Метод фантомов для разреженных антенных решёток
Рассмотрены вопросы диаграммообразования в М канальных, эквидистантных, линейных решётках с межэлементным расстоянием большим полуволны, но меньшим длины волны, введением М-1 фантомных каналов на место пропущенных путём интерполяции на множестве М комплексных, пространственных отчётов....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Науково-технічний центр панорамних акустичних систем НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану) |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60202 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод фантомов для разреженных антенных решёток / Р.А. Зацерковский, К.В. Ковальчук, О.В. Смидович // Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану): Зб. наук. пр. — Запоріжжя: НТЦ ПАС НАН України, 2010. — № 7. — С. 107-117. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-60202 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-602022014-04-13T03:01:50Z Метод фантомов для разреженных антенных решёток Зацеркоский, Р.А. Ковальчук, К.В. Смидович, О.В. Рассмотрены вопросы диаграммообразования в М канальных, эквидистантных, линейных решётках с межэлементным расстоянием большим полуволны, но меньшим длины волны, введением М-1 фантомных каналов на место пропущенных путём интерполяции на множестве М комплексных, пространственных отчётов. Розглянуті питання діаграмоутворення в М канальних, еквідистантних, лінійних решітках з між елементною відстанню, більшою від половини та меншою від довжини хвилі, введенням М-1 фантомних каналів на місце пропущених шляхом інтерполяції на множині М комплексних просторових відліків. The questions of beam forming in the M channel, line, equidistance arrays with interval between receiving elements more then half length of the wave, but less then length of the wave, by introduction phantom channels in place of allowed channels by interpolation signal of M-1 phantom channels on great number M of the complex, space sample are discussed. 2010 Article Метод фантомов для разреженных антенных решёток / Р.А. Зацерковский, К.В. Ковальчук, О.В. Смидович // Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану): Зб. наук. пр. — Запоріжжя: НТЦ ПАС НАН України, 2010. — № 7. — С. 107-117. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1815-8277 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60202 621. 396. 673. 4 ru Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану) Науково-технічний центр панорамних акустичних систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрены вопросы диаграммообразования в М канальных, эквидистантных, линейных решётках с
межэлементным расстоянием большим полуволны, но меньшим длины волны, введением М-1 фантомных
каналов на место пропущенных путём интерполяции на множестве М комплексных, пространственных отчётов. |
| format |
Article |
| author |
Зацеркоский, Р.А. Ковальчук, К.В. Смидович, О.В. |
| spellingShingle |
Зацеркоский, Р.А. Ковальчук, К.В. Смидович, О.В. Метод фантомов для разреженных антенных решёток Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану) |
| author_facet |
Зацеркоский, Р.А. Ковальчук, К.В. Смидович, О.В. |
| author_sort |
Зацеркоский, Р.А. |
| title |
Метод фантомов для разреженных антенных решёток |
| title_short |
Метод фантомов для разреженных антенных решёток |
| title_full |
Метод фантомов для разреженных антенных решёток |
| title_fullStr |
Метод фантомов для разреженных антенных решёток |
| title_full_unstemmed |
Метод фантомов для разреженных антенных решёток |
| title_sort |
метод фантомов для разреженных антенных решёток |
| publisher |
Науково-технічний центр панорамних акустичних систем НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60202 |
| citation_txt |
Метод фантомов для разреженных антенных решёток / Р.А. Зацерковский, К.В. Ковальчук, О.В. Смидович // Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану): Зб. наук. пр. — Запоріжжя: НТЦ ПАС НАН України, 2010. — № 7. — С. 107-117. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану) |
| work_keys_str_mv |
AT zacerkoskijra metodfantomovdlârazrežennyhantennyhrešëtok AT kovalʹčukkv metodfantomovdlârazrežennyhantennyhrešëtok AT smidovičov metodfantomovdlârazrežennyhantennyhrešëtok |
| first_indexed |
2025-07-05T11:19:58Z |
| last_indexed |
2025-07-05T11:19:58Z |
| _version_ |
1836805677497974784 |
| fulltext |
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2010 (№ 7)
107
УДК 621. 396. 673. 4
МЕТОД ФАНТОМОВ ДЛЯ РАЗРЕЖЕННЫХ АНТЕННЫХ РЕШЁТОК
© Р.А. Зацерковский, К.В. Ковальчук, О.В. Смидович, 2010
Государственное предприятие Киевский НИИ гидроприборов
Розглянуті питання діаграмоутворення в М канальних, еквідистантних, лінійних решітках з між
елементною відстанню, більшою від половини та меншою від довжини хвилі, введенням М-1 фантомних
каналів на місце пропущених шляхом інтерполяції на множині М комплексних просторових відліків.
