Обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. I
Предложено рассматривать мощность трехфазного тока как мощность генератора (источника), помещенного в некоторой точке трехфазной системы. Определены составляющие полной мощности для симметричного и несимметричного периодических режимов....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2012
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61817 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. I / С.Д. Винничук // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 2. — С. 23-38. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-61817 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-618172014-05-12T03:01:57Z Обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. I Винничук, С.Д. Математические методы и модели Предложено рассматривать мощность трехфазного тока как мощность генератора (источника), помещенного в некоторой точке трехфазной системы. Определены составляющие полной мощности для симметричного и несимметричного периодических режимов. Запропоновано розглядати потужність трьохфазного струму як потужність генератора (джерела), розміщеного у певній точці трьохфазної системи. Визначено складові повної потужності для симетричного та несиметричного періодичних режимів. It is proposed to consider power of the three-phase current as the power of the generator (source) placed in a certain point of the three-phase system. The complete power components have been determined for the symmetric and asymmetric periodic operations. 2012 Article Обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. I / С.Д. Винничук // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 2. — С. 23-38. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61817 621.3 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математические методы и модели Математические методы и модели |
| spellingShingle |
Математические методы и модели Математические методы и модели Винничук, С.Д. Обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. I Электронное моделирование |
| description |
Предложено рассматривать мощность трехфазного тока как мощность генератора (источника), помещенного в некоторой точке трехфазной системы. Определены составляющие полной мощности для симметричного и несимметричного периодических режимов. |
| format |
Article |
| author |
Винничук, С.Д. |
| author_facet |
Винничук, С.Д. |
| author_sort |
Винничук, С.Д. |
| title |
Обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. I |
| title_short |
Обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. I |
| title_full |
Обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. I |
| title_fullStr |
Обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. I |
| title_full_unstemmed |
Обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. I |
| title_sort |
обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. i |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61817 |
| citation_txt |
Обоснование теории мощности системы периодических многофазных токов. I / С.Д. Винничук // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 2. — С. 23-38. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT vinničuksd obosnovanieteoriimoŝnostisistemyperiodičeskihmnogofaznyhtokovi |
| first_indexed |
2025-07-05T12:45:59Z |
| last_indexed |
2025-07-05T12:45:59Z |
| _version_ |
1836811089436737536 |
| fulltext |
ÓÄÊ 621.3
Ñ. Ä. Âèííè÷óê, ä-ð òåõí. íàóê
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ
â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. (044) 4249171, e-mail: vynnychuk@i.ua)
Îáîñíîâàíèå òåîðèè ìîùíîñòè ñèñòåìû
ïåðèîäè÷åñêèõ ìíîãîôàçíûõ òîêîâ. ²
Ïðåäëîæåíî ðàññìàòðèâàòü ìîùíîñòü òðåõôàçíîãî òîêà êàê ìîùíîñòü ãåíåðàòîðà (èñòî÷-
íèêà), ïîìåùåííîãî â íåêîòîðîé òî÷êå òðåõôàçíîé ñèñòåìû. Îïðåäåëåíû ñîñòàâëÿþùèå
ïîëíîé ìîùíîñòè äëÿ ñèììåòðè÷íîãî è íåñèììåòðè÷íîãî ïåðèîäè÷åñêèõ ðåæèìîâ.
Çàïðîïîíîâàíî ðîçãëÿäàòè ïîòóæí³ñòü òðüîõôàçíîãî ñòðóìó ÿê ïîòóæí³ñòü ãåíåðàòîðà
(äæåðåëà), ðîçì³ùåíîãî ó ïåâí³é òî÷ö³ òðüîõôàçíî¿ ñèñòåìè. Âèçíà÷åíî ñêëàäîâ³ ïîâíî¿
ïîòóæíîñò³ äëÿ ñèìåòðè÷íîãî òà íåñèìåòðè÷íîãî ïåð³îäè÷íèõ ðåæèì³â.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: àêòèâíàÿ è ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòè, ìîùíîñòü èñêàæåíèÿ, ìîù-
íîñòü íåñèììåòðèè.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Èññëåäîâàíèÿì ïî òåîðèè ìîùíîñòè ïîñâÿùåíû
ðàáîòû ìíîãèõ âûäàþùèõñÿ ó÷åíûõ, òàêèõ êàê Å. È. Áåðêîâè÷, Ê. Áóäÿíó,
À. Ô. Êðîãåðèñ, Ë. Ñ. Ëóðüå, Â. Íåäåëêó, C. Ïåíôèëä, Ã. Å. Ïóõîâ, È. Ðîçåíö-
âåéã, Ñ. Ôðåçå, Ë. ×åðíåöêè è äð. Ðåçóëüòàòû èõ èññëåäîâàíèé îáîáùåíû â
ðîáîòàõ [1, 2]. Îäíàêî äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè îñòàþòñÿ íåðåøåííûìè
âîïðîñû îïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ ïîëíîé ìîùíîñòè è èõ âåëè÷èí äëÿ
ñèììåòðè÷íûõ è íåñèììåòðè÷íûõ ðåæèìîâ. Íå ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîãî
ìíåíèÿ î ñïîñîáå îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè äëÿ íå-
ñèíóñîèäàëüíûõ è íåñèììåòðè÷íûõ ðåæèìîâ [1, 3], íå îïðåäåëåíà âåëè-
÷èíà ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè [4]. Ñïîñîáû îïðåäåëå-
íèÿ âåëè÷èíû àêòèâíîé ìîùíîñòè â òî÷êå ñåòè è òîé åå âåëè÷èíû, êîòîðóþ
ãåíåðàòîð ïåðåäàåò â ñåòü, ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àþòñÿ [5]. Íóæäàåòñÿ â óòî÷-
íåíèè ñìûñë ïîíÿòèÿ ìîùíîñòè íåñèììåòðèè è åå ñîñòàâëÿþùèõ êàê äëÿ
ñèíóñîèäàëüíûõ, òàê è íåñèíóñîèäàëüíûõ ðåæèìîâ ìíîãîôàçíûõ ñåòåé.
Ïðåäëàãàåòñÿ ðàññìàòðèâàòü ñîñòàâëÿþùèå ìîùíîñòè ïî îòíîøåíèþ
ê èñòî÷íèêó êàê ñîçäàâàåìûå ýêâèâàëåíòíûì ãåíåðàòîðîì, ðàçìåùåííûì
â çàäàííîé òî÷êå ñåòè. Áóäåì îïðåäåëÿòü ìãíîâåííûå àêòèâíóþ è ðåàê-
òèâíóþ ìîùíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê èñòî÷íèêó, à òàêæå ñîñòàâëÿþùèå
ïîëíîé ìîùíîñòè äëÿ ñèììåòðè÷íûõ è íåñèììåòðè÷íûõ ðåæèìîâ, êîãäà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 23
ìîùíîñòü íåñèììåòðèè ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îòêëîíåíèå ðåæèìà îò
ñèììåòðè÷íîãî.
