Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса

Изучается влияние относительных законов переноса при использовании рассмотренного ранее преобразования нестационарных трехмерных интегро-дифференциальных транспортных уравнений радиационного теплопереноса для расширения их решения....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
1. Verfasser:	Репухов, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут технічної теплофізики НАН України 2011
Schriftenreihe:	Промышленная теплотехника
Schlagworte:	Термодинамика и процессы переноса
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60425
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса / В.М. Репухов // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 6— С. 80-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-60425
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-604252014-04-16T03:01:30Z Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса Репухов, В.М. Термодинамика и процессы переноса Изучается влияние относительных законов переноса при использовании рассмотренного ранее преобразования нестационарных трехмерных интегро-дифференциальных транспортных уравнений радиационного теплопереноса для расширения их решения. Вивчається вплив відносних законів переносу при влаштуванні одержані раніш перетворення нестаціонарних тримірних інтегродиференціальних транспортних рівнянь радiацiйного теплопереносу для розширювання їх рішення. We study the influence of the relative laws and themes uniform transfer laws with the transformation of nonstationary three-dimensional integrodifferential transport equations of radiative heat transfer for extending its solutions and so it is presented the test of the transformation. 2011 Article Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса / В.М. Репухов // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 6— С. 80-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0204-3602 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60425 536.24:532.526:533.001.16 ru Промышленная теплотехника Інститут технічної теплофізики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Термодинамика и процессы переноса Термодинамика и процессы переноса
spellingShingle	Термодинамика и процессы переноса Термодинамика и процессы переноса Репухов, В.М. Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса Промышленная теплотехника
description	Изучается влияние относительных законов переноса при использовании рассмотренного ранее преобразования нестационарных трехмерных интегро-дифференциальных транспортных уравнений радиационного теплопереноса для расширения их решения.
format	Article
author	Репухов, В.М.
author_facet	Репухов, В.М.
author_sort	Репухов, В.М.
title	Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса
title_short	Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса
title_full	Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса
title_fullStr	Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса
title_full_unstemmed	Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса
title_sort	расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса
publisher	Інститут технічної теплофізики НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Термодинамика и процессы переноса
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60425
citation_txt	Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса / В.М. Репухов // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 6— С. 80-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Промышленная теплотехника
work_keys_str_mv	AT repuhovvm rasširenierešeniâtransportnyhuravnenijradiacionnogoteploperenosametodompreobrazovaniâiotnositelʹnyhzakonovperenosa
first_indexed	2025-07-05T11:31:39Z
last_indexed	2025-07-05T11:31:39Z
_version_	1836806412790923264
