Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности

Предложен новый подход к оцениванию константы коинтеграции, основанный на предварительном анализе случайных компонент модели. Для исследования случайных составляющих используются методы параметрической идентификации, позволяющие в условиях априорной неопределенности получить оценки статистических ха...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2003
Main Authors:	Народицкая, Н.А., Подладчиков, В.Н.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2003
Series:	Системні дослідження та інформаційні технології
Subjects:	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50273
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности / Н.А. Народицкая, В.Н. Подладчиков // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 2. — С. 84-91. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50273
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-502732013-10-09T03:07:24Z Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности Народицкая, Н.А. Подладчиков, В.Н. Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Предложен новый подход к оцениванию константы коинтеграции, основанный на предварительном анализе случайных компонент модели. Для исследования случайных составляющих используются методы параметрической идентификации, позволяющие в условиях априорной неопределенности получить оценки статистических характеристик шумов. Указаны недостатки существующих методов и предложены новые способы оценивания константы коинтеграции. Запропоновано новий системний підхід до оцінювання константи коінтеграції на основі попереднього аналізу випадкових компонент моделі. Для дослідження випадкових складових застосовуються методи параметричної ідентифікації, які дозволяють в умовах апріорної невизначеності отримати оцінки статистичних характеристик збурень. Вказані недоліки існуючих методів та запропоновані нові способи оцінювання константи коінтеграції. A new system approach to cointegration constant estimation, based on prior analyses of stochastic components of the problem is proposed. Stochastic components are estimated using parametric identification methods, which allow estimating statistical characteristics of noise under conditions of priori uncertainty. Drawbacks of existing cointegration constant estimation methods are explained and some new methods are proposed. 2003 Article Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности / Н.А. Народицкая, В.Н. Подладчиков // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 2. — С. 84-91. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50273 681.5 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності
spellingShingle	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Народицкая, Н.А. Подладчиков, В.Н. Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности Системні дослідження та інформаційні технології
description	Предложен новый подход к оцениванию константы коинтеграции, основанный на предварительном анализе случайных компонент модели. Для исследования случайных составляющих используются методы параметрической идентификации, позволяющие в условиях априорной неопределенности получить оценки статистических характеристик шумов. Указаны недостатки существующих методов и предложены новые способы оценивания константы коинтеграции.
format	Article
author	Народицкая, Н.А. Подладчиков, В.Н.
author_facet	Народицкая, Н.А. Подладчиков, В.Н.
author_sort	Народицкая, Н.А.
title	Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности
title_short	Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности
title_full	Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности
title_fullStr	Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности
title_full_unstemmed	Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности
title_sort	методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2003
topic_facet	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50273
citation_txt	Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности / Н.А. Народицкая, В.Н. Подладчиков // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 2. — С. 84-91. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT narodickaâna metodyocenivaniâkonstantykointegraciivusloviâhapriornojneopredelennosti AT podladčikovvn metodyocenivaniâkonstantykointegraciivusloviâhapriornojneopredelennosti
first_indexed	2025-07-04T11:51:39Z
last_indexed	2025-07-04T11:51:39Z
_version_	1836717073633378304
