Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления

Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления

В статье рассматривается программный комплекс для оценивания параметров математических моделей сложных динамических систем на основе экспериментальных данных, полученных в процессе их функционирования. Математической базой данной системы являются современные методы оптимизации, рекуррентные алго...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2011
1. Verfasser: Петрович, В.Н.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2011
Schriftenreihe:Штучний інтелект
Schlagworte:
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60449
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления / В.Н. Петрович // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 343-349. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-60449
record_format dspace
spelling irk-123456789-604492014-04-16T03:01:58Z Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления Петрович, В.Н. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений В статье рассматривается программный комплекс для оценивания параметров математических моделей сложных динамических систем на основе экспериментальных данных, полученных в процессе их функционирования. Математической базой данной системы являются современные методы оптимизации, рекуррентные алгоритмы оценивания, методы линейной алгебры, методы линейного и нелинейного регрессионного анализа, методы вычислительной математики. Комплекс использует объектно-ориентированный подход при реализации программ, имеет удобный интерфейс, не требует от пользователя знания особенностей языка программирования или деталей схемы организации процесса вычислений в комплексе. У статті розглядається програмний комплекс для оцінювання параметрів математичних моделей складних динамічних систем на основі експериментальних даних, отриманих в процесі їх функціонування. Математичною базою даної системи є сучасні методи оптимізації, рекурентні алгоритми оцінювання, методи лінійної алгебри, методи лінійного і нелінійного регресійного аналізу, методи обчислювальної математики. Комплекс використовує об’єктно-орієнтований підхід при реалізації програм, має зручний інтерфейс, не вимагає від користувача знання особливостей мови програмування або деталей схеми організації процесу обчислень в комплексі. The article discusses a software package for estimating the parameters of mathematical models of complex dynamical systems based on experimental data obtained in the course of their operation. The mathematical basis of this system are the modern methods of optimization, recursive estimation algorithms, linear algebra, methods of linear and nonlinear regression analysis, methods of computational mathematics. Complex uses object-oriented approach in the implementation of programs, has a convenient interface that does not require any knowledge of programming language or the details of the schemes of calculations in the complex. 2011 Article Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления / В.Н. Петрович // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 343-349. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60449 519.9 ru Штучний інтелект Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
spellingShingle Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
Петрович, В.Н.
Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления
Штучний інтелект
description В статье рассматривается программный комплекс для оценивания параметров математических моделей сложных динамических систем на основе экспериментальных данных, полученных в процессе их функционирования. Математической базой данной системы являются современные методы оптимизации, рекуррентные алгоритмы оценивания, методы линейной алгебры, методы линейного и нелинейного регрессионного анализа, методы вычислительной математики. Комплекс использует объектно-ориентированный подход при реализации программ, имеет удобный интерфейс, не требует от пользователя знания особенностей языка программирования или деталей схемы организации процесса вычислений в комплексе.
format Article
author Петрович, В.Н.
author_facet Петрович, В.Н.
author_sort Петрович, В.Н.
title Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления
title_short Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления
title_full Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления
title_fullStr Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления
title_full_unstemmed Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления
title_sort идентификация параметров математических моделей динамических систем управления
publisher Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate 2011
topic_facet Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60449
citation_txt Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления / В.Н. Петрович // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 343-349. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series Штучний інтелект
work_keys_str_mv AT petrovičvn identifikaciâparametrovmatematičeskihmodelejdinamičeskihsistemupravleniâ
first_indexed 2025-07-05T11:32:31Z
last_indexed 2025-07-05T11:32:31Z
_version_ 1836806466739109888
fulltext «Штучний інтелект» 4’2011 343 5П УДК 519.9 В.Н. Петрович Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, г. Киев, Украина filonval@i.com.ua Идентификация параметров математических моделей динамических систем управления В статье рассматривается программный комплекс для оценивания параметров математических моделей сложных динамических систем на основе экспериментальных данных, полученных в процессе их функционирования. Математической базой данной системы являются современные методы оптимизации, рекуррентные алгоритмы оценивания, методы линейной алгебры, методы линейного и нелинейного регрессионного анализа, методы вычислительной математики. Комплекс использует объектно- ориентированный подход при реализации программ, имеет удобный интерфейс, не требует от пользователя знания особенностей языка программирования или деталей схемы организации процесса вычислений в комплексе. Введение На современном этапе развития производства и конструирования сложных динамических объектов невозможно обойтись без предварительной разработки ма- тематической модели такого объекта. Для тестовых испытаний строятся сложные математические модели (что, как правило, задаются системами дифференциальных уравнений). Такие модели на практике очень сложные и содержат много параметров и параметр управления, с помощью изменения которого возможно тестирование модели при различных условиях. Ясно, что важнейшая задача такого моделирования состоит в том, чтобы как можно точнее описать модель. Но не всегда при описании моделей можно определить значение некоторых параметров. Примером таких величин могут быть внешние силы природы, действующие на поверхность самолета, внутренние волновые потоки. То есть те величины, которые не может контролировать человек. Одной из реальных задач идентификации была идентификация параметров модели продольного движения самолета АН [1]. Практически можно было исследовать влияние рулевого крыла на динамику полета самолета и моделировать движение и при этом находить такие параметры, как аэродинамический момент, подъемную силу, сопротивление внешней среды. Следовательно, задача заключается в том, чтобы по экспериментальным данным приблизить математическую модель к реальной с помощью критерия. Как показывает практика, методы минимизации такого критерия зависят от структуры самого критерия, от общего вида системы. Итак, для моделирования и исследований необходимо иметь достаточно широкий спектр методов минимизации, имеющих различные характери- стики скорости сходимости. Каждый из существующих алгоритмов многомерной оптимизации имеет свои преимущества и недостатки. Поэтому при решении задачи минимизации функции был использован разработанный комплекс алгоритмов мини- мизации, последовательно подключающий различные алгоритмы на тех этапах процесса оптимизации, где каждый из них является наиболее эффективным. Существенной помо- щью в выборе эффективного метода было графическое изображение функции-критерия. Как видно, задача идентификации приведена к задаче минимизации, что является само по себе достаточно сложной задачей. Но на данном этапе возникает проблема – Петрович В.