Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою

Розглянуто математичну модель задач оптики для шаруватого середовища з неоднорідними шарами. Виконано постановку та проаналізовано розв’язок обернених задач синтезу і аналізу оптики шаруватих середовищ як математичних оптимізаційних задач. Створено програмне забезпечення, яке дозволяє проводити їх р...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Старик, С.П., Гонтар, О.Г., Куцай, О.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут надтвердих матеріалів ім. В.М. Бакуля НАН України 2009
Schriftenreihe:	Сверхтвердые материалы
Schlagworte:	Получение, структура, свойства
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/63415
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою / С.П. Старик, О.Г. Гонтар, О.М. Куцай // Сверхтвердые материалы. — 2009. — № 5. — С. 50-62. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-63415
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-634152014-06-02T03:01:41Z Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою Старик, С.П. Гонтар, О.Г. Куцай, О.М. Получение, структура, свойства Розглянуто математичну модель задач оптики для шаруватого середовища з неоднорідними шарами. Виконано постановку та проаналізовано розв’язок обернених задач синтезу і аналізу оптики шаруватих середовищ як математичних оптимізаційних задач. Створено програмне забезпечення, яке дозволяє проводити їх розв’язок в рамках даної моделі. Теоретично показано вплив об’ємної неоднорідності вуглецевого шару на фотометричні і еліпсометричні характеристики. Проведено моделювання різнотипних інтерференційних багатошарових покриттів із верхнім алмазоподібним шаром, який одночасно є функціонально активним оптичним шаром і виконує роль захисної плівки. 2009 Article Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою / С.П. Старик, О.Г. Гонтар, О.М. Куцай // Сверхтвердые материалы. — 2009. — № 5. — С. 50-62. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 0203-3119 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/63415 537.876:535.2 uk Сверхтвердые материалы Інститут надтвердих матеріалів ім. В.М. Бакуля НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Получение, структура, свойства Получение, структура, свойства
spellingShingle	Получение, структура, свойства Получение, структура, свойства Старик, С.П. Гонтар, О.Г. Куцай, О.М. Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою Сверхтвердые материалы
description	Розглянуто математичну модель задач оптики для шаруватого середовища з неоднорідними шарами. Виконано постановку та проаналізовано розв’язок обернених задач синтезу і аналізу оптики шаруватих середовищ як математичних оптимізаційних задач. Створено програмне забезпечення, яке дозволяє проводити їх розв’язок в рамках даної моделі. Теоретично показано вплив об’ємної неоднорідності вуглецевого шару на фотометричні і еліпсометричні характеристики. Проведено моделювання різнотипних інтерференційних багатошарових покриттів із верхнім алмазоподібним шаром, який одночасно є функціонально активним оптичним шаром і виконує роль захисної плівки.
format	Article
author	Старик, С.П. Гонтар, О.Г. Куцай, О.М.
author_facet	Старик, С.П. Гонтар, О.Г. Куцай, О.М.
author_sort	Старик, С.П.
title	Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою
title_short	Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою
title_full	Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою
title_fullStr	Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою
title_full_unstemmed	Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою
title_sort	методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою
publisher	Інститут надтвердих матеріалів ім. В.М. Бакуля НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Получение, структура, свойства
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/63415
citation_txt	Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою / С.П. Старик, О.Г. Гонтар, О.М. Куцай // Сверхтвердые материалы. — 2009. — № 5. — С. 50-62. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.
