Численный анализ конвективной модели кристаллизации
Исследуется пространственная задача Стефана с учетом примеси и конвективного движения в жидкой фазе, описываемого уравнениями Навье-Стокса. Предложен метод изучения этой задачи, состоящий в разложении решения в ряд по степеням малого параметра. В нестационарном случае решение соответствующих краевых...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2012
|
| Назва видання: | Штучний інтелект |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56386 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Численный анализ конвективной модели кристаллизации / А.С. Миненко, С.А. Гунько // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 17-23. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-56386 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-563862014-02-18T03:15:18Z Численный анализ конвективной модели кристаллизации Миненко, А.С. Гунько, С.А. Концептуальные проблемы создания систем искусственного интеллекта Исследуется пространственная задача Стефана с учетом примеси и конвективного движения в жидкой фазе, описываемого уравнениями Навье-Стокса. Предложен метод изучения этой задачи, состоящий в разложении решения в ряд по степеням малого параметра. В нестационарном случае решение соответствующих краевых задач для определения членов разложения строится как неподвижные точки операторов. Исследовано влияние конвекции на фронт кристаллизации. Разработан также метод решения задач сопряжения, возникающих при исследовании задач Стефана в пространстве. Досліджується просторова задача Стефана з урахуванням домішок і конвективного руху в рідинній фазі, які описуються рівнянням Нав’є-Стокса. Запропонован метод вивчення цієї задачі, який полягає в розкладі розв’язку у ряд, відповідно до ступенів малого параметру. У нестаціонарному випадку розв’язання відповідних крайових задач для визначення членів розкладання будуються як нерухомі точки операторів. Досліджено вплив конвекції на фронті кристалізації. Розроблено метод розв’язання задач спряження, що виникають при дослідженні задач Стефана в просторі. The three-dimensional convection Stefan problem in liquid phase is investigated. This problem is described by Navier-Stokes equations. The method for research of this problem, which consists of the solution expansion for series of a small parameter, is offered. In non- stationary case, the decision of corresponding boundary-value tasks for definition of the expansion members is formed as fixed points of operators. Convection influence on the front of crystallization is explored. The method for solution of the conjugation tasks, which take place when studying Stefan problem in space, is also developed. 2012 Article Численный анализ конвективной модели кристаллизации / А.С. Миненко, С.А. Гунько // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 17-23. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56386 517.988 ru Штучний інтелект Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Концептуальные проблемы создания систем искусственного интеллекта Концептуальные проблемы создания систем искусственного интеллекта |
| spellingShingle |
Концептуальные проблемы создания систем искусственного интеллекта Концептуальные проблемы создания систем искусственного интеллекта Миненко, А.С. Гунько, С.А. Численный анализ конвективной модели кристаллизации Штучний інтелект |
| description |
Исследуется пространственная задача Стефана с учетом примеси и конвективного движения в жидкой фазе, описываемого уравнениями Навье-Стокса. Предложен метод изучения этой задачи, состоящий в разложении решения в ряд по степеням малого параметра. В нестационарном случае решение соответствующих краевых задач для определения членов разложения строится как неподвижные точки операторов. Исследовано влияние конвекции на фронт кристаллизации. Разработан также метод решения задач сопряжения, возникающих при исследовании задач Стефана в пространстве. |
| format |
Article |
| author |
Миненко, А.С. Гунько, С.А. |
| author_facet |
Миненко, А.С. Гунько, С.А. |
| author_sort |
Миненко, А.С. |
| title |
Численный анализ конвективной модели кристаллизации |
| title_short |
Численный анализ конвективной модели кристаллизации |
| title_full |
Численный анализ конвективной модели кристаллизации |
| title_fullStr |
Численный анализ конвективной модели кристаллизации |
| title_full_unstemmed |
Численный анализ конвективной модели кристаллизации |
| title_sort |
численный анализ конвективной модели кристаллизации |
| publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Концептуальные проблемы создания систем искусственного интеллекта |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56386 |
| citation_txt |
Численный анализ конвективной модели кристаллизации / А.С. Миненко, С.А. Гунько // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 17-23. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Штучний інтелект |
| work_keys_str_mv |
AT minenkoas čislennyjanalizkonvektivnojmodelikristallizacii AT gunʹkosa čislennyjanalizkonvektivnojmodelikristallizacii |
| first_indexed |
2025-07-05T07:39:21Z |
| last_indexed |
2025-07-05T07:39:21Z |
| _version_ |
1836791796975271936 |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 1’2012 17