Рассмотрены вопросы диаграммообразования в М канальных, эквидистантных, линейных решётках с
межэлементным расстоянием большим полуволны, но меньшим длины волны, введением М-1 фантомных
каналов на место пропущенных путём интерполяции на множестве М комплексных, пространственных отчётов.
The questions of beam forming in the M channel, line, equidistance arrays with interval between receiving
elements more then half length of the wave, but less then length of the wave, by introduction phantom channels in place
of allowed channels by interpolation signal of M-1 phantom channels on great number M of the complex, space sample
are discussed.
АНТЕННАЯ РЕШЕТКА, ДЛИНА ВОЛНЫ, МЕТОД ФАНТОМОВ,
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ
1. Постановка задачи
Во многих практически важных приложениях остронаправленные, линейные -
одномерные, двумерные радиолокационные, гидроакустические антенные решётки с
волновыми размерами D/λв>> 1 (λв - наименьшая длина волны пространственной гармоники в
раскрыве), выполняющие дискретизацию полевой функции по пространственной координате
с шагом bо≤λв/2, могут содержать большое число элементов - M=D/bо≈1000 [1].
Известны разреженные, неэквидистантные решётки с элементами, распределёнными
по случайному, детерминированному закону в раскрыве [2]. В работе [3] рассмотрены
вопросы управления лучом в решётке введением фантомных приёмников, интерполяцией
вещественных отсчётов физических приёмников.
Задача уменьшения числа элементов в линейной эквидистантой антенной решётке с
регенерацией пропущенных - фантомных отсчётов путём интерполяции рассматривается
ниже.
Поле плоских волн с ограниченным пространственным спектром по координате х
может быть задано своими отсчётами в эквидистантных узлах решётки.
Теорема отсчётов Найквист-Котельникова требует для сохранения информации не
менее двух независимых отсчётов за период высшей частоты дискретизируемой функции.
В качестве отсчётов могут быть взяты:
- отсчёты действительной функции в узлах дискретизации с шагом bо≤0.5λв;
- отсчёты огибающей и фазы действительной функции в узлах дискретизации с шагом
0.5λв<b< λв;
- отсчёты комплексной функции в узлах дискретизации с шагом 0.5λв<b<λв.
В двух последних вариантах дискретизации число элементов решётки уменьшается
примерно в два раза.
Поле плоской волны с углом прихода θ в линейном раскрыве X задаётся комплексной
функцией U(x, θ):
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2010 (№ 7)
108
U(x, θ)=exp{i·[(w (θ)·x]+α }; θ=[0, π] ; (1)
w(θ =2·π·cos(θ)/ λ; (2)
w(θ) - пространственная частота;
θ – угол прихода плоской волны (угол между волновым вектором и осью ОX);
α – случайная фаза.
Функция U(x, θ) может быть приближена в линейном раскрыве [0, Х] обобщённым
рядом Фурье по полной системе комплексных, ортогональных функций ψ(m,x):
( , ) ( , ),
( , ) ( , ) ( , ); 0, 1.
m
U x U x
U x A m m x m M
θ θ
θ θ ψ
≈
= = −∑
%
%
(3)
Целью работы является исследование вопросов восстановления полевой функции в
линейном раскрыве по её комплексным отсчётам в эквидистантных узлах решётки с шагом b
- 0.5·λв<b< λв и решение на этой основе задачи диаграммообразования в разреженных
антенных решётках.
