Скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел
For automorphisms of an infinity binary tree which are realized as linear functions on the ring of integer 2-adic numbers, the problem of finite state conjugation has solved.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5816 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел / Ю.В. Боднарчук, Д. I. Морозов // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 7-11. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-5816 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-58162010-02-09T12:01:24Z Скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел Боднарчук, Ю.В. Морозов, Д.І. Математика For automorphisms of an infinity binary tree which are realized as linear functions on the ring of integer 2-adic numbers, the problem of finite state conjugation has solved. 2008 Article Скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел / Ю.В. Боднарчук, Д. I. Морозов // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 7-11. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5816 513.6 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Боднарчук, Ю.В. Морозов, Д.І. Скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел |
| description |
For automorphisms of an infinity binary tree which are realized as linear functions on the ring of integer 2-adic numbers, the problem of finite state conjugation has solved. |
| format |
Article |
| author |
Боднарчук, Ю.В. Морозов, Д.І. |
| author_facet |
Боднарчук, Ю.В. Морозов, Д.І. |
| author_sort |
Боднарчук, Ю.В. |
| title |
Скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел |
| title_short |
Скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел |
| title_full |
Скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел |
| title_fullStr |
Скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел |
| title_full_unstemmed |
Скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел |
| title_sort |
скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5816 |
| citation_txt |
Скінченностанова спряженість лінійних функцій на кільці цілих 2-адичних чисел / Ю.В. Боднарчук, Д. I. Морозов // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 7-11. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT bodnarčukûv skínčennostanovasprâženístʹlíníjnihfunkcíjnakílʹcícílih2adičnihčisel AT morozovdí skínčennostanovasprâženístʹlíníjnihfunkcíjnakílʹcícílih2adičnihčisel |
| first_indexed |
2025-07-02T08:51:48Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:51:48Z |
| _version_ |
1836524565113602048 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2008
МАТЕМАТИКА
УДК 513.6
© 2008
Ю.В. Боднарчук, Д. I. Морозов
Скiнченностанова спряженiсть лiнiйних функцiй
на кiльцi цiлих 2-адичних чисел
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.С. Самойленком)
For automorphisms of an infinity binary tree which are realized as linear functions on the ring
of integer 2-adic numbers, the problem of finite state conjugation has solved.
Пiд бiнарним деревом T2 будемо розумiти нескiнченне дерево з однiєю кореневою верши-
ною степеня 2, решта вершин якого мають степiнь 3. Добре вiдомо (див. [1, 2]), що група
автоморфiзмiв T2 є проективною границею iтерованих вiнцевих добуткiв циклiчної групи
другого порядку, тобто
AutT2 ≃ lim←−nıni=1C
i
2.
Автоморфiзм α ∈ AutT2 iндукує дiю на пiддеревах T2. Назвемо α скiнченностановим,
якщо вiн iндукує скiнченну кiлькiсть дiй на пiддеревах. Скiнченностановi автоморфiзми
утворюють групу, яку позначимо F AutT2.
З iншого боку, ребрам дерева можна приписати мiтки — 0,1 для лiвого та правого реб-
ра, що йдуть униз. При цьому кожному нескiнченному шляху на деревi, що починається
з кореня, буде вiдповiдати нескiнченна послiдовнiсть нулiв та одиниць, яку можна зiставити
з цiлим 2-адичним числом. Пiсля цього автоморфiзми T2 можуть бути ототожненi з бiєкцiя-
ми кiльця цiлих 2-адичних чисел Z2. Наприклад, нижченаведений 2-становий автоморфiзм
можна визначити рекурентно:
ε = (id, ε) ◦ σ, (1)
тут вказано, що автоморфiзм ε дiє на лiвому пiддеревi тотожно, на правому самоподiбно,
а σ переставляє цi пiддерева.
