Анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов Гребнера
Проведен анализ энергии магнитокристаллической анизотропии (МА) кубического ферромагнетика с использованием представления базисов Гребнера при учете первой и второй констант МА. Найдены и проанализированы все возможные стационарные точки на поверхности энергии МА, определяющиеся комбинациями этих ко...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Физика и техника высоких давлений |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/70382 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов Гребнера / А.Л. Шишмаков, И.Л. Любчанский // Физика и техника высоких давлений. — 2007. — Т. 17, № 4. — С. 28-40. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-70382 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-703822014-11-05T03:01:41Z Анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов Гребнера Шишмаков, А.Л. Любчанский, И.Л. Проведен анализ энергии магнитокристаллической анизотропии (МА) кубического ферромагнетика с использованием представления базисов Гребнера при учете первой и второй констант МА. Найдены и проанализированы все возможные стационарные точки на поверхности энергии МА, определяющиеся комбинациями этих констант. Приведены примеры веществ, в которых возможно существование стационарных точек различных типов. Analysis of the magnetocrystallographic anisotropy (MA) energy for cubic ferromagnet has been performed by using the Grebner bases representation with the first and second MA constants taken into account. On the surface of MA energy all possible stationary points defined by combinations of the constants have been found and analysed. Examples of substances where stationary points of different types may coexist are given. 2007 Article Анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов Гребнера / А.Л. Шишмаков, И.Л. Любчанский // Физика и техника высоких давлений. — 2007. — Т. 17, № 4. — С. 28-40. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 75.30.Gw http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/70382 ru Физика и техника высоких давлений Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Проведен анализ энергии магнитокристаллической анизотропии (МА) кубического ферромагнетика с использованием представления базисов Гребнера при учете первой и второй констант МА. Найдены и проанализированы все возможные стационарные точки на поверхности энергии МА, определяющиеся комбинациями этих констант. Приведены примеры веществ, в которых возможно существование стационарных точек различных типов. |
| format |
Article |
| author |
Шишмаков, А.Л. Любчанский, И.Л. |
| spellingShingle |
Шишмаков, А.Л. Любчанский, И.Л. Анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов Гребнера Физика и техника высоких давлений |
| author_facet |
Шишмаков, А.Л. Любчанский, И.Л. |
| author_sort |
Шишмаков, А.Л. |
| title |
Анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов Гребнера |
| title_short |
Анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов Гребнера |
| title_full |
Анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов Гребнера |
| title_fullStr |
Анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов Гребнера |
| title_full_unstemmed |
Анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов Гребнера |
| title_sort |
анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов гребнера |
| publisher |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/70382 |
| citation_txt |
Анализ энергии магнитокристаллографической анизотропии кубических ферромагнетиков с использованием представления базисов Гребнера / А.Л. Шишмаков, И.Л. Любчанский // Физика и техника высоких давлений. — 2007. — Т. 17, № 4. — С. 28-40. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Физика и техника высоких давлений |
| work_keys_str_mv |
AT šišmakoval analizénergiimagnitokristallografičeskojanizotropiikubičeskihferromagnetikovsispolʹzovaniempredstavleniâbazisovgrebnera AT lûbčanskijil analizénergiimagnitokristallografičeskojanizotropiikubičeskihferromagnetikovsispolʹzovaniempredstavleniâbazisovgrebnera |
| first_indexed |
2025-07-05T19:38:38Z |
| last_indexed |
2025-07-05T19:38:38Z |
| _version_ |
1836837051605975040 |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
28
PACS: 75.30.Gw
А.Л. Шишмаков, И.Л. Любчанский
АНАЛИЗ ЭНЕРГИИ МАГНИТОКРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ
АНИЗОТРОПИИ КУБИЧЕСКИХ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БАЗИСОВ ГРЕБНЕРА
Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
Статья поступила в редакцию 30 марта 2007 года
Проведен анализ энергии магнитокристаллической анизотропии (МА) кубического
ферромагнетика с использованием представления базисов Гребнера при учете пер-
вой и второй констант МА. Найдены и проанализированы все возможные стацио-
нарные точки на поверхности энергии МА, определяющиеся комбинациями этих
констант. Приведены примеры веществ, в которых возможно существование
стационарных точек различных типов.
