Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов

На основе методологии марковского анализа надежности предложен вероятностный подход к прогнозированию и оценке долговечности технических объектов. Разработана математическая модель прогнозирования долговечности с использованием статистических данных, характеризующих начальное и конечное распределени...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Author:	Федин, С.С.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2010
Series:	Системні дослідження та інформаційні технології
Subjects:	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50043
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов / С.С. Федин // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 2. — С. 55-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50043
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-500432013-10-04T03:05:51Z Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов Федин, С.С. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем На основе методологии марковского анализа надежности предложен вероятностный подход к прогнозированию и оценке долговечности технических объектов. Разработана математическая модель прогнозирования долговечности с использованием статистических данных, характеризующих начальное и конечное распределение продолжительности срока службы технических объектов. На основі методології марківського аналізу надійності запропоновано ймовірнісний підхід до прогнозування та оцінки довговічності технічних об’єктів. Розроблено математичну модель прогнозування довговічності з використанням статистичних даних, що характеризують початковий та кінцевий розподіл тривалості терміну служби технічних об’єктів. Based on the methodology of the Markov analysis, a probabilistic approach to forecast and estimation of the longevity of technical objects is offered. A mathematical model of the longevity forecast is developed with the use of statistical data characterizing the initial and final distribution of the service term of technical objects. 2010 Article Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов / С.С. Федин // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 2. — С. 55-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50043 519.2:621 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
spellingShingle	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Федин, С.С. Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов Системні дослідження та інформаційні технології
description	На основе методологии марковского анализа надежности предложен вероятностный подход к прогнозированию и оценке долговечности технических объектов. Разработана математическая модель прогнозирования долговечности с использованием статистических данных, характеризующих начальное и конечное распределение продолжительности срока службы технических объектов.
format	Article
author	Федин, С.С.
author_facet	Федин, С.С.
author_sort	Федин, С.С.
title	Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов
title_short	Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов
title_full	Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов
title_fullStr	Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов
title_full_unstemmed	Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов
title_sort	прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50043
citation_txt	Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов / С.С. Федин // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 2. — С. 55-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT fedinss prognozirovanieiveroâtnostnaâocenkadolgovečnostitehničeskihobʺektov
first_indexed	2025-07-04T11:29:59Z
last_indexed	2025-07-04T11:29:59Z
_version_	1836715711127355392
fulltext	© С.С. Федин, 2010 Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 55 TIДC МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ, ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ УДК 519.2:621 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ И ВЕРОЯТНОСТНАЯ ОЦЕНКА ДОЛГОВЕЧНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С.С. ФЕДИН На основе методологии марковского анализа надежности предложен вероятно- стный подход к прогнозированию и оценке долговечности технических объек- тов. Разработана математическая модель прогнозирования долговечности с использованием статистических данных, характеризующих начальное и конеч- ное распределение продолжительности срока службы технических объектов. ВВЕДЕНИЕ Актуальной задачей в области оценки и обеспечения эксплуатационной на- дежности технических объектов (ТО) является прогнозирование их долго- вечности. Теоретические основы решения этой задачи рассмотрены в рабо- тах А.С. Проникова [1], Б.