2. Интерполяция в пространстве комплексных отсчётов
Идеальный комплексный низкочастотный пространственный сигнал s(x) с модулем
граничной частоты Wв, в котором действительная и мнимая части связаны преобразованием
Гильберта, является аналитической функцией с вещественным спектром S(w)=So и может
быть определён через обратное преобразование Фурье [4]:
s(x) = (1/2·π) ( ) exp( )S w i w x dw
∞
−∞
⋅ ⋅ ⋅∫ . (4)
Согласно (2) для углов прихода плоской волны θ € [0, π/2) пространственные частоты
w(θ) положительны:
w(θ) € [Wв, 0) ; (5)
для углов θ € (π/2, π] пространственные частоты отрицательны:
w (θ) € (0, -Wв] ; (6)
для угла θ = π/2:
w (π/2)=0 ; (7)
с учётом (5)-(7) получим из (4) для s(x, θ):
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2010 (№ 7)
109
s(x, θ)= 0
2
BS W
π
⋅
⋅
{sin(Wв·x)/(Wв·x)+i ·sign[w(θ)] ·sin²(Wв·x/2)/Wв·x/2}; (8)
[ ]
1 ( ) 0
( ) 0 ( ) 0
1 ( ) 0
w
sign w w
w
θ
θ θ
θ
>
= =
− <
.
Скалярное произведение комплексных функций s(x, θ) и ŝ (x -∆x, θ), определённых на
интервале [0, X], равно:
ˆ( ) ( , ) ( , )
x
K x s x s x x dxθ θ∆ = ⋅ − ∆ ⋅∫ , x = [0,X], (9)
ŝ(x, θ) – функция, комплексно сопряжённая s(x, θ).
Согласно формуле Рэлея скалярное произведение K(x) комплексных функций s(x, θ) и
ŝ(x –∆x, θ) можно представить через интеграл Фурье [5]:
2
0
0
1
( ) exp( )
2
BW
K x S i w x dw
π
∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ ⋅
⋅ ∫ . (10)
После интегрирования по w получим для K(∆x):
2
0 sin( / 2)
( ) exp( / 2)
2 / 2
B B
B
B
S W W x
K x i W x
W xπ
⋅ ⋅∆∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆ ⋅
⋅ ⋅∆
. (11)
Приравнивая правую часть (9) нулю, находим значения ∆x, при которых
корреляционный интеграл (11) обращается в ноль. Из:
Wв·∆x/2=m·π; Wв= 2·π/λв ;
следует
∆x=m·λв ; m=1, 2. (12)
В формулах (8)-(10) спектральная плотность So положительная постоянная величина и
может быть выбрана из условия нормировки K(∆x) при ∆x=0:
K(0)=2·π/Wв .
Подставляя ∆x=0 в правую часть (11) и приравнивая K(0)=2·π/Wв, найдём:
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2010 (№ 7)
110
2
02
2
B
B
S W
W
π
π
⋅⋅ =
⋅
,
So = (2·π / Wв)
. (13)
Множество нормированных, ортогональных функций {ψ(x,m, θ)}
ψ(x,m, θ)=ŝ(x-m·λв, θ), (14)
определённых формулами (8), (13) на интервале [0, X], смещённых относительно друг друга
на ∆x=m·λв образуют линейный базис для разложения (3).
[ ] [ ] [ ]2sin 2 ( / ) sin ( /
( , , ) ( )
2 ( / ) ( /
B B
B B
x m x m
x m i sign w
x m x m
π λ π λ
ψ θ θ
π λ π λ
⋅ ⋅ − ⋅ −
= − ⋅ ⋅
⋅ ⋅ − ⋅ −
. (15)
Коэффициенты разложения A(θ, n) найдём, подставив в левую и правую части (3)
значение аргумента xn:
хn=n·λв; n=0,. M-1.
Учитывая, что из (15) следует ψ(xn,m)=δn,m, получим для A(θ, n):
A(θ, n)=U (xn, θ); n = 0,.. M-1. (16)
Разложение (3) для функции Ũ (x, θ) с учётом (15), (16) принимает вид:
[ ] [ ] [ ]2sin 2 ( / sin ( /
( , ) ( , ) ( )
2 ( / ( /
B B
m
m B B
x m x m
U x U x i sign w
x m x m
π λ π λ
θ θ θ
π λ π λ
⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −
∑% . (17)
Для углов прихода θ=0 ; θ=π ; θ=π/2;
w(0)=Wв; w(π)=-Wв; w(π/2)=0;
U(xm, θ=0)=exp{i·[(Wв·m·λв)+α(0)]}=exp{i ·[(2·π·m+α(0)]}=exp[i ·α(0)];
U(xm, θ=π)=exp{i·[(-Wв·m·λв)+α(π)]}=exp{i ·[(-2·π·m+α(π)]}=exp[i ·α(π)];
U(xm, θ=π/2)=exp{i·[(0·m·λв)+α(π/2)]}=exp[i ·α(π/2)].
