Аналитическое описание кривых деформирования материалов

На основе уравнения типа Аррениуса предложен логарифмический закон для кривых деформирования материалов при растяжении, сжатии, изгибе и кручении. Введено понятие логарифмической деформации Є = ln(ε). После перестройки в координатах с логарифмической деформацией по оси абсцисс кривые деформирования...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Вербило, Д.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М. Францевича НАН України 2012
Назва видання:	Электронная микроскопия и прочность материалов
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/63538
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Аналитическое описание кривых деформирования материалов / Д.Г. Вербило // Электронная микроскопия и прочность материалов: Сб. научн . тр. — К.: ІПМ НАН України, 2012. — Вип. 18. — С. 104-111. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-63538
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-635382014-06-04T03:01:26Z Аналитическое описание кривых деформирования материалов Вербило, Д.Г. На основе уравнения типа Аррениуса предложен логарифмический закон для кривых деформирования материалов при растяжении, сжатии, изгибе и кручении. Введено понятие логарифмической деформации Є = ln(ε). После перестройки в координатах с логарифмической деформацией по оси абсцисс кривые деформирования становятся прямолинейными с тангенсом угла наклона, равным логарифмическому коэффициенту деформационного упрочнения. Также предложен закон, содержащий arch, который лучше описывает начальные стадии кривых деформирования. Аппроксимирована серия кривых деформиро-вания материалов с использованием программ Excel и Origin, что показало пригодность предложенных законов для применения. На підставі рівняння типу Арреніуса запропонований логарифмічний закон для кривих деформування матеріалів при розтязі, стиску, згині та крученні. Введено поняття логарифмічної деформації Є = ln (ε). Після перебудови в координатах з логарифмічною деформацією по осі абсцис криві деформування стають прямолінійними з тангенсом кута нахилу, рівним логарифмічному коефіцієнту деформаційного зміцнення. Також запропоновано закон, що містить arch, який краще описує початкові стадії кривих деформування. Апроксимовано серію кривих деформування матеріалів з використанням програм Excel і Origin, що показало придатність запропонованих законів для застосування. Based on an Arrhenius-type equation proposed by the logarithmic law for the curves of deformation of materials under tension, compression, bending and torsion. The notion of logarithmic strain Є = ln (ε). After adjustment in the coordinates with a logarithmic strain along the horizontal axis, the deformation curves are rectilinear with a slope equal to the logarithmic strain hardening coefficient. It also proposed a law that contains the arch, which bette r describes the initial stages of deformation curves. Approximated by a series of curves of deformation of materials with the use of Excel and Origin, which has shown the suitability of the proposed laws for use. 2012 Article Аналитическое описание кривых деформирования материалов / Д.Г. Вербило // Электронная микроскопия и прочность материалов: Сб. научн . тр. — К.: ІПМ НАН України, 2012. — Вип. 18. — С. 104-111. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. XXXX-0048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/63538 539.385:620.175.21 ru Электронная микроскопия и прочность материалов Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М. Францевича НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе уравнения типа Аррениуса предложен логарифмический закон для кривых деформирования материалов при растяжении, сжатии, изгибе и кручении. Введено понятие логарифмической деформации Є = ln(ε). После перестройки в координатах с логарифмической деформацией по оси абсцисс кривые деформирования становятся прямолинейными с тангенсом угла наклона, равным логарифмическому коэффициенту деформационного упрочнения. Также предложен закон, содержащий arch, который лучше описывает начальные стадии кривых деформирования. Аппроксимирована серия кривых деформиро-вания материалов с использованием программ Excel и Origin, что показало пригодность предложенных законов для применения.
format	Article
author	Вербило, Д.Г.
spellingShingle	Вербило, Д.Г. Аналитическое описание кривых деформирования материалов Электронная микроскопия и прочность материалов
author_facet	Вербило, Д.Г.
author_sort	Вербило, Д.Г.
