Нецентральное распределение статистики Фишера в гармоническом анализе
Использован тест Фишера для проверки гипотезы Hо относительно взаимозаменяемой альтернативы Нj. Получено распределение статистики Фишера при гипотезе Hj и вычислены вероятности правильного выбора этой гипотезы....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61676 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нецентральное распределение статистики Фишера в гармоническом анализе / В.В. Пусь // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 19-30. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-61676 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-616762014-05-11T03:02:02Z Нецентральное распределение статистики Фишера в гармоническом анализе Пусь, В.В. Информационные технологии Использован тест Фишера для проверки гипотезы Hо относительно взаимозаменяемой альтернативы Нj. Получено распределение статистики Фишера при гипотезе Hj и вычислены вероятности правильного выбора этой гипотезы. Використано тест Фiшера для перевiрки гiпотези Hо відносно взаємозамiнної альтернативи Нj. Отримано розподiл статистики Фiшера при гiпотезi Hj та обчислено імовiрностi правильного вибору цiєї гіпотези. Fischer’s test was used for checking the hypothesis Ho in respect of interchangeable alternative Hj. The distribution of Fischer’s statistics at a hypothesis Hj has been obtained and probabilities of correct choice of this hypothesis have been calculated. 2010 Article Нецентральное распределение статистики Фишера в гармоническом анализе / В.В. Пусь // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 19-30. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61676 519.281:621.391.2 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Информационные технологии Информационные технологии |
| spellingShingle |
Информационные технологии Информационные технологии Пусь, В.В. Нецентральное распределение статистики Фишера в гармоническом анализе Электронное моделирование |
| description |
Использован тест Фишера для проверки гипотезы Hо относительно взаимозаменяемой альтернативы Нj. Получено распределение статистики Фишера при гипотезе Hj и вычислены вероятности правильного выбора этой гипотезы. |
| format |
Article |
| author |
Пусь, В.В. |
| author_facet |
Пусь, В.В. |
| author_sort |
Пусь, В.В. |
| title |
Нецентральное распределение статистики Фишера в гармоническом анализе |
| title_short |
Нецентральное распределение статистики Фишера в гармоническом анализе |
| title_full |
Нецентральное распределение статистики Фишера в гармоническом анализе |
| title_fullStr |
Нецентральное распределение статистики Фишера в гармоническом анализе |
| title_full_unstemmed |
Нецентральное распределение статистики Фишера в гармоническом анализе |
| title_sort |
нецентральное распределение статистики фишера в гармоническом анализе |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Информационные технологии |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61676 |
| citation_txt |
Нецентральное распределение статистики Фишера в гармоническом анализе / В.В. Пусь // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 19-30. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT pusʹvv necentralʹnoeraspredeleniestatistikifišeravgarmoničeskomanalize |
| first_indexed |
2025-07-05T12:37:44Z |
| last_indexed |
2025-07-05T12:37:44Z |
| _version_ |
1836810570645372928 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.281:621.391.2
Â. Â. Ïóñü, ä-ð òåõí. íàóê
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé óíèâåðñèòåò ÃÏÑ Ì×Ñ Ðîññèè
(Ðîññèÿ, 196105, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ìîñêîâñêèé ïð-ò, 149,
òåë. (812)3881047, Å-mail: pous@list.ru)
Íåöåíòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
ñòàòèñòèêè Ôèøåðà â ãàðìîíè÷åñêîì àíàëèçå
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Â.Ï. Ñèìîíåíêî)
Èñïîëüçîâàí òåñò Ôèøåðà äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 îòíîñèòåëüíî âçàèìîçàìåíÿåìîé
àëüòåðíàòèâû Íj. Ïîëó÷åíî ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Ôèøåðà ïðè ãèïîòåçå Hj è âû÷èñ-
ëåíû âåðîÿòíîñòè ïðàâèëüíîãî âûáîðà ýòîé ãèïîòåçû.
Âèêîðèñòàíî òåñò Ôiøåðà äëÿ ïåðåâiðêè ãiïîòåçè H0 â³äíîñíî âçàºìîçàìiííî¿ àëüòåðíàòè-
âè Íj. Îòðèìàíî ðîçïîäië ñòàòèñòèêè Ôiøåðà ïðè ãiïîòåçi Hj òà îá÷èñëåíî ³ìîâiðíîñòi ïðà-
âèëüíîãî âèáîðó öiº¿ ã³ïîòåçè.
K ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: àíàëèç ïåðèîäîãðàìì, àíîìàëüíîå íàáëþäåíèå, ýêñïîíåíöèàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå, ìíîæåñòâåííûå ðåøåíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïðàâèëüíîãî âûáîðà.
Äëÿ âûÿâëåíèÿ ñêðûòûõ ïåðèîäè÷íîñòåé ïðè àíàëèçå âðåìåííûõ ðÿäîâ ñòà-
òèñòè÷åñêèå äàííûå àïïðîêñèìèðóþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ïîëèíîìîì
( cos sin ) cos ( )A w t B w t R w tk k
k
m
k k k k
k
m
k
� �
� �� � �
1 1
� ,
ãäå R A Bk k k
2 2 2� � , tg B Ak k k� � / . Ïðè ýòîì ïîëàãàþò, ÷òî åñëè ïåðèîäè÷-
íîñòü îòñóòñòâóåò, òî êîýôôèöèåíòû Ak è Bk âçàèìíî íåçàâèñèìû è íîð-
ìàëüíî ðàñïðåäåëåíû ñ íóëåâûì ñðåäíèì è äèñïåðñèåé � 2. Òîãäà êâàä-
ðàòû àìïëèòóä Rk òàêæå âçàèìíî íåçàâèñèìû è èìåþò � �2 2
2 ðàñïðåäå-
ëåíèå ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (ýêñïîíåíöèàëüíîå).
