Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных
We study the instantaneous support shrinking phenomenon for a doubly nonlinear degenerate parabolic equation with inhomogeneous absorption in the case of slow diffusion, when the initial Cauchy data are, in general, Radon measures and grow at infinity depending on the behavior of the absorption at i...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7498 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных / С.П. Дегтярев // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 13-22. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7498 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-74982010-04-01T12:01:31Z Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных Дегтярев, С.П. Математика We study the instantaneous support shrinking phenomenon for a doubly nonlinear degenerate parabolic equation with inhomogeneous absorption in the case of slow diffusion, when the initial Cauchy data are, in general, Radon measures and grow at infinity depending on the behavior of the absorption at infinity. For nonnegative solutions, we obtain the necessary and sufficient conditions for the instantaneous support shrinking phenomenon in terms of a local behavior of the array of initial data together with the behavior of the absorption. We also give the bilateral estimates exact with respect to order for the support size. 2008 Article Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных / С.П. Дегтярев // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 13-22. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7498 517.9 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Дегтярев, С.П. Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных |
| description |
We study the instantaneous support shrinking phenomenon for a doubly nonlinear degenerate parabolic equation with inhomogeneous absorption in the case of slow diffusion, when the initial Cauchy data are, in general, Radon measures and grow at infinity depending on the behavior of the absorption at infinity. For nonnegative solutions, we obtain the necessary and sufficient conditions for the instantaneous support shrinking phenomenon in terms of a local behavior of the array of initial data together with the behavior of the absorption. We also give the bilateral estimates exact with respect to order for the support size. |
| format |
Article |
| author |
Дегтярев, С.П. |
| author_facet |
Дегтярев, С.П. |
| author_sort |
Дегтярев, С.П. |
| title |
Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных |
| title_short |
Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных |
| title_full |
Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных |
| title_fullStr |
Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных |
| title_full_unstemmed |
Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных |
| title_sort |
явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7498 |
| citation_txt |
Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных / С.П. Дегтярев // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 13-22. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT degtârevsp âvleniemgnovennojkompaktifikaciinositelâvusloviâhneodnorodnojabsorbciiiprivozmožnomrostenačalʹnyhdannyh |
| first_indexed |
2025-07-02T10:20:59Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:20:59Z |
| _version_ |
1836530175096913920 |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2008
С.П. Дегтярев
Явление мгновенной компактификации носителя
в условиях неоднородной абсорбции и при возможном
росте начальных данных
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
We study the instantaneous support shrinking phenomenon for a doubly nonlinear degenerate
parabolic equation with inhomogeneous absorption in the case of slow diffusion, when the initial
Cauchy data are, in general, Radon measures and grow at infinity depending on the behavior
of the absorption at infinity. For nonnegative solutions, we obtain the necessary and sufficient
conditions for the instantaneous support shrinking phenomenon in terms of a local behavior of
the array of initial data together with the behavior of the absorption. We also give the bilateral
estimates exact with respect to order for the support size.
1. Постановка задачи и основной результат. В области R
N × [0, T ], N — размерность
пространства R
N , T > 0, рассмотрим следующую задачу Коши для неизвестной функции
u(x, t):
∂
∂t
(|u|β−1u(x, t)) −∇(|∇u|p−2∇u) + h(x, t)|u|λ−1u(x, t) = 0, x ∈ R
N , t > 0, (1)
|u|β−1u(x, 0) = |u0|
β−1u0(x), x ∈ R
N , (2)
где ∇ = (∂/∂x1, . . . , ∂/∂xN ), β > 0, p > 0, λ > 0 — заданные параметры, h(x, t) — заданная
строго положительная функция, а заданные начальные данные |u0|
β−1u0(x) могут быть
локально конечной радоновской мерой. Мы рассматриваем случай медленной диффузии
и сильной абсорбции, что выражается в следующем ограничении на параметры задачи:
β > 0, p > 1 + β, λ < β. (3)
Функция h(x, t), растущая либо убывающая на бесконечности, предполагается для прос-
тоты непрерывной и удовлетворяющей следующему условию удвоения:
C−1h(k−1x, τ) 6 h(x, t) 6 Ch(kx, τ), k ∈ [1, 2], τ ∈ [0, t]. (4)
Здесь и далее через C, γ, b обозначаем все различные абсолютные константы либо кон-
станты, зависящие только от параметров задачи β, p, λ, N , u0. Кроме того, мы используем
обозначения
d = p − 1 − β > 0, dλ = p − 1 − λ, ∆ = β − λ,
k = Nd + βp, kλ = Ndλ + βp.