Ìîùíîñòü ïåðåìåííîãî òîêà è åå ñîñòàâëÿþùèå â êëàññè÷åñêîé
òåîðèè ìîùíîñòè.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ïî
òåîðèè ìîùíîñòè îñíîâàíû íà èñïîëüçîâàíèè ìãíîâåííîé ìîùíîñòè îä-
íîé ôàçû, à ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü ìíîãîôàçíûõ ñåòåé ÿâëÿåòñÿ ñóììîé
ìãíîâåííûõ ìîùíîñòåé ôàç.
Ìîùíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè (ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü) [1, 2] îïðåäåëÿåòñÿ
êàê èíòåãðàë âåêòîðà Ïîéíòèíãà Ï ïî âñåé ïîâåðõíîñòè À, ïåðåñåêàþùåé
ïðîñòðàíñòâî, çàíÿòîå ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì â çàäàííîé òî÷êå ñèñòå-
ìû, è äëÿ íåçàâèñèìûõ ïðîöåññîâ â ôàçíûõ ïðîâîäàõ ìîæåò áûòü îïðåäå-
ëåíà êàê ñóììà èíòåãðàëîâ ïî êàæäîé èç ôàç:
p d = d d d
A A
a a
A
b b
A
c c� � � � � � � �� � � �Ï E H E H E HA A A A[ ] [ ] [ ] ,
ãäå En è Hn (n = a, b, c) — âåêòîðû íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ è
ìàãíèòíûõ ïîëåé, îïèñûâàþùèõ ïðîöåññû â ïðîâîäàõ ôàç a, b è c.
Äëÿ óäîáñòâà ïðèìåì n = 0 äëÿ ôàçû a, n = 1 äëÿ ôàçû b è n = 2 äëÿ ôàçû
c. Äîïóñòèì, ÷òî â êàæäîé èç ôàç äëÿ èíòåãðàëà Ïîéíòèíãà ñïðàâåäëèâî
ñîîòíîøåíèå
p x t d u x t i x tn
A
n n n n( , ) [ ] ( , ) ( , )� �� E H A , n = 0, 1, 2, (1)
ãäå x — êîîðäèíàòû òî÷êè ñåòè; t — òåêóùåå âðåìÿ. Òîãäà âåñü ïîòîê
ìîùíîñòè, ïåðåäàííûé ÷åðåç ñå÷åíèå À, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
p x t u x t i x t u x t i x t u x t i xa a b b c c�( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,� � � t) . (2)
Çàâèñèìîñòü (2) â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîãî ñèíóñîèäàëüíîãî ðåæèìà
ñâîäèòñÿ ê íåèçìåííîé ïî âðåìåíè âåëè÷èíå
p x t U x I x x�( , ) ( ) ( ) cos ( )�3 � , (3)
ãäå U (x) — äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ; I (x) — äåéñòâóþùåå çíà-
÷åíèå òîêà; cos� (x) — êîñèíóñ óãëà ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì.
 ñëó÷àå íåñèíóñîèäàëüíûõ ïåðèîäè÷åñêèõ (ãàðìîíè÷íûõ) ðåæèìîâ
ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôàçû ìîãóò
áûòü ïðåäñòàâëåíû ðÿäàìè Ôóðüå
u x t u x u x kt
k
k k( , ) ( ) ( ) sin ( )� � �
�
�
0
1
� ,
i x t i x i x kt
k
k k( , ) ( ) ( ) sin ( )� � �
�
�
0
1
� ,
(4)
Ñ. Ä. Âèííè÷óê
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
ãäå � k è � k — óãëû íà÷àëà ôàçû äëÿ k-é ãàðìîíèêè íàïðÿæåíèÿ è òîêà.
Òîãäà óñëîâèå ñèììåòðè÷íîñòè ôàç áóäåò îçíà÷àòü âûïîëíåíèå ñîîò-
íîøåíèé
u x t u x kt
n
n
k
k k( , ) ( ) sin� �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
3
�
�
,
i x t i x kt
n
n
k
k k( , ) ( ) sin� �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
3
�
�
, n = 0, 1, 2,
(5)
è ïðè ïîäñòàíîâêå (5) è (4) â çàâèñèìîñòü (2) ïîëó÷èì âûðàæåíèå
p x t u x i x u x i x t
k
k k k� �( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � �
�
�
3 0 0
1
�
�
�
� �
�
k
k
m m k
m k mu x i x t
1 1
( ) ( ) ( )
( )
,� ,
â êîòîðîì ïðè âûïîëíåíèè òîæäåñòâ
sin ( / )
�kt n
n
�
�
2 3 0
0
2
; cos ( / )
�kt n
n
�
�
2 3 0
0
2
,
sin ( / ) sin ( / )
�
�kt n mt n
n
�
�
2 3 2 3 0
0
2
, m k� ,
sin ( / ) cos ( / )
�
�kt n mt n
n
�
�
2 3 2 3 0
0
2
,
sin ( / ) cos ( / ) /2
0
2
2
0
2
2 3 2 3 3 2
�
�kt n kt n
nn
�
�
��
,
âåëè÷èíû� k t( ) è� k m t, ( ) ïðèíèìàþò âèä
� k k kt kt kt( ) sin ( ) sin ( )� � � �
�
�
�
� � �sin ( / ) sin ( / )
� �
�kt ktk2 3 2 3
�
� �
�
sin ( / ) sin ( / ) / cos ( ),
� �
� � � �kt ktk k k k4 3 4 3 3 2
� k m k nt kt nt, ( ) sin ( ) sin ( )� � � �
�
�
�
�
� �sin ( / ) sin ( / )
� �
� �kt ntk n2 3 2 3
�
� �
�sin ( / ) sin ( / )
� �
� �kt ntk n4 3 4 3
Îáîñíîâàíèå òåîðèè ìîùíîñòè ñèñòåìû ïåðèîäè÷åñêèõ ìíîãîôàçíûõ òîêîâ. ²
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 25
�
�
� � � � �3 2 1 2/ cos ( ( ) ) / cos ( ( ) )
� �
� �k n t k n tk n k n
� � � �
� � � �
1 2 4 3 1 2 8/ cos ( ( ) / ) / cos ( ( )
� � �
� �k n t k n tk n k n � / )3 �
�
�
3 2/ cos ( ( ) )
� �k n t k n .
Ñëåäîâàòåëüíî,
p x t u x i x u x i x
k
k k k k�( , ) ( ) ( ) / ( ) ( ) cos ( )� �
�
�
�
3 3 20 0
1
� �
�
�
�
�
� �
�
3 2
1 1
/ ( ) ( ) cos ( ( ) )
( )k
k
m m k
m k mu x i x k m t
� � . (6)
 ñîîòíîøåíèè (6) ïåðâîå ñëàãàåìîå ìãíîâåííîé ìîùíîñòè îïðåäåëÿåò
àêòèâíóþ ìîùíîñòü ïîñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ òîêà è íàïðÿæåíèÿ òðåõôàç-
íîé ñåòè. Ñóòü âòîðîãî è òðåòüåãî ñëàãàåìûõ íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü.