Введение
Известно, что энергия магнитокристаллической анизотропии Fma опреде-
ляет ориентацию вектора намагниченности М в магнитоупорядоченных
кристаллах [1−7]. При отсутствии внешних воздействий вектор М в магнит-
ном веществе ориентирован вдоль строго определенных направлений, назы-
ваемых легкими осями намагничивания. Для нахождения ориентации легких
осей рассматривают энергию МА, выражение для которой в случае магнети-
ка кубической симметрии имеет вид [1−4]:
( )2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2ma x y x z y z x y zF k m m m m m m k m m m= + + + , (1)
где k1 и k2 – первая и вторая константы МА; mi = Mi(M0)−1 – проекции еди-
ничного вектора намагниченности m на оси декартовой системы координат
(i = x, y, z) (M0 – намагниченность насыщения);
2 2 2 1x y zm m m+ + = . (2)
Наборы точек {mx, my, mz}, в которых функция Fma имеет минимумы, опре-
деляют ориентацию осей легкого намагничивания в пространстве, а точки, в
которых Fma принимает максимальные значения, называют трудными осями
[1−7]. Если вектор М ориентирован вдоль легкой оси, то такая ориентация
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
29
будет равновесной и устойчивой. Ориентация его вдоль трудной оси также
будет равновесной, однако это равновесие неустойчиво [1−7]. Может ока-
заться, что точка, подозрительная на экстремум, окажется седловой. Это го-
ворит о том, что перемагнитить образец вдоль одного направления трудно, а
вдоль другого – легко. Возможен также случай, когда экстремумы функции
Fma достигаются не в определенных точках, а на какой-либо кривой, т.е. экс-
тремальные значения Fma определяются наборами не из трех чисел {mx, my,
mz}, а всего из двух, при произвольном значении третьей координаты. В та-
ком случае имеет место вырождение, и говорят, что магнетик характеризу-
ется анизотропией типа «легкая плоскость» [1−7].
Легкие и трудные оси, легкие плоскости и седловые точки на поверхно-
сти энергии МА многократно исследовались, а соответствующие результаты
отражены в широко известных монографиях и учебниках [1−7]. Однако тра-
диционно используемые алгебраические методы не всегда дают всесторон-
нее описание многообразия стационарных магнитных состояний, которые
могут реализоваться в магнитоупорядоченных кристаллах. Для решения по-
добного рода алгебраических задач в последнее время широко используют
технику базисов Гребнера (БГ) [8]. Она находит широкое применение для
анализа поведения сложных структур [9] и отыскания глобальных миниму-
мов в квантовой теории поля [10]. Несмотря на некоторую «тяжеловес-
ность» и большие объемы вычислений, метод БГ является современным вы-
сокоэффективным методом вычислений в приложениях, связанных с приме-
нением систем компьютерной алгебры. Произвольный БГ – это набор поли-
номов, множество корней которых совпадает с множеством корней исход-
ной системы уравнений, а соответствующие коэффициенты многочленов
базиса образуют верхнюю треугольную матрицу [8]. Другими словами, тех-
ника БГ позволяет от системы нелинейных алгебраических уравнений пе-
рейти к эквивалентной системе, где переменные последовательно исключа-
ются. В этом смысле алгоритм построения БГ (алгоритм Бухбергера) анало-
гичен алгоритму исключения Гаусса для задач линейной алгебры [8].
Следует отметить, что БГ для системы алгебраических уравнений определя-
ется неоднозначно, однако множество корней любого БГ всегда совпадает с
множеством решений исходной системы уравнений [8]. Как и в задаче о приве-
дении матрицы к треугольному виду, техника БГ требует введения отношения
порядка на множестве переменных. Говоря менее формально, необходимо ука-
зать, в какой последовательности из системы алгебраических уравнений будут
исключаться переменные. В настоящей работе использован лексико-
графический порядок [8]. Поскольку при построении БГ переменные последо-
вательно исключаются, можно использовать технику вычисления корней поли-
номов от одной переменной, а затем подставлять найденные корни в другие
уравнения системы и решать их относительно других переменных. Отметим,
что алгоритмы построения БГ реализованы во многих системах компьютерных
вычислений, таких как Mapl, Mathematica, AXIOM, REDUCE и др.
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
30
Целью настоящей работы является детальное исследование энергии МА ку-
бического ферромагнетика с использованием метода БГ, отыскание и анализ
стационарных точек на поверхности энергии МА, соответствующих особенно-
стям направлений вектора намагниченности в кубическом ферромагнетике.