Ïðè çíà÷èìîì îòêëîíåíèè âåëè÷èíû Rk
2 îò íóëÿ ïðèõîäÿò ê çàêëþ-
÷åíèþ î íàëè÷èè ïåðèîäè÷íîñòè. Òàêîå ñòàòèñòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå çàäà-
÷è âïåðâûå äàë À. Øóñòåð (ìåòîä ïåðèîäîãðàìì) [1], à ðåøàþùåå ïðàâè-
ëî, èíâàðèàíòíîå ê � 2, ïðåäëîæèë Ð. Ôèøåð [2]. Â ñîâðåìåííîé òðàêòîâ-
êå óêàçàííàÿ çàäà÷à îáñóæäàåòñÿ â ðàìêàõ êðèòåðèåâ äëÿ àíîìàëüíûõ
íàáëþäåíèé (âûáðîñîâ) [3, 4], èëè, â òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ, êàê çàäà-
÷à îáíàðóæåíèÿ ñ ðàçëè÷åíèåì (êëàññèôèêàöèè) ñèãíàëîâ [5, 6].
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 19
������� ����
�
��
�������
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Ñôîðìóëèðóåì
òåñò Ôèøåðà â òåðìèíàõ ïðîâåðêè ãèïîòåç. Ïóñòü
X X Xj m1 , ..., , ..., (1)
åñòü âûáîðêà èç m ïîïóëÿöèé (êàæäîå X k ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íîé ñòà-
òèñòèêîé, îñíîâàííîé íà íåñêîëüêèõ íàáëþäåíèÿõ), ýëåìåíòû êîòîðîé
íåçàâèñèìû, ïîä÷èíÿþòñÿ� �2 2
2 ðàñïðåäåëåíèþ ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáî-
äû, çà èñêëþ÷åíèåì, âîçìîæíî, îäíîãî ýëåìåíòà, èìåþùåãî íåöåíòðàëü-
íîå � � �2
2
2( ) ðàñïðåäåëåíèå c äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, è ïàðàìåòðîì
íåöåíòðàëüíîñòè �.
Ïðîâåðÿåì ãèïîòåçó H0:
X k ~� �2 2
2, k m�1, ..., , (2)
ïðè âçàèìîçàìåíÿåìîé àëüòåðíàòèâå H — âåðíà îäíà èç ðàâíîâåðîÿòíûõ
ãèïîòåç H j ( j = 1, ..., m):
X j ~ ( )� � �2
2
2 , X k ~� �2 2
2, j k , k m�1, ..., , (3)
ãäå ñèìâîë ~ îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü, èëè ïîä÷èíåííîñòü; ïàðàìåòðû j,
�, � 2 íåèçâåñòíû.
Çàìå÷àíèå. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (ÑÂ) Xj â (3), ïîä÷èíÿþùàÿñÿ � � �2
2
2( )
ðàñïðåäåëåíèþ, îïèñûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòåé:
p x x xj j j( ) ( / ( )) exp( ( / ) / )) [ //�
�1 2 22 2 2
0
1 2� � � � ��I , 0�
�x j , (4)
ãäå I0 [ ]� — ìîäèôèöèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà íóëåâîãî
ïîðÿäêà. Êðîìå òîãî, X j ÿâëÿåòñÿ ñóììîé êâàäðàòîâ äâóõ íåçàâèñèìûõ
íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ÑÂ, Uj è Vj, ñî ñðåäíèìè�1 j , �2 j è äèñïåðñèåé
� 2. Ó÷èòûâàÿ ýòî, ïàðàìåòð � �( )2 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
� � � �� �( ) //
1
2
2
2 1 2
j j (� � � �2
1
2
2
2 2� �( ) /j j ). (5)
 ëèòåðàòóðå íå ñëîæèëîñü óñòîÿâøåãîñÿ ìíåíèÿ î òîì, êàê îáîçíà÷àòü
ïàðàìåòð íåöåíòðàëüíîñòè. Íàïðèìåð â [7, 8] òàê íàçûâàþò êîíñòðóêöèþ,
ïîäîáíóþ �2èç (5) (íàçûâàÿ ïðè ýòîì «ïàðàìåòð íåöåíòðàëüíîñòè �2»);
â [9, 10] âûðàæåíèå, ïîõîæåå íà ïðàâóþ ÷àñòü �2, îáîçíà÷àþò � �(m è
íàçûâàþò ïàðàìåòðîì íåöåíòðàëüíîñòè � �(m .
Çäåñü è äàëåå ïîä íåöåíòðàëüíûì � � �2
2
2( ) ðàñïðåäåëåíèåì c äâóìÿ
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è ïàðàìåòðîì íåöåíòðàëüíîñòè � áóäåì ïîíèìàòü
ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ (4) è ïàðàìåòðîì � (5), ò.å. ñëåäóÿ ëîãèêå [7,
8], äëÿ êðàòêîñòè ïàðàìåòð � áóäåì çàïèñûâàòü áåç ñòåïåíè. Òàêîå íàïè-
ñàíèå � îïðàâäàíî òåì, ÷òî â ðàäèîòåõíèêå ïàðàìåòðó � (�2) ñîîòâåòñòâóåò
ïåðâè÷íîå (âòîðè÷íîå) ïîíÿòèå «îòíîøåíèå ñèãíàë—øóì ïî íàïðÿæåíèþ
(ïî ìîùíîñòè)». Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî� � �2
2
2( ) ðàñïðåäåëåíèå ïîäñòàíîâ-
Â. Â. Ïóñü
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
êîé w x j� /� 2 ìîæíî ïðèâåñòè ê ñòàíäàðòíîé íåöåíòðàëüíîé ïëîòíîñòè
p w w w( ) ( / ) exp( ( ) / )) [ )/�
�1 2 22
0
1 2� � �I , êîòîðàÿ ïðè� �0ñòàíîâèòñÿ ïëîò-
íîñòüþ ñòàíäàðòíîãî � 2
2 ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïðîöåäóðà âûáîðà èç ãèïîòåç (2), (3) îñíîâàíà íà êðèòåðèè Ôèøåðà,
ñîãëàñíî êîòîðîìó ãèïîòåçà H0 ïðèíèìàåòñÿ, åñëè
Y X X Ck k r
r
m
�
�
�
��
�
�
��
�
�/
1
, k m�1,..., , (6)
è îòâåðãàåòñÿ â ïîëüçó îäíîé èç ãèïîòåç Hj, j = 1, …, m, åñëè
Y Cj � , Y Yj k� , k j , k m�1,..., . (7)
Çäåñü C — âåðõíÿÿ �-çíà÷èìàÿ òî÷êà, îïðåäåëÿåìàÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
� � ��
�
�
�
�
�
�
� �
�
�P max | ( ) ( )
1
0
1
1
11 1
k m
k
r
m
r
r
t
mY C H C rC , (8)
ãäå P{}� — âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ {}� ; t = [1/C] ([õ] — öåëàÿ ÷àñòü õ); C m
r �
�
m m r r!(( )! !) 1 — áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû.
