О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций

Развиты известные результаты Штрауса по обобщенным резольвентам и спектральным функциям дифференциального оператора четного порядка на полуоси. В частности, получена параметризация всех характеристических матриц непосредственно в терминах спектрального параметра соответствующей граничной задачи. Так...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
1. Verfasser:	Могилевский, В.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49042
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / В.И. Могилевский // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 25-31. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-49042
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-490422013-09-10T03:01:25Z О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций Могилевский, В.И. Математика Развиты известные результаты Штрауса по обобщенным резольвентам и спектральным функциям дифференциального оператора четного порядка на полуоси. В частности, получена параметризация всех характеристических матриц непосредственно в терминах спектрального параметра соответствующей граничной задачи. Такая параметризация задана посредством формулы, аналогичной формуле Крейна для обобщенных резольвент. Розвинуто відомі результати Штрауса про узагальнені резольвенти та спектральні функції диференціального оператора парного порядку на півосі. Зокрема, отримано параметризацію усіх характеристичних матриць безпосередньо в термінах спектрального параметра відповідної граничної задачі. Таку параметризацію задано за допомогою формули, що є аналогом формули Крейна для узагальнених резольвент. We develop well-known results due to Shtraus on the generalized resolvents and spectral functions of a differential operator of even order defined on the semiaxis. In particular, we obtain a parametrization of all the characteristic matrices immediately in terms of the spectral parameter of the corresponding boundary-value problem. Such a parametrization is given by a formula similar to the Krein formula for generalized resolvents. 2012 Article О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / В.И. Могилевский // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 25-31. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49042 517.927.2,517.984 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Могилевский, В.И. О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций Доповіді НАН України
description	Развиты известные результаты Штрауса по обобщенным резольвентам и спектральным функциям дифференциального оператора четного порядка на полуоси. В частности, получена параметризация всех характеристических матриц непосредственно в терминах спектрального параметра соответствующей граничной задачи. Такая параметризация задана посредством формулы, аналогичной формуле Крейна для обобщенных резольвент.
format	Article
author	Могилевский, В.И.
author_facet	Могилевский, В.И.
author_sort	Могилевский, В.И.
title	О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций
title_short	О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций
title_full	О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций
title_fullStr	О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций
title_full_unstemmed	О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций
title_sort	о характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49042
citation_txt	О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / В.И. Могилевский // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 25-31. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT mogilevskijvi oharakterističeskihmatricahdifferencialʹnyhoperatorovvprostranstvevektorfunkcij
first_indexed	2025-07-04T09:55:42Z
last_indexed	2025-07-04T09:55:42Z
_version_	1836709780040712192
fulltext	УДК 517.927.2,517.984 © 2012 В.И. Могилевский О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком) Развиты известные результаты Штрауса по обобщенным резольвентам и спектраль- ным функциям дифференциального оператора четного порядка на полуоси. В частности, получена параметризация всех характеристических матриц непосредственно в терми- нах спектрального параметра соответствующей граничной задачи. Такая параметри- зация задана посредством формулы, аналогичной формуле Крейна для обобщенных ре- зольвент. Пусть l[y] — формально самосопряженное дифференциальное выражение четного порядка на промежутке [0, b〉(b 6 ∞) и L0 — соответствующий минимальный (симметрический) опе- ратор. В работе [1] А.В. Штраус определил характеристическую матрицу (х. м.) Ω(λ), отве- чающую обобщенной резольвенте оператора L0, и построил с ее помощью все спектральные функции минимального оператора. В частном случае оператора 2-го порядка на полуоси с индексами дефекта n±(L0) = 1 обобщенная резольвента задается граничной задачей со спектральным параметром τ(λ), а х. м. Ω(λ) выражается в явном виде через τ(λ) [2]. В ра- боте М.Л. Горбачука [3] описаны все х. м. для выражения 2-го порядка с операторным потенциалом, отвечающие распадающимся граничным условиям. В дальнейшем в ряде ра- бот рассматривались граничные задачи со спектральным параметром либо для регулярных выражений l[y], либо для сингулярных выражений c минимальными индексами дефекта оператора L0 (см. работу [4] и приведенную там библиографию). В настоящей работе изучаются операторы L0 с произвольными (возможно, неравными) индексами дефекта. Наш подход основан на понятии распадающейся граничной тройки, что позволило установить связь между методом Штрауса и граничными задачами для опе- ратора L0. В частности, получена параметризация всех характеристических матриц Ω(λ) оператора L0 непосредственно в терминах спектрального параметра соответствующей гра- ничной задачи. Такая параметризация задается в виде блочного представления матрицы Ω(λ), а также посредством формулы, аналогичной известной формуле М.