1. Метод базисов Гребнера
Проиллюстрируем применение метода БГ на примере отыскания экстре-
мума энергии МА (1). Вначале определим стационарные точки. Для этого
составим функцию Лагранжа F, которая, применительно к нашей задаче, оп-
ределяется следующим образом [8]:
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1x y x z y x x y z x y zF k m m m m m m k m m m m m m= + + + + λ + + − . (3)
Дифференцируя выражение (3) и присоединяя условие связи (2), получа-
ем систему алгебраических уравнений пятой степени:
( )
( )
( )
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
2 2 2
2 2 2 ,
2 2 2 ,
2 2 2 ,
1.
x y x z x y z x
x
x y z y x z y y
y
x z y z x y z z
z
x y z
F k m m m m k m m m m
m
F k m m m m k m m m m
m
F k m m m m k m m m m
m
f m m m
∂⎧ = + + + λ⎪∂⎪
∂⎪
= + + + λ⎪⎪∂⎨
⎪ ∂
= + + + λ⎪
∂⎪
⎪ = + + −⎪⎩
(4)
Для решения (4) найдем БГ идеала, порожденного четырьмя уравнениями
этой системы. Такой идеал принадлежит множеству R[x, y, z, λ]. При по-
строении БГ было использовано лексико-графическое упорядочение моно-
мов λ > mx > my > mz [8]. Соответствующий БГ состоит из тринадцати ком-
понент, явный вид которых ввиду громоздкости приведен в приложении. Из
уравнений (П.1)–(П.13) видно, что первый многочлен g1 в БГ зависит только
от zm , тогда как другие компоненты вектора m (mx и mу) появляются лишь с
ростом номера компонент базиса. Используя методы компьютерной алгебры
для решения системы уравнений (4), получаем набор решений, которые оп-
ределяют стационарные направления вектора намагниченности М.
Полный список стационарных точек функции F может быть представлен
в виде следующих четырех групп решений:
1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 0;
x y x
x y z
x y z
m m m
m m m
m m m
⎧ = ± = = λ =
⎪⎪ = = ± = λ =⎨
⎪ = = = ± λ =⎪⎩
(5)
3
3xm = ± , 3
3ym = ± , 3
3zm = ± , 1 2
2 1
3 9
k kλ = − − ; (6)
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
31
1
1
1
2 2 10, , , ,
2 2 2
2 2 1, 0, , ,
2 2 2
2 2 1, , 0, ;
2 2 2
x y z
x y z
x y z
m m m k
m m m k
m m m k
⎧
= = ± = ± λ = −⎪
⎪
⎪⎪ = ± = = ± λ = −⎨
⎪
⎪
= ± = ± = λ = −⎪
⎪⎩
(7)
2
1 2 1 1 1
2 2 2 2
2
1 1 2 1 1
2 2 2 2
2
1 1 1 2 1
2 2 2 2
2 , , , ,
2, , , ,
2, , , .
x y z
x y z
x y z
k k k k km m m
k k k k
k k k k km m m
k k k k
k k k k km m m
k k k k
⎧ +
= ± = ± − = ± − λ =⎪
⎪
⎪ +⎪ = ± − = ± = ± − λ =⎨
⎪
⎪ +⎪ = ± − = ± − = ± λ =
⎪⎩
(8)
Группа решений (5) содержит 2 + 2 + 2 = 6 корней, группа (6) − 23 = 8, (7)
− 22 + 22 + 22 = 12, а группа (8) − 23 + 23 + 23 = 24 корня. Таким образом, об-
щее количество стационарных точек для кубического магнетика, при учете
слагаемых четвертой и шестой степеней в выражении для энергии МА, со-
ставляет 6 + 8 + 12 + 24 = 50. Это означает, что возможна ситуация, когда
кристалл может иметь 50 особых направлений.
Отметим, что решения групп (5)–(7) не зависят от констант МА, тогда как
решения группы (8) определяются алгебраическими комбинациями k1 и k2.
Возможность существования подобного вида решений обсуждалась в [3].
Обратим внимание на корни группы (8). Поскольку {mx, my, mz} суть декар-
товы координаты вектора m, они с необходимостью вещественные числа. Из
этого можно сделать вывод, что 24 корня из этой группы возможны только
тогда, когда подкоренные выражения неотрицательны. В частности, из (8)
видно, что эти 24 корня не существуют, если знаки k1 и k2 одинаковы.