В. Гнеденко [2], Р. Барлоу [3] и многих других ученых. Прогнозирование долговечности позволяет получить вероятност- ные оценки ожидаемой продолжительности срока службы ТО для принятия обоснованных решений при установлении регламентов технического об- служивания и планового контроля ТО. В соответствии с ДСТУ 2860-94 долговечность характеризует свойство объекта выполнять требуемые функции до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремон- та [4]. Показателями долговечности являются: средний ресурс, гамма- процентный ресурс, средний срок службы и гамма-процентный срок службы. Для прогнозирования показателей долговечности в большинстве случаев применяются фактографические методы вероятностной оценки, ос- нованные на априорной информации о характере статистического распреде- ления исследуемой случайной величины, например, продолжительности срока службы ТО. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов вероятно- стной оценки долговечности ТО является разработка и применение матема- тических моделей на основе методологии марковского анализа надежности. В соответствии с ДСТУ 2861-94 и ГОСТ Р 51901.15-2005 марковский анализ относится к аналитическим методам обеспечения надежности и применяет- ся для оценки вероятностных характеристик ТО на этапе эксплуатации [5, 6]. Методы марковского анализа основаны на использовании диаграммы С.С. Федин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 56 состояний и переходов, применение которой позволяет моделировать зави- симость изменения во времени показателей надежности ТО и является гра- фическим представлением функционирования восстанавливаемого ТО. При этом ТО или система рассматривается как совокупность элементов, каждый из которых может существовать только в работоспособном или неработо- способном состоянии. Система в целом может существовать в различных состояниях, каждое из которых определяется определенной комбинацией работоспособного и неработоспособного состояний ее элементов. В момент отказа или восстановления элемента система последовательно переходит из одного состояния в другое. Следует отметить, что методы марковского анализа позволяют графи- чески отображать процесс отказов/восстановлений, который представляется в виде случайных переходов во времени от одного состояния к другому и могут применяться к ТО, в которых некоторые или все элементы являются невосстанавливаемыми [6]. Цель работы — разработка модели прогнозирования и вероятностной оценки долговечности ТО на основе методологии марковского анализа на- дежности. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Методология марковского анализа надежности позволяет разработать уни- версальную математическую модель, которая может быть применена для формализации динамики переходов ТО от состояния к состоянию. В боль- шинстве случаев такую модель называют моделью дискретных состояний с непрерывным временем. В соответствии с этим способом представления изменения состояний ТО применяют метод анализа пространства состояний [6]. Анализ пространства используют при исследовании надежности систем с резервированием или систем, отказ которых зависит от последовательных событий, а также для систем со сложными стратегиями технического об- служивания, к которым относят приоритетное восстановление или пробле- мы организации очереди. При этом необходимо отметить, что такие класси- ческие методы анализа надежности как анализ дерева неисправностей или метод структурной схемы надежности не учитывают сложные стратегии технического обслуживания, например стратегию приоритетного восста- новления. Применение методов марковского анализа позволяет реализовать возможность моделирования стратегий технического обслуживания ТО с учетом последовательности возникновения многократных отказов. При разработке марковской модели прогнозирования долговечности ТО анализируемой величиной является износ, выраженный в процентах от предельно допустимого значения (предельного состояния). Допустимый диапазон значений этой величины делится на несколько интервалов, рас- сматриваемых как отдельные состояния, в каждом из которых с некоторой вероятностью находится ТО, последовательно переходя из одного состояния в другое. Количество состояний определяется желаемой точностью вероят- ностных оценок показателей долговечности. Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 57 Так, например, если для типового состояния системы выбрать 10%-й интервал дискретизации, то состоянию 0X будет соответствовать интервал 0% – 10% износа, состоянию 1X — интервал 10% – 20% износа и так далее. Состояние nX будет характеризовать 100%-й износ. Модель износа может быть представлена ориентированным графом, в котором при непрерывном времени и определенной интенсивности износа λ и/или интенсивности восстановления µ осуществляются случайные перехо- ды из одного состояния в другое согласно направлениям дуг (рис. 1). Фактически модель износа представляет собой конечную цепь из n+1 состояний, в которой переходы из состояния kX ( 0≠k , nk ≠ ) возможны только в предшествующее 1−kX или последующее состояние 1+kX . Каждое состояние соответствует выбранному диапазону степеней износа ТО, выра- женному в процентах от продолжительности срока службы ТО. Переход из состояния 0X возможен только в состояние 1X . Состояние nX соответст- вует полному износу и не имеет выходов. Параметры λ характеризуют ди- намику износа ТО под воздействием среды. Параметры µ представляют способность ТО к восстановлению. Это свойство обычно не является необ- ходимым, однако в общем случае для полноты модели его желательно учи- тывать. Поскольку