Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях

На основе метода суперпозиции проводится расчет передачи энергии в упругом волноводе из области вставки в полуслой. Волновод образован двумя полуслоями с одинаковой высотой и упругими свойствами, разделенными вставкой с другими физическими свойствами. Поле в волноводе создается силовой нагрузкой, пр...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
Hauptverfasser:	Гринченко, В.Т., Городецкая, Н.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/503
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 3. — С. 34-43. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-503
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-5032008-10-20T17:58:58Z Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. На основе метода суперпозиции проводится расчет передачи энергии в упругом волноводе из области вставки в полуслой. Волновод образован двумя полуслоями с одинаковой высотой и упругими свойствами, разделенными вставкой с другими физическими свойствами. Поле в волноводе создается силовой нагрузкой, приложенной ко вставке. Эффективность метода обеспечивается учетом локальной особенности по напряжениям, возникающей в угловой точке на линии контакта при определенном соотношении упругих характеристик сред. Проводится анализ зависимости энергии в дальнем поле от частоты и отношения длины вставки к высоте волновода. Energy transfer in the elastic waveguide from the insert area to the halflayer is computed as based on superposition method. The waveguide is formed of two halflayers with identical elastic properties and insert with other physical properties. The field in the waveguide is induced by force loading acting on the insert. The method efficiency is provided by the allowance for stress singularity occurring in the angular point on the contact line at certain ratios of media's elastic properties. Far field energy dependence on frequency and the insertion length/waveguide height ratio is analyzed. 2005 Article Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 3. — С. 34-43. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/503 539.3 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе метода суперпозиции проводится расчет передачи энергии в упругом волноводе из области вставки в полуслой. Волновод образован двумя полуслоями с одинаковой высотой и упругими свойствами, разделенными вставкой с другими физическими свойствами. Поле в волноводе создается силовой нагрузкой, приложенной ко вставке. Эффективность метода обеспечивается учетом локальной особенности по напряжениям, возникающей в угловой точке на линии контакта при определенном соотношении упругих характеристик сред. Проводится анализ зависимости энергии в дальнем поле от частоты и отношения длины вставки к высоте волновода.
format	Article
author	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С.
spellingShingle	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях
author_facet	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С.
author_sort	Гринченко, В.Т.
title	Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях
title_short	Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях
title_full	Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях
title_fullStr	Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях
title_full_unstemmed	Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях
title_sort	особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/503
citation_txt	Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 3. — С. 34-43. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT grinčenkovt osobennostitransformaciiénergiivuprugomvolnovodesovstavkojprivynuždennyhkolebaniâh AT gorodeckaâns osobennostitransformaciiénergiivuprugomvolnovodesovstavkojprivynuždennyhkolebaniâh
first_indexed	2025-07-02T04:17:05Z
last_indexed	2025-07-02T04:17:05Z
_version_	1836507281149132800
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 34 – 43 УДК 539.3 ОСОБЕННОСТИ ТРАНСФОРМАЦИИ ЭНЕРГИИ В УПРУГОМ ВОЛНОВОДЕ СО ВСТАВКОЙ ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ В. Т. Г РИ Н Ч Е Н К О, Н. С. Г О РО Д ЕЦ К А Я Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 01.07.2005 � Пересмотрено 17.11.2005 На основе метода суперпозиции проводится расчет передачи энергии в упругом волноводе из области вставки в полуслой. Волновод образован двумя полуслоями с одинаковой высотой и упругими свойствами, разделенными вставкой с другими физическими свойствами. Поле в волноводе создается силовой нагрузкой, приложенной ко вставке. Эффективность метода обеспечивается учетом локальной особенности по напряжениям, возникающей в угловой точке на линии контакта при определенном соотношении упругих характеристик сред. Проводится анализ зависимости энергии в дальнем поле от частоты и отношения длины вставки к высоте волновода. На базi методу суперпозицiї проведено розрахунок передачi енергiї у пружному хвилеводi з областi вставки у на- пiвшар. Хвилевiд утворено двома напiвшарами з однаковою висотою i пружними властивостями, якi роздiленi вставкою з