2. Исследование стационарных точек
Для анализа характера стационарных точек необходимо исследовать вто-
рой дифференциал функции F (3), который в общем виде может быть пред-
ставлен стандартным образом [11]:
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2d d d dx y z
x y z
F F FF m m m
m m m
∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂
2 2 2
2 d d 2 d d 2 d dx y x z y z
x y x z y z
F F Fm m m m m m
m m m m m m
∂ ∂ ∂
+ + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, (9)
и условие, вытекающее из условия нормировки для m (2):
d d d 0x x y y z zm m m m m m+ + = . (10)
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
32
Рассмотрим точку, соответствующую значениям mx = 0, my = 0, mz = 1, λ = 0. В
этом случае из уравнения (10) следует, что dmz = 0. Подставляя данное
значение dmz в (9), получаем, что ( )2 2 2
1d 2 d dx yF k m m= + . Из этого выраже-
ния видно, что знак второго дифференциала d2F полностью определяется
знаком константы k1, т.е., если k1 > 0, то точка с координатами mx = 0, my = 0,
mz = 1 определяет минимум функции F. Это свидетельствует о том, что век-
тор m направлен в точку, соответствующую легкой оси. Если k1 < 0, то мы
имеем максимум энергии МА и соответственно трудную ось.
Пусть 3
3xm = , 3
3ym = , 3
3zm = , 1 2
2 1
3 9
k kλ = − − . В этом случае фор-
мулы (10) и (9) принимают вид: dmz = −dmx − dmy и ( )2
1 2
8d 3
9
F k k= − + ×
( )2 2d d d dx x y ym m m m× + + соответственно. Преобразуем последнее выражение:
( ) ( )22 2
1 2
2d 3 2d d 3d
9 x y yF k k m m m⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
, откуда следует, что «легкость»
или «трудность» соответствующего направления зависит от знака линейной
комбинации констант МА 1 2
1
3
k k⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Рассмотрим решение из группы (7), например 2
2xm = , 0ym = ,
2
2zm = , 1
1
2
kλ = − . Отсюда следует, что dmz = −dmx. Возможные
направления вектора m полностью зависят от знака формы 2d F =
2
1 2 1
1 d 4 d
2 y xk k m k m⎛ ⎞= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Пусть 1
2
x
km
k
= − , 1
2
y
km
k
= − , 1 2
2
2
z
k km
k
+
= ,
2
1
2
k
k
λ = . Тогда формула
(9) с учетом (10) принимает вид: ( )1 1 22
2
8
d d dx y
k k k
F m m
k
+
= − . Как показано
в [11], такая квадратичная форма не является знакоопределенной, поэтому
направление, отвечающее таким координатам, не является ни легким, ни
трудным. Это седловая точка, в которой энергия МА имеет минимум при
изменении одной переменной и максимум − при изменении другой.
Отметим, что в полученных выражениях нельзя формально полагать k1 или
k2 равными нулю. Поэтому проведем анализ частного случая при k2 = 0
отдельно.
В качестве примера рассмотрим кубический кристалл железоиттриевого
граната Y3Fe5O12, для которого при температуре Т = 295 K константы
МА отличаются друг от друга на два порядка по абсолютной величине:
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
33
k1 = − 0.06·104 J/m3, k2 = − 0.0005·104 J/m3 [4]. Поэтому при анализе энергии
МА в Y3Fe5O12 можно полагать, что k2 = 0, k1 ≠ 0. Тогда формула (1) для
энергии МА принимает вид ( )2 2 2 2 2 2
1ma x y x z y zF k m m m m m m= + + . При этом
основная система уравнений (4) может быть представлена в следующей форме:
( )
( )
( )
2 2
1
2 2
1
2 2
1
2 2 2
2 2 ,
2 2 ,
2 2 ,
1,
x y x z x
x
x y z y y
y
x z y z z
z
x y z
F k m m m m m
m
F k m m m m m
m
F k m m m m m
m
f m m m
∂⎧ = + + λ⎪∂⎪
∂⎪
= + + λ⎪⎪∂⎨
⎪ ∂
= + + λ⎪
∂⎪
⎪ = + + −⎪⎩
(11)
а БГ относительно лексико-графиьческого порядка λ > mx > my > mz запи-
шется следующим образом:
7 5 3
1
5 3
2
2 3 2 5 3
3
3 3
4
5 3 4 2
5
5 3
6
3
7
3 2
8
3 2
9
6 11 6 ,
6 5 ,
4 2 2 3 ,
,
2 3 4 2 ,
6 5 ,
3 ,
,
2
z z z z
y z y z y z
y z y z z z z
y z y z
y y y z y z y
x z x z x z
x y z x y z
x z x y z x z
x y x y z
g m m m m
g m m m m m m
g m m m m m m m
g m m m m
g m m m m m m m
g m m m m m m
g m m m m m m
g m m m m m m m
g m m m m m
= − + −
= − +
= − + − +
= −
= − + − +
= − +
= −
= + −
= +
2 2 2
10
4 2 2 2 2
11 1 1 1 1
,
1,
2 2 2 2 .
