Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом
Доведено, що кожен найпростіший потенціальний закон збереження (тобто закон збереження, що включає один потенціал) будь-якого (1+1)-вимірного лінійного еволюційного рівняння парного порядку індуковано локальним законом збереження цього рівняння. Це твердження також справедливе для лінійних найпрості...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49479 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом / В.М. Бойко, Р.О. Попович // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 7-14. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-49479 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-494792013-09-20T03:07:20Z Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом Бойко, В.М. Попович, Р.О. Математика Доведено, що кожен найпростіший потенціальний закон збереження (тобто закон збереження, що включає один потенціал) будь-якого (1+1)-вимірного лінійного еволюційного рівняння парного порядку індуковано локальним законом збереження цього рівняння. Це твердження також справедливе для лінійних найпростіших потенціальних законів збереження (1+1)-вимірних лінійних еволюційних рівнянь непарного порядку, пов'язаних з лінійними потенціальними системами. Запропоновано ефективний критерій перевірки, коли квадратичний закон збереження найпростішої лінійної системи є чисто потенціальним законом збереження (1+1)-вимірного лінійного еволюційного рівняння непарного порядку. Доказано, что каждый простейший потенциальный закон сохранения (т.е. закон сохранения, включающий один потенциал) любого (1+1)-мерного эволюционного уравнения четного порядка, индуцирован локальным законом сохранения этого уравнения. Это утверждение также справедливо для линейных простейших потенциальных законов сохранения (1+1)-мерных эволюционных уравнений нечетного порядка, связанных с линейными потенциальными системами. Предложен эффективный критерий проверки, когда квадратичный закон сохранения является чисто потенциальным законом сохранения (1+1)-мерного эволюционного уравнения нечетного порядка. It is proved that every simplest potential conservation law (i.e., a conservation law involving a single potential) of any (1+1)-dimensional linear evolution equation of even order is induced by a local conservation law of the same equation. This claim is true also for linear simplest potential conservation laws of (1+1)-dimensional linear evolution equations of odd order, which are related to linear potential systems. We also derive an effective criterion for checking whether a quadratic conservation law of a simplest linear potential system is a purely potential conservation law of a (1+1)-dimensional linear evolution equation of odd order. 2012 Article Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом / В.М. Бойко, Р.О. Попович // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 7-14. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49479 517.95 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Бойко, В.М. Попович, Р.О. Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом Доповіді НАН України |
| description |
Доведено, що кожен найпростіший потенціальний закон збереження (тобто закон збереження, що включає один потенціал) будь-якого (1+1)-вимірного лінійного еволюційного рівняння парного порядку індуковано локальним законом збереження цього рівняння. Це твердження також справедливе для лінійних найпростіших потенціальних законів збереження (1+1)-вимірних лінійних еволюційних рівнянь непарного порядку, пов'язаних з лінійними потенціальними системами. Запропоновано ефективний критерій перевірки, коли квадратичний закон збереження найпростішої лінійної системи є чисто потенціальним законом збереження (1+1)-вимірного лінійного еволюційного рівняння непарного порядку. |
| format |
Article |
| author |
Бойко, В.М. Попович, Р.О. |
| author_facet |
Бойко, В.М. Попович, Р.О. |
| author_sort |
Бойко, В.М. |
| title |
Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом |
| title_short |
Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом |
| title_full |
Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом |
| title_fullStr |
Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом |
| title_full_unstemmed |
Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом |
| title_sort |
потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49479 |
| citation_txt |
Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом / В.М. Бойко, Р.О. Попович // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 7-14. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT bojkovm potencíalʹnízakonizberežennâlíníjnihevolûcíjnihrívnânʹzodnimpotencíalom AT popovičro potencíalʹnízakonizberežennâlíníjnihevolûcíjnihrívnânʹzodnimpotencíalom |
| first_indexed |
2025-07-04T10:36:24Z |
| last_indexed |
2025-07-04T10:36:24Z |
| _version_ |
1836712340163133440 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2012
МАТЕМАТИКА
УДК 517.95
© 2012
В.М. Бойко, Р.О. Попович
Потенцiальнi закони збереження лiнiйних еволюцiйних
рiвнянь з одним потенцiалом
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А. Г. Нiкiтiним)
Доведено, що кожен найпростiший потенцiальний закон збереження (тобто закон збе-
реження, що включає один потенцiал) будь-якого (1+1)-вимiрного лiнiйного еволюцiйно-
го рiвняння парного порядку iндуковано локальним законом збереження цього рiвняння.