Н. «Искусственный интеллект» 4’2011 344 5П достаточно неудобно было бы для каждой новой системы или нового метода мини- мизации перекомпилировать проект. Цель работы заключается в том, чтобы создать такой комплекс алгоритмов, который бы легко адаптировался под разные системы и разные методы. Каждый пользователь может написать свой метод или описать новую систему, оформить в виде DLL и тогда автоматически этот метод или система будет заметна программе. Естественно, все методы и системы должны подчиняться соответствующему шаблону. Таким шаблоном выступают базовые классы, от которых пользователь должен наследовать свой класс. Для примеров и тестирования некоторых систем реализованы методы одномерной, многомерной минимизации. Поскольку на практике мы имеем достаточно сложные системы, невозможно заранее прогнозировать, насколько корректным будет решение и какие методы необхо- димо использовать. Как видно, решением будут минимизированы параметры для функции критерия, поэтому понятно, что для того чтобы подобрать удачные методы минимизации нужно знать топологическую структуру функции критерия (ее графи- ческое представление). Поэтому была реализована возможность посмотреть на функцию в трехмерном пространстве, фиксируя другие переменные. Такая предварительная ин- формация позволяет увидеть, какая форма критерия – выпуклая, овражная или может существовать несколько экстремальных точек – по этой информации можно подобрать метод, как лучше решать данную задачу. С помощью данной системы был решен ряд тестовых примеров, которые показали ее работоспособность и удобство подключения новых систем. Также была взята реальная система, описывающая продольное движение летательного аппарата, и подсчи- таны параметры на реальных данных. Постановка задачи и критерии оценивания Рассмотрим постановку задачи идентификации для динамических систем, описы- ваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, правые части которых нелинейные относительно параметров и фазовых координат, а также проведем класси- фикацию задач и алгоритмов их решения в зависимости от классов модели и кри- териев идентификации. Запишем общий вид модели ),),(( tptxF dt dx  . (1) Начальные условия для задачи Коши mxtmx 0 ) 0 (  . Вектор параметров ),,( 1 mppp  . Вектор модельных фазовых координат      )(),...,(1)( tm nxtmxtmx . Вектор экспериментальных фазовых координат      )(),...,(1)( te nxtextex . На основе экспериментальных данных (наблюдений) за объектом на интервале времени ],)1([ 00 kTtTkt  , rk ,,1  на каждом из таких промежутков фикси- руются экспериментальные значения фазовых переменных, обозначим их как ex , где ttt jj  1 Nj ,,1  ; NTt / Nj ,,1 . Необходимо идентифицировать (определить) параметры p из условия соответ- ствия выбранной модели (1) данному объекту по некоторому критерию качества модели Идентификация параметров математических моделей ... «Штучний інтелект» 4’2011 345 5П )( pI так, чтобы )(min)( pIpI p  , при этом параметры p могут быть произвольными или иметь какие-то ограничения }:{ iii bpapDp  . В зависимости от требований, предъявляемых к задаче, выбирается соответству- ющий критерий качества )( pI , который может задаваться разными способами: 1. В виде функции среднеквадратичного критерия: dttxptxpI Tt t em  0 0 )(),()( , || || – есть расхождение модельными фазовыми ко- ординатами и фазовыми координатами экспериментальных данных, || || – норма в Евклидовом пространстве, соответствующая ему дискретная форма      N j n i jtexpjtmxpI 1 1 2)](),([)( . 2. В виде минимаксной функции несогласованности экспериментальных и модель- ных фазовых координат: 1) ||)(),(|| 1 max)( j texp j tmx Nj pI    – сумма по всем максимальным отклонениям; 2)      n i jte ixpjtm ix Nj pI 1 |])(),(| 1 max[)( – максимум по всем максимальных от- клонениям. Как видно, здесь использовано Чебышевскую норму. 