Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов

Рассмотрен обобщенный стохастический метод прогнозирования вероятности конфликта и столкновения самолетов, а также его практическое применение с учетом вероятностного характера возмущений, приводящих к отклонению самолета от заданных параметров траектории полета, и корреляционной зависимости о...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автор:	Васильев, В.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2005
Назва видання:	Математичні машини і системи
Теми:	Моделювання і управління великими системами
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58467
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов / В.Н. Васильев // Мат. машини і системи. — 2005. — № 4. — С. 62-71. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-58467
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-584672014-04-05T10:17:13Z Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов Васильев, В.Н. Моделювання і управління великими системами Рассмотрен обобщенный стохастический метод прогнозирования вероятности конфликта и столкновения самолетов, а также его практическое применение с учетом вероятностного характера возмущений, приводящих к отклонению самолета от заданных параметров траектории полета, и корреляционной зависимости отклонений во времени, которые описываются с использованием случайного процесса Орнштейна-Уленбека. Выводится многомерное стохастическое уравнение, описывающее относительное движение самолетов, и определяются коэффициенты дифференциального оператора для практического решения параболического уравнения в частных производных, которое дает оценку вероятности конфликта на заданном прогнозируемом интервале времени. Дается процедура прогнозирования вероятности конфликта. Розглянуто узагальнений стохастичний метод прогнозування імовірності конфлікту і зіткнення літаків, а також його практичне застосування з урахуванням імовірнісного характеру збурювань, що приводять до відхилення літака від заданих параметрів траєкторії польоту, і кореляційної залежності відхилень у часі, що описуються з використанням випадкового процесу Орнштейна-Уленбека. Виводиться багатомірне стохастичне рівняння, що описує відносний рух літаків, і визначаються коефіцієнти диференціального оператора для практичного рішення параболічного рівняння в частинних похідних, що дає оцінку імовірності конфлікту на заданому прогнозованому інтервалі часу. Дається процедура прогнозування конфлікту. The generalized stochastic method of prediction of conflict probability and aircraft collision is considered, and also its practical application with taking into account a probability character of factors causing an aircraft deviation from planned trajectory parameters, and correlation dependence of deviations in time, which are described by Ornstein-Uhlenbeck process. The multi-dimensional stochastic equation of relative aircraft movement is derived, and the coefficients of a differential operator for a practical resolution of a parabolic partial equation are determined which give an evaluation of probability of a conflict in prediction time interval. The procedure of conflict probability prediction is given. 2005 Article Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов / В.Н. Васильев // Мат. машини і системи. — 2005. — № 4. — С. 62-71. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58467 621.396 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами
spellingShingle	Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами Васильев, В.Н. Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов Математичні машини і системи
description	Рассмотрен обобщенный стохастический метод прогнозирования вероятности конфликта и столкновения самолетов, а также его практическое применение с учетом вероятностного характера возмущений, приводящих к отклонению самолета от заданных параметров траектории полета, и корреляционной зависимости отклонений во времени, которые описываются с использованием случайного процесса Орнштейна-Уленбека. Выводится многомерное стохастическое уравнение, описывающее относительное движение самолетов, и определяются коэффициенты дифференциального оператора для практического решения параболического уравнения в частных производных, которое дает оценку вероятности конфликта на заданном прогнозируемом интервале времени. Дается процедура прогнозирования вероятности конфликта.
format	Article
author	Васильев, В.Н.
author_facet	Васильев, В.Н.
author_sort	Васильев, В.Н.
