Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)

Материалы статьи носят научно-исследовательский характер в области теории функций и предлагают альтернативный вариант системы независимых функций, которые, возможно, дополнят систему тригонометрических и гиперболических функций. Новые функции взаимно однозначно выражаются через обычные тригоном...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
1. Verfasser:	Мироненко, Л.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2010
Schriftenreihe:	Штучний інтелект
Schlagworte:	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56574
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) / Л.П. Мироненко // Штучний інтелект. — 2010. — № 3. — С. 501-509. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-56574
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-565742014-02-20T03:07:15Z Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) Мироненко, Л.П. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Материалы статьи носят научно-исследовательский характер в области теории функций и предлагают альтернативный вариант системы независимых функций, которые, возможно, дополнят систему тригонометрических и гиперболических функций. Новые функции взаимно однозначно выражаются через обычные тригонометрические и гиперболические функции и поэтому названы тригогиперболическими функциями. Получены соотношения между новыми функциями, а также между новыми и традиционными функциями. Необычность этих соотношений делает теорию довольно сложной, но перспективной. У статті пропонується альтернативний варіант системи незалежних функцій. Нові функції взаємно одночасно виражаються через звичні тригонометричні і гіперболічні функції і тому названі тригогіперболічними функціями. Отримані співвідношення між новими функціями, а також між новими і традиційними функціями. Незвичність цих співвідношень робить теорію досить складною, але перспективною. 2010 Article Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) / Л.П. Мироненко // Штучний інтелект. — 2010. — № 3. — С. 501-509. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56574 514.116 ru Штучний інтелект Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
spellingShingle	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Мироненко, Л.П. Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) Штучний інтелект
description	Материалы статьи носят научно-исследовательский характер в области теории функций и предлагают альтернативный вариант системы независимых функций, которые, возможно, дополнят систему тригонометрических и гиперболических функций. Новые функции взаимно однозначно выражаются через обычные тригонометрические и гиперболические функции и поэтому названы тригогиперболическими функциями. Получены соотношения между новыми функциями, а также между новыми и традиционными функциями. Необычность этих соотношений делает теорию довольно сложной, но перспективной.
format	Article
author	Мироненко, Л.П.
author_facet	Мироненко, Л.П.
author_sort	Мироненко, Л.П.
title	Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)
title_short	Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)
title_full	Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)
title_fullStr	Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)
title_full_unstemmed	Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)
title_sort	тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (i)
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56574
citation_txt	Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) / Л.П. Мироненко // Штучний інтелект. — 2010. — № 3. — С. 501-509. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Штучний інтелект
work_keys_str_mv	AT mironenkolp trigogiperboličeskiefunkciiiihalgebraičeskiesvojstvai