y z
x y z
y y z y z
m m
g m m m
g k m k m m k m k m
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
−⎪
⎪
= + + −⎪
⎪
= λ − − + +⎪⎩
(12)
Полагая все ig = 0 в (12) (i = 1, …, 11) и решая получившуюся систему
уравнений, находим такие наборы корней:
1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 0;
x y z
x y z
x y z
m m m
m m m
m m m
⎧ = ± = = λ =
⎪⎪ = = ± = λ =⎨
⎪ = = = ± λ =⎪⎩
(13)
3
3xm = ± , 3
3ym = ± , 3
3zm = ± , 1
2
3
kλ = − ; (14)
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
34
1
1
1
2 2 10, , , ,
2 2 2
2 2 1, 0, , ,
2 2 2
2 2 1, , 0, .
2 2 2
x y z
x y z
x y z
m m m k
m m m k
m m m k
⎧
= = ± = ± λ = −⎪
⎪
⎪⎪ = ± = = ± λ = −⎨
⎪
⎪
= ± = ± = λ = −⎪
⎪⎩
(15)
Таким образом, общее количество стационарных точек для кубического
магнетика, при учете слагаемых только четвертой степени в выражении для
энергии МА, равно 26.
Рассмотрим слагаемые из группы (13). Для точки mx = 1, my = 0, mz = 0, λ
= 0 получаем dmx = 0 и ( )2 2 2
1d 2 d dy zF k m m= + . Если k1 > 0, то d2F > 0 и точка
с координатами mx = 1, my = 0, mz = 0 определяет минимум функции F . Это
свидетельствует о том, что вектор намагниченности направлен в точку, со-
ответствующую легкой оси. Если k1 < 0, то мы имеем максимум энергии
анизотропии и соответственно трудную ось. Для членов группы (14)
получим, что при 3
3xm = , 3
3ym = , 3
3zm = , 1 2
2 1
3 9
k kλ = − − , dmz = −dmx −
– dmy, ( )22 2
1
2d 2d d 3d
3 x y yF k m m m⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
, а характер направления, опреде-
ляемого данной точкой, также зависит от знака 1k . Если k1 > 0 – это трудная
ось, а если k1 < 0 – это легкая ось. Аналогичным образом определяется
«трудность» («легкость») оставшихся точек из (14) в зависимости от знака k1.
Группа решений (15) представляет наибольший интерес. Пусть,
например, 2
2xm = ± , 2
2ym = ± , mz = 0, 1
1
2
kλ = − . В этом случае необхо-
димо исследовать знакоопределенность второго дифференциала:
( )2 2 2
1d d 4dx yF k m m= − . Для этого воспользуемся критерием Сильвестра [10].
Пусть k1 > 0, тогда детерминант матрицы для d2F
1 0
det 4
0 4
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟−⎝ ⎠
, т.е.
отрицателен. В этой точке функция F имеет седло. Напротив, пусть k1 < 0,
тогда
1 0
det 4
0 4
−⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, т.е. опять отрицателен. Отсюда следует, что и в этом
случае экстремум отсутствует. Тот факт, что все точки из набора решений
(15) являются седловыми, доказывается аналогичным образом.
Полученные данные можно наглядно проиллюстрировать графиком
функции F = F(mx, my, mz) в декартовых координатах. При этом
целесообразно воспользоваться следующей параметризацией:
mx = cos u sin v, my = sin u sin v, mz = cos v, 0 ≤ u ≤ π,
2 2
vπ π
− ≤ ≤ .
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
35
Рис. 1. Поверхность МА для Y3Fe5O12 при T = 295 K, k1 < 0, k2 = 0. Координатные
оси x, y, z соответствуют трудным направлениям. Стрелками показаны некоторые
легкие оси. Седловые точки отмечены черными кругами
Рис. 2. Поверхность МА для FeSi (Fe – 97%, Si – 3%) при T = 300 K, k1 > 0, k2 = 0
[10]. Координатные оси x, y, z соответствуют легким направлениям. Стрелками по-
казаны некоторые трудные оси. Седловые точки отмечены черными кругами
Соответствующая поверхность для Y3Fe5O12 представлена на рис. 1. График
поверхности МА для FeSi с процентным содержанием Fe – 97 и Si – 3 при
Т = 300 K изображен на рис. 2. Для этого вещества, в отличие от Y3Fe5O12,
первая константа МА положительна: k1 ≈ 48·104 J/m3, k2 ≈ 0 [12]. На приве-
денных графиках отчетливо видны максимумы, минимумы и седловые точ-
ки функции F.
