Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції

З використанням фрактальної розмірності побудовано таку замкнену множину Fщо є нестрогою підмножиною R², яка не може бути множиною точок розриву жодної лінійно неперервної функції f:R²→R, але будь-яка її афінна проекція ніде не щільна. Також доведено, що будь-яка сферична проекція множини точок розр...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Банах, Т.О., Маслюченко, O.B.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49985
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції / Т.О. Банах, O.B. Маслюченко // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 7-12. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-49985
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-499852013-10-03T03:09:49Z Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції Банах, Т.О. Маслюченко, O.B. Математика З використанням фрактальної розмірності побудовано таку замкнену множину Fщо є нестрогою підмножиною R², яка не може бути множиною точок розриву жодної лінійно неперервної функції f:R²→R, але будь-яка її афінна проекція ніде не щільна. Також доведено, що будь-яка сферична проекція множини точок розриву лінійно неперервної функції f:R^n→R є множиною першої категорії. С использованием фрактальной размерности построено такое замкнутое множество F являющееся нестрогим подмножеством R², которое не может быть множеством точек разрыва линейно непрерывной функции f:R²→R, но каждая его аффинная проекция нигде не плотна. Также доказано, что каждая сферическая проекция множества точек разрыва линейно непрерывной функции f:R^n→R есть множеством первой категории. Using the fractal dimension, we construct a closed set F that is nonproper subset of R² which is not the discontinuity point set of a linearly continuous function f:R²→R, but any affine projection of F is nowhere dense. We also prove that any spherical projection of the discontinuous point set of any linearly continuous function f:R^n→R is meager. 2012 Article Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції / Т.О. Банах, O.B. Маслюченко // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 7-12. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49985 517.51 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Банах, Т.О. Маслюченко, O.B. Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції Доповіді НАН України
description	З використанням фрактальної розмірності побудовано таку замкнену множину Fщо є нестрогою підмножиною R², яка не може бути множиною точок розриву жодної лінійно неперервної функції f:R²→R, але будь-яка її афінна проекція ніде не щільна. Також доведено, що будь-яка сферична проекція множини точок розриву лінійно неперервної функції f:R^n→R є множиною першої категорії.
format	Article
author	Банах, Т.О. Маслюченко, O.B.
author_facet	Банах, Т.О. Маслюченко, O.B.
author_sort	Банах, Т.О.
title	Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції
title_short	Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції
title_full	Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції
title_fullStr	Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції
title_full_unstemmed	Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції
title_sort	фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49985
citation_txt	Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції / Т.О. Банах, O.B. Маслюченко // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 7-12. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT banahto fraktalʹnarozmírnístʹílíníjnoneperervnífunkcíí AT maslûčenkoob fraktalʹnarozmírnístʹílíníjnoneperervnífunkcíí
first_indexed	2025-07-04T11:25:12Z
last_indexed	2025-07-04T11:25:12Z
_version_	1836715412414267392
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 6 • 2012 МАТЕМАТИКА УДК 517.51 © 2012 Т.О. Банах, O. B. Маслюченко Фрактальна розмiрнiсть i лiнiйно неперервнi функцiї (Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Шарком) З використанням фрактальної розмiрностi побудовано таку замкнену множину F ⊆ R 2, яка не може бути множиною точок розриву жодної лiнiйно неперервної функцiї f : R2 → R, але будь-яка її афiнна проекцiя нiде не щiльна. Також доведено, що будь-яка сферична проекцiя множини точок розриву лiнiйно неперервної функцiї f : Rn → R є мно- жиною першої категорiї. 1. Питання про точки неперервностi нарiзно неперервних функцiй, яке бере свiй початок ще з класичних праць Р. Бера i В. Осгуда, на даний момент добре вивчено. Зокрема, в ро- ботi [1] отримано повний опис множин точок розриву нарiзно неперервних функцiй, що визначенi на добутках метризовних просторiв. Лiнiйно неперервнi функцiї — це такi функ- цiї f : Rn → R, звуження f \|L яких на кожну пряму L ⊆ R n неперервне (на вiдмiну вiд нарiзно неперервних функцiй, для яких, фактично, вимагається неперервнiсть звужень на прямi, що паралельнi координатним осям). Зрозумiло, що питання про вивчення множини точок розриву лiнiйно неперервних функцiй має спiльнi риси iз дослiдженням розривiв на- рiзно неперервних функцiй. Проте при вивченнi лiнiйно неперервних функцiй є одна iстотна труднiсть: для лiнiйно неперервних функцiй є континуум рiзних напрямкiв, вiдносно яких вимагається неперервнiсть, а для нарiзно неперервних функцiй — їх скiнченна кiлькiсть. Ця обставина ускладнює геометричну структуру точок розривiв лiнiйно неперервних функцiй. Скажiмо, множини точок розриву нарiзно неперервних функцiй f : Rn → R — це, в точностi, такi Fσ-множини, проекцiї яких паралельнi до кожної з координатних осей першої катего- рiї. А для характеризацiї множин точок розриву лiнiйно неперервних функцiй f : Rn → R в [2] була введена спецiальна геометрична умова: σ-лiнiйна стичнiсть. Множина E ⊆ R n називається σ-лiнiйно стичною, якщо iснують послiдовностi множин Fk, Ak, Bk, для яких E = ∞ ⋃ k=1 Fk, Ak ⋂ Bk = Ak ⋂ Bk = ∅, Fk = Ak ⋂ Bk, i для довiльного x ∈ Fk та напрямку e ∈ R n iснує таке ε > 0, що вiдрiзок [x, x+ εe] ⊆ Ak. В [2] було встановлено такий результат. Теорема А. Для того щоб множина E ⊆ R n була множиною точок розриву деякої лiнiйно неперервної функцiї f : Rn → R першого класу Бера, необхiдно i достатньо, щоб E була σ-лiнiйно стичною. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №6 7 Оскiльки лiнiйно неперервна функцiя є нарiзно неперервною, а кожна нарiзно неперерв- на функцiя двох дiйсних змiнних, як вiдомо, належить до першого класу Бера, то звiдси випливає така характеризацiя множин точок розриву лiнiйно неперервних функцiй двох дiйсних змiнних. Наслiдок. Множина E ⊆ R 2 є множиною точок розриву деякої лiнiйно неперервної функцiї f : R2 → R тодi i тiльки тодi, коли E є σ-лiнiйно стичною. Проте досi ще не з’ясовано, якою є множина точок розриву лiнiйно неперервних функцiй багатьох змiнних. Дана робота присвячена встановленню деяких необхiдних умов на мно- жину точок розриву лiнiйно неперервних функцiй, якi, на жаль, не є достатнiми. Для цього нам буде потрiбний один результат про сукупну неперервнiсть KhC-функцiй. Нагадаємо, що функцiя f : X × Y → Z називається KhC-функцiєю, якщо вона неперервна вiдносно другої змiнної i горизонтально квазiнеперервна, тобто для довiльної точки (x0, y0) ∈ X×Y , ї ї околу U × V i околу W ї ї образу f(x0, y0) iснує вiдкрита непорожня множина U1 ⊆ U i точка y1 ∈ V така, що f(x, y1) ∈ W при x ∈ U1. Нижчеподаний результат був отриманий у роботi [3]. Теорема B. Нехай X — топологiчний простiр, Y — топологiчний простiр з другою аксiомою злiченностi, Z — метризовний простiр i f : X × Y → Z — KhC-функцiя. Тодi проекцiя prX(D(f)) множини точок розриву на X є множиною першої категорiї. 2. У роботi, оскiльки термiни “нiде не щiльна множина” i “множина першої категорiї” беруть участь у формуваннi похiдних термiнiв, ми використовуватимемо для них короткi замiнники. А саме множини першої категорiї називатимемо худими, а нiде не щiльнi — мiзерними. Нехай X — топологiчний векторний простiр. Пiдмножина C ⊆ X називається цилiндричною (конiчною), якщо iснує a ∈ X таке, що для довiльних x ∈ C i λ ∈ R \ {0} виконується, що λa + x ∈ C (чи вiдповiдно a + λx ∈ C). Казатимемо, що множина E є цилiндрично (конiчно) мiзерною, якщо для довiльної вiдкритої непорожньої конiчної (ци- лiндричної) множини G ⊆ X iснує вiдкрита непорожня конiчна (цилiндрична) множина H ⊆ G, для якої H ⋂ E = ∅. Казатимемо, що E є σ-цилiндрично σ-конiчно мiзерною, якщо iснує послiдовнiсть цилiндрично (конiчно) мiзерних множин En таких, що E = ∞ ⋃ n=1 En. Зрозумiло, що вiдкритi цилiндричнi множини — це, в точностi, прообрази вiдкритих множин при дiї лiнiйних неперервних проекторiв з одновимiрним ядром. Тому множина E буде проективно нiде не щiльною тодi i тiльки тодi, коли для довiльного лiнiйного непе- рервного проектора p : X → X з одновимiрним ядром виконується, що p(E) мiзерна в p(X). Множину E ⊆ X називатимемо лiнiйно проективно худою, якщо для довiльного лiнiйного проектора p : X → X з одновимiрним ядром виконується, що p(E) худа в p(X). Оскiльки замкнена худа пiдмножина берiвського простору буде мiзерною i за теоремою Куратовсько- го про замкненiсть проекцiї матимемо, що для довiльного проектора з одновимiрним ядром образ замкненої обмеженої множини є замкненим, то лiнiйно проективно худа Fσ-пiдмно- жина банахового простору буде σ-цилiндрично мiзерною. Нагадаємо, що вiдображення f : X → Y називається квазiнеперервним, якщо для