Ïðîöåäóðà âûáîðà (6), (7) ïðè óñëîâèè (8) — ðàâíîìåðíî íàèáîëåå
ìîùíàÿ â êëàññå ñèììåòðè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ ïðîöåäóð [7].  ðàäèîëî-
êàöèè ïðîöåäóðà (6), (7) èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê çàäà÷à îáíàðóæåíèÿ ñ ðàç-
ëè÷åíèåì m íåíóëåâûõ ñèãíàëîâ â ãàóññîâîì øóìå ñ íåèçâåñòíîé èíòåí-
ñèâíîñòüþ. Ïðèåìíîå óñòðîéñòâî ñîäåðæèò m âåòâåé ïðèåìà, îáúåäèíåííûõ
íà âõîäå, è ïîäêëþ÷åííûõ íà âûõîäå ÷åðåç êâàäðàòè÷íûå äåòåêòîðû ê áëîêó
âûáîðà ìàêñèìàëüíîãî ñèãíàëà. Ïðèåì íåêîãåðåíòíûõ ñèãíàëîâ îñóùåñòâ-
ëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîãëàñîâàííîé ôèëüòðàöèè èëè (âçàèìíî) êîððåëÿöèîííîé
îáðàáîòêè â êàæäîé âåòâè (ñèíôàçíîé è êâàäðàòóðíîé ïîäâåòâÿõ) ïðèåìà,
âûáîðà ìàêñèìàëüíîãî ñèãíàëà è ñðàâíåíèÿ åãî ñ âûõîäíûì íàïðÿæåíèåì
ïåðåìíîæèòåëÿ, íà âõîäû êîòîðîãî ïîäàþòñÿ ïîðîãîâîå íàïðÿæåíèå è ñóììà
íàïðÿæåíèé ñ âûõîäîâ âñåõ âåòâåé ïðèåìà (ïðîöåäóðà ïåðåìíîæåíèÿ òåõ-
íè÷åñêè ïðîùå, ÷åì îïåðàöèÿ äåëåíèÿ). Âûáîðó ãèïîòåçû H0 ñîîòâåòñòâóåò
ïðèíÿòèå ðåøåíèÿ îá îòñóòñòâèè êàêîãî-ëèáî ñèãíàëà íà âõîäå ïðèåìíèêà,
âûáîðó ãèïîòåçû Hj — ïðèíÿòèå ðåøåíèÿ î íàëè÷èè ñèãíàëà j-é ïîçèöèè
(j = 1, ..., m).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç G íàèáîëüøåå èç îòíîøåíèé Yk â (6), (7), ò.å. ïîëî-
æèì G X X X
k m
k m� max / ( ... )
1
1
� �
� � . Ðàñïðåäåëåíèå G ïðè íóëåâîé ãèïîòåçå
(� �0) èçâåñòíî [2, 8] è îïèñûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ
f g m rC rgr
m
r
r
m
m( ) ( ) ( ) ( )�
�
�1 1 11
1
2
(9)
äëÿ 0 < g < 1/r è f (g) = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Íåöåíòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Ôèøåðà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 21
Íåñìîòðÿ íà äàâíîñòü ðàáîòû [2] è ïðîäîëæàþùèéñÿ èíòåðåñ ê òåñòó
Ôèøåðà â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ çíàíèé [11—13], î ðàñïðåäåëåíèè ñòàòèñ-
òèêè G ïðè íåíóëåâîé ãèïîòåçå íå èìååòñÿ íîâûõ äàííûõ — ðàáî÷èå õà-
ðàêòåðèñòèêè òåñòà ïî-ïðåæíåìó îöåíèâàþò ìîäåëèðîâàíèåì [14—16].
Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè G ïðè ãèïîòåçå Hj è íà åãî îñíîâå
âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòü ïðàâèëüíîãî âûáîðà (ÏÂ) ýòîé ãèïîòåçû, ò.å. âå-
ðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ.
Âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ. Ñôîðìóëèðóåì óñëîâèÿ, ïðè êîòî-
ðûõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ÏÂ ãèïîòåçû Hj .
1. Ïîâòîðíàÿ âûáîðêà (1) âêëþ÷àåò àíîìàëüíûé ýëåìåíò Xj, èìåþùèé
íåöåíòðàëüíîå � � �2
2
2( ) ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì íåöåíòðàëüíîñòè �;
ïðè ýòîì èíäåêñû ýëåìåíòà Xj è ãèïîòåçû Hj ñîâïàäàþò.
2. Ýëåìåíò Xj ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì â âûáîðêå (1), ò.å. Xj > Xk äëÿ
âñåõ k j, k = 1, ..., m.
Ðàñïîëîæèì Ñ (1) â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ èõ çíà÷åíèé:
Z Z Zm1 2� � �... . (10)
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óñëîâèÿ Ï âûïîëíåíû. Òîãäà Z Xm j� .
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè G ïðè ãèïîòåçå Hj íåîá-
õîäèìî çíàòü ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåìåíòîâ âàðèàöèîííîãî ðÿäà
(10). Òàêîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëó÷åíî â [17] íà îñíîâå ñëåäóþùåãî âñïîìî-
ãàòåëüíîãî óòâåðæäåíèÿ.
Ëåììà 1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ÏÂ è (1) — íåçàâèñèìûå ÑÂ, èç
êîòîðûõ m – 1 ïîä÷èíÿþòñÿ ( / )1 2 2
2a � ðàñïðåäåëåíèþ ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâî-
áîäû è ïëîòíîñòüþ p x a axk k( ) exp( )�
, (a �1 2 2/ ( )� ), 0�
�xk , k = 1, ...
..., j – 1, j + 1, ..., m, à j-ÿ ÑÂ ( j k, j = 1, ..., m, k = 1, ..., m) èìååò íåöåíò-
ðàëüíîå ( / ) ( )1 2 2
2a � � ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì íåöåíòðàëüíîñòè �
è ïëîòíîñòüþ
p x a ax axj j j
( ) exp( / ) [ ( ) /�
� � �2
0
1 22 2I , 0�
�x j , (11)
ñîâïàäàþùåé (ñ ó÷åòîì áîëåå óäîáíîãî îáîçíà÷åíèÿ a �1 2 2/ ( )� ñ (4)).
Òîãäà âåðîÿòíîñòü P òîãî, ÷òî m ÑÂ ðàñïîëîæàòñÿ â (1) â âèäå íåóáû-
âàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (10) ñ íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì Zm, ðàâíûì Xj,
îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
P{ ... } ( / !) exp( / )Z Z Z S mm m1 1
2 2� � � �
� � , (12)
ãäå
S C rr
m
r
r
m
� ��
�
�( ) exp( / ( ))1 21
1
2 .
(13)
Â. Â. Ïóñü
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
Ëåììà 1 äîêàçûâàåòñÿ ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì âåðîÿòíîñòè
P{ ... }Z Z Zm m1 1� � � �
�
�
!a az az dzm
m m mexp( / ) exp( ) [ ( ) /� � �2
0
0
1 22 2I
! !exp( ) ... exp( )az dz az dzm
z
m
zm
1
0
1 1
0
1
2
. (14)
Ýëåìåíò âåðîÿòíîñòè ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê Z Z Zm m1 1, ..., ,
â îáëàñòè
èõ èçìåíåíèÿ 0 1 1� � � �
�
Z Z Zm m... íàõîäèì ïî èçâåñòíîìó ïðàâèëó
P P P{ , ..., | , ..., } { , ..., }/ { , ...,Z Z Z Z X X Z Zm m m1 1 1 1 2� � � � � Zm}äåëåíèåì ýëå-
ìåíòà âåðîÿòíîñòè íåóïîðÿäî÷åííûõ êîìïîíåíò X X Xj m1 , ..., , ...,
a a x x x ax dxm
j m j
exp( / ( ... ... )) [ ( ) ./
� � � �� � �2
1 0
1 2
12 2I .. ...dx dxj m (15)
íà ýëåìåíò âåðîÿòíîñòè êîíêðåòíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ ýòèõ êîìïîíåíò â îá-
ëàñòè èçìåíåíèÿ, çàäàâàåìîé íåðàâåíñòâàìè 0 1 1� � � �
Z Z Zm m... . Ýòîò
ýëåìåíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåãðàë îò (15) ïî óêàçàííîé îáëàñòè, ò.å.
ïðàâóþ ÷àñòü ñîîòíîøåíèÿ (14), çíà÷åíèå êîòîðîãî, ñîãëàñíî ëåììå 1,
îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (12). Îòñþäà ýëåìåíò âåðîÿòíîñòè ïîðÿäêîâûõ
ñòàòèñòèê Z1 , ..., ,Z Zm m
1 ïðè ãèïîòåçå Hj èìååò âèä
( !/ ) exp( ( ... )) [ ( ) ./m S a a z z z az dzm
m m m� � �
� � �
1 1 0
1 2
12I ..dz dzm m
1 .
Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ñîâìåñòíîé ïëîòíîñòè ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê
Z Z Zm m1 1, ..., ,
ïðè ãèïîòåçå Hj ìîæåò áûòü ðåøåíà è äðóãèì ñïîñîáîì.
Ïóñòü ïî-ïðåæíåìó âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ÏÂ. Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäå-
ëåíèå ñòàòèñòèê Zk, k = 1, ..., m
1, îáðàçóþùèõ íèæíþþ ÷àñòü âàðèàöèîí-
íîãî ðÿäà (10), èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [18, (75)]) è ìîæåò áûòü çàïèñàíî â
âèäå ( )! exp( ... )m a az zm
m
� �
1 1
1 1 , 0 1 1� � �
�
z zm... . Äëÿ òîãî ÷òîáû
ïîëó÷èòü ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âñåõ ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê Zk, k = 1, ...