3. Анализ стационарных решений
Как было отмечено выше, для появления решений из группы (8) необхо-
димо выполнение определенных соотношений между константами МА k1 и
k2, а именно подкоренные выражения в 1 2
2
2k k
k
+ и 1
2
k
k
− в решениях (8)
должны быть неотрицательными. Для этого необходимо, чтобы
выполнялись следующие неравенства:
1 2 1 2
1 2 2 1 2 2
0, 0 или 0, 0,
2 0, 0 или 2 0, 0.
k k k k
k k k k k k
> < < >
+ > > + < <
(16)
Только в таком случае появляются дополнительные оси, ориентация ко-
торых зависит от абсолютных значений k1 и k2. В качестве примера по-
добного вещества рассмотрим сплав FeCoNi со следующим процентным
содержанием каждой из компонент: Fe – 25, Co – 25, Ni – 50. В этом ве-
ществе константы МА определяются значениями: k1 = −3·102 J/m3 и k2 =
= 22·102 J/m3 при Т = 598 K [12], т.е. удовлетворяют неравенствам (16).
Воспользовавшись формулами (8), находим координаты стационарных
направлений:
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
36
mx = ±0,85279, my = ±0,36929, mz = ±0,36929;
mx = ±0,36929, my = ±0,85279, mz = ±0,36929; (17)
mx = ±0,36929, my = ±0,36929, mz = ±0,85279.
Все эти направления соответствуют седлам на поверхности МА. На рис. 3
изображена поверхность анизотропии для данного случая и показана ориен-
тация некоторых из найденных стационарных направлений, обозначенных
стрелками.
Рис. 3. Поверхность МА для FeCoNi (Fe – 25%, Co – 25%, Ni – 50%) при T= 598 K,
k1 < 0, k2 > 0. Координатные оси x, y, z соответствуют трудным направлениям. Не-
которые из стационарных направлений, соответствующих седлам на поверхности
МА, показаны стрелками
Рис. 4. Поверхность МА для FeNi (Fe – 30%, Ni – 70%) при T = 473 K, k1 > 0, 2k1 +
+ k2 = 0. Координатные оси x, y, z соответствуют легким направлениям. Некоторые
из стационарных направлений, соответствующих максимумам на поверхности МА,
показаны стрелками. Эти направления определяют трудные оси
Рассмотрим случай, когда выполняется условие 2k1 + k2 = 0, т.е. одна из
координат в решениях (8) обращается в нуль. Ферромагнитный сплав FeNi с
процентным содержанием компонент: Fe – 30, Ni – 70 характеризуется такой
комбинацией констант МА: k1 = 2·102 J/m3 и k2 = −4·102 J/m3 при T = 473 K
[12]. В этом случае наблюдается вырождение стационарных направлений,
отвечающих седлам (8), и соотношения (8) полностью совпадают c
выражениями (7). Видно, что при k1 > 0, 2k1 + k2 = 0 точкам (8)
соответствует трудная ось, а при k1 < 0, 2k1 + k2 = 0 – легкая. Поверхность
анизотропии для рассмотренного случая представлена на рис. 4.
Заключение
В настоящей работе мы применили технику БГ для определения экстре-
мальных значений выражения для энергии МА и показали эффективность
этого метода. Получены и проанализированы все решения для точек, по-
дозрительных на экстремум. Путем детального анализа знака второго диф-
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
37
ференциала в каждой такой точке получены условия для констант анизо-
тропии, определяющие характер направления вектора намагниченности к
этой точке.
Показано, что если в выражение для энергии анизотропии входят слагае-
мые четвертой и шестой степеней, то появляются дополнительные 24 корня,
которые, в частности, возможны, если первая и вторая константы МА имеют
разные знаки. Эти стационарные направления определяются как знаками,
так и абсолютными величинами констант МА. В случае, если значащими
являются слагаемые только четвертой степени, экстремальные направления
неизменны, а их характер зависит только от знаков констант анизотропии.
Следует отметить, что константы МА определяются температурой, т.е.
величины и знаки k1 и k2 могут претерпевать существенные изменения с
ростом или понижением Т [3,7]. Соответственно ориентация стационарных
направлений также будет меняться с изменением температуры. Отличия в
температурной зависимости стационарных направлений при k1 и k2, не рав-
ных нулю, заключаются в том, что для изменения их ориентации в про-
странстве не требуется, чтобы константы МА меняли знак, достаточно их
непрерывного изменения по величине в указанных выше пределах.
Исследования проведены только для веществ с кубической симметрией,
однако высокая степень алгоритмизации данного метода позволяет надеять-
ся, что техника БГ может быть с успехом применена и для других сингоний.