fulltext	© Н.А. Народицкая, В.Н. Подладчиков, 2003 84 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 2 TIДC МЕТОДИ АНАЛІЗУ ТА УПРАВЛІННЯ СИСТЕМАМИ В УМОВАХ РИЗИКУ І НЕВИЗНАЧЕНОСТІ УДК 681.5 МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ КОНСТАНТЫ КОИНТЕГРАЦИИ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Н.А. НАРОДИЦКАЯ, В.Н. ПОДЛАДЧИКОВ Предложен новый подход к оцениванию константы коинтеграции, основанный на предварительном анализе случайных компонент модели. Для исследования случайных составляющих используются методы параметрической идентифи- кации, позволяющие в условиях априорной неопределенности получить оцен- ки статистических характеристик шумов. Указаны недостатки существующих методов и предложены новые способы оценивания константы коинтеграции. ВВЕДЕНИЕ Коинтеграционный анализ — сравнительно новая область эконометрики, возникшая в ответ на растущую потребность в анализе соотношений между группами экономических показателей-переменных для получения концеп- туально и эмпирически более значимых измерений этих взаимосвязей в ус- ловиях нестационарности временных рядов[1]. Одной из основных задач коинтеграционного анализа является оцени- вание константы коинтеграции, определяющей характер долгосрочной зави- симости между исследуемыми рядами [2]. Для решения этой задачи наибо- лее широко применяется метод наименьших квадратов (МНК), что требует выполнения предположений и ограничений, нарушение которых смещает оценки. Предлагается новый подход к оцениванию константы коинтеграции, основанный на предварительном анализе случайных составляющих неста- ционарного временного ряда. Такой подход позволяет увеличить эффектив- ность методов оценивания константы коинтеграции, повысить точность их работы. Для определения неизвестных статистических характеристик случай- ных возмущений предлагается использовать методы параметрической иден- тификации [3, 4]. Предварительная оценка неизвестных параметров шумов позволяет спрогнозировать эффективность различных методов оценивания константы коинтеграции и помогает исследователю выбрать наиболее под- ходящий способ в каждом конкретном случае. В работе также рассматриваются новые способы оценивания константы коинтеграции, которые рекомендуется применять в условиях нарушения основных предположений МНК. Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 2 85 1. МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ Наличие случайных возмущений исследуемых временных рядов негативно влияет на качество оценивания константы коинтеграции. Как будет показа- но далее, знание статистических характеристик шумов позволяет избежать смещения оценки и увеличить скорость ее сходимости к истинному зна- чению. Методы идентификации неизвестных ковариационных матриц шума состояния и измерения — важнейший раздел параметрической идентифика- ции, который интенсивно развивается в последние годы. Рассмотрим модель линейной динамической стационарной системы, описываемой уравнениями состояния и измерения. )1()1()( −+−= kwkΦxkx , )()()( kvkHxkz += , где )(kx — n -мерный вектор состояния системы; Φ — nn× -матрица; H — nm× -матрица; )(kw и )(kv — гауссовы случайные процессы типа белого шума с нулевыми средними значениями. Их корреляционные матри- цы имеют вид )(])()([)]();(cov[ ikQiwkwEiwkw T −== δ , )(])()([)]();(cov[ ikRivkvEivkv T −== δ , 0])()([)]();(cov[ == TivkwEivkw , где Q — симметричная неотрицательно-определенная nn × -матрица; R — симметричная положительно-определенная m×m-матрица; ),( ikδ — символ Кронекера. Начальный n -мерный гауссов случайный вектор 0x имеет нулевое среднее 0][ 0 =xE и корреляционную матрицу 000 ][ PxxE = . Причем 0P — неотрицательно-определенная матрица, которая предполагается известной. Кроме того, )(kw и 0x и )(kv — независимы. Предполагается, что в отличие от традиционного калмановского фильтра ковариационные матрицы RQ, неизвестны. Для их определения используются методы параметрической идентификации. Рассмотрим основные идеи широко известных методов Мехра [3], Под- ладчикова [4], Андерсона и Борна-Тейпли, для которых строго доказана сходимость оцениваемых параметров к их истинным значениям, и проведем оценку эффективности этих методов на основе статистического моделиро- вания для одномерного случая (табл. 1). Н.А. Народицкая, В.