(5)
В случае однородной абсорбции, т. е. когда h(x, t) ≡ 1, из работ, например, [1–9] известно,
что если начальная функция |u0|
β−1u0(x) является достаточно регулярной и убывающей на
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 13
бесконечности, а также выполнено (3), то задача (1), (2) разрешима в слабом смысле и на-
блюдается явление мгновенной компактификации носителя решения, когда, несмотря на то
что носитель начальной функции может совпадать со всем пространством R
N , у решения
он становится компактным в любой сколь угодно малый момент времени t > 0. Настоящая
работа посвящена изучению данного явления для задачи (1), (2) в случае неоднородной аб-
сорбции (неоднородность моделируется наличием в уравнении растущего либо убывающего
потенциала h(x, t)) и получению точных по порядку оценок размеров носителя слабого ре-
шения указанной задачи в терминах поведения начальной функции и потенциала, когда
начальные данные являются локально конечными мерами. Отметим, что точные оценки
размеров носителя решения, когда начальные данные не монотонны и непрерывны, явля-
ются новыми даже в случае h(x, t) ≡ 1.
Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации изучалось
многими исследователями. Отметим работы [2, 6, 9], в которых изучалась рассматриваемая
нами ситуация неоднородной абсорбции и было, в частности, выяснено, что при растущем на
бесконечности потенциале h(x, t) явление мгновенной компактификации носителя наблюда-
ется даже при растущих начальных данных. Однако эти результаты не содержат точных по
порядку оценок размеров носителя в рассматриваемой нами ситуации, получение которых
является одной из целей данной работы.
В случае h(x, t) ≡ 1 имеются два типа результатов, относящихся к изучению явле-
ния мгновенной компактификации. Одни из них, основанные преимущественно на барьер-
ной технике, предполагают начальную функцию в (2) локально ограниченной и монотонно
убывающей на бесконечности (либо имеющей монотонную мажоранту) [5–8]. Сформулиру-
ем кратко результат этих работ применительно к нашему случаю. Пусть здесь и всюду ниже
S(t) = inf
ρ>0
{ρ : u(x, t) ≡ 0, |x| > ρ} — (6)
верхняя граница носителя решения u(x, t) задачи (1), (2). Пусть начальная функция u0(x)
непрерывна и монотонно убывает на бесконечности и пусть
f∞(ρ) ≡ max
|y|=ρ
|u0(y)| → 0, ρ → ∞. (7)
Тогда, как следует, например, из работ [5–8],
S(t) ∼ Cf−1
∞
(
γt
β
β−λ
)
. (8)
В другого типа результатах начальная функция предполагается локально суммируемой
с некоторой степенью q > β [1–4]. В частности, пусть
fq(ρ) ≡ sup
|y|=ρ
∫
|x−y|<1
|u0(x)|qdx
и пусть fq(ρ) → 0 при ρ → ∞. Тогда в задаче (1), (2) наблюдается явление мгновенной
компактификации носителя, причем
S(t) 6 f−1
q
(
γt
qp+N(p−1−λ)
p(β−λ)
)
(9)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
с достаточно малым γ > 0, где в случае нестрого монотонной fq(ρ)
f−1
q (s) ≡ inf{ρ : fq(ρ) < s}.
Как видно из последней оценки, она не переходит в оценку (8) при улучшении свойств
начальной функции до непрерывной и монотонно убывающей. Однако, как мы покажем,
оценка (9) является точной “для всего класса функций” и достигается на начальных фун-
кциях, приближающихся по своим свойствам к локально конечным мерам в виде δ-функции.
В частности, мы покажем, что для начальных данных вида
|u0|
β−1u0(x) =
∑
n∈RN
µnδ(x − n), (10)
где n = (n1, n2, . . . , nN ) — точка с целочисленными координатами, δ(x − n) — дельта-функ-
ция, сосредоточенная в точке n с массой µn, µn → 0, |n| → ∞, имеет место асимптотика
S(t) ∼ Cf−1
0
(
γt
N(p−1−λ)+βp
p(β−λ)
)
, (11)
где
f−1
0
(
γt
N(p−1−λ)+βp
p(β−λ)
)
= inf
{
ρ : |µn| < γt
N(p−1−λ)+βp
p(β−λ) , |n| > ρ
}
. (12)
Отсюда, в частности, следует “предельная” точность оценки (9) при q = β, когда началь-
ные данные ведут себя подобно (10). Отметим также и то, что, как оказывается, соотно-
шение (11) имеет место только лишь для данных вида (10): для начальных данных, кото-
рые являются равномерно локально суммируемыми в R
N порядок размера носителя всегда
меньше, чем в (11).