title	Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов
title_short	Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов
title_full	Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов
title_fullStr	Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов
title_full_unstemmed	Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов
title_sort	стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Моделювання і управління великими системами
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58467
citation_txt	Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов / В.Н. Васильев // Мат. машини і системи. — 2005. — № 4. — С. 62-71. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Математичні машини і системи
work_keys_str_mv	AT vasilʹevvn stohastičeskijmetodprognozirovaniâkonfliktnyhsituacijistolknoveniâsamoletov
first_indexed	2025-07-05T09:41:56Z
last_indexed	2025-07-05T09:41:56Z
_version_	1836799509513895936
fulltext	ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 4 62 УДК 621.396 В.Н. ВАСИЛЬЕВ СТОХАСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ КОНФЛИКТНЫХ СИТУАЦИЙ И СТОЛКНОВЕНИЯ САМОЛЕТОВ Abstract: The generalized stochastic method of prediction of conflict probability and aircraft collision is considered, and also its practical application with taking into account a probability character of factors causing an aircraft deviation from planned trajectory parameters, and correlation dependence of deviations in time, which are described by Ornstein-Uhlenbeck process. The multi-dimensional stochastic equation of relative aircraft movement is derived, and the coefficients of a differential operator for a practical resolution of a parabolic partial equation are determined which give an evaluation of probability of a conflict in prediction time interval. The procedure of conflict probability prediction is given. Key words: аir Traffic Management, Safe Separation Standard, Conflict Prediction, Conflict Probability, Stochastic Deviation Model, Diffusive Process. Анотація: Розглянуто узагальнений стохастичний метод прогнозування імовірності конфлікту і зіткнення літаків, а також його практичне застосування з урахуванням імовірнісного характеру збурювань, що приводять до відхилення літака від заданих параметрів траєкторії польоту, і кореляційної залежності відхилень у часі, що описуються з використанням випадкового процесу Орнштейна-Уленбека. Виводиться багатомірне стохастичне рівняння, що описує відносний рух літаків, і визначаються коефіцієнти диференціального оператора для практичного рішення параболічного рівняння в частинних похідних, що дає оцінку імовірності конфлікту на заданому прогнозованому інтервалі часу. Дається процедура прогнозування конфлікту. Ключові слова: керування повітряним рухом, Норма безпечного розділення, Прогнозування конфлікту, Імовірність конфлікту, Стохастична модель відхилення, Дифузійний процес. Аннотация: Рассмотрен обобщенный стохастический метод прогнозирования вероятности конфликта и столкновения самолетов, а также его практическое применение с учетом вероятностного характера возмущений, приводящих к отклонению самолета от заданных параметров траектории полета, и корреляционной зависимости отклонений во времени, которые описываются с использованием случайного процесса Орнштейна-Уленбека. Выводится многомерное стохастическое уравнение, описывающее относительное движение самолетов, и определяются коэффициенты дифференциального оператора для практического решения параболического уравнения в частных производных, которое дает оценку вероятности конфликта на заданном прогнозируемом интервале времени. Дается процедура прогнозирования вероятности конфликта. Ключевые слова: управление воздушным движением, Норма безопасного разделения, Прогнозирование конфликта, Вероятность конфликта, Стохастическая модель отклонения, Диффузионный процесс. 