..., m, íåîáõîäèìî ïîñëåäíåå âûðàæåíèå óìíîæèòü íà ïëîòíîñòü (11) íå-
öåíòðàëüíîãî ( / ) ( )1 2 2
2a � � ðàñïðåäåëåíèÿ
K m a a z z z azm
m m m( )! exp( ( , ... ) / ) [ ( ) /
� � �
1 2 21 1
2
0
1� �I 2� (16)
è íîðìèðóþùóþ êîíñòàíòó, íàïðèìåð K, êîòîðóþ ìîæíî íàéòè èñõîäÿ èç
óñëîâèÿ íîðìèðîâêè è ñïîñîáà çàäàíèÿ âàðèàöèîííîãî ðÿäà (10), à èìåííî
óñëîâèÿ î òîì, ÷òî Zm ÿâëÿåòñÿ åãî ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì. Ýòè îãðàíè-
÷åíèÿ ôîðìóëèðóþòñÿ êàê ñëåäóþùåå òðåáîâàíèå:
1 1 2 22
0
0
1 2�
�
!K m a a z az dzm
m m m( )! exp( / ) exp( ) [ ( ) /� � �I
Íåöåíòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Ôèøåðà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 23
! !exp( ) ... exp( )az dz az dzm
z
m
zm
1
0
1 1
0
1
2
. (17)
Âûïîëíèâ â (17) èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷èì K m S� exp( / ) /� �
2 2 . Ïîäñòàâèâ
çíà÷åíèå K â (16), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
( !/ ) exp( ( ... )) [ ( ) /m S a a z z z azm
m m m� � �
� � �
1 1 0
1 22I ,
0 1 1� � � �
�
z z zm m... . (18)
Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ÏÂ. Òîãäà ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü
ýëåìåíòîâ âàðèàöèîííîãî ðÿäà (10) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (18).
Âûâîä íåöåíòðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàñïðåäå-
ëåíèÿ G Z Z Zm m� / ( ... )1 � � ïðè ãèïîòåçå Hj âíà÷àëå, ñ ó÷åòîì (18), íàéäåì
ìîìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ �, çàïèñàâ h-é ìîìåíò â ôîðìå ëåãêî ïðîâåðÿå-
ìîãî ñîîòíîøåíèÿ [8, (17.6.24)]
E E( ) ... (exp( ( ... ) ( ) ) ...� ��h
m m
ha z z az dt� � �
�
�
! !
0 0
1 1 dth , (19)
ãäå E — ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ; � � � �t th1 ... . Èíòåãðèðóÿ
E (exp( ( ... ) ( ) )a z z z azm m m
h
1 1� � �
�� ïî z zm1 1,...,
, íàõîäèì
E (exp( ( ... ) ( ) )a z z z azm m m
h
1 1� � � �
��
�
�
�
!( !/ ) exp( ( ) [ ( ) /m S a a z z az dzm h
m m
h
m m� �� � �
0
0
1 21 2I
! !exp( ( ) ... exp( ( )a z dz a z dzm m
z zm
1 11 1
0 0
1 1
2
�� �� �
�
ma Sh m1 1 11[ ( ]� ��
�
!
0
0
1 22 1 1 1I [ ( ) exp( ( )( ) ( exp( (/� � �� �az a z z am m m
h � z dzm
m
m))
1 .
Ïðèìåíèâ â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå ïîäñòàíîâêó u zm� 1 2/ è çàïèñàâ åãî â
ôîðìå
2 1 2 11
1 0
0
1 2 2 1( ) [ / ( ) ] exp( (/
�
�
�� !
r
m
r
r
m
hrC a u u raI � � ) )u du2 ,
Â. Â. Ïóñü
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ [19, (6.631.1)] ïîëó÷èì
E (exp( ( ... ) ( ) )a z z z azm m m
h
1 1� � � �
��
�
�
�
�
��( / ) ( ) [ ( ) / ( ( )] (1 1 1 1 11
1
1 1S C h r F hr
m
r
r
m
h m h
� ��" ; ; ( ( )))1 2 1� # �$ r
, (20)
ãäå 1 1F ( ; ; )� � � — âûðîæäåííàÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ [20, c. 237].
Ïîäñòàâèâ ïðàâóþ ÷àñòü (20) â (19) è ðàçëîæèâ ôóíêöèþ 1 1F ( ; ; )� � � â ðÿä,
ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî t1 , ..., th íàéäåì
E ( ) (( ) / )g m Sh �
1 �
� � �
�
�( ) [ ( ) ( ) / ( ( ))] ( ,1 1 1 11
1
2 2
r
m
r
r
m
hC m h r m h F m h" " " ; , ; ( ))m h r� 1 2� #$ ,
(21)
ãäå 2 2F ( ; ; )� � � — îáîáùåííûé ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèé ðÿä [20, c.183].
Èç èíòåãðàëüíûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ îáîáùåííûõ ãèïåðãåîìåòðè÷åñ-
êèõ ðÿäîâ [19, (7.512.12)]
( ) ( ,..., ; ,..., ; )1 1 1
1 1
0
1
�
! x x F a a b b ax dxv
p q p q
�
� � �� �[ ( ) ( ) / ( )] ( , ,..., ; , , ...," " "� % � % % � %p q pF a a b b1 1 1 1 q a; ),
èëè
( ) ( ; ; )1 1 1
1 1 1 1
0
1
�
! x x F a b ax dxv�
� � �[ ( ) ( ) / ( )] ( , ; , ; )" " "� % � % % � %2 2 1 1F a b a ,
çàêëþ÷àåì, ÷òî
[ ( ) ( ) / ( )] ( , ; , ; ( ))" " "h m h m F m h h m r�
� � � �1 1 1 1 22 2 � #$
�
! x x F m x r dxh m( ) ( ; ; ( ))1 1 22
1 1
0
1
� #$ . (22)
Òàêèì îáðàçîì, ñ ó÷åòîì (22) âûðàæåíèå (21) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
E ( ) (( ) / ) ( ) ( ) ( ;g m S r C x x F mh r h
m
r
r
m
h m�
�
�1 1 11
1
2
1 1� 1 2
0
1
; ( ))� #$ r dx! .
(23)
Íåöåíòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Ôèøåðà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 25
Âûïîëíèâ â (23) ïîäñòàíîâêó y = x/r, ïîëó÷èì
E ( ) (( ) / ) ( ) ( ) ( ;g m S r C y ry F mh r
m
r
r
m
h m�
�
�1 1 1 11
1
2
1 1� ; )
/
� #$y dy
r
2
0
1
! .