 îáùåì ñëó÷àå àêòèâíàÿ ìîùíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñðåäíåå çíà÷å-
íèå ìãíîâåííîé ìîùíîñòè íà ïåðèîäå. Îöåíèì òàêóþ âåëè÷èíó ñ èñïîëü-
çîâàíèåì çàâèñèìîñòè (6), ïîëàãàÿ íóëåâûìè ïîñòîÿííûå ñîñòàâëÿþùèå
òîêà è íàïðÿæåíèÿ (i0 è u0):
P x P x P x P xa b c�( ) ( ) ( ) ( )� � � �
� � ��
1
0
T
u x t i x t u x t i x t u x t i x t
T
a a b b c c( ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )) dt �
�
�
�
��
�
�
�� ��
�
�
1
3 2
0 1T
u x i x dt
T
k
k k k k/ ( ) ( ) cos ( )� �
�
�
�
�
�
� �
�
1
3 2
1 1T
u x i x k n t
k
k
m m k
n k n/ ( ) ( ) cos ( ( ) )
( )
� �
�
��
�
�
�� ��
0
T
dt
�
�
�
3 2
1
/ ( ) ( ) cos ( )
k
k k k ku x i x � � .
Çäåñü âòîðîå ñëàãàåìîå — ýòî ñðåäíåå íà ïåðèîäå çíà÷åíèå ìãíîâåííîé
àêòèâíîé ìîùíîñòè òðåõ ôàç P x t�( , ), à òðåòüå ñëàãàåìîå îïðåäåëÿåò âå-
ëè÷èíó îòêëîíåíèÿ ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ p x t�( , ) îò åãî ñðåäíåãî çíà-
÷åíèÿ P x�( ). Íî îïðåäåëÿåòñÿ ëè ïî òàêîìó îòêëîíåíèþ çíà÷åíèå ðåàêòèâ-
íîé ìîùíîñòè? Îäíîçíà÷íî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî íå îïðåäåëÿåòñÿ, òàê
êàê äëÿ ñèíóñîèäàëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî ðåæèìà îòêëîíåíèå p x t�( , ) îò
P x�( ) ðàâíî íóëþ. Òîãäà âîçíèêàåò ñëåäóþùèé âîïðîñ: â ñëó÷àå ñèíóñîè-
Ñ. Ä. Âèííè÷óê
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
äàëüíûõ ðåæèìîâ âåñü ñóììàðíûé ïîòîê ìîùíîñòè ÷åðåç ïðîèçâîëüíîå
ñå÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ïîòîêîì òîëüêî àêòèâíîé ìîùíîñòè? Ýòî — ïåðâîå
çàìå÷àíèå ê îáùåé òåîðèè ìîùíîñòè.
Ïðîáëåìû îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿ ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè Q è çàâèñè-
ìîñòåé äëÿ íåå îêàçàëèñü áîëåå ñëîæíûìè. Îáû÷íî ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü
ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, íàèáîëåå ÷àñòî îïðåäå-
ëÿåìàÿ ïî Áóäÿíó:
Q u i U I
k
k k k
k
k k kÁ � �
�
�
�
�
1
2 1 1
sin ( ) sin ( )� � ,
ãäå� k — óãîë ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì äëÿ k-é ãàðìîíèêè ïðè ðàçëî-
æåíèè òîêîâ è íàïðÿæåíèé â ðÿä Ôóðüå
i t i kt
k
k k( ) sin ( )�
�
�
1
� , u t u kt
k
k( ) sin ( )�
�
�
1
, U uk k� / 2, I ik k� / 2 .
 îáùåì ñëó÷àå ïðè îïðåäåëåíèè âåëè÷èíû Q òðåõôàçíîé ñèììåòðè÷-
íîé ñèñòåìû èñïîëüçóåòñÿ çàâèñèìîñòü (2) òîëüêî äëÿ îäíîé ôàçû, ãäå ïî
çíà÷åíèÿì òîêîâ è íàïðÿæåíèé êàæäîé èç ôàç â îòäåëüíîñòè îïðåäåëÿþò:
àêòèâíóþ ìîùíîñòü P êàê ñðåäíþþ íà ïåðèîäå âåëè÷èíó, ðåàêòèâíóþ Q
êàê îòêëîíåíèå ìãíîâåííîé àêòèâíîé ìîùíîñòè îò ñðåäíåãî åå çíà÷åíèÿ
íà ïåðèîäå, à ïîëíóþ S êàê ïðîèçâåäåíèå äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ òîêà I íà
äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ U. Íà îñíîâàíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðå-
îáðàçîâàíèé çàâèñèìîñòè (2) äëÿ ìãíîâåííîé ìîùíîñòè îäíîé ôàçû ïðè
åå ïðåäñòàâëåíèè â âèäå ðÿäà Ôóðüå âûäåëÿþò ïîñòîÿííóþ, êîñèíóñíóþ è
ñèíóñíóþ ñîñòàâëÿþùèå, ãäå ñèíóñíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ â ñëó÷àå ñèíóñîè-
äàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé [6] ÷àñòî îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ òàê íàçûâàåìîé
ðåàêòèâíîé ìîùíîñòüþ öåïè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâèëà îïðåäåëåíèÿ âåëè-
÷èí àêòèâíîé è ðåàêòèâíîé ìîùíîñòåé îñíîâàíû íà ôîðìàëüíîé ìàòå-
ìàòè÷åñêîé ïðîöåäóðå óñëîâíîãî âûäåëåíèÿ îäíîé ôàçû èç îáùåé òðåõ-
ôàçíîé ñèñòåìû. Ýòî — âòîðîå çàìå÷àíèå ê îáùåé òåîðèè ìîùíîñòè.
Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé ñïðàâåäëèâî
ñîîòíîøåíèå
S P Q2 2 2� � , (7)
êîòîðîå ìîæåò áûòü íàðóøåíî äëÿ íåñèíóñîèäàëüíûõ ñèììåòðè÷íûõ
òîêîâ è íàïðÿæåíèé. Ïîýòîìó çàâèñèìîñòü (7) äîïîëíÿåòñÿ ìîùíîñòüþ
èñêàæåíèÿ D:
S P Q D2 2 2 2� � � . (8)
Îáîñíîâàíèå òåîðèè ìîùíîñòè ñèñòåìû ïåðèîäè÷åñêèõ ìíîãîôàçíûõ òîêîâ. ²
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 27
Ïðè ïåðåõîäå ê ìíîãîôàçíûì òî-
êàì è íàïðÿæåíèÿì è îïðåäåëåíèè
ìîùíîñòåé êàê ñóììû ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ ìîùíîñòåé ôàç â ñëó÷àå íåñèì-
ìåòðè÷íûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó ñîñ-
òàâëÿþùèìè ìîùíîñòè â (8) äëÿ ðàç-
íûõ ôàç íàðóøàåòñÿ ñîîòíîøåíèå äëÿ
ñóììàðíîé ïîëíîé ìîùíîñòè. Âåëè-
÷èíó òàêîãî ðàññîãëàñîâàíèÿ íàçû-
âàþò ìîùíîñòüþ íåñèììåòðèè Í.
