Побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом
Рассмотрено одномерное стационарное квазипериодическое уравнение Шредингера, в котором потенциал является действительным тригонометрическим многочленом конечного порядка. С помощью диаграммной техники построены границы зон неустойчивости в виде сходящихся разложений по малому параметру и оценены раз...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7244 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом / О.М. Денисенко, І.О. Парасюк // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 83-92. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7244 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-72442010-03-29T12:01:18Z Побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом Денисенко, О.М. Парасюк, І.О. Рассмотрено одномерное стационарное квазипериодическое уравнение Шредингера, в котором потенциал является действительным тригонометрическим многочленом конечного порядка. С помощью диаграммной техники построены границы зон неустойчивости в виде сходящихся разложений по малому параметру и оценены размеры этих зон. This paper is concerned with one-dimensional stationary quasiperiodic Schr¨odinger equation with a finite order trigonometric potential. Diagram technique is applied to construct the boundaries of instability zones as convergent series in a small parameter. Sizes of instability zones have been estimated. 2007 Article Побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом / О.М. Денисенко, І.О. Парасюк // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 83-92. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7244 517.9 uk Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Рассмотрено одномерное стационарное квазипериодическое уравнение Шредингера, в котором потенциал является действительным тригонометрическим многочленом конечного порядка. С помощью диаграммной техники построены границы зон неустойчивости в виде сходящихся разложений по малому параметру и оценены размеры этих зон. |
| format |
Article |
| author |
Денисенко, О.М. Парасюк, І.О. |
| spellingShingle |
Денисенко, О.М. Парасюк, І.О. Побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом |
| author_facet |
Денисенко, О.М. Парасюк, І.О. |
| author_sort |
Денисенко, О.М. |
| title |
Побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом |
| title_short |
Побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом |
| title_full |
Побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом |
| title_fullStr |
Побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом |
| title_full_unstemmed |
Побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом |
| title_sort |
побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння шредінгера з тригонометричним потенціалом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7244 |
| citation_txt |
Побудова границь зон нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом / О.М. Денисенко, І.О. Парасюк // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 83-92. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT denisenkoom pobudovagranicʹzonnestíjkostíkvazíperíodičnogorívnânnâšredíngeraztrigonometričnimpotencíalom AT parasûkío pobudovagranicʹzonnestíjkostíkvazíperíodičnogorívnânnâšredíngeraztrigonometričnimpotencíalom |
| first_indexed |
2025-07-02T10:06:49Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:06:49Z |
| _version_ |
1836529284727963648 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ПОБУДОВА ГРАНИЦЬ ЗОН НЕСТIЙКОСТI
КВАЗIПЕРIОДИЧНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА
З ТРИГОНОМЕТРИЧНИМ ПОТЕНЦIАЛОМ
О. М. Денисенко
МП „Дисит"НАН України
Україна, 03164, Київ, вул. Генерала Наумова, 15
I. О. Парасюк
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
This paper is concerned with one-dimensional stationary quasiperiodic Schrödinger equation with a finite
order trigonometric potential. Diagram technique is applied to construct the boundaries of instability zones
as convergent series in a small parameter. Sizes of instability zones have been estimated.
Рассматривается одномерное стационарное квазипериодическое уравнение Шредингера, в ко-
тором потенциал является действительным тригонометрическим многочленом конечного
порядка. С помощью диаграммной техники построены границы зон неустойчивости в виде схо-
дящихся разложений по малому параметру и оценены размеры этих зон.
1. Вступ. Розглянемо одновимiрне стацiонарне рiвняння Шредiнгера з квазiперiодичним
потенцiалом
−d
2ψ
dt2
+ ε u(ωt)ψ = Eψ, −∞ < t < ∞, (1)
в якому u (ϕ) є дiйсною гладкою функцiєю на торi Td = Rd/2π Zd, ω ∈ Rd — вектор
частот, E — дiйсний параметр (енергiя), ε — малий параметр.
У перiодичному випадку (d = 1) рiвняння (1) називають також рiвнянням Хiлла. Вi-
домо, що при фiксованому ε вiсь енергiї E рiвняння Хiлла розбивається на замкненi про-
мiжки нестiйкостi (зони нестiйкостi або параметричного резонансу) та вiдкритi iнтер-
вали стiйкостi, причому границя зони нестiйкостi характеризується наявнiстю у рiвнян-
ня принаймнi одного нетривiального перiодичного розв’язку з перiодом 2π/ω або 4π/ω i
одного необмеженого розв’язку. Таким чином, границi зон нестiйкостi можна визначати
як простi власнi числа оператора − d2
dt2
+ ε u(ωt) на просторi 4π/ω-перiодичних функцiй.