3. В виде функции-невязки, которая в случае линейной функции правых частей системы (1) относительно параметров p позволяет свести задачу к линейной идентификации (в данной работе линейный случай рассматриваться не будет) 2 ),,()( ptexF dt edx pI  ,      N j n i pjtjte ixiFjte ixpI 1 1 2)],),(()('[)( . Выбор конкретного критерия оценки )( pI зависит от характера данных, от класса модели и требований, предъявляемых к алгоритму. При выборе первого критерия фактически решается задача среднеквадратичной аппроксимации данных эксперимента )(txe решениями задачи Коши (1) и (2), то есть значениями ),( ptxm . Для произвольных типов моделей (1) этот критерий является наиболее удобным с точки зрения различия ),( ptxm и )(txe . Функция )( pI этого критерия является выпуклой, что гарантирует хорошую сходимость некоторых методов минимизации. Эта функция дифференцирована, позволяет применять гра- диентные методы спуска, которые являются достаточно удобными в вычислении. Но при применении методов поиска минимума гарантировано большое количество вы- числений функции )( pI , а в некоторых методах первой или второй производной, что делает часть этих методов совсем несостоятельными к решению таких задач, по- скольку вычисления этой функции для каждой компоненты вектора параметров p требует решения задач задачи Коши на интервале ],[ 00 Ttt  . При выборе второго критерия фактически строится Чебышевское приближение (равномерное приближение) экспериментальных данных )(txe и результатов задачи Коши ),( ptxm , минимизирует максимальное отклонение модельных решений и экспериментальных наблюдений на интервале ],[ 00 Ttt  . В некоторых случаях Петрович В.Н. «Искусственный интеллект» 4’2011 346 5П практическое использование этого критерия может быть не эффективным. Когда наблюдения )(txe наблюдаются на фоне случайных возмущений с большими выбросами, в этом случае необходимо предварительное сглаживание экспериментальных данных. Методы решения задачи идентификации при этом критерии, а также трудности использования алгоритмов остаются те же. Второй проблемой этого критерия является проблема недифференцируемости функции )( pI , что заставляет использовать различные методы к нахождению градиента функции. Если рассмотреть различные виды дискретной формы, то можно сказать, что критерий типа      n i jte ixpjtm ix Nj pI 1 |])(),(| 1 max[)( является достаточно целесо- образным, поскольку минимизируется сумма по всем максимальным отклонениям, а значит, гарантирует уменьшение максимальных отклонений для всех максимальных отклонений. Для функции |])(),(| 1 max[ 1 max)( j te i xp j tm i x Njni pI    берем максимум по всем максимальным отклонениям, а значит, уменьшать будем только само максимальное отклонение. Третий критерий наиболее распространен в инженерной практике. При этом критерии фактически решается задача среднеквадратичной аппроксимации производных экспериментальных данных функциями правых частей. В случае линейной по пара- метрам модели этот критерий позволяет свести задачу нахождения параметров p к линейной задаче, то есть к системе линейных уравнений bAp  , менее сложной за- даче. Для этого критерия также есть трудности, во-первых, задача дифференцирования экспериментальных данных, которые наблюдаются, – это некорректная задача, во-вторых, во многих случаях система bAp  имеет плохо обусловленную матрицу, а значит, решения могут быть как угодно далекими от истинных. Использование специальных методов решения линейных систем, имеющих плохо обусловленную матрицу, требуют расчетов с более высокой точностью, тем самым подавляя точность эксперимен- тальных данных. Общая характеристика алгоритмов нелинейной идентификации Общий алгоритм решения поставленной задачи предусматривает такие этапы: 1. Найти решения системы дифференциальных уравнений (1) для начального (априорного) значения параметра ),....,( 1 nppp  , для начальных условий задачи Коши (2) на промежутке ],[ 00 Ttt  . 2. Для данных значений ),( ptxm – решений задачи Коши, )(tx e – экспери- ментальных данных найти значение функции – критерия качества )( pI , которая была описана выше. 3. Найти mEp pIp    )(minarg , найденное p – будет следующим значением параметра для решения задачи Коши. Поскольку задача состоит в нахождении неизвестных параметров нелинейной системы дифференциальных уравнений (1) как относительно самого параметра, так Идентификация параметров математических моделей ... «Штучний інтелект» 4’2011 347 5П и относительно фазовых переменных, то основной задачей является задача много- мерной минимизации. Сформулируем задачу безусловной минимизации функции многих переменных, которая выбрана из одного из критериев