Таким образом, наша цель — изучить влияние неоднородности абсорбции h(x, t) на яв-
ление мгновенной компактификации носителя решения и при этом, с одной стороны, мак-
симально расширить класс возможных начальных функций до локально конечных радо-
новских мер, а с другой — получить точную по порядку двустороннюю оценку размера
носителя решения с учетом поведения на бесконечности потенциала h(x, t), которая учи-
тывала бы гладкостные свойства конкретных начальных данных и из которой, таким обра-
зом, следовали бы оценки (8) и (9) в случае h(x, t) ≡ 1. Мы используем метод локальных
интегральных оценок, развитый в работах [10–12].
Чтобы сформулировать основной результат введем еще несколько определений и обо-
значений.
Под слабым решением задачи (1), (2) на интервале времени [0, T ] мы понимаем измери-
мую функцию, обладающую следующими свойствами:
1) для любой функции ζ ∈ C∞
0 (RN ) отображение
t ∈ [0, T ] →
∫
RN
|u|β−1u(x, t)ζ(x) dx
непрерывно;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 15
2) для любой финитной по x достаточно гладкой функции η(x, t) выполнено интеграль-
ное тождество
∫
RN
|u|β−1u(x, t)η dx +
N
∑
i=1
t
∫
0
∫
RN
|∇u|p−2uxi
ηxi
dxdτ +
t
∫
0
∫
RN
h|u|λ−1uη dxdτ =
=
∫
RN
|u0|
β−1u0(x)η(x, 0) dx +
t
∫
0
∫
RN
|u|β−1u(x, τ)ητ (x, τ) dxdτ. (13)
Из работ [13, 14] следует, что задача (1), (2) при заданном соотношении параметров (3)
разрешима для начальных функций из L1,loc(R
N ) или для локально конечных радоновских
мер в качестве начальных данных, не слишком растущих на бесконечности. А именно,
пусть для R > 0
|||u0|||R ≡ sup
ρ>R
ρ−k/d
∫
Bρ(0)
||u0|
β−1u0(x)| dx < ∞.
Здесь и далее Bρ(x0) означает шар радиуса ρ с центром в x0, а интеграл по Bρ(x0) от
модуля начальной функции в случае, если эта функция представляет собой радоновскую
меру, означает полную вариацию этой меры по шару Bρ(x0). Тогда известно [13, 14], что на
некотором интервале времени [0, T ] для решения задачи (1), (2) справедлива оценка
|||u(x, t)|||R 6 C|||u0|||R. (14)
Более того, из результатов работ [13, 14] следует, что слабое решение задачи локально
ограничено при t > 0 и, кроме того, uxi
∈ Lp,loc(R
N ×(0, T )), а также выполнена следующая
оценка максимума модуля решения:
sup |u(·, t)|Bρ(0) 6 Ct−N/kρp/d|||u0|||R, ρ > R. (15)
Это, в частности, означает, что интегральное тождество (4) справедливо для финитных
по x пробных функций η(x, t) ∈ Lp,loc((0, T ),W 1
p,loc(R
N )). Отметим также, что ниже при
доказательстве оценки снизу (22) размеров носителя решения мы считаем наше решение тем
слабым решением, которое является пределом решений с гладкими финитными начальными
данными (как и получается слабое решение в работах [13, 14]).
Чтобы сформулировать основной результат, введем важный для нас показатель
κ =
p − 1 − λ
p(β − λ)
=
dλ
p∆
> 0, (16)
который аналогичен показателю, полученному в работе [15] при оценке размеров носителя
решения в ситуации, в определенном смысле противоположной рассматриваемой нами —
когда λ > p > 1+β и первоначально компактный носитель решения начинает расширяться.
Введем также другой показатель, связанный с неоднородностью абсорбции и присут-
ствием в уравнении потенциала:
µ = κ −
1
p
=
p − 1 − β
p(β − λ)
=
d
p∆
> 0. (17)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
Введем еще важный для нас “характерный радиус”, связанный с заданной точкой x0 ∈
∈ R
N и t > 0. Зафиксируем ε0 ∈ (0, 1/4) и положим здесь и всюду далее
D ≡ D(x0, t) = min{tκhµ(x0, t), ε0|x0|}. (18)
Отметим, что так как мы рассматриваем только достаточно большие |x0|, то при функ-
циях h(x, t), убывающих или не слишком сильно растущих на бесконечности, мы имеем
D = tκhµ(x0, t).