Н. Подладчиков ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 2 86 Т а б л и ц а 1 . Алгоритмы параметрической идентификации Алго- ритм Схема алгоритма Особенности метода Мехра 1. Задание произвольных начальных значений Q0 и R0 2. Вычисление статистических харак- теристик невязок С1 ... Сk стационар- ного фильтра в установившемся ре- жиме 3. Выполнение вспомогательных вы- числительных процедур для оценки Q и R как функций от С1 ... Сk 1. Формально доказана сходимость последовательности оценок к ис- тинному значению 2. Оценка параметров начинается по- сле перехода фильтра в установив- шийся режим 3. Большое количество вспомога- тельных процедур 4. Сложен в реализации Подлад- чикова 1. Построение невязок вспомогатель- ного субоптимального фильтра Кал- мана для свободных динамических систем 2. Получение псевдоизмерений не- известных параметров 3. Оценка неизвестных параметров с помощью фильтра 1. Работает в реальном масштабе времени 2. Оценивает математическое ожи- дание шумов 3. Прост в реализации 4. Не учитывает априорную инфор- мацию Андер- сона 1. Вычисление статистических ха- рактеристик вспомогательной функ- ции измерений 2. Определение неизвестных парамет- ров 1. Оценивает матрицу динамики 2. Прост в реализации 3. Требует измерения всех компо- нент вектора состояния Борна- Тейпли 1. Вычисление невязок субоптималь- ного фильтра 2. Вычисление оценки R при извест- ном значении Q 1. Прост в реализации 2. Оценивает только матрицу R В результате моделирования установлено, что алгоритм Мехра чувст- вителен к качеству априорной информации. Если начальное значение далеко от истинного, то метод долго выходит из переходного режима и показывает низкую точность оценки. Алгоритм Подладчикова показал высокую ско- рость сходимости и точность оценки. Алгоритм Андерсона также показал высокую скорость сходимости и точность оценки, но требование измеряе- мости всех компонент вектора состояния существенно сужает область его применения. Точность оценки алгоритма Борна-Тейпли существенно зави- сит от абсолютного значения ковариационной матрицы шума состояния, увеличение которого приводит к пропорциональному смещению оценки ко- вариационной матрицы шума измерения. Сравнение указанных выше алгоритмов показывает, что если априор- ная информация доступна, то алгоритм Мехра дает наилучшие результаты, так как он ее учитывает. Если нет информации о начальных значениях кова- риационных матриц шума состояния и измерения, то алгоритмы Андерсона и Подладчикова имеют лучшую скорость сходимости, точность оценивания, и их применение предпочтительней. Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 2 87 2. КОИНТЕГРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Коинтеграционный анализ определяет долгосрочную зависимость между рядами [1]. Дадим определение коинтеграции. Два ряда X и Y являются коинтегрированными порядка a , если X и Y — интегрированные процес- сы порядка b и существует линейная комбинация ελ +∗= XY — интегри- рованная последовательность порядка ba < . Одна из наиболее важных задач коинтеграционного анализа — оцени- вание константы коинтеграции. В большинстве случаев для ее определения используется МНК. Но если исследуемые ряды имеют стохастический тренд (табл. 2), то МНК дает смещение ( REALLSE ˆ λλ ∗=С ), которое можно оценить по формуле 2 noise 2 trend 2 trend XX X C σσ σ + = . (1) Т а б л и ц а 2. Описание модели Ряд X(k) Ряд Y(k) )()()1( kkk xxx εµµ +=+ )()1( kk xy λµµ =+ )()()( kkkx xx δµ += )()()( kkky yy δµ += ),0(~ 2 x Nx εσε ),0(~ 2 y Ny εσε ),0(~ 2 x Nx δσδ ),0(~ 2 y Ny δσδ Откуда видно, что смещение оценки пропорционально истинному зна- чению λ и увеличивается с ростом дисперсии шума наблюдений, уменьша- ется с ростом дисперсии временного ряда. Область, в которой МНК дает плохие результаты, соответствует следующему соотношению параметров шумов. 2 noise 2 trend XX σσ < . Несмотря на смещения оценок, МНК остается самым распространен- ным методом оценивания константы коинтеграции. Возникает вопрос, как определить область плохой работы МНК в условиях, когда параметры шу- мов априорно неизвестны. Эта проблема решается указанными выше мето- дами идентификации, которые позволяют определить неизвестные характе- ристики шумов модели. 3. НОВЫЕ СПОСОБЫ ОЦЕНИВАНИЯ КОНСТАНТЫ КОИНТЕГРАЦИИ Предлагается новый подход к оцениванию константы коинтеграции, осно- ванный на применении методов параматрической идентификации. На пред- варительном этапе производится оценивание статистических характеристик действующих шумов модели с помощью методов идентификации, описан- Н.А. Народицкая, В.