1. Введение В настоящее время в мировом авиационном сообществе активно обсуждается проблема безопасности воздушного движения в связи с перспективой внедрения новых концепций организации воздушного движения и перехода от централизованного управления воздушным движением (УВД) к децентрализованному, заменой традиционного УВД на кооперативное УВД. Кооперативное УВД – новая концепция, которая призвана повысить производительность и безопасность воздушного движения путем оптимизации взаимодействия диспетчеров, экипажей самолетов и других служб за счет интеграции цифровой системы передачи данных, улучшения методов наблюдения и автоматизации [1]. Необходимость перехода к новой организации воздушного движения обусловлена наблюдаемым и прогнозируемым ростом интенсивности воздушного движения и направлена на повышение пропускной способности воздушного пространства. Предполагается, что решение ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 4 63 проблемы возможно за счет введения режима "свободного полета", а также сокращения действующих норм эшелонирования. Из-за наличия достаточно большого числа факторов, приводящих к отклонению самолета от заданных параметров траектории движения, возможны ситуации, когда нарушаются нормы безопасного расстояния между самолетами и возникает угроза их столкновения, даже если первоначально спланированные полеты являются бесконфликтными и имеется система, контролирующая воздушное движение. В условиях оперативно изменяющейся воздушной обстановки, связанной с изменением направления и динамикой относительного движения самолетов, а также при сокращении норм эшелонирования значительно возрастает роль системы обнаружения и предупреждения опасного сближения самолетов. В настоящее время имеется большое число методов и алгоритмов обнаружения и предупреждения конфликтов. Наиболее полный их обзор и классификацию можно найти в работах [2,3]. В работе [4] обосновывается преимущество вероятностных методов оценки конфликтов. К вероятностным методам относится также предложенный ранее в работе [5] обобщенный стохастический метод оценки характеристик потенциальных конфликтов, в котором учитываются стохастический характер и корреляционная зависимость во времени отклонений самолета от заданной траектории управляемого полета. Настоящая работа посвящена проблеме прогнозирования вероятности столкновения самолетов в условиях реализации концепции кооперативного УВД, при котором вся необходимая информация должна быть доступна сторонам, вовлеченным в принятие решений. При этом система УВД должна иметь доступ к навигационным данным маршрута полета, содержащимся в бортовых системах управления полетом. Конкретизируется обобщенный стохастический метод для оценки вероятности конфликта, предложенный ранее в [5]. Выводится многомерное стохастическое уравнение, описывающее относительное движение самолетов для определенных условий управляемого полета, и определяются коэффициенты дифференциального оператора для практического решения параболического уравнения, которое дает оценку вероятности конфликта на заданном прогнозируемом интервале времени. 2. Постановка задачи Постановка задачи определения вероятности потенциального конфликта и столкновения самолетов состоит в следующем. Принимается, что процесс относительного движения двух самолетов представляет собой случайный процесс, который описывается многомерным стохастическим дифференциальным уравнением общего вида: )()),(()( tWLddtttXftXd �� +′=′ ; NtX 2)( ℜ∈′ � , (1) где TTT tXtXtX ])()([)( 21 ′′=′ �� – объединенный вектор состояний, состоящий из векторов состояний )(1 tX ′ � и )(2 tX ′ � , каждый размерностью N , описывающих движение соответственно первого и второго самолетов ( 2,1=j ) в общей системе координат; L – диффузионная матрица; ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 4 64 TTT tWtWtW ])()([)( 21 �� = ; )(tWj � – многомерный винеровский процесс; )(1 tW � и )(2 tW � – независимы. Вектор относительного положения самолетов (разделение самолетов) )(tr � при ntr ℜ∈)( � представляет собой случайный процесс, который может быть получен в результате непрерывного отображения объединенного вектора состояний для пары самолетов NTTT tXtXtX 2 21 ])()([)( ℜ∈′′=′ �� )2( Nn < из N2ℜ в nℜ некоторым оператором ℑ : )()( tXtr ′ℑ= �� . (2) Область конфликта K определяется с учетом (2) как { }drXK N ≤ℜ∈′= �� :2 , (3) где d – заданная норма безопасного разделения самолетов. Конфликт определяется как прогнозируемое нарушение установленной нормы (порога) безопасного разделения самолетов. Задача заключается в определении вероятности конфликта cP , т.е. вероятности нарушения нормы безопасного разделения (или столкновения) самолетов на заданном интервале времени ],0[ T { }dtrTtPPc ≤∈∃= )(:],0[ � . (4) Если значение нормы безопасности d установить равным физическим размерам самолетов, то выполнение условия (4) означает столкновение самолетов. Считается, что в начальный момент времени 0=t обеспечивается безопасное разделение самолетов, т.е. drr >= 0)0( �� . 3. Обобщенный стохастический метод определения вероятности конфликта Для данной выше общей постановки задачи ранее в работе [5] был представлен обобщенный стохастический метод оценки характеристик потенциальных конфликтов. Поставленная задача аналогична задаче достижения границы многомерным диффузионным процессом [6]. Для ее решения используется дифференциальный (инфинитезимальный [7]) оператор A , который позволяет установить связь диффузионного процесса с его вероятностными характеристиками. Основу обобщенного метода составляет уравнение, описывающее изменение условной вероятности конфликта })(\|\|\|)(\|\|:],[{),( XtXdrTtPXtq ′=′≤τ∈τ∃=′ �� (5) как вероятности выхода многомерного диффузионного процесса за пределы области, являющейся дополнением области конфликта K (3), }\|\|\|\|:{\ 22 drXKK NNc >ℜ∈′=ℜ= �� . (6) Эта вероятность (5) удовлетворяет уравнению в частных производных параболического ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 4 65 типа для условия (6) [5]: ),( ),( Xtq t Xtq ′= ∂ ′∂− � � A , ),0[ Tt ∈ , cKX ∈′ � (7) с граничными условиями 1),( =′Xtq � ; }\|\|\|\|:{ 2 drXKX N =ℜ∈′=∂∈′ �� , ),0[ Tt ∈ и условием в конце временного интервала 0),( =′XTq � , cKX ∈′ � . Причем )(),( DCXtq ∈′ , { }cc KXTtKKXTtXtD ∈′=∂∈′∈′= ,либо),,0[:),( ∪ . Здесь A – инфинитезимальный оператор соответствующего диффузионного процесса, структура и коэффициенты которого определяются конкретными условиями задачи и видом диффузионного процесса относительного движения самолетов (1). В той же статье [5] определена структура инфинитезимального оператора в общем виде. Искомая вероятность на интервале времени ]0[ Tt ∈ определяется в результате решения уравнения в частных производных параболического типа (7) и равна ),0( 0XqPc ′= � ; cKXX ∈′=′ )0(0 �� . (8) Для решения задачи необходимо конкретизировать выражение для инфинитезимального оператора и значения его коэффициентов, что определяется принятой математической моделью, описывающей стохастический процесс относительного движения двух самолетов, и ее размерностью. 