Г. Крейна для обобщенных резольвент. Обозначения: H, H — гильбертово пространство; [H1,H2]([H]) — множество ограничен- ных линейных операторов из H1 в H2 (в [H]); C̃(H0,H1) (C̃(H)) — множество замкнутых линейных отношений из H0 в H1 (в H); PL — ортопроектор в H на подпространство L ⊂ ⊂ H; C+ (C−) — верхняя (нижняя) полуплоскость комплексной плоскости. Для оператора T ∈ [H0,H1] будем писать 0 ∈ ρ(T ), если T обратим, т. е. T−1 ∈ [H1,H0]. Предварительные сведения. Пусть ∆ = [0, b〉 (b 6 ∞) — промежуток в R, H — сепарабельное гильбертово пространство размерности dimH 6 ∞ и l[y] = n∑ k=1 (−1)k ( (pn−ky (k))(k) − i 2 [(q∗n−ky (k))(k−1) + (qn−ky (k−1))(k)] ) + pny — (1) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 25 дифференциальное выражение четного порядка 2n с достаточно гладкими операторзнач- ными коэффициентами pk(·), qk(·) : ∆ → [H] такими, что pk(t) = p∗k(t) и 0 ∈ ρ(p0(t)). Обо- значим y[k](·), k = 0÷ 2n — квазипроизводные функции y(·) : ∆ → H [5, 6], и пусть y(1)(t) := {y[k−1](t)}nk=1 (∈ Hn), y(2)(t) := {y[2n−k](t)}nk=1 (∈ Hn). Пусть K — гильбертово протранство и Y (t)(∈ [K,H]) — операторное решение уравнения l[y]− λy = 0. (2) Каждому такому решению сопоставим оператор-функции Y (1)(t) = (Y (t)Y [1](t) · · · Y [n−1](t))⊤, Y (2)(t) = (Y [2n−1](t)Y [2n−2](t) · · · Y [n](t))⊤, Ỹ (t) = (Y (1)(t)Y (2)(t))⊤ : K → Hn ⊕Hn, t ∈ ∆, где Y [k](t), k = 0 ÷ 2n − 1 — квазипроизводные оператор-функции Y (t). В дальнейшем полагаем H(= L2(∆;H)) — гильбертово пространство измеримых фун- кций f(·) : ∆ → H таких, что b∫ 0 ‖f(t)‖2dt < ∞. Кроме того, пусть L′ 2[K,H] — множество всех оператор-функций Y (t)(∈ [K,H]) таких, что Y (t)h ∈ H для всех h ∈ K. Выражение (1) порождает минимальный оператор L0 и максимальный оператор L, действующие в H; при этом L0 — замкнутый плотно заданный симметрический оператор с (необязательно рав- ными) индексами дефекта n±(L0) 6 2n · dimH и L∗ 0 = L [5, 6]. Обозначим D = D(L) — область определения оператора L. Пусть, далее, H′ 0 — гильбертово простанство, H′ 1 — подпространство в H′ 0, H ′ 2 := H′ 0⊖H′ 1, Γ′ 0 : D → H′ 0 и Γ′ 1 : D → H′ 1 — линейные отображения, P ′ j — ортопроектор в H′ 0 на H′ j, j ∈ {1, 2}. Кроме того, положим Hj = Hn ⊕ H′ j (так что H1 ⊂ H0) и пусть Γj : D → Hj, j ∈ {0, 1}, — линейные отображения, определенные для всякого y ∈ D равенствами Γ0y = {y(2)(0),Γ′ 0y} (∈ Hn ⊕H′ 0), Γ1y = {−y(1)(0),Γ′ 1y} (∈ Hn ⊕H′ 1). (3) Определение 1 (см. [7]). Совокупность Π = {H0 ⊕ H1,Γ0,Γ1}, в которой Γ0 и Γ1 — линейные отображения (3), называется распадающейся D-тройкой для L, если отображение Γ′ = (Γ′ 0Γ ′ 1) ⊤ : D → H′ 0 ⊕ H′ 1 сюръективно и справедливо тождество [y, z](b) = (Γ′ 1y,Γ ′ 0z)− (Γ′ 0y,Γ ′ 1z) + i(P ′ 2Γ ′ 0y, P ′ 2Γ ′ 0z), y, z ∈ D, (4) в котором [y, z](b) = lim t↑b ((y(1)(t), z(2)(t))Hn − (y(2)(t), z(1)(t))Hn). Распадающаяся D-тройка {H0 ⊕ H1,Γ0,Γ1} удовлетворяет соотношению dimH1 = = n−(L0) 6 n+(L0) = dimH0; поэтому в дальнейшем (без потери общности) считаем, что n−(L0) 6 n+(L0). Согласно [7] равенства Γ1 ↾ Nλ(A) = M+(λ)Γ0 ↾ Nλ(A), λ ∈ C+, (Γ1 + iP2Γ0) ↾ Nz(A) = M−(z)P1Γ0 ↾ Nz(A), z ∈ C−, 26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2 корректно задают голоморфные оператор-функции M+(·) : C+ → [H0,H1] и M−(·) : C− → → [H1,H0] (функции Вейля) с