Отсчёты пространственной гармоники нулевой частоты w(π/2)=0 отличаются в узлах
интерполяции постоянным фазовым множителем от аналогичных отсчётов
пространственных гармоник на частотах w(0)=Wв, w(π)=-Wв, и восстанавливаются в
промежуточных точках - х процедурой интерполяции (14) в гармонический
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2010 (№ 7)
111
пространственный сигнал с частотой Wв, что приводит к искажению сигнала на
пространственной частоте w(π/2)=0.
Формула (17) даёт приближение U(x, θ) на полуинтервалах определения переменной θ
- [0, π/2), (π/2, π].
Оценка пространственной гармоники нулевой частоты - C(θ=π/2) может быть найдена
усреднением последовательности U(xm, θ) по раскрыву, а формула (16) должна применяться
к отсчётам последовательности переменной составляющей - u(xm, θ) пространственного
сигнала - U(xm, θ) после отделения от постоянной составляющей C(θ=π/2):
C(θ=π/2)=С≈M‾ ¹· ( , )m
m
U x θ∑ , (18)
u(xm, θ)=U(xm, θ)–C. (19)
С учётом (17)-(19) значения полевой функции в точке xµ линейного раскрыва ОX для
углов прихода - θ из закрытого интервала [0, π] по её комплексным отсчётам U(xm, θ) в узлах
решётки - m·b, расставленных с шагом 0.5 λв<b≤λв, можно представить в виде:
Z (xµ,θ) = ( , , )
m
V mµ θ∑ , (20)
где
[ ]
2
( , , )
sin ( sin ( ) / 2
( , ) ( ) .
( ( ) / 2
B B B B
m
m B B B B
V m C
W x m W x m
u x i sign w
W x m W x m
µ µ
µ µ
µ θ
λ λ
θ θ
λ λ
= +
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
∑
(21)
Распределение поля в раскрыве, заданное комплексными отсчётами сигнала в узлах
линейной эквидистантой М=31-й элементной решётки с волновым расстоянием между
приёмниками b=0.9·λв и рассчитанное в промежуточных точках хµ=µ·b/16 для угла
скольжения θ=3º по формулам (18), (19), (21) Найквист–Котельниковской интерполяции,
представлено на рис. 1. Непрерывными линиями обозначены точные значения вещественной
части комплексной полевой функции - Re[U[хµ,θ(j)]], пунктирными линями – их
интерполированные значения - Re[Z[хµ, θ(j)]]. Нормированная на единичную амплитуду
среднеквадратичная ошибка σ[∆Re[Z[θ(j)]]]= { }
1/2
2
Re , ( ) , ( ) / 512U x j Z x jµ µ
µ
θ θ
−
∑
приближения функции Re{U[хµ, θ(j)]}, рассчитанная на 512 точках для углов θ(j)=3º; 48º; 93º,
равна 14%; 6%; 16%.
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2010 (№ 7)
112
0 50 100 150 200 250 300
1
0
1
Re U µ 2,( )( )
Re Z µ 2,( )( )
µ
Рис. 1
3. Диаграммообразование в разреженных линейных решётках
В разреженных решётках с шагом между приемниками 0.5·λ<b<λ для исключения
эффекта появления дополнительных максимумов в диаграмме формируемого луча r(j, γ)
операция фазирования применяется к комплексной выборке, включающей М отсчётов{U(xm,
θ)} сигналов физических и М-1 отсчётов {Z(x µ, θ)} фантомных приёмников, вставленных
между ними по формулам (17)-(19) с учётом знака пространственной частоты -sign [w(θ)].