4. Модель диффузионного процесса относительного движения самолетов Движение каждого самолета будем описывать в частной, в общем случае трехмерной, системе координат jjj yOx с осями, ориентированными соответственно вдоль линии заданного пути jx , в боковом направлении jy и вертикально вверх jz , а относительное движение самолетов опишем в общей системе координат xOy. Для описания процесса отклонения самолета от заданных параметров траектории полета используем случайный процесс Орнштейна-Уленбека [8]. Выбор этого процесса обосновывается сочетанием ряда его свойств. Стационарный процесс Орнштейна-Уленбека является марковским, гауссовским и имеет непрерывные траектории. Эти свойства наиболее адекватны реальному управляемому движению самолета в режиме стабилизации заданных параметров траектории полета при воздействии случайных возмущающих факторов. Заметим, что исследование [9] подтверждает гипотезу о винеровском характере процесса отклонения от заданной скорости полета. Примем, что отклонение самолета от заданной скорости полета по каждой координате описывается случайным процессом Орнштейна-Уленбека ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 4 66 dWvdtdv σ+α−= , (9) где )(tv – отклонение от заданной скорости 0v ; 0>α , 0>σ ; )(tWW = – стандартный винеровский процесс. Примем также, что отклонения по отдельно взятой координате не зависят от других. Рассмотрим задачу определения вероятности конфликта между двумя самолетами, летящими по пересекающимся траекториям на одинаковой высоте (рис. 1). 4.1. Описание движения самолета Процесс движения самолета опишем в локальной системе координат jjj yOx , в которой траектория j -го самолета характеризуется вектором состояний T yjxjjjj vvyxX ],,,[= � . (10) На основании принятой модели отклонения от заданной скорости полета (9) запишем для каждого самолета уравнение (здесь индекс j опущен, чтобы не загромождать запись), описывающее изменение боковой координаты для вектора T yy tvtytz )]()([)( =� , 0≥t , )( 01 )()( tdWdttvtzd y yy yy       σ +      α− =� ;       = )0( 0 )0( y y v z � , (11) где )0(yv – заданное неслучайное значение поперечной скорости и уравнение, описывающее изменение продольной координаты для вектора T xx tvtxtz )]()([)( =� , 0≥t . )( 0)( )( 00 tdWdt v vv dWdtv dtvv tzd x xxx x xxxx x x       σ +      α− + =      σ+α− + =� ;       = )0( 0 )0( x x v z � , (12) где 0v – заданная скорость полета, при этом dtvdtvdx x+= 0 ; )0(xv – заданная неслучайная величина. Для полного вектора состояний T yx tvtvtytxtX )](),(),(),([)( = � , 0≥t (13) процесс )(tX � является диффузионным и на основании (11), (12) удовлетворяет уравнению 12e � 22e � 11e � 20r � 10r � O2 O1 1ϕ y1 y2 O y x x1 x2 2ϕ x'1 x'2 0r � 21e � Рис. 1. Относительное движение двух самолетов ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 4 67               σ σ +               α− α− + = yy xx yy xx y x dW dW dt v v v vv tXd 0 0 )( 0 � или WSddtv v evXd y x �� +           Λ+= 0 , (14) где [ ]Te 0,0,0,1=� ;           α− α−=Λ y x 0 0 10 01 ;      = y x W W W � ;    =           σ σ= DS y x 0 0 0 00 00 , ],[ yxdiagD σσ= . Начальное значение )0(X � (13) является неслучайным вектором T yx vvyX ])0(),0(),0(,0[)0( = � . 4.2. Описание относительного движения самолетов Процесс относительного движения самолетов опишем в общей системе координат xOy (рис. 1). Пусть 0jr � – вектор, соответствующий точке jO начального положения j -го самолета. Тогда вектор относительного положения самолетов равен ( ) 2111112221221020 )()()()()( etyetxetyetxrrtr �� −−++−= . (15) При этом 1020)0( rrr �� −= , а je1 � , je2 � – единичные базисные векторы для соответствующей локальной системы в общей системе координат (рис. 1):       ϕ ϕ = j j je sin cos 1 � ;       ϕ ϕ− = j j je cos sin 2 � . Тогда для вектора )(tr � (15) запишем [ ]           −+= )( )( )( )( )( 2 2 1 1 210 ty tx ty tx UUrtr �� , где ортогональные матрицы 1U и 2U равны       ϕϕ ϕ−ϕ = jj jj jU cossin sincos , 2,1=j (16) или, используя оператор проектирования на пространственные координаты 24: ℜ→ℜxyP ,      = j j jxy y x XP � , где    = 0010 0001 xyP , запишем )()()( 120 tXPtXPrtr xyxy �� ′−′+= . (17) Преобразуем вектор состояний (13) каждого самолета из локальной в общую систему