Про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами
Обгрунтовано метод зведення багатоточкової задачі для диференціальних рівнянь з параметрами до рівносильного інтегрального рівняння. Встановлено умови існування та єдиності розв'язку даної задачі....
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49483 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами / В.В. Листопадова // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 30-33. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-49483 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-494832013-09-20T03:07:31Z Про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами Листопадова, В.В. Математика Обгрунтовано метод зведення багатоточкової задачі для диференціальних рівнянь з параметрами до рівносильного інтегрального рівняння. Встановлено умови існування та єдиності розв'язку даної задачі. Обоснован метод сведения многоточечной задачи для дифференциальных уравнений с параметрами к равносильному интегральному уравнению. Установлены условия существования и единственности решения данной задачи. The multipoint problem for a differential equation with parameters is stated to be equivalent to an integral equation. The conditions of existence and uniqueness of solutions of this problem are established. 2012 Article Про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами / В.В. Листопадова // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 30-33. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49483 517.927.6 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Листопадова, В.В. Про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами Доповіді НАН України |
| description |
Обгрунтовано метод зведення багатоточкової задачі для диференціальних рівнянь з параметрами до рівносильного інтегрального рівняння. Встановлено умови існування та єдиності розв'язку даної задачі. |
| format |
Article |
| author |
Листопадова, В.В. |
| author_facet |
Листопадова, В.В. |
| author_sort |
Листопадова, В.В. |
| title |
Про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами |
| title_short |
Про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами |
| title_full |
Про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами |
| title_fullStr |
Про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами |
| title_full_unstemmed |
Про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами |
| title_sort |
про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49483 |
| citation_txt |
Про одну багатоточкову задачу для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу і параметрами / В.В. Листопадова // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 30-33. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT listopadovavv proodnubagatotočkovuzadačudlâdiferencíalʹnihrívnânʹzvídhilennâmargumentuíparametrami |
| first_indexed |
2025-07-04T10:36:43Z |
| last_indexed |
2025-07-04T10:36:43Z |
| _version_ |
1836712531569147904 |
| fulltext |
УДК 517.927.6
© 2012
В.В. Листопадова
Про одну багатоточкову задачу для диференцiальних
рiвнянь з вiдхиленням аргументу i параметрами
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Обгрунтовано метод зведення багатоточкової задачi для диференцiальних рiвнянь з па-
раметрами до рiвносильного iнтегрального рiвняння. Встановлено умови iснування та
єдиностi розв’язку даної задачi.
Ряд важливих задач рiзних областей сучасної науки i технiки приводять до багатоточко-
вих задач для диференцiальних рiвнянь з вiдхиленням аргументу, якi мiстять параметри.
Такi задачi ще недостатньо вивченi. У даному повiдомленнi обгрунтовано метод зведення
багатоточкової задачi до iнтегрального рiвняння i встановлено умови iснування та єдиностi
розв’язку.
Нехай необхiдно знайти функцiю y(x) ∈ W 2
2 (a, b) i параметри λ ∈ R
l, якi задовольняють
рiвняння
y(m)(x) +
m
∑
τ=1
gτ (x)y
(m−τ)(x) +
m
∑
τ=1
dτ (x)y
(m−τ)(x−∆) = f(x) + c(x)λ, x ∈ (a, b), (1)
i додатковi умови
y(xs) = αs, αs ∈ R, s = 1, p, a = x1 < x2 < · · · < xs < · · · < xp = b, (2)
y(x−∆) = y′(x−∆) = · · · = y(m−1)(x−∆) = 0, x ∈ (a, c), c = a+∆, (3)
де ∆ — постiйне запiзнення, ∆ > 0, c(x)λ — скалярний добуток вектора λ = (λ1, λ2, . . . , λl)
i неперервної на (a, b) вектор-функцiї c(x) = (c1(x), c2(x), . . . , cl(x)), l = p −m.
Припустимо, що функцiї gτ (x), dτ (x), τ = 1,m, є неперервними на (a, b), f ∈ L2(a, b).
Розглянемо оператор L, який визначимо формулою
(Ly)(x) = y(m)(x) +
m
∑
τ=1
gτ (x)y
(m−τ)(x) +
0, x ∈ (a, c), c = a+∆,
m
∑
τ=1
dτ (x)y
(m−τ)(x−∆), x ∈ [c, b).
Тодi задачу (1)–(3) можна записати у виглядi
(Ly)(x) = f(x) + c(x)λ, y(xs) = αs, s = 1, p. (4)
Нехай
(Ay)(x) = y(m)(x) +
m
∑
τ=1
aτ (x)y
(m−τ)(x),
(By)(x) = (Ay)(x)− (Ly)(x),
(5)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
де aτ (x), τ = 1,m, — неперервнi на (a, b) функцiї, якi пiдбираються так, щоб задача
(Av)(x) = 0, v(xs) = 0, s = 1, p, (6)
мала тiльки тривiальний розв’язок.
На основi формул (4), (5) задача (1)–(3) набуде вигляду
(Ay)(x) = f(x) + c(x)λ+ (By)(x),
y(xs) = αs, s = 1, p,
(7)
де
(By)(x) =
m
∑
τ=1
rτ (x)y
(m−τ)(x)−
0, x ∈ (a, c),
m
∑
τ=1
dτ (x)y
(m−τ)(x−∆), x ∈ [c, b),
rτ (x) = aτ (x)− gτ (x), τ = 1,m.