Òîãäà
S P Q D H Ha
2 2 2 2 2 2� � � � � �, (9)
ãäå H a è H � — àìïëèòóäíàÿ è ôàçíàÿ
ìîùíîñòè íåñèììåòðèè. Ñîîòíîøå-
íèå (9) îòîáðàæàåò ñóòü êëàññè÷åñêîé òåîðèè ìîùíîñòè, è òåîðèè ìîù-
íîñòè Ôðèçå, îñíîâíûìè çàìå÷àíèÿìè ê êîòîðîé îêàçàëèñü ïðèìåðû òîêîâ
è íàïðÿæåíèé, êîãäà óãîë ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì â ñåòè ñîâïàäàë, íî
âñëåäñòâèå èñêàæåíèÿ íåñèíóñîèäàëüíûõ è (èëè) íåñèììåòðè÷íûõ òîêîâ è
íàïðÿæåíèé âåëè÷èíà ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè íå ðàâíÿëàñü íóëþ. Îäèí èç
âàðèàíòîâ òàêèõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé ïðèâåäåí â ðàáîòå [7]. Íàëè÷èå òàêèõ
ïðèìåðîâ äàåò îñíîâàíèå óòâåðæäàòü, ÷òî âîïðîñ îòíåñåíèÿ ñîñòàâëÿþ-
ùèõ ìîùíîñòè èñêàæåíèÿ è íåñèììåòðèè ê ðåàêòèâíîé èëè àêòèâíîé
ñîñòàâëÿþùåé ïîëíîé ìîùíîñòè íóæäàåòñÿ â äîïîëíèòåëüíîì èçó÷åíèè,
êàê è ôèçè÷åñêèé ñìûñë ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè. Ýòî — òðåòüå çàìå÷àíèå ê
îáùåé òåîðèè ìîùíîñòè.
Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü òðåõôàçíîé ñèììåòðè÷íîé ñèñòåìû îòíîñè-
òåëüíî èñòî÷íèêà.  òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí àêòèâíàÿ ìîùíîñòü
Pg, ïåðåäàâàåìàÿ ìàøèíîé â ñåòü, ðàññ÷èòûâàåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå îáîá-
ùåííûõ âåêòîðîâ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E è âåêòîðà íàïðÿ-
æåíèÿ U ïî ôîðìóëå
P x xg c c� � � �E U E U/ / sin�. (10)
Ïðîàíàëèçèðóåì ñòðóêòóðó âåêòîðîâ E è U. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíû
îáîáùåííûå âåêòîðû òîêà I I( )� 2 I è íàïðÿæåíèÿ U U( )� 2U , ñîîò-
âåòñòâóþùèå ñèììåòðè÷íîìó ñèíóñîèäàëüíîìó ðåæèìó ðàáîòû òðåõôàç-
íîé ñèñòåìû [8, ñ. 242], ãäå ýëåìåíòû ñõåìû ïðåäñòàâëåíû òîëüêî èíäóê-
òèâíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè. Çíà÷åíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé äëÿ êàæäîé
ôàçû ÿâëÿþòñÿ ïðîåêöèÿìè âåêòîðîâ I èëè U íà òðè îñè âðåìåíè [8],
êàæäàÿ èç êîòîðûõ âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ
ïðîòèâ
÷àñîâîé ñòðåëêè.
Ñ. Ä. Âèííè÷óê
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà ýëåêòðîïåðåäà÷è
Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, âåêòîð E E( )� 2 E ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
ñóììû âåêòîðîâ
E U Ix U I� � � � �c cx , (11)
ãäå I� — âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé âåêòîðó I è ðàâíûé åìó ïî äëèíå. Ñ
ó÷åòîì (11) âûðàæåíèå (10) â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîãî ðåæèìà ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
P x x xg g c c c� � � � � � ��P E U U I U/ ( ) /
� � � �
�� �I U I U I Usin ( cos90 �� � . (12)
Ïðåäñòàâèì îáîáùåííûå âåêòîðû êîîðäèíàòàìè: I� � � �� ( , , ), , ,i i ia b c ,
U � ( , , )u u ua b c . Òîãäà âåëè÷èíà ìãíîâåííîé àêòèâíîé ìîùíîñòè áóäåò
P I Ug
a b
a b
a c
a
b c
b c
i i
u u
i i
u uc
i i
u u
� � � � � ��
� � � � � �, , , , , ,
2 2 2
�
�
�
� � � � � �( ) ( ) ( ), , , , , ,i u i u i u i u i u i ua b b a a c c a b c c b
2 2 2. (13)
 ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîãî ðåæèìà ôîðìóëà (13) îïèñûâàåò âñþ àêòèâ-
íóþ ìîùíîñòü, ïåðåäàâàåìóþ ãåíåðàòîðîì â ñåòü. Òàêóþ çàâèñèìîñòü
ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëíîé àêòèâíîé ìîùíîñòè ñèììåò-
ðè÷íîãî òðåõôàçíîãî òîêà äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ñåòè, åñëè äëÿ âåêòîðà
I � ( , , )i i ia b c ïîñòðîèòü îðòîãîíàëüíûé åìó âåêòîð I� � � �� ( , , ), , ,i i ia b c .
Ðàññìîòðèì ñèíóñîèäàëüíûé ðåæèì è îïðåäåëèì çíà÷åíèÿ ìãíîâåí-
íîé è ñðåäíåé íà ïåðèîäå âåëè÷èí àêòèâíîé ìîùíîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ
ñîîòíîøåíèÿìè (10)—(13). Äëÿ ñèíóñîèäàëüíîãî ðåæèìà ôîðìóëà (13)
ìîæåò áûòü óòî÷íåíà, à èìåííî ìîæíî íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ìîäóëÿ
âåêòîðîâ U è I� è ïðåäñòàâèòü âåëè÷èíó àêòèâíîé ìîùíîñòè â îáû÷íîé
ôîðìå ÷åðåç äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ òîêà è íàïðÿæåíèÿ:
P I U� � �cos cos cos� � �
3
2
3I U UIa a . (14)
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (5) äëÿ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé,
ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà (14) äàñò òàêîé æå ðåçóëüòàò. Äåéñòâèòåëüíî,
P I Ug a b b a a c c a b ci u i u i u i u i u� � �
�
�
� � � � � �( ) ( ) (, , , , ,
2 2 i uc b� �, )2
� � �U I U Ia a a a9 4 3 22/ sin ( ) / sin ( )�� �
� �� �
�
� �3 2 3/ cos cosU I UIa a � � .