( , ) ( , ( )) ( , )r j Z x j hµ
µ
γ θ µ γ= ⋅∑ , ( , ) ( , ( )) ( , )R j U x j hµ
µ
γ θ µ γ= ⋅∑ , (22)
h(µ, γ)=В(µ)·exp[-i·2·π·µ·(bо/λо)·cos[φ (γ)]] ;
µ=0, 1, 2·M-2; γ=0,1.N-1; N=180;
(23)
λо - длина волны на средней частоте,
h(µ, γ) – комплексный коэффициент амплитудно-фазового распределения в
пространстве отсчётов 2·(M-1) физических приёмников, расставленных с шагом bо=b/2,
В(µ) - коэффициент амплитудного распределения в µ-ом узле 2·(M-1) элементной
решётки с межэлементным расстоянием bо=b/2,
φ (γ) - угол ориентации луча γ=0,1…N-1; N=180,
θ(j) - угол прихода плоской волны j=0,1…J-1; J=180.
На рис. 2 непрерывной и штриховой линиями представлены диаграммы
направленности R(j, γ) 31-й элементной, эквидистантой, линейной решётки физических
приёмников, расставленных с шагом bо=0.45·λв и равномерным амплитудным
распределением, пунктирными линиями - диаграммы направленности r(j, γ) линейной
разреженной 16-ти элементной решётки физических приёмников, расставленных с шагом
b=0.9·λв и равномерным амплитудным распределением, дополненной 15-ю фантомными
приёмниками между ними, для углов ориентации луча - φ(γ)=60°, 120°.
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2010 (№ 7)
113
Рис. 2
Рассчитанная по формуле (24) среднеквадратичная ошибка характеристики
направленности - r(j, γ) решетки, содержащей 16 физических и 15 фантомных приёмников,
введённых по формулам (18), (19), (21), для углов ориентации луча - ψ(γ)=60°; 120° и
нормированная на максимум главного лепестка 2·(М-1)-канальной решётки физических
приёмников составляет - σ[∆ r(γ)]≈2%.
[ ]
{ }
1/2
21(2 1) ( , )
( )
( , )max
j
M R j
r
R j
γ
σ γ
γ
−
⋅ − ⋅
∆ =
∑
,
θ(j)=π·j/J, j=0,1.. J-1; J=180.
(24)
Аналогичным путём могут быть получены комплексные коэффициенты интерполяции
h(m,µ,j,n,ν,k) для эквидистантной, двумерной плоской разреженной Мx×My канальной
решётки - λв/2<bx≤λв; m=0,1, Mx–1; λв/2<by≤λв, n=0,1, My–1; с углами прихода плоской волны
θ(j)=[0, π], η(k)=[0, π] .
Обсуждение результатов
Подставляя Z[xµ, θ(j)] из (20) в (22) и, меняя порядок суммирования, получим:
[ ]
[ ] [ ]1
( , ) , ( ) ( , ) , , ( ) ( , )
, ( ) ( , ) , ( )
m
m m
m m
r j Z x j h V m j h
M x j h u x j
µ
µ µ
µ
γ θ µ γ µ θ µ γ
θ µ γ θ−
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ + ×
∑ ∑∑
∑ ∑ ∑
(25)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0
0.5
1
R j 120,( )
r j 120,( )
R j 60,( )
r j 60,( )
j
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2010 (№ 7)
114
[ ]
[ ] [ ] [ ]
2sin ( sin ( ) / 2
( ) ( , )
( ( ) / 2
( ) ( ) , ( ) , , ( ) ,
B B B B
B B B B
m
m
W x m W x m
i sign w j h
W x m W x m
U j H u x j g m sign w j
µ µ
µ µ µ
λ λ
θ µ γ
λ λ
θ γ θ γ θ
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ × − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
= ⋅ + ⋅
∑
∑
[ ] [ ]1 , ( ) ( )m
m
M U x j U jθ θ− ⋅ =∑ , (26)
( , ) ( )h H
µ
µ γ γ=∑ , (27)
( )
( ) [ ] ( )
( )
[ ]
2sin sin / 2
( ) ( ,
/ 2
, , ( ) ,
B B B B
B B B B
W x m W x m
i sign w j h
W x m W x m
g m sign w j
µ µ
µ µ µ
λ λ
θ µ γ
λ λ
γ θ
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅
=
∑
(28)
[ ]0
0
( ) ( , ) ( ) exp 2 cos ( )
b
H h B i
µ µ
γ µ γ µ π ϕ γ
λ
= = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∑ ∑ . (29)
Полагая в (29) В(µ)=1, µ=0,2·М-2, найдём:
[ ]
[ ]
[ ]
0
00
0 0
0
sin 2 ( 1) cos ( )
( ) exp 2 ( 1) cos ( )
sin cos ( )
b
M
b
H i M
b
π ϕ γ
λ
γ π ϕ γ
λ
π ϕ γ
λ
⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
⋅
. (30)
При угле ориентации луча φ(γ)=γ·π/N, γ=N/2; N=180:
1
2 1; ( ) 1;
( / 2)
2 ( 1) ; (2 1) ( ); ( ) 1
M B
H N
M B B M B B
µ
µ
γ
µ µ−
⋅ − =
= =
⋅ − ⋅ = ⋅ − ≠∑
, (31)
[ ]
[ ]
2
( , / 2, ( ( ))
sin ( ) sin ( ) / 2
( ) ( ) .