Це твердження також справедливе для лiнiйних найпростiших потенцiальних законiв
збереження (1+1)-вимiрних лiнiйних еволюцiйних рiвнянь непарного порядку, пов’яза-
них з лiнiйними потенцiальними системами. Запропоновано ефективний критерiй пе-
ревiрки, коли квадратичний закон збереження найпростiшої лiнiйної системи є чисто
потенцiальним законом збереження (1+1)-вимiрного лiнiйного еволюцiйного рiвняння
непарного порядку.
Поняття потенцiальних законiв збереження диференцiальних рiвнянь виникло як природне
узагальнення поняття локальних законiв збереження. Потенцiальним законом збережен-
ня системи S диференцiальних рiвнянь називають будь-який локальний закон збережен-
ня потенцiальної системи, яка побудована з системи S через введення потенцiалiв з вико-
ристанням локальних законiв збереження системи S [1]. Цей термiн вперше використано
в роботi [2]. Потенцiальнi закони збереження можуть бути тривiальними в тому сенсi, що
їх iндуковано локальними законами збереження вихiдної системи (див. [1, 3]). Iдея iтера-
тивного введення потенцiалiв за допомогою локальних законiв збереження потенцiальних
систем, якi отримано на попередньому кроцi, вперше запропоновано у вiдомiй статтi [4]
i пiзнiше формалiзовано у виглядi поняття унiверсального абелевого накриття диферен-
цiальних рiвнянь у роботах [5, 6]. Незважаючи на те, що потенцiальнi закони збережен-
ня диференцiальних рiвнянь є цiкавими i важливими об’єктами для вивчення в рамках
симетрiйного аналiзу, нетривiальнi та вичерпнi результати щодо них отримано лише для
декiлькох класiв диференцiальних рiвнянь (див. вiдповiднi огляди лiтератури та посилан-
ня у роботах [1, 3, 7]). У статтi [8] узагальнено результати з [1] щодо лiнiйного рiвняння
теплопровiдностi i доведено, що всi потенцiальнi закони збереження (1+1)-вимiрних лiнiй-
них еволюцiйних рiвнянь другого порядку є тривiальними. Локальнi закони збереження
цих рiвнянь добре вивчено. Точнiше, простори локальних законiв збереження включають
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 7
лiнiйнi закони збереження, характеристики яких залежать лише вiд незалежних змiнних i
є розв’язками вiдповiдних спряжених рiвнянь. Таким чином, задачу опису потенцiальних
законiв цих рiвнянь повнiстю розв’язано.
У даному повiдомленнi результати роботи [8] щодо найпростiших потенцiальних законiв
збереження (що включають один потенцiал) (1+1)-вимiрних лiнiйних еволюцiйних рiвнянь
другого порядку поширено на випадок рiвнянь довiльного порядку. Якщо порядок пар-
ний, узагальнення є прямим i вичерпним. Для рiвнянь непарних порядкiв дослiджено лише
найпростiшi потенцiальнi системи, побудованi за допомогою лiнiйних законiв збереження.
Розглянемо довiльне лiнiйне еволюцiйне рiвняння порядку n з двома незалежними змiн-
ними t, x та однiєю залежною змiнною u:
ut =
n∑
i=0
Aiui, (1)
де Ai = Ai(t, x) — довiльнi достатньо гладкi функцiї, An 6= 0, n ∈ {2, 3, 4, . . .}, ut та ui —
похiднi невiдомої функцiї u = u(t, x), тобто ut = ∂u/∂t, ui ≡ ∂iu/∂xi, i = 1, . . . , n, а також
u0 ≡ u. У разi необхiдностi будемо також використовувати такi позначення: ux = u1, uxx =
= u2, uxxx = u3. Символи Dt i Dx позначають оператори повної похiдної за змiнними t
i x вiдповiдно, Div — повну дивергенцiю, Div V = DtF + DxG для набору V = (F,G)
диференцiальних функцiй F й G. Щодо iнших пов’язаних означень та позначень див. [8, 9].