Îáîñíîâàíèå òåîðèè ìîùíîñòè ñèñòåìû ïåðèîäè÷åñêèõ ìíîãîôàçíûõ òîêîâ. ²
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 29
 ñëó÷àå ñèíóñîèäàëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî ðåæèìà âåëè÷èíà àêòèâíîé
ìîùíîñòè, ïåðåäàâàåìîé â ñèñòåìó ãåíåðàòîðîì, â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ
âåëè÷èíîé p x t�( , ), ñîãëàñíî (3), ñî çíà÷åíèåì, ïîëó÷åííûì ïî ôîðìóëå
(13), è ñî çíà÷åíèåì àêòèâíîé ìîùíîñòè òðåõôàçíîãî òîêà, êîòîðûé îïðå-
äåëÿåòñÿ êàê óòðîåííîå ñðåäíåå íà ïåðèîäå çíà÷åíèÿ ìãíîâåííîé ìîù-
íîñòè îäíîé ôàçû.
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñèíóñîèäàëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî ðåæèìà ñóììàð-
íàÿ ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü òðåõ ôàç âî âñåõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîé
îò âðåìåíè âåëè÷èíîé (êîíñòàíòîé), ÷òî õàðàêòåðíî êàê äëÿ p x t�( , ), òàê è
äëÿ ìîäóëÿ ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ àêòèâíîé ìîùíîñòè (12) èëè (13).
Ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü òðåõôàçíîé ñèììåòðè÷íîé ñèñòåìû îòíî-
ñèòåëüíî èñòî÷íèêà. Äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðîâ, A è B, ñïðàâåä-
ëèâî ñîîòíîøåíèå
( ) ( ) ( )A B A B A B� � � � �2 2 2. (15)
Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå (15) ñïðàâåäëèâî è äëÿ âåêòîðîâ I� � � �� ( , , ), , ,i i ia b c ,
U � ( , , )u u ua b c . Äåéñòâèòåëüíî,
( ) ( )U I U I� � � �� �
2 2
�
�
�
� � � � � �( ) ( ) ( ), , , , , ,i u i u i u i u i u i ua b b a a c c a b c c b
2 2 2 �
� � � � �
� � � � � �( ), , , , , ,
i u i u i u i u i u i ua a b b c c a b b a a b
2 2 2 2 2 2 i u
b a� �
,
� �
� �� � � � � �i u i u i u i u i u i ua c c a a c c a c b b c, , , , , ,
2 2 2 2 2 2 2 22
�� �2 i u i u
c b b c, ,
� � � � �� � � � � �i u i u i u i u i u i u ia a b b c c a a b b a a, , , , , ,
2 2 2 2 2 2 2 2 � � �� �
, , ,c c b b c cu i u i u2
� � � � � � � �� � �i u u u i u u u i u ua b c a b a c b c a, , ,( ) ( ) (2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b cu2 2� �)
� � � � � � � � � ��( )( ) ( , )i i i u u u s x tb c a b c a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
U I U I .
Ñëåäîâàòåëüíî,
s x t x t x t x t x t x t2 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ( , ) ) ( ( , )� � � � � ��U I U I U I� �( , ))x t 2
� �p x t z x tg g
2 2( , ) ( , ) ,
ãäå z x tg ( , ) — íåêîòîðàÿ ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü, ñìûñë êîòîðîé íåîáõî-
äèìî óñòàíîâèòü.
Äëÿ ñèíóñîèäàëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî ðåæèìà
z s p U I U I U I Qg g
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 29 9 9�
�
cos sin� � � ��� ��Á ,
Ñ. Ä. Âèííè÷óê
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
ò.å. z x tg ( , ) — ýòî ìãíîâåííàÿ ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü (ÌÐÌ). Â îáùåì
ñëó÷àå äëÿ ñèììåòðè÷íîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ðåæèìà ìîæíî çàïèñàòü
z x t s x t p x tg g
2 2 2( , ) ( , ) ( , )�
�
� �
� � �� �U I U I U I( , ) ( , ) ( ( , ) ( , ) ) ( ( , ) ( , )x t x t x t x t x t x t
2 2 2 )2.
Ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáîáùåííûõ âåêòîðîâ òîêà è íà-
ïðÿæåíèÿ U I( ) ( )t t� � â îáùåì ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêîãî ãàðìîíè÷íîãî ïðî-
öåññà è îòñóòñòâèÿ ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé äëÿ òîêà è íàïðÿæåíèÿ. Ïðè
óñëîâèè ñèììåòðè÷íîñòè òîêè è íàïðÿæåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
u x t u x kta k k
k
( , ) ( ) sin ( )� �
�
�
�
1
, i x t i x kta k k
k
�
�
�
� � � , ( , ) ( ) sin ( / )
� � 2
1
,
u x t u x ktb k k
k
( , ) ( ) sin� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2
31
, i x t i x ktb k k
k
( , ) ( ) sin� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2
3 21
,
u x t u x ktc k k
k
( , ) ( ) sin� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2
31
, i x t i x ktc k k
k
( , ) ( ) sin� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2
3 21
,
ãäå � k è � k — óãëû íà÷àëà ôàçû äëÿ k-é ãàðìîíèêè íàïðÿæåíèÿ è òîêà.
Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ I� � � �� ( , , ), , ,i i ia b c è U � ( , , )u u ua b c
çàïèøåì â âèäå
z x t x t x tg ( , ) ( , ) ( , )� � ��U I
� � �� � �u x t i x t u x t i x t u x t i x ta a b b c c( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,, , , ) �
� �
�
�
�
�
�
� �
� �
�
m
k k
k
n nu x kt
m
i x nt
0
2
1
2
3
( ) sin ( ) sin
�
�
� �
� �
2
2
31
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
�� �
�
�
m
n
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
m k
k k n nu x kt
m
i x nt
0
2
1
2
3
( )sin ( )sin
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
���
� � �
� �
�
� �
�
�
2
2
3
2
2
1
m
i x kt
n k
k n( )sin
m
u x nt
m
n n
n k
�
�
�
3
2
31
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
���
� �
�
( )sin
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
u x kt
m
i x nt
m
k k k n( )sin ( ) sin
�
�
�
� �2
3 2
2
3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
(16)
Îáîñíîâàíèå òåîðèè ìîùíîñòè ñèñòåìû ïåðèîäè÷åñêèõ ìíîãîôàçíûõ òîêîâ. ²
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 31
Èçìåíèâ ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ â (16), ïîëó÷èì
z x tg ( , ) �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
k
m
k k k nu x kt
m
i x nt
1
0
2
2
3
( ) sin ( ) sin
�
�
� �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
�
�
2
2
3
2
3
1
0
2
m
u x kt
m
n k
m
k k( ) sin �
�
� � �
�
�
�
�
�
��
� � �
i x nt
m
i x kt
n n
k n
( ) sin
( ) sin
�
� �
�
�
2
2
3
2
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
2
3
2
30
2
m
u x nt
m
n n
m
�
�
�
( ) sin
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé
k n n k m
k k nu x kt
m
i x
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
1 1 0
2
2
3,
( ) sin ( ) si
�
�
n
�
� �
nt
m
n� �
�
�
�
�
�
� �
2
2
3
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
k n n k
k n
m
ku x i x kt
m
1 1 0
2
2
3,
( ) ( ) sin s
�
�
in
�
� �
nt
m
n� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�� �2
2
3
�
�
��
�
�
�
��
�
� �
k n n k
k n k nu x i x k n t
1 1
3
2 2,
( ) ( ) cos )
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
k n n k
k n k nu x i x k n t
1 1
3
2,
( ) ( ) sin ( ) )
� � �
çàïèøåì
z x tg ( , ) �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
k
k k
m
k ku x i x kt
1
0
2
1
2 2
2( ) ( ) cos cos� �
�
� k k
n n k
k n
m
u x i x
��
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
� �
2
4
3
3
21,
( ) ( ) sin (
� � �k n t k n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
) )
�
�
�
�
�
�
��
�
�
� �
3
2 21 1k
k k k k
n n k
ku x i x u x i( ) ( )cos ( )
,
� �
�
n k nx k n t( )sin( ) ) .