( ) ( ) / 2
B B B B
B B B B
g m N sign w j
W x m W x m
i sign w j B
W x m W x m
µ µ
µ µ µ
γ θ
λ λ
θ µ
λ λ
= =
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
∑
(32)
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2010 (№ 7)
115
Для пространственной гармоники с углом прихода волны θ(j)≠π/2 и М>>1:
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
1 1
sin cos ( )
( ) , ( ) 1
sin cos ( )
m
m
b
M j
U j M U x j M
b
j
π θ
λθ θ
π θ
λ
− −
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ <
⋅ ⋅
∑ . (33)
При угле θ(j)=π/2 из (1), (2), (19) следует:
u[xm, θ(j)=π/2)]=0. (34)
Выражение для r(j, γ) из (25) для γ=N/2 с учётом (31), (33), (34) принимает вид:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
, /2 , /2
, /2 , /2
( , / 2)
2( 1) ( ) (1 ) , ( ) , / 2, ( ) ; ( ) 1;
2( 1) ( ) (1 ) , ( ) , / 2, ( ) ; ( ) 1.
j N j N m
m
j N j N m
m
r j N
M U j u x j g m N sign w j B
M BU j u x j g m N sign w j B
θ δ δ θ γ θ µ
θ δ δ θ γ θ µ
≈
− + − = =
≈
− + − = ≠
∑
∑
(35)
Представление r(j, γ) в виде (25) означает, что введение в разреженную линейную
эквидистантную решётку из М физических приёмников с межэлементным расстоянием
λв/2<b<λв фантомных (М-1) приёмников путём интерполяции пропущенных отсчётов по
комплексным отсчётам U[xm, θ(j)] физических приёмников согласно (18)-(21) соответствует
переходу к модифицированному комплексному амплитудно-фазовому распределению
{g[m,γ,sign[w[θ(j)]]]} в М физических узлах решётки, образованному интерполяцией на
множестве отсчётов известного амплитудно-фазового распределения {h(µ, γ)} в 2·(М-1) узлах
решётки {xµ} с межэлементным расстоянием bо≤λв/2 по формуле (28).
При наличии в памяти процессора предвычисленных комплексных коэффициентов
{g[m,γ,sign[w[θ(j)]]]}, H(γ) для трех значений sign[w(θ(j)] и N значений угла ориентации φ(γ)
формирование единичного луча в разреженной М-канальной решетке по формуле (25)
позволяет исключить процедуру интерполяции пропущенных отсчетов (21), требующую
2·М·(М-1) арифметических операций с комплексными числами.
Пространственная частота w(θ), определяемая согласно (2), меняет знак при переходе
угла скольжения θ через π/2, что приводит к двум различным формулам интерполяции в
пространстве комплексных отсчётов и коэффициентам модифицированного амплитудно-
фазового распределения. Ошибка в выборе знака пространственной частоты w(θ) ведёт к
появлению фантомного луча с диаграммой r ' (j,γ)=r(j,N/2-γ). В антенных системах с
направленным излучением знак пространственной частоты sign[w(θ)] определяется
направлением излучения и, чтобы исключить появление фантомного луча, достаточно
задать:
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2010 (№ 7)
116
sign[w(θ)]>0 для углов прихода волны θ=[0, π/2),
sign[w(θ)]<0 для углов прихода волны θ=(π/2, 0].