Спираючись на цей факт, у роботi [1] за допомогою дiаграмної технiки [2] було побудова-
но границi зон нестiйкостi для рiвняння типу Мат’є — рiвняння вигляду (1), в якому u(ϕ)
є тригонометричним полiномом порядку p, та доведено, що ширина k-ї зони при ε → 0
є величиною порядку O (εr), де r = −
[
−k
p
]
(k-та зона при ε → 0 стягується в точку
Ek = kω/2).
У перших роботах, присвячених дослiдженню аналогiчних питань для квазiперiодич-
ного рiвняння (1), застосовувались асимптотичнi методи типу методу усереднення ( див.,
c© О. М. Денисенко, I. О. Парасюк, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1 83
84 О. М. ДЕНИСЕНКО, I. О. ПАРАСЮК
наприклад, [3, 4]). Такi методи дозволяють видiляти на осi енергiї промiжки параметрич-
ного резонансу, де рiвняння має додатний показник Ляпунова, однак при цьому не розв’я-
зують питання iснування країв зон нестiйкостi.
Розв’язання цього питання стало можливим лише з використанням методiв КАМ-
теорiї [5 – 8]. З роботи Ю. О. Митропольського та А. М. Самойленка [6] розпочалося
застосування основного методу КАМ-теорiї — методу прискореної збiжностi — до проб-
леми звiдностi лiнiйних квазiперiодичних систем. Згодом у роботах [9 – 11] розроблену в
[6] технiку було ефективно використано при дослiдженнi рiвняння (1). Зокрема, у роботi
[11] показано, що зони нестiйкостi рiвняння (1) з дiйсною аналiтичною функцiєю u (ϕ) на
торi Td можна покрити iнтервалами, занумерованими цiлочисловими векторами решiтки
Zd, так, щоб поза об’єднанням цих iнтервалiв рiвняння мало пару лiнiйно незалежних ква-
зiперiодичних розв’язкiв у виглядi так званих блохiвських функцiй; було також одержано
„майже експоненцiальну” оцiнку швидкостi спадання довжин зазначених iнтервалiв, а от-
же, i зон нестiйкостi, при ‖k‖ → ∞. При цьому, однак, поза увагою залишилося питання
про те, наскiльки точно границi кожного з таких iнтервалiв вiдтворюють границi зони
нестiйкостi, яку вiн покриває. Проте уже в роботi [12] для рiвняння (1) з ε = 1 було побу-
довано як точнi границi зон нестiйкостi, так i розв’язки, якi їм вiдповiдають, а також пока-
зано, що розмiр зони нестiйкостi, яка вiдповiдає вектору k ∈ Zd\ {0}, при достатньо вели-
ких значеннях енергiї E оцiнюється згори величиною порядку O (exp {−β ‖k‖}) , β > 0,
де ‖k‖ :=
d∑
j=1
|kj |. Нещодавно, у роботi [13], також з використанням методiв КАМ-теорiї,
було встановлено важливий результат про аналiтичну залежнiсть вiд малого параметра
границь зон нестiйкостi та вiдповiдних їм розв’язкiв рiвняння (1) з аналiтичним потенцiа-
лом.
Мета даної статтi полягає в тому, щоб обґрунтувати можливiсть неформального роз-
повсюдження пiдходу i результатiв роботи [1] на випадок рiвняння (1) з квазiперiодичним
потенцiалом у виглядi тригонометричного полiнома p-го порядку вигляду
u (ϕ) =
∑
l∈Zd,‖l‖≤p
U (l)ei(l,ϕ), (l, ϕ) :=
d∑
j=1
ljϕj .
Зокрема, ми покажемо, що границi зон нестiйкостi на площинi параметрiв (E, ε) за анало-
гiєю з перiодичним випадком визначаються збiжними розвиненнями за малим парамет-
ром власних чисел оператора Шредiнгера, заданого на класi квазiперiодичних функцiй з
вектором частот
ω
2
, а також, як i в [1], оцiнимо розмiр цих зон за допомогою дiаграмної
технiки [2].
Далi припускаємо, що для всiх l ∈ Zd\ {0} вектор частот ω = (ω1, . . . , ωd) задовольняє
дiофантову умову
|(l, ω)| ≥ K ‖l‖−τ (2)
з деякими сталими K > 0, τ > d− 1.
Зафiксуємо вектор k ∈ Zd\ {0} та позначимо µk =
1
2
(k, ω).
Основним результатом даної роботи є така теорема.
