначення. Були також побудовані розривні інтер-
поляційні [8] та інтерлінаційні [9] сплайни для наближення функцій двох
змінних, область визначення яких розбивається на прямокутні трикутни-
ки. В роботі [10] досліджувався неперервний оператор інтерлінації для
наближення неперервних функцій на лініях тріангуляції.
У цій статті вперше будуються та досліджуються інтерлінаційні
розривні сплайни для наближення розривних функцій з областю ви-
значення, що розбивається на прямокутні трикутники з криволіній-
ною гіпотенузою.
Постановка задачі. Нехай задана розривна функція двох змін-
них ( , )f x y в області D . Будемо вважати, що область D разбиваєть-
ся прямими 0 1 20 ... 1mx x x x , 0 1 20 ... 1ny y y y
на прямокутні елементи, а кожний прямокутник розбивається два
прямокутні трикутники з криволінійною гіпотенузою. Трикутники не
вкладаються один в один, а сторони трикутників не перетинаються.
Функція ( , )f x y має розриви першого роду на границях між цими
прямокутними трикутниками (не обов’язково між всіма). Метою ро-
боти є побудова та дослідження операторів розривної кусково-
поліноміальної інтерлінації таких, які в кожному трикутнику є опера-
торами поліноміальної інтерлінації функції ( , )f x y .
Метод побудови наближуючого розривного сплайна-інтерлі-
нанта. Розглянемо трикутний елемент , 1, , 1,ij i n j m (рис. 1), в
якому катети задаються рівняннями
: , :i jAB x x AC y y ,
а гіпотенуза BC , взагалі кажучи, є криволінійною і може задаватися
рівнянням ( ) ( ) 1h x g y , тобто 1(1 ( ))y g h x або 1(1 ( ))x h g y .
Причому виконуються наступні співвідношення:
( ) 0, ( ) 0j ig y h x .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
215
Нехай на цьому трикутнику задана функція ( , )f x y , яка на ліні-
ях заданого трикутного елемента може мати розриви першого роду.
A
B
C
Рис. 1. Один з можливих трикутних елементів з криволінійною
гіпотенузою та з прямим кутом у вузлі ( , )i jx y
Вважаємо заданими:
1. Сліди функції ( , )f x y на прямій ix x (справа та зліва прямої
відповідно):
0
( ) lim ( , ) ( 0, ),
i
i i
x x
p y f x y f x y
0
( ) lim ( , ) ( 0, )
i
i i
x x
m y f x y f x y
;
0
0
( ) lim ( , ) ( 0, 0),
i
j
ij i j i j
x x
y y
pp p y f x y f x y
;
0
0
( ) lim ( , ) ( 0, 0)
i
j
ij i j i j
x x
y y
mp m y f x y f x y
.
2. Сліди функції ( , )f x y на прямій jy y (над та під прямою відпо-
відно):
0
( ) lim ( , ) ( , 0),
j
j j
y y
p x f x y f x y
0
( ) lim ( , ) ( , 0),
j
j j
y y
m x f x y f x y
0
0
( ) lim ( , ) ( 0, 0),
i
j
ij j i i j
x x
y y
pp p x f x y f x y
0
0
( ) lim ( , ) ( 0, 0)
i
j
ij j i i j
x x
y y
pm m x f x y f x y
.
3. Сліди функції ( , )f x y на криволінійній гіпотенузі ( під та над
прямою відповідно):
1 1( ) , (1 ( )) 0 , ( ) , (1 ( )) 0ij ijm x f x g h x p x f x g h x ;
Математичне та комп’ютерне моделювання
216
1( ) 0, (1 ( )) 0 ,ij ij i i ipm m x f x g h x
1( ) 0, (1 ( )) 0ij ij i i ipp p x f x g h x
або
1 1( ) (1 ( )) 0, , ( ) (1 ( )) 0,ij ijm y f h g y y p y f h g y y ;
1( ) (1 ( )) 0, 0 ,ij ij j j jpm m y f h g y y
1( ) (1 ( )) 0, 0ij ij j j jmp p y f h g y y .
Введемо позначення:
1 1( ) 0, (1 ( )) 0 , ( ) 0, (1 ( )) 0 ,i i i im x f x g h x p x f x g h x
або
1 1( ) (1 ( )) 0, 0 , ( ) (1 ( )) 0, 0j j j jp y f h g y y m y f h g y y .
