Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры
В статье рассмотрены первая и вторая интегральные теоремы о среднем и их обобщения, известные под названием обобщенных теорем. Показано, что при определенных свойствах подынтегральной функции теорема Лагранжа в интегральной форме совпадает с первой интегральной теоремой о среднем. Доказательство вт...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2010
|
| Назва видання: | Штучний інтелект |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58669 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры / Л.П. Мироненко, И.В. Петренко, О.А. Рубцова // Штучний інтелект. — 2010. — № 4. — С. 617-622. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-58669 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-586692014-03-30T04:01:37Z Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры Мироненко, Л.П. Петренко, И.В. Рубцова, О.А. Обучающие и экспертные системы В статье рассмотрены первая и вторая интегральные теоремы о среднем и их обобщения, известные под названием обобщенных теорем. Показано, что при определенных свойствах подынтегральной функции теорема Лагранжа в интегральной форме совпадает с первой интегральной теоремой о среднем. Доказательство второй теоремы о среднем основывается на геометрических соображениях. Основным результатом является простота и изящество доказательств интегральных теорем о среднем по сравнению с традиционным способом, а во второй теореме – даже при меньших ограничениях. У статті розглянуто перша і друга інтегральні теореми про середнє та їх узагальнення, що відомо під назвою узагальнених теорем. Показано, що при певних властивостях підінтегральної функції теорема Лагранжа в інтегральній формі збігається з першою інтегральною теоремою про середнє. Доведення другої теореми про середнє ґрунтується на геометричних міркуваннях. Основним результатом є простота і витонченість доведення інтегральних теорем про середнє порівняно з традиційним способом, а у другій теоремі – навіть за менших обмежень. 2010 Article Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры / Л.П. Мироненко, И.В. Петренко, О.А. Рубцова // Штучний інтелект. — 2010. — № 4. — С. 617-622. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58669 51(071) ru Штучний інтелект Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Обучающие и экспертные системы Обучающие и экспертные системы |
| spellingShingle |
Обучающие и экспертные системы Обучающие и экспертные системы Мироненко, Л.П. Петренко, И.В. Рубцова, О.А. Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры Штучний інтелект |
| description |
В статье рассмотрены первая и вторая интегральные теоремы о среднем и их обобщения, известные под названием обобщенных теорем. Показано, что при определенных свойствах подынтегральной функции теорема Лагранжа в интегральной форме совпадает с первой интегральной теоремой о среднем. Доказательство второй теоремы о среднем основывается на геометрических соображениях. Основным результатом является простота и изящество доказательств интегральных теорем о среднем по сравнению с традиционным способом, а во второй теореме – даже при меньших ограничениях. |
| format |
Article |
| author |
Мироненко, Л.П. Петренко, И.В. Рубцова, О.А. |
| author_facet |
Мироненко, Л.П. Петренко, И.В. Рубцова, О.А. |
| author_sort |
Мироненко, Л.П. |
| title |
Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры |
| title_short |
Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры |
| title_full |
Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры |
| title_fullStr |
Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры |
| title_full_unstemmed |
Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры |
| title_sort |
интегральные теоремы о среднем. подход, основанный на свойствах интегральной меры |
| publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Обучающие и экспертные системы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58669 |
| citation_txt |
Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры / Л.П. Мироненко, И.В. Петренко, О.А. Рубцова // Штучний інтелект. — 2010. — № 4. — С. 617-622. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Штучний інтелект |
| work_keys_str_mv |
AT mironenkolp integralʹnyeteoremyosrednempodhodosnovannyjnasvojstvahintegralʹnojmery AT petrenkoiv integralʹnyeteoremyosrednempodhodosnovannyjnasvojstvahintegralʹnojmery AT rubcovaoa integralʹnyeteoremyosrednempodhodosnovannyjnasvojstvahintegralʹnojmery |
| first_indexed |
2025-07-05T09:51:33Z |
| last_indexed |
2025-07-05T09:51:33Z |
| _version_ |
1836800114806489088 |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 4’2010 617
7М
УДК 51(071)
Л.П. Мироненко1, И.В. Петренко1,2, О.А. Рубцова1
1Донецкий национальный технический университет, Украина
mirleonid@telenet.dn.ua
2Государственный университет информатики и искусственного интеллекта,
г. Донецк, Украина
Интегральные теоремы о среднем. Подход,
основанный на свойствах интегральной меры
В статье рассмотрены первая и вторая интегральные теоремы о среднем и их обобщения, известные
под названием обобщенных теорем. Показано, что при определенных свойствах подынтегральной
функции теорема Лагранжа в интегральной форме совпадает с первой интегральной теоремой о среднем.