Теорема 1. Нехай потенцiал u (ωt) в рiвняннi (1) є дiйсним тригонометричним много-
членом порядку p, а вектор частот ω задовольняє умову (2). Тодi iснують досить мале
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ПОБУДОВА ГРАНИЦЬ ЗОН НЕСТIЙКОСТI КВАЗIПЕРIОДИЧНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 85
ε1 > 0 i дiйснi аналiтичнi в крузi |ε| < ε1 функцiї λ− (ε) та λ+ (ε) такi, що λ− (ε) ≤ λ+ (ε),
коли ε ∈ (−ε1, ε1), λ− (0) = λ+ (0) = µ2
k, i
A) якщо λ− (ε) < λ+ (ε) , то вiдрiзок J (µk, ε) := {E ∈ [λ− (ε) , λ+ (ε)]} є зоною не-
стiйкостi рiвняння (1), причому для всiх E ∈ (λ− (ε) , λ+ (ε)) рiвняння (1) — експоненцi-
ально дихотомiчне, а дляE = λ± (ε) ,тобто на краях вiдрiзка J (µk, ε) , рiвняння (1) має
два лiнiйно незалежних розв’язки вигляду ψ±1
(ω
2
t, ε
)
, ψ±2
(ω
2
t, ε
)
+ tψ±1
(ω
2
t, ε
)
, де фун-
кцiї ψ±1 (ϕ, ε) , ψ±2 (ϕ, ε) є аналiтичними щодо ϕ ∈ Td та ε ∈ (−ε1, ε1); при цьому довжина
вiдрiзка J (µk, ε) при ε → 0 оцiнюється величиною порядку O (|ε | r) , де r = −
[
−‖k‖
p
]
;
B) якщо λ− (ε) = λ+ (ε) , тобто iнтервал вироджується у точку, то для E =
= λ− (ε) = λ+ (ε) рiвняння (1) має два лiнiйно незалежних розв’язкиψ1
(ω
2
t, ε
)
, ψ2
(ω
2
t, ε
)
,
де функцiї ψ1 (ϕ, ε) , ψ2 (ϕ, ε) є аналiтичними щодо ϕ ∈ Td та ε ∈ (−ε1, ε1).
Зазначимо, що для випадку, коли u(ωt) =
d∑
j=1
cj cos (ωjt),
d∑
j=1
c2j = 1, у роботах [13, 14]
одержано оцiнки довжини вiдрiзка J (µk, ε), подiбнi до оцiнок у теоремi 1 при p = 1.
2. Доведення основного результату. Поклавши y1 = ψ, y2 = ψ′, перейдемо вiд рiвнян-
ня (1) до системи
dy
dt
=
(
0 1
εu(ϕ)− E 0
)
y, ϕ′ = ω, y = (y1, y2) . (3)
Доведення теореми 1 спирається на результати робiт [13, 14]. Так, з одного боку, ви-
користовуючи результати [12], можемо встановити iснування таких гладких в деякому
околi нуля функцiй λ̃− (ε) та λ̃+ (ε), λ̃− (0) = λ̃+ (0) = µ2
k, що: 1) λ̃− (ε), λ̃+ (ε) — власнi
числа оператора − d2
dt2
+ ε u(ωt) на просторi квазiперiодичних функцiй з базисом частот
ω
2
; 2) для всiх E ∈
(
λ̃− (ε) , λ̃+ (ε)
)
рiвняння (1) є експоненцiально дихотомiчним.
З iншого боку, з результатiв [13] випливає така теорема.
Теорема 2. Нехай u є дiйсною аналiтичною функцiєю на торi Td, а вектор частот
ω задовольняє умову (2). Тодi для деякого досить малого ε1 > 0 iснують такi дiйснi
аналiтичнi у крузi |ε| < ε1 функцiї λ− (ε) та λ+ (ε) ,що λ− (ε) ≤ λ+ (ε) , коли ε ∈ (−ε1, ε1),
λ− (0) = λ+ (0) = µ2
k, i при E = λ± (ε) перетворення y 7→ R±
(ω
2
t, ε
)
y, де R±(ϕ, ε) —
невироджена аналiтична щодо ϕ ∈ Td та ε ∈ (−ε1, ε1) матриця, зводить систему (3)
до системи зi сталою нiльпотентною матрицею A0, причому A0 = 0 тодi i лише тодi,
коли λ− (ε) = λ+ (ε).