координат, используя соответствующую матрицу (16) поворота на угол jϕ (рис. 1), ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 4 68                         =     =′ )( )( )( )( )( 0 0 )( tv tv U ty tx U tX U U tX yj xj j j j j j j j j � . На основании (14) имеем jj j j yj xj jjj j j j j jj j j WdS U U dt v v UU U U e U U vX U U d ��      +              Λ     +      =            − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 или ( ) jjjjjj WddtXMhXd �� Σ+′+=′ . (18) Здесь e U U vh j j jj ��      = 0 0 0 ;       Λ     = T j T j vj j j j U U P U U M 0 0 0 0 ; j j j j S U U      =Σ 0 0 ; ( TUU =−1 ), (19) 24: ℜ→ℜvP – оператор проектирования на скоростные координаты, такой, что T yjxjjv vvXP ][= � , т.е.    = 1000 0100 vP . Для объединенного вектора состояний для двух самолетов [ ]TTT tXtXtX )()()( 21 ′′=′ �� получим следующее диффузионное уравнение относительного движения самолетов:                     Σ Σ +      ′+ ′+=′ )( )( )( )( 0 0 )( )( )( 2 2 1 1 2 1 222 111 tW tW tW tW ddt tXMh tXMh tXd y x y x �� , (20) где { }2,1),(),( =jtWtW yjxj – взаимно независимые винеровские процессы. Начальное значение для объединенного вектора состояний )0(X ′ � определяется по результатам наблюдения за траекториями полета самолетов на момент времени 0=t :       ′ ′ =′ )0( )0( )0( 2 1 X X X � � � ;                   ϕ ϕ− =′ )0( )0( )0(cos )0(sin )0( 1 1 1 11 11 1 y x v v U y y X � ;                   ϕ ϕ− =′ )0( )0( )0(cos )0(sin )0( 2 2 2 22 22 2 y x v v U y y X � . (21) 5. Определение коэффициентов инфинитезимального оператора для уравнения вероятности конфликта Процесс относительного движения самолетов (20) является диффузионным. Структура дифференциального оператора A в общем случае для многомерного диффузионного процесса ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 4 69 определена в работе [5]. Найдем коэффициенты дифференциального оператора, соответствующего стохастическому дифференциальному уравнению (20), который для заданных условий задачи действует на функцию ),,,,,,,()( 22221111 yxyx vvyxvvyxgXgg == � из )( 82 ℜC по правилу [5]: ,2 2 1 )( )()()( 2 1 2 22 2 2 2 1 ∑ ∑ = =         ∂ ∂γ+ ∂∂ ∂β+ ∂ ∂α+     ∂ ∂−+     + ∂ ∂+−+ ∂ ∂++ ∂ ∂+= j yj j yjxj j xj j yj yjjxjj j xj yjjxjj j yjyj j xjxj v g vv g v g v g vevd v g vdvc y g vb x g vbgA (22) где jjjjjjyjxj edcbb γβα ,,,,,, – заданные числа, и матрицы       γβ βα jj jj положительно определены. Запишем в явном виде вектор h � и матрицы Σ,M (19) для уравнения (18). Вектор h � равен           ϕ ϕ = 0 0 sin cos 0 j j jj vh � . (23) Далее для матрицы M определим             ϕα−ϕα ϕα−ϕα− ϕϕ− ϕϕ =      ϕϕ− ϕϕ           α− α−=Λ jyjjyj jxjjxj jj jj jj jj yj xj T jjU cossin sincos cossin sincos cossin sincos 0 0 10 01 или       =Λ j T jT jj N U U , где       ϕα−ϕα ϕα−ϕα− = jyjjyj jxjjxj jN 22 22 cossin sincos . Тогда    =           = jjj T j j j j NU I N U U U M 0 0 , (24) где       ϕα−ϕα−ϕϕα−α ϕϕα−αϕα−ϕα− = jyjjxjjjxjyj jjxjyjjyjjxj jj NU 22 22 cossincossin)( cossin)(sincos ; I – единичная матрица, и, наконец, матрица Σ равна           ϕσϕσ ϕσ−ϕσ=   =         =∑ jyjjxj jyjjxjjjjj j j DUDU U cossin sincos 00 00 00 0 0 . (25) Теперь найдем матрицу коэффициентов диффузии для объединенного стохастического процесса, описывающего относительное движение самолетов (20), которая определяется как ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 4 70       ΣΣ ΣΣ=    Σ Σ     Σ Σ= T TT TLL 22 11 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 . Для матрицы jΣ (25) имеем ( ) ( )           ϕσ+ϕσϕϕσ−σ ϕϕσ−σϕσ+ϕσ=ΣΣ jyjjxjjjyjxj jjyjxjjyjjxj T jj 222222 222222 cossincossin00 cossinsincos00 0000 0000 . (26) Далее определим для j -й составляющей коэффициент сноса, используя выражения (23), (24):             ϕα+ϕα−ϕϕα−α ϕϕα−α+ϕα+ϕα− +ϕ +ϕ =′+ yjjyjjxjxjjjxjyj