Доказательство второй теоремы о среднем основывается на геометрических соображениях. Основным
результатом является простота и изящество доказательств интегральных теорем о среднем по сравнению с
традиционным способом, а во второй теореме – даже при меньших ограничениях.
Введение
Как известно, теорема Лагранжа, которую часто еще называют формулой конеч-
ных приращений Лагранжа, относится к так называемым теоремам о среднем в интег-
ральном исчислении, широко используется в дифференциальном и интегральном ис-
числениях для доказательства ряда математических положений [1-3]. Если говорить
о математической значимости теоремы, то она устанавливает связь между производной
функции (т.е. между предельным переходом отношения бесконечно малых) и конечны-
ми приращениями аргумента и функции. Иначе говоря, она устанавливает переход от
конечных величин к бесконечно малым и наоборот. Этот феномен позволяет легко
переходить от элементарной математики к математическому анализу и обратно, что,
в свою очередь, позволяет легко выводить и доказывать ряд математических положе-
ний. Например, используя теорему Лагранжа, легко выводится правило Лопиталя, ус-
танавливается остаточный член в формуле Тейлора, доказывается равенство смешан-
ных вторых производных функции двух переменных и пр.
Вводя интегральный аналог теоремы Лагранжа, можно сразу получить первую
теорему о среднем в интегральном исчислении; вывести и доказать ряд фундаменталь-
ных положений математического анализа, таких, как формула Ньютона – Лейбница; до-
казать ряд свойств определенного интеграла, не прибегая к понятию интегральной
суммы; доказать теоремы о среднем в интегральном исчислении [4]. В дальнейшем
понадобится понятие и свойства интегральной меры. Свойства меры Eµ измеримого
множества E :
1. Неотрицательность: 0≥Eµ .
2. Монотонность: если 21 EE ⊂ , то 21 EE µµ < .
3. Аддитивность: если ,,...,2,1 , mjiEE ji =≠∅=I то i
m
i
i
m
i
EE µµ ∑
==
=
11
U .
Мироненко Л.П., Петренко И.В., Рубцова О.А.
«Искусственный интеллект» 4’2010 618
7М
1 Теоремы о среднем
Напомним содержание теоремы Лагранжа в дифференциальном исчислении. Ес-
ли функция )(xF непрерывна на отрезке ],[ ba , дифференцируема на интервале ),( ba ,
то существует точка ),( ba∈ξ , такая, что имеет место формула
))(()()( abFaFbF −′=− ξ . (1)
Если функция )(xF является первообразной функции )(xf на отрезке ],[ ba , то,
учитывая формулу Ньютона – Лейбница ∫=−
b
a
dxxfaFbF )()()( и )()( ξξ fF =′ , полу-
чим формулу
, ))(()( abfdxxf
b
a
−=∫ ξ
(2)
которую можно рассматривать как интегральный аналог формулы Лагранжа (1). Об-
ратим внимание на то, что функция )( xf должна быть непрерывной на отрезке ],[ ba .
Кроме того, поскольку ),( ba∈ξ , то Mxfm ≤≤ )( , где M и m максимум и минимум
функции )( xf на отрезке ],[ ba . Так что Mfm ≤≤ )(ξ .
Геометрический смысл формулы для неотрицательной функции )( xf означает,
что всегда найдется такая точка ),( ba∈ξ , что площадь криволинейной трапеции, вы-
ражаемой величиной интеграла, равна площади прямоугольника основанием )( ab −
и высотой )(ξf . Это утверждение хорошо известно в анализе под названием первой
теоремы о среднем [1-3].