У п. 1 зроблено короткий огляд результатiв з [10] щодо локальних законiв збережен-
ня для рiвнянь вигляду (1), а найпростiший потенцiальний фрейм, побудований у [8] для
(1+1)-вимiрних лiнiйних еволюцiйних рiвнянь другого порядку, узагальнено на випадок рiв-
нянь довiльного порядку. Аналогiчне узагальнення дуальних перетворень Дарбу проведено
в п. 2. Найпростiшi потенцiальнi закони збереження (1+1)-вимiрних лiнiйних еволюцiйних
рiвнянь парного i непарного порядку дослiджено у пп. 3 i 4 вiдповiдно.
1. Локальнi закони збереження та найпростiший потенцiальний фрейм. Доб-
ре вiдомо, що будь-яке лiнiйне диференцiальне рiвняння з частинними похiдними L до-
пускає косиметрiї, якi є функцiями лише незалежних змiнних i задовольняють спряжене
рiвняння L†, причому кожен розв’язок рiвняння L† є косиметрiєю рiвняння L. Бiльш того,
будь-яка така косиметрiя є характеристикою закону збереження рiвняння L зi збережним
вектором, лiнiйним за залежною змiнною та її похiдними. Згiдно з [9, § 5.3], називатимемо
такi закони збереження лiнiйними. Виявляється, що для будь-якого (1+1)-вимiрного лiнiй-
ного еволюцiйного рiвняння парного порядку його простiр законiв збереження вичерпують
лiнiйнi закони збереження, а тому цей простiр iзоморфний простору розв’язкiв вiдповiдно-
го спряженого рiвняння (див. [10]). Iншими словами, будь-яка косиметрiя рiвняння (1) не
залежить вiд похiдних функцiї u, а функцiя α = α(t, x) є косиметрiєю рiвняння (1) тодi
i тiльки тодi, коли вона є розв’язком спряженого рiвняння
αt +
n∑
i=0
(−1)i(Aiα)i = 0. (2)
Будь-яка така косиметрiя є характеристикою лiнiйного закону збереження рiвняння (1)
з канонiчним збережним вектором V = (F,G), де
F = αu, G =
n−1∑
i=0
σiui, (3)
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
а коефiцiєнти σi = σi(t, x) знаходяться з рекурентних спiввiдношень
σn−1 = −αAn, σi = −αAi+1 − σi+1
x , i = n− 2, . . . , 0. (4)
Для будь-якого (1+1)-вимiрного лiнiйного еволюцiйного рiвняння непарного порядку
простiр його законiв збереження породжено лiнiйними та квадратичними законами збере-
ження [10]. Iснують рiвняння такого типу, що допускають нескiнченнi серiї квадратичних
законiв збереження як завгодно високого порядку, так i рiвняння, якi взагалi не мають
квадратичних законiв збереження. Для того щоб формули та твердження, одержанi для
рiвнянь парного порядку, були справедливими i у випадку непарного порядку, необхiдно
обмежитися розглядом лiнiйних локальних законiв збереження, вiдповiдних (лiнiйних) по-
тенцiальних систем та їх лiнiйних законiв збереження.
Аналогiчно роботi [8] дослiджуємо об’єкти, пов’язанi з найпростiшими потенцiальними
системами рiвняння (1), а саме потенцiальними системами, породженими окремими локаль-
ними законами збереження [1]. При цьому важливим є використання перетворень Дарбу
лiнiйних еволюцiйних рiвнянь [11]. Докладне вивчення найпростiших потенцiальних сис-
тем є необхiдним для розумiння загального випадку, оскiльки такi системи є складовими
загальних потенцiальних систем.