fulltext	ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №680 ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА УДК 536.24:532.526:533.001.16 Репухов В.М. Институт технической теплофизики НАН Украины РАСШИРЕНИЕ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ УРАВНЕНИЙ РАДИАЦИОННОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЗАКОНОВ ПЕРЕНОСА Вивчається вплив відносних законів переносу при влаштуванні одержані раніш перетворення не- стаціонарних тримірних інтегро- диференціальних транспортних рів- нянь радiацiйного теплопереносу для розширювання їх рішення. Изучается влияние относитель- ных законов переноса при исполь- зовании рассмотренного ранее пре- образования нестационарных трех- мерных интегро-дифференциаль- ных транспортных уравнений ради- ационного теплопереноса для рас- ширения их решения. We study the influence of the rela-tive laws and themes uniform transfer laws with the transforma-tion of nonstationary three-dimensional integrodifferential transport equations of radiative heat transfer for extending its solutions and so it is presented the test of the transformation. a* – основная транспортируемая величина; ( , , )x y zb b b b → ∗ ∗ ∗ ∗ и ( , , , )T t x y zb b b b b b ∗ → ∗ ∗ ∗α ∗ ∗ ∗= – трех- и четырехмерные векторы переноса с проекция- ми на координатные оси; ),,,( →→→→→→ β= vsne – трехмерные единичные векторы; f, fbTα, fbα и fp – основные и дополнительные функции преобразования; Iντ – спектральная яркость транспортируемого излучения в направлении луча; k1(s) и k2(s) – кривизна и кручение луча функ- ции его длины s; LV(a) и RD(a) – функционалы левой и правой части транспортного уравнения; Nν и íLN → – спектральные тензор второго ранга и трехмерный вектор преломления; s и ST – дефекты преобразования функциона- лов левой и правой частей уравнений; t, x, y, z – координаты четырехмерного орто- нормированного базиса Декарта; uv и un – спектральная и полная объемная плот- ность энергии излучения; ( , , )V u v w → и (1, , , )TV u v w → – трех- и четырехмерные вектор скорости с проекциями; α и α – координаты, принимающие в общем случае значения t, x, y, z, причем вторая в соот- ветствии с индексом * = (1 и h), u, v, w и a1 = 1; 0 ∗αΨ – относительные законы переноса. Индексы верхние: черта сверху – образ; 0 – максимальные значения величины. Индексы нижние: n – полные по частотам характеристики фотон- ного континуума; v – спектральные характеристики фотонного континуума; * – плотность и другие величины, являющиеся решением транспортных уравнений (ρ, u, v, w,…., h0, Ivτ, Inτ, uv, un, ...). Введение Цель работы найти локальное обратимое преобразование общих интегро-дифференци- альных транспортных уравнений радиацион- ного теплопереноса (прообраз) к простейшим (образ, величины с верхней чертой) при любых законах переноса и состояния среды; получить систему уравнений-условий расширения реше- ния простейших уравнений и выполнить ана- лиз ее полноты, непротиворечивости и замкну- тости [1, 2]. Расширение решения транспортных урав- нений конвективного тепломассопереноса с использованием аналогичного преобразования и относительных законов переноса в молеку- лярном континууме при разных видах тече- ния изучалось ранее; а настоящая работа часть расширения решения радиационно-конвектив- ного тепломассопереноса [3-9]. В ортонормированном базисе веществен- ν τ ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №6 81 ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА ного пространства существует каноническая запись линий переноса (линии тока, лучи) и транспортных уравнений единая в молекуляр- ном (ρ = var) и фотонном (ρ = 1) континууме с точностью до вектора переноса [9]: ( ) 1s ds dx dy dz dt V u v w = = = = и ( ) ( grad )V T TL a V a → ∗ ∗≡ ρ ⋅ = div ( )TT Db R a → ∗ ∗= ≡ , (1) где ( ) ( grad ln )V T TL a a V a → ∗ ∗ ∗= ρ ⋅ , ( ) divt D b R a b a ∗ → ∗ ∗ ∗ ∂ = + ∂ и ( )D VV R a F dV∗ = ∫ – функционалы при двух ви- дах представления правого однозначно связаны с вектором переноса; α* и * – транспортируемая величина, отнесенная в фотонном (молекуляр- ном) континууме к единице объема (массы), и ее индекс соответствуют плотности, проекци- ям скорости, полной энтальпии, спектральной и полной яркости в направлении линии пере- носа s, объемной плотности энергии излучения и другим (ρ, u, v, w, h0, Ivτ, Inτ, uv, un,...); gradα, gradTα, ( , , )V u v w → , (1, , , )TV u v w → , ),,( zyx bbbb ∗∗∗ → ∗ и ( , , , )T t x y zb b b b b → ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ – трех- и четырехмерные гра- диенты транспортируемых величин, скорости и векторы переноса в ортонормированном ба- зисе; индексы * – сочетаются в левой части с координатами a = t, x, y, z и правой а = α, x, y, z с выбором α = t, x, y, z согласно * = (1 и h), u, v, w,... и величины a1 = 1 при определении и задании величины bt = bα* = Pα* и ее производ- ной; а индексы T – относится к четырехмерным характеристикам [3-5, 9]. Трехмерный вектор переноса с параметром время однозначно зада- ется по дивергенции и вихрю вектора внутри бесконечной или замкнутой области, ограни- ченной поверхностью с заданной на ней его производной по нормали [10], или коэффици- ентам дефектов α∗C [4]. Существование канонических уравнений для различных видов движения в континуумах с различными свойствами среды и форм под- тверждается преобразованием [9]. Когерентность рассеяния излучения позво- ляет ограничиться спектральным континуумом с осреднением величин по направлениям (ниж- ние индексы v и vn) и полным с дополнитель- ным суммированием по частотам (индекс n), подробно рассматривая спектральный конти- нуум, а отличия и связь с другими оговаривать [1, 2, 9]. Транспортные уравнения спектрального континуума В спектральном континууме скорости в среде →→ ≡ TT Vcν , →→ ≡Vcν и вакууме →→ ≡ 00 Vc , тен- зоры преломления третьего NvT и второго ранга Nv позволяют записать соотношения, допуска- ющие обычное (зеркальное) изменение направ- ления скоростей на лучах: →→ = 0cEcN νν или →→→ =≡ ô/0 νντν Nccn , 0div)(div 0 == →→ ccN νν и 1divE LN N N → − ν ν ν≡ ; 1div div 0N N c E c → → − ν ν ν ν+ = , ( ) div 0eLN c c → → → ν ν ν⋅ + = и 2 0(mod ) bN I k → ν ν ν ν η = τ ; (2) – линейное преобразование скоростей, или вектор показателя преломления, условия с опорным лучом постоянной скорости в вакууме и вектор-столбец преломления; условие нуле- вой дивергенции скорости в вакууме и линей- ность скоростей позволяют выделить уравне- ние неразрывности луча, а также равенство для дивергенции скорости в среде и закон Кирхго- фа локального термодинамического равнове- сия вдоль луча [6-9]. Из уравнений (2) следует, что тензору NvT соответствует диагональная матрица [ ]Tnν = [1, , , ]xx yy zzn n nν ν ν= в ортонормированном базисе Декарта, а матрицы тензора, вектор строка ди- вергенция, вектор-столбец преломления и ди- вергенция скорости имеют вид: [ , , ]xx yy zzN n n nν ν ν ν→ и 1 1 1 1[ , , ] xx yy zz N n n n − ν ν ν ν = , div ( , , )yyxx zznn nN x y z νν ν ν ∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ , lnln ln( , , )yyxx zznn nE LN x y z → νν ν ν ∂∂ ∂ ′= ∂ ∂ ∂ и lnln ln( ) div 0yyxx zz x y z nn nc c c c x y z → νν ν νν ν ν ∂∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ . На луче в точке P выделяются локальные vτ τ ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №682 ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА ортонормированные базисы: абсолютный Де- карта ( →→→ kji ,, ) и подвижный трехгранник с от- носительным базисом Френе ( , , → → → τ ν β – орты касательной, главной нормали, бинормали). Углы Эйлера связывают базисы матрицей орто- гонального преобразования и проекции векто- ра трехмерной группой вращения ( , , → → → τ ν β ) = ( →→→ kji ,, )[A] и (LNvτ, LNvv, LNvβ)' = = [B]'(LNvx, LNvy, LNvz)', где [B] = ([A]')-1. Заданному в каждой точке пространства тензору преломления однозначно соответству- ют скорости опорного луча в вакууме и среде с кривизной k1(s) и кручением k2(s), которые определяют форму луча как функцию его дли- ны s (натуральное уравнение) и вместе с на- правлением в точке P(s0) определенный луч в пространстве; а на границе анизотропных сред с разными тензорами преломления при учете ее тензорных свойств и скольжения на ней лучей – обобщенные законы отражения и преломления [6-8]. В точке P на луче перенос зависит от двух параметров, а уравнения Френе и (2) при [( ) ] 1 [ div ( ) ] ( ) T eT e e d a V e d ee c a a c a V dt a ds → → → → τ ν τ τ ν τ τ ∆ = + = ∆ ( grad ln ) (eT Te c a c LN c LN → → → → ν τ ντ ντ νν νν= ⋅ − τ + ν + ) ( ) e e e ec LN c c c s s s → → = τ → → → → νβ νβ ντ νν νβ τ ν β ∂ ∂ ∂ +β + + + → ∂ ∂ ∂ 1( grad ln ) ( )T Tc a c LN k → → → → ντ τ ντ ντ ν→ τ ⋅ − τ − ν − OCTATOK ,1 2( ) ( ) c cc LN k c LN k νν νβ → → → νν νν ν νβ νβ ν− ν − −λ β − + ∆ (3) приводят к потере решений 1 0LN kνν ν− = и 2 0LN kνβ ν− = [6-8]. Считая решением уравнений (1) связи ско- ростей и проекций вектора преломления (2), по Френе кривизну k1ν и кручение k2ν, из равенств (3) можно записать функционал: 0 2 0( ) ( )D DR c c k R cντ ντ ν ντ= + при 0 0LN kντ ν− = . (4) Осредненному по всем направлениям тен- зору Nνn = nνnE (изотропное поле) соответст- вуют