Будемо визначати границi зони нестiйкостi у виглядi розвинень за малим параметром
власних чисел оператора Шредiнгера, заданого на просторi квазiперiодичних функцiй з
базисом частот
ω
2
. Якщо буде показано, що коефiцiєнти формальних розкладiв власних
чисел знаходяться однозначно, то на пiдставi теореми 2 цi розклади збiгатимуться як з
розкладами за малим параметром ε аналiтичних функцiй λ− (ε), λ+ (ε) з теореми 2, так i з
розвиненнями у ряд Тейлора згаданих вище функцiй λ̃− (ε), λ̃+(ε), якi визначають границi
зон нестiйкостi. Звiдси випливатиме, що λ̃− (ε) = λ− (ε), λ̃+ (ε) = λ+ (ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
86 О. М. ДЕНИСЕНКО, I. О. ПАРАСЮК
Оператор Шредiнгера рiвняння (1) з квазiперiодичним полiномiальним потенцiалом
подамо у виглядi
Λ + εA = − d2
dt2
+ εu1
(ω
2
t
)
. (4)
Тут u1
(ω
2
t
)
=
∑
‖l‖≤2p
U
(l)
1 ei(l, ω
2 )t, де U (2l)
1 = U (l), ‖l‖ ≤ p, причому якщо хоча б одна компо-
нента вектора l є непарною, то U (l)
1 = 0, ‖l‖ ≤ 2p. Власнi числа незбуреного оператора Λ
позначимо через λl. Кожне з них двократне: базис власного простору числа λl =
1
4
(l, ω)2
має вигляд el, e−l, де el = e
1
2
i(l,ω). Цей власний простiр позначимо через Vl. При цьому
будемо ототожнювати простори Vl та V−l. Тодi простiр iнтегровних iз квадратом функцiй
на торi Td можна подати у виглядi ортогональної суми ⊕Vh, де пiдсумовування ведеться
за всiма такими d-вимiрними цiлочисловими векторами h, що або h = 0, або перша нену-
льова компонента вектора h є додатною.
Тепер будемо дослiджувати збурення кратного власного числа λk = µ2
k =
1
4
(k, ω)2 i
вiдповiдного двовимiрного пiдпростору Vk.
Шукатимемо збурений двовимiрний iнварiантний простiр у виглядi графiка вiдобра-
ження B0 + εB1 + ε2B2 + . . . . Умову iнварiантностi графiка запишемо у виглядi оператор-
ного рiвняння
(Λ + εA)
(
B0 + εB1 + . . .
)
=
(
B0 + εB1 + . . .
)
(λkI + εa1 + . . .) , (5)
де Bn : Vk → ⊕Vh та an : Vk → Vk, n ≥ 1, — невiдомi оператори, I — тотожне пере-
творення у Vk, B0 : Vk → ⊕Vh — оператор вкладення. Будемо розв’язувати операторне
рiвняння (5), прирiвнюючи коефiцiєнти при вiдповiдних степенях ε. Так, зiбравши коефi-
цiєнти при εn в обох частинах (5), отримаємо
Bnλk − ΛBn = ABn−1 −Bn−1a1 − . . .−B1an−1 −B0an.
Позначивши ортопроектор на простiр Vj через Prj , визначимо блоки Prj APrh =:
=: Ahj : Vh → Vj , PrhB
s =: Bs
h : Vk → Vh i, прирiвнявши вiдповiдно Vk- та Vm-
компоненти, знайдемо
an =
∑
h 6=k
AhkB
n−1
h −
n−1∑
s=1
Bs
kan−s,
(λk − λm)Bn
m =
∑
h 6=k
AhmB
n−1
h −Bn−1
m a1 − . . .−B1
man−1 +AkmB
n−1
k .
Тут матрицi операторiв Bs
k, s = 0, . . . , n − 1, з урахуванням дiйсностi потенцiала u (ωt)
мають вигляд
(
b1,s b2,s
b∗2,s b∗1,s
)
, де b1,s, b2,s — довiльнi комплекснi числа.
Таким чином, оператори an та Bn
m, m 6= k, залежать вiд того, як вибрано оператори
B1
k, . . . , B
n−1
k , тобто an = an
(
B1
k, . . . , B
n−1
k
)
, Bn
m = Bn
m
(
B1
k, . . . , B
n−1
k
)
, m 6= k.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ПОБУДОВА ГРАНИЦЬ ЗОН НЕСТIЙКОСТI КВАЗIПЕРIОДИЧНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 87
Покладемо
Λ (λk, ε) = λk · I + εa1 + ε2a2 + . . . .
Це розвинення є формальним. Однак, якщо ми покажемо, що коефiцiєнти розвинень за
степенями ε „власних значень” формального оператора Λ (λk, ε) не залежать вiдB1
k, B
2
k, . . .,
то з урахуванням теореми 2 можна буде стверджувати, що зазначенi розвинення є збiжни-
ми рядами Тейлора функцiй λ− (ε), λ+ (ε).