iншими фiзичними властивостями. Поле у хвилеводi створюється силовим навантаженням, яке дiє на вставку. Ефективнiсть методу забезпечується урахуванням локальної особливостi по напруженнях, яка виникає у кутовiй точцi на лiнiї контакту при певному спiввiдношеннi пружних характеристик середовищ. Проведено аналiз залежностi енергiї у дальньому полi вiд частоти та вiдношення довжини вставки до висоти хвилеводу. Energy transfer in the elastic waveguide from the insert area to the halflayer is computed as based on superposition method. The waveguide is formed of two halflayers with identical elastic properties and insert with other physical properties. The field in the waveguide is induced by force loading acting on the insert. The method efficiency is provided by the allowance for stress singularity occurring in the angular point on the contact line at certain ratios of media’s elastic properties. Far field energy dependence on frequency and the insertion length/waveguide height ratio is analyzed. ВВЕДЕНИЕ Явление концентрации электромагнитной и ме- ханической энергии в ограниченных объемах нео- днородных сред довольно широко распространено в физике. Его примером может служить структу- ра электрического поля в плоском (осесимметри- чном) конденсаторе: оно фактически полностью сосредоточено в объеме, который заполнен диэле- ктрической средой с проницаемостью, существен- но (на несколько порядков) превышающей прони- цаемость окружающей среды. Подобные же эффе- кты характерны как для статических, так и для динамических систем. Интересное волновое явле- ние, связанное с высокой концентрацией энергии вблизи поверхности раздела областей с разными скоростями света, отмечено в неоднородном эле- ктромагнитном волноводе [1]. Когда речь идет о волновых полях, феномен концентрации энергии в ограниченном объеме имеет ряд специфических свойств. В частности, для возникновения локальных эффектов не обя- зательно наличие существенного различия в ме- ханических и электрических свойствах неодноро- дных структур. Моделью для рассмотрения та- кой “незначительной” неоднородности могут слу- жить пьезоактивные материалы (пьезокерамики) при различных условиях электрического нагруже- ния. Важным свойством пьезоактивных материалов является зависимость их механических свойств от характера электрического нагружения. Это дает возможность легко создать неоднородность в вол- новодной структуре. Покрытие части волновода электродами фактически формирует в ней мате- риал с модулями упругости, определяемыми при постоянном значении напряженности электриче- ского поля. В то же время, материал вне эле- ктродов имеет модули, определяемые при посто- янном значении электрической индукции. Именно это обусловило относительную простоту экспери- мента по регистрации явления захвата энергии в волноводе. Концентрация энергии в области под электрода- ми в частично электродированной пьезоэлектриче- ской кристаллической пластине, получившая на- звание захвата энергии, известна достаточно давно и обнаружена экспериментально [2,3]. Это явление наблюдается в достаточно узком частотном диапа- зоне и служит основой для создания пьезоактив- ных линий задержек и резонаторов, применяемых в современных акустоэлектронных и ультразвуко- вых устройствах. Связанность механических и электрических по- 34 c© В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, 2005 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 34 – 43 лей в процессе распространения волн в пьезо- активных волноводах, а также существенная ани- зотропия физических свойств этих материалов приводят к тому, что задачи электроупругости математически значительно сложнее аналогичных задач теории упругости. Указанные обстоятель- ства приводят к необходимости вводить ряд упро- щающих гипотез геометрического и физического характера. К настоящему времени строгое реше- ние связанных граничных задач для пьезоактив- ных волноводов получено только для их простей- ших конфигураций типа цилиндра и слоя. Одними из первых таких работ являются [4, 5]. Ряд важных свойств волноводов из пьезоактив- ных материалов может быть изучен в рамках мо- дели, не учитывающей наличия электромеханиче- ской связи. Решение чисто упругой задачи позво- ляет затем вычислить характеристики электриче- ского поля с использованием полных уравнений состояния. Таким образом, для анализа особенно- стей захвата энергии нет необходимости решать сложную задачу определения характеристик нор- мальных волн и процесса отражения в пьезокера- мическом волноводе. Основные черты этого явле- ния должны проявляться и в чисто упругих гео- метрически или физически неоднородных волно- водах. Основой для такого предположения может служить большой объем информации о передаче энергии через поверхность контакта в волноводе участков с различными свойствами [6, 8 –10]. В данной работе рассматриваются идеально упругие неоднородные волноводы без учета элект- ромеханической связи. Бесконечный волновод со- держит конечную вставку из упругого материала с отличными от остальной его части механически- ми свойствами. На поверхности вставки