� � �
�
�
�
��
�
�
��
Ñ. Ä. Âèííè÷óê
32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
Îïðåäåëèì âåëè÷èíó ìîùíîñòè êàê ñðåäíåå íà ïåðèîäå çíà÷åíèå
ÌÐÌ:
Z x
T
z x t dtg
T
g( ) ( , )� ��
1
0
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
1 3
2
2
0 1
1
T
u x i x
T
k
k k k k
n n k
( ) ( ) cos
,
� �
�
u x i x k n tk n k n( ) ( ) sin ( ) )
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�dt
�
�
�
��
�
�
�� ��
�
�
1 3
2
0 1T
u x i x dt
T
k
k k k k( ) ( ) sin ( )� �
�
�
�
�
�
� �
�
1 3
2
0 1 1T
u x i x k n t
T
k
k
n n k
n k n( ) ( ) cos ( ( )
( )
� � )
�
�
��
�
�
�� �dt
�
�
�
�
�
�
3
2
3
1 1k
k k k n
k
k ku x i x U x I x( ) ( ) sin ( ) ( ) ( ) sin (� � � k k
� ).
Êàê âèäèì, âûðàæåíèå ñðåäíåãî íà ïåðèîäå çíà÷åíèÿ ÌÐÌ z x tg ( , )
ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè ïî Áóäÿíó è ñ
åå óòðîåííûì çíà÷åíèåì äëÿ îäíîé ôàçû. Èìåííî ïîýòîìó âåëè÷èíó
z x tg ( , ) ìîæíî ñ÷èòàòü ÌÐÌ, êîòîðóþ â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü
÷åðåç q x t�( , ) , à ìîùíîñòü Z xg ( ) — ðåàêòèâíîé ìîùíîñòüþ òðåõôàçíîé
ñèììåòðè÷íîé ñèñòåìû, êîòîðóþ îáîçíà÷èì Q xg ( ).
Ìãíîâåííàÿ ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü îäíîé ôàçû.  êëàññè÷åñêîé
òåîðèè ìîùíîñòè àêòèâíóþ ìîùíîñòü Ð îäíîé ôàçû äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
ïåðèîäè÷åñêîãî ðåæèìà îïðåäåëÿþò êàê ñðåäíåå çíà÷åíèå åå ìãíîâåííîé
ìîùíîñòè p x t u x t i x t( , ) ( , ) ( , )� :
P
T
p x t dt
T
u x t i x t dt
T T
� �� �
1 1
0 0
( , ) ( , ) ( , ) ,
(17)
ãäå ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü — ýòî îòêëîíåíèå ìãíîâåííîé ìîùíîñòè p (x, t)
îò Ð. Ñëåäîâàòåëüíî, íàõîæäåíèå ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè îäíîé ôàçû âîç-
ìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäà óæå èçâåñòíî çíà÷åíèå àêòèâíîé ìîùíîñòè
ýòîé ôàçû. Íî âîçìîæåí è äðóãîé ïîäõîä, à èìåííî îïðåäåëåíèå ðåàêòèâíîé
ìîùíîñòè íà îñíîâàíèè åå ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ, ò.å. ïî ôîðìóëå, àíàëî-
ãè÷íîé (17), åñëè íàéäåíà çàâèñèìîñòü äëÿ ÌÐÌ îäíîé ôàçû.
Îáîñíîâàíèå òåîðèè ìîùíîñòè ñèñòåìû ïåðèîäè÷åñêèõ ìíîãîôàçíûõ òîêîâ. ²
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 33
Ïðîáëåìà îïðåäåëåíèÿ ÌÐÌ èçâåñòíà äàâíî. Â ðàáîòå [9] äàíî îïðå-
äåëåíèå ÌÐÌ â d�q-êîîðäèíàòàõ è ïðåäëîæåí IRP-ìåòîä îïðåäåëåíèÿ
ñîñòàâëÿþùèõ ïîëíîé ìîùíîñòè. Íî èñïîëüçîâàíèå ïîëíîé ìîùíîñòè â
ñëó÷àå íåñèììåòðè÷íûõ ðåæèìîâ ïðèâîäèò ê íåïðàâèëüíîìó îïðåäåëå-
íèþ åå ñîñòàâëÿþùèõ.  ðàáîòå [4] óêàçàíî, ÷òî îñíîâíîé ïðè÷èíîé
íåïðàâèëüíûõ îïðåäåëåíèé ýíåðãåòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê â òðåõôàçíîé
ñèñòåìå ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå äîñòàòî÷íîãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþ-
ùèõ òîêè è íàïðÿæåíèÿ òðåõôàçíîãî ðåæèìà äàæå â ñëó÷àå ñèíóñîè-
äàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé (âñåãî äâà ïàðàìåòðà ïðè òðåõ çíà÷åíèÿõ
òîêîâ è íàïðÿæåíèé).
Ìãíîâåííàÿ ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà íà îñíîâà-
íèè ôîðìàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé (ãàðìîíè÷åñêàÿ àïïðîê-
ñèìàöèÿ) çàâèñèìîñòè (2) äëÿ îäíîé ôàçû ñ âûäåëåíèåì ñèíóñíîé ñîñòàâ-
ëÿþùåé [6] èëè íà îñíîâàíèè äåêîìïîçèöèè òîêà íà îðòîãîíàëüíûå ñîñ-
òàâëÿþùèå (ñì., íàïðèìåð, [10]).  ïåðâîì ñëó÷àå âîçíèêàþò ïðîáëåìû ñ
ïðàâèëüíûì îïðåäåëåíèåì ýíåðãåòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê, âî âòîðîì — ñ
îáíóëåíèåì ñèíóñíîé ñîñòàâëÿþùåé äëÿ ñóììàðíîé ÌÐÌ òðåõ ôàç â ñèì-
ìåòðè÷íîì ñèíóñîèäàëüíîì ðåæèìå.