Для ориентации луча под углом φ(γ)=π/2 к линейной решётке sign (w(θ))=0.
В случае неизвестного угла прихода сигнала θ в каждом временном периоде
обработки ∆t требуется измерение знака пространственной частоты w(θ). Задача может быть
решена добавлением в разреженную М-элементную линейную решётку единичного
физического приёмника в точке с координатой x(m)+b/2 между двумя соседними - m-ом и
(m+1)-ом приёмниками. Знак пространственной частоты w(θ) определяется специальной
фазовой обработкой:
U(m, θ)=exp[i·[w(θ)m·b+α]]; w(θ)=2·π·cos(θ)/λ;
U(m +1/2, θ)=exp[i·[w(θ)·(m+1/2)·b+α]];
U(m, θ)/U(m+1/2, θ)=exp[i·Ф(θ)]=exp[-i·w(θ)·b/2].
На полуинтервалax θ€[0, π/2), θ€(π/2, π]:
Ф(θ)=arctg{Im[U(m, θ)/U(m+1/2, θ)]/Re[U(m, θ)/U(m+1/2, θ)]}=- w(θ)·b/2;
sign[w(θ)]=sign[-Ф(θ)·2/b]=sign[-Ф(θ)];
sign[w(θ)]=sign[-arctg{Im[U(m, θ)/U(m+1/2, θ)]/Re[U(m, θ)/U(m+1/2, θ)]}];
sign[w(θ)]=0, если Im[U(m, θ)]=Im[U(m+1/2, θ)]; Re[U(m, θ)=Re[U(m+1/2, θ).
Заключение
Приведен алгоритм Найквист-Котельниковской интерполяции комплексных отсчётов
пространственных сигналов, заданных в узлах разреженной линейной эквидистантной
решётки с межэлементным расстоянием - λв/2<b≤λв.
Обоснована необходимость учёта знака пространственной частоты при интерполяции
и указан способ его определения.
Приведено выражение для коэффициентов модифицированного амплитудно-фазового
распределения в разреженной антенной решетке, не требующее интерполяции пропущенных
отсчетов в живом времени при формировании луча.
Путём моделирования предложенного алгоритма получены оценки
среднеквадратичной ошибки приближения пространственного сигнала по его комплексным
отсчётам в узлах прореженной решётки и среднеквадратичной ошибки диаграммы
направленности линейной решётки с физическими и фантомными приёмниками.
Метод фантомов может быть использован для:
- регенерации отказавших каналов в «канонической» - эквидистантной линейной
решётке с межэлементным расстоянием - bо<λв/2,
- уменьшения аппаратных затрат на реализацию антенной решётки и аппаратуры
аналоговой обработки, требований к производительности средств цифровой обработки,
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2010 (№ 7)
117
пропорциональных числу каналов, переходом к разреженной решётке с межэлементным
расстоянием - λв/2<b≤λв,
- управления распределением приёмников в решётке в задачах оптимизации
диаграммы направленности.
Литература
1. Вендик О.Г., Парнес М.Д. Антенны с электрическим сканированием. Москва 2002 САЙНС - ПРЕСС.
С. 216 - 218.
2. Воскресенский Д.И., Гостюхин В.Л , Гринева К.И и др. Антенны: Современное состояние и
проблемы) М. « Советское радио ». 1979. с 65 - 68.
3. Глазьев В.И., Зацерковский Р.А., Смидович О.В. Метод фантомов в теории антенных решёток.
КИЇВ. ІГМ НАН УКРАЇНИ. АКУСТИЧНИЙ СИМПОЗІУМ « КОНСОНАНС - 2003 ».с. 67 -72.
4. Зиновьев А.П. Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей. М « ВЫСШАЯ ШКОЛА » 1975.
с.37.
5. Баскаков В.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М. Высшая школа. 1983.с .78.
|