(24)
Ââåäåì, ïî àíàëîãèè ñ [8, 17.6.1], ôóíêöèþ
&
� #$
r
m
y
ry F m y y r
( )
( ) ( ; ; ), / ,
�
1 1 2 0 1
0
2
1 1
â îñòàëüíûõ òî êàõ,
�
�
�
è çàïèøåì (24) â âèäå
E ( ) (( ) / ) ( ) ( )g m S r C y y dyh r
m
r
r
m
h
r�
�
�!1 1 1
10
1
� & ,
ãäå h = 1, 2,… Èç òåîðåìû î åäèíñòâåííîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ åå ìîìåíòàìè [8, 5.5.1] çàêëþ÷àåì, ÷òî G è Y ðàñïðåäåëåíû
îäèíàêîâî. Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìàÿ ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè G
ïðè ãèïîòåçå Hj îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
f g m S r C gr
m
r
r
m
r( ) (( ) / ) ( ) ( )�
�
�1 1 1
1
� & . (25)
Ñôîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ÏÂ.
Òîãäà ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ñòàòèñòèêè G X X Xj m� � �/ ( ... )1
îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (25), èëè â ðàçâåðíóòîì âèäå
f g
m
S
r C rg F m
gr
m
r
r
m
m
( )
( ) ( ) ( ; ; ,
�
�
�1
1 1 1
2
01
1
2
1 1
�
$�
g r
�
�
'
�
'
1
0
/ ,
â îñòàëüíûõ òî êàõ,
(26)
ãäå 1 1F ( ; ; )� � � — âûðîæäåííàÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî
ïðè � = 0 ïëîòíîñòü (26) ñîâïàäàåò ñ (9). Ïðîâåðèì óñëîâèå íîðìèðîâêè
f g dg
m
S
r C rg F mr
m
r
r
m
m( )
( )
( ) [ ] ; ;
0
1
1
1
2
1 1
1
1 1 1! ��
�
�
�$g
dg
r
2
0
1
�
�
��
�
�
��!
/
.
Èç èíòåãðàëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ [21, 13.1, (95)]
[ ( ) ( ; ; )( )" � �
!
�1 1
0
1 1 1 1
1x F a b ax y x dxv
y
� � �
[ ( ) / ( )] ( , ; , ; )y F a b ay� �% % � % % � %1
2 2 1 1" "
Â. Â. Ïóñü
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
÷
÷
ñëåäóåò
r r g F m g dgm m
r
�!
2 2
0
1
1 1
21 1 2( / ) ( ; ; / )
/
�
�
�
[( ) ] ( , ; , ; / )) [( ) ] /( )m r F m m r m r e r1 1 1 2 11
2 2
2 1 22
� � .
Îòñþäà
f g dg
S
C er
m
r r
r
m
( ) ( ) /( )
0
1
1 2
1
1
1 1
2
! ��
�
��
� .
Ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòü ÏÂ ãèïîòåçû Hj, ò.å. ïðàâèëüíîé èäåíòèôèêà-
öèè j-ãî àíîìàëüíîãî íàáëþäåíèÿ ( { })P G Cïð � �P , îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
P f g dg
m
S
r C rg F
C
r
m
r
r
t
m
ïð � �
! �
�
( )
( )
( ) ( ) (
1
1
1
2
1 1
1
1 1
�
m
g
dg
r
; ; )
/
1
2
0
1
�$
!
�
�
'
�'
�
�
��
�
�
��
�
�
'
�'
�
! ( ) ; ;
( )
(1 1
2
1
12
1 1
0
rg F m
g
dg
m
S
m
C
�$
�
) { }r
m
r
r
t
r C I I
�
�
1
1
1 2 . (27)
Çäåñü t — âåðõíèé ïðåäåë ñóììû, ò.å. íàèáîëüøåå öåëîå, íå ïðåâîñ-
õîäÿùåå çíà÷åíèÿ m, äëÿ êîòîðîãî 1 0
(tC , t C� [ / ]1 , ÷òî îïðåäåëÿåòñÿ
âûáîðîì Ñ (ñì. (8)). Èç ïðîâåðêè óñëîâèÿ íîðìèðîâêè
I rg F m
g
dgm
r
1
2
0
1
1 1
2
1 1
2
�
�
�
��
�
�
�� �
! ( ) ; ;
/
�
[ ( )] /( )r m e r
1 1 22� , (28)
I rg F m
g
dgm
Ñ
2
2
0
1 1
2
1 1
2
�
�
�
��
�
�
��
! ( ) ; ;
�
, 0 1
g r . (29)
Ïðèìåíèâ â (29) ïîäñòàíîâêó w rg� è çàïèñàâ ôóíêöèþ 1 1F ( ; ; )� � � â âèäå
ðÿäà, ïîëó÷èì
I r m
m j r
m j
w
j
j
j
2
1
2
0
1
2
1 1
1�
�
�
�
�
�[ ( )]
( ) ( / ))
( ) ( )
(
"
" "
�
w dwm
rÑ
)
!
2
0
,
èëè, ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ äëÿ íåïîëíîé áåòà-ôóíêöèè [20, 2.5.3]
B p q t t dtx
p q
x
( , ) ( )�
!
1 1
0
1 , B p q
p q
p q
1( , )
( ) ( )
( )
�
�
" "
"
, I p q
B p q
B p q
x
x( , )
( , )
( , )
�
1
,
Íåöåíòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Ôèøåðà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 27
çàïèøåì
I r m I j m r jrC
j
j
2
1 2
0
1 1 1 2�
�
�
�
�[ ( )] ( , ) ( / ( )) / !� .