Кроме того, определим функцию
ϕt(x0) = h
− β
β−λ (x0, t)
1
ωNDN
∫
|x−x0|<D
|u0(x)|βdx ≡ h
− β
β−λ (x0, t)
∮
BD(x0)
|u0(x)|βdx, (19)
где ωN — объем единичного шара в R
N , а также функцию
ϕt(ρ) ≡ sup
|x0|=ρ
ϕt(x0). (20)
Теорема 1. Если начальная функция в (2) неотрицательна(неположительна), то ре-
шение задачи (1), (2) обладает свойством мгновенной компактификации носителя тогда
и только тогда, когда для начальной функции |u0|
β−1u0(x) (которая может быть радо-
новской мерой) выполнено условие
ϕt(ρ) → 0, ρ → ∞,
при каком-либо t > 0 (в этом случае, как легко проверить, сформулированное условие
выполнено при любом t > 0). При этом существуют такие зависящие от u0(x) констан-
ты t0, γ0, γ1 M1, что на интервале времени [0, t0] справедливы следующие оценки сверху
и снизу размеров носителя решения:
S(t) 6 Cϕ−1
t
(
γ0t
β/(β−λ)
)
, (21)
S(t) > ϕ−1
M1t
(
γ1t
β/(β−λ)
)
, (22)
где при нестрого монотонной функции ϕt(ρ)
ϕ−1
t (s) ≡ inf
ρ
{ρ : ϕt(k) < s, k > ρ}. (23)
Если же начальная функция, удовлетворяющая указанным выше условиям, произволь-
но меняет знак, то оценка (21) размера носителя сверху имеет место и в этом случае.
Замечание 1. Из оценки (21) ввиду определения функции ϕt легко следуют оценки (8)
и (9) в случае h(x, t) ≡ 1 применением неравенства Гельдера для получения (9) и теоремы
о среднем для получения (8). Кроме того, из оценок (21) и (22) легко следует соотноше-
ние (11).
Замечание 2. Из определения функции ϕt(ρ) и из оценки (21) также следует, что при
растущей на бесконечности функции h(x, t) мгновенная компактификация носителя реше-
ния наблюдается даже при начальных данных, растущих на бесконечности — точное со-
отношение возможного роста дается формулой (21). Кроме того, если h(x, t) убывает на
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 17
бесконечности, то от начальных данных требуется достаточно быстрое убывание, чтобы
мгновенная компактификация имела место. Например, если h(x, t) и u0(x) имеют степен-
ное поведение на бесконечности, т. е. h(x, t) ∼ |x|q, u0(x) ∼ |x|a, q, a ∈ R, то явление
мгновенной компактификации носителя решения наблюдается тогда и только тогда, когда
−q + a(β − λ) < 0, при этом S(t) ∼ t1/(−q+a(β−λ)).
Замечание 3. Переходя к доказательству теоремы 1 (п. 2), отметим, что в соответствии
с формулировкой этой теоремы будем считать начальные данные, а следовательно, и реше-
ние неотрицательными, не оговаривая это каждый раз отдельно. (При этом все приведен-
ные в п.2 доказательства и рассуждения не меняются для начальных данных и решений
произвольного знака и остаются справедливыми.)
2. Доказательство оценок (21), (22) и теоремы 1. Доказательство теоремы 1 мож-
но разделить на четыре основных этапа.
На первом этапе путем локальных энергетических интегральных оценок с использовани-
ем наличия в уравнении (1) абсорбции мы получаем условие локального обращения решения
в ноль в терминах поведения локальной энергии, что сформулировано в следующей лемме.
Лемма 1. Пусть R > 0, σ ∈ (0, 1), x0 ∈ R
N , D = D(x0, t) определено в (18). Пусть
0 < R1 < R2, R2 = RD, R1 = (1 − σ)R2, BRi
= BRi
(x0) = {x : |x − x0| < Ri}, и пусть
здесь и ниже для краткости h = h(x0, t). Тогда существует константа γ2 = γ2(R,σ)
такая, что если
Y (t/2, R2) ≡ sup
t/2<τ<t
∫
BR2
u1+β(x, τ) dx +
t
∫
t/2
∫
BR2
|∇u|pdxdτ +
+
t
∫
t/2
∫
BR2
h(x, τ)u1+λdxdτ 6 γ2t
Ndλ+p(1+β)
p(β−λ) h
Nd+p(1+β)
p(β−λ) , (24)
то u(x, t) ≡ 0 на множестве BR1(x0) × [3t/4, t].