состояния представляют собой диапазоны износа, выра- женные в процентах от величины, измеряемой в единицах времени, интенсивности потоков λ и µ полагаются не зависящими от номера со- стояния. Математическое описание переходов между состояниями характе- ризует влияние среды на ТО с учетом следующих предположений: • переходы между состояниями являются статистически независимы- ми событиями; • интенсивность отказов λ и интенсивность восстановлений µ посто- янны; • вероятности перехода из одного состояния в другое в интервале вре- мени t∆ (при 0→∆t ) задаются в виде t∆λ и/или t∆µ . Предполагается также, что для переходов между состояниями соответ- ствующих каждой дуге графа, выполняются следующие два свойства пуас- соновских потоков событий: • ординарность (вероятность появления двух и более событий в тече- ние малого интервала времени намного меньше, чем вероятность появления за это же время одного события); • отсутствие последействия (количества событий, попадающих в два непересекающихся интервала времени, не зависят друг от друга). µ ... Xn-1 Xn Xn-2 λ X2 X1 X0 µ λ µ λ µ λ µ λ λ Рис. 1. Ориентированный граф: iX ( ni ,,2,1,0 …= ) — состояния; λ и µ — интен- сивности потоков (λ — интенсивность износа; µ — интенсивность восстановления) С.С. Федин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 58 Из сделанных предположений следует, что будущее состояние системы зависит только от существующего состояния, а не от того, как система ока- залась в этом состоянии. Динамика изменения во времени вероятностей нахождения системы в различных состояниях в соответствии с ориентированным графом (рис. 1) описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −=+++−= +−= − +− .)( )( );1,...,2,1()()()()( )( );()( )( 1 11 10 0 tp dt tpd nktptptp dt tpd tptp dt tpd n n kkk k λ µλµλ µλ Для нахождения вероятностей достижения указанных состояний необ- ходимо выполнить интегрирование системы дифференциальных уравнений при начальных условиях: 1)0(;)0(,),0(,1)0( 0 10 == ∑ = n k kn pppp … , а также с учетом нормализующего условия, которое должно выполняться в любой момент времени: ∑ = = n 0k 1)( tpk . ПРОВЕДЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ При проведении имитационного вычислительного эксперимента предпола- галось, что в момент начала эксплуатации ТО существует начальный износ, который описывается усеченным нормальным распределением с неотрица- тельным средним1. Данное предположение обусловлено тем, что приемле- мыми являются только значения износа ТО из диапазона от 0% до 100%. Для обеспечения равенства полной вероятности единице усеченное распре- деление нормируется [7]. Пример начального распределения износа ТО по- казан на рис. 2 в виде гистограммы. В результате воздействия среды в течение определенного времени на- чальное распределение трансформируется в некоторое текущее распределе- ние. При этом исходной информацией для получения вероятностных оценок являются статистические данные о продолжительности срока службы ТО, представленные на гистограмме (рис. 3). 1 Параметры различных образцов одного и того же ТО могут отличаться из-за нали- чия производственных дефектов. Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 59 За единицу измерения времени выбран час, а имитационная модель для исследования развития износа представлена цепью из 11-ти состояний, в которой каждому отдельному состоянию соответствует 10%-й интервал из- носа (рис. 1). Способность ТО к восстановлению в модели не рассмотрена. Динамика изменения во времени вероятностей нахождения ТО в 11-ти раз- личных состояниях описывается системой обыкновенных дифференциаль- ных уравнений: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = +−= +−= +−= +−= +−= +−= +−= +−= +−= −= ).( )( ),()( )( ),()( )( ),()( )( ),()( )( ),()( )( ),()( )( ),()( )( ),()( )( ),()( )( ),( )( 9 10 89 9 78 8 67 7 56 6 45 5 34 4 23 3 12 2 01 1 0 0 tp dt tpd tptp dt tpd tptp dt tpd tptp dt tpd tptp dt tpd tptp dt tpd tptp dt tpd tptp dt tpd tptp dt tpd tptp dt tpd tp dt tpd λ λλ λλ λλ λλ λλ λλ λλ λλ λλ λ (1) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0,1 0,2 0,3 0,4 Вероятность Состояния 0,0 Рис. 2. Гистограмма распределения начального износа 100 однотипных ТО: ось абсцисс — состояния начального износа в %, ось ординат — вероятности нахож- дения ТО в определенном состоянии С.С. Федин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 60 Оценка параметров износа ТО сводится к вычислению интенсивности отказов λ . В качестве оценок свободного параметра λ используются значе- ния, обеспечивающие наилучшее соответствие наблюдаемых и ожидаемых частот попадания в определенное состояние ТО в заданные моменты време- ни. Ожидаемая частота попадания в j-е состояние равна Np j , где jp — вероятность нахождения в этом состоянии, N — количество ТО в выборке. Ожидаемые вероятности нахождения ТО в различных состояниях износа определены методом численного интегрирования системы диффе- ренциальных уравнений (1)2. Соответствующие наблюдаемые частоты jF определены по распределениям продолжительностей сроков службы теку- щего распределения (рис. 3). Для нахождения оценки параметра интенсив- ности отказов λ применен метод минимума 2χ , основанный на сравнении наблюдаемых и ожидаемых значений частотного распределения износа для выборки ТО объема N : ∑ = − = n j j jj Np NpF 0 2 2 )( χ . В результате проведенных расчетов установлено, что минимум 2χ со- ответствует значению 8,069 при интенсивности отказов 00409,0=λ (рис. 4). Мера согласованности наблюдаемых и ожидаемых частот продолжи- тельностей срока службы ТО определена в системе статистического анализа данных STATISTICA на основе уровня значимости, который характеризует вероятность превышения указанного значения статистики 2χ и пред- ставляет оцененную меру уверенности в достоверности полученного ре- зультата (таблица). 