1М
УДК 517.988
А.С. Миненко, С.А. Гунько
Институт информатики и искусственного интеллекта
ГВУЗ «Донецкий национальный технический университет», г. Донецк, Украина
Украина, 83050, г. Донецк, пр. Б. Хмельницкого, 84, minenko@iai.donetsk.ua
Численный анализ
конвективной модели кристаллизации
A.S. Minenko, S.A. Gun’ko
Institute of Informatics and Artificial Intelligence
of Donetsk National Technical University, Donetsk, Ukraine
Ukraine, 83050, c. Donetsk, B. Khmelnitskiy st., 84
Numerical Analysis of Crystallization Model
with Convection
О.С. Міненко, С.А. Гунько
Інститут інформатики і штучного інтелекту
ДВНЗ «Донецький національний технічний університет», м. Донецьк, Україна
Україна, 83050, м. Донецьк, пр. Б. Хмельницького, 84
Чисельний аналіз конвективної моделі кристалізації
Исследуется пространственная задача Стефана с учетом примеси и конвективного движения в жидкой фазе,
описываемого уравнениями Навье-Стокса. Предложен метод изучения этой задачи, состоящий в разложении
решения в ряд по степеням малого параметра. В нестационарном случае решение соответствующих краевых
задач для определения членов разложения строится как неподвижные точки операторов. Исследовано
влияние конвекции на фронт кристаллизации. Разработан также метод решения задач сопряжения,
возникающих при исследовании задач Стефана в пространстве.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, свободная граница, численные методы,
функционал, оптимизация.
The three-dimensional convection Stefan problem in liquid phase is investigated. This problem is described
by Navier-Stokes equations. The method for research of this problem, which consists of the solution
expansion for series of a small parameter, is offered. In non- stationary case, the decision of corresponding
boundary-value tasks for definition of the expansion members is formed as fixed points of operators.
Convection influence on the front of crystallization is explored. The method for solution of the conjugation
tasks, which take place when studying Stefan problem in space, is also developed.
Key words: differential equation, free boundary, numerical algorithms, functional, optimization
Досліджується просторова задача Стефана з урахуванням домішок і конвективного руху в рідинній фазі,
які описуються рівнянням Нав’є-Стокса. Запропонован метод вивчення цієї задачі, який полягає в розкладі
розв’язку у ряд, відповідно до ступенів малого параметру. У нестаціонарному випадку розв’язання
відповідних крайових задач для визначення членів розкладання будуються як нерухомі точки операторів.
Досліджено вплив конвекції на фронті кристалізації. Розроблено метод розв’язання задач спряження, що
виникають при дослідженні задач Стефана в просторі.
Ключові слова: диференціальне рівняння, вільна межа, чисельні методи, функціонал, оптимізація
1. Статья посвящена численной реализации нелинейной конвективной задачи
теплообмена, возникающей при кристаллизации вещества, в следующей постановке.
Пусть 0 – заданная область в 3R , граница которой состоит из двух замкнутых
связанных гладких поверхностей 0
и 0
, не имеющих самопересечений. Пусть, далее
mailto:minenko@iai.donetsk.ua
Миненко А.С., Гунько С.А.
«Искусственный интеллект» 1’201218
1М
0 – гладкая замкнутая поверхность, лежащая внутри 0 , такая, что 0
лежит внутри
ограниченной области, границей которой является 0 . Поверхность 0 разбивает
0 на две подобласти 0
и 0
, которые в начальный момент t = 0 заняты жидкой и
твердой фазами соответственно. Будем обозначать через t
область занятую жидкой
(твердой) фазой в момент времени t. Заметим, что в процессе кристаллизации проходит
изменение границы 0
(это связано с тем, что жидкая и твердая фазы имеют разные
плотности), а граница 0
остается неизменной. Задача состоит в определении
областей t
и t
(т.е. границ t
и t ), занимаемых твердой и жидкой фазами
соответственно в момент времени t [0, ]T , вектора скорости ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))V x t V x t V x t V x t
1 2 3( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))V x t V x t V x t V x t , давления ( , )р x t , концентрации примеси ( , )с x t , распределений
температур жидкой ( , )и x t и твердой ( , )и x t фаз по следующим условиям:
2 2( , )
( ) ( , ) ( , ) 0, ( , ) ;T
u x t
V u x t a u x t x t D
t
2 2( , )
( , ) 0, ( , ) ,T
u x t
a u x t x t D
t
2( , )
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) 0, ( , ) ,T
V x t
V V x t p x t V x t f u c V x t x t D
t
( ,0) ( ); ( , ) ( , ) ,V x C х T V p n q x t n
( , ) ; (1 ) ; 0,t n nx t V W V
( , ) ,tx t
( , ) ( , ),u x t B x t 0( , ) ;tx t ( ,0) ( );u x A x (1)
* , ,n
u u
u u T c k k W
n n
( , ) ,tx t
2
0
( , )
( ) ( , ) ( , ), ( , ) ; ( ,0) ( ),T
c x t
V c x t c x t x t D с x g x
t
( , ) ( , ), ( , ) ; , ( , ) .t n t
c
c x t g x t x t сW x t
n
здесь 1 2 3{( , ) : , (0, )}, ( , , ),T t tD x t x t T x x x x – области соответственно жидкой
и твердой фаз,
0, ,t t t n
– нормаль к t , направленная в
сторону t
; *,T , , , , , , , , , ,
– положительные постоян-
ные,
1 2 3
( , , ),
x x x
( , )T V p
– тензор напряжений с элементами ( ),ji
ij ij
j i
VV
T p
x x
nW – скорость движения фронта кристаллизации в направлении нормали n
, nV и V –
нормальная и тангенциальная составляющие V
.