Подамо Bn
m у виглядi Bn
m = B̄n
m + B̃n
m, де B̄n
m = Bn
m (0, . . . , 0). Аналогiчно an = ān + ãn,
де ān = an (0, . . . , 0). Наприклад,
a1 = ā1 = Akk, ã1 = 0, B1
m = B̄1
m =
Akm
(λk − λm)
, B̃1
m = 0;
ā2 =
∑
h 6=k
AhkB̄
1
h, ã2 =
[
ā1, B
1
k
]
, B̄2
m =
∑
h 6=k
AhmB
1
h
λk − λm
− B̄1
ma1
λk − λm
, B̃2
m = B1
mB
1
k;
ā3 =
∑
j 6=k,h 6=k
AhkAjhB̄
1
j
λk − λh
−
∑
h 6=k
AhkB̄
1
ha1
λk − λh
, ã3 =
[
ā2, B
1
k
]
−B1
k
[
ā1, B
1
k
]
+
[
ā1, B
2
k
]
,
B̄3
m =
∑
h 6=k
AhmB̄
2
h
λk − λm
− B̄1
mā2
λk − λm
− B2
mā1
λk − λm
, B̃3
m = B̄2
mB
1
k + B̄1
mB
2
k, . . . .
Тут [·, ·] — комутатор.
Методом математичної iндукцiї доведемо таке твердження.
Лема 1. Для n ≥ 3
B̄n
m =
∑
h 6=k
AhmB̄
n−1
h
λk − λm
−
n−1∑
s=1
B̄s
mān−s
λk − λm
, (6)
B̃n
m =
n−1∑
s=1
B̄s
mB
n−s
k , (7)
ān =
∑
h 6=k
AhkB̄
n−1
h , ãn =
n−1∑
s=1
[
ās, B
n−s
k
]
−
n−2∑
s=1
Bs
kãn−s. (8)
Доведення. Прирiвнюючи коефiцiєнти при εn+1 у рiвняннi (5), отримуємо
Bn+1λk − ΛBn+1 = ABn −Bna1 − . . .−B1an −B0an+1. (9)
Тодi, прирiвнюючи Vm-компоненти при m 6= k, знаходимо
(λk − λm)Bn+1
m =
∑
h 6=k
AhmB
n
h −Bn
ma1 − . . .−B1
man +AkmB
n
k .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
88 О. М. ДЕНИСЕНКО, I. О. ПАРАСЮК
Одразу отримуємо B̄n+1
m =
∑
h 6=k
AhmB̄
n
h
λk − λm
−
n∑
s=1
B̄s
mān+1−s
λk − λm
. Далi знаходимо B̃n+1
m :
B̃n+1
m =
∑
h 6=k
AhmB̃
n
h
λk − λm
−
n−1∑
s=1
B̄s
mãn+1−s
λk − λm
−
n∑
s=2
B̃s
mān+1−s
λk − λm
−
n−1∑
s=2
B̃s
mãn+1−s
λk − λm
+ B̄1
mB
n
k =
=
∑
h 6=k
Ahm
n−1∑
s=1
B̄s
hB
n−s
k
λk − λm
−
n−1∑
s=1
B̄s
mãn+1−s
λk − λm
−
n∑
s=2
B̃s
mān+1−s
λk − λm
−
n−1∑
s=2
B̃s
mãn+1−s
λk − λm
+ B̄1
mB
n
k =
=
n−1∑
s=1
B̄s+1
m +
s∑
q=1
B̄q
mās+1−q
λk − λm
Bn−s
k −
n−1∑
s=1
B̄s
mãn+1−s
λk − λm
−
n∑
s=2
B̃s
mān+1−s
λk − λm
−
−
n−1∑
s=2
B̃s
mãn+1−s
λk − λm
+ B̄1
mB
n
k =
n∑
s=1
B̄s
mB
n+1−s
k +
1
λk − λm
Σ,
де
Σ =
n−1∑
s=1
s∑
q=1
B̄q
mās+1−qB
n−s
k −
n−1∑
s=1
B̄s
mãn+1−s −
n∑
s=2
B̃s
mān+1−s −
n−1∑
s=2
B̃s
mãn+1−s.
Неважко переконатись, що Σ = 0. Таким чином,
B̃n+1
m =
n∑
s=1
B̄s
mB
n+1−s
k +
1
λk − λm
Σ =
n∑
s=1
B̄s
mB
n+1−s
k ,
а отже, ми отримали (7) для B̃n+1
m .