title	Аналитическое описание кривых деформирования материалов
title_short	Аналитическое описание кривых деформирования материалов
title_full	Аналитическое описание кривых деформирования материалов
title_fullStr	Аналитическое описание кривых деформирования материалов
title_full_unstemmed	Аналитическое описание кривых деформирования материалов
title_sort	аналитическое описание кривых деформирования материалов
publisher	Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М. Францевича НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/63538
citation_txt	Аналитическое описание кривых деформирования материалов / Д.Г. Вербило // Электронная микроскопия и прочность материалов: Сб. научн . тр. — К.: ІПМ НАН України, 2012. — Вип. 18. — С. 104-111. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Электронная микроскопия и прочность материалов
work_keys_str_mv	AT verbilodg analitičeskoeopisaniekrivyhdeformirovaniâmaterialov
first_indexed	2025-07-05T14:19:22Z
last_indexed	2025-07-05T14:19:22Z
_version_	1836816964343824384
fulltext	УДК 539.385:620.175.21 Аналитическое описание кривых деформирования материалов Д. Г. Вербило На основе уравнения типа Аррениуса предложен логарифмический закон для кривых деформирования материалов при растяжении, сжатии, изгибе и кручении. Введено понятие логарифмической деформации Є = ln(ε). После перестройки в координатах с логарифмической деформацией по оси абсцисс кривые деформирования становятся прямолинейными с тангенсом угла наклона, равным логарифмическому коэффициенту деформационного упрочнения. Также предложен закон, содержащий arch, который лучше описывает начальные стадии кривых деформирования. Аппроксимирована серия кривых деформиро- вания материалов с использованием программ Excel и Origin, что показало пригодность предложенных законов для применения. Ключевые слова: растяжение, сжатие, изгиб, кручение, напряжение, деформация, аналитическое описание кривых деформирования. Введение Аналитическому описанию кривых деформирования посвящено множество публикаций и предложен ряд аналитических выражений, среди которых наиболее часто применяются следующие [1, 2]: 21 н210 ;; heSSeKSeKSS nm +==+= , (1) где S0, K1, K2, m и n — постоянные; Sн и h — постоянные на данной стадии деформационного упрочнения; S и e — истинные напряжение и деформация. Отметим также экспоненциальное уравнение Воце [3] )exp( пeАВS −−= , (2) где В, А и п — постоянные. В случае, если кривая деформирования хорошо описывается уравнением (2), при перестройке ее в координатах dS/de—S она становится прямолинейной на основной (третьей) стадии деформационного упрочнения. Это легко показать, если взять производную dS/de из уравнения (2): )exp( neAndedS −⋅= , откуда An dedSne =− )exp( . Теперь подставим экспоненту в выражение (2): An dedSАВS −= , откуда окончательно получаем nВnSdedS +−= . Это и есть уравнение прямой линии для координат dS/de—S с отрицательным коэффициентом прямой пропорциональности –n. Наиболее 104 © Д. Г. Вербило, 2012 известными работами в этом направлении являются труды У. Кокса, М. Цехетбауэра и Ю. Н. Подрезова [4—6]. Хорошо известно уравнение типа Аррениуса для скорости пластической деформации [7] ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ−∆ −ν=ε kT Vg NAb * эф 0 exp& , (3) где N — число дислокаций в единице объема; А — “пробегаемая” ими площадь; b — модуль вектора Бюргерса; ν0 — частотная характеристика, зависящая от природы препятствия и способа его преодоления; g — изменение свободной энергии, обусловленное локальными атомными смещениями при активации (эквивалентно свободной энергии Гельмгольца). Эффективное напряжение, зависящее от температуры, τ ∆ эф = τ – τµ, где τ — приложенное напряжение; τµ — атермическая компонента напряжения. Активационный объем V* = lb∆R. Здесь l — длина отрезка дислокации; R — активационное расстояние. Соответственно τ∆ эфV* — работа, выполненная эффективным напряжением. При равном нулю эффективном напряжении величина g равна полной энергии, необходимой для преодоления препятствия, то есть свободной энергии активации препятствия. ∆ Зегер в работах [8, 9], используя уравнение (3), получил выражение для напряжения в функции от температуры и скорости деформации: [ ] * 00 /ln( V NAbkSTU εν+∆− −+τ=τ µ & . (4) Здесь свободная энергия Гельмгольца ∆g записана согласно выражению термодинамики ∆g = U0 – T∆S. В работе [10] нами преобразовано уравнение Аррениуса (3) так же, как это делал Зегер (4), только в правой части уравнения фигурирует не скорость деформации, а сама деформация. В результате нами предложено аналитическое описание кривых деформирования при кручении в виде логарифмического закона: п п γ γlnk+τ=τ , (5) где τп — предел пропорциональности; γп — деформация, соответствующая пределу пропорциональности; k — логарифмический коэффициент деформационного упрочнения, в который входит активационный объем. Этот закон был использован для значительного упрощения определения истинных напряжений течения при кручении. Логарифмический закон деформирования материалов Введем понятие логарифмической деформации сдвига (гамма большая) Г = ln γ. Тогда (5) перепишется в виде ,ГГln пп kАkk +=+γ−τ=τ (6) где А — коэффициент, зависящий от предела пропорциональности материала. 