Н. Подладчиков ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 2 88 ных в разделе 1. На основании полученных результатов выбирается метод оценивания константы коинтеграции. Если оцененные значения дисперсий шумов указывают на то, что мы находимся в области плохой работы МНК, предлагается применять новые способы оценивания константы коинтегра- ции. Оценивание константы коинтеграции на основе фильтрации рядов Если ряды сильно зашумлены, т. е. 22 ˆˆ xx δε σσ < , 22 ˆˆ yy δε σσ < , то целесообразно предварительно отфильтровать данные, используя дискретный фильтр Кал- мана, и рассчитать константу коинтеграции с помощью МНК, используя полученные оценки. )()(ˆ*)(ˆ kkk xy νµλµ += . (2) Оценивание константы коинтеграции на основе обратного МНК Если оценки статистических характеристик шумов находятся в соотноше- нии 22 ˆˆ xx δε σσ < , 22 ˆˆ yy δε σσ > , то для построения уравнения коинтеграции предлагается использовать обратную регрессию. )()(1)( kwkykx +∗= λ . (3) Оценивание константы коинтеграции на основе соотношения ⎣ ⎦ ⎣ ⎦)1()()1()( −∗=− kxkyEkykyE TT λ . Данный подход может применяться при любых соотношениях статистиче- ских параметров шумов. Из построения модели (табл. 2) следует ⎣ ⎦ ⎣ ⎦)1()()1()( −∗=− kxkyEkykyE TT λ , (4) откуда получаем соотношение для оценки константы коинтеграции 1 33 )1()()1()()(ˆ − == ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= ∑∑ n k n k kxkykykynλ . (5) Пример 1. Рассмотрим пример, соответствующий модели, описанной в табл. 2. Истинное значение константы коинтеграции λ для имитационной модели полагалось равным 4, статистические характеристики шумов: 12 = xεσ , 252 = xδσ , 162 = yεσ , 92 = yδσ . Так как 22 xx δε σσ < , то, согласно фор- муле (1), это зона плохой работы МНК. Результаты статистического моде- лирования показаны на рис. 1. Из графиков (рис.1) видно, что МНК дает существенное смещение. Применение МНК к отфильтрованным данным приводит к улучшению оценки более чем в 2 раза. Новые методы практически не дают смещения и являются предпочтительными в данных условиях. Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 2 89 Пример 2. Для анализа использовались два ряда краткосрочной и дол- госрочной ставки процента в США, соответствующие области хорошей ра- боты МНК. Тестируемые ряды коинтегрированы с константой коинтеграции, рав- ной 1,137. Рис. 2. Динамика изменения ставки процента в США (1959 – 1995 гг.): 1 — кратко- срочная ставка процента; 2 — долгосрочная ставка процента 1959 1963 1967 1971 1975 1979 1983 1987 1991 2 4 6 8 10 12 14 16 годы i,% 1 2 Годы Рис. 1. Среднеквадратичная ошибка оценки константы коинтеграции: 1 — клас- сический МНК; 2 — МНК на отфильтрованных данных; 3 — обратная регрес- сия; 4 — разработанный метод 100 200 300 400 5000 0,5 10 λσ 1 2 3 4 1,0 Н.А. Народицкая, В.Н. Подладчиков ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 2 90 Исследуемые ряды имеют близкие дисперсии шумов, поэтому все ме- тоды практически не дают смещения и показывают высокую скорость схо- димости. Чтобы исследовать чувствительность методов к зашумленным измере- ниям, искусственно увеличим дисперсию случайной составляющей в крат- косрочной ставке процента и рассчитаем константу коинтеграции. Для этого примера новые методы дают существенно более точную оценку и более высокую скорость сходимости, чем МНК. ВЫВОДЫ Рассмотрены возможности применения методов параметрической иденти- фикации для оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности. Проведен сравнительный анализ методов параметрической идентифи- кации статистических характеристик шумов: Мехра, Подладчикова, Андер- сона, Борна-Тейпли. Оценены преимущества этих методов и ограничения при решении реальных задач. Рис. 4. СКО оценки константы коинтеграции в условиях зашумленных измерений: 1 — классический МНК; 2 — новые методы 1959 1963 1967 1971 1975 1979 1983 1987 1991 0 0.2 0,4 0,6 0,8 λσ годы 1 2 Годы 1959 1963 1967 1971 1975 1979 1983 1987 1991 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 λσ годы Рис. 3. СКО оценки константы коинтеграции в реальных условиях: 1 — новые ме- тоды; 2 — классический МНК Годы Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 2 91 Предложены методы идентификации для оценки параметров шумов модели, которые позволяют увеличить точность оценивания константы ко- интеграции, особенно в условиях плохой работы МНК. Разработаны новые и эффективные при решении широкого класса за- дач методы оценивания константы коинтеграции. ЛИТЕРАТУРА 1. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах / Пер. с англ. под ред. М.Р. Ефимовой. — М.:Финансы, 1999. — 527 с. 2. Hamilton J.D. Times series analisis. — NewJersey: Princtonun university press, 1994. — 799 p. 3. Мехра Р. Идентификация и адаптивная фильтрация Калмана / Механика (сб. пер. ст.). — 1971. — 3. — С. 51–53. 4. Згуровський М.З., Підладчиков В.М. Аналітичні методи калманівської фільтрації для систем з апріорною неозначеністю. — Київ: Наук. думка, 1995. — 282 с. Поступила 28.11.2002

Методы оценивания константы коинтеграции в условиях априорной неопределенности

Institution

Similar Items