Легко перевірити, що виконуються наступні співвідношення
( ) ( ), ( ) ( ),
( ) ( ), ( ) ( ).
i i ij i i i ij j
j j ij j j j ij j
m x m x p x p y
p y m y m y p y
(1)
Для побудови оператора інтерлінації скористаємося результата-
ми роботи Литвина О. М. [10].
Теорема 1. Якщо сліди функції ( , )f x y задовольняють умовам
1( ) ( ), ( ) (1 ( )) ,j i i j ij i i ip x p y m x p g h x
1 1(1 ( )) (1 ( ))ij j j jm h g y p h g y ,
то оператор
1 2 12( , ) ( , ) ( , ) ( , )Lf x y L f x y L x y L x y , (2)
де
1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )ij ijL f x y h x m y g y m x ,
2 ( , ) ( ) ( ) ( )j i i jL f x y p x p y p y ,
1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )i j i jL L f x y h x p y p y p y
( ) ( ) ( ) ( )ij i i jg y m x m x p x
інтерлінує функцію ( , )f x y на трьох сторонах трикутника , 1, ,ij i n
1,j m , тобто
( , ) ( )
j
jy y
L f x y p x
, ( , ) ( )
i
ix x
Lf x y p y
, (3)
( , ) ( , )Lf x y f x y , якщо ( ) ( ) 1h x g y . (4)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
217
Доведення. Перепишемо формулу (2) у вигляді
( , ) (1 ( ) ( ))( ( ) ( ) ( ))j i i jLf x y h x g y p x p y p y
( )( ( ) ( ) ( ))ij j jh x m y p y p x (5)
( ) ( ) ( ) ( )ij i ig y m x m x p y .
Візьмемо у формулі (5) jy y , в результаті отримаємо
( , ) (1 ( ) ( ))( ( ) ( ) ( ))
j
j j i j i jy y
Lf x y h x g y p x p y p y
( )( ( ) ( ) ( ))ij j j j jh x m y p y p x
( ) ( ) ( ) ( )j ij i i jg y m x m x p y .
Оскільки ( ) 0jg y , то
( , ) (1 ( )) ( )
j
jy y
Lf x y h x p x
( )( ( ) ( ) ( ))ij j j j jh x m y p y p x .
Згідно формули (1), маємо
( , ) (1 ( )) ( )
j
jy y
Lf x y h x p x
( )( ( ) ( ) ( )) ( )ij j ij j j jh x m y m y p x p x .
Аналогічно, підставивши формулі (5) ix x , отримаємо
( , ) (1 ( ) ( ))( ( ) ( ) ( ))
i
i j i i i jx x
Lf x y h x g y p x p y p y
( )( ( ) ( ) ( ))i ij j j ih x m y p y p x
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
i
ij i i i i i j j i
i i ij i
h x
g y m x m x p y p y p x
m x m x
(1 ( )) ( ) ( ) ( ) ( )i i ig y p y g y p y p y .
Таким чином, умови (3) перевірені.
Підставивши 1(1 ( ))y g h x у формулу (5), отримаємо
1 (1 ( )))
( , )
y g h x
Lf x y
1 1(1 ( ) ( (1 ( ))))( ( ) ( (1 ( ))) ( ))j i i jh x g g h x p x p g h x p y
1 1( )( ( (1 ( ))) ( (1 ( ))) ( ))ij j jh x m g h x p g h x p x
1 1( (1 ( ))) ( ) ( ) ( (1 ( )))ij i ig g h x m x m x p g h x
1 1( )( ( (1 ( ))) ( (1 ( ))) ( ))ij j jh x m g h x p g h x p x
1 1( (1 ( ))) ( ) ( ) ( (1 ( )))ij i ig g h x m x m x p g h x .
Математичне та комп’ютерне моделювання
218
Згідно з введеними позначеннями, маємо
1 1 1 1( (1 ( ))) (1 ( (1 ( )))) 0, (1 ( ))ijm g h x f h g g h x g h x
1 1 1( ( ))) 0, (1 ( )) , (1 ( )) 0 ( )ijh h x g h x x g h x m x ;
1 1 1( (1 ( )) (1 ( (1 ( ))) 0, 0j jp g h x f h g g h x y
, 0 ( )j jf x y p x ;
1 1( (1 ( ))) ( 0, (1 ( ))) ( )i i ip g h x f x g h x m x .