105 На рис. 1 приведена кривая кручения Стали 20 в различных координатах. Логарифмический закон очень хорошо описывает кривую y = 1819,4x + 192,11 R2 = 0,9941 0 100 200 300 400 500 600 700 0 0,5 1 1,5 2 а 0 500 1000 1500 2000 200 300 400 500 б y = 76,967Ln(x) + 544,97 R2 = 0,9998 0 100 200 300 400 500 600 700 0,01 0,1 1 10 в y = 76,967x + 544,97 R2 = 0,9998 0 100 200 300 400 500 600 700 -4 -3 -2 -1 0 г dτ/dγ τ, МПа IV IIIb IIIa IIIb II IIIa II γ τ, МП τ, МПа τ, МПа γ Г Рис. 1. Кривая кручения Стали 20 в обычных координатах (а), в коорд dτ/dγ—τ (б), с логарифмической шкалой абсцисс (в) и с логарифми деформацией сдвига Г по шкале абсцисс (г). деформирования начиная от предела текучести [10], если представлена в обычных координатах τ—γ (рис. 1, а). Более т оценку совпадения аппроксимации с реальной кривой можно пол используя методику, предложенную в работах [4—6]. На рис. 1, б кривая изображена в координатах dτ/dγ—τ под номером 1. На рис. 1, а, б выделены стадии на кривой деформирования со работам [4—6]. Стадия II — линейная стадия, при которой наблю прямая пропорциональная зависимость между напряжением и д мацией τ = 1819,4γ + 192,11 (рис. 1, а). Соответственно на рис. 1, б горизонталь τ = 1819,4. Стадию III можно разделить на 2 участка: прямая пропорциональная зависимость между производной dτ напряжением τ. Это полностью соответствует уравнению Воце (2). На главном участке IIIб наблюдается полное совпадение к деформирования с аппроксимацией логарифмической функцией функция τ = 76,967lnγ + 544,97 показана на рис. 1, в, г белой п Производная dτ/dγ будет рана 76,967/γ. Производная от аппрокси показана на рис. 1, б под номером 2. Стадия IV — заключительна которой производная стремится к 0. 106 600 1 а инатах ческой она очную учить, эта же гласно дается ефор- — это IIIа — /dγ и ривой . Эта рямой. мации я, при Таким образом, логарифмическая функция полностью подходит для аппроксимации начиная с 360 МПа и до окончания кривой. После удаления начальных стадий и пере- стройки в координатах, как показано на рис. 1, в, г, кривые деформирования становятся прямолинейными. При этом тангенс угла наклона кривой на рис. 1, г равен логариф- мическому коэффициенту де- формационного упрочнения k. Обратим внимание, что до достижения деформацией γ значения 1, то есть 100%, логарифмическая деформа- ция Г — величина отрицатель- y = 76,967x + 190,52 R2 = 0,9998 0 100 200 300 400 500 600 700 0 1 2 3 4 5 6 Рис. 2. Кривая кручения Стали 20. Значения Г = lnγ рассчитаны для γ, выраженной в процентах. τ, МПа Г тельная, поскольку логарифм числа, меньшего единицы, отрицателен. При γ = 1 значение Г становится равным 0 и кривая пересекает ось ординат в точке, равной коэффициенту А. Для устранения сложностей, связанных с отрицательным значением Г, для ее расчета деформацию сдвига можно брать не в долях, а в процентах (рис. 2). Отметим, что для всех трех вариантов отображения кривой (рис. 1 и 2) логарифмический коэффициент деформационного упрочнения k = 76,967 остается неизменным. Применение этого закона для растяжения, сжатия и y = 100,59Ln(x) + 1947,2 R2 = 0,9992 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 0 0,02 0,04 0,06 0,08 y = 100,59Ln(x) + 1947,2 R2 = 0,9992 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 S, МПа S, МПа Кривая сжатия сплав логарифмической шкалой абсцис 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 y = 37,35Arch(990,23x+1)+265, R2 = 0,9920 а б а е S, МПа е 0,1 0,001 0,01 а титана в истинных коорди с (б). 0,25 y = 43,227Ln(x) R2 = 0,99 0 100 200 300 400 500 600 0,01 0,1 S, МПа 27 е 0,1 натах (а) и с е Рис. 3. 