Вводячи потенцiал v по нетривiальному канонiчному збережному вектору (3), асоцiйо-
ваному з характеристикою α = α(t, x) 6= 0, отримуємо потенцiальну систему
vx = αu, vt = −
n−1∑
i=0
σiui. (5)
Вихiдне рiвняння (1) для u є диференцiальним наслiдком системи (5). Iншим диферен-
цiальним наслiдком системи (5) є рiвняння
vt = −
n−1∑
i=0
σi
(
vx
α
)
i
(6)
на потенцiальну залежну змiнну v, яке називають потенцiальним рiвнянням, асоцiйованим
з рiвнянням (1) i характеристикою α. Iснує бiєкцiя мiж розв’язками потенцiальної системи
i потенцiального рiвняння завдяки, з одного боку, проекцiї (u, v) → v та, з iншого боку,
спiввiдношенню u = vx/α (див. [8]). Вiдповiднiсть мiж розв’язками вихiдного рiвняння та
потенцiальної системи є взаємооднозначною лише з точнiстю до постiйного доданка до v.
Для подальшого розгляду зручно використовувати iншу залежну змiнну w = ψv за-
мiсть v, де ψ = 1/α. Функцiю w називають модифiкованим потенцiалом, асоцiйованим
з характеристикою α = 1/ψ. Потенцiальна система (5) i потенцiальне рiвняння (6), перепи-
санi в термiнах w i ψ замiсть v i α, вiдповiдно набувають вигляду
wx −
ψx
ψ
w = u, wt −
ψt
ψ
w = −ψ
n−1∑
i=0
σiui, (7)
wt = −ψ
n−1∑
i=0
σi
(
wx −
ψx
ψ
w
)
i
+
ψt
ψ
w =:
n∑
i=0
Biwi. (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 9
Тут
Bi = −ψσi−1 + ψ
n−1∑
j=i
(
i
j
)
σj
(
ψx
ψ
)
j−i
, i = n, n− 1, . . . , 1, B0 =
ψt
ψ
+ ψ
n−1∑
j=0
σj
(
ψx
ψ
)
j
.
Зокрема, Bn = An й Bn−1 = An−1 −An
x. Систему (7) i рiвняння (8) називають модифiкова-
ною потенцiальною системою i модифiкованим потенцiальним рiвнянням, асоцiйованими
з характеристикою α. Такi зображення потенцiальної системи i потенцiального рiвняння
бiльш зручнi для дослiджень у рамках симетрiйного аналiзу.
Оскiльки функцiя v = 1 є очевидним розв’язком рiвняння (6), функцiя w = ψ є розв’яз-
ком рiвняння (8). Таким чином, перше рiвняння системи (7) є насправдi перетворенням
Дарбу [11] рiвняння (8) у рiвняння (1).
2. Дуальнi перетворення Дарбу. Чудову властивiсть, що коварiантнiсть Дарбу ви-
конується для (1+1)-вимiрних лiнiйних еволюцiйних рiвнянь будь-якого порядку, вперше
встановлено в роботi [12] (див. також [11, с. 17]). На вiдмiну вiд попереднього пункту нада-
лi для зручностi викладу будемо вважати, що вихiдним об’єктом розгляду є рiвняння (8),
записане у виглядi
wt =
n∑
i=0
Biwi, (9)
яке трактуємо як довiльний представник класу лiнiйних еволюцiйних рiвнянь.
Позначимо через DT[ϕ] перетворення Дарбу, побудоване за ненульовим розв’язком ϕ
рiвняння (9):
DT[ϕ](w) = wx −
ϕx
ϕ
w.
Перетворення Дарбу має корисну властивiсть дуальностi. Сформулюємо її аналогiчно ро-
ботi [8] у дещо вiдмiнному вiд [11, § 2.4] виглядi.