(30)
Ïîäñòàâëÿÿ â (27) âûðàæåíèÿ (28) è (30), íàõîäèì
P
S
C e r jr
m
r r
r
C
j
ïâ �
�
�
�
�
�1
1 21 2
1
1
22
�
� �( ) ( / ( )) // ( )
[ / ]
!) ( , )I j mrC
j
1 1
0
�
�
�
��
�
� , (31)
ãäå I p qx ( , ) — íåïîëíàÿ áåòà-ôóíêöèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Ïðè âûïîëíåíèè óñëî-
âèé ÏÂ âåðîÿòíîñòü ÏÂ ãèïîòåçû Hj, ò.å. ïðàâèëüíîé èäåíòèôèêàöèè
ñòàòèñòèêè G X X Xj m� � �/ ( ... )1 , îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (31).
Âíóòðåííþþ ñóììó â (31), ïî àíàëîãèè ñ [22], ìîæíî çàïèñàòü â
óäîáíîé äëÿ âû÷èñëåíèé ðåêóðåíòíîé ôîðìå:
( / ( )) / !) ( , ) ( ) exp( / )� �2
0
1 22 1 1 2r j I j m rC C Sj
rC
j
m�
�
�
�
� k
k
m
�
�
0
2
, (32)
ãäå
S 0 1� ; S rC m C rC1
21 1 2�
�( )( / ) / ( )� ;
S rC m k C Sk k�
� �
( )(( / )1 22
1� ( ) ( / ( )) ) / ( )1 22
2
rC r S krCk� .
 òàáëèöå ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè Ï ñ èñïîëüçîâàíèåì òåñòà
Ôèøåðà (6), (7), âû÷èñëåííûå íåïîñðåäñòâåííî ïî ôîðìóëå (31) è ñ ó÷åòîì
(32) äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé �, m è �, à òàêæå çíà÷åíèÿ êîíñòàíò Ñ, ïîëó-
÷åííûå èç (8).
Âûâîäû. Â ðàáîòå [23] òåñò Ôèøåðà áûë îáîáùåí íà �2 ðàñïðåäåëåííûå
Ñ ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû, ïîñëå ÷åãî ïîäîáíûå êîíñò-
ðóêöèè òåñòà ñòàëè èñïîëüçîâàòü äëÿ âûÿâëåíèÿ ñäâèãà äèñïåðñèè [24—26].
Â. Â. Ïóñü
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
m
Pïð ïðè � = 0,01
C
Pïð ïðè � = 0,05
C
� = 4 � = 5 � = 6 � = 7 � = 4 � = 5 � = 6 � = 7
4 0,1910 0,3524 0,5444 0,7222 0,8643 0,4847 0,7052 0,8691 0,9552 0,7679
8 0,3661 0,6403 0,8599 0,9640 0,6152 0,6378 0,8617 0,9683 0,9957 0,5157
16 0,4629 0,7592 0,9384 0,9916 0,3885 0,6951 0,9044 0,9845 0,9988 0,3192
32 0,4975 0,7950 0,9566 0,9957 0,2292 0,7087 0,9032 0,9875 0,9992 0,1880
 ðàññìîòðåííîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è ñîõðàíåí ïîäõîä [1, 2], ïðè êî-
òîðîì âûÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå ñäâèãà ñðåäíèõ çíà÷åíèé (( )� �1
2
2
2 0j j� � ) ó îä-
íîé èç ïàð íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ âåëè÷èí, â ÷åì íå-
òðóäíî óáåäèòñÿ, âû÷èñëèâ ñðåäíåå çíà÷åíèå íåöåíòðàëüíîãî � � �2
2
2( )
ðàñïðåäåëåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ (4) ñ ó÷åòîì (5), ïîëó÷àåì
x p x dxj j j j j( ) ( / ) ( )� � � � �
�
! 2 1 2 22 2 2
0
1
2
2
2� � � � � ,
ãäå ( )� �1
2
2
2
j j� — èñêîìàÿ íåöåíòðàëüíàÿ äîáàâêà, èëè ñäâèã ê ñðåäíåìó
çíà÷åíèþ ($� 2 ) � �2 2
2 ðàñïðåäåëåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (31) äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè Ï íåíó-
ëåâîé ãèïîòåçû Hj (j = 1, ..., m) ïîçâîëÿåò àíàëèòè÷åñêè îöåíèòü ýôôåêòèâ-
íîñòü ðåøàþùåãî ïðàâèëà Ôèøåðà êàê ïî îòíîøåíèþ ê óïðîùåííûì
ðåøàþùèì ïðàâèëàì (ñì., íàïðèìåð, [17, 27]), òàê è ïî îòíîøåíèþ ê óñò-
ðîéñòâàì îáíàðóæåíèÿ ñ ðàçëè÷åíèåì, ðåàëèçóþùèì ýòî ïðàâèëî.
Fischer’s test was used for checking the hypothesis H0 in respect of interchangeable alternative
Hj. The distribution of Fischer’s statistics at a hypothesis Hj has been obtained and probabilities
of correct choice of this hypothesis have been calculated.
1. Schuster A. On the Investigation of Hidden Periodicities with Application to a supposed
Twenty-six-day Period of Meteorological Phenomena // Terr. Mag. — 1898. — 3, ¹ 1. —
P. 13—41.
2. Fisher R. A. Tests of Significance in Harmonic Analysis // Proc. Roy. Soc. — 1929. — Ser. A. —
125. — P. 54—59; Fisher R. A. Contribution to Mathematical Statistics. N. Y., John Wiley
& Sons, Chapman & Hall, London, 1950. Tests of Significance…/Reprinted from Proc.
Roy. Soc. — 1929. — Ser. A, 125. — P. 54—59; P. 16.53a—16.59a.
3. Äýéâèä Ã. Ïîðÿäêîâûå ñòàòèñòèêè. — Ì. : Íàóêà, 1979. — 336 ñ.