Если *( , ) ( , ) ( , ) 0x t u x t c x t T – уравнение поверхности t , тогда
( )
/ | | ,
| ( ) |n t
u c
W n
u c
.
Укажем, что условие Стефана можно представить также в виде:
2 2 2 2 2 2| | | | ( )( , ) ( )( , ) ( )
( ) 0, , .
t t
t t
u u k k u c k k u c u u
c x t Г
Предполагается, что 0
4( ) ( ),A x H
0
2( ) ( ),C x H
2
2 ,
2
0( , ) ( [0, ]),tB x t H T
Численный анализ конвективной модели кристаллизации
«Штучний інтелект» 1’2012 19
1М
1 2( , ) ( ),f u c C R
2
2 ,
2( , ) ( [0, ]),tg x t H T
4
00 ( ) ( ).g x H
При этом ( , )g x t и
( , )
ixg x t должны быть функциями класса
1
1 , 32 ( [0, ])H R T
. Предполагается также
выполненными условия согласования до первого порядка включительно, которые
следуют из предположения существования гладкого решения и формулируются
аналогично [1 с. 363, с. 268].
Отметим, что при малых значениях t, задача (1) разрешима в классе гладких
функций
2
2 ,
2 ( ),Tu H D
2
2 ,
2 ( ),TV H D
2
2 ,
2 ( ),TC H D
,
2 ( ),Tp H D
а
границы t
и t описываются функциями, принадлежащими классам
2
2 ,
2H
[2].
Решение задачи (1) моделирует процесс кристаллизации вещества с учетом
переноса примеси в жидкой фазе. При этом последнее условие в (1) следует из
закона Нернста, а ( , )f u с
описывает влияние неравномерного распределения тем-
пературы и концентрации примеси на движение жидкости.
2. Известно, что свободные границы t и t
можно представить в виде
{ ( ) ( ) ( , )},t x x n t
* * *{ ( ) ( , ) ( )}t x x t n
, где 1 2( , ), * * *
1 2( , ),
0( )x , *
0( )x , ( , )t и *( , )t некоторые функции соответственно классов
2
2 ,
2
0( [0, ])H T
и
2
2 ,
2
0( [0, ])H T
, ( ,0) 0 и *( ,0) 0 [2].
Предложен метод решения задачи (1), состоящий в разложении решения в ряд
по степеням малых чисел :
0
1
( , ; ) ( ) ( , )k
k
k
u x t u x u x t
, 0
1
( , ; ) ( ) ( , )k
k
k
p x t p x p x t
,
0
1
( , ; ) ( ) ( , ), 1,2,3;k
i i ik
k
V x t V x V x t i
1
( , ; ) ( , ),k
k
k
t t
(2)
0
1
( , ) ( ) ( , )k
k
k
с x t c x c x t
.
Для нулевого приближения 0 0 10 20 30( ), ( ) ( ( ), ( ), ( )),u x V x V x V x V x
0 и 0 ( )с х из
условий (1) и разложения (2) вытекает следующая задача:
2
0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( , ),V V x p x V x f u c
0 ,х
0 ( ) 0,V x
0 ,х 0 0( , ) ( ) ,T V p n q x n
0х , (1 ) ,n nV W
0,V
0;х 2
0 0 0( ) 0,V u a u
0 ,х 0 ( ) ( ),u x B x 0 0 ,х *
0 0( ) ( ) ,u x u x Т (3)
0;х 0 0 0,
u u
k k
n n
0 ,х 2
0 0,и 0 ,х 2
0 0 0( ) 0,V c c
0 ,х 0 0( ) ( ),с х g x 0х ; 0 0,
с
n
0.х
Миненко А.С., Гунько С.А.