спектральные осредненные скорость и линии переноса, в общем случае отличные от величин исходного спектрального поля, а так- же объемная плотность излучения: cνn = c0/nνn, uνn ≡ uν = 4πIνn/cνn и Σνn ≡ Σν = cνn uν = = 4πIνn при 4 1 4nI I dν ν Ω= π ≡ Ω π ∫ (5) – связи среднего показателя преломления и скоростей; средней яркости, объемной плотно- сти излучения и плотности объемного падаю- щего излучения. Если изменение вектора скорости связано с обменом лучистой энергии между криволи- нейными лучами и происходит без изменения формы движения, учесть уравнения (3) – (5), коэффициента излучения βvτ и вектора излу- чения; то в соприкасающейся плоскости и плоскости с бинормалью транспортные урав- нения проекций скорости вдоль луча, спек- тральной яркости и объемной плотности излу- чения имеют вид [9]: 0 ( )k s LNν ν ντ≡ , 1 ( )k s LNν ν νν= , 2 ( )k s LNν ν νβ= , 0 0( ( , , )) ( )V DL I P s t I c k R Iντ ν ντ ντ ν ντ= + = ( ) ( )e Dc I R Iντ ντ ντ ντ ντ= η −β ≡ , (6) , , ( ( , , )) ( )n V x y z u cL u P s t u F t → → ν ν α ν ν ν ν α= ∂ ∂ = − + ∇⋅ = ∂ ∂α∑ 0 0 ( ) 4 ( )n D n Dk R u k R uν ν ν ν ν ν ν= Σ + = πη − Σ ≡ , где 0 0( ) ( )D eR I c Iντ ντ ντ ν ντ= η −β , 0 ( ) 4DR u kν ν ν ν= πη − Σ и 0 kν ν νβ = + σ – локальные величины однородной среды, а 0k kντ ν ν νβ = − +σ и 0n nk k kν ν ν= − – анизо- тропной, сохраняющие прежний вид уравне- ний (6); Iv, Hv, ν → F , ην и e Hντ ν ν ντη = η +σ – соот- ветственно текущая и рассеянная яркость; сфе- рический вектор излучения, плотности объем- ного собственного и эффективного излучения в общепринятом определении; σν и qp kkk ννν += – коэффициенты рассеяния и объемная поглоща- ющая способность с разделением превращения лучистой энергии в механическую работу kνp и теплоту kνq [1]. n n ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №6 83 ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА Задание локальных спектральных свойств континуума, включая тензор преломления, но- вых коэффициентов излучения, индикатрисы рассеяния, а также на границе векторов скоро- сти и излучения определяет локальное распре- деление вектора падающей яркости в точке P (закон яркости), и наоборот [1, 2, 10]. Связь закона яркости на границе и локаль- ного внутри объема с учетом обобщения коэф- фициентов обмена и оптической длины в ани- зотропной среде определяется интегральным решением уравнения переноса спектральной яркости и полусферической плотности пото- ка излучения в замкнутом объеме [1, 2]. Мак- симальная яркость 0Iν и индикатриса яркости падающего излучения 0 0( ) ( ) / ( )p s I s I Pν ν ν= по- зволяют переписать (6) ( ) ( grad ln )V T T T L I c I c I c → ντ ντ ν ντ ντ ντ ντ ≡ τ ⋅ = 0 0 cp np I I p I I νν ν ν ντ ν ντ ν ντ ν ντ ντ η η = −β +σ ≅ −β +σ , (7) где 4 1 ( ) ( ) 4 H I s p s s dντ ν ν ′Ω = π ′ ′ ′= → Ω = ρ ∫ 0 0 0 0 4 ( ) ( ) 4 cp cp n I p s p s s d I p I Iν ν ν ν ν ν ν ′Ω = π ′ ′ ′= → Ω = = ≅ π ∫ ; а тензор преломления, индикатрисы и углы Эй- лера, задающие направление луча с максималь- ной яркостью, определяют его и все характери- стики излучения на нем [6-8]. В результате общая для всех континуумов температура посредством закона Кирхгофа согласует: во-первых, в уравнениях (6) и (7) осредненный тензор Nvn и объемную плотность энергии излучения; во-вторых, исходный спек- тральный тензор Nv, индикатрису рассеяния и яркости, а также максимальную яркость (закон яркости) [6-10]. Формализм преобразования и основная система уравнений-условий Формализм преобразования всех видов дви- жения одной формы одинаков при искомых ос- новных функциях преобразования и заданных дополнительных соответственно , , , ,x y z at x y zf f f f f t x y z a ∗ τ ∗ ∗ ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ и T T b T bf b∗ α ∗ α ∗ α ≡ , (8) которые в малой окрестности точек могут счи- таться постоянными и определяют линейные пространства четырехмерных векторов рассто- яния, скорости и переноса, а рассматривавши- еся ранее ξ = fρ fx, η = fρ fy и ζ = fρ fz имеют ана- логичные свойства [3-5]. Основные функции (8) позволяют: во- первых, пересчитать одноименные величины в сходственных точках на мгновенных лучах прообраза и образа; во-вторых, связать веще- ственную неособенную обратную матрицу пре- образования координат [C]-1 с функционалами левых частей транспортных уравнений подси- стемой уравнений-условий, а