Òàêèõ íåäîñòàòêîâ íå èìååò çàâèñèìîñòü (16), ñîãëàñíî êîòîðîé çíà-
÷åíèå ðåàêòèâíîé ÌÐÌ qg (èñòî÷íèêà) òðåõôàçíîé ñèììåòðè÷íîé ñèñ-
òåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå q x t u x t i x t u x t i x ta a b b�( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ,� � �� �
� �u x t i x tc c( , ) ( , ), , ãäå â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íûõ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è
íàïðÿæåíèé çíà÷åíèå ÌÐÌ ïðèíèìàåò âèä, àíàëîãè÷íûé (4) äëÿ ñóììàð-
íîé ìãíîâåííîé àêòèâíîé ìîùíîñòè: q x t U x I x x�( , ) ( ) ( ) sin ( )� �const 3 � .
Òàêèì æå ñïîñîáîì ìîæíî îïðåäåëèòü è ÌÐÌ äëÿ êàæäîé ôàçû:
q x t u x t i x ta a a( , ) ( , ) ( , ),� � ,
q x t u x t i x tb b b( , ) ( , ) ( , ),� � , (18)
q x t u x t i x tc c c( , ) ( , ) ( , ),� � .
Èññëåäóåì ñâîéñòâà çàâèñèìîñòåé (18) äëÿ ñèíóñîèäàëüíîãî è ïðîèç-
âîëüíîãî ãàðìîíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Ïîêàæåì, ÷òî ñðåäíåå íà ïåðèîäå
çíà÷åíèe ÌÐÌ ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè ïî Áóäÿíó.
Ïóñòü òîêè è íàïðÿæåíèÿ ñèììåòðè÷íîé òðåõôàçíîé ñèñòåìû îïèñûâàþò-
ñÿ çàâèñèìîñòÿìè
u x t u x kt
k
k k( , ) ( ) sin ( )� �
�
�
1
� , i x t i x kt
k
k k( , ) ( ) sin ( )� �
�
�
1
� ,
i x t i x kt i x k
k
k k
k
k�
�
�
�
�
� � � � ( , ) ( ) sin ( / ) ( ) cos (
1 1
2
� �
t k�� ).
Ñ. Ä. Âèííè÷óê
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
Âû÷èñëèì ñðåäíåå íà ïåðèîäå çíà÷åíèe ÌÐÌ q x t u x t i x t( , ) ( , ) ( , )� � :
Q x q x t dt u x t i x t dt( ) ( , ) ( , ) ( , )
/ /
� � �� � �
0
1
0
1
� � ��
�
�
�
�
�
�
0
1
1 1
/
( ) sin ( ) ( ) cos ( )
k
k k
n
n nu x kt i x nt dt �
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
0
1
1
1
/
( )sin ( ) ( ) cos (
k
k k
n k
n nu x kt i x nt )
( ) cos ( ) ( )sin ( )
( )s
�
� � � �
�
� �
�
i x kt u x nt
u x
k k
n k
n n
k
�
�
1
in ( ) ( ) cos ( )
�
�kt i x kt
dt
k k k� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � ��
�
�
� �
0
1
1
0 0 2 2
/
( ( ) ( ) / (sin ( ) sin (
k
k k k ku x i x kt � �k k dt
�)))
�
��
�
�
� �
0
1
1
2
/
( ( ) ( ) / (sin ( )))
k
k k k ku x i x dt
�
�
�
�
�
� �
k
k k k ku x i x dt
1 0
1
2 1( ( ) ( ) / (sin ( )))
/
�
�
�
�
�
�
k
k k k k
k
k ku x i x U x I x
1 1
2( ( ) ( ) / sin ( )) ( ) ( ) sin (� � � �k k
) .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî ïðîöåññà (âêëþ-
÷àÿ è ñèíóñîèäàëüíûé) ñðåäíåå íà ïåðèîäå çíà÷åíèå ÌÐÌ îäíîé ôàçû
ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè ïî Áóäÿíó, è ïðè ýòîì íå òðå-
áóåòñÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ ñèììåòðè÷íîñòè òîêîâ è íàïðÿæåíèé òðåõ-
ôàçíîé ñèñòåìû. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî àíàëîãè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ðåàê-
òèâíîé ìîùíîñòè ïðèâåäåíî â ðàáîòå [1, ñ. 35], ãäå äëÿ ýòîãî èñïîëüçóþòñÿ
ôàçîðû (âåêòîðû òðåõ ôàçíûõ íàïðÿæåíèé, èñõîäÿùèå èç öåíòðà òÿæåñòè
òðåóãîëüíèêà).
Ñîñòàâëÿþùèå ìîùíîñòè îòíîñèòåëüíî èñòî÷íèêà äëÿ òðåõôàç-
íîé ñèììåòðè÷íîé ñèñòåìû. Åñëè ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü Qg (õ) îòíîñè-
òåëüíî èñòî÷íèêà ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ åå îïðåäåëåíèåì ïî Áóäÿíó, òî
Îáîñíîâàíèå òåîðèè ìîùíîñòè ñèñòåìû ïåðèîäè÷åñêèõ ìíîãîôàçíûõ òîêîâ. ²
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 35
ñìûñë àêòèâíîé ìîùíîñòè Pg (õ) îòíîñèòåëüíî èñòî÷íèêà íåîáõîäèìî
âûÿñíèòü. Ñðàâíèì âåëè÷èíû àêòèâíîé ìîùíîñòè Pg (õ) è P x�( ), ðàññìàò-
ðèâàÿ ðàçíîñòü P x P xg
2 2( ) ( )
� , çíàê êîòîðîé ñîâïàäàåò ñî çíàêîì ðàçíîñòè
P x P xg ( ) ( )
� :
( ) / ( ) / ( )(P P S Q P
T
i i i ug g
T
a b c a
2 2 2 2 2
0
2 2 2 29 9
1
9
�
� � ��� � � �
u u dtb c
2 2 )
� �
� �� �� � �
1
9
1
9
0
2
0
T
i u i u i u dt
T
i u i u
T
a a b b c c
T
a a b b
( ) (
, , ,
i u dtc c )2 �
�
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
k
k
k
k
k
kI x U x U x
1
2
1
2
1
( ) ( ) ( ) I xk k k( )sin ( )� �
�
�
��
�
�
��
2
�
�
��
�
�
�� �
�
�
k
k k k kU x I x
1
2
( ) ( )cos ( )� �
�
�
��
�
�
k
k k k k k k
n k
U x I x
1
2 2 2 21( ) ( )( sin ( ) cos ( ))� � � �
�
�
�
1
2 2 2 2
2
U x I x U x I x
U x I x U x I
k n n k
k k n n
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (x
U x I x U x I x
k k n n
k k n n
) sin ( ) sin ( )
( ) ( ) ( ) ( ) cos (
� � � �
�
2 k k n n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
� � �) cos ( )
� �
�
�
�
� �
�
k n k
k n n k
k k
U x I x U x I x
U x I1 1
2 2 2 2
0
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )x U x I xn n k k n n� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
k n k
k n n k
k k
U x I x U x I x
U x I x1 1
2 2 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )U x I xn n k k n n� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0. (19)
 (19) óñëîâèå
k n k
k n n k
k k
U x I x U x I x
U x I x�
�
� �
�
�
1 1
2 2 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )U x I xn n k k n n( ) ( ) cos ( )� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
âûòåêàåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî äëÿ êàæäîãî èç ñëàãàåìûõ äâîéíîé ñóììû
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
U x I x U x I x U x I x U x I xk n n k k k n n
2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos�
( )� � � �k k n n
� �
Ñ. Ä. Âèííè÷óê
36 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
�
�( ( ) ( ) ( ) ( ))U x I x U x I x
k n n k
2
�
�4 22U x I x U x I x
k k n n k k n n( ) ( ) ( ) ( ) sin (( ) / )� � � � , (20)
ãäå ðàâåíñòâî íóëþ âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ óñëîâèé
I x U x I x U x k n Nn n k k( ) / ( ) ( ) / ( ) ( , )� ! " ,
� � � �k k n n k n N
�
! "( , ), (21)
êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ñëó÷àþ îòñóòñòâèÿ èñêàæåíèÿ [1].