«Искусственный интеллект» 1’201220
1М
Здесь ради простоты предполагается, что функции B и q зависят только от
переменной х.
Лемма 1. Пусть функции 0 ( ) ( ),u x A x 0 ( ) ( ),V х С х
0 0( ) ( )с х g x являются
решением задачи (3) соответственно в области 0
и 0
. Тогда эти функции можно
взять в качестве нулевого приближения задачи (1).
3. Далее, пусть 0 [0, ]TQ T , 0 0 [0, ]T T , 0 0 [0, ]T T , 0 0 [0, ]T T .
Рассмотрим первое приближение 1 1 1 1 1( , , , , )V u p с
задачи (1) для малых чисел
. Имеем:
2 ' '1
1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
1
0 1 1 0 1
1
1 1 0
0
( ) ( ) ( , ) ( , ) , ( , ) ;
0, ( , ) ;
( , ) 0, , ( , 0) 0,
(1 ) , 0, ;
| |
u C T
T
t
n
V
V V V V p V f u с u f u с с x t Q
t
V х t Q
T V V p n x V х
u
V V х
u
(4)
2 2 2 21 1
1 0 0 1 1 1
1 0 0
1 1 1
1 1 1 0
( ) ( ) 0, ( , ) ; 0, ( , ) ,
( , 0) 0; ( , ) 0, ( , ) ,
, ( , ) , ( , ) ;
T T
T T
T
u u
V u V u a u x t Q а u x t Q
t t
u x u x t x t
u u
u u k k f x t x t
n n t
(5)
21
1 0 0 1 1
1 1 0
1
2 0 2 0
0
0
1 1 0
( ) ( ) 0, ( , ) ,
( , 0) 0, ( , ) 0, ( , ) ,
( , ), ( , ) , ( , ) ,
| |
( )
( , ) ( , ) 0, ( , ) .
T
T
t
T
T
с
V с V с с x t Q
t
с x с x t x t
uс
f x t x t f x t с
n u
с х
t с x t x t
п
(6)
Зададим теперь 1( , )V V x t
. Затем решим задачу (5), (6) и найдем , ,u с . После
чего заменим , ,u с – решением задачи (5), (6) и решим задачу (4), являющуюся на-
чально-краевой задачей для системы Навье-Стокса. Затем, используя новое значение
( , )V x t , снова решаем задачу (5) и (6) и т.д. Таким образом, получим процесс последо-
вательных приближений. Доказательство сходимости этого процесса аналогично приведен-
ному в работе [3]. При этом при заданном
2
2 ,
2
1 0( , ) ( )Tt H
найдем функции
2 2
2 , 2 ,
2 2
1 1( , ; ) ( ), ( , ; ) ( ),T Tu x t H Q с x t H Q
как единственное решение задачи
(5), (6) [1], причем 1( , )t находим как неподвижную точку сжимающегося оператора
1М : 1 1
1 1 1
0
1
( ( , )) ,
t u u
М k k f x t dt
n n
0( ) Tx . Имеют место следующие утвер-
ждения.
Численный анализ конвективной модели кристаллизации
«Штучний інтелект» 1’2012 21
1М
Лемма 2. Пусть выполнено условие 0 ( )
| ( ) |
g x
A x
n
на 0 . Тогда оператор 1М ,
действующий из
2
2 ,
2
0( )ТH
в
2
2 ,
2
0( )ТH
, имеет там неподвижную точку.
Лемма 3. В качестве первого приближения задачи (1) можно взять решение за-
дачи (4) – (6): 1 1 1 1 1( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )u x t с x t V x t p x t x t
.
Теорема. Пусть 0 ( )
0
g x
n
на 0
. Тогда при малых числах и достаточно
малых значениях t справедливы формулы:
1
0
0
( ( ), )
: ( ) ( ), ( , )
| ( ( )) |t T
u x t
x x n о x t
u x
,
* 1 0
0
0
( ( ), ) ( ( )) ( ( ), )
: ( ) ( ), ( , )
( ( ))t T
с x t g x g x t
x x n о x t
g x
n
,
где 1 ( , ),u x t
1 ( , ),с x t 1 ( , )t , 1 ( , )t – функции класса
2
2 ,
2H
, являющиеся
решением задачи (4) – (6).