Лема 1. Нехай w0 — фiксований ненульовий розв’язок рiвняння (9), а перетворення
Дарбу DT[w0] вiдображає рiвняння (9) у рiвняння (1). Тодi α0 = 1/w0 є розв’язком рiвнян-
ня (2), спряженого до (1), i DT[α0] вiдображає рiвняння (2) у рiвняння, спряжене до (9).
Зауваження 1. Аналогiчно [8] перетворення Дарбу DT[α0] назвемо дуальним до пере-
творення Дарбу DT[w0]. Оскiльки двiчi спряжене рiвняння збiгається з вихiдним, то двiчi
дуальне перетворення Дарбу є не що iнше, як вихiдне перетворення Дарбу. Це означає, що
“тодi” у лемi 1 можна замiнити на “тодi i тiльки тодi”.
Зауваження 2. Перетворення Дарбу DT[w0] з леми 1 є лiнiйним вiдображенням прос-
тору розв’язкiв рiвняння (9) у простiр розв’язкiв рiвняння (1). Ядро цього вiдображення
збiгається з 〈w0〉. Його образом є весь простiр розв’язкiв рiвняння (1). Дiйсно, для будь-яко-
го розв’язку u рiвняння (1) можна знайти розв’язок w рiвняння (9), що вiдображається в u.
Для цього потрiбно проiнтегрувати систему (7) вiдносно w. Згiдно з теоремою Фробенiу-
са система (7) є сумiсною внаслiдок рiвняння (1). Тому DT[w0] є бiєкцiєю мiж простором
розв’язкiв рiвняння (9), факторизованим за 〈w0〉, та простором розв’язкiв рiвняння (1).
У випадку парного порядку n лему 1 разом iз зауваженням 2 можна переформулювати
у термiнах характеристик законiв збереження.
Лема 2. Нехай w0 — ненульовий розв’язок рiвняння (9), а перетворення Дарбу DT[w0]
вiдображає рiвняння (9) у рiвняння (1). Тодi α0 = 1/w0 є характеристикою рiвняння (1)
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
i перетворення Дарбу DT[α0] вiдображає простiр характеристик рiвняння (1) у простiр
характеристик рiвняння (9).
3. Найпростiшi потенцiальнi закони збереження: парний порядок. Якщо потен-
цiальну систему побудовано шляхом введення потенцiалу v за законом збереження рiвнян-
ня (1), то кожен її локальний закон збереження є найпростiшим потенцiальним законом
збереження рiвняння (1). Будемо казати, що найпростiший потенцiальний закон збере-
ження F рiвняння (1) iндуковано локальним законом збереження F рiвняння (1), якщо F
включає збережний вектор, який є пiдняттям збережного вектора з F вiдносно проекцiї
̟ : J∞(t, x|u, v) → J∞(t, x|u), де J∞(t, x|u, v) (вiдповiдно J∞(t, x|u)) позначає простiр стру-
менiв з незалежними змiнними t, x та залежними змiнними u, v (вiдповiдно iз залежною
змiнною u). На пiдставi твердження 2 з [3] це еквiвалентно тому, що закон збереження F
мiстить збережний вектор, який залежить вiд t, x та похiдних функцiї u.
Теорема 1. Кожен найпростiший потенцiальний закон збереження будь-якого
(1+1)-вимiрного лiнiйного еволюцiйного рiвняння парного порядку iндуковано локальним
законом збереження цього ж рiвняння.
Доведення. Потенцiали v i ṽ, якi введено по еквiвалентних збережних векторах, по-
в’язанi перетворенням ṽ = v + f [u], де f [u] є функцiєю змiнних t, x i похiдних вiд u. Це
перетворення зберiгає властивiсть iндукованостi найпростiших потенцiальних законiв збере-
ження локальними. Тому для вичерпного дослiдження найпростiших потенцiальних законiв
збереження рiвнянь вигляду (1) з парним n достатньо вивчити локальнi закони збереження
потенцiальних систем вигляду (5), якi асоцiйованi з канонiчними збережними векторами (3).