2 Применялся метод Рунге-Кутты 2-го порядка, реализованный в универсальной системе математического моделирования MathCAD. 25 0 50 0 75 0 10 00 12 50 15 00 17 50 20 00 22 50 25 00 27 50 32 50 35 00 37 50 40 00 30 00 4 8 12 16 20 0 t, час Частота Рис. 3. Гистограмма наблюдаемых частот продолжительности срока службы 100 однотипных ТО Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 61 Т а б л и ц а . Мера согласованности и оценки параметров модели прогнози- рования долговечности ТО Модель Статис- тика, 2χ Количе- ство степеней свободы, (df) Уровень значимости, p Интенсивность отказов, λ Среднее время 10%-го износа, λ/1ср =T , час Начальный износ ТО с ну- левым средним 8,069 14 0,885 0,00409 244 Гистограмма прогнозируемых частот продолжительностей сроков службы 100 однотипных ТО показана на рис. 5. На рис. 6 показаны графики вероятностей нахождения ТО в состояниях 0–10%, 10%–20%, 20%–30% износа, а также график 100%-го износа, приме- нение которого позволяет прогнозировать ожидаемый срок службы ТО. В качестве конечного результата получены сводные вероятностные графики, позволяющие принимать обоснованные решения относительно регламентов технического обслуживания и планового контроля ТО (рис. 7). 25 0 50 0 75 0 10 00 12 50 15 00 17 50 20 00 22 50 25 00 27 50 32 50 35 00 37 50 40 00 30 00 Частота t, час 4 8 12 16 20 0 Рис. 5. Прогнозируемые частоты продолжительностей срока службы 100 одно- типных ТО 8,00 8,33 8,67 9,00 χ2 λ 0, 00 39 4 0, 00 39 6 0 , 00 39 8 0 , 00 40 0 0, 00 40 2 0, 00 40 4 0, 00 40 6 0, 00 40 8 0, 00 41 0 0, 00 41 2 0, 00 41 4 0, 00 41 6 0, 00 42 0 0, 00 41 8 Рис. 4. График значений критерия χ2 в зависимости от интенсивности отказов λ С.С. Федин ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 62 Сводные графики представляют суммарные вероятности продолжительнос- ти срока службы при достижении ТО состояний 50%, 70% и 90% износа от предельного состояния. t, час P(t) 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 40 0 80 0 12 00 16 00 20 00 24 00 28 00 32 00 36 00 40 00 0–10% 10–20% 20–30% 100% 0 Рис. 6. Вероятности )(tP нахождения ТО внутри указанных интервалов износа как функции времени 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 t, час до 50% износа до 70% износа до 90% износа P(t) 0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 Рис. 7. Вероятности )(tP долговечности изделий при достижении ТО состояний 50%, 70% и 90% износа как функции времени Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 63 Применение вероятностных графиков позволяет утверждать, что с ве- роятностью 95,0)( =tP продолжительность срока службы ТО составит 2000 часов, 2660 часов и 3300 часов при достижении ТО состояний 50%, 70% и 90% износа соответственно. ВЫВОДЫ На основе теории цепей Маркова с дискретными состояниями и непрерыв- ным временем разработана математическая модель прогнозирования и веро- ятностной оценки долговечности ТО, идентификация параметров которой осуществлена с использованием метода минимума 2χ . Достоверность полученных результатов прогнозирования подтвержде- на статистической оценкой меры согласованности наблюдаемых и прогно- зируемых частот продолжительностей срока службы ТО. Представленный подход может быть эффективно применен на этапе эксплуатации ТО и является инструментом для принятия обоснованных ре- шений относительно регламентов технического обслуживания и планового контроля ТО. ЛИТЕРАТУРА 1. Надежность и долговечность машин и оборудования. Опыт и теоретические исследования / Под ред. А.С. Проникова. — М.: Издательство стандартов, 1972. — 315 с. 2. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. — М.: Наука, 1965. — 524 с. 3. Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытания на без- отказность. — М.: Наука, 1985. — 327 с. 4. ДСТУ 2860-94. Надійність техніки. Терміни та визначення. Чинний від 01.01.96. — Київ: Держстандарт України, 1994. — 90 с. 5. ДСТУ 2861-94. Надійність техніки. Аналіз надійності. Основні положення. Чинний від 08.12.94. — Київ: Держстандарт України, 1994. — 32 с. 6. ГОСТ Р 51901.15-2005. Менеджмент риска. Применение марковских методов. Введ. 01.02.2006. — М.: Федеральное агентство по техническому регулиро- ванию и метрологии, 2005. — 16 с. 7. Матвеевский В.Р. Надежность технических систем. Учебное пособие. — М.: Московский государственный институт электроники и математики, 2002. — 113 с. Поступила 10.12.2009

Прогнозирование и вероятностная оценка долговечности технических объектов

Institution

Similar Items