заданы периодические нормальные нагрузки, симметри- чные относительно срединной плоскости волново- да. Однако даже в этом случае граничная зада- ча остается довольно сложной из-за наличия ко- нечного участка контакта различных сред. Кроме конечности размеров границы, важным фактором, оказывающим значительное влияние на структу- ру волнового поля и построение решения, являе- тся наличие угловых точек в пересечении гладких частей границы. Известно, что в случае жестко- го контакта двух упругих сред в угловой точке на линии контакта могут возникать локальные осо- бенности в поле напряжений. Наличие таких осо- бенностей и их характер (логарифмический или степенной) определяются механическими характе- ристиками контактирующих сред и не зависят от частоты [11]. Во многих исследованиях отмечалось, что игно- рирование локальных особенностей по напряже- ниям в волновых полях приводит к невозможно- сти адекватного описания волнового поля вбли- зи границы раздела сред [6 – 9, 12, 13]. Использу- емый в данной работе метод решения граничной задачи позволяет адекватно описать волновое по- ле с учетом сингулярностей. Попытка использо- вать упрощенную процедуру расчета, основанную на использовании аппроксимирующих выражений с конечным числом параметров (такие представ- ления не позволяют учесть сингулярность) приво- дила к возникновению погрешностей, качественно искажающих структуру волнового поля. На основе алгоритма, адекватно описывающе- го особенности волнового поля, особое внимание уделено анализу его интегральных энергетических характеристик. Выделены области частот, в кото- рых энергия колебаний концентрируется в неодно- родной вставке. Вне таких областей наблюдается слабое влияние неоднородности на энергетические характеристики волнового поля. Полученные результаты количественно удовле- творительно согласовываются с некоторыми изве- стными данными других авторов [14, 15]. Однако предложенная этими исследователями трактовка физических причин возникновения явления захва- та энергии представляется неполной. Нами уста- новлено, что основную роль в формировании этого явления играют неоднородные нормальные волны, возбуждаемые в окрестности контактных площа- док. В данной работе показано, что запирание вол- новода обусловлено резонансом на неоднородных волнах. При этом частота резонанса изменяется в зависимости от отношения длины вставки к высо- те волновода L. Появление бегущих волн высших порядков не может полностью объяснить это яв- ление, поскольку нами указаны случаи, когда за- хват энергии реализуется в области частот, для ко- торых распространяющимися будут лишь низшие нормальные волны. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается стационарное волновое поле в упругом волноводе постоянной высоты 2h, обра- зованном двумя полуслоями с одинаковыми физи- ческими характеристиками и вставкой, имеющей другие физические свойства. Геометрия задачи по- казана на рис. 1: \|Y \| ≤ H , −∞ < Z < ∞. Ширина вставки составляет 2a. Свойства изотропных сред характеризуются модулями сдвига µv, µs, коэф- фициентами Пуассона νv, νs и плотностями ρv, ρs. При этом индекс “v” присвоен вставке, а индекс В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая 35 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 34 – 43 z y 1 -1 L-L f(z) Рис. 1. Геометрия задачи “s” – правому и левому полуслоям. Математиче- ская постановка задачи и решение осуществляю- тся в безразмерных координатах y=Y/h, z =Z/h, L = a/h. Зависимость кинематических и силовых характеристик поля от времени задается множи- телем e−iωt, который в последующих выкладках опускается. Частота ω считается положительной вещественной величиной. Рассматривается симме- тричное относительно плоскости Y = 0 волновое поле. Волновое поле возбуждается нагрузкой, прило- женной ко вставке (σ (v) y = 2µvf(z), τ (v) yz = 0). Гра- ничные условия для рассматриваемого волновода имеют вид σ(s) y (z ≥ L, y = ±1) = 0, σ(s) y (z ≤ −L, y = ±1) = 0, σ(v) y (\|z\| < L, y = ±1) = f(z). (1) Здесь f(z) задает нагрузку, приложенную ко вставке. В зоне контакта условия сопряжения записыва- ются в виде σ(v) z (y, z = ±L) = σ(s) z (y, z = ±L), τ (v) zy (y, z = ±L) = τ (s) zy (y, z = ±L), u(v) y (y, z = ±L) = u(s) y (y, z = ±L), u(v) z (y, z = ±L) = u(s) z (y, z = ±L). (2) Необходимо найти векторы смещений в обоих полуслоях и вставке, удовлетворяющие однород- ной системе уравнений Ламе: ∆u(i) y + 1 1 − 2ν ∂ ∂y ( ∂u (i) z ∂z + ∂u (i) y ∂y ) + +Ω (i)2 2 uy = 0, ∆u(i) z + 1 1 − 2ν ∂ ∂z ( ∂u (i) z ∂z + ∂u (i) y ∂y ) + +Ω (i)2 2 uz =0, (3) где Ω (i) 2 =ωh/c (i) 2 – безразмерная частота; индексы i=v, s относятся ко вставке и слою соответственно; c (i) (2) – скорости поперечных волн. Дополнительно к условиям сопряжения (2) дол- жны выполняться условия излучения на бесконе- чности, заключающиеся в том, что каждая распро- страняющаяся нормальная волна в левом и пра- вом полуслое уносит энергию от границы раздела на бесконечность. Рассматриваемая задача симметрична относи- тельно оси z = 0, поэтому достаточно найти ре- шения граничной задачи для z≥0. 