Рисунок 1 – Геометрическая иллюстрация первой теоремы о среднем
В обобщенном виде первая теорема о среднем формулируется так.
Первая теорема о среднем. Пусть: функция )(xf непрерывна на отрезке ],[ ba , а функ-
ция )(xg имеет первообразную )( xG и не меняет знак на ],[ ba рис. 1. Тогда сущест-
вует точка ),( ba∈ξ , такая, что
∫∫ =
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf )()()()( ξ . (3)
В случае лишь интегрируемости функции )(xf на ],[ ba , Mm ≤≤∃ µµ, , что в теоре-
ме µξ =)(f .
Следствие. При 1)( =xg на ],[ ba : )()()( abfdxxf
b
a
−⋅=∫ ξ .
Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах...
«Штучний інтелект» 4’2010 619
7М
Доказательство. Применим интегральную теорему Лагранжа к функции )(xf , переписав
ее в виде ∫∫ =
b
a
b
a
dxfdxxf )()( ξ . Произведем замену интегральной меры )(xdGEdx =→ µ .
Обратим внимание на то, что интегральная мера dxxgdxxGxdG )()()( =′= не меняет
знак на отрезке ],[ ba , если функция )(xg будет знакопостоянной на ],[ ba . В резуль-
тате получим:
.)()()()()()()()( ∫∫∫∫ ′⋅=′⇒⋅=
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxGfdxxGxfxdGfxdGxf ξξ
Учитывая, что dxxgdxxGxdG )()()( =′= , окончательно имеем формулу (3).
Замечание. Условие теоремы о знакопостоянстве функции )(xg требуется для того,
чтобы интегральная мера )(xdGE =µ была неотрицательной, т.к. 0)(0)( ≥⇒≥ dxxgxdG .
Учитывая, что 0>dx , следовательно, функция )(xg должна быть знакопостоянной.
Вторая теорема о среднем. Пусть функции )(xf и )(xg непрерывные на отрезке ],[ ba ,
функция )(xf знакопостоянна на ],[ ba , а функция )(xg монотонна на ],[ ba (рис. 2).
Тогда существует точка ),( ba∈ξ , такая, что
∫∫∫ +=
b
a
b
a
dxxfbgdxxfagdxxgxf
ξ
ξ
)()()()()()( . (4)
Доказательство. Доказательство теоремы проведем аналогично тому, как это было сде-
лано в первой теореме о среднем. Сначала рассмотрим частный случай. При 1)( =xf
формула (4) очевидна из геометрических соображений.
))(())(()( ξξ −+−=∫ bbgaagdxxg
b
a
. (5)
Из формулы видно, функция )(xg должна быть непрерывной и монотонной.
Рисунок 2 – Геометрическая иллюстрация второй теоремы о среднем
В силу свойств функции )(xg найдется точка ],[ ba∈ξ , что интеграл ∫
b
a
dxxg )( равен сум-
ме площадей двух прямоугольников высотой )(ag и )(bg основаниями )( a−ξ и )( ξ−b .
21)( SSdxxg
b
a
+=∫ .
Мироненко Л.П., Петренко И.В., Рубцова О.А.
«Искусственный интеллект» 4’2010 620
7М
Перепишем равенство в виде ,)()()( ∫∫∫ +=
b
a
b
a
dxbgdxagdxxg
ξ
ξ
и обобщим его для интег-
ральной меры dxxfdxxFxdFE )()()( =′==µ
,)()()()()()( ∫∫∫ +=
b
a
b
a
xdFbgxdFagxdFxg
ξ
ξ
откуда следует теорема.
Замечание. В стандартном курсе математического анализа доказательство формулы (4)
требует непрерывной дифференцируемости функции )( xg и ее монотонности. Из пред-
ложенного варианта доказательства следует, что теорема остается справедливой и
при более слабых ограничениях – интегрируемости )(xf и непрерывности и монотон-
ности )(xg .