Далi, прирiвнюючи Vk-компоненти у рiвностi (9), знаходимо
an+1 =
∑
h 6=k
AhkB
n
h −
n∑
s=1
Bs
kan+1−s.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ПОБУДОВА ГРАНИЦЬ ЗОН НЕСТIЙКОСТI КВАЗIПЕРIОДИЧНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 89
Тому ān+1 =
∑
h 6=k
AhkB̄
n
h . Визначимо тепер ãn+1:
ãn+1 =
∑
h 6=k
AhkB̃
n
h +AkkB
n
k −
n∑
s=1
Bs
kān+1−s −
n∑
s=1
Bs
kãn+1−s =
=
n−1∑
s=1
∑
h 6=k
AhkB̄
s
hB
n−s
k +AkkB
n
k −
n−1∑
s=1
Bs
kãn+1−s =
n∑
s=2
āsB
n+1−s
k + ā1B
n
k−
−
n∑
s=1
Bs
kān+1−s −
n−1∑
s=1
Bs
kãn+1−s =
n∑
s=1
[
ās, B
n+1−s
k
]
−
n−1∑
s=1
Bs
kãn+1−s
i ми отримали (8) для ān+1 та ãn+1.
Лема 2. Оператори Λ (λk, ε) та Λ̄ (λk, ε) := λk ·I+εā1+ε2ā2+. . . є формально подiбни-
ми, тобто iснує такий формальний оператор S = I + εs1 + ε2s2 + . . . , де sj : Vk → Vk,
що справджується формальна рiвнiсть Λ = S−1Λ̄S.
Доведення. Якщо покласти sj = Bj
k, j ∈ N, то, врахувавши спiввiдношення (8), легко
переконатись, що SΛ = Λ̄S.
Таким чином, з леми 2 випливає, що власнi значення оператора Λ (λk, ε) визначаються
однозначно, а отже, збiгаються з власними значеннями оператора Λ̄ (λk, ε) .
Далi, аналогiчно [1], встановимо явний вигляд та деякi властивостi коефiцiєнтiв āj ,
j ∈ N, у розкладi оператора Λ̄ (λk, ε).
Означення 1. Сагайдаком, який вiдповiдає (4), називається орiєнтований граф, вер-
шини якого вiдповiдають Vh (вони позначаються h); ребро вiд h до j проводиться, якщо
оператор Ahj ненульовий.
Означення 2. Хронологiчним добутком шляху γ = (h → j → . . . → m → n) за стрiл-
ками сагайдака називається добуток операторiв, що вiдповiдають стрiлкам у вста-
новленому стрiлками порядку: Πγ (A) = (Amn . . . Ahj) : Vh → Vn.
Лема 3. Матриця оператора Ahj : Vh → Vj у вибраному базисi має вигляд
Ahj =
U
(j−h)
1 U
(j+h)
1
U
(−j−h)
1 U
(h−j)
1
.
Доведення випливає з того, що Prj [A · eh] = U
(j−h)
1 ej + U
(−j−h)
1 e−j , Prj [A · e−h] =
= U
(j+h)
1 ej + U
(−j+h)
1 e−j .
Означення 3. Стрiлку сагайдака h → j назвемо далекою, якщо ‖h+ j‖ > 2p, де 2p —
порядок многочлена u1.
З леми 3 випливає така лема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
90 О. М. ДЕНИСЕНКО, I. О. ПАРАСЮК
Лема 4. Якщо стрiлка h → j далека, то матриця оператора Ahj є дiагональною.
Лема 5. Нехай петля з n стрiлок починається i закiнчується в точцi k. Тодi якщо
довжина кожної стрiлки не перевищує 2pта np < ‖k‖,то всi стрiлки петлi є далекими.
Доведення. Нехай до петлi входить близька стрiлка h → j, тобто ‖h+ j‖ ≤ 2p. Замi-
нимо стрiлку h → j стрiлкою h → −j, а всi наступнi за вершиною j вершини та стрiл-
ки замiнимо на симетричнi вiдносно початку координат. Зрозумiло, що довжина стрiлки
h → −j не перевищує 2p. Оскiльки ми отримали шлях з k до −k, що складається з n
стрiлок, довжина кожної з яких не перевищує 2p, то 2np ≥ 2 ‖k‖, що суперечить умовi
леми.
Лема 6. Нехай для l = 1, . . . , n оператор a є скалярним. Тодi an+1 = ān+1 =
∑
h 6=k
AhkB̄
n
h .
Доведення. Застосуємо лему 1. Оскiльки скалярний оператор комутує з будь-яким
оператором, то ãl = 0, l = 1, . . . , n, що i доводить лему.
Тепер розглянемо правильно складенi дужковi символи.
Означення 4. Число букв та вiдкритих дужок, що входять до дужкового символа,
назвемо його довжиною.
Означення 5. Заповненням дужкового символа будемо називати результат пiдста-
новки в нього замiсть букв ненульових вершин сагайдака, що вiдповiдає Λ + εA.
Означення 6. Петлею заповнення довжини l називається петля k → j1 → . . .