Зафiксуємо рiвняння з класу (1) та його характеристику α i розглянемо вiдповiдну по-
тенцiальну систему (5). Оскiльки звичайний потенцiал v пов’язаний з модифiкованим по-
тенцiалом w точковим перетворенням, то можна вивчати закони збереження модифiкованої
потенцiальної системи (7) замiсть системи (5). З точнiстю до еквiвалентностi збережних
векторiв на множинi розв’язкiв системи (7) похiднi вiд u можна виключити з будь-яко-
го збережного вектора системи (7). Iншими словами, кожний локальний закон збережен-
ня F модифiкованої потенцiальної системи (7) має збережний вектор, який залежить лише
вiд t, x та похiдних потенцiалу w, а тому його iндуковано локальним законом збереження
модифiкованого потенцiального рiвняння (8).
Оскiльки рiвняння (8), як i вихiдне, є (1+1)-вимiрним лiнiйним еволюцiйним рiвнянням
парного порядку, то його простiр законiв збереження вичерпують лiнiйнi закони збережен-
ня. Довiльна характеристика β системи (8) залежить лише вiд t та x i задовольняє рiвняння,
спряжене до (8). Згiдно з лемою 2 iснує характеристика α̃ рiвняння (1) така, що β = DT[α]α̃.
Нехай V1, V2 — збережнi вектори модифiкованої потенцiальної системи, якi є пiдняттями
канонiчних збережних векторiв вихiдного рiвняння (1) та модифiкованого потенцiального
рiвняння (8) i асоцiйованi з характеристиками α̃, β вiдповiдно. Сума їх густин дорiвнює
βw + α̃u =
(
α̃x −
αx
α
α̃
)
w + α̃
(
wx +
αx
α
w
)
= Dx(α̃w).
Позначимо через V0 тривiальний збережний вектор (−Dx(α̃w),Dt(α̃w)). Збережний вектор
V0 + V1 + V2 системи (7) має нульову густину i тому є тривiальним збережним вектором
(в дiйсностi — нульовим). Це означає, що збережнi вектори −V1 i V2 еквiвалентнi.
Таким чином, доведено, що будь-який найпростiший потенцiальний закон збереження
рiвняння (1) має збережний вектор, який є пiдняттям локального збережного вектора рiв-
няння (1).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 11
4. Найпростiшi потенцiальнi закони збереження: непарний порядок. Теорему 1
не можна прямо поширити на випадок (1+1)-вимiрних лiнiйних еволюцiйних рiвнянь не-
парного порядку, оскiльки додатково до лiнiйних такi рiвняння можуть мати квадратичнi
закони збереження. Тому обмежимося лише лiнiйними потенцiальними структурами.
Теорема 2. Кожен лiнiйний найпростiший потенцiальний закон збереження (1+1)-ви-
мiрного лiнiйного еволюцiйного рiвняння непарного порядку, пов’язаний з лiнiйною потен-
цiальною системою, iндуковано локальним законом збереження цього ж рiвняння.
(1+1)-вимiрне лiнiйне еволюцiйне рiвняння L непарного порядку може також мати ще
два типи найпростiших потенцiальних законiв збереження: 1) закони збереження потенцi-
альних систем, побудованих за квадратичними збережними векторами рiвняння L; 2) ква-
дратичнi закони збереження найпростiших лiнiйних потенцiальних систем.
Дослiдження потенцiальних законiв збереження першого типу є складним. Так, на вiдмi-
ну вiд лiнiйного випадку, вiдповiднi потенцiальнi системи, як правило, не мають аналогiв по-
тенцiальних рiвнянь. Судячи з усього, є лише одна можливiсть вивчення законiв збереження
таких систем — через пряме застосування загальних методiв (див., наприклад, [1, 5, 7]).
Iснує простий критерiй перевiрки, коли потенцiальний закон збереження другого типу
iндуковано локальним законом збереження вихiдного рiвняння (1).