2 Некоторые применения теорем о среднем
Параметризуем дугу L ее длиной ],0[ Ls∈ . Пусть вдоль дуги L непрерывно
распределено вещество. Выделим в точке P x y zi ( , , ) элементарный участок дуги is∆
массой ∆mi. Предел ),,(lim
0
zyx
s
m
i
i
si
ρ=
∆
∆
→∆
называется линейной плотностью вещества в
точкеP x y z( , , ). Очевидно, что элемент массы iii sPm ∆=∆ )(ρ . Определим элементарные
статические моменты y
i
x
i MM ∆∆ , элементов массы дуги im∆ относительно осей x
и y соответственно равенствами ii my ∆⋅ и ii mx ∆⋅ или iii sPx ∆⋅ )(ρ и iii sPy ∆⋅ )(ρ .
Статические моменты yx MM , дуги относительно осей x и y получаются в
результате предельного перехода по s
∫∑∫∑ =∆==∆=
=
→∆
=
→∆
Ln
i
iiis
y
Ln
i
iiis
x dssxsssxPMdssysssyPM
ii 010
010
)()()()(lim ,)()()()(lim ρρρρ . (6)
Применим к этим формулам первую теорему о среднем
∫∫ ==
L
o
y
L
o
x dsssxMdsssyM
00
)()( ,)()( ρρ .
Обозначим oooo ysyxsx == )( ,)( и запишем определения (6) в виде
.)()()( ,)()()(
0000
∫∫∫∫ ==
L
o
LLL
o dssydssysdssxsdssx ρρρρ
Поскольку интеграл ∫
L
dssys
0
)()(ρ равен массе m дуги, то точка ),( oo yxN с коорди-
натами oo yx , означает центр тяжести дуги
.
)(
)()(
,
)(
)()(
0
0
0
0
∫
∫
∫
∫
== L
L
oL
L
o
dss
dssys
y
dss
dssxs
x
ρ
ρ
ρ
ρ
(7)
Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах...
«Штучний інтелект» 4’2010 621
7М
Так, естественным путем возникает следующее определение.
Определение. Центром тяжести дуги называется точка ),( oo yxN , в которой o
x myM = ,
o
y mxM = , т.е. если в эту точку поместить материальную точку с массой m , равной массе
дуги, то точка ),( oo yxN имеет статический момент, равный статическому моменту всей дуги.
Подставим в формулу (7) mdss
L
=∫
0
)(ρ и получим
∫∫ ρ=ρ=
L
o
L
o dssys
m
ydssxs
m
x
00
)()(1 ,)()(1 .
В частности, при const=ρ , имеем Lm ρ= и
∫∫ ==
L
o
L
o dssy
L
ydssx
L
x
00
)(1 ,)(1 . (8)
Аналогично рассматриваются понятия центра тяжести для плоских фигур и тел.
Пусть в некотором объеме V распределено непрерывно вещество. Выделим в точке
P x y zi ( , , ) элементарный объем ∆ ∆ ∆ ∆V x y zi i i i= массой ∆mi. Предел lim ( , , )
∆
∆
∆V
i
ii
m
V
x y z
→
=
0
ρ
называется объемной плотностью вещества в точкеP x y z( , , ). Очевидно, что элемент
массы ∆ ∆m P Vi i i= ρ( ) . Просуммируем это выражение по всему объему V и перейдем
к пределу ∆Vi → 0, получим массу тела ∫∫∫∑ =∆=
=
→∆
V
n
i
iiV
dxdydzzyxVPM
i
),,()(lim
10
ρρ .
Статический момент тела V относительно любой пары осей, например, осей Ох
и Оу определяется как
∫∫∫∑ =∆=
=
→∆
V
n
i
iiVxy dxdydzzyxzmzS
i
),,(lim
10
ρ .
Применим первую теорему о среднем
MzdxdydzzyxzdxdydzzyxzS o
V
o
V
xy === ∫∫∫∫∫∫ ),,(),,( ρρ ,
запишем определения (6) в виде
.
),,(
),,(
),,(),,(
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫ =⇒=
V
V
o
V
o
V dxdydzzyx
dxdydzzyxz
zdxdydzzyxzdxdydzzyxz
ρ
ρ
ρρ
Определение. Точкой центра тяжести M x y z0 0 0 0( , , ) тела V называется точка, в которой
статические моменты относительно координатных осей равны соответствующим
статическим моментам тела V . Другими словами, Mx S My S Mz Syz xz xy0 0 0= = =, , .