107 + 558,07 44 1 б е Рис. 4. Кривая растяжения титана в истинных координатах (а) и с логарифмической шкалой абсцисс (б). изгиба также дало очень хорошие результаты (рис. 3, 4). Аналогично можно ввести понятие логарифмической линейной деформации Є = lnе. Тогда для нормальных напряжений логарифмическое уравнение запишется в виде ЄkАS += . (7) Как и для кручения, для сжатия и растяжения после перестройки в логарифмических координатах (рис. 3, 4) кривые деформирования стано- вятся прямолинейными. При этом коэффициент перед логарифмом явля- ется логарифмическим коэффициентом деформационного упрочнения k. Закон деформирования материалов, содержащий обратный гиперболический косинус Уравнение Аррениуса (3) и, соответственно, логарифмические уравнения (6) и (7) при малых деформациях и напряжениях, то есть на начальной стадии кривой пластического течения, являются весьма грубым приближением. Мильман Ю. В. и Трефилов В. И. предложили [11] рассматривать скорость деформации в направлении действия внешних сил как результат разности прямых (в направлении действия силы) и обратных термически активируемых скачков дислокации, то есть .shexp2 expexp * эф * эф * эф ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ −ν= = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ+∆ −−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ−∆ −ν=ε kT V kT g kT Vg kT Vg & Скорость пластической деформации, вызванной движением дислокаций, до достижения предела пропорциональности равна 0. Для данной фиксированной температуры испытаний эффективное напряжение будет равно разности приложенного напряжения и напряжения предела пропорциональности, то есть сопротивления движению дислокаций от дально- и ближнедействующих полей напряжений σэф = σ – σп. Поскольку множители перед гиперболическим синусом при неизменной температуре постоянные, получаем ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ−σ ⋅=ε kT VB * Пsh& . (8) Обычно механические испытания проводят с постоянной скоростью движения штока и начиная с предела пропорциональности скорость деформирования образца ε& в действительности все время изменяется. Поэтому невозможно рассчитать конкретную скорость деформирования при любом виде испытаний, будь то растяжение, сжатие, кручение и т. д. Изменяется при этом не только скорость деформирования, но и скорость нарастания нагрузки (напряжения). Все же довольно часто испытания проводятся с постоянной скоростью нарастания нагрузки (напряжения). Ранее для этого применяли метод наливания воды с постоянной скоростью в резервуар, через рычаги и тяги соединенный с образцом. С появлением 108 новых компьютеризированных испытательных машин это можно сделать программно — машина сама отслеживает постоянный прирост нагрузки (напряжения) при испытаниях. На такой сервогидравлической испытательной машине INSTRON 8500 нами проведены эксперименты, описанные в работе [12]. Отметим, что вид кривых деформирования при разных способах нарастания нагрузки практически не изменится. Только не удастся зарегистрировать падение нагрузки при шейкообразовании при растяжении в случае использования машины в режиме с постоянным приростом нагрузки. Когда нагрузка (напряжение) при испытаниях нарастает линейно [12], тогда производная напряжения от времени — константа, и можно разделить левую и правую часть уравнения (5) на σ& : ( ) ( ) .shsh * 0 * ПП σ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ−σ ⋅=ε⇒⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ−σ σ == σ ε = σε = σ ε ∫ d kT VСd kT VBC d d dt d dt d && & (9) Здесь переменная С — податливость материала (с англ. сompliance). Обозначим постоянную 0 0 0const σ ε === σ CB & Отметим, что на пределе пропорциональности 0П = σ ε =⇒σ=σ d dC , что и наблюдается на реальных кривых пластического деформирования (с удаленным упругим участком). После интегрирования получаем ( ) 0* * 0* Пch C V kT kT VC V kT −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ−σ =ε . (10) Обозначим множитель V kT как σ0, тогда константа интегрирования 0 C V kT будет равна 0 0 0 000 ε= σ ε σ=σ C , и решим это уравнение относительно косинуса гиперболического: ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ σ−σ = ε ε+ε 00 0 Пch . (11) Теперь возьмем arch: ( ) П П 1archarch 0 0 0 0 0 σ+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ε ε σ=σ⇒⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε ε+ε = σ σ−σ . (12) 109 Таким образом, из (8) получили закон деформирования материалов, содержащий обратный гиперболический косинус. Апробация данного закона приведена на рис. 4, а. Аппроксимация выполнена в програм- ме Origin. На графике видно, что данный закон очень хорошо подходит для аппроксимации всей кривой, включая начальную стадию. Это объясняется тем, что arch в начальной точке резко устремляется вверх, как и кривые деформирования с удаленной упругой частью. Поскольку ( )1lnarch 2 ++= xxx , то при больших значениях аргумента , что подтверждает закономерность использования для описания кривых деформирования также и логарифмического закона. Как ( xx 2lnarch → ) 110 уже было показано, логарифмический закон хорошо подходит для аппроксимации кривых с удаленной начальной стадией (рис. 4, б). Заключение