4. Рассмотрим случай, когда 2 2 2
1 2 3 1 2 3, , :x x x r x x x R и без учета кон-
центрации примеси в задаче (1). Далее, так как решение задачи (1) ищем в виде (2),
тогда нулевое приближение находим как решение следующей задачи:
0
2
0
0 0
0, , , 0,
0, ; 0,
ГГ
u x x A x B x u x
C x x u x u x x Г
(
7)
Заметим, что замена ,u ku при x и u u , если x , сводит задачу
(7) к случаю 1k . Поэтому в дальнейшем будем считать, что это условие выпол-
нено. Нулевое приближение 0 ( )u x , 0Г найдем из условия минимума функционала
2
0 0 1 2 3,I u Г u dx dx dx
, здесь 0 0
и u u при x и u u , если
x .
Далее, рассматривая функционал I в сферических координатах, получим
2
2 2 2 2
0 2 2 2
0 0
1 1
sin
sin
R
r
I u u u u d d d
.
Минимум функционала ищем в следующем виде
2 2
2 2
2 2 2 2
0
k
k
k
R
u B B B R r C
R r
.
Неизвестные коэффициенты kC определяются методом Ритца. В частности в
случае нулевого приближения
2 2
2 2 2 2
0 02 2
R
u B B B R r C
R r
Миненко А.С., Гунько С.А.
«Искусственный интеллект» 1’201222
1М
из уравнения 0 0/ 0I u C определим коэффициент 0C . Свободную поверхность
0 0: ,Г найдем из условия 0 0, , , 0u . Тогда для свободной по-
верхности tГ получим уравнение
1
0
, ,
: , , , Re Re
,
t
u t
Г t o
A
.
На рисунке представлена поверхность tГ при следующих значениях параметров:
2 2 2 2
200, 6, 0,8, , ,
2 3 2 2
3 cos cos , 0,35 cos cos 0,1
t R r
B B
Предложенный алгоритм построения поверхности tГ позволяет исследовать
эту поверхность в зависимости от основных параметров задачи (1), в том числе и
числа Re . На рис. 1 свободная поверхность tГ расположена между сферами ра-
диусов R и r.
Рисунок 1
Литература
1. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская,
В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева – М. : Наука, 1967. – 756 с.
2. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей / Миненко А.С. – К. : Наукова думка,
2005. – 341 с.
3. Солонников В.А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной
свободной поверхностью / В.А. Солонников // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1977. – 41, № 6. – С. 1388-1424.
Literatura
1. Ladyzhenskaja O.A., Solonnikov V.A., Ural’ceva N.N.. Linejnye i kvazilinejnye uravnenija parabolicheskogo
tipa. M.: Nauka. 1967. 756 s.
2. Minenko A.S.. Variacionnye zadachi so svobodnoj granicej. K.: Naukova dumka. 2005. 341 s.
3. Solonnikov V.A.. Izv. AN SSSR. Ser. matem. 1977. 41, № 6. S. 1388-142.
Численный анализ конвективной модели кристаллизации
«Штучний інтелект» 1’2012 23
1М
A.S. Minenko, S.A. Gynko
Numerical Analysis Model of Crystallization with Convection
Still, only one paper has been known as that one, which contains the proof of the existence of the
classical solution to the two-phase multi-dimensional Stefan problem:
,0),(),()(
),( 22
txuatxuV
t
txu ,),( TDtx
0),(
),( 22
txua
t
txu ,),( TDtx
),(),(
Re
1
),(),()(
),( 2
uftxVtxptxVV
t
txV
0),cos(),cos(,0),(
3
1
tnkxn
x
u
k
x
u
ktxu i
i ii
x t
,
,),0(,:),( ttxtxD tT ),,,( 321 xxxx
t .
The given article is the second one, which contains the result of no less significance. The authors
considers the non-degenerate two-phase Stefan problem in a cylinder, assuming that there exists a solution of
the corresponding stationary Stefan problem )(0 xu
and that the boundary and the initial data of the
problem are only slightly different from the corresponding characteristics of the stationary solution:
1
0 ),,((Re))(Re);,(
k
k
k txuxutxu
1
0 ),,((Re))(Re);,(
k
ik
k
ii txVxVtxV ;3,2,1i
1
).,((Re)Re);,(
k
k
k tt
The existence of the smooth solution of the problem is proved under not too restrictive assumptions
concerning the input data of the problem. Moreover, the authors indicate a simple condition, which
guarantees the existence of the corresponding stationary solution and its stability, the latter being understood
in its usual sense. This paper may be strongly recommended to all interested in parabolic free boundary
problems in general and in their classical treatment in particular.
Статья поступила в редакцию 19.12.2011.
|