yjjjxjyjxjjyjjxj yjjj xjjj jjj vv vv vv vv XMh )cossin(cossin)( cossin)()sincos( sin cos 22 22 0 0 �� . (27) В результате получим выражение для дифференциального оператора (22) с учетом (26), (27): ,)cossin(cossin)(2 )sincos( 2 1 )( )()sin()cos( 2 2 2222 2 22 2 1 2 2 2222 2 1 00     ∂ ∂ϕσ+ϕσ+ ∂∂ ∂ϕϕσ−σ+     + ∂ ∂ϕσ+ϕσ+     ∂ ∂−+     + ∂ ∂+−+ ∂ ∂+ϕ+ ∂ ∂+ϕ= ∑ ∑ = = yj jyjjxj yjxj jjyjxj j xj jyjjxj yj yjjxjj j xj yjjxjj j yjjj j xjjj v g vv g v g v g vevd v g vdvc y g vv x g vvgA (28) где jjxj vb ϕ= cos0 ; jjyj vb ϕ= sin0 ; jyjjxjjc ϕα+ϕα= 22 sincos ; jjxjyjjd ϕϕα−α= cossin)( ; jyjjxjje ϕα+ϕα= 22 cossin ; jyjjxjj ϕσ+ϕσ=α 2222 sincos ; jjyjxjj ϕϕσ−σ=β cossin)( 22 ; jyjjxjj ϕσ+ϕσ=γ 2222 cossin . 6. Заключение Таким образом, рассмотрены обобщенный стохастический метод оценки вероятности конфликта и практическое применение метода, в котором учитывается вероятностный характер возмущений, приводящих к отклонению самолетов от заданных траекторий полета, и корреляционные зависимости отклонений во времени. В результате определены все коэффициенты для инфинитезимального оператора диффузионного процесса, описывающего относительное движение двух самолетов, необходимые для численного решения поставленной задачи оценки вероятности конфликта самолетов на заданном интервале времени ],[ 0 Ttt ∈ . Процедура решения задачи оценки вероятности нарушения нормы безопасного разделения двух самолетов на ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 4 71 интервале времени ],[ 0 Ttt ∈ состоит в вычислении значений определенных коэффициентов дифференциального оператора A (28) для процесса (20) с вектором состояний, включающим отклонения по скорости, которые описываются случайным процессом Орнштейна-Уленбека (9); решении численными методами уравнения (7) в частных производных параболического типа с учетом условия конфликта (3), (17) и нахождении искомой вероятности конфликта (8) ))0(,0( XqPc ′= � . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. System Performance Characteristics of Centralized and Decentralized Air Traffic Separation Strategies / J. Krozel, M. Peters, K.D. Bilimoria, C. Lee and J.S.B. Mitchellin // USA/Europe Air Traffic Management R&D Seminar, Santa Fe. – 2001.– http://atm2001.eurocontrol.fr/finalpapers/pap185.pdf. 2. Kuchar J.K., Yang L.C. A Review of Conflict Detection and Resolution Modeling Methods // IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems. – 2000. – 1(4). – P. 179–189. 3. Stochastic conflict detection model revisited / K. Blin, M. Akian, F. Bonnans, E. Hoffman, C. Martini, K.A. Zenghal // AIAA Guidance, Navigation and Control Conference. – Denver, CO. – 2000. – August. – http://www.eurocontrol.fr/projects/cospace/archive/gnc00.pdf. 4. Bakker G.J., Kremer H.J., Blom H.A.P. Geometric and probabilistic approaches towards conflict prediction // 3rd USA/Europe Air Traffic Management R&D Seminar, Napoli. – 2000. – 13–16 June. – http://atm-seminar- 2000.eurocontrol.fr/acceptedpape rs/pdf/paper60.pdf. 5. Харченко В.П., Кукуш А.Г., Васильев В.Н. Обобщенный стохастический метод оценки характеристик потенциальных конфликтов управляемого воздушного движения // Кибернетика и системный анализ. – 2005. – № 3. – С. 81–93. 6. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. – М.: Физматгиз, 1963. – 859 c. 7. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. – М.: Сов. радио, 1977. – 488 с. 8. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы: Справочник. – К.: Наукова думка, 1983. – 366 с. 9. Paielli R.A. Empirical test of conflict probability estimation // USA/Europe Air Traffic Management R&D Seminar. – Orlando. – 1998. – December. – http://russp.org/CPEtest.pdf.

Стохастический метод прогнозирования конфликтных ситуаций и столкновения самолетов

Репозитарії

Схожі ресурси