2. МЕТОД РЕШЕНИЯ В данной работе для решения поставленной за- дачи рассматривались два подхода. В рамкам пер- вого из них поле в области полуслоя записывалось в виде бесконечной суммы нормальных волн, кото- рые могут существовать на заданной частоте, т. е. применялся метод однородных решений. В рамках второго подхода решение для волнового поля в по- луслое представлялось согласно методу суперпози- ции. В обоих случаях для построения решения в области вставки использовался метод суперпози- ции. При организации алгоритма вычислений при применении метода суперпозиции для представле- ния поля как в области вставки, так и для полуслоя использовались его преимущества, основанные на знании асимптотического поведения неизвестных. Это позволило применять методы улучшенной ре- дукции рядов. Следуя общей схеме метода суперпозиции [16], компоненты вектора смещений во вставке (0≤z≤ 36 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 34 – 43 L) представим в виде u(v) y = H0 sin Ω (v) 1 y− − ∞ ∑ k=1 ( Ekβk ch q (v) 1 z sh q (v) 1 L + Dkq (v) 2 ch q (v) 2 z sh q (v) 2 L ) × × sin βky + + ∞ ∑ m=1 ( Hmδ (v) 1 sh δ (v) 1 y sh δ (v) 1 + Gmξm sh δ (v) 2 y sh δ (v) 2 ) × × cos ξmz, u(v) z = E0 sin Ω (v) 1 z+ + ∞ ∑ k=1 ( Ekq (v) 1 sh q (v) 1 z sh q (v) 1 L + Dkβk sh q (v) 1 z sh q (v) 1 L ) × × cosβky − − ∞ ∑ k=1 ( Hmξm ch δ (v) 1 y sh δ (v) 1 + Gmδ (v) 2 ch δ (v) 2 y sh δ (v) 2 ) × × sin ξmz (4) с неизвестными постоянными E0, Ek, Dk, H0, Hm, Gm (k, m=1, 2, . . .). Здесь ξm = mπ/L; βk = kπ; q (v)2 i = β2 k − Ω (v)2 i ; δ (v)2 i = ξ2 m − Ω (v)2 i ; i = 1, 2. В рамках первого подхода (метода однородных ре- шений) компоненты вектора смещений в полуслое запишем как u(s) y = ∞ ∑ k=1 CkUy(ζ, y)e−iζk(z−L), u(s) z = ∞ ∑ k=1 CkiUz(ζ, y)e−iζk(z−L). (5) Здесь Uy(ζ, y)=p2 1 ( ζ2 sh p2y sh p2 − (ζ2+p2 2) 2 sh p1y sh p1 ) ; Uz(ζ, y)=ζp1 ( p1p2 ch p2y sh p2 − (ζ2+p2 2) 2 ch p1y sh p1 ) ; (6) ζk – действительные, мнимые и комплексные кор- ни дисперсионного уравнения Рэлея – Лэмба: ∆(ζ) = (2ζ2 − Ω (s) 2 )2p1cth p1− −4ζ2p2 1p2cth p2 = 0; (7)        √ ζ2 − Ω2 j , \|ζ\| ≥ Ωj; −i √ Ω2 j − ζ2 , \|ζ\| < Ωj. Дисперсионное уравнение (7) получено при выпол- нении граничных условий σyy = 0, τyz = 0 на по- верхностях y=±1, z≥L. При использовании метода суперпозиции компо- ненты вектора смещений в полуслое записываются несколько иначе: u(s) y = =− ∞ ∑ k=1 ( Akβkeq (s) 1 (z−L)+ Bkq (s) 2 eq (s) 2 (z−L) ) × × sin βky + + 1 2π ∞ ∫ −∞ x(τ )U∗ y (τ, y)e−iτ(z−L)dτ, u(s) z = iA0Ω (s) 1 eiΩ (s) 1 (z−L)+ + ∞ ∑ k=1 ( Akq (s) 1 eq (s) 1 (z−L)− Bkβkeq (s) 2 (z−L) ) × × cos βky − − i 2π ∞ ∫ −∞ x(τ )U∗ z (τ, y)e−iτ(z−L)dτ. (8) В соотношениях (8) U∗ y , U∗ z определяются урав- нениями (6). Представление (8) выбиралось та- ким образом, что условие отсутствия касатель- ных напряжений на поверхностях y = ±1, z ≥ L выполнялось автоматически. Выполнение гра- ничного условия по нормальным напряжениям σyy(y=±1, z≥L) приводит к уравнению: x(τ )∆(τ )− A0 2iΩ1Ω 2 0 τ2 − Ω2 1 − − ∞ ∑ k=1 ( Ak 2(β2 k + Ω2 0)q1 τ2 + q2 1 + Bkβk 2q2 2 τ2 + q2 2 ) = 0. Удовлетворение условий сопряжения при использовании метода однородных решений для В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая 37 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 34 – 43 полуслоя приводит к бесконечной системе алге- браических уравнений, которая решается методом простой редукции. Удовлетворение условий (2) при использовании метода суперпозиции приводит к системе интегро- алгебраических уравнений относительно неизвест- ных A0, Ak, Bk,, H0, Hk, Gk, Ek, Dk, (k=1, 2, . . .) и функции x(τ ). Следует отметить, что при определенных соо- тношениях параметров контактирующих сред [11] в угловой точке на границе раздела двух сред воз- можно существование локальной особенности по напряжениям. В данной работе рассматриваются среды с такими физическими характеристиками, что в угловых точках (y = ±1, z = ±L) компо- ненты тензора напряжений имеют показательную особенность (σ ≈ A(θ)/ρ1−ε). Здесь ρ и θ – поляр- ные координаты; (1−ε) – показатель особенности (0.5 < ε < 1). Существование в угловой точке осо- бенности по напряжениям приводит к тому, что в рамках метода суперпозиции интегралы и ряды для напряжений на линии контакта сходятся ме- дленно. В этом случае в рамках метода одноро- дных решений ряды по напряжениям расходятся на отрезке \|1−2ε\|≤y≤h при z=0 [12, 13]. Для построения эффективного алгоритма ре- шения поставленной граничной задачи необходи- мо учитывать существование локальных особен- ностей по напряжениям. В рамках первого подхо- да (при представлении поля в полуслое по мето- ду однородных решений) локальная особенность по напряжениям учитывалась только через асим- птотические свойства неизвестных Dk, Ek, Hk, Gk (для области вставки), а асимптотическое поведе- ние неизвестных Ck не исследовалось. При использовании второго подхода (решения и в области вставки, и в области полуслоя представ- лены в рамках метода суперпозиции) локальная особенность по напряжениям учитывалась через асимптотические свойства неизвестных как для вставки (Dk, Ek, Gk, Kk), так и для полуслоя (Ak, Bk, x(τ )). Алгоритм решения системы уравнений, полу- ченной в рамках второго подхода, и анализ асим- птотических свойств неизвестных в соответствии с характером локальной особенности по напряже- ниям проведен аналогично [9] и здесь на нем оста- навливаться не будем. Отметим только, что поря- док линейной системы определялся на основе ана- лиза точности полученного численного решения. При этом использовался ряд критериев. При ре- шении конечной системы анализировалась устой- чивость решения, проявляющаяся в том, что при увеличении членов в рядах (4) значения первых коэффициентов практически не изменяются. При проведении вычислений установлено, что, начиная с K =50 членов в рядах (4), значения неизвестных A0, H0, E0 изменяются незначительно (сохраня- ются три значащие цифры). Также незначитель- но изменяются неизвестные Ak, Bk, Dk, Ek, Hk, Gk, k=1, 4 – сохраняются две значащие цифры. Этим обеспечивается высокая точность оценок ин- тегральных характеристик волновых полей. Кро- ме того, анализировались данные о скорости при- ближения неизвестных к их асимптотическим зна- чениям. Для K = 50 невязка составляла не более 10−5. При выполнении численных расчетов количе- ство неизвестных, удерживаемых в суммах (4), (5) и (8), составляло K =50. Для больших величин k в случае представления решения методом суперпо- зиции использовались асимптотические значения неизвестных. При представлении решения в полу- слое методом однородных решений учитывались 50 пар комплексных корней дисперсионного урав- нения (7). Главным критерием правильности полученных результатов является контроль за точностью выполнения условий сопряжения. Ее анализ позво- лил установить следующие закономерности. Заме- на бесконечной системы конечной приводит к во- зникновению погрешности в выполнении условий сопряжения. При этом в случае использования ме- тода однородных решений для представления по- ля в полуслое граничные условия на поверхностях (y = ±1, z ≥ L) удовлетворяются точно. Погре- шность выполнения условий сопряжения по сме- щениям uz, uy для всех рассмотренных случаев не превышала 6 % от u (0) z (0, 0). Погрешность по касательным напряжениям не превышала 3 % от τyz(y=0, z=L) для всех \|y\|<1, кроме малой окре- стности угловой точки. Для нормального напряжения σz ситуация ока- залась иной. Точность выполнения условий со- пряжения значительно падает вблизи малой окре- стности угловой точки (y=±1, z=0). Поскольку вблизи малой окрестности угловой точки главная часть нормального напряжения определяется как σz(±1, z) = σ0 (1 − y2)1−ε , то даже самая малая величина разности δ=σv−σs вблизи угла приводит к бесконечной погрешно- сти ε/(1−y2)1−ε. Поэтому даже при учете асим- птотических свойств неизвестных, которые отра- жают поведение волновых полей вблизи угловых точек, невозможно удовлетворить условия сопря- 38 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 34 – 43 жения по напряжениям вблизи угла с заданной точностью. В то же время, в проведенных расче- тах для всех \|y\|<0.98 условия сопряжения по нор- мальным напряжениям выполнялись с погрешно- стью до 10 % от σzz(y=0, z=L) при использовании метода суперпозиции для представления решения в области полуслоя и до 25 % от σzz(y = 0, z = L) при использовании метода однородных решений. 3. ЭНЕРГИЯ Еще одним критерием достоверности решения был контроль за точностью выполнения закона со- хранения энергии. Энергия, поступающая в вол- новод, в области вставки равна энергии, которую переносят распространяющиеся волны в области полуслоя. Эта энергия равна сумме энергий, пе- реносимых каждой распространяющейся волной, которая может существовать на данной частоте, и определяется соотношением W = J ∑ j=1 Wj , Wj = \|Kj \| 2µsω(ξ2 j − Ω (s)2 1 )Ω (s)2 2 ∆(s)′(ξj). (9) Здесь J – число распространяющихся волн в по- луслое; Kj – коэффициент возбуждения j-ой нор- мальной волны. Коэффициенты возбуждения Kj для j-ой нор- мальной волны в полуслое находились из соотно- шения Kj = Res τ=ξj x(τ ), (10) где Res обозначают вычеты функции x(τ ) при τ =ξj. Выражения для коэффициентов возбужде- ния нормальных волн в полуслое через значения неизвестных, найденных в рамках метода супер- позиции с учетом особенности по напряжениям в угловой точке, приведены в [9]. Энергия, вносимая в систему, определяется со- отношением Wv = −ωµv L ∫ −L f(z)Im u(v) y dz. (11) В работе рассматривались два вида нагрузки: f(1)(z) = 1 и f(2)(z) = cos πz/(2L). Для f(1) энер- гия имеет вид W = −ωµvL sin Ω (v) 1 Im H0. Для f(2) энергия записывается как W = −ωµv 4L π ( Im H0 sinΩ (v) 1 − − Ω (v)2 2 2 ∞ ∑ k=1 (ξ2 k − Ω (v)2 1 Im Gk 1 4k2 − 1 ) . Следует подчеркнуть, что при вычислении энер- гии для f(2)(z) для корректного усечения ряда использовались асимптотические свойства неиз- вестных Gk. Для широкого диапазона изменения параме- тров среды при принятом количестве неизвест- ных в конечной системе закон сохранения энер- гии выполнялся с погрешностью до 1.5 % энер- гии, вносимой в волновод. Необходимо отметить, что учет особенности по напряжениям значитель- но сказывался на точности выполнения закона со- хранения энергии для обоих типов нагрузки. При простой редукции системы (без учета асимптоти- ческих свойств неизвестных) погрешность выпол- нения закона сохранения энергии на определенных частотах возрастала до 15 %. Следовательно, анализ не только локальных ха- рактеристик поля, но и интегральных (энергети- ческих) особенностей процесса переноса энергии от вставки в дальнее поле не может быть прове- ден при использовании метода простой редукции по отношению к рядам в выражениях (4), (8) или (5). 