series	Сверхтвердые материалы
work_keys_str_mv	AT stariksp metodikarozvâzkuobernenihzadačsintezuíanalízuoptičnihšaruvatihpokrittívízzahisnoûplívkoû AT gontarog metodikarozvâzkuobernenihzadačsintezuíanalízuoptičnihšaruvatihpokrittívízzahisnoûplívkoû AT kucajom metodikarozvâzkuobernenihzadačsintezuíanalízuoptičnihšaruvatihpokrittívízzahisnoûplívkoû
first_indexed	2025-07-05T14:14:22Z
last_indexed	2025-07-05T14:14:22Z
_version_	1836816650422190080
fulltext	www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 50 УДК 537.876:535.2 С. П. Старик, О. Г. Гонтар, О. М. Куцай (м. Київ) Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою Розглянуто математичну модель задач оптики для шаруватого середовища з неоднорідними шарами. Виконано постановку та проаналізовано розв’язок обернених задач синтезу і аналізу оптики шаруватих середовищ як математичних оптимізаційних задач. Створено програмне забезпечення, яке дозволяє проводити їх розв’язок в рамках даної моделі. Теоретично показано вплив об’ємної неоднорідності вуглецевого шару на фотометричні і еліпсомет- ричні характеристики. Проведено моделювання різнотипних інтерференційних багатошарових покриттів із верхнім алмазоподібним шаром, який одночасно є функціонально активним оптичним шаром і виконує роль захисної плівки. Ключові слова: захисна плівка, обернена задача, оптичне шару- вате покриття, оптичні константи, неоднорідність шару. Вступ. Використання механічно стійкої гідрогенізованої алмазоподібної вуглецевої плівки (а-С:Н) в якості захисного покриття для ІЧ просвітлюючих елементів значно покращує їх механічні експлуатаційні характеристики, а при правильному моделюванні конструкції багатошарового покриття і її технологічній реалізації не погіршує оптичні [1]. Проектування оптичного покриття з захисним шаром має ряд особливостей, які не реалізовані в сучас- ному програмному забезпеченні [2]. При вивченні фізичних властивостей вуглецевих плівок для інтерференційної ІЧ оптики було виявлено, що при формуванні оптичного покриття на підкладках з різних матеріалів можуть утворюватися плівки з перехідними областями [3]. Також часткова неодно- рідність і відсутність різких границь були виявлені при дослідженні багато- шарових покриттів із фторидів і оксидів рідкоземельних матеріалів. Більш глибокому аналізу неоднорідності матеріалів плівок та її впливу на оптичні характеристики інтерференційних елементів перешкоджала відсутність про- грамного забезпечення для гнучкого розв’язку різнотипних обернених задач оптики шаруватих середовищ для еліпсометричних і фотометричних дослід- жень. В першу чергу — задачі проектування оптичних багатошарових по- криттів, тобто задачі пошуку такої конструкції покриття, яке б задовольняло заданим спектральним характеристикам. По друге, в зв’язку з досягнутим в останні роки значним технологічним прогресом і створенням нових плівко- утворюючих матеріалів, особливого значення набувають обернені задачі типу розпізнавання. До їх числа входять задачі про визначення оптичних власти- востей матеріалів тонких покриттів по спектральних фотометричних і/або еліпсометричних даних. Очевидно, що більш прискіпливе математичне моде- лювання і врахування якомога більшої кількості достовірних факторів, які впливають на оптичні характеристики оптичного елементу, повинно дозволи- ти підвищити експлуатаційні якості виробу та зберегти значний відсоток ресурсів, витрачених на виробництво. Тому завжди актуальною залишається © С. П. СТАРИК, О. Г. ГОНТАР, О. М. КУЦАЙ, 2009 ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2009, № 5 51 поставлена в даній роботі проблема, присвячена розробці математичних мо- делей та алгоритмів чисельного розв’язку обернених задач типу синтезу і розпізнавання оптики шаруватих середовищ, вдосконаленню чисельних методів розрахунку спектральних характеристик оптичних неоднорідних покриттів, створенню гнучкого програмного забезпечення, необхідного для синтезу та аналізу оптичних інтерференційних покриттів з присутнім в їх конструкції механічно стійким захисним шаром. Математична модель прямої задачі оптики шаруватих середовищ. Діелектричні властивості шаруватого середовища постійні на кожній площині перпендикулярній до фіксованого напрямку (рис. 1). z 0 z 1 z i – 1 z i z m – 1 z m d 1 d i d m N 0 (z) N 1 (z) N i (z) N m (z) N m + 1 (z) Зовнішнє середовище Підкладка Рис. 1. Модель оптичного шаруватого покриття. Область mzz > відповідає підкладці з показником заломлення 1+mN , об- ласть 0zz < — навколишнє середовище з показником заломлення N0. Саме ж багатошарове покриття знаходиться в інтервалі (z0, zm) і складається з m шарів товщиною id і показником заломлення ( )zNi , де iii iknN −= — ком- плексний показник заломлення, mi ..., ,2 ,1= . Захисний шар контактує з зовнішнім середовищем, має показник заломлення N1 і займає інтервал (z0, z1). Всі матеріали шарів є немагнітні (магнітна проникність рівна одиниці) і в них відсутні об’ємні заряди. Таким чином, багатошарове покриття задане довільною кусково-неперервною комплекснозначною функцією N = N(z). Якщо плоска електромагнітна монохроматична хвиля циклічної частоти ω (залежність від часу у вигляді )exp( tiω ) падає з зовнішнього середовища на покриття під кутом ϕ, то рівняння Максвелла приводяться до наступних за- дач Коші [4]: для випадку s-поляризованого світла ;1 ; 0 = = =zzu ikv dz du ( )[ ] ; ; 0 22 s szz qv uazNik dz dv = −= = mzzz <<0 , (1) для випадку p-поляризованого світла www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 52 ( ) ;1 ; 1 0 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= =zzu v zN aik dz du ( ) ; ; 0 2 p szz qv uzikN dz dv = = = mzzz <<0 , (2) де ck ω= — хвильове число у вакуумі; ϕ= sin0Na . Через ps sq , позначені ефективні показники заломлення підкладки для випадків s- і p-поляризацій. В загальному випадку ефективний показник q для матеріалу з показником за- ломлення N визначається як ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − − ї.поляризаці для , ;їполяризаці для , 222 22 , paNN saN q ps Матричні методи дають зручний для програмування математичний апарат для розв’язку цих задач. Першим їх запропонував Ф. Абелес, визначивши характеристичну матрицю оптичної шаруватої системи [5]. Хейфілд і Уайт використали матрицю розсіювання для опису загальних властивостей відбивання і пропускання багатошарового покриття з ізотропними шарами [6]. Берреман розширив матричний метод Абелеса на випадок анізотропних планарних структур [7]. З елементів матиці за відповідними формулами мож- на визначити повні комплексні амплітудні коефіцієнти відбивання rp,s (коефіцієнти Френеля) і пропускання tp,s для p- і s-поляризованого випро- мінювання. По відомих rp,s і tp,s розраховують інші оптичні характеристики шаруватих систем. Енергетичні коефіцієнти відбивання Rs,p і пропускання Ts,p визначають через співвідношення 2rR = ; 2 00 11 cos cos t n nT mm ϕ ϕ= ++ . (3) В останньому рівнянні (і надалі) опущено індекси поляризації, якщо вони не несуть змістовного навантаження. Коефіцієнти відбивання і пропускання для неполяризованого випромінювання визначаються виразами 2 sp RR R + = ; 2 sp TT T + = . (4) Еліпсометричний параметр Δ визначає відносну зміну різниці фаз для p- і s-компонент коливання: spsp rr argarg −=δ−δ=Δ . (5) Кут Ψ визначає відносну зміну азимуту відновленої лінійної поляризації: s p r r =Ψtg . (6) При еліпсометричному чи фотометричному дослідженні покриттів на про- зорих плоско-паралельних підкладках необхідно враховувати наявність відбивання світла від задньої сторони підкладки. Підкладки мають товщини значно більші, ніж довжина когерентності світла, тому необхідно розглядати співвідношення для потоків енергії, що поширюються у двох взаємно проти- лежних напрямках. З цих співвідношень легко одержати наступні формули ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2009, № 5 53 для визначення коефіцієнтів пропускання і відбивання з врахуванням другої сторони підкладки: −− = RRv TvTT 0 2 0 1 ) ; −− += RRv TRvRR 0 2 2 0 2 1 ) , (7) де T і R — коефіцієнти пропускання і відбивання багатошарового покриття без врахування впливу другої сторони підкладки, що розраховують по фор- мулах (3), −R — коефіцієнт відбивання покриття при падінні світла з боку підкладки; T0 і R0 — коефіцієнти пропускання і відбивання однієї сторони підкладки без покриття; ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ϕ− λ π−= ++ 1 22 0 2 1 sinIm4exp mm dNNv — коефіцієнт втрат, обумовлених поглинанням підкладки; 1+md — товщина підкладки. [8] Амплітудні коефіцієнти відбивання світла від деякого оптичного шарува- того середовища залежать від профілю його показника заломлення )(zNN = (рис. 2), а також визначаються умовами проведення експерименту, такими як оптичні властивості навколишнього середовища 000 iknN −= , кут падіння світла на зразок ϕ0, довжини хвилі випромінювання λ, тощо. Товщина шару 1 n 2 3 4 Рис. 2. Приклади розподілу показника заломлення в неоднорідному шарі: 1 — квадратич- ний; 2 — лінійний; 3 — експоненціальний; 4 — східчастий. Спектральний вигляд коефіцієнтів Френеля залежить від дисперсії оптич- них констант матеріалів. Оптичні константи матеріалів можуть бути задані таблично або аналітично — формулами, які описують дисперсії, і відповідним набором коефіцієнтів. Наприклад, дисперсії SiO2 описують мо- деллю Коші, дисперсії Si, SiGe апроксимують за законом гармонічного осци- лятора, a Si, HfO2 — осцилятором Тауца-Лорентца і т. д. Також