правых частей и в целом полной системой. Матрица и указанные связи имеют вид: 1[ ] ; C t t t t t x y z x x x x t x y z y y y y t x y z z z z z t x y z − ≡  ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂  , , , , t t t tdt dt dx dy dz t x y z x x x xd x dt dx dy dz t x y z y y y yd y dt dx dy dz t x y z z z z zd z dt dx dy dz t x y z ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ или 1( ) [ ] ( ) ;T Td C d−′ ′α = α при 1[ ]( ) ( )T T T CV V f − ′ ′= и ;T dtf dt ≡ причем уравнения связи ( ) [ ]( ) ,[ ] [ ][ ],TT VV f V a a f∗∗ ∗′ ′= = (9) 1[ ] [ ][ ] [ ],Ga Ga C Gf− ∗∗ ∗= + [ ] [ ] ], T TT bb b f ∗ α ∗ α∗ α = 1[ ] [ ][ ] [ ] T TT bGb Gb C Gf ∗ α − ∗ α∗ α = + nn ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №684 ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА нет при подсчете условий, так как они следствие функций (8) и упрощаются при тензоре напря- жений переноса третьего ранга T T Tb n B → → ∗ ∗= и (div ) (( ))T TT Tb B → → ∗ ∗′ ′≡ ∇  , где [ ]TB∗ , ln[ ] [ ]aGa ∗ ∗ ∂ ≡ ∂α , ln[ ] [ ]fGf ∗ ∗ ∂ ≡ ∂α , ln[ ] [ ]T T bGb ∗ α ∗ α ∂ ≡ ∂α и ln [ ] [ ]T T b b f Gf ∗ α ∗ α ∂ ≡ ∂α – матрицы со столбцами α = t, x, y, z и строками , или Tα = α , x, y, z и b t = b α = Pα* . Выделение функционалов образа из функ- ционалов прообраза ведется формально под- становкой его членов к прообразу с объедине- нием их в функционалы образа и дефекты, что соответствует преобразованию от прообраза к образу в левой части с выделением обобщен- ной функции преобразования и с ее помощью в правой части в виде: ln lnln ln( ) [ ( ) ln lnln ln( ) ( )] ln ln ln ln[ ] ( ( )) V T a at a x aL a a u t t x xt x a ay a z aw y y z zy z a a a af a u w a V a t x y z ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ → →∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = ρ ± + ± + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ +ν ± + ± = ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + ν + +ρ Φ ∂ ∂ ∂ ∂  ∗∗ =− sLfL VV и TDD SRfR ∗∗ =− при ∗∗ = sS T , или ∗∗∗ += PsS , (10) обобщенной функции и основных уравнениях- условиях преобразования ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ====≡ P P S S S S s sffff T T τρ и z zf y yf x xf t tf wvu ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅≡ 1τ ; (11) где ( )T s V a → → ∗ ∗ ∗ = Φ ρ  и ln lnln ln( ) k k k a fa aa ∗ ∗ ∗∗ ∗ α ∗ α ≠α ∂ ∂∂β ∂ ∂ ∂α Φ ≡ − = − ∂α ∂α ∂α ∂α∂α ∂α∑ ; T T TT T bbS f C C∗ α ∗ α ∗ α∗ ∗ α∗ αα ∂∂ = − = ∂α∂α∑ ∑ , или P PP C∗ α∗ ∗ ∂ = − ∂α и bS C ∗α ∗ ∗α α ∂ = − ∂α∑ , (12) ln 1 1 ln T T b T T T T b bf C b bf f ∗ α ∗ α ∗ α ∗ α ∗ α ∗ α ∗ ∗ ∂ ∂ ∂α ∂α≡ − = − ∂ ∂ ∂α ∂α , ln 1 ln P P Pf C Pf ∗ α∗ ∗ ∗ ∂ ∂α ≡ − ∂ ∂α , ln 1 ln b bf C bf ∗α ∗α ∗α ∗α ∗ ∂ ∂α≡ − ∂ ∂α и (1 )(1 ) 1T TC C∗ α ∗ α− − = – соответственно опреде- ляемые равенствами (10) дефекты левой части однозначно представляются скалярными про- изведениями с помощью вектора преобразова- ния и его проекций, а правой с помощью коэф- фициентов дефектов (12) [4]. Посредством дополнительных функций коэффициенты дефектов связаны с векторами переноса, следовательно, относительными за- конами переноса и состояния, а посредством входящих в законы свойств континуума с гра- ничными условиями [3-9]. Основная система уравнений-условий пре- образования пяти первых транспортных урав- нений спектрального континуума (k0v, k1v, k2v, Ivτ, uv) с учетом вида правых функционалов совпадает по форме с системой полного фо- тонного и молекулярного при согласующихся с физическими величинами соответствующих тридцати пяти неизвестных fTv, fuv, fIvτ , fHv, [fnvii ], [Cv]-1, , ,[ ] x y zc c cGf ν ν ν∗ ∗= , (13) и имеет столько же уравнений-условий [3,9]: 1) одиннадцать подсистемы, включая первые семь для линий переноса {[fv] [C]-1 – ft [E]}(VT)' = 0 – четыре (сходствен- ные линии тока и [fv] (VT)' = (VT)'), u v w t x y zf f f f t x y zτ ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ , или [ ][ ] [ ]VfE fτ ∂α = ∂α – три (основные уравнения-условия), а также их пополняющие четыре для транспортных урав- нений fuv = fIvn /fcvn и задание 0 If ντ – два (аддитивность с учетом 0 pf ν и 0 0 nH I p cp If f f f ντ ντ νν= ≅ ), 0LN LNs S= = – одно (дефекты, неразрывность луча), , ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №6 85 ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА 2 0 2 0 (mod ) ( )/ (mod ) ( ) b b N I T k k N I T → ν ν ν ν → νν νν η τη = τ – одно (состояние среды, относительный закон Кирхгофа); 2) ST = s – пять дефектов (индексы * = k0v, k1v, k2v, Ivτ, uv); 3) девятнадцать замыкающих дополнительных с коэффициентами дефектов (пятнадцать по уравнениям (12) соответствен- но координатам длины, три отношения элемен- тов матриц преломления и одно единый вакуум 0 00 / 1Cf c c≡ = ). Физическое и математическое содержание преобразования Согласно (9) преобразование прообраза с сохранением вещественного скалярного произ- ведения над полем функций f, fbTα и fT обеспе- чивает группа самосопряженных и унитарных матриц с единицами на главной диагонали [C]-1 = [H][U] c соответствующими эрмитовыми квадратичными формами при основных урав- нениях-условиях с выделением положительно определенной [H] = [\|fV/fτ\|] -1 и унитарной [U] [11]. В результате скалярные произведения, ква- дратичные формы с диагональными определи- телями Грама ( \| ( ) \|ia kae e → →  , \| ( ) \|ib kbe e → →  ) для векто- ров ортонормированного базиса ( ) ( grad ln )V T TL a a a V → ∗ ∗ ∗≡ ρ  , ( ) (grad ln )R T T TL a b b → ∗ ∗ α ∗≡  и (14) ( ) div ( , )D T T TR a b L b → → → ∗ ∗ ∗≡ = ∇ , или ( ) [ ] {[ ][ ]}D T T T TR a Sp b Gb Sp b Gb∗ ∗ α ∗ α ∗ α ∗ α= = , (15) как произведение матриц, свертка и след, поз- воляют одновременно записать в одном орто- нормированном базисе столбцами левые и пра- вые (первый вид) части транспортных уравне- ний в матричной форме, их системы для про- образа и образа, считая величины a* проекция- ми многомерного вектора [ ]( ) ( ([ ][ ]))T T Ta Ga V Sp b Gb∗ ∗ ∗ ∗′ ′ρ = и [ ]( ) ( ([ ][ ]))T T Ta Ga V Sp b Gb∗ ∗ ∗ α ∗ α′ ′ρ = при ( ) ( )Ts S∗ ∗′ ′= , где дефекты левой ( ) [ ]( ) [ ][ ]( ) [ ]( )TT Ts a Ga V f a Ga V a V∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗α ∗∗′ ′ ′ ′= ρ − ρ = Φ ρ и правой части ( ) ( [ ] [ ] [ ])T TT T TS Sp b Gb f Sp b Gb∗ α ∗ α∗ ∗ α ∗ α ∗′ ′= − следуют из уравнений (10) - (12), которые свя- зывают s* и {[ ][ ] }T T T TS Sp b Gb C∗ ∗ α ∗ α ∗ α ′= − = {[ ][ ] }T T Tf Sp b Gb C∗ α ∗ α ∗ α∗ ′= − соответственно с ис- комыми основными и дополнительными фун- кциями преобразования. На первом этапе упомянутая локальная ли- нейная замена переменных дает линейные пре- образования в исходном (старом) базисе для векторов и производных в виде [11]: ( , , , ) ( , , , )[ ]t x y z t x y ze e e e e e e e C → → → → → → → → = и T Trr A r → → = , T TVV A V → → = , T Tbb A b α∗ → → ∗α ∗α= с матрицами 1 1 1[ ] [ ] , [ ] [ ] / , [ ] [ ] Tr V T b bA C A C f A f α∗ ∗ α − − −= = = и 1 1[ ] [ ][ ] , [ ] [ ][ ]T TGa Ga C Gb Gb C− − ∗ ∗ ∗ α ∗ α= = , а нелинейность преобразования функционалов проявляется в последних равенствах (9) в виде дополнительных членов, где [fV] ≡ [1, fu, fv, fw] и [fV] = [C]-1 = fT[E] – равенства, следующие из определения скоростей (8); а fT – функция, ко- торая с учетом дефектов и законов переноса связывает параметры време- ни в решениях транспортных уравнений. На втором этапе вводится положительно определенная матрица [fτ]. Дефекты функци- оналов и основные уравнения-условия, обе- спечивая диагональные определители Грама, сохраняют общие ортонормированные базисы, форму скалярного произведения левого функ- ционала образа (прообраза) и дивергенции пра- вого, где согласно (10) {[ ] [ ]}( ) [ ][ ]( )T TGa V Ga V∗∗ ∗α ∂α′ ′− Φ = = ∂α 1 1[ ][ ][ ] [ ] [ ]( ) [ ]( )T TV Vf Ga f f V f Ga V− − ∗ ∗τ τ ∂α ∂α ′ ′= = ∂α ∂ а равенство дефектов и их исключение сохра- няет форму транспортных уравнений [9]. , ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №686 ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА На третьем этапе устанавливается локаль- ная связь сходственных точек в фотонных кон- тинуумах, что возможно всегда, ввиду изомор- физма линейных пространств [11]. Циклические преобразования (8) и (9) скоростей на линиях переноса, включая точ- ки пересечения, прообраза V к прообразу C с матрицами [fVC] и 1 1[ ]TCV CVf C− − (образ ][ CV f и 1 1[ ]T CV CVf C− − ) всегда допускают: 1[ ] [ ] [ ]CV CV CVC H U− = и совмещение направления скоростей группой вращения [U]CV и модулей [H] CV ; участки для спектрального прообраза с обратной матрицей полного континуума и наоборот; общие и спе- циальные циклы вида 1 1 1 1 1 1( [ ] ) [ ]( [ ] )[ ] [ ]TCV CV CC T CV CV VVf C f f C f E− − − − − − = и 