4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ Проанализируем особенности процесса переда- чи энергии, поступающей в волновод из области вставки, в дальнее поле. Рассматривается толь- ко частотный диапазон ниже первого толщинно- сдвигового резонанса в полуслое, т. е. (Ω (s) 2 ≤π). Конкретные вычисления выполнялись для волновода со следующими характеристиками: µs/µv =8.5, ρs/ρv =6.54, νs =0.29, νv =0.3. В этом случае возникает особенность по напряжениям в угловой точке, причем ее показатель равен ε=0.8376. Остановимся на анализе энергетических хара- ктеристик волнового поля в зависимости от ча- стоты для различных отношений высоты волново- да к ширине вставки L. На рис. 2 представлена частотная зависимость поступающей в волновод энергии для различных значений L при возбуж- дении волнового поля нагрузкой f(1)(z)=1. Через Ω∗ обозначена частота, на которой в полуслое по- являются распространяющиеся волны высших по- рядков. В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая 39 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 34 – 43 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 W 0 0.5 1 1.5 1 2 3 Рис. 2. Зависимость энергии от частоты: 1 – L=0.5, 2 – L=1.0, 3 – L=2.0 2 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55 Kj 0 0.05 0.1 0.15 1 2 3 4 Рис. 3. Зависимость модуля амплитуды нормальной волны от частоты: сплошные – распространяющиеся волны, штриховые – неоднородные волны; 1, 2 – L = 1; 3, 4 – L = 0.5 Прежде всего отметим, что энергия в дальнем поле существенно зависит от величины L. При этом для каждого конкретного значения L суще- ствуют как диапазоны частот, на которых вол- новод практически заперт, так и частоты, на ко- торых происходит существенное увеличения энер- гии, проходящей в дальнее поле. В области очень низких частот для всех рас- смотренных значений L энергия, поступающая в волновод, практически постоянна и определяется шириной вставки. При этом с увеличением L по- ступающая в волновод энергия увеличивается. С ростом частоты ситуация меняется. Энергия по- степенно уменьшается и на определенной частоте полуслой оказывается практически запертым. На- блюдается следующая закономерность: чем боль- ше L, тем ниже частота, на которой полуслой за- перт. Так, при L=0.5 полуслой заперт на частоте Ω2 = 2.44, при L = 1 – на частоте Ω2 = 2.41, а при L=2 – на частоте Ω2 =2.36. Характерной особенностью волнового поля в области частот, на которых волновод практичес- ки заперт, является локальный максимум ампли- туд возбуждения первой неоднородной волны в по- луслое. На рис. 3 представлена зависимость ам- плитуд возбуждения первой нормальной волны в слое (бегущей K1 и первой неоднородной K2) для L= 1.0 (кривые 1, 2) и L =0.5 (кривые 3, 4). Как следует из анализа этих результатов, в диапазоне запирания полуслоя наблюдается резонансное по- ведение первой неоднородной волны. При этом, с уменьшением L резонанс смещается в область бо- лее высоких частот. На частоте, для которой ам- плитуда возбуждения первой неоднородной волны достигает локального максимума, фаза коэффи- циента возбуждения первой бегущей волны изме- няется на 180◦. Амплитуда возбуждения первой неоднородной волны на несколько порядков пре- вышает амплитуду возбуждения единственной бе- гущей волны. Амплитуда возбуждения второй не- однородной волны также имеет локальный макси- мум на этой частоте, однако он на два порядка меньше, чем для первой неоднородной. Указанные особенности наблюдаемого явления делают его по- добным краевому резонансу [16]. Значительное уменьшение энергии, проходящей во вторую среду в составном волноводе, описан- ное в [9], также было объяснено значительным во- збуждением неоднородных волн в прошедшем по- ле. Очевидно, в обоих задачах механизм резкого уменьшения энергии в дальнем поле сходен. Второй характерной особенностью рассматрива- емого волнового процесса оказывается резкое уве- личение энергии дальнего поля в определенном ча- стотном диапазоне (см. рис. 2) – резонансное пове- дение энергии. Однако, в отличие от явления “за- пирания” волновода, изменение частоты Ωmax, на которой наблюдается максимум энергии, зависит от ширины вставки более сложным образом. Для L=1 ее значение меньше, чем Ωmax для L=0.5 или L = 2. Более того, в зависимости от L существен- ным образом меняется добротность резонанса. И вновь, добротность резонанса при L = 1 меньше, чем при L=0.5 или L=2. Важной отличительной особенностью резонан- сной частоты является то, что при L≤1 резонанс лежит в диапазоне частот, для которых в полу- слое существует только одна бегущая волна, а при L = 2 – в области, для которой существуют три распространяющиеся волны (одна из них – “обра- тная” волна). Поэтому случаи L≤1 и L=2 будем рассматривать отдельно. 