З iншого боку, автоморфiзм ε може бути визначений як функцiя ǫ : Z2 → Z2, x→ x + 1,
i тому має назву “додавальна машина“ (adding machine). Добре вiдомо (див. [3, 4]), що цен-
тралiзатор CAut T2
(ε) збiгається iз замиканням циклiчної групи 〈ε〉 в топологiї проективної
границi на групi AutT2 i складається з функцiй x → x + p, p ∈ Z2, CAut T2
(ε) ≃ Z+
2 .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 7
Метою даної роботи є дослiдження проблеми спряженостi для автоморфiзмiв T2, якi ре-
алiзуються лiнiйними функцiями виду x→ ax+ b, a ∈ Z∗
2 , b ∈ Z2 у групi скiнченностанових
автоморфiзмiв F AutT2. Зауважимо, що проблема скiнченностанової спряженостi в загаль-
ному випадку є надзвичайно складною, на вiдмiну вiд Aut T2, де проблема спряженостi
є повнiстю розв’язаною.
Характеризацiя скiнченностанових автоморфiзмiв T2, якi задаються лiнiйними функцi-
ями на Z2, буде здiйснена за допомогою рацiональних чисел.
Лема 1. (x + p) ∈ F AutT2 ⇔ p ∈ Z2
⋂
Q.
Доведення.⇒ Автоморфiзм x+p : 0→ p. Скiнченностановий автоморфiзм переводить
квазiперiодичнi кiнцi в квазiперiодичнi. Оскiльки . . . 000 квазiперiодичний, то i p квазiперi-
одичний, тобто належить Z2
⋂
Q. Квазiперiодичне число p має такий двiйковий запис:
p = . . . ak+m . . . ak+1 . . . ak+m . . . ak+1ak . . . a2a1 =
= . . . 0 . . . 01 . . . 0 . . . 01 · 2k · q + ak . . . a2a1. (2)
Натуральне число ak+m . . . ak+1 будемо називати перiодом числа p.
⇐ Згiдно з (1) автоморфiзм ε пiдноситься у 2-адичний степiнь таким чином:
ε2p = (εp, εp), ε2p+1 = (εp, εp+1) ◦ σ. (3)
Виходячи з (2), маємо
εp =
(
ε...01 0...01
m
)q∗2n
◦ εv,
де q, m, v, n ∈ Z+, v — початок довжини n двiйкового запису числа p до початку перiоду q
довжини m.
Згiдно з (3) автоморфiзм ε...01 0...01
m мiстить m станiв вигляду
(
ε...01 0...01
m
)2k
, k ∈ {0, 1, . . . ,m− 1},
та m− 1 станiв вигляду
(
ε...01 0 . . . 01
m
)2k
◦ ε, k ∈ {1, . . . ,m− 1}, тобто мiстить 2m− 1 станiв.
Оскiльки ε...01 0 . . . 01
m
скiнченностановий автоморфiзм, то i εp скiнченностановий, оскiльки
q, v, n ∈ Z+.
Лема 2. Автоморфiзм px ∈ F AutT2 ⇔ p ∈ (Z2
⋂
Q)∗.
Доведення. Автоморфiзми f1(x) = (2k +1)x та f2(x) = f1(x)−1 = (1/(2k +1))x можуть
бути скiнченностановими тiльки одночасно. Оскiльки
f1 = f2
−1,
2m + 1
2k + 1
x = (2m + 1)x ◦
1
2k + 1
x,
−kx = −x ◦ kx,
то достатньо довести, що −x та (2t + 1)x є скiнченностановими при t ∈ Z+.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
Автоморфiзм (2t + 1)x мiстить тiльки стани вигляду (2t + 1)x + f , де f ∈ {0, 1, . . . , (2t+
+ 1)}. Дiйсно,
(2t + 1)x = ((2t + 1)x, (2t + 1)x + t),
(2t + 1)x + 2f = ((2t + 1)x + f, (2t + 1)x + (k + f))(2t + 1)x + (2f + 1) =
= ((2t + 1)x + f, (2t + 1)x + (t + f + 1)) ◦ σ.
Якщо f 6 t, то t + f 6 2k, t + f + 1 6 2t + 1, тобто автоморфiзм (2t + 1)x має не
бiльше 2t + 2 станiв.
Далi отримаємо рiвностi
−x = (−x,−x− 1),
−x− 1 = (−x− 1,−x− 1) ◦ σ,
тобто −x є автоморфiзмом з двома станами.
Лема 3. f(x) = p1x + p2 ∈ F AutT2 ⇔ p1, p2 ∈ Z2
⋂
Q.