для опису дисперсії оптичних констант твердих розчинів використано формули апроксимацій Бруггемана (EMA), складної двійкової (CBA), Бірефрігензе (FBA). Дисперсія показника заломлення має більший вплив на спектральні харак- теристики, ніж неоднорідність шару. Дійсно, відносна зміна показника за- ломлення з товщиною шару звичайно не перевищує одиниць відсотків, в той час як відносна зміна показника заломлення в досліджуваному діапазоні дов- жин хвиль звичайно становить ∼ 10 %. Такі варіації не є малими в інтегральному змісті, тому дисперсія показника заломлення включена в роз- www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 54 гляд у першу чергу і у випадку малої неоднорідності показник заломлення ( )zN ,λ може бути представлена у факторизованій формі: ( ) ( ) ( ) ( )λ−λ=λ= iknzqzNN , . (8) Рівняння (8) дозволяє розділити фізичні ефекти, викликані дисперсією і неоднорідністю. Функція N(λ) описує дисперсійні властивості показника заломлення матеріалу шару, в той час як функція q(z) описує просторову залежність властивостей матеріалу шару, тобто неоднорідність. Програмне забезпечення дозволяє моделювати лінійний, квадратичний, гаусів, логариф- мічний та поліноміальний профілі показника заломлення (див. рис. 2). Відзначимо, що для слабкопоглинаючих шарів при існуючій точності вимірів нереалістично шукати просторову залежність коефіцієнта поглинан- ня. Тому розглядають лише неоднорідність показника заломлення. Отже, при такому підході до побудови математичної моделі покриття по заданим показнику заломлення N = N(λ, z) і фізичній товщині dj, 1...,,1 += mj можна розрахувати спектральні і/або кутові залежності еліпсо- метричних кутів Ψ(λ), Δ(λ), коефіцієнтів пропускання ( )λT , ( )λpT , ( )λsT , ( )λT ) , ( )λpT ) , ( )λsT ) та відбивання ( )λR , ( )λpR , ( )λsR , ( )λR ) , ( )λpR ) , ( )λsR ) і, таким чином, визначити оператори прямих задач оптики шаруватих середо- вищ. Розв’язок обернених задач типу розпізнавання. Хоча еліпсометрія і фотометрія використовують різні методики дослідження і дозволяють вимірювати різні характеристики шаруватого покриття, вони мають і багато спільного. Наприклад, вимірювальним інструментом оптичної фотометрії і еліпсометрії є світловий промінь. При правильному виборі спектрального діапазону й інтенсивності світлового променя ці методи не руйнують і не збуджують досліджувану або контрольовану систему. Методи спектральної фотометрії базуються на експериментальному вимірюванні і подальшому дослідженні спектральних залежностей енерге- тичних коефіцієнтів відбивання R і/або пропускання T [9]. При цьому довжи- на хвилі і кут падіння світла на зразок змінюються дискретно в деяких діапазонах довжин хвиль [ ]maxmin , λλ∈λ i , ,...,,1 Mi = і кутів падіння [ ]maxmin , ϕϕ∈ϕi , Li ...,,1= . Сучасні спектрофотометри дозволяють одно- часно реєструвати спектри коефіцієнтів відбивання і/або пропускання для s- і p-компонент відбитого і/або заломленого променя світла. Таким чином, експериментальні вимірювання являють собою набір даних ( )ϕλ= ,,, psps TT і/або ( )ϕλ= ,,, psps RR . Суть еліпсометрії полягає в точній кількісній фіксації зміни поляризації світлового променя при його відбиванні від досліджуваної системи. Зміну параметрів еліпса поляризації при відбиванні променя світла від поверхні зразка прийнято характеризувати еліпсометричними кутами (параметрами) Ψ і Δ [10]. З врахуванням (5) і (6) відносний коефіцієнт відбивання запишеться як ( ) Δδ−δ Ψ==ρ ii s p ee r r sp tg . (9) ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2009, № 5 55 Співвідношення (7) називають рівнянням Друде або основним рівнянням еліпсометрії. Постільки рівняння (9) зв’язує коефіцієнт ρ з двома еліпсометричними па- раметрами Ψ і Δ, які вимірюються експериментально, то існує можливість визначення двох параметрів системи при умові, що значення решти її параметрів і умови проведення експерименту відомі. Аналогічна ситуація зі встановленням невідомих параметрів системи і по фотометричним вимірю- ванням. В сучасній оптиці шаруватих середовищ використовують багатоком- понентні системи, тому гостро стоїть проблема одержання якомога більшої кількості незалежних експериментальних даних. Для цього звичайно викори- стовують набір кутів падіння, вимірювання покриттів з різною товщиною плівок, а також імерсійні рідкі середовища з відомими оптичними константа- ми. В таких випадках кожній експериментальній парі кутів Ψ, Δ відповідає своє рівняння: ( ) ( ) ( )M m MMM m M m MMM MMMM i M mmm i mmm i Mnn M dddNNNNNmfe dddNNNNNmfe dddNNNNNmfe ,...,,,,,...,,,,,,tg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;,...,,,,,...,,,,,,tg ;,...,,,,,...,,,,,,tg 211210 22 2 2 1 2 1 22 2 2 1 2 022222 11 2 1 1 1 1 11 2 1 1 