first_indexed	2025-07-05T07:52:28Z
last_indexed	2025-07-05T07:52:28Z
_version_	1836792622708948992
fulltext	«Штучний інтелект» 3’2010 501 5М УДК 514.116 Л.П. Мироненко Донецкий национальный технический университет, Украина Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) Материалы статьи носят научно-исследовательский характер в области теории функций и предлагают альтернативный вариант системы независимых функций, которые, возможно, дополнят систему тригонометрических и гиперболических функций. Новые функции взаимно однозначно выражаются через обычные тригонометрические и гиперболические функции и поэтому названы тригогипербо- лическими функциями. Получены соотношения между новыми функциями, а также между новыми и традиционными функциями. Необычность этих соотношений делает теорию довольно сложной, но перспективной. Хорошо известно, что функции синус и косинус могут быть представлены абсо- лютно и равномерно сходящимися на всей вещественной оси степенными рядами [1-3]. Эти ряды являются знакочередующимися. Другими словами, каждая из функций состоит из пары сходящихся рядов противоположного знака. Каждый ряд сходится к некоторой, как следует из их разложений, аналитической функции. На основании такого разделения рядов для синуса и косинуса на две пары рядов (всего четыре ря- да) можно ввести четыре аналитические функции. Так возникает единый базис для тригонометрии обычной и гиперболической со своими, назовем, «тригогиперболиче- скими» соотношениями и свойствами. Представления тригонометрических и гиперболических функций через новые, непериодические, функции является, по сути, упрощением элементарных функций синуса и косинуса и служит базисом для практической работы с обычными триго- нометрическими и гиперболическими функциями, а также с экспоненциальной функцией. Получив ряд соотношений между новыми базисными четырьмя функциями, можно работать как с новым набором функций, так и с обычным набором (синус, косинус, гиперболическими синус и косинус). С каким набором функций работать удобно, опре- деляется постановкой решаемой задачи. 1 Определения тригогиперболических функций и основные обозначения Запишем стандартные степенные ряды . )!2( )1(... !4!2 1cos , )!12( )1(.. !5 . !3 sin 2 0 42 12 0 53 n xxxx n xxxxx n n b n n b −=+++−= + −=+++−= ∑ ∑ ∞ = +∞ = (1) Разбиваем каждый их этих рядов на два знакопостоянных ряда и введем обозначения Мироненко Л.П. «Искусственный интеллект» 3’2010 502 5М . )!4( .... !10!6!2 . )!4( .... !8!4 1 , )!34( ... !11 . !7 . 3 . , )!14( ... !9 . !5 . 24 0 1062 4 0 84 34 0 1173 14 0 95 n xxxxosx n xxxcox n xxxxinx n xxxxsix n b n b n b n b +∞ = ∞ = +∞ = +∞ = ∑ ∑ ∑ ∑ =++= =+++= + =+++= + =+++= (2) В дальнейшем будем эти функции называть соответственно six «си-функция», inx «инус», cox «ко-функция» и osx «осинус», а всю совокупность osxcoxinxsix ,,, – триго- гиперболическими функциями. Согласно определениям .cos ,sin osxcoxx inxsixx −= −= (3) Сравним ряды для гиперболических функций ,shx chx и функции xe с определе- ниями тригогиперболических функций (2) . ! .... !3 . !2 1 ., )!2( ... !4!2 1 , )!12( .. !5 . !3 0 32 2 0 42 12 0 53 n xxxxe n xxxchx n xxxxshx n b x n b n b ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = +∞ = =+++++= =++++= + =++++= Находим следующие равенства . , , osxcoxinxsixe osxcoxchx inxsixshx x +++= += += (4) Графики введенных функций представлены на рис. 1, а разности ,sin inxsixx −= osxcoxx −=cos и суммы osxcoxchxinxsixshx +=+= , – на рис. 2 и 3. Рисунок 1 – Графики функций sixy = и inxy = , функций coxy = и osxy = Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) «Штучний інтелект» 3’2010 503 5М Рисунок 2 – Графики функций xosxcoxy cos=−= и chxosxcoxy =+= Рисунок 3 – Графики функций xinxsixy sin=−= и shxinxsixy =+= Свойства симметрии функций osxcoxinxsix ,,, .)