40 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 34 – 43 Для L ≤ 1 информативными оказываются ам- плитудные характеристики, представленные на рис. 3. Как следует из графика, при дальнейшем росте частоты наблюдается возрастание амплитуд возбуждения как для бегущей, так и для первой неоднородной волн. Обе эти амплитуды достигают максимального значения на одной и той же часто- те (см. рис. 3). Она увеличивается с уменьшением L и совпадает с резонансной частотой, наблюдае- мой на рис. 2. При анализе амплитуды возбуждения первой неоднородной волны для L = 2 отмечался толь- ко один максимум на частоте Ω2 = 2.36, на кото- рой полуслой практически заперт. При дальней- шем росте частоты выраженных максимумов не наблюдается. Увеличение энергии, проходящей в полуслой при L=2, обусловлено появлением бегу- щих волн высших порядков. На рис. 4 представлено распределение энергии, поступающей в полуслой, между различными бе- гущими волнами. Кривой 1 соответствует первая нормальная бегущая волна, кривой 2 – вторая, а кривой 3 – “обратная” волна. Как видно из рис. 2, начиная с частоты, на которой появляется “обра- тная” волна (Ω2 = 7.0), энергия в полуслое начи- нает значительно увеличиваться. Это обусловле- но значительным энергосодержанием (величиной энергии, которую переносит определенная бегу- щая нормальная волна) “обратной” волны и вто- рой нормальной бегущей волны (кривые 3 и 2 соо- тветственно, рис. 4). Энергосодержание первой бе- гущей волны оказывается намного меньшим, чем для высших распространяющихся волн. Примеча- тельным в энергетическом поведении нормальных волн высших порядков является то, что “обратная” волна и вторая распространяющаяся волна прак- тически в одном и том же частотном диапазоне резко увеличивают свою интенсивность. При этом “обратная” волна оказывается более энергетиче- ски выраженной. При дальнейшем росте частоты обе эти волны теряют свою энергию и доминиру- ющей оказывается первая бегущая волна. Макси- мум энергии в полуслое связан с первой бегущей волной. Еще раз подчеркнем, что для L ≤ 1 максимум энергии в полуслое лежит в том диапазоне, где распространяющейся является только одна волна. В области частот, в которой появляются бегущие волны высших порядков, распределение энергии, поступающей в полуслой, между этими волнами отличается от рассмотренного ранее случая (дли- на вставки L = 2). Это отличие проявляется, пре- жде всего, в частотной зависимости энергии, пе- реносимой второй бегущей волной. При L = 0.5 2 2.7 2.8 2.9 3 3.1 Wi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 Рис. 4. Зависимость энергии бегущих нормальных волн от частоты (L = 2): 1 – первая бегущая волна, 2 – вторая бегущая волна, 3 – “обратная” волна максимум энергии, которую переносит вторая бе- гущая волна, наблюдается на частоте Ω2 = 2.9. На этой же частоте отмечен максимум для энер- гии первой бегущей волны. Локальный максимум энергии, проходящей в полуслой, хорошо виден на рис. 2, кривая 2. Отметим, что при Ω2 =2.9 энер- гия в полуслое в 10 раз меньше, чем при Ω2 =2.5. Для L = 1 максимум энергии, которую перено- сит вторая волна, также наблюдался на частоте Ω2 =2.9. Однако энергия, переносимая первой бе- гущей волной в диапазоне частот Ω∗ 2 ≤Ω2≤π, мо- нотонно увеличивается и этот рост обуславливает увеличение энергии в полуслое. Общим для всех рассмотренных значений L является значительное возбуждение “обратной” волны и ее доминирую- щий характер в определенном частотной диапазо- не. В рамках данной работы также рассмотрен слу- чай возбуждения волнового поля силовой нагруз- кой вида f(z)= cos(πz/2L). На рис. 5 представле- на частотная зависимость энергии в полуслое для L = 1. Кривая 1 соответствует нагрузке f(z) = 1, а кривая 2 – f(z) = cos(πz/2L). Как и следова- ло ожидать, для частот, где существует только одна бегущая в полуслое волна, формы кривых подобны и отличие проявляется только в коли- чественных показателях. Однако для частотного диапазона, в котором появляются бегущие вол- ны высших порядков (Ω2 ≤ 7.0), ситуация меняе- тся. Для обоих видов нагрузки энергия в полуслое возрастает. Однако для нагрузки вида f(z) = 1 на частоте Ω2 = π энергия в полуслое меньше, чем на резонансной частоте Ω2 = 2.49, а для на- грузки f(z) = cos(πz/2L) – больше. Такие отли- В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая 41 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 34 – 43 2 1.5 2 2.5 3 W 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 1 2 Рис. 5. Зависимость энергии от частоты для различных нагрузок: 1 – нормальная нагрузка f(z)=1, 2 – самоуравновешенная нагрузка f(z)=cos(πz/2L) чия обусловлены различной степенью согласован- ности внешней нагрузки и бегущих волн высших порядков. Для обоих видов нагрузки существу- ет диапазон, в котором “обратная” волна доми- нирует. Однако максимальное превышение энер- гии, переносимой “обратной” волной, по сравне- нию с первой бегущей волной для f(z) = 1 со- ставляет 9.3 % от общей энергии в полуслое, а для f(z) = cos(πz/2L) – только 0.2 % (т. е. для второй нагрузки первая бегущая волна является опреде- ляющей практически во всей рассмотренной обла- сти частот). ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данной работе в широком диапазоне частот изучены свойства волнового поля в упругом волно- воде, образованном при жестком контакте вставки и двух полуслоев. Их механические свойства оди- наковы, но отличаются от свойств вставки. Вол- новое поле создается нагрузкой, приложенной ко вставке. Основой построения алгоритма вычислений яв- лялся метод суперпозиции, примененный к реше- нию граничных задач с конечными границами при наличии в волновом поле локальных особенностей. С использованием значений неизвестных, найден- ных методом суперпозиции, определены коэффи- циенты возбуждения нормальных волн в полуслое. Это позволило оценить эффективность возбужде- ния неоднородных волн в нем. Установлено, что значительное возбуждение неоднородных волн в области частот, где в полуслое существует только одна распространяющаяся волна, приводит к его запиранию. Второй характерной особенностью поля для рас- сматриваемого волновода является существование диапазона, в котором наблюдается резкое увели- чение энергии в полуслое. Частота, на которой происходит увеличение энергии, зависит от ши- рины вставки. Добротность резонансных кривых также существенно зависит от величины L. Так, для L≤1 локальный максимум энергии наблюдал- ся на частоте, на которой распространяется только одна нормальная волна. В то же время, для L≥1 максимум энергии обнаружен в области частот, в которой существуют распространяющиеся волны высших порядков и увеличение энергии в полуслое обусловлено их появлением. Полученные количественные данные свидетель- ствуют о сложной структуре волнового поля вбли- зи поверхности контакта различных материалов. Необходимость такого учета сингулярности в по- ле напряжений указывает на важность разработки методов решения волновых задач в теории неодно- родных структур. Кроме того, изученные особен- ности процесса передачи энергии в полуслой при возбуждении волнового поля в области вставки ва- жны для расчета фильтров и резонаторов, приме- няемых в современных акустоэлектронных и уль- тразвуковых устройствах. 1. Blau S. K. Black-hole physics in an electromagnetic waveguide // Physics Today.– 2005.– Aug.– P. 19– 20. 2. Shockley W., Currran D. R., Koneval D. J. Trapped- energy modes in quartz filter crystals // J. Acoust. Soc. Amer.– 1967.– 41, N 4, Pt. 2.– P. 981–239. 3. Bottom V. E. Introduction to quartz crystal unit design.– New York: Van Nostrand Reinhold, 1982. 4. Mindlin R. D., Lee P. C. Thickness-shear and flexural vibration of partially plated, crystal plates // Int. J. Solids Struct.– 1966.– 2.– P. 125-139. 5. Tiersten H. F. Wave propagation in an infinite piezo- electric plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 1963.– 35, N 2.– P. 234–239. 6. Гетман И. П., Лисицкий О. Н. Отражение и про- хождение звуковых волн через границу раздела двух состыкованных упругих полуполос // ПММ.– 1988.– 52, N 6.– С. 1044–1048. 7. Гетман И. П., Устинов Ю. А. Математическая те- ория нерегулярных твердых волноводов.– Ростов н/Д: Изд-во Ростов. ун-та, 1993.– 142 с. 8. Glushkov E. V., Glushkova N. V. Blocking property of energy vortices in elastic waveguides // J. Acoust. Soc. Amer.– 1997.– 102, N 3.– P. 1356–1360. 9. Городецкая Н. С. Трансформация энергии падаю- щей волны на границе раздела в составном волно- воде // Акуст. вiсн.– 2001.– 4, N 1.– С. 17–25. 10. Scandrett C.,Vasudevan N. The propagation of ti- me harmonic Rayleigh-Lamb waves in a bimateri- al plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 1991.– 89, N 4, Pt. 1.– P. 1606–1614. 42 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 34 – 43 11. Боджи Д. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединенных вдоль одной из гра- ней упругих клиньев, изготовленных из различ- ных материалов и имеющих произвольные углы // Прикл. мех. Тр. Амер. общ. инж.-мех.– 1971.– 38, N 2.– С. 87–96. 12. Пельц С. П., Шихман В. М. О сходимости мето- да однородных решений в динамической смешан- ной задаче для полуполосы // Докл. АН СССР.– 1987.– 295, N 4.– С. 821–824. 13. Гомилко А. М., Гринченко В. Т., Мелешко В. В. О возможности метода однородных решений в смешанной задаче теории упругости для полу- полосы // Теор. прикл. мех.– 1987.– 18.– С. 3–8. 14. Yang Jiashi, Kosinski J. A. Effect of piezoelectric coupling on energy trapping of thickness-shear modes // IEEE Trans. Ultrason. Ferroel. Freq. Contr.– 2004.– 51, N 9.– P. 1047–1049. 15. Pagneux V., Maurel A. Lamb wave propagation in inhomogeneous elastic waveguides // Proc. Roy. Soc. Lond.– 2002.– A458.– P. 1913–1930. 16. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко- лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. дум- ка, 1981.– 284 с. В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая 43

Особенности трансформации энергии в упругом волноводе со вставкой при вынужденных колебаниях

Institution

Ähnliche Einträge