1 011111 222 2 111 1 + Δ + Δ + Δ λφ=Ψ λφ=Ψ λφ=Ψ (10) і розв’язок оберненої задачі зводиться до розв’язку системи трансцендентних нелінійних рівнянь в комплексній області. Очевидно, що в даному випадку кількість точно встановлених невідомих параметрів системи може досягати 2M. Якщо параметри покриття jN і jd ( 1 ..., ,1 += mj ) розглядати як компо- ненти вектора ( )... , , 21 bbB = , то обернена задача типу розпізнавання зво- диться до знаходження вектора B0, такого, при якому функціонал неув’язки F(B) є мінімальним: ( ) ( ) ++ω= ∑ = ...,,)(1 1 M i XiX Be M PBF , (11) де Xie — нормовані неув’язки: Xi t i e i Xi BXX e η − = )( , (12) e iX — експериментально виміряні з похибкою Xiη значення характеристики; )(BX t i — розраховані значення цієї характеристики при розв’язку прямої задачі з заданим вектором невідомих параметрів ( )... , , 21 bbB = ; XP — ваго- вий невід’ємний множник, який дає можливість змінювати вагу X- характеристики у функціоналі (11). Функція )(xω є невід’ємною і 0)0( =ω . Якщо 2)( xx =ω , приходимо до методу найменших квадратів, який доцільно використовувати у випадку нормального розподілу похибки вимірювання Xη . В інших випадках доцільно використовувати функцію ( ) xx =ω . В цільовій функції (11) аналогічні члени з доданками, які відповідають різним станам поляризації падаючого променя, його відбиванню чи пропусканню, зміні еліпса поляризації, позначені трьома крапками. Очевидно, що функціо- www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 56 нал (11) оцінює відхилення теоретичних значень спектральних параметрів від відповідних експериментальних значень. Вектор параметрів покриття B ви- значений на деякій множині Q в l-вимірному просторі, яка обмежена умовами фізичної коректності (наприклад, ( ) 1Re ≥= Nn , ( ) 0Im ≥−= Nk , 0>d ,…) і задається системою нерівностей maxmin bbb i ≤≤ , li ...,,2,1= . (13) Таким чином, після побудови моделі покриття обернена задача аналізу зводиться до мінімізації неув’язки (11) на деякому компакті Q: )(inf arg0 BFB QB∈ = . (14) Навіть у найпростішому випадку функція F(B) є не опуклою і багатоекст- ремальною (рис. 3). Форма рельєфу функціонала F(B) якісно не змінюється при переході до інших покриттів чи при виборі інших характеристик. Мінімізація функціонала F(B) вимагає застосування трудомістких з погляду обчислювальних витрат методів, які здатні досить надійно знаходити гло- бальний мінімум. Методи оптимізації можна розділити на дві групи: методи, які вимагають обчислення похідних (методи високого прядку), і методи, які не використовують похідних (методи прямого пошуку) [11]. Як правило, при розв’язку задач нелінійного програмування методи, які використовують похідні, сходяться швидше, ніж методи прямого пошуку. Однак при ви- користанні методів високого порядку при розв’язку обернених задач оптики шаруватих середовищ доводиться зіштовхуватись з двома основними переш- кодами. По-перше, досить важко, а часто і неможливо знайти похідні у вигляді аналітичних функцій. А при обчисленні похідних з допомогою різни- цевих схем виникають похибки особливо великі в околі екстремумів. По- друге, часто машинний час, затрачений на “підготовку” задачі до оптимізації (знаходження похідних), може перевищувати час необхідний для оптимізації цієї ж задачі методами прямого пошуку. Розв’язок оберненої задачі було реалізовано найбільш ефективними для такого типу задач методами з кожної групи: методом Левенберга-Марквардта [12—14] і методом Нелдера-Міда (деформованого багатокутника) [15]. Їхня “працездатність” залежить від конкретної задачі (рельєфу цільової функції), однак метод Левенберга- Марквардта показує кращий результат для більшості випадків. F(B) 0 100 200 300 100 200 300 0d 1 d 2 Рис. 3. Рельєф цільової функції F(B) для фотометричних досліджень двошарового вуглецевого покриття в залежності від товщини графітоподібної і алмазоподібної плівок. ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2009, № 5 57 Для функціонала F(B) характерна різка “яровидність” ізоліній (особливо при розв’язку задач еліпсометрії), тобто існування в просторі параметрів напрямів, вздовж яких функціонал F(B) залишається практично незмінним. Очевидно, чим більша “довжина яру”, тим гірша точність оцінки відповід- ного параметра. Звідси виникає проблема нестійкості при мінімізації F(B), яка характеризує погану обумовленість оберненої параметричної задачі, а при нескінченій “довжині яру” — її виродженість. Розроблене програмне за- безпечення дозволяє використовувати декілька способів для підвищення стійкості розв’язку: зменшення меж апріорної інформації (13), пошук гло- бального розв’язку і використання наступного критерію зупинки ітераційної процедури: ( ) 2 20 lMBF −χ≤ , (15) де 