Доведення. Для доведення леми, скористаємося розкладом
p1x + p2 = p1x ◦ (x + p2).
⇐ Оскiльки за лемами 1, 2 x + p2 та p1x є скiнченностановими, то i p1x + p2 є скiнченно-
становим.
⇒ Автоморфiзм p1x + p2 переводить 0 в p2. Оскiльки p1x + p2 ∈ F Aut T2, то p2 ∈ Z2
⋂
Q.
За лемою 1 x + p2 ∈ F Aut T2, отже, i автоморфiзм p1x ∈ F AutT2, а за лемою 2 p1 ∈ Z2
⋂
Q.
Перейдемо до питання спряженостi. Для цього розглянемо рiвняння вiдносно автомор-
фiзму χ ∈ AutT2
αχ = β, (4)
для даних α, β ∈ AutT2. Зауважимо, що згiдно з [3] якщо автоморфiзми α, β мають макси-
мальний пропорядок, то рiвняння (4) має єдиний розв’язок, який фiксує . . . 000. Позначимо
цей розв’язок через χ0. На вiдмiну вiд автоморфiзмiв x + 1, 5x + 1, 9x + 1, . . . автоморфiзми
3x + 1, 7x + 1 . . . не є максимального пропорядку. Для розширення класу лiнiйних функцiй
на Z2 введемо операцiю
⊕
додавання за модулем 2. З використанням цiєї операцiї отри-
муємо
Теорема 1. Функцiї f1(x) = (4k + 1)x + 1 та f2(x) = −(4k + 1)x⊕ 1 (k ∈ Z2) спряженi
в F AutT2.
Доведення. Має мiсце рiвнiсть
(−x, x)−1 ◦ ((4k + 1)x + 1) ◦ (−x, x) = −(4k + 1)x⊕ 1.
А оскiльки −x ∈ F AutT2 (за лемою 2), то i (−x, x) ∈ F AutT2.
Теорема 2. Скiнченностановi автоморфiзми максимального пропорядку вигляду ax + 1
та a−1x + 1 не спряженi в F Aut T2.
Доведення. Множина функцiй
{
χk(x) =
akx + ak̂
ak−1((a− 1)x + 1)
∣∣∣∣ k ∈ Z2
}
(5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 9
мiстить усi розв’язки рiвняння (4), яке при α = ax + 1, β = a−1x + 1 набуває вигляду
χ−1 ◦ (ax + 1) ◦ χ =
1
a
x + 1. (6)
Покажемо, що χk(x) є розв’язком рiвняння (6).
χ−1
k
(x) =
−ak−1x + ak̂
ak−1((a− 1)x− a)
,
χ−1
k (x) ◦ (ax + 1) ◦ χk(x) =
(
−ak−1x + ak̂
ak−1((a− 1)x− a)
)
◦ (ax + 1) ◦
(
akx + ak̂
ak−1((a− 1)x + 1)
)
=
=
(
a
(
−ak−1x + ak̂
ak−1((a− 1)x− a)
)
+ 1
)
◦
(
akx + ak̂
ak−1((a− 1)x + 1)
)
=
=
(
−ak−2x+ak̂−1
ak−2((a−1)x−a)
)
◦
(
akx+ak̂
ak−1((a−1)x+1)
)
=
−x− a
(a− 1)x− a
−a
(a− 1)x− a
=
−x− a
−a
=
1
a
x + 1.
Зауважимо, що згiдно з [3] для фiксованого t iснує єдиний розв’язок рiвняння (6) та-
кий, що χ : 0 → t. Отже, усi розв’язки рiвняння (6) мають вигляд χ(x) = χk(x), де k =
= loga(a
k−1(a − 1)t + 1).
Покажемо, що для будь-якого k автоморфiзм
χk(x) =
akx + ak̂
ak−1((a− 1)x + 1)
(7)
не є скiнченностановим.
Дiйсно, має мiсце рiвнiсть
χk(x) = (akx + ak̂) ◦
(
x
px + q
)
,
де p = (a − 1)/a, q = 1/a.