(,,)( ,)(,,)( coxxoscoxxco inxxinsixxsi =−=− −=−−=− (5) Запишем нули функции xy sin= : Znnxx ∈=⇒= ,0sin π . Поскольку inxsixx −=sin , то Znninnsi ∈= ),()( ππ . Аналогично, Znnxx ∈+=⇒= , 2 0cos ππ . Поскольку osxcoxx −=cos , то Znnosnco ∈      +=      + , 22 ππππ . Теперь рассмотрим значения Znnxx ∈+±=⇒±= ,2 2 1sin ππ . Откуда следует, что 12 2 2 2 ±=      +±−      +± ninnsi ππππ . Если Znnxx ∈+±=⇒±= ,21cos ππ . Откуда следует, что Znnosnco ∈      +=      + , 22 ππππ . Итак, .,12 2 2 2 ,1)2()2( , 22 ),()( Znninnsi nosnco nosnconinnsi ∈±=      +±−      +± ±=+±−+±       +=      += ππππ ππππ ππππππ Мироненко Л.П. «Искусственный интеллект» 3’2010 504 5М Рисунок 4 – Более детальное поведение тригогиперболических функций в окрестности точек Znnxnx ∈+== , 2 , πππ Выразим тригогиперболические функции через обычные тригонометрические и гиперболические, комбинируя равенства (3) и (4) ).cos( 2 1 ),(cos 2 1 ),sin( 2 1 ),(sin 2 1 chxxosx chxxcox shxxinx shxxsix +−= += +−= += (6) Сразу обратим внимание на тот факт, что мы имеем дело с двумя независимыми наборами функций osxcoxinxsix ,,, и chxshxxx ,,cos,sin (или, что эквивалентно набору xx eexx −, ,cos,sin ), переход от одного набора к другому производится по формулам (3), (4) и (6). 2 Основные соотношения для функций six, inx, cox, osx Выведем ряд соотношений, связывающих тригогиперболические функции ,six , ,inx cox osx с обычными тригонометрическими и гиперболическими функциями .))((cos ;))((sin 2222 xosxcoosxcoxosxcoxchxxxinxsiinxsixinxsixshxx −=+−=⋅−=+−=⋅ Откуда, . cos , sin 22 22 chxxxosxco shxxxinxsi ⋅=− ⋅=− (7) Отсюда следует формула . cos sin2222 chxxshxxxosxcoxinxsi ⋅+⋅=−+− Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) «Штучний інтелект» 3’2010 505 5М Используя формулы (6), найдем ).cos((sin 2 1 )))(cossin()cos)(((sin 4 1 hxxschxx chxxshxxchxxshxxcoxinxosxsix ⋅−⋅= =++−−+−+=⋅−⋅ Кратко .cossin)(2 shxxchxxcoxinxosxsix ⋅−⋅=⋅−⋅ Используем основное тригонометрическое тождество 1cossin 22 =+ sx .122 ,1)()( 222222 =−−+++=−+− coxosxsixinxxosxcoxinxsiosxcoxinxsix Аналогично используем основное «гиперболическое тождество» 122 =− xshxch ,1.22 ,1)() 222222 =−+−−+=+−+ sixinxcoxosxxinxsixosxcoinxsixosxcox В результате имеем пару соотношений ).(21 ),(21 2222 2222 osxcoxinxsixxinxsixosxco osxcoxinxsixxinxsixosxco ⋅−⋅+=−−+ ⋅+⋅+=+++ (8) Складывая и вычитая полученные равенства, получим .2 ,21 22 22 osxcoxxinxsi inxsixxosxco ⋅=+ ⋅+=+ (9) Используем формулы двойных аргументов xxx cossin22sin = и chxshxxsh ⋅= 22 , 2 2 2 2))((2222sin coxnxosxsixosxinxcoxsixosxcoxinxsixxinxsix −−+=−−=−= , 2 2 2 2))((2222 coxnxosxsixosxinxcoxsixosxcoxinxsixxinxsixsh +++=++=+= ). (22 ), (22 coxinxosxsixxin osxinxcoxsixxsi ⋅+⋅= ⋅+⋅= (10) Проверим результат .2sincossin2cos) (2)coscos (2 ))() ( (2) (222 xxxxinxsixxinxxsix coxosxinxosxcoxsixcoxinxosxinxosxsixcoxsixxinxsi ==−=−= =−+−=⋅−⋅+⋅−⋅=− Аналогично проверяется равенство .222 xshxinxsi =+ Используем формулы двойных аргументов xxx 22 sincos2cos −= и xshxchxch 222 22 += ,22)()(222cos 222222 sixinxcoxosxxinxsiosxcoinxsixosxcoxxosxcox +−−−+=−−−=−= ,22)()(222 222222 sixinxcoxosxxinxsiosxcoinxsixosxcoxxosxcoxch +++++=+++=+= .22 ,22 22 22 osxcoxxinxsixos inxsixosxcoxco ⋅++= ⋅++= (11.1) Подставив формулы (9), получим более простые выражения 2 1 4 , 2 4 . co x six inx os x cox osx = + ⋅ = ⋅ (11.2) Мироненко Л.П. «Искусственный интеллект» 3’2010 506 5М Вычитая и складывая выражения, получим osxcoxinxsixxxosxcox ⋅−⋅+==−= 4412cos222cos , ,441222 osxcoxinxsixxosxcoxch ⋅+⋅+=+= .4412 ,4412cos osxcoxinxsixxch osxcoxinxsixx ⋅+⋅+= ⋅−⋅+= (12) Вычитая и складывая равенства, получим еще два соотношения .822cos2 ,82cos2 inxsixxxch coxosxxxch ⋅+=−+ =−− (13) Используем формулы понижения степени 2 2cos1sin2 xx − = и 2 2cos1cos2 xx + = , подставив формулу (12): 2 2cos1 x±    ⋅−⋅ ⋅−⋅+ = ⋅−⋅+± = )(2 )221 2 )441(1 inxsixosxcox osxcoxinxsixosxcoxinxsix ).