4. Barnett V., Lewis T. Outliers in Statistical Data. 2ed. — Norwich : Page Bros., 1984. — 464 p.
5. Pfanzagl J. Ein kombiniertes Test & Klassifications — Problem // Metrika. — 1959. — 2,
¹ 1. — S. 11—45.
6. Òåîðèÿ îáíàðóæåíèÿ ñèãíàëîâ / Ï.Ñ. Àêèìîâ, Ï.À. Áàêóò, Â.À. Áîãäàíîâè÷ è äð. Ïîä
ðåä. Ï.À. Áàêóòà. — Ì. : Ðàäèî è ñâÿçü, 1984. — 440 ñ.
7. Àíäåðñîí Ò. Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç âðåìåííûõ ðÿäîâ. — Ì. : Ìèð, 1974. — 576 ñ.
8. Óèëêñ Ñ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. — Ì. : Íàóêà, 1967. — 632 ñ.
9. Ðàî Ñ. Ð. Ëèíåéíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû è èõ ïðèìåíåíèÿ. — Ì. : Íàóêà, 1968. —
548 ñ.
10. Ñïðàâî÷íèê ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå / Â.Ñ.Êîðîëþê,
Í.È.Ïîðòåíêî, À. Â. Ñêîðîõîä, À. Ô. Òóðáèí; ïîä ðåä. Â. Ñ. Êîðîëþêà. — Êèåâ : Íàóê.
äóìêà, 1978. — 584 ñ.
11. Dargahi-Noubary G. R. A Test of the Cyclicity of Earthquakes // Natural Hazards. —
1997. — 16, ¹ 2—3. — P. 127—134.
Íåöåíòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Ôèøåðà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 29
12. Wichert, S., Fokianos K., Strimmer, K. Identifying Periodically Expressed Transcripts in
Microarray Time Series Data // Bioinformatics. — 2004. — 20. — P. 5—20.
13. Wang Z., Atchley W.R. Spectral Analysis of Sequence Variability in Bacic-helix-loop-helix
(bHLH) Protein Domains // Evol Bioinform Online. — 2006. — 2. — P. 187—196.
14. Darling D. A. On the Test for Homogeneity and Extreme Value // Ann. Math. Statist. — 1952. —
23. — P. 450—456.
15. Ahdesmaki M., Lohdesmaki H., Gracey A. et al. Robust Regression for periodicity Detection
in Non-uniformly Sampled Time-course Gene Expression Data // BMC Bioinformatics. —
2007. — 8:233.
16. Liew A. W., Law N. F., Cao X. Q., Yan H. Statistical Power of Fisher Test for the Detection of
Short Periodic Gene Expression Profiles // Patt. Recogn. — 2009. — 42, ¹ 4. — P. 549—
556.
17. Ïóñü Â. Â. Âåðîÿòíîñòü ïðàâèëüíîé êëàññèôèêàöèè äëÿ áûñòðîãî àíàëîãà òåñòà Ôè-
øåðà // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2005. — 27, ¹ 5. — Ñ. 99—105.
18. Ãàëàìáîø ß. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê. — Ì. :
Íàóêà, 1984. — 304 ñ.
19. Ãðàäøòåéí È. Ñ., Ðûæèê È. Ì. Òàáëèöû èíòåãðàëîâ, ñóìì, ðÿäîâ è ïðîèçâåäåíèé. —
Ì. : Ôèçìàòãèç, 1963. — 1100 ñ.
20. Áåéòìåí Ã., Ýðäåéè À. Âûñøèå òðàíñöåíäåíòíûå ôóíêöèè. Ò.1. Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêàÿ
ôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ Ëåæàíäðà. — Ì. : Íàóêà, 1973. — 296 ñ.
21. Áåéòìåí Ã., Ýðäåéè À. Òàáëèöû èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ò.2. Ïðåîáðàçîâàíèÿ
Áåññåëÿ. Èíòåãðàëû îò ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé. — Ì. : Íàóêà, 1970. — 328 ñ.
22. Tang P. C. The power Function of the Analysis of Variance Tests with Tables and Illustra-
tions of Their Use // Stat. Res. Mem. — 1938. — P. 126—157.
23. Cochren W. G. The Distribution of the Largest of a Set of Estimated Variances as a Fraction
of Their Total // Ann. Eugenics. — 1941—1942. — 11. — P. 47—52.
24. Truak D.R. An Optimal Slippage Test for the Variances of k Normal Distributions // Ann.
Math. Statist. — 1953. — 24. — ¹ 4. — P. 669—674.
25. Doornbos R., Prins H. J. Slippage Test for a Set of Gamma-variates // Indag. Math. — 1956. —
18. — P. 329—337.
26. Ñåáåð Äæ. Ëèíåéíûé ðåãðåññèîííûé àíàëèç. — Ì. : Ìèð, 1980. — 456 ñ.
27. Ïóñü Â. Â. Òåñò êëàññèôèêàöèè ìíîãîïîçèöèîííîãî ñèãíàëà, îñíîâàííûé íà ïîðÿäêî-
âûõ ñòàòèñòèêàõ // Èçâ. âóçîâ Ðàäèîýëåêòðîíèêà.— 1995. — 24, ¹ 4. — Ñ. 65—69.
Ïîñòóïèëà 07.04.10;
ïîñëå äîðàáîòêè 17.05.10
ÏÓÑÜ Âÿ÷åñëàâ Âàñèëüåâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû ýêîíîìèêè è ìåíåäæìåíòà
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà ÃÏÑ Ì×Ñ Ðîññèè.  1962 ã. îêîí÷èë Èí-ò àâèàöèîííîãî
ïðèáîðîñòðîåíèÿ, â 1970 ã. — Ëåíèíãðàäñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé —
îáðàáîòêà èíôîðìàöèè, ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà.
Â. Â. Ïóñü
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
|