Также отметим, что описанный выше подход является, на наш взгляд, весь-
ма перспективным и многообещающим для описания влияния внешних воз-
действий (механических напряжений, электрического и магнитного полей)
на ориентацию вектора намагниченности в магнетике.
Авторы признательны А.С. Жеданову, И.Б. Краснюку, К.Л. Метлову и
С.В. Тарасенко за полезные обсуждения и критические замечания.
1. С.В. Вонсовский, Магнетизм, Наука, Москва (1971).
2. R.R. Birss, Symmetry and magnetism, North-Holland Publishing Company, Amster-
dam (1966).
3. К.П. Белов, А.К. Звездин, А.П. Кадомцева, Р.З. Левитин, Ориентационные пере-
ходы в редкоземельных магнетиках, Наука, Москва (1979).
4. C. Тикадзуми, Физика ферромагнетизма. Магнитные характеристики и практи-
ческие применения, Мир, Москва (1987).
5. Magnetism. Fundamentals, E. du Tremolet de Lacheisserie, D. Gignoux, M.
Schlenker (eds.), Springer, Boston (2005).
6. Г.С. Кринчик, Физика магнитных явлений, Изд-во МГУ, Москва (1985).
7. Е.С. Боровик, В.В. Еременко, А.С. Мильнер, Лекции по магнетизму, Физматлит,
Москва (2005).
8. Д. Кoкc, Дж. Литтл, Д. О’Ши, Идеалы, многообразия и алгоритмы, Мир, Мо-
сква (2000).
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
38
9. А. Thionnet, Ch. Martin, Int. J. of Solids and Structures 43, 325 (2006).
10. M. Maniatis, A. von Manteuffe, O. Nachtmann, Eur. Phys. J. C49, 1067 (2007).
11. Л.Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа, Т. 2, ALFA, Москва
(1998).
12. Таблицы физических величин. Справочник, И.К. Кикоин (ред.), Атомиздат, Мо-
сква (1976).
Приложение
Явный вид тринадцати компонент БГ, выраженных через компоненты
вектора m и константы МА:
2 7 2 5 2 11 2 9 2 3 3
1 2 2 2 2 2 2 1 217 7 6 17 5z z z z z z zg k m k m k m k m k m k m k k m= − + − + − + +
+ 5 7 9 2 2 5 2 3 2 7
1 2 1 2 1 2 1 1 1 15 5 6 2 22 12 12z z z z z z zk k m k k m k k m k m k m k m k m+ − + + − − , (П.1)
2 2 3 2 5 5 3
2 1 1 1 1 2 1 22 10 12 4y z y z y z y z y zg k m m k m m k m m k k m m k k m m= − + − − + −
–
7 2 9 2 5 2 3 2 7
1 2 1 2 2 2 2 26 6 6 11y z y z y z y z y z y zk k m m k k m m k m m k m m k m m k m m− + + − − , (П.2)
2 3 5 3 2 7
3 1 1 1 1 1 24 2 3 2 2y z z z y z z zg k m m k m k m k m m k m k m= + − − + + +
+ 2 5 5 2 3 3
2 2 2 24 3 2y z z y z zk m m k m k m m k m− − + , (П.3)
3 3 2 3 3 2 3 3 2 7
4 1 2 2 1 1 2 28 2 8 2 6y z y z y z y z y zg k k m m k m m k m m k k m m k m m= + + + + −
–
5 2 5 3 2 3 2 3
1 2 1 2 2 1 1 22 7 7 8y z y z y z y z y z y zk km m k m m k k m m k m m k m m k k m m− − + − + , (П.4)
2 4 4 2 4 2 2 3 2 2 3
5 1 1 2 2 2 116 20 4 4 16y z y z y z y z y zg k m m k k m m k m m k m m k m m= + + + + +
+ 2 3 2 2 2 2 2 2 9
1 2 2 1 1 2 220 4 16 20 18y z y z y z y z zk k m m k m m k m m k k m m k m− − − − +
+ 2 7 7 5 2 5 2 5 2 3
2 1 2 1 2 2 1 245 30 35 36 16 9z z z z z zk m k k m k k m k m k m k m+ − − + + −
–
2 3 2
1 1 2 124 5 8z z zk m k k m k m+ + , (П.5)
2 5 5 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3
6 1 1 2 1 2 1 2 116 4 16 2 4 24y y y z y z y z yg k m k k m k m m k m m k k m m k m= + + − − − −
–
3 2 8 2 6 6 2 4 4
1 2 2 2 1 2 1 1 26 18 27 30 16 13y y z y z y z y z y zk k m k m m k m m k k m m k m m k k m m− + + + − −
–
2 4 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1 211 16 2 8 2y z y z y z y z y yk m m k m m k m m k k m m k m k k m− + + + + , (П.6)
2 5 2 3 2 5
7 1 1 1 1 2 1 212 10 2x z x z x z x z x zg k m m k m m k m m k k m m k k m m= − + − − − −