качества, приведенных выше. Для решения задачи минимизации нахождение точки минимума функции при- меняются методы, которые включают в себя методы дифференцирования (а вернее, нахождение градиента). Если описать вычислительную схему – большинство алго- ритмов можно выделить в ряд последовательных этапов, а именно: 1) выбор начального приближения параметров p0 и вычисления )( 0pI ; 2) определение направления спуска pk для минимизации )( pI (способ решения этой подзадачи является определяющим для каждого конкретного алгоритма) характерна своя стратегия при выборе направления спуска pk фактически – это нахождение гра- диента функции )( pI ; 3) определение точки минимума min на луче kkk ghpp ** , где )**()**(min min kkkkkk ghpIghpI   ; 4) переопределение полученной точки минимума на луче kkkk ghpp **1  в качестве исходной на следующем этапе: kkkk ghpp **1  . Условный переход на 2), если критерий выхода из алгоритма не выполняется. Однократное выполнение этапов 2 – 4 будем называть одной итерацией процесса минимизации. На каждом из этапов нужно фактически решить некоторую само- стоятельную подзадачу. Для решения подзадач 1 и 3 можно использовать несколько эквивалентных (в смысле решаемой нами задачи) методов, которые реализованы в виде самостоятельных программных модулей. Для отдельной задачи минимизации выбор начальной точки x0 осуществляется управляющей программой минимизации. Если начальная точка не задана, то вместо нее в качестве исходной точки для поиска выбирается случайная точка, что равномерно распределена в некоторой заданной области D0 в n -мерном парал- лелепипеде ):( bxaxD  . Для случая критерия качества равномерного приближения мы имеем недиф- ференцированную функцию |)(),(|maxmax)( 11 j e ij m i niNj txptxpI   . Невозможно исполь- зование прямых методов нахождения mEp pIp    )(minarg с помощью градиентов, посколь- ку функция имеет вид |)(),(|max)( 1 j e ij m i ni txptxtjF   (рис. 1). )(tjF Рисунок 1 – Функция |)(),(|max)( 1 j e ij m i ni txptxtjF   Здесь много экстремумов, следовательно, нахождение градиента (напра- вления спуска) для одного максимума не гарантирует спуск другого максимума. Поэтому решение проблемы заключается в том, чтобы выделить максимумы )(max,),(1max 1 ntnFtF  для каждого такого промежутка (обозначим, k -й проме- жуток), решить задачу Коши (1) на промежутке ],[ 00 kttt  . Найти для этих решений )( pI , найти для этого промежутка свое направление спуска kp . Петрович В.Н. «Искусственный интеллект» 4’2011 348 5П Нахождение направлений спуска (на каждом из таких интервалов) уже позволит применять градиентные методы, которые мы описали выше. Пусть нашли такие векторы направлений спуска для каждого из S интервалов: pp s,,1  . Найдем теперь для линейной оболочки, построенной на векторах: pp s,,1  , такой вектор x , который будет принадлежать этой оболочке, и будет наименее удален от начала координат. Пусть для каждого промежутка нашли вектор наискорейшего спуска pi (для i-го промежутка) строим вектор x, который является линейной комбинацией векторов pi ss pkpkx  ...11 . Решаем задачу минимизации min||||....)2,1(1*2||1||1),(|||| 22  psksppkkpkxxx , если 1 1   s i ik . Для этой задачи строим функцию Лагранжа ||||....)2,1(1*2||1||1)( 22 psksppkkpkL  ||)||....)2,1(1*2||1||1(* 22 1 psksppkkpkk s i i     , ;0 ),..1,(    ik kskL  ;0 ),..1,(      kskL По сути, это линейная система уравнений. Ее решения относительно  и дадут значение искомого вектора x . Итак, если есть векторы npp ,.....,1 , то для построения вектора nn pkpkx  ...11 , при условии, что minx и 1 1   s i ik . Если решить систему, получим i i n p k pp 21 ... 1 2 1             . Рассмотрим подробнее подзадачу 4. В ней понятие «критерий» включает в себя два условия: 1) алгоритм «исчерпал себя», что отразилось на выполнении так называемого «внутреннего» критерия (этот критерий свой для каждого алгоритма), тогда выход из программы минимизации происходит с кодом возврата 1kw . 