блочно-матричными представлениями M+(λ) = ( m(λ) M2+(λ) M3+(λ) M4+(λ) ) : Hn ⊕H′ 0 → Hn ⊕H′ 1, λ ∈ C+, (5) M−(z) = ( m(z) M2−(z) M3−(z) M4−(z) ) : Hn ⊕H′ 1 → Hn ⊕H′ 0, z ∈ C−. (6) Предложение 1 [7]. Пусть Π = {H0 ⊕ H1,Γ0,Γ1} — распадающаяся D-тройка для L. Тогда для всякого λ ∈ C+ (z ∈ C−) существует единственная оператор-функция Z+(t, λ) ∈ L′ 2[H0,H] (Z−(t, z) ∈ L′ 2[H1,H]), удовлетворяющая (2) и граничному условию Γ0(Z+(t, λ)h0) = h0, h0 ∈ H0 (соответственно, PH1 Γ0(Z−(t, z)h1) = h1, h1 ∈ H1). Замечание 1. Формулы (5) и (6) задают неванлинновскую оператор-функцию m(·), ко- торую мы называем m-функцией (подробнее см. [7]). В скалярном случае (dimH = 1) для оператора L0 с равными индексами дефекта m(·) совпадает с классической характеристи- ческой (Вейля–Титчмарша) функцией для распадающихся граничных условий [5]. Обобщенные резольвенты и характеристические матрицы. Пусть {H0 ⊕ ⊕ H1,Γ0,Γ1} — распадающаяся D-тройка (3) для L, τ = {τ+, τ−} — пара голоморф- ных функций τ+(·) : C+ → C̃(H0,H1) и τ−(·) : C− → C̃(H0,H1) неванлинновского клас- са R̃(H0,H1) [8]. Функции τ+(·) и τ−(·) допускают представления τ+(λ) = {(C0(λ), C1(λ))} := {{h0, h1} ∈ H0 ⊕H1 : C0(λ)h0+C1(λ)h1=0}, λ ∈ C+; (7) τ−(z) = {(D0(z),D1(z))} := {{h0, h1} ∈ H0 ⊕H1 : D0(z)h0+D1(z)h1=0}, z ∈ C−, (8) посредством голоморфных оператор-функций Cj(·) : C+ → [Hj,H0] и Dj(·) : C− → [Hj,H1], j ∈ {0, 1}. Кроме того, пусть C0(λ) = (Ĉ2(λ)C ′ 0(λ)) ∈ [Hn ⊕H′ 0,H0], C1(λ) = (Ĉ1(λ)C ′ 1(λ)) ∈ [Hn ⊕H′ 1,H0], (9) D0(z) = (D̂2(z)D ′ 0(z)) ∈ [Hn ⊕H′ 0,H1], D1(z) = (D̂1(z)D ′ 1(z)) ∈ [Hn ⊕H′ 1,H1] — (10) блочно-матричные представления оператор-функций Cj(λ) и Dj(z). Обозначим так- же R̃0(H0,H1) — множество пар {τ+, τ−} ∈ R̃(H0,H1) вида τ+(λ) = τ−(z) ≡ θ (∈ C̃(H0,H1)), λ ∈ C+, z ∈ C−. Для функции f ∈ H и пары τ = {τ+, τ−} ∈ R̃(H0,H1), заданной равенствами (7)–(10), рассмотрим следующую граничную задачу l[y]− λy = f, (11) Ĉ1(λ)y (1)(0) + Ĉ2(λ)y (2)(0) + C ′ 0(λ)Γ ′ 0y − C ′ 1(λ)Γ ′ 1y = 0, λ ∈ C+. (12) Функцию y(·, ·) : ∆ × C+ → H назовем решением этой задачи, если для всякого λ ∈ C+ функция y(·, λ) ∈ D и удовлетворяет уравнению (11) и граничному условию (12). Предложение 2. Пусть τ ∈ R̃(H0,H1). Тогда: a) для всякой функции f ∈ H граничная задача (11), (12) имеет единственное решение y(t, λ) = yf (t, λ); ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 27 b) равенство (R(λ)f))(t) = yf (t, λ), f ∈ H, λ ∈ C+ задает обобщенную резольвенту R(λ) = Rτ (λ) оператора L0. Обратно, для всякой обобщенной резольвенты R(λ) сущест- вует единственное τ ∈ R̃(H0,H1) такое, что R(λ) = Rτ (λ). При этом Rτ (λ) — канони- ческая резольвента тогда и только тогда, когда τ ∈ R̃0(H0,H1). В силу предложения 2 формулы (11) и (12) задают параметризацию всех обобщенных резольвент оператора L0 посредством неванлинновского граничного параметра τ(λ). Эту же параметризацию можно задать посредством функции Грина. Именно, пусть τ = {τ+, τ−} ∈ ∈ R̃(H0,H1) — голоморфная пара (7)–(10) и D̃1(z) := D0(z) ↾ H1 (∈ [H1]), D̃0(z) := D1(z)PH1 + iD0(z)PH′ 2 (∈ [H0,H1]), z ∈ C−. Сопоставим