2 2 lM −χ — квантиль; 2χ — розподіл з lM −2 ступенями свободи. Критерій (15) означає, що в якості розв’язку береться точка, значення функціонала в якій узгоджується з похибкою Xη виміряного значення характеристики X і є статистичним узагальненням принципу неув’язки, який використовується для вибору параметрів регуляризації в методах розв’язку некоректних задач [16, 17]. Погана обумовленість обернених задач породжує одну важливу обставину — зупинка процедури мінімізації рівноймовірно може відбутися в будь-якій точці на “дні яру”, яка задовольняє критеріям зупинки (в тому числі критерію (15)) і залежить лише від вибору початкової точки ітераційного процесу. Щоб уникнути цієї залежності, формують вибірку з L векторів B0. Для цього замість початкового вектора 0B беруть L випадкових точок всередині допустимої множини Q (13) з рівною ймовірністю 1/L. Для кожної початкової точки ( )j iB ,0 , Lj ≤≤1 знаходять точку мінімуму ( )j iB0 функціоналу F(B), послідовність яких складає вибірку в просторі оцінюваних параметрів. Оцінку знайдених невідомих параметрів виконуєть з використанням нелінійного методу оцінки по медіані вибірки [18]: ( ){ } ( ) ( ) ( )( )⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −+ − == + + ∧ .парне, 2 1 ;непарне, med 122 12 0 med LBB LB BB L i L i L i j ii Статистична обробка розв’язків погано обумовлених обернених задач оп- тики шаруватих середовищ дає можливість поетапного формування нових меж пошуку, що особливо важливо при відсутності достовірної апріорної інформації про невідомі параметри, і відповідно, підвищення точності оцінки параметрів системи [19]. Таким чином, розв’язок оберненої задачі типу проектування зводиться до розв’язку математичної оптимізаційної задачі. Розв’язок обернених задач типу проектування. Коли розв’язані обер- нені задачі розпізнавання і визначені параметри моношарів, виникає задача проектування багатошарового покриття з наперед заданими оптичними ха- рактеристиками. Найширше в техніці використовують оптичні покриття для одержання високих коефіцієнтів відбивання (дзеркальні покриття), для збільшення пропускання і покращення контрастності оптичних систем (про- світлювальні покриття), для спектрального і енергетичного розділення і скла- www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 58 дання оптичних сигналів та їх хроматичної корекції (вузькосмугові, смугові, відрізаючі фільтри), для поляризації випромінювання (інтерференційні поля- ризатори). Тобто існує задача моделювання багатошарових покриттів, які б забезпечували потрібні спектральні характеристики. Результатом розв’язку задачі проектування є конструкція покриття, яке забезпечує властивості до- сить близькі до заданих. В найпоширенішому випадку конструкція опии- сується товщинами шарів покриття і послідовністю матеріалів. Ця задача є оберненою до задачі синтезу шаруватого покриття, тому її розв’язок дещо подібний до розв’язку обернених задач аналізу, які розглянуто вище. Для вирішення задач синтезу багатошарових оптичних покриттів в 1982 році О. В. Тихонравовим був запропонований метод голкових варіацій [20]. Особливістю цього підходу є те, що в процесі розв’язку задачі синтезу число шарів покриття не фіксують, а визначають в самому процесі розв’язку. Новий шар в покриття вводять з малою оптимальною товщиною і на графіку функції N = N(z) він виглядає як голка. В цільовій функції )(BF (11) вигляд неув’язок (12) дещо зміниться: )(BXXe t i z iXi −= , (16) де z iX — задані значення оптичної характеристики. Ваговий множник XP в функціоналі (11) замінюється на невід’ємну спектральну вагову функцію )(λXP , яка дає змогу пріоритетного врахування вибраних точок в досліджуваному спектральному діапазоні. Решта позначень вже описана ви- ще. Враховуючи (16), задачу проектування шаруватого середовища в загаль- ному випадку можна записати у вигляді (14). Розроблене програмне забезпе- чення дозволяє розширити множину обмежень Q при проектуванні оптично- го покриття. А саме, крім обмежень (13) дозволяє встановити обмеження на максимальну кількість шарів, максимальну товщину всього багатошарового покриття, виключити можливості “небажаного” порядку сусідніх шарів (між якими відсутня адгезія, значна дифузія, утруднена технологічна реалізація і т. д.). А при проектуванні багатошарових покриттів із захисною механічно стійкою плівкою множина Q виконує роль множини додаткових умов. Го- ловною умовою є розташування захисної плівки верхнім (першим) шаром, який контактує з навколишнім середовищем. Матеріал другого шару повинен забезпечувати достатню адгезію з першим шаром, тому алгоритм вибирає відповідні матеріали для другого шару з множини доступних матеріалів. Аналогічний вибір автоматично проводиться