Теорема 3. Нехай α = α(t, x) — ненульова характеристика (1+1)-вимiрного лiнiйного
еволюцiйного рiвняння непарного порядку (1) i
γ = Γw, де Γ =
r∑
k=0
gk(t, x)Dk
x, gr 6= 0,
є характеристикою вiдповiдного модифiкованого потенцiального рiвняння (8). Тодi закон
збереження потенцiальної системи (5), асоцiйований з γ, iндуковано локальним законом
рiвняння (1) тодi i тiльки тодi, коли розв’язок ψ = 1/α рiвняння (8) належить ядру
оператора Γ, тобто Γψ = 0.
Доведення. Позначимо через V збережний вектор потенцiальної системи (5), який
отримано пiдняттям канонiчного збережного вектора модифiкованого потенцiального рiв-
няння (8), асоцiйованого з характеристикою γ, i таким перетворенням: v = αw. Маємо, що
Div V = γ
(
wt −
n∑
i=0
Biwi
)
=
= (Γw)
(
wt −
ψt
ψ
w + ψ
n−1∑
i=0
σiui + ψ
n−1∑
i=0
σiDi
x
(
wx −
ψx
ψ
w − u
))
=
= ψΓ(ψv)
(
vt +
n−1∑
i=0
σiui
)
+ ψ
(
n−1∑
i=0
(−Dx)
i(ψσiΓ(ψv))
)
(vx − αu) +DxΦ
для деякої диференцiальної функцiї Φ змiнних u, v, явний вигляд якої знову не є суттє-
вим. (Це квадратична функцiя похiдних вiд u та v з коефiцiєнтами, що залежать вiд t
i x.) Отже, збережний вектор V вiдповiдає закону збереження потенцiальної системи (5)
з характеристикою λ, яка має компоненти
ψΓ(ψv), ψ
(
n−1∑
i=0
(−Dx)
i(ψσiΓ(ψv))
)
.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
Для того щоб характеристика λ була повнiстю зведеною, необхiдно виключити з неї всi
похiднi vk, k = 1, . . . , r + n − 1, використовуючи диференцiальнi наслiдки рiвняння vx =
= αu. Зведений вигляд λ залежить вiд потенцiалу v тодi i тiльки тодi, коли Γψ = 0. Таким
чином, доведення випливає з критерiю iндукованостi потенцiальних законiв збереження
локальними, запропонованого в [3, твердження 8].
П р и к л ад 1 . Побудуємо приклад, розпочинаючи з вiдповiдного модифiкованого потенцiально-
го рiвняння з вiдомим простором квадратичних законiв збереження. Розглянемо “лiнiйне рiвняння
Кортевега–де Фрiза”
wt = wxxx, (10)
яке збiгається зi своїм спряженим. Як доведено в [10], простiр його квадратичних законiв збережен-
ня породжується законами збереження з характеристиками Γmlw, де Γml = Dm
x (3tD2
x + x)lDm
x , l,
m = 0, 1, 2, . . . . Як розв’язок ψ модифiкованого потенцiального рiвняння виберемо функцiю w = x.
Перетворення Дарбу DT[x] вiдображає рiвняння (10) у “вихiдне” рiвняння
ut = uxxx −
3
x2
ux +
3
x3
u, (11)
яке також збiгається зi своїм спряженим. Розв’язком α рiвняння (11), дуальним до ψ, є u = 1/ψ =
= 1/x. Γmlψ = 0 тодi i тiльки тодi, коли m > 2. Тому повну множину незалежних найпростiших
чисто потенцiальних законiв збереження рiвняння (11), якi одержанi через введення потенцiалу
α = 1/x, вичерпують квадратичнi закони збереження, побудованi пiдняттям законiв збереження
вiдповiдного модифiкованого потенцiального рiвняння (10), якi мають характеристики Γmlw, де
або m = 0 та l = 0, 1, 2, . . ., або m = 1 та l = 1, 2, . . . .