Припустимо, що χk(x) є скiнченностановим. Тодi χk(x) переводить . . . 0000 у послiдов-
нiсть ak̂/ak−1, що є квазiперiодичною. Оскiльки ak, ak̂ та ak̂/ak−1 є квазiперiодичними одно-
часно, то i akx + ak̂ є скiнченностановим. Але автоморфiзм x/(px + q) мiстить нескiнченну
кiлькiсть станiв вигляду
x
p 2tx + q
, t ∈ Z+,
тобто маємо протирiччя. Отже, автоморфiзм χk(x) нескiнченностановий ∀ k ∈ Z2.
Як наслiдок отримаємо, що рiвняння (6) не має розв’язкiв у F Aut T2.
Теорема 3. Функцiї f1(x) = (4k1 + 1)x + 1 та f2(x) = (4k2 + 1)x + 1 (k1, k2 ∈ Z2
⋂
Q)
спряженi в F AutT2 тодi i тiльки тодi, коли 4k1 + 1 = 4k2 + 1.
Доведення. Покажемо, що скiнченностановi автоморфiзми ax+1, bx+1 максимального
пропорядку (a = 4k1 + 1, b = 4k2 + 1, k1, k2 ∈ Z2
⋂
Q) при a 6= b не спряженi в F AutT2.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
Дiйсно, якщо автоморфiзми α, β ∈ F AutT2 спряженi в F AutT2, то автоморфiзми αp
та βp скiнченностановi одночасно для всiх p ∈ Z2. Згiдно з теоремою (2), ця умова не
є достатньою. Далi, без обмеження загальностi можна вважати b 6= an (n ∈ Z, n 6= ±1).
Функцiя loga((a− 1)x + 1) є бiєкцiєю Z2 → Z2, як обернена до ax̂ при a = 4k + 1, k ∈ Z2.
Має мiсце рiвнiсть
(ax + 1)t =
(
atx + at̂
)
(t ∈ Z2). (8)
За теоремою Дiрiхле про наявнiсть простих чисел в арифметичнiй прогресiї, iснує x ∈ Z
таке, що c = (a − 1)x + 1 є простим числом, якого немає в розкладi a та b. Тодi, згiдно
з лемою 3 та формулою (8), маємо (ax+1)loga c ∈ F AutT2, оскiльки aloga c = c є рацiональним
числом, а (bx + 1)loga c не належить F AutT2, оскiльки bloga c не є рацiональним числом.
Враховуючи теорему (2), отримуємо твердження теореми.
Робота частково пiдтримана Державним фондом фундаментальних дослiджень (Ф 25/546–
2007 № ДР 0107U010 499) та Мiжнародним благодiйним фондом вiдродження Києво-Могилянської
академiї.
1. Сущанский В.И. Группы изометрий p-пространства Бэра // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1984. – № 8. –
С. 28–30.
2. Сущанский В.И. Сплетения по последовательности груп подстановок и финитно-апроксимируемые
группы // Докл. АН СССР. – 1984. – № 2. – С. 19–22.
3. Боднарчук Ю.В., Морозов Д. I. Будова централiзаторiв елементiв максимального про-порядку в групi
автоморфiзмiв бiнарного дерева // Наук. зап. НаУКМА. Фiз.-мат. науки. – 2005. – 39. – С. 25–27.
4. Боднарчук Ю.В., Морозов Д. I. Розширенi 2-адичнi числа як централiзатори автоморфiзмiв регуляр-
ного кореневого дерева валентностi 3 // Там само. – 2006. – 51. – С. 4–7.
Надiйшло до редакцiї 25.02.2008Нацiональний унiверситет “Києво-Могилянська академiя”
УДК 517.962.24:519.21
© 2008
Н.В. Брадул
Об устойчивости разностного аналога математической
модели “хищник-жертва” при случайных возмущениях
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
A discrete analog of the mathematical predator-prey model is considered. The sufficient condi-
tions on the discretization step for which the considered discrete analog saves the stability
property of the initial model are obtained.
Математические модели типа “хищник-жертва” и их разностные аналоги исследуются во
многих работах (см., напр., [1] и приведенную там библиогр.). Одной из важнейших задач
этих исследований является задача устойчивости положительной точки равновесия таких
систем. В связи с проблемами численного анализа особый интерес представляет способность
разностного аналога исследуемой системы сохранять это свойство устойчивости.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 11
|