Тоді отримаємо
1 (1 ( )))
( , )
y g h x
Lf x y
( )( ( ) ( ) ( ))ij j jh x m x p x p x
(1 ( )) ( ) ( ) ( )ij i ih x m x m x m x
( ) ( ) (1 ( )) ( ) ( ).ij ij ijh x m x h x m x m x
Аналогічно доводиться, що 1 (1 ( )))
( , ) ( )ijx h g x
Lf x y m y
.
І умова (4) доведена.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Якщо (1,1)( , ) ( )ijf x y C , то для залишку ( , )Rf x y
( ) ( , )I L f x y виконуються співвідношення
(1,1)
0 0
( , ) (1 ( ) ( )) ( , )
yx
Rf x y h x g y f u v dudv
1 1(1 ( )) (1 ( ))
(1,1) (1,1)
0 0
( ) ( , ) ( ) ( , ) .
h g y y g h xx
x y
f x f u v dudv g y f u v dudv
Доведення. Запишемо тотожності
(1,1)( , ) ( ) ( ) ( , ) ,
i j
yx
j i
x y
f x y p x p y f u v dudv
1 (1 ( ))
(1,1)( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , )
j
h g y y
ij j j
x y
f x y m x p y f x y f u v dudv
,
1 (1 ( ))
(1,1)( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )
i j
g h xx
ij i i
x y
f x y m x p x p y f u v dudv
.
За їх допомогою отримаємо тотожність
( , ) (1 ( ) ( )) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )f x y h x g y f x y h x f x y g y f x y
( , ) ( , )Lf x y Rf x y .
Теорему 2 доведено.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
219
Наслідок. Для довільних функцій ( , ) ( ) ( )f x y u x v y , де
( ), ( )u x v y — довільні функції однієї змінної справедлива рівність
( , ) ( , ).Lf x y f x y
Доведення випливає з того, що
2
( ( ) ( )) 0u x v y
x y
.
Зауваження. Якщо ( ) ( )i ip y m y , ( ) ( )j jp x m x , ( )ijp x
( )ijm x , то побудований розривний сплайн вигляду (2) є неперервним
інтерлінаційним сплайном на границях трикутного елементу ij .
Приклад. Нехай функція ( , )f x y визначена в області
1 2 3 4 , представленій на рис. 2а). Катети цих трикут-
них елементів утворені прямими 0, 0x y , а гіпотенузи задані рів-
нянням вигляду ( ) ( ) 1h x g y , де ( ), ( )h x g y задовольняють умовам
(0) 0, (0) 0h g та в кожному трикутному елементі задаються на-
ступним чином
2
1 2
2 2 2 2
3 4
: ( ) , ( ) , : ( ) , ( ) ,
: ( ) , ( ) , : ( ) , ( ) .
h x x g y y h x x g y y
h x x g y y h x x g y y
Нехай у визначеній області задана функція ( , )f x y (рис. 2б))
2
2 2 2 2
0.5, 0 1, 0 1
( , ) 1, 1 0, 0 1
, 1 1 , 1 0
x y x
f x y x x y x
x y y x y y
а)
ff
б)
Рис. 2. Графічне представлення: а) області визначення
функції ( , )f x y та б) самої функції ( , )f x y
Математичне та комп’ютерне моделювання
220
Тобто функція ( , )f x y на лініях тріангуляції має розриви пер-
шого роду, але не на всіх лініях.
За вихідні дані будемо використовувати сліди заданої функції на
лініях трикутних елементів:
1
2
: ( ) ( 0, ) 0.5, ( ) ( , 0) 0.5,
( ) ( ,1 0) 0.5 ;
p y f y p x f y
m x f x x
2 : ( ) ( 0, ) 1, ( ) ( , 0) 1,
( ) ( ,1 0) 1;
m y f y p x f x x
p y f x x x
2 2
3
2
: ( ) ( 0, ) , ( ) ( , 0) ,
( ) ( , 1 0) 1;
m y f y y m x f x x
p x f x x
2 2
4
2
: ( ) ( 0, ) , ( ) ( , 0) ,
( ) ( , 1 0) 1.
p y f y y m x f x x
m x f x x
Ці сліди задовольняють умовам теореми 1 у кожному з чотирьох
трикутників, тому за формулою (2) будуємо розривний інтерлінацій-
ний сплайн, який в точності співпадає із заданою функцією (рис. 2б)).