Несомненно, предложенное описание кривых деформирования материалов основывается в большой мере на аппроксимационных зависимостях и практически не затрагивает физические аспекты формирования кривых упрочнения. Наиболее важным в данной работе является то, что логарифмический закон упрочнения практически напрямую следует из уравнения Аррениуса, что подразумевает его термоактивационную природу. В современных структурных моделях деформационного упрочнения, в создании которых активное участие принимают ученые украинской школы, показано, что между структурными перестройками и параметрами упрочнения может быть установлена однозначная связь. Такая связь может быть получена из приведенных соотношений, что будет являться предметом дальнейших исследований в данном направлении. 1. Христенко И. Н., Томенко Ю. С. Аналитическое описание кривых упрочнения // Проблемы прочности. — 1981. — № 10. — С. 51—55. 2. Трефилов В. И., Моисеев В. Ф., Печковский Э. П. и др. Деформационное упрочнение и разрушение поликристаллических металлов // Под ред. В. И. Трефилова. — К.: Наук. думка, 1989. — 256 с. 3. Voce E. The relationship between stress and strain for homogeneous deformation // J. Inst. Metals. — 1948. — 74, Nо. 7. — P. 537—562. 4. Kocks U. F., Mecking H. Physics and phenomenology of strain hardening: FCC case // Progress in Materials Science. — 2003. — No. 48. — Р. 171—273. 5. Zehetbauer M. J., Love T. C. and Valiev R. Z. Strengthening process of metals by severe plastic deformation // Investigation and Аppl. of Severe Plastic Deforma- tion. — Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. — 2000. — P. 81—91. 6. Писаренко В. Д., Подрезов Ю. Н., Назаренко В. А., Вербило Д. Г. и др. Особенности структурообразования и механические свойства деформирован- ного титана // Физика и техника высоких давлений. — 2007. — 17, № 2. — С. 110—118. 7. Борисенко В. А. Твердость и прочность тугоплавких металлов при высоких температурах. — К.: Наук. думка, 1984. — 212 с. 8. Зегер А. Возникновение дефектов решетки при движении дислокаций и их влияние на температурную зависимость деформирующих напряжений ГЦК кристаллов // Проблемы современной физики // Дислокации в кристаллах. — 1957. — № 9. — С. 145—168. 9. Зегер А. Механизмы скольжения и упрочнения в ГЦК и ГПУ металлах // Дислокации и механические свойства кристаллов. — М.: ИЛ, 1960. — С. 179—268. 10. Вербило Д. Г. Особенности расчета истинных кривых нагружения при кручении // Проблемы прочности. — 2011. — № 3. — С. 110—122. 11. Мильман Ю. В., Трефилов В. И. О физической природе температурной зависимости предела текучести // Механизм разрушения металлов. — К.: Наук. думка, 1966. — С. 59—76. 12. Viola G., Verbylo D., Orlovskaya N., Reece M. Effect of composition on rate dependence of ferroelastic/ ferroelectric switching in perovskite ceramics // Mater. Science and Technology. — 2009. — 25, No. 11. — Р. 1312—1315(4). 111 Аналітичний опис кривих деформування матеріалів Д. Г. Вербило На підставі рівняння типу Арреніуса запропонований логарифмічний закон для кривих деформування матеріалів при розтязі, стиску, згині та крученні. Введено поняття логарифмічної деформації Є = ln (ε). Після перебудови в координатах з логарифмічною деформацією по осі абсцис криві деформування стають прямолінійними з тангенсом кута нахилу, рівним логарифмічному коефіцієнту деформаційного зміцнення. Також запропоновано закон, що містить arch, який краще описує початкові стадії кривих деформування. Апроксимовано серію кривих деформування матеріалів з використанням програм Excel і Origin, що показало придатність запропонованих законів для застосування. Ключові слова: розтяг, стиск, згин, крутіння, напруга, деформація, аналітичний опис кривих деформування. Analytical description of material deformation curves D. G. Verbier Based on an Arrhenius-type equation proposed by the logarithmic law for the curves of deformation of materials under tension, compression, bending and torsion. The notion of logarithmic strain Є = ln (ε). After adjustment in the coordinates with a logarithmic strain along the horizontal axis, the deformation curves are rectilinear with a slope equal to the logarithmic strain hardening coefficient. It also proposed a law that contains the arch, which bette r describes the initial stages of deformation curves. Approximated by a series of curves of deformation of materials with the use of Excel and Origin, which has shown the suitability of the proposed laws for use. Keywords: tension, compression, bending, torsion, tension, strain, deformation curves of an analytic description. 112

Аналитическое описание кривых деформирования материалов

Репозитарії

Схожі ресурси