паре τ семейство операторных решений Yτ+(t, λ) ∈ [H1,H], λ ∈ C+, и Yτ−(t, z) ∈ ∈ [H0,H], z ∈ C−, уравнения (2), определенных начальными условиями Ỹτ+(0, λ) = (−D̂∗ 2(λ)D̂ ∗ 1(λ)) ⊤(D̃∗ 1(λ)−M+(λ)D̃ ∗ 0(λ)) −1, λ ∈ C+, Ỹτ−(0, z) = (−Ĉ∗ 2 (z)Ĉ ∗ 1 (z)) ⊤(C∗ 0 (z)−M−(z)C ∗ 1 (z)) −1, z ∈ C−. Пусть также Z±(t, λ) — операторные решения из предложения 1. Введем оператор-функции Yτ (t, λ) = { Yτ+(t, λ), λ ∈ C+, Yτ−(t, λ), λ ∈ C−, Z0(t, λ) = { Z+(t, λ), λ ∈ C+, Z−(t, λ), λ ∈ C−. Определение 2. Оператор-функцию Gτ (·, ·, λ) : ∆ ×∆ → [H] вида Gτ (x, t, λ) = { Z0(x, λ)Y ∗ τ (t, λ), x > t, Yτ (x, λ)Z ∗ 0 (t, λ), x < t, λ ∈ C+ ⋃ C−, (13) назовем функцией Грина, соответствующей паре τ ∈ R̃(H0,H1). Теорема 1. Пусть τ ∈ R̃(H0,H1) и R(λ) = Rτ (λ) — соответствующaя обобщенная резольвента оператора L0, порожденная граничной задачей (11), (12). Тогда (R(λ)f)(x) = b∫ 0 Gτ (x, t, λ)f(t) dt := lim η↑b η∫ 0 Gτ (x, t, λ)f(t) dt, f = f(·) ∈ H, (14) откуда следует, что равенства (13) и (14) задают биективное соответствие между обобщенными (каноническими) резольвентами R(λ) и всеми парами τ ∈ R̃(H0,H1) (со- ответственно, τ ∈ R̃0(H0,H1)). Каждой паре τ = {τ+, τ−} ∈ R̃(H0,H1) сопоставим оператор-функции Ω̃τ+(λ) и Ω̃τ−(z), Ω̃τ+(λ) = ( ω̃1+(λ) ω̃2+(λ) ω̃3+(λ) ω̃4+(λ) ) : H0 ⊕H1 → H1 ⊕H0, λ ∈ C+, (15) ω̃1+(λ) = M+(λ)−M+(λ)(τ+(λ) +M+(λ)) −1M+(λ), (16) ω̃2+(λ) = − 1 2 IH1 +M+(λ)(τ+(λ) +M+(λ)) −1, (17) 28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2 ω̃3+(λ) = − 1 2 IH0 + (τ+(λ) +M+(λ)) −1M+(λ), ω̃4+(λ) = −(τ+(λ) +M+(λ)) −1, (18) Ω̃τ−(z) = (Ω̃τ+(z)) ∗, z ∈ C−. (19) Определение 3. Оператор-функцию Ω(λ) = Ωτ (λ) (∈ [Hn⊕Hn]), заданную равенством Ωτ (λ) = PHn⊕HnΩ̃τ±(λ) ↾ H n ⊕Hn, λ ∈ C±, (20) назовем х. м. оператора L0, отвечающей паре τ = {τ+, τ−} ∈ R̃(H0,H1). X. м. Ωτ (λ) назовем канонической, если τ ∈ R̃0(H0,H1). Теорема 2. Пусть {H0 ⊕H1,Γ0,Γ1} — распадающаяся D-тройка (3) для L. Тогда для всякой пары τ ∈ R̃(H0,H1) соответствующая функция Грина (13) допускает представ- ление Gτ (x, t, λ) = Y0(x, λ) ( Ωτ (λ) + 1 2 sign(t− x)J ) Y ∗ 0 (t, λ), λ ∈ C+ ⋃ C−, в котором Y0(t, λ) (∈ [Hn ⊕ Hn]) — “каноническое” решение уравнения (2) c начальным условием Ỹ0(0, λ) = I и J = ( 0 −I I 0 ) ∈ [Hn ⊕ Hn]. Замечание 2. 1. Используя формулы (15)–(20), нетрудно показать, что Imλ·ImΩτ (λ) > 0 и Ω∗ τ (λ) = Ωτ (λ), λ ∈ C \ R (это значит, что Ωτ (λ) — неванлинновская оператор-функция). 2. Из теоремы 2 следует, что функция Ω(λ) = Ωτ (λ) совпадает с характеристической матрицей обобщенной резольвенты R(λ) = Rτ (λ) в смысле А.В. Штрауса [1]; при этом х. м. Ωτ (λ) является канонической тогда и только тогда, когда она отвечает канонической резольвенте. Это утверждение может служить обоснованием данного нами определения 3. Формулы (15)–(19) и (20) описывают все х. м. оператора L0 с помощью “граничного” па- раметра τ ∈ R̃(H0,H1). В следующей теореме то же описание дается посредством формулы, аналогичной известной формуле М.