до- вiльної точки x ∈ X ї ї околу U i околу V ї ї образу f(x) iснує вiдкрита непорожня множина U1 ⊆ U така, що f(U1) ⊆ V . Почнемо з одного нескладного наслiдку з теореми B. Лема 1. Нехай S, T , X, Y — топологiчнi простори, причому T з другою аксiомою злiченностi, t∗ ∈ T , T ∗ = T \ {t∗}, а Y — метризовний, f : X → Y — квазiнеперервна функцiя i ϕ : S × T → X — таке неперервне вiдображення, що вiдображення f ◦ ϕs = = f(ϕ(s, ·)) неперервне для кожного s ∈ S i звуження f∗ = f \|S×T ∗ вiдкрите. Тодi Dϕ(f) = 8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №6 = {s ∈ S: для деякого t ∈ T вiдображення f розривне в точцi ϕ(s, t)} є множиною першої категорiї. Якщо, крiм того, S — берiвський, а T — метризовний компакт, то для довiльно ε > 0 множина Dϕ ε (f) = {s ∈ S: для деякого t ∈ T коливання ωf (ϕ(s, t)) > ε} мiзерна в S. Доведення. Розглянемо вiдображення g = f ◦ ϕ : S × T → Y . Ясно, що g неперервне вiдносно другої змiнної. Перевiримо, що g є горизонтально квазiнеперервним. Вiзьмемо деяку точку (s0, t0) ∈ S × T i покладемо x0 = ϕ(s0, t0) та y0 = f(x0) = g(s0, t0). Ясно, що досить розглянути випадок, коли точка t0 не iзольована. Розглянемо вiдкритi околи U0 точки s0 в S, V0 точки t0 в T i W0 точки y0 в Y . Оскiльки gs0 = f ◦ ϕs0 неперервне, то iснує точка t1 ∈ U0 \ {t ∗}, для якої gs0(t1) ∈ W0. Нехай x1 = ϕ(s0, t1). Зрозумiло, що множина G0 = ϕ(U0×V0) є вiдкритим околом точки x1. Але f квазiнеперервне. Тому iснує вiдкрита непорожня множина G1 ⊆ G0 така, що f(G1) ⊆ ⊆ W0. Вiзьмемо деяку точку x2 ∈ G1. Тодi iснують s2 ∈ U0 i t2 ∈ V0 такi, що x2 = ϕ(s2, t2). Виберемо такi околи U2 ⊆ U0 точки s2 i V2 ⊆ V0 точки t2, що ϕ(U2 × V2) ⊆ G1. Тодi g(U2 × × {t2}) ⊆ g(U2 × V2) ⊆ f(G1) ⊆ W0. Таким чином, g є KhC-функцiєю. Тому за теоремою B матимемо, що Dϕ(f) = prS(D(g)) є множиною першої категорiї. Для доведення другої частини леми досить скористатись теоремою Куратовського про замкненiсть проекцiї. Теорема 1. Нехай X — топологiчний векторний простiр, Y — метризовний простiр i f : X → Y — квазiнеперервне лiнiйно неперервне вiдображення. Тодi його множина точок розриву D(f) є лiнiйно проективно худою. Зокрема, якщо X — банахiв простiр, то D(f) є σ-цилiндрично мiзерною. Доведення. Розглянемо деякий лiнiйний проектор p : X → X з одновимiрним ядром T = p−1(0). Нехай S = p(X) — образ даного проектора. Ясно, що S ⊕ T = X. Розглянемо вiдображення ϕ : S × T → X, що дiє за правилом ϕ(s, t) = s + t. За лемою 1 матимемо, що p(D(f)) = Dϕ(f) худа. 3. Для нормованого простору X розглянемо проекцiю π : X \ {0} → SX на одиничну сферу SX = {x ∈ X : ‖x‖ = 1}, яка визначається формулою π(x) = x/‖x‖. Крiм того, для довiльної точки a ∈ X розглянемо вiдображення πa : X \ {a} → SX , πa(x) = π(x− a). Зрозумiло, що множина E ⊆ X буде конiчно мiзерною тодi i тiльки тодi, коли для довiльного a ∈ X множина πa(E \ {a}) мiзерна в SX . Казатимемо, що множина E ⊆ X є сферично проективно худою, якщо для довiльного a ∈ X сферична проекцiя πa(E \ {a}) худа в SX . Очевидно, що σ-конiчно мiзерна множина є сферично худою. Пiзнiше ми переконаємось, що обернене не вiрне. Теорема 2. Нехай X — нормований простiр, Y — метризовний простiр i f : X → Y — квазiнеперервне лiнiйно неперервне вiдображення. Тодi його множина точок розриву D(f) є сферично проективно худою. Якщо X — банахiв простiр, то D(f) є σ-конiчно мiзерною. Доведення. Зафiксуємо деяку точку a ∈ X. Позначимо S = SX , T = [0,+∞) i t∗ = 0. Розглянемо вiдображення ϕ : S × T → Y , що дiє за правилом ϕ(s, t) = a + ts. За ле- мою 1 матимемо, що πa(D(f)) = Dϕ(f) худа. А якщо X — банахiв простiр, то, покладаючи En = ω−1 f ([1/n,+∞]) ⋂ BX [0, n], матимемо, що πa(En\{a}) є нiде не щiльною для кожного a, а тому En є конiчно мiзерною. Значить, E = ∞ ⋃ n=1 En є σ-конiчно мiзерною. Добре вiдомо, що кожна нарiзно неперервна (а значить, i лiнiйно неперервна) функцiя f : Rn → R є квазiнеперервною. Тому з попереднiх теорем у скiнченно вимiрному випадку одержуємо такi твердження. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №6 9 Наслiдок 1. Нехай X = R n, Y — метризовний простiр i f : X → Y — квазiнеперервне лiнiйно неперервне вiдображення. Тодi його множина точок розриву D(f) є σ-сферично проективно мiзерною. Зокрема, D(f) є сферично проективно худою. Наслiдок 2. Нехай X = R n, Y — метризовний простiр i f : X → Y — лiнiйно непе- рервне вiдображення. Тодi його множина точок розриву D(f) є σ-конiчно мiзерною. 4. Побудуємо σ-цилiндрично мiзерну множину, яка не є σ-конiчно мiзерною. Для цього корисним є поняття фрактальної розмiрностi. Нехай X — метричний простiр. Вiзьмемо ε > 0. Якщо в просторi X iснує нескiнченна ε-сiтка, то покладемо νX(ε) = ∞. Iнакше, через νX(ε) позначимо мiнiмальну потужнiсть ε-сiтки в X, тобто νX(ε) = min{\|S\| : B(S, ε) = X}. Покладемо fd(X) = lim ε→0 ln νX(ε) ln 1 ε , fd(X) = lim ε→0 ln νX(ε) ln 1 ε та fd(X) = lim ε→0 ln νX(ε) ln 1 ε . Цi числа називаються (верхньою, нижньою) фрактальною розмiрнiстю X. Лема 2. Нехай X та Y — такi метричнi простори, для яких iснує лiпшицева сюр’єкцiя з X в Y , або Y є пiдпростором X. Тодi fd(Y ) 6 fd(X), fd(Y ) 6 fd(X) i fd(Y ) 6 fd(X). Доведення. Вiзьмемо деяку сюр’єкцiю f : X → Y , яка є лiпшицевою з деякою кон- стантою γ. Тодi, якщо S є ε-сiткою в X, то f(S) є γε-сiткою в Y . Але \|f(S)\| 6 \|S\|. Тому νY (γε) 6 νX(ε). Звiдси випливають потрiбнi нерiвностi. Нехай тепер Y є пiдпростором X i S є ε-сiткою Y . Покладемо S1 = {s ∈ S : B(s, ε) ⋂ Y 6= 6= ∅} i для кожного s ∈ S1 виберемо ts ∈ Y таке, що \|s − ts\|X ⊆ ε. Тодi множина T = = {ts : s ∈ S1} є 2ε-сiткою простору Y , причому \|T \| 6 \|S\|. Таким чином, νY (2ε) 6 νX(ε). Звiдси одержуємо потрiбнi нерiвностi. Лема 3. Нехай X — нормований простiр, d = dim(X) i E — обмежена десь щiльна пiдмножина X. Тодi fd(E) = d. Доведення. Покладемо F = E. Нескладно перевiрити, що fd(F ) = fd(E) = d. Далi, якщо d = ∞, то за лемою про майже перпендикуляр в F для досить малих ε > 0 iснує нескiнченна ε-вiдокремна множина. Отже, fd(E) = ∞. Нехай тепер d < ∞. Оскiльки всi d-вимiрнi нормованi простори iзоморфнi, а значить, i лiпшицево гомеоморфнi, то можна вважати, що X = ℓd ∞ . Нехай K = [0, 1]d. Оскiльки F обмежена i має непорожню внутрi- шнiсть, iснують невиродженi паралелепiпеди K ′ = d ∏ j=1 [a′j , b ′ j ] i K ′′ = d ∏ j=1 [a′′j , b ′′ j ] такi, що K ′ ⊆ F ⊆ K ′′. Але K ′ i K ′′ очевидним чином лiпшицево гомеоморфнi до K. Тому за ле- мою 2 матимемо, що fd(K ′) = fd(K ′′) = fd(K), а тому fd(K) = fd(F ). Залишилось довести, що fd(K) = d. Доведемо спочатку, що fd(K) 6 d. Нехай тепер Sn = { ( ki n )d i=1 : ki = 1, . . . , n } . Тодi \|Sn\| = nd. Причому, якщо ε > 1/n, то Sn є ε-сiткою. Отже, nK(ε) 6 nd при ε > 1/n. Тодi нерiвнiсть fd(K) 6 d випливає з того, що при 1/n < ε 6 1/(n − 1) виконується оцiнка ln νK(ε) ln 1 ε 6 lnnd ln 1 1/(n − 1) = d lnn lnn+ ln ( 1− 1 n ) → d при n → ∞. Доведемо, що fd(K) > d. Вiзьмемо ε < 1/(2n) i знайдемо таку ε-сiтку T , що \|T \| = νK(ε). Далi для довiльного s ∈ Sn iснує таке ts ∈ T , для якого ‖s − ts‖ 6 1/n. Але для рiзних s′, 10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №6 s′′ ∈ Sn матимемо, що \|st′ − s(t′′)\| > 1/n − 2ε > 0. Тому st′ 6= st′′ . Таким чином, nd = \|Sn\| 6 6 \|T \| = nK(ε) при ε < 1/(2n). Отже, при 1/(2(n + 1)) 6 ε < 1/(2n) виконується нерiвнiсть ln νK(ε) ln 1 ε > lnnd ln 1 1/(2n + 2) = d lnn lnn+ ln 2 + ln ( 1 + 1 n ) → d при n → ∞. А значить, fd(K) > d. Отже, ми довели, що d 6 fd(K) 6 fd(K) 6 d. Тому fd(K) = d. Лема 4. Нехай X — нормований простiр i E ⊆ X, причому fd(E) = 0 i dimX > 2. Тодi: (i) E нiде не щiльна; (ii) якщо p — ненульововий проектор в X, то множина p(E) нiде не щiльна в p(X); (iii) E цилiндрично мiзерна; (iv) E сферично проективно худа. Доведення. По-перше, з лем 2 i 3 матимемо (i), (ii), (iii). Доведемо (iv). Зауважимо, що для довiльних x, y ∈ X з ε 6 ‖x‖ 6 ‖y‖ матимемо, що ‖π(x)− π(y)‖ 6 1 ε ‖x‖‖π(x) − π(y)‖ = 1 ε ‖x− ‖x‖π(y)‖ 6 6 1 ε (‖x− y‖+ ‖y − ‖x‖π(y)‖) = 1 ε (‖x− y‖+ ‖y‖ − ‖x‖) 6 2 ε ‖x− y‖. Таким чином, вiдображення π є лiпшицевим при ‖x‖ > ε. А тому πa лiпшицеве при ‖x−a‖ > > ε. Залишилось знову скористатись лемою 2 i аналогом леми 3 для сфери в нормованому просторi. Нехай ∆ = {0, 1}N i e = (εn) ∞ n=1, де εn ↓ 0. На множинi ∆ визначимо метрику ρe, покладаючи ρe(s, t) = εm, якщо s = (σn) ∞ n=1, t = (τn) ∞ n=1 ∈ ∆ такi, що σn = τn при n < m i σm 6= τm. Метричний простiр (∆, ρe) позначатимемо ∆e. Лема 5. Нехай послiдовнiсть e = (εn) ∞ n=1 така, що εn ↓ 0 i d = lim n→∞ n log2(1/εn) . Тодi fd(∆e) = d. Доведення. Нехай Sm = {s = (σn) ∈ ∆: σn = 0 при n > m}. Ясно, що \|Sm\| = 2m. Крiм того, Sm є ε-сiткою при ε > εm. А також для довiльних рiзних s, t ∈ Sm виконується, що ρe(s, t) > εm. Теорема 3. Нехай X — сепарабельний банахiв простiр. Тодi iснує компактна множина K ⊆ X, яка не є σ-конiчно мiзерною i fd(K) = 0. Зокрема, K є σ-цилiндрично мiзерною, лiнiйно i сферично проективно худою, проте не може бути множиною точок розриву жодного лiнiйно неперервного i квазiнеперервного вiдображення f : X → R. Доведення. Розглянемо щiльну в SX послiдовнiсть (xn) ∞ n=1. Нехай також εn = 2−n2 , δn = εn − εn+1 i e = (εn) ∞ n=1. Розглянемо вiдображення f : ∆e → X, що дiє за правилом f(t) = ∞ ∑ n=1 δnτnxn, для t = (τn) ∞ n=1 ∈ ∆n. Вiзьмемо такi s = (σn) ∞ n=1, t = (τn) ∞ n=1 ∈ ∆e, що σn = τn при n < m i σm 6= τm. Тодi ρe(s, t) = εm. Крiм того, ‖f(s)− f(t)‖ = ∥ ∥ ∥ ∥ ∑ n>m δn(σn − τn)xn ∥ ∥ ∥ ∥ 6 ∑ n>m δn = ∑ n>m (εn − εn+1) = εm = ρe(s, t), ‖f(s)− f(t)‖ > δm − ∑ n>m δn = εm − 2εm+1 = εm ( 1− 1 4m ) > 3 4 ρe(s, t). ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №6 11 Таким чином, вiдображення f є лiпшицевим гомеоморфiзмом. Покладемо K = f(∆e). Тодi за лемами 2 i 5 матимемо, що fd(K) = fd(∆e) = lim n→∞ n log2(1/εn) = 0. Доведемо, що K не є σ-конiчно мiзерною. Нехай це не так i K = ∞ ⋃ n=1 En, для деяких конiчно мiзерних мно- жин Ek. Тодi замкненi множини Fn = Ek також є конiчно мiзерними i K = ∞ ⋃ n=1 Fk. Але K — компакт. Отже, iснує такий номер k, для якого множина Fk десь щiльна, а значить, має непорожню внутрiшнiсть. Тодi Uk = int f−1(Fk) 6= ∅. Отже, iснує такий скiнченний набiр (τn) m−1 n=1 ∈ {0, 1}m, що для довiльного s = (σn) ∈ ∆e, з σn = τn при n < m, виконується, що s ∈ Uk. Нехай t = (τ1, . . . , τm−1, 0, 0, . . .) i a = f(t). Вiзьмемо n > m i розглянемо набiр tn ∈ ∆e, який вiд набору t вiдрiзняється тим, що у нього на n-му мiсцi стоїть одиниця. Тодi tn ∈ U , а значить, xn = f(tn) ∈ Fk. Але xn = a + δnxn. Тому πa(Fk) ∋ xn − a ‖xn − a‖ = xn для довiльного n > m. Отже, πa(Fk) щiльна в SX . Таким чином, Fk не є конiчно мiзерною. Наслiдок 3. Нехай d ∈ N. Тодi iснує компактна множина K ⊆ R d, яка не є σ-конiчно мiзерною i fd(K) = 0. Зокрема, K є σ-цилiндрично мiзерною, лiнiйно i сферично проектив- но худою, проте не може бути множиною точок розриву жодного лiнiйно неперервного вiдображення f : X → R. 1. Маслюченко В.К., Михайлюк В.В. Характеризацiя множин точок розриву нарiзно неперервних функцiй багатьох змiнних на добутках метризовних просторiв // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 6. – С. 740–747. 2. Маслюченко О.В. Множина точок розриву l-неперервних функцiй першого класу // Наук. вiсн. Чер- нiвецьк. ун-ту. Математика. – 2008. – Вип. 374. – С. 96–98. 3. Маслюченко В.К., Нестеренко В.В. Сукупна неперервнiсть та квазiнеперервнiсть горизонтально квазiнеперервних функцiй // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 12. – С. 1711–1714. Надiйшло до редакцiї 07.06.2011Чернiвецький нацiональний унiверситет iм. Юрiя Федьковича Т. О. Банах, О.В. Маслюченко Фрактальная размерность и линейно непрерывные функции С использованием фрактальной размерности построено такое замкнутое множество F ⊆ R 2, которое не может быть множеством точек разрыва линейно непрерывной функ- ции f : R2 → R, но каждая его аффинная проекция нигде не плотна. Также доказано, что каждая сферическая проекция множества точек разрыва линейно непрерывной функции f : Rn → R есть множеством первой категории. T.O. Banakh, O.V. Maslyuchenko The fractal dimension and linearly continuous functions Using the fractal dimension, we construct a closed set F ⊆ R 2 which is not the discontinuity point set of a linearly continuous function f : R2 → R, but any affine projection of F is nowhere dense. We also prove that any spherical projection of the discontinuous point set of any linearly continuous function f : Rn → R is meager. 12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №6

Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції

Репозитарії

Схожі ресурси