(21cos )(2sin 2 2 osxcoxinxsixx inxsixosxcoxx ⋅−⋅+= ⋅−⋅= (14) Используем формулы понижения степени 2 122 − = xchxsh и 2 212 xchxch + = , подставив формулу (12)    ⋅+⋅ ⋅+⋅+ = ±⋅+⋅+ = ± .22 ,221 2 1441 2 12 osxcoxinxsix osxcoxinxsixosxcoxinxsixxch .22 221 2 2 osxcoxinxsixxsh osxcoxinxsixxch ⋅+⋅= ⋅+⋅+= (15) Найдем тригогиперболические функции для суммы и разности аргументов x и y .)()( , ))(())((sincoscossin)sin( inyosxnxosyosysixosxsiyinxcoycoxinysiycoxsixcoyyxinyxsi osxinycoxinyosxsiycoxsiynxosyinxcoysixosysixcoy inysiyosxcoxosycoyinxsixyxyxyx ++−−−−+=+−+ +−−++−−= =−−+−−=+=+ Аналогично, для гиперболической функции )( yxsh + . ))(())(()( osxinycoxinyosxsiycoxsiynxosyinxcoysixosysixcoy inysiyosxcoxosycoyinxsixchxshyshxchyyxsh +++++++= =+++++=+=+ В результате получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .si x y in x y sixcoy siycox coxiny inxcoy osxsiy osysix nxosy inyosx+ + + = + + + + + + + Сладывая и вычитая равенства для выражений )()( yxinyxsi +−+ и ( )si x y+ + , ( )in x y+ + получим .)( ,)( ,)( ,)( sixosysiyosxcoyinxinycoxyxin sixosysiyosxcoyinxinycoxyxin osxinyosyinxcoxsiycoysixyxsi osxinyosyinxcoxsiycoysixyxsi ⋅+⋅−⋅+⋅−=− ⋅+⋅+⋅+⋅=+ ⋅−⋅+⋅−⋅=− ⋅+⋅+⋅+⋅=+ (16) Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) «Штучний інтелект» 3’2010 507 5М Легко проверить, что формулы двойных аргументов xinxsi 2,2 следуют при yx = и совпадают с формулами (9). Комбинируя в (16), получим ).(2)()( ),(2)()( ),(2)()( ),(2)()( siyosxinycoxyxinyxin sixosycoyinxyxinyxin osxinycoxsiyyxsiyxsi osyinxcoysixyxsiyxsi ⋅+⋅=−−+ ⋅+⋅=−++ ⋅+⋅=−−+ ⋅+⋅=−++ (17) Найдем тригогиперболические функции для суммы и разности аргументов для )cos( yx ± и )( yxch ± . ))(())((sinsincoscos)cos( inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosycoxosxcoycoxcoy inysiyinxsixosycoyosxcoxyxyxyx −++−+−−= =−−−−−=−=+ .)( inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosxcoyosxcoycoxcoyshxshychxchyyxch +++++++=+=+ .)()( inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosycoxosxcoycoxcoyyxosyxco −++−+−−=+−+ .)()( inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosxcoyosxcoycoxcoyyxosyxco +++++++=+++ .)( ,)( ,)( ,)( inxinysixsiyosycoxosxcoyyxos inxinysixsiyosycoxosxcoyyxos sixinyinxsiyosxosycoxcoyyxco sixinyinxsiyosxosycoxcoyyxco −−+=− +++=+ −−+=− +++=+ (18) Формулы двойных аргументов xosxco 2,2 следуют при yx = и совпадают с формулами (10). ).(2)()( ),(2)()( ),(2)()( ),(2)()( inxinysixsiyyxosyxos osycoxosxcoyyxosyxos inxsiysixinyyxcoyxco osxosycoxcoyyxcoyxco +=−−+ +=−++ +=−−+ +=−++ (19) 3 Некоторые комплексные соотношения для функций six, inx, cox, osx Подставив в разложения функций osxcoxinxsix ,,, вместо переменной x переменную ix и учитывая, что 1 , ,1 432 =−=−= iiii , получим ..... !10!6!2 )( .... !8!4 1)( ,... !11 . !7 . 3 .)( ,... !9 . !5 .)( 10106722 8744 11117533 9955 osxxixixiixos coxxixiixco iinxxixixiixin isixxixiixixsi −=++= =+++= −=+++= =+++= Мироненко Л.П. «Искусственный интеллект» 3’2010 508 5М В результате получим соотношения для тригогиперболических функций мнимого аргумента .)( .)( ,)( ,)( osxixos coxixco inxiixin sixiixsi −= = ⋅−= ⋅= (19) Легко проверяются следующие равенства .cos)()()( ,sin)()()()( ,)()()cos( ,)()()()sin( xosxcoxixosixcoixch xiinxsixiixinixsiixsh chxosxcoxixosixcoix shxiinxsixiixinixsiix =−=+= ⋅=−=+= =+=−= ⋅=+=−= (20) .sincos)()()()()( xixosxcoxinxsixiixosixcoixinixsieix +=++−=+++= Подставим эти выражения в формулы (6) )).(( 2 1 )),(( 2 1 )),(( 2 1 )),(( 2 1 ixchchxosx ixchchxcox uxshishxinx uxshishxsix −= += ⋅+= ⋅−= ).cos)(cos( 2 1 ),cos)(cos( 2 1 )),sin((sin 2 1 )),sin((sin 2 1 xixosx xixcox ixixinx ixixsix −= += ⋅+−= ⋅−= (21) Запишем формулы (16) – (19) для комплексной переменной iyxz += и iyxz −=* ).