перед введенням кожного ново- го шару в модель покриття. Крім цього, програмне забезпечення дозволяє керувати порядком матеріалів, враховуючи інші допоміжні функції шарів в конструкції покриття (антидифузні бар’єрні прошарки, зв’язуючі прошарки між шарами, матеріали яких не мають адгезії між собою) шляхом розширен- ня множини Q. Таким чином, подібно до розв’язку обернених задач типу розпізнавання, розв’язок оберненої задачі синтезу теж зводиться до розв’язку математичної оптимізаційної задачі. Приймаючи до уваги, що знаходження похідних у задачах проектування простіше, ніж у задачах розпізнавання, то розроблене програмне забезпечення використовує згаданий раніше метод Левенберга- Марквардта. Його ефективність в порівнянні з іншими методами пояснюють наступним чином. Більшість методів високих порядків в своїй роботі для знаходження напрямків мінімізації використовують градієнти цільової функції. Метод Левенберга-Марквардта використовує замість градієнта ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2009, № 5 59 якобіан (тобто матрицю A з елементами виду j i ji x f a ∂ ∂ =, ), який дозволяє от- римати більше інформації про рельєф цільової функції, ніж її градієнт. Існує математичне не зовсім строге, але інтуїтивно зрозуміле пояснення цього фак- ту: знаючи градієнт функції F, можна побудувати її лінійну апроксимацію, але якщо відомо її якобіан, то можна побудувати лінійні апроксимації функцій fi, які дозволять побудувати квадратичну апроксимацію функції F. Функції fi звичайно нелінійні, але функція F ще більш нелінійна, і тому апроксимація функції F як суми квадратів лінійних апроксимацій виявляється більш точною, ніж проста лінійна апроксимація функції F як нелінійної функції загального вигляду. Використання якобіана в поєднанні з деякими прийомами, які дозволяють оптимально вибирати крок на основі інформації про рельєф функції, дає можливість розв’язувати задачу за меншу кількість ітерацій, ніж будь-яким іншим методом. Також відомо, що в багатоекстре- мальних задачах метод Левенберга-Марквардта має тенденцію сходиться до більш “хороших” локальних мінімумів, ніж інші методи оптимізації. Ця властивість поки недостатньо досліджена в теоретичному плані, але на практиці метод став класичним для розв’язку обернених задач оптики шару- ватих середовищ. Моделювання оптичних характеристик. З використанням описаного в даній роботі програмного забезпечення виконано математичне моделювання конструкцій оптичних покриттів і знайдені розв’язки різнотипних обернених задач оптики шаруватих середовищ. На рис. 4 представлені дисперсії показника заломлення алмазоподібного а-С:Н покриття, визначені зі спектрів відбивання і еліпсометричних даних. Такі дані одержують як при окремому, так і при одночасному розв’язку обер- нених задач еліпсометрії і фотометрії. 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 200 350 500 650 800 λ, нм Re(N) n 0 0,1 0,2 0,3 0,4 –Im(N) k 1 2 Рис. 4. Дисперсія показника заломлення (1) і коефіцієнта поглинання (2) алмазоподібного а-С:Н покриття. На рис. 5 представлені теоретичні спектри коефіцієнта відбивання алмазо- подібної плівки на германієвій підкладці. Обидва спектра відповідають плівкам з дисперсією показника заломлення, представленою на рис. 4, і тов- щиною — 300 нм. У першому випадку використано модель однорідного тон- кого шару. У другому випадку профіль показника заломлення плівки мав 4 %-ну неоднорідність на границі з германієм і 2 %-ну на границі з повітрям. Видно, що неоднорідність вносить вклад в значення коефіцієнта відбивання і мало впливає на положення його мінімумів і максимумів. Тому розв’язок оберненої задачі доцільно починати з аналізу екстремумів спектральних ха- рактеристик і визначення оптичної товщини плівки, потім характеру її www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 60 дисперсійних залежностей і вже після цього робити припущення про не- однорідність і аналізувати її. 0 5 10 15 20 200 300 400 500 600 700 λ, нм R, % 1 2 Рис. 5. Спектри відбивання а-С:Н плівок товщиною 300 нм на германії для однорідної плівки (1) і плівки з 4 %-ною неоднорідністю на границі з підкладкою і 2 %-ною — з повітрям (2). Для даних моделей покриття розраховані кутові залежності еліпсо- метричних параметрів для довжині хвилі He-Ne лазера 632,8 нм (рис. 6). 