. . . → jl → k, де j1, . . . , jl — вершини заповнення або вершина k (на мiсцi вiдкритих
дужок).
Означення 7. Дiаграма заповнення утворюється з петлi заповнення та пунктирної
стрiлки. Пунктирна стрiлка веде до кожного k, що вiдповiдає вiдкритiй дужцi, вiд вер-
шини, яка передує закритiй дужцi, що вiдповiдає цiй вiдкритiй.
Означення 8. Заповнення називається допустимим, якщо його петля складається
зi стрiлок сагайдака. Заповнення називається m-допустимим, якщо його шлях веде з k
до m за стрiлками сагайдака.
Означення 9. Шлях заповнення δ (J), що вiдповiдає заповненню J , утворюється з
петлi заповнення шляхом вiдкидання правої вершини k разом зi стрiлкою, що веде до
цiєї вершини.
Означення 10. Знаменником заповнення qJ називається добуток множникiв вигля-
ду λk − λh (по одному для кожної суцiльної стрiлки дiаграми заповнення, що веде до
вершини h 6= k) й вигляду λk − λj (по одному для кожної пунктирної стрiлки дiаграми
заповнення, що веде до вершини h 6= k).
Як i в перiодичному випадку [1], має мiсце наступна лема.
Лема 7. В операторному рiвняннi (5) ān =
∑
|J |=n−1
Πγ(J) (A)
qJ (Λ)
(сума береться за всi-
ма допустимими заповненнями дужкових символiв довжини n− 1), B̄n
m =
∑
|J |=n
Πδ(J) (A)
qJ (Λ)
(сума береться за всiма m-допустимими заповненнями дужкових символiв довжини n).
Лема 8. Матрицi операторiв ān, n ≥ 1, мають однаковi дiйснi дiагональнi елементи.
Доведення. Якщо у вираз для ān входить доданок, що вiдповiдає петлi k → j1 → . . .
. . . → jn−1 → k, то ān також мiстить доданок, що вiдповiдає петлi k → jn−1 → . . .
. . . → j1 → k. Тому матриця оператора ān складається з сум матриць вигляду C + C ′,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ПОБУДОВА ГРАНИЦЬ ЗОН НЕСТIЙКОСТI КВАЗIПЕРIОДИЧНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 91
де C =
(
c1 c2
c∗2 c∗1
)
, а матриця C ′ одержується з матрицi C перестановкою дiагональ-
них елементiв, тобто C ′ =
(
c∗1 c2
c∗2 c1
)
. Дiйсно, Ajn−1k . . . Aj1j2Akj1 +Aj1kAj2j1 . . . Akjn−1 =
= Ajn−1k . . . Aj1j2Akj1 +A′
kj1
A′
j1j2
. . . A′
jn−1k = Ajn−1k . . . Aj1j2Akj1 +
(
Ajn−1k . . . Aj1j2Akj1
)′.
Лему доведено.
Враховуючи лему 2, для визначення поправки до двократного власного числа
λk = µ2
k =
1
4
(k, ω)2 необхiдно знайти розвинення власних чисел λ±(ε) = λk + εη±1 +
+ε2η±2 + . . . оператора Λ̄ (λk, ε). Коефiцiєнти розвинень власного числа та вiдповiдного
власного вектора ξ0 + εξ1 + . . . визначимо з тотожностi
(λk · I + εā1 + . . .) (ξ0 + εξ1 + . . .) = (λk + εη1 + . . .) (ξ0 + εξ1 + . . .) , (10)
прирiвнявши члени при вiдповiдних степенях ε.
Лема 9. Для всiх j, 1 ≤ j ≤ r − 1, де r = − [−‖k‖/p] , матрицi операторiв āj є скаляр-
ними.
Доведення. За лемою 7 оператор ān виражається сумою за всiма допустимими запов-
неннями, що вiдповiдають петлi з k у k. Довжина кожної стрiлки не перевищує 2p. За
лемою 5, якщо np < ‖k‖, то всi стрiлки петлi є далекими, а тому матрицi всiх операторiв,
що входять до хронологiчних добуткiв у виразi для ān, є дiагональними. Таким чином, на
пiдставi леми 8 оператор ān буде скалярним для n < ‖k‖/p.
Взявши до уваги дiйснiсть потенцiала u (ωt) та лему 8, позначимо через
(
aj,1 aj,2
a∗j,2 aj,1
)
,
aj,1 ∈ R, матрицю оператора āj .
Лема 10. Справджуються рiвностi ηj = η+
j = η−j = aj,1, 1 ≤ j ≤ r − 1, де r =
= − [−‖k‖/p] , i якщо ar,2 6= 0, то η+
r = ar,1 + |ar,2| , η−r = ar,1 − |ar,2|.