–
7 3 2 9 2 7 2 5 2 3
1 2 1 2 2 2 2 26 4 6 11 6x z x z x z x z x z x zk k m m k k m m k m m k m m k m m k m m+ + − + − , (П.7)
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
39
2 7 5 2 5 3
8 2 1 2 2 1 23 3 4 2x y z x y z x y z x y zg k m m m k k m m m k m m m k k m m m= − − − −
–
2 3 2 3 2
1 2 1 1 26 2x y z x y z x y z x y zk m m m k m m m k m m m k k m m m+ + + , (П.8)
2 3 2 2 2 2
9 1 1 1 1 216 8 8 2x z x y z x z x y zg k m m k m m m k m m k k m m m= + − + +
5 5 2 3
1 2 1 2 1 2 1 210 8 3x z x z x y z x zk k m m k k m m k k m m m k k m m+ + + − +
+ 2 2 3 2 5 2 7 2 3
2 2 2 22 9 6 3x y z x z x z x zk m m m k m m k m m k m m+ − − , (П.9)
3 2 3 4
10 2 1 22 2x y z x y x y zg k m m m k m m k m m m= + + −
–
2 3 2
2 1 1x y z x y z x yk m m m k m m m k m m+ − , (П.10)
2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2
11 1 1 1 1 116 16 16 8 8x y x z x y z x z x yg k m m k m m k m m m k m m k m m= + + − − +
+ 6 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 230 5 4 12 5x z x z x y x y z x zk k m m k k m m k k m m k k m m m k k m m− + + − −
–
2 2 4 2 8 2 6 2 2 2
1 2 2 2 2 22 9 18 27 2x y x z x z x z x y zk k m m k m m k m m k m m k m m m− − + + , (П.11)
2 2 2
12 1x y zg m m m= + + − , (П.12)
2 4 2 2 2 8 2 6 2 6
13 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2112 64 90 105 48z z z z zg k k m k k m k k m k k m k k m= − + + − + +
+ 3 4 3 2 3 4 3 2 3 10
1 2 1 1 1 1 220 32 32 32 32 54y y z z zk k k m k m k m k m k mλ − + − + − +
3 8 3 8 3 4 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 1 2135 108 27 4 16 8z z z y zk m k m k m k k k k m m+ − + + λ + λ − −
–
2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 240 8 8 8 23y z y y z zk k m m k k m k k m k k m k k m− + − + −
–
3 2 2 2 4 2 2
1 1 2 1 232 40 40y z y yk m m k k m k k m− + . (П.13)
A.L. Shyshmakov, I.L. Lyubchanskii
ANALYSIS OF MAGNETOCRYSTALLOGRAPHIC
ANISOTROPY ENERGY FOR CUBIC FERROMAGNETS
BY USING THE GREBNER BASES REPRESENTATION
Analysis of the magnetocrystallographic anisotropy (MA) energy for cubic ferromagnet
has been performed by using the Grebner bases representation with the first and second
MA constants taken into account. On the surface of MA energy all possible stationary
points defined by combinations of the constants have been found and analysed. Examples
of substances where stationary points of different types may coexist are given.
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
40
Fig. 1. MA surface for Y3Fe5O12; Т = 295 K, k1 < 0, k2 = 0. Coordinate axes x, y, z corre-
spond to hard directions. Some easy axes are shown by arrows. Saddle points are marked
by black circles
Fig. 2. MA surface for FeSi (Fe – 97%, Si – 3%); Т = 300 K, k1 > 0, k2 = 0 [10]. Coordi-
nate axes x, y, z correspond to easy directions. Some hard axes are shown by arrows. Sad-
dle points are marked by black circles
Fig. 3. MA surface for FeCoNi (Fe – 25%, Co – 25%, Ni – 50%); Т = 598 K, k1 < 0, k2 > 0.
Coordinate axes x, y, z correspond to hard directions. Arrows show several stationary di-
rections corresponding to saddles on MA surface
Fig. 4. MA surface for FeNi (Fe – 30%, Ni – 70%); Т = 473 K, k1 > 0, 2k1 + k2 = 0. Co-
ordinate axes x, y, z correspond to easy directions. Arrows show several stationary direc-
tions corresponding to maxima on MA surface. These directions relate to hard axes
|