20 30 40 Ψ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 φ 0 180 240 300 Δ 1 2 Рис. 6. Кутові залежності еліпсометричних параметрів а-С:Н плівок товщиною 300 нм на германії для однорідної плівки (1) і плівки з 4 %-ною неоднорідністю на границі з підкладкою і 2 %-ною — з повітрям (2). З таких залежностей легко бачити кути падіння, на яких проявляється більша чутливість еліпсометричних вимірювань до неоднорідності плівки і, таким чином, вибору оптимальних умов експерименту. На рис. 7 наведено результати розв’язку оберненої задачі синтезу для декількох принципово різних покриттів. Загальною властивістю для всіх їх є підвищена механічна стійкість за рахунок захисту робочої поверхні алмазоподібною плівкою. Для світлоділителя використано модель неодно- рідної (градієнтної) алмазоподібної плівки. Висновки Проведено аналіз оптимізаційних методів розв’язку обернених задач син- тезу і аналізу оптики шаруватих середовищ і на його основі створено сучасне програмне забезпечення для математичного моделювання оптичних покриттів. Розглянуто математичну модель задачі оптики для покриття з об’ємною неоднорідністю шарів. Показано вплив неоднорідності ал- мазоподібного вуглецю на фотометричні і еліпсометричні характеристики. Теоретично показано можливості використання захисних алмазоподібних вуглецевих плівок в різнотипних багатошарових оптичних покриттях. ISSN 0203-3119. Сверхтвердые материалы, 2009, № 5 61 0 20 40 60 80 400 500 600 700 λ, нм T, % а 20 30 40 50 60 70 300 400 500 600 700 800 λ, нм T, % б 98,0 98,5 99,0 99,5 8 9 10 11 12 13 T, % λ, нм в 0 20 40 60 80 300 400 500 600 700 800 λ, нм T, % г Рис. 7. Коефіцієнт пропускання, отриманий в результаті розв’язку різних задач методом голкових варіацій: 13-шарового відрізаючого фільтра (а), 17-шарового світлоділителя (б), 11-шарового інфрачервоного просвітлювального покриття (в), 32-шарового “лінійного” покриття (г). Для подальшого розвитку даної проблеми цікавим залишається розробка алгоритмів і програмного забезпечення для вибору оптимального захисного покриття з допустимого набору механічно стійких плівок. 1. Staryk S. P., Gontar O. G., Gorshtein B. A. et al. Multilayer antireflection interference coat- ings with protective diamond-like films for wavelength range from 8 to 12 mm // J. Superhard Materials. — 2006. — № 2. — P. 52—58. 2. Optical thin film consulting. — http://www.kruschwitz.com. 3. Staryk S. P., Gontar O. G., Gorokhov V. Yu., Gorshtein B. A. Optical characteristics of carbon coatings on silicon substrates // J. Superhard Materials. — 2004. — № 6. — P. 64—68. 4. Furman Sh. A., Tikhonravov A. V. Basics of optics of multilayer systems. — Ed. Frontiers, Gif-sur-Yvette Cedex, 1992. — 149 p. 5. Abeles F. Matrix method // Ann. de Physique. — 1950. — 5. — P. 596—640. 6. Hayfield P. C. S., White G. W. T. An assessment of the suitability of the Drude-Tronstad polarized light method for the study of film growth on polycrystalline metals // Ellipsometry in the Measurement of Surfaces and Thin Films. — 1964. — 256. — P. 157—200. 7. Berreman D. W. Scheffer T. J. Bragg reflection of light from single-domain cholesteric liquid- crystal films // Phys. Rev. Lett. — 1970. — 25, N 9. — P. 577—581. 8. Трубецков М. К. Обратные задачи синтеза и распознавания в оптике многослойных покрытий.: Автореф. дис. … докт. физ.-мат. наук. — М., 2001. — 24 с. 9. Комраков Б. М., Шапочкин Б. А. Измерение параметров оптических покрытий. — М.: Машиностроение, 1986. — 136 с. 10. Аззам Р., Башара Н. Эллипсометрия и поляризованный свет. — М.: Мир, 1981. — 583 c. 11. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М.: Мир, 1975. — 534 с. 12. Levenberg, K. A. Method for the solution of certain problems in least squares // Quart. Appl. Math. — 1944. — 2. — P. 164—168. 13. Marquardt D. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters SIAM // Appl. Math. — 1963. — 11. — P. 431—441. 14. More J. J. The levenberg-marquardt algorithm: implementation and theory // Numerical analysis, lecture notes in mathematics. — Heidelberg: Springer-Verlag, 1977. — P. 105— 116. www.ism.kiev.ua; www.rql.kiev.ua/almaz_j 62 15. Nelder J. A., Mead R. A. A simplex method for function minimization // Comp. Journ. — 1965. — 7. — P. 308—315. 16. Воскобойников Ю. Е. Выбор размерности функциональных приближений эксперимен- тальных данных // Автометрия. — 1985. — № 4. — С. 64—71. 17. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. — 288 с. 18. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. — М.: МЦНМО, 2001. — 960 с. 19. Воскобойников Ю. Е., Свиташева С. Н. Точность восстановления параметров пленоч- ной системы и обусловленность обратной задачи эллипсометрии // Автометрия. — 1992. — № 4. — С. 76—87. 20. Тихонравов А. В. О методе синтеза оптических покрытий, использующем необходи- мые условия оптимальности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. — 1982. — 23, № 6. — С. 91—93. Ін-т надтвердих матеріалів Надійшла 07.07.09 ім. В. М. Бакуля НАН України

Методика розв’язку обернених задач синтезу і аналізу оптичних шаруватих покриттів із захисною плівкою

Institution

Ähnliche Einträge