1 1 1 1( [ ] )[ ]( [ ] )[ ] [ ]TV C V C VV TCV CV CCf C f f C f E− − − − = , (16) где 1 1 1 1 1( [ ] ) [ ] [ ]TCV CV CC TV C V Cf C f f C− − − − −= , 1 1 1 1( [ ] )[ ] [ ]TCV CV VV TCV CVf C f f C− − − −= и 1 1[ ] [ ] [ ]VV TVV VVf f C E− − = . Ортогональное преобразование всегда обе- спечивает: единый ортонормированный базис с 1 1 1TCV T CV TV C TCVf f f f− −= = ; комплексную матрицу 1 1 1[ ] [ ] [ ]k CV CVC C i C− − −= + ; [U] из диагональных кле- ток простого отражения в подпространстве рас- стояний и вращения 1 1 0 [ ] 0 1 U   =  −  и 2 cos sin [ ] sin cos U ∆ϕ − ∆ϕ  =  ∆ϕ ∆ϕ  , а также 2 cos sin [ ] sin cosk i U i ∆ϕ − ∆ϕ  =  ∆ϕ ∆ϕ  (17) и 2 1 1[ ] [\| \|] [\| \|] [ ]k V CH f f E− −= = самосопряженных комплексных специальных преобразований (16), которые определяют 1 1[ ] [ ] [ ] [ ]V CVV CCf f f f− −≡ = ≡ , 1[ ] [ ]VC V Cf f −= и задают скорости, совмещают с треугольником на двух скоростях прообраза лежащий в его плоскости треугольник обра- зов при вершине в сходственной точке, равных углах + −∆ϕ = ϕ −ϕ и высотах c+cosφ+ = c–cosφ– (c+ = cv ≥ cn = c–), зеркальных скоростях / / nnc c c cνν = , cos cos( ) c c − + + + ϕ = ϕ −∆ϕ , или tg ( sin ) / [1 ( sin )tg ]c c c c − − + + + ∆ϕ = ∆ϕ − ∆ϕ ϕ , где сохра- няются обобщенные элементарные геометри- ческие инварианты [1], а φ– = 0 при Δφ = π/2, связях tgθ = –icn /cv и cos-2θ = 1 – cn 2/cv 2 преоб- разование Лоренца [2]. В общем случае три условия ортогонально- го преобразования зеркально совмещают пло- скости треугольников и три, включая первое (16), соответствующие скорости [9]. В каждой точке одной линии переноса век- торы спектральной яркости Ivτ и скорости cvτ зависят от двух параметров и совпадают по на- правлению, а при едином вакууме с однород- ным полем яркости Iv0 представляются равен- ствами аналогичными (2). В результате задание относительного зако- на яркости (тензора) на линии с максимальным вектором яркости требует текущую относи- тельную максимальную яркость 0 If ν , и яркости на границе трехмерного объема, представляе- мые далее как условная индикатриса яркости 0 pf ν , причем объем может стягиваться до малой окрестности точки. Эквивалентная спектральная система уравнений-условий Эквивалентные фотонные систем замыка- ются другими дополнительными уравнениями- условиями со следствиями для коэффициентов дефектов; а в соответствующих точках конти- нуумов в системы входят общие отношения величин температуры среды ( / /n nT T T Tν ν = ), темпа времени (fTv = fTn), аддитивности энергии (Ivn = ΣIn) и другие. В эквивалентной системе спектрального континуума для величин (13) содержится трид- цать пять уравнений-условий, из которых де- вятнадцать новых дополнительных. В частности, девятнадцать дополнительных уравнений-условий могут содержать десять от- ношений в сходственных точках одного и де- вять связей двух континуумов [9]: 1) восемь отношений – элементов матриц [ / ]iiiin nνν , свойств континуума (fkv, fσv, fpv), ва- куума fc0 = 1 и когерентность fv = 1 или fv = const (* = n – замена на полные элементы, вакуум и аддитивность); 2) два отношения – закон яркости 0 pf ν , в вакуу- v ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №6 87 ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА ме Планка 0 00 / ( , , , ) bv bv vI bv vI I v v T TΨ ≡ = Ψ (* = n – замена, в частности, на закон Стефана- Больцмана 40 4 00 / / bn nbnu bn nu u T TΨ ≡ = ); 3) шесть связей – проекций скоростей в сход- ственных точках характерных лучей спектраль- ного и полного (16), а также направлений лучей образов и заданного направления (* = n – заме- на индексов); 4) две связи – температур сходственных точек / /n nT T T Tν ν = и темпа времени T Tmf fν = (* = n – за- мена индексов); 5) одна связь фотонных континуумов – усло- вие аддитивности энергии / n n nu I cf f f ν = (* = n – замена на условия / nu n nf p p= и n np nqk k k= + , ввиду равенства полного давления излучения 2 ; 1 cos 3 3 n n n v n nv up I d c c′τ ′Ω Σ′= θ Ω ≅ =∫∫ и его коэффици- ента 3 m np n Vk c ≅ ) [1, 2]. В квазистационарном радиационном тепло- переносе исключается величина fTv [1, 9]. Связи на луче дополнительных функций, дефектов a TS ντ и div a TT b ντ → очевидны, не услож- няется вычисление дефектов и анализ преоб- разования [3]. Так, дефект I TS ντ равен 0 2 0 2 2 / (mod )(mod ) [ 1] (mod ) bI T I I cb k I I S f f fNIN f fk c I I fN ντ ντ ντ ντ ν ντ ντ → → ν ν ν ν ν ν → ντ ντν ντ ν ν τ Ψ = τ − + τ 0 0 0 ( 1) ( 1)I c I c k I I f f f fkk f k k f f ντ ντ ντ ντ ν ντ ντ ν ν ν ν + − − − + {( 1) ( 1)}H I c I I f f fH Hf fk I f I ν ντ ντ ν ντ ντ ντ ντν σ ντ ντν σ + − − − . (18) Выводы 1. Условия на границе формируют в ог- раниченном объеме поле вектора скорости, включая среднюю скорость, и вектора сфери- ческого излучения, где по аналогии с молеку- лярным полем можно выделить особенную спектральную линию переноса, определяемую максимальным локальным спектральным век- тором яркости с индикатрисой яркости (закон яркости) и наоборот. 