Доведення. За лемою 9 оператор āj буде скалярним, якщо 1 ≤ j ≤ r− 1, а отже, ηj =
= η+
j = η−j = aj,1, 1 ≤ j ≤ r − 1. Нехай ar,2 6= 0. Тодi η±r визначаються з харак-
теристичного рiвняння det
(
ar,1 − ηr ar,2
a∗r,2 ar,1 − ηr
)
= 0. Таким чином, η+
r = ar,1 + |ar,2|,
η−r = ar,1 − |ar,2|.
З доведеної леми випливає: якщо ar,2 6= 0, то на r-му кроцi ми спостерiгаємо розщеп-
лення кратного власного числа. Тодi з урахуванням рiвностей η+
j = η−j , 1 ≤ j ≤ r − 1,
матимемо |λ+ (ε)− λ− (ε)| ≤ c |ε|r, де c > 0 — деяка стала.
3. Висновки. В данiй роботi пiдхiд Арнольда [1] побудови формальних розкладiв влас-
них чисел оператора типу Мат’є та опису коефiцiєнтiв цих розкладiв з використанням
дiаграмної технiки [2] розповсюджено на випадок рiвняння (1) з квазiперiодичним по-
тенцiалом у виглядi тригонометричного многочлена скiнченного порядку. Встановлено,
що коефiцiєнти зазначених формальних розкладiв визначаються однозначно. Це факт,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
92 О. М. ДЕНИСЕНКО, I. О. ПАРАСЮК
разом з властивiстю аналiтичностi за малим параметром власних чисел оператора Шре-
дiнгера з аналiтичним квазiперiодичним потенцiалом, яку встановлено у [13], дозволяє
показати збiжнiсть формальних розкладiв власних чисел та побудувати оператор, який
визначає власнi числа, а отже, i зони нестiйкостi для рiвняння (1). Перевагою такого пiд-
ходу у порiвняннi з КАМ-методами, якi теж використовуються для побудови резонансних
зон, є бiльш проста реалiзацiя, що важливо при практичному застосуваннi.
1. Арнольд В. И. Замечания о теории возмущений для задач типа Матье // Успехи мат. наук. — 1983. —
38, вып. 4. — C. 189 – 203.
2. Киселев А. А. Диаграммная техника в общей теории возмущений и в адиабатической теории молеку-
лярных спектров // Вопросы квантовой теории атомов и молекул. — 1978. — Вып. 1. — C. 108 – 143.
3. Фомин В. Н. О динамической неустойчивости линейных систем с почти периодическими коэффици-
ентами // Докл. АН СССР. — 1968. — 178, № 1. — С. 43 – 46.
4. Красинский Г. А. Параметрический резонанс в канонических системах линейных дифференциальных
уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Там же. — 180, № 3. — С. 526 – 529.
5. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических дви-
жений при малом изменении функции Гамильтона // Успехи мат. наук. — 1963. — 18, вып. 5. — С. 13 – 40.
6. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. О построении решений линейных дифференциальных урав-
нений с квазипериодическими коэффициентами с помощью метода ускоренной сходимости // Укр.
мат. журн. — 1965. — 17, № 6. — С. 42 – 59.
7. Moser J. Convergent series expansions for quasi-periodic motions // Math. Ann. — 1967. — 169. — P. 136 –
176.
8. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нели-
нейной механике. — Киев: Наук. думка, 1969. — 248 с.
9. Белоколос Е. Д. Квантовая частица в одномерной деформированной решетке. Оценки размеров ла-
кун в спектре // Теор. и мат. физика. — 1975. — 25, № 3. — С. 344 – 357.
10. Белоколос Е. Д. Квантовая частица в одномерной деформированной решетке. Зависимость энергии
от квазиимпульса // Там же. — 1976. — 26, № 1. — С. 35 – 41.
11. Динабург Е. И., Синай Я. Г. Об одномерном уравнении Шредингера с квазипериодическим потенциа-
лом // Функцион. анализ и его прил. — 1975. — 9, № 4. — С. 8 – 21.
12. Moser J., Pöschel J. An extension of a result by Dinaburg and Sinai on quasi-periodic potentials// Comment.
math. helv. — 1984. — 59. — P. 39 – 85.
13. Puig J., Simó C. Analytic families of reducible linear quasi-periodic differential equations // Ergod. Theory
and Dynam. Systems. — 2006. — 26, № 2.— P. 481 – 524.
14. Broer H. W., Puig J., Simó C. Resonance tongues and instability pockets in the quasi-periodic Hill – Schrödin-
ger equation // Communs Math. Phys. — 2003.— 241, № 2-3. — P. 467 – 503.
Одержано 21.09.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
|