Висновки. У статті запропоновано метод побудови розривних
сплайн-інтерлінантів, які як частинний випадок включають в себе
розривні сплайни, для випадку, коли область визначення досліджува-
ної функції розбивається на прямокутні трикутники з криволінійною
гіпотенузою. Сформульована і доведена теорема про інтерлінаційні
властивості таких розривних конструкцій. Визначений загальний ви-
гляд похибки наближення побудованими сплайн-інтерлінантами. Ви-
значені умови, при яких побудована розривна конструкція перетво-
рюється в неперервний інтерлінаційний сплайн.
У подальшому автор планує застосувати розроблений метод до
розв’язання двовимірної задачі комп’ютерної томографії, а саме до
відновлення відомого фантома Шепа—Логана.
Список використаних джерел:
1. Гаврилюк І. П. Методи обчислень : підручник : у 2 ч. / І. П. Гаврилюк,
В. Л. Макаров. — К. : Вища школа, 1995.
2. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения / Н. П. Корнейчук. —
М. : Наука, 1984. — 352 с.
3. Стечкин С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стечкин,
Ю. Н. Субботин. — М. : Наука, 1976.
4. Завьялов Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов,
В. Л. Мирошниченко. — М. : Наука, 1976.
5. Литвин О. М. Наближення розривних функцій двох змінних розривними
сплайнами (прямокутні елементи) / О. М. Литвин, Ю. І. Першина // «Тео-
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7
221
рія прийняття рішень» : праці V міжнародної школи-семінару, 27 верес-
ня — 1 жовтня 2010 р. — Ужгород, 2010. — С. 141–142.
6. Литвин О. М. Побудова кусково-білінійних сплайнів для наближення
функцій з розривами першого роду у вузлах ректангуляції двовимірної
області / О. М. Литвин, Ю. І. Першина // Таврічний вісник інформатики
та математики. — Симферополь, 2011. — № 1. — С. 63–72.
7. Литвин О. Н. Приближение разрывной функции двух переменных с помо-
щью разрывных сплайнов двух переменных (прямоугольные элементы) /
О. Н. Литвин, Ю. И. Першина. — К., 2011. — № 1. — С. 96–105.
8. Литвин О. М. Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтер-
поляційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів / О. М. Ли-
твин, Ю. І. Першина // Доповіді НАНУ. — 2012. — № 1. — С. 38–43
9. Литвин О. М. Приближение разрывных функций двух переменных с раз-
рывами первого рода на линиях триангуляции двумерной области /
О. М. Литвин, Ю. І. Першина // Управляющие системы и машины. — К.,
2011. — № 5. — С.34–47.
10. Литвин О.М. Методи обчислень. Додаткові розділи / О. М. Литвин. —
К. : Наукова думка, 2005. — 333 с.
In work it is under construction and investigated discontinuous inter-
lineation spline for approach of discontinuous function of two variables
with a range of definition which breaks into rectangular triangles with a
curvilinear hypotenuse. Theorems about interlineational properties and an
error of the constructed discontinuous design are formulated and proved.
Key words: discontinuous function, discontinuous spline-interlinant, a
curvilinear rectangular triangle.
Отримано: 17.04.2012
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <FEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400200073006f006d00200070006100730073006100720020006600f60072002000740069006c006c006600f60072006c00690074006c006900670020007600690073006e0069006e00670020006f006300680020007500740073006b007200690066007400650072002000610076002000610066006600e4007200730064006f006b0075006d0065006e0074002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002e>
/TUR <FEFF005400690063006100720069002000620065006c00670065006c006500720069006e0020006700fc00760065006e0069006c0069007200200062006900720020015f0065006b0069006c006400650020006700f6007200fc006e007400fc006c0065006e006d006500730069002000760065002000790061007a0064013100720131006c006d006100730131006e006100200075007900670075006e002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002e>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|