Откуда следует
.
),,(
),,(
,
),,(
),,(
,
),,(
),,(
000
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
ρ
ρ
=
ρ
ρ
=
ρ
ρ
=
V
V
V
V
V
V
dxdydzzyx
dxdydzzyxz
z
dxdydzzyx
dxdydzzyxy
y
dxdydzzyx
dxdydzzyxx
x
Полученные формулы справедливы для плоских фигур D :
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
ρ
ρ
=
ρ
ρ
=
D
D
D
D
dxdyyx
dxdyyxy
y
dxdyyx
dxdyyxx
x
),(
),(
,
),(
),(
00 .
Мироненко Л.П., Петренко И.В., Рубцова О.А.
«Искусственный интеллект» 4’2010 622
7М
Здесь
i
i
S S
myx
i ∆
∆
=
→∆ 0
lim),(ρ – поверхностная плотность массы в области D , ∫∫=
D
dxdyyxM ),(ρ –
масса плоской фигуры D .
Рассмотрим формулу для площади поверхности тела, полученного вращением гра-
фика ),(xyy = 0>y вокруг оси Ox ∫π=
b
a
r
r
trdtyS )()(2 r . Применим к формуле первую
теорему о среднем ∫=
b
a
o
r
r
trdtyS )()(2 rπ . Учтем, что ,)( L
r
r
trd
b
a
=∫
r имеем LyS oπ= 2 . В резуль-
тате приходим к теореме Гульдина: площадь S поверхности, полученная от вращения
дуги вокруг некоторой оси, равна длине этой дуги L, умноженной на длину окруж-
ности, описанной центром тяжести этой дуги LyS oπ= 2 .
Заключение
В работе показана связь между первой теоремой о среднем и теоремой Лагранжа в
интегральной форме. Установлено, что при определенных свойствах подынтегральной фун-
кции теорема Лагранжа в интегральной форме совпадает с первой теоремой о среднем.
Преимуществом подхода является доказательство интегральных теорем о среднем
более простым способом по сравнению с традиционным. При этом доказательство
обеих теорем проведено в единой манере с использованием элементов теории меры.
Предложенный метод является более эффективным, чем общепринятый, и приводит
к тому же результату при меньших ограничениях. Например, во второй теореме о
среднем функция )(xg не обязана быть дифференцируемой, а достаточно, чтобы она
была только непрерывной.
Весьма плодотворным оказалось применение первой теоремы о среднем к неко-
торым физическим приложениям определенного интеграла. Например, определение
центра тяжести тела более естественно вводить, используя теорему о среднем, чем это
принято традиционным способом. Аналогично теорема Гульдина следует из формулы
для площади поверхности тела вращения сразу после применения теоремы о среднем.
Литература
1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ / Кудрявцев Л.Д. – М. : Наука,1970. – Т. 1. – 571 с.
2. Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М. : Изд. ФМЛ, 1956. –
Т. 1. – 472 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Фихтенгольц Г.М. – М. :
Наука, «ФМЛ», 1972. – Т. 2. – 795 с.
4. Мироненко Л.П. Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интег-
ралу / Л.П. Мироненко, Н.А. Прокопенко // Сборник научно-методических работ. – 2009. – Вып. 6. –
С. 119-126.
5. Ильин В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М. : Наука, «Физматлит», 1999. – 296 с.
Л.П. Міроненко, І.В. Петренко, О.А. Рубцова
Інтегральні теореми про середнє. Підхід, заснований на властивостях інтегральної міри
У статті розглянуто перша і друга інтегральні теореми про середнє та їх узагальнення, що відомо під
назвою узагальнених теорем. Показано, що при певних властивостях підінтегральної функції теорема
Лагранжа в інтегральній формі збігається з першою інтегральною теоремою про середнє. Доведення
другої теореми про середнє ґрунтується на геометричних міркуваннях. Основним результатом є простота і
витонченість доведення інтегральних теорем про середнє порівняно з традиційним способом, а у
другій теоремі – навіть за менших обмежень.
Статья поступила в редакцию 05.07.2010.
|