2. Существует каноническая запись систе- мы линий переноса и транспортных уравне- ний для любого вида и формы движения с точ- ностью до векторов переноса. 3. Канонические системы сохраняют вид в вещественном евклидовом пространстве че- тырех измерений при квазилинейном преоб- разовании с дефектом (группа самосопряжен- ных матриц) над множеством основных и до- полнительных функций, которое использует основные уравнения-условия, относительные законы переноса транспортируемой величины и состояния среды континуума, обеспечиваю- щие граничные условия образа. 4. Основная система уравнений-условий преобразования позволяет расширить решения простейших уравнений переноса и состоит: из подсистемы, определяющей основные функ- ции преобразования по дефекту; уравнений- условий дефектов и дополнительных для коэф- фициентов дефектов, определяемых посред- ством относительных законов. 5. Для уравнений-условий используется вторая форма правого функционала и относи- тельный закон яркости, связанный с коэффици- ентами дефектов и условиями на границе. 6. Полнота непротиворечивость и замкну- тость системы уравнений-условий обеспечи- вается использованием всех величин, входя- щих в транспортные уравнения, методов ли- нейной алгебры и однозначности задачи Коши при представлении производных проекций век- торов переноса коэффициентами дефектов. ЛИТЕРАТУРА 1. Кутателадзе С.С. Основы теории теп- лообмена. – М.: Атомиздат. 1979. – 416 с. 2. Бай-Ши-И. Динамика излучающего газа. – М.: Мир, 1968. – 350 с. 3. Репухов В.М. Расширение решения транспортных уравнений конвективного тепло- массопереноса методом преобразования и от- носительных законов переноса // Пром. тепло- техника. – 2008. – Т. 30, № 1. – С. 26–38. 4. Репухов В.М. Влияние законов переноса на преобразование транспортных уравнений конвективного тепломассопереноса // Пром. теп- лотехника. – 2006. – Т. 28, № 5. – С. 26–30. 5. Репухов В.М. Аналитическое расшире- ние решения транспортных уравнений кон- ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №688 ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА вективного тепломассопереноса методом пре- образования и относительных законов // Тру- ды VI Минского международного форума по тепломассообмену – VI Minsk International Heat & Mass Transfer Forum Proceedings. – Секция 1. – Конвективный тепломассообмен. – Section 1. – Convective Heat and Mass Transfer. – 1–53. – Минск: ИТМО им. А. В. Лыкова НАНБ. 2008. 6. Репухов В.М., Сигорских С.В. Радиаци- онный перенос энергии в неоднородной среде // Пром. теплотехника. – 2009. Т. 31, № 5. – С. 88–96. 7. Репухов В.М., Сигорских С.В. Радиацион- ный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред // Пром. теплотехника. – 2010. Т. 32, № 5. – С. 79–87. 8. Репухов В.М., Сигорских С.В. Уравнения радиационного переноса энергии и граничные условия в неоднородной (анизотропной) среде // Радиационный и сложный теплообмен: Тр. пятой рос. нац. конф. по теплообмену. – М.: МЭИ. 2010. – Т. 6. – С. 252–256. 9. Репухов В.М. Метод и система уравне- ний-условий преобразования общих транс- портных уравнений сложного (радиационного и конвективного) тепломассопереноса к про- стейшему виду // Радиационный и сложный теплообмен: Тр. пятой рос. нац. конф. по тепло- обмену. М.: МЭИ. 2010. – Т. 6. – С. 248–251. 10. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и на- чала тензорного исчисления. Изд. девятое. – М.: Наука. 1965. – 247 с. 11. Гельфанд И.М. Лекции по линейной ал- гебре. – М.: Наука. 1971. – 280 с. Получено 15.04.2011 г.

Расширение решения транспортных уравнений радиационного теплопереноса методом преобразования и относительных законов переноса

Institution

Ähnliche Einträge