Г. Крейна для резольвент (см., например, [9]). Теорема 3. Пусть Π = {H0⊕H1,Γ0,Γ1} — распадающаяся D-тройка (3) для L, M±(·) — функции Вейля (5), (6) и S+(λ) = ( −m(λ) −M2+(λ) IHn 0 ) , λ ∈ C+; S−(z) = ( −m(z) −M2−(z) IHn 0 ) , z ∈ C−. Кроме того, пусть A0 — максимальное симметрическое расширение оператора L0 с обла- стью определения D(A0) = {y ∈ D : y(2)(0) = 0,Γ′ 0y = 0} и R0(λ) := (A0 − λ)−1, λ ∈ C+; R0(λ) := (A∗ 0 − λ)−1, λ ∈ C, — (21) соответствующая обобщенная резольвента. Тогда равенство Ω(λ)(= Ωτ (λ)) = Ω0(λ)− S+(λ)(τ+(λ) +M+(λ)) −1S∗ −(λ), λ ∈ C+, (22) в котором Ω0(λ) =   m(λ) − 1 2 IHn − 1 2 IHn 0   — х.м. обобщенной резольвенты R0(λ), задает биективное соответствие между всеми х.м. Ω(λ) оператора L0 и всеми парами τ = = {τ+, τ−} ∈ R̃(H0,H1); при этом каноническим х. м. Ω(λ) в (22) соответствуют τ ∈ ∈ R̃0(H0,H1). ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 29 Случай равных индексов дефекта. В случае H0 = H1 =: H D-тройку (3) назовем распадающейся граничной тройкой для L. Для такой тройки тождество (4) принимает вид [y, z](b) = (Γ′ 1y,Γ ′ 0z)− (Γ′ 0y,Γ ′ 1z), y, z ∈ D, и, кроме того, справедливо равенство n+(L0) = n−(L0) = dimH. Отметим также, что распа- дающаяся граничная тройка Π = {H,Γ0,Γ1} является граничной тройкой (пространством граничных значений) для L [10, c. 158], в то время как оператор-функция M(λ) = M±(λ), λ ∈ C± (см. (5) и (6)) совпадает с функцией Вейля в смысле В.А. Деркача и М.М. Ма- ламуда [9]. Для распадающейся граничной тройки приведенные выше результаты можно сформу- лировать в несколько упрощенном виде. Именно, в этом случае класс R̃(H,H) =: R(H) совпадает с известным классом неванлинновских функций τ(·) со значениями в C̃(H) (см., например, [11]) и справедлива следующая теорема. Теорема 4. Пусть Π = {H,Γ0,Γ1} — распадающаяся граничная тройка (30) для L, M(λ) = ( m(λ) M2(λ) M3(λ) M4(λ) ) : Hn ⊕H′ → Hn ⊕H′, λ ∈ C+ ⋃ C− — блочное представление соответствующей функции Вейля и S(λ) : = ( −m(λ) −M2(λ) IHn 0 ) : Hn ⊕H′ → Hn ⊕Hn, λ ∈ C+ ⋃ C−. Тогда: 1) х.м. оператора L0, отвечающая функции τ ∈ R̃(H), задается равенствами Ω̃τ (λ) =   M(λ)−M(λ)(τ(λ) +M(λ))−1M(λ) − 1 2 IH +M(λ)(τ(λ) +M(λ))−1 − 1 2 IH + (τ(λ) +M(λ))−1M(λ) −(τ(λ) +M(λ))−1   , (23) Ωτ (λ) = PHn⊕HnΩ̃τ (λ) ↾ H n ⊕Hn, λ ∈ C+ ⋃ C−; 2) резольвента R0(λ) (21) каноническая (т. е. оператор A0 самосопряжен) и форму- ла (22) для х.м. принимает вид Ω(λ)(= Ωτ (λ)) = Ω0(λ)− S(λ)(τ(λ) +M(λ))−1S∗(λ), λ ∈ C+ ⋃ C−; (24) при этом роль параметра в (24) играют функции τ ∈ R̃(H). Замечание 3. Нетрудно показать, что в случае минимальных дефектов n±(L0) = n·dimH (dimH < ∞) х. м. Ωτ (·) задается правой частью равенства (23) с M(λ) = m(λ). Для скаляр- ного выражения Штурма–Лиувилля на полуоси этот результат получен А.В. Штраусом [2]. Отметим также недавние работы [11, 12], в которых показано, что всякая матрица ви- да (23) является функцией Вейля для самосопряженного расширения Ã, задающего обоб- щенную резольвенту оператора A, порожденную параметром τ(λ) в абстрактном граничном условии. 1. Штраус А. В. Об обобщенных резольвентах и спектральных функциях дифференциальных операто- ров четного порядка // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1957. – 21. – С. 785–808. 