(8)
Задачу (7) при введених припущеннях можна звести до рiвносильного iнтегрального рiв-
няння. Для цього зробимо замiну
(Ay)(x) = u(x), y(xs) = αs, s = 1, p. (9)
Оскiльки за припущенням задача (6) має тiльки тривiальний розв’язок, то iснує функцiя
Грiна G(x, t), за допомогою якої розв’язок задачi (9) можна записати в явному виглядi
y(x) = h(x) +
b
∫
a
G(x, t)u(t) dt, (10)
де h(x) — розв’язок задачi
(Ah)(x) = 0, h(xs) = αs, s = 1, p. (11)
Зазначимо, що при x ∈ (c, b) i t ∈ (a, b) (x − ∆) ∈ (a, b − ∆), тому функцiя G(x − ∆, t)
визначена i
y(x−∆) = h(x−∆) +
b
∫
a
G(x−∆, t)u(t) dt, x ∈ (c, b). (12)
Пiдставивши вирази (9)–(12) в (7) i врахувавши позначення (8), одержимо iнтегральне рiв-
няння
u(x) = l(x) + c(x)λ +
b
∫
a
K(x, t)u(t) dt, (13)
з умовами для визначення параметра λ
b
∫
a
G(xs, t)u(t) dt = αs − h(xs), s = 2, p − 1, (14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 31
де
l(x) = f(x) + (Bh)(x), (15)
K(x, t) =
m
∑
τ=1
rτ (x)G
(m−τ)(x)−
0, x ∈ (a, c),
m
∑
τ=1
dτ (x)G
(m−τ)(x−∆, t), x ∈ [c, b), t ∈ (a, b).
(16)
Виключимо параметр λ з iнтегрального рiвняння (13). Для цього пiдставимо спiввiдношен-
ня (13) в (14), у результатi чого одержимо систему алгебраїчних рiвнянь для визначення
параметра λ:
Cλ = q, (17)
в якiй
C = {csτ}, s = 1, l, τ = 1, l,
csτ =
b
∫
a
G(xs+1, t)cτ (t) dt,
q = (q1, q2, . . . , ql),
qs = αs+1 − h(xs+1)−
b
∫
a
G(xs+1, t)l(t) dt−
b
∫
a
b
∫
a
G(xs+1, t)K(t, ξ)u(ξ) dξdt, s = 1, l.
Нехай визначник матрицi C вiдмiнний вiд нуля. Отже, iснує обернена матриця C−1, за
допомогою якої знаходимо
λ = C−1q. (18)
Пiдставивши спiввiдношення (18) в (13), одержимо iнтегральне рiвняння Фредгольма дру-
гого роду
u(x) = g(x) +
b
∫
a
M(x, t)u(t) dt, (19)
де
g(x) = l(x) + c(x)C−1p, (20)
M(x, t) = K(x, t) + c(x)C−1D(t), (21)
p, D(t) — вектор i вектор-функцiя вiдповiдно, компоненти яких мають вигляд
ps = αs+1 − h(xs+1)−
b
∫
a
G(xs+1, t)l(t) dt, (22)
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
Ds(t) = −
b
∫
a
G(xs+1, ξ)K(ξ, t)dξ, s = 1, l. (23)
При зроблених припущеннях i властивостях функцiї Грiна iз формул (16), (21), (23) випли-
ває справедливiсть спiввiдношення
ρ2 =
b
∫
a
b
∫
a
M2(x, t) dxdt < ∞. (24)
Отже, iнтегральний оператор
(Mu)(x) =
b
∫
a
M(x, t)u(t) dt (25)
вiдображає простiр L2(a, b) в себе i є цiлком неперервним. Iз зроблених припущень i фор-
мул (20), (15) очевидно, що g ∈ L2(a, b).
Таким чином, задача (1)–(3) рiвносильна iнтегральному рiвнянню Фредгольма (19), умо-
ви iснування i єдиностi розв’язку якого достатньо вивченi [1–3]. Отже, виконується таке
твердження.
Теорема. Якщо одиниця — регулярне значення iнтегрального оператора (26), то за-
дача (1)–(3) має єдиний розв’язок y∗ ∈ L2(a, b), λ
∗ ∈ R
l при довiльнiй функцiї f ∈ L2(a, b).
1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – Москва: Наука, 1977. – 744 с.
2. Красносельский М.А., Вайникко Г.М. и др. Приближенное решение операторных уравнений. – Моск-
ва: Наука, 1969. – 456 с.
3. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных урав-
нений. – Киев: Наук. думка, 1980. – 264 с.
Надiйшло до редакцiї 30.06.2011НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
В.В. Листопадова
Об одной многоточечной задаче для дифференциальных уравнений
с отклонением аргумента и параметрами
Обоснован метод сведения многоточечной задачи для дифференциальных уравнений с пара-
метрами к равносильному интегральному уравнению. Установлены условия существования
и единственности решения данной задачи.
V.V. Listopadova
On one multipoint problem for differential equations with deviating
argument and parameters
The multipoint problem for a differential equation with parameters is stated to be equivalent to
an integral equation. The conditions of existence and uniqueness of solutions of this problem are
established.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 33
|