()( ),()( ),()( ),()( osxsiycoxinyiosysixinxcoyiyxin coxinyosxsiyiosysixinxcoyiyxin siycoxinyosxinxosysixcoyiyxsi inyosxsiycoxiinxosysixcoyiyxsi −+−=− −+−=+ −+−=− −+−=+ ).(2)()( ),(2)()( ),(2)()( ),(2)()( coxinyosxsiyiiyxiniyxin osysixinxcoyiyxiniyxin inyosxsiycoxiiyxsiiyxsi inxosysixcoyiyxsiiyxsi −=−−+ −=−++ −=−−+ −=−++ (22) ).()( ),()( ),()( ),()( inxinysixsiyiosycoxosxcoyyxos inxinysixsiyiosycoxosxcoyyxos sixinyinxsiyiosxosycoxcoyiyxco inxsiysixinyiosxosycoxcoyiyxco −⋅−−=− +⋅−−=+ −⋅−−=− −⋅−−=+ (23) ).(2)()( ),(2)()( ),(2)()( ),(2)()( inxinysixsiyiiyxosiyxos osycoxosxcoyiyxosiyxos sixinyinxsiyiiyxcoiyxco osxosycoxcoyiyxcoiyxco −=−−+ −=−++ −=−−+ −=−++ (24) Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) «Штучний інтелект» 3’2010 509 5М Выводы В работе рассмотрена возможность введения группы независимых «элемен- тарных» функций на основе известных стандартных степенных рядов для функций chxshxxx ,,cos,sin . При «перестраивании» степенных рядов введены четыре линейно независимые между собой функции, которые условно обозначены как osxcoxinxsix ,,, и названы тригогиперболическими функциями. Эти функции выражаются через обычные тригонометрические и гиперболические функции взаимно однозначно. Для них расс- мотрен весь спектр алгебраических возможностей. Получены алгебраические соот- ношения между новыми функциями, а также между новыми и прежними. Произведено аналитическое продолжение новых функций в комплексную плоскость и записаны основные соотношения для функций комплексного переменного. Необычные соотношения в связи с введением новых функций делают теорию достаточно сложной, но перспективной. Математический аппарат в новых функциях имеет значительные ограничения в сравнении с обычными и требует определенной сноровки и опыта. Тем не менее, теория интересная и допускает обобщения и развития в область дифференциального и интегрального исчисления, а также дифференциальных уравнений. Свойства тригогиперболических функций позволяют в полной мере изучить класс уравнений, решаемых в квадратурах. Что касается перспективы предложенной теории, то сразу отметим возможность ее практического применения в теории фазовых переходов и переходных процессов в электрических цепях. Эта возможность открывается благодаря уникальным свойствам введенных функций. Одним из специфических свойств является монотонный характер функций ,,,, osxcoxinxsix а их разности )(),( osxcoxinxsix −− дают ограниченные и периодические функции. Литература 1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ / Кудрявцев Л.Д. – М. : Наука,1970. – Т. 2. – 571 с. 2. Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М. : Изд. ФМЛ, 1956. – Т. 2. – 472 с. 3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Фихтенгольц Г.М. – Москва : Наука, «ФМЛ» : 1972. – Т 2. – 795 с. 4. Гурса Э. Курс математического анализа / Гурса Э. – М. : Государственное технико-практическое издательство, 1933. – Т 1. – 368 с 5. Шведов И.А. Компактный курс анализа. Функции одной переменной / Шведов И.А. – Новоси- бирск : Новосибирский государственный университет, 2003. – 112 с. 6. Смирнов В.И. Курс высшей математики / Смирнов В.И. – Москва : Наука, 1974. – Т. 1. – 480 с. Л.П. Мироненко Тригогіперболічні функції та їх алгебраїчні властивості У статті пропонується альтернативний варіант системи незалежних функцій. Нові функції взаємно одночасно виражаються через звичні тригонометричні і гіперболічні функції і тому названі тригогіперболічними функціями. Отримані співвідношення між новими функціями, а також між новими і традиційними функціями. Незвичність цих співвідношень робить теорію досить складною, але перспективною. Статья поступила в редакцию 05.07.2010.

Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)

Institution

Ähnliche Einträge