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2 2. Штраус А. В. О спектральных функциях дифференциальных операторов // Там же. – 1955. – 19. – С. 201–220. 3. Горбачук М.Л. О спектральных функциях дифференциального уравнения второго порядка с опера- торными кэффициентами // Укр. мат. журн. – 1966. – 18, № 2. – С. 3–21. 4. Dijksma A., Langer H. Operator theory and ordinary differential operators // Lectures on operator theory and its applications (Waterllo, ON, 1994), Fields. Inst. Monogr., 3, Amer. Math. Soc. – Providence, RI, 1996. – P. 73–139. 5. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – Москва: Наука, 1969. – 528 с. 6. Рофе-Бекетов Ф.С. О самосопряженных расширениях дифференциальных операторов в пространс- тве вектор-функций // Теория функций, функц. анализ и их прил. – 1969. – 8. – С. 3–24. 7. Mogilevskii V. I. Boundary triplets and Titchmarsh–Weyl functions of differential operators with arbitrary deficiency indices // Methods Funct. Anal. Topology. – 2009. – 15, No 3. – P. 280–300. 8. Mogilevskii V. I. Nevanlinna type families of linear relations and the dilation theorem // Ibid. – 2006. – 12, No 1. – P. 38–56. 9. Derkach V.A., Malamud M.M. Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps // J. Funct. Anal. – 1991. – 95, No 1. – P. 1–95. 10. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с. 11. Derkach V.A., Hassi S., Malamud M.M., de Snoo H. Generalized resolvents of symmetric operators and admissibility // Methods Funct. Anal. Topology. – 2000. – 6, No 3. – P. 24–55. 12. Derkach V.A., Hassi S., Malamud M.M., de Snoo H. Boundary relations and generalized resolvents of symmetric operator // Rus. J. Math. Phys. – 2009. – 16, No 1. – P. 17–60. Поступило в редакцию 05.04.2011ГЗ “Луганский национальный университет им. Тараса Шевченко” В.Й. Могiлевський Про характеристичнi матрицi диференцiальних операторiв у просторi вектор-функцiй Розвинуто вiдомi результати Штрауса про узагальненi резольвенти та спектральнi функ- цiї диференцiального оператора парного порядку на пiвосi. Зокрема, отримано параметри- зацiю усiх характеристичних матриць безпосередньо в термiнах спектрального параметра вiдповiдної граничної задачi. Таку параметризацiю задано за допомогою формули, що є ана- логом формули Крейна для узагальнених резольвент. V. I. Mogilevskii On characteristic matrices of differential operators in the vector-function space We develop well-known results due to Shtraus on the generalized resolvents and spectral func- tions of a differential operator of even order defined on the semiaxis. In particular, we obtain a parametrization of all the characteristic matrices immediately in terms of the spectral parameter of the corresponding boundary-value problem. Such a parametrization is given by a formula similar to the Krein formula for generalized resolvents. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 31

О характеристических матрицах дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций

Institution

Ähnliche Einträge