Àíàëèçèðóÿ (20), ìîæíî âûäåëèòü àìïëèòóäíóþ DA è ôàçíóþ DÔ
ñîñòàâëÿþùèå ìîùíîñòè èñêàæåíèÿ:
D x D x U x I x U x I xA Ô
k n k
k n n k
2 2
1 1
( ) ( ) (( ( ) ( ) ( ) ( ))� �
�
�
� �
�
2 �
�
�
�
�
� �
�
k n k
k k n n k k nU x I x U x I x
1 1
24( ( ) ( ) ( ) ( ) sin (� � � �n )). (22)
Òîãäà â îáùåì ñëó÷àå ïîëó÷èì
S P Q D Dg A
2 2 2 2 2� � � �� �. (23)
Çàâèñèìîñòè (22) è (23) èìåþò òåîðåòè÷åñêèé ñìûñë. Íà ïðàêòèêå
ñóììàðíóþ âåëè÷èíó ìîùíîñòè èñêàæåíèÿ ìîæíî îïðåäåëÿòü íà îñíîâå
ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììû D D DA
2 2 2� � �, òàê êàê äàííûå îá àìïëèòóäàõ è
ôàçàõ áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ãàðìîíèê â ðàçëîæåíèè òîêîâ è íàïðÿæåíèé â
ðÿä Ôóðüå îòñóòñòâóþò.
(Ïðîäîëæåíèå ñòàòüè ñì. â ñëåäóþùåì íîìåðå)
It is proposed to consider power of the three-phase current as the power of the generator (source)
placed in a certain point of the three-phase system. The complete power components have been
determined for the symmetric and asymmetric periodic operations.
1. Òîíêàëü Â. Å., Íîâîñåëüöåâ À. Â., Äåíèñþê Ñ. Ï. è äð. Áàëàíñ ýíåðãèé â ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïÿõ. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1992. — 312 ñ.
2. Êðîãåðèñ À. Ô., Ðåøåâèö Ê. Ê., Òðåéìàíèñ Ý. Ï., Øèíêà ß. Ê. Ìîùíîñòü ïåðåìåííîãî
òîêà. — Ðèãà : Ôèç.-ýíåðã. èí-ò Ëàòâ. ÀÍ, 1993. — 294 ñ.
3. ×èæåíêî À. È. Îáìåííûå ýíåðãåòè÷åñêèå ïðîöåññû â öåïÿõ âåíòèëüíèõ ïîëóïðîâîä-
íèêîâûõ ïðåîáðàçîâàòåëåé. . — Êèåâ : Íàóê.äóìêà, 2003. — 227 ñ.
4. Leszek S. Czamecki. Power Properties of Electrical Circuits and their Misinterpretations by
the Instantaneous Reactive Power p-q Theory. //Proc. of XII International Simposium of
Theoretical Electrical Engineering ISTET ’03. — Vol. II. — Warsaw, 2003. — Ð. 261—
267.
5. Âèííè÷óê Ñ. Ä. Ìîùíîñòü ïåðåìåííîãî òîêà. Íîâûé âçãëÿä. /Ñáîðíèê òð. êîíô. «Ìî-
äåëèðîâàíèå — 2006». — Êèåâ : ÈÏÌÝ ÍÀÍ Óêðàèíû, 2006. — Ñ. 161—164.
Îáîñíîâàíèå òåîðèè ìîùíîñòè ñèñòåìû ïåðèîäè÷åñêèõ ìíîãîôàçíûõ òîêîâ. ²
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 37
6. Ðîäüêèí Ä. È., Êîðåíüêîâà Ò. Â. Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü ñèãíàëîâ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû. //
Åëåêòðîìåõàí³÷í³ ³ åíåðãîçáåð³ãàþ÷³ ñèñòåìè. — 2010 (12). — Âèï. 4. — Ñ. 10 — 21.
7. Êèçèëîâ Â. Ó., Ñâåòåëèê À. Ä. Î ïîíÿòèè «ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü» // Åíåðãåòèêà òà
åëåêòðèô³êàö³ÿ. — 2005. — ¹ 2. — Ñ. 35—38.
8. Æäàíîâ Ï. Ñ. Âîïðîñû óñòîé÷èâîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì /Ïîä ðåä. Ë. À. Æóêîâà. —
Ì. : Ýíåðãèÿ, 1979. — 456 ñ.
9. Akagi H., Nabae A. The p-q theory in three-phase systems under nonsinusoidal conditions//
Eurp. Trans. on Electric Power( ETEP). — 1993. — Vol. 3, No. 1. — Ð. 27—31.
10. Àãóíîâ Ì. Â. Ýíåðãåòè÷åñêèå ïðîöåññû â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ íåñèíóñîèäàëüíûìè
ðåæèìàìè è èõ ýôôåêòèâíîñòü. — Êèøèíåâ—Òîëüÿòòè : ÌîëäÍÈÈÒÝÈ, 1997. — 84 ñ.
Ïîñòóïèëà 26.09.11
ÂÈÍÍÈ×ÓÊ Ñòåïàí Äìèòðèåâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, âåä. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëè-
ðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1977 ã. îêîí÷èë ×åðíîâèöêèé ãîñóíè-
âåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ, ìîäåëåé è ïðîãðàììíûõ
ñðåäñòâ äëÿ àíàëèçà ðàñïðåäåëèòåëüíûõ ñèñòåì ñæèìàåìîé è íåñæèìàåìîé æèäêîñòåé,
àâèàöèîííûå ñèñòåìû êîíäèöèîíèðîâàíèÿ âîçäóõà; ñèñòåìíàÿ ïðîòèâîàâàðèéíàÿ ÷àñòîòíàÿ
àâòîìàòèêà ýëåêòðîýíåðãåòè÷åñêèõ ñèñòåì.
Ñ. Ä. Âèííè÷óê
38 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|