2) было выполнено заданное число KIT итераций, MinM – это экземпляр класса многомерной задачи минимизации, однако внутренний критерий не исполнился, тогда возврат происходит с 2kw , число iKITMinM  задается пользователем или по умолчанию выбирается управляющей программой. При возвращении в управляющую программу минимизации с кодом 2kw осуществляется анализ скорости сходимости поискового алгоритма с помощью подпрограммы stban . Если сбор информации автоматизирован, то можно придерживаться таких оценок сходимости. Если не выполняются условия VA xx iMit R iMit k m j i k i k x 2/1 1 1 2 1 )( 1                      , VK xx iMit R iMit k m j i k i k p 2/1 1 1 2 1 )( 1                      то скорость сходимости данного алгоритма неудовлетворительная и пользователь должен изменить методы минимизации. В случае неудовлетворительной сходимости пользователь также может управлять алгоритмами, изменяя значения их входных параметров или конфигурацию модулей, решающих задачу. Идентификация параметров математических моделей ... «Штучний інтелект» 4’2011 349 5П Заключение Разработана усовершенствованная версия этой системы для персональных компьютеров в среде Windows на C++, в которой представлены более 15 методов оценивания параметров и состояний, позволяющих решать как линейные, так и нели- нейные задачи идентификации в условиях «зашумленности» и неполного поля изме- рений, включая возможность обработки данных в режиме реального времени. Возможна переориентация комплекса на решение задач идентификации для других предметных областей применения. Данная система позволяет решать задачи идентификации для ди- намических систем, математическая модель которых описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или функциональными соотношени- ями. В системе предусмотрен удобный интерфейс с пользователем на всех этапах решения задачи, удобная графическая поддержка процесса решения задач. Литература 1. Сучасні методи і інформаційні технології математичного моделювання, аналізу й оптимізації складних систем / [Ф.Г. Гаращенко, М.Ф. Кириченко, Ю.В. Крак та ін.]. – К. : ВПЦ «Київський університет». – 2006. – 200 с. 2. Пашковский И.М. Летные испытания самолетов и обработка результатов испытаний / Пашков- ский И.М., Леонов В.А., Поплавский Б.К. – М. : Машиностроение, 1985. – 416 с. 3. Лоусон Ч. Численное решение задач метода наименьших квадратов / [Ч. Лоусон, Р. Хенсон ; пер. с англ.]. – М. : Наука, 1986. – 232 с. Literatura 1. Suchasnі metodi і іnformacіinі tehnologії matematichnogo modelyuvannya, analіzu i optimіzacії sklad- nih sistem / [F.G. Garaschenko, M.F. Kirichenko, Yu.V. Krak ta іn.]. – K. : VPC «Kiїvs'kii unіversitet». –2006. – 200 s. 2. Pashkovskii I.M. Letnye ispytaniya samoletov i obrabotka rezul'tatov ispytanii / Pashkovskii I.M., Leonov V.A., Poplavskii B.K. – M. : Mashinostroenie, 1985. – 416 s. 3. Louson Ch. Chislennoe reshenie zadach metoda naimen'shih kvadratov / [Ch. Louson, R. Henson ; per. s angl.]. – M. : Nauka, 1986. – 232 s. Петрович В.М. Ідентифікація параметрів математичних моделей динамічних систем керування У статті розглядається програмний комплекс для оцінювання параметрів математичних моделей складних динамічних систем на основі експериментальних даних, отриманих в процесі їх функціонування. Математичною базою даної системи є сучасні методи оптимізації, рекурентні алгоритми оцінювання, методи лінійної алгебри, методи лінійного і нелінійного регресійного аналізу, методи обчислювальної математики. Комплекс використовує об’єктно-орієнтований підхід при реалізації програм, має зручний інтерфейс, не вимагає від користувача знання особливостей мови програмування або деталей схеми організації процесу обчислень в комплексі. Petrovich V.M. Identification of Parameters of Mathematical Models of Dynamic Control Systems The article discusses a software package for estimating the parameters of mathematical models of complex dynamical systems based on experimental data obtained in the course of their operation. The mathematical basis of this system are the modern methods of optimization, recursive estimation algorithms, linear algebra, methods of linear and nonlinear regression analysis, methods of computational mathematics. Complex uses object-oriented approach in the implementation of programs, has a convenient interface that does not require any knowledge of programming language or the details of the schemes of calculations in the complex. Статья поступила в редакцию 06.06.2011.

Ähnliche Einträge