Попереднiй аналiз показує, що одержанi результати для найпростiших законiв збере-
ження можна поширити на випадок довiльної кiлькостi потенцiалiв, введених за лiнiйними
законами збереження. Першим кроком у цьому має бути побудова всього лiнiйного по-
тенцiального фрейму для класу (1+1)-вимiрних лiнiйних еволюцiйних рiвнянь довiльного
порядку, як це було реалiзовано для рiвнянь другого порядку в роботi [8]. Очевидно, що
лiнiйний потенцiальний фрейм збiгається з усiм потенцiальним фреймом у випадку рiвнянь
парного порядку. Розгляд нелiнiйних потенцiальних систем, побудованих для рiвнянь не-
парного порядку за квадратичними законами збереження, вимагає розвитку нових методiв,
якi вiдрiзняються вiд тих, що використано при дослiдженнi лiнiйних потенцiальних систем.
Дослiдження було пiдтримано Австрiйським науковим фондом (FWF), проект P20632.
1. Popovych R.O., Ivanova N.M. Hierarchy of conservation laws of diffusion-convection equations // J. Math.
Phys. – 2005. – 46. – 043502, 22 p.
2. Bluman G., Doran-Wu P. The use of factors to discover potential systems or linearizations. Geometric and
algebraic structures in differential equations // Acta Appl. Math. – 1995. – 41. – P. 21–43.
3. Kunzinger M., Popovych R.O. Potential conservation laws // J. Math. Phys. – 2008. – 49. – 103506, 34 p.
4. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations // Ibid. – 1975. –
16. – P. 1–7.
5. Bocharov A.V., Chetverikov V. N., Duzhin S. V. et al. Symmetries and conservation laws for differential
equations of mathematical physics. – Providence: Amer. Math. Soc., 1999. – 333 p.
6. Sergyeyev A. On recursion operators and nonlocal symmetries of evolution equations // Proceedings of the
Seminar on Differential Geometry. – Opava: Silesian Univ. in Opava, 2000. – P. 159–173.
7. Bluman G.W., Cheviakov A.F., Anco S. C. Applications of symmetry methods to partial differential equa-
tions. – New York: Springer, 2010. – 398 p.
8. Popovych R.O., Kunzinger M., Ivanova N.M. Conservation laws and potential symmetries of linear
parabolic equations // Acta. Appl. Math. – 2008. – 100. – P. 113–185.
9. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. – Москва: Мир, 1989. – 639 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 13
10. Popovych R.O., Sergyeyev A. Conservation laws and normal forms of evolution equations // Phys. Lett. A. –
2010. – 374. – P. 2210–2217.
11. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux transformations and solitons. – Berlin: Springer, 1991. – 120 p.
12. Matveev V.B. Darboux transformation and explicit solutions of the Kadomtsev–Petviashvili equation,
depending on functional parameters // Lett. Math. Phys. – 1979. – 3. – P. 213–216.
Надiйшло до редакцiї 22.09.2011Iнститут математики НАН України, Київ
В.Н. Бойко, Р. Е. Попович
Потенциальные законы сохранения линейных эволюционных
уравнений с одним потенциалом
Доказано, что каждый простейший потенциальный закон сохранения (т. е. закон сохра-
нения, включающий один потенциал) любого (1+1)-мерного эволюционного уравнения чет-
ного порядка, индуцирован локальным законом сохранения этого уравнения. Это утвер-
ждение также справедливо для линейных простейших потенциальных законов сохранения
(1+1)-мерных эволюционных уравнений нечетного порядка, связанных с линейными потен-
циальными системами. Предложен эффективный критерий проверки, когда квадратичный
закон сохранения является чисто потенциальным законом сохранения (1+1)-мерного эво-
люционного уравнения нечетного порядка.
V.M. Boyko, R.O. Popovych
Potential conservation laws of linear evolution equations with single
potential
It is proved that every simplest potential conservation law (i. e., a conservation law involving
a single potential) of any (1+1)-dimensional linear evolution equation of even order is induced by
a local conservation law of the same equation. This claim is true also for linear simplest potential
conservation laws of (1+1)-dimensional linear evolution equations of odd order, which are related
to linear potential systems. We also derive an effective criterion for checking whether a quadratic
conservation law of a simplest linear potential system is a purely potential conservation law of
a (1+1)-dimensional linear evolution equation of odd order.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
|