На втором этапе путем оценок локальной энергии решения через локальную массу ре-
шения, аналогичных [10–12], мы выражаем условие локального обращения решения в ноль
в терминах поведения локальной массы. Справедливы следующие две леммы.
Лемма 2. Пусть 0 < r1 < r2, 0 < t2 < t1 < t, Bri
— шары с центром в x0 радиуса ri.
Тогда для решения u(x, τ) задачи (1), (2) справедлива оценка
Y (t1, r1) ≡ sup
t1<τ<t
∫
Br1
u1+β(x, τ) dx +
t
∫
t1
∫
Br1
|∇u|pdxdτ +
t
∫
t1
∫
Br1
u1+rdxdτ 6
6 C
[
t − t2
(t − t2)
k+N
k
(
sup
t2<τ<t
∫
Br2
uβdx
)
k+p
k
+
t − t2
(r2 − r1)
k+N
β
(
sup
t2<τ<t
∫
Br2
uβdx
)
p
β
]
. (25)
Если же с некоторым γ > 0 выполнены условия r2−r1 > γ(|x0|+r2) и 1 > t2 > γ(t1−t2),
то второе слагаемое в оценке (2) можно отбросить.
Лемма 3. Пусть x0, R, σ, R1, R2 и Y (t/2, R2) такие же, как в лемме 1, R3 = R2(1+σ),
h = h(x0, t), D = D(x0, t). Тогда существует константа γ3 = γ3(R,σ) > 0 такая, что
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
условие леммы 1 выполнено, т. е. Y (t/2, R2) 6 γ2t
kλ+p
p∆ h
k+p
p(β−λ) , если
E ≡ E(t, R, σ) ≡ sup
t/4<τ<t
∫
BR(1+σ)D(x0)
uβdx 6 γ3t
β
β−λ h
β
β−λ{ωN (R(1 + σ)D)N},
т. е.
h
− β
β−λ (x0, t) sup
t/4<τ<t
∮
BR(1+σ)D
uβ(x, τ) dx 6 γ3t
β
β−λ .
На третьем этапе доказательства мы получаем оценку локальной массы решения че-
рез локальную массу начальной функции, причем идею такой оценки в случае уравнения
без абсорбции мы заимствовали из любезно предоставленной нам неопубликованной пока
статьи S.D. Eidelman, S. Kamin and A.F. Tedeev “Asymptotic representation for solutions of
the Cauchy problem for quasi linear degenerate parabolic equations”. Справедлива следующая
лемма.
Лемма 4. Обозначим l = β/(β−r), h = h(x0, t) и пусть σ ∈ (0, 1) задано. Существуют
такие константы t0 = t0(u0), γ4 = γ4(u0), что для t < t0, если x0 таково, что при всех
y ∈ Bε0|x0|(x0) выполнено
∮
BD(y)
uβ
0 (x) dx ≡
1
ωNDN
∫
BD(y)
uβ
0 (x) dx 6 γ4t
lhl, (26)
то тогда выполнено
ED,x0 ≡ sup
0<τ<t
∫
BD(x0)
uβ(x, τ) dx 6 2
∫
BD(1+σ)(x0)
uβ
0 (x) dx ≡ 2µD(1+σ)(x0). (27)
На этом этапе из лемм 1, 3, 4 легко следует оценка (21) размеров носителя сверху тео-
ремы 1.
Заключительный этап доказательства теоремы состоит в доказательстве оценки разме-
ров носителя снизу (22). При доказательстве оценки (22) размеров носителя снизу бу-
дем пользоваться принципом сравнения решений задачи Коши (1), (2), т. е. тем, что для
двух начальных данных в (2) |u0(x)|β−1u0(x) и |v0(x)|β−1v0(x) таких, что |u0(x)|β−1u0(x) 6
6 |v0(x)|β−1v0(x), для соответствующих решений задачи Коши (1), (2) выполнено u(x, t) 6
6 v(x, t).
Пусть |u0(x)|β−1u0(x) — произвольная неотрицательная локально суммируемая функ-
ция или локально конечная радоновская мера. Пусть t > 0 достаточно мало и фиксировано
и пусть |x0| 6 ϕ−1
t
(
γ0t
β/(β−λ)
)
, т. е.
∫
|x−x0|<D
uβ
0 (x) dx > ωNγ0t
β
β−λ h
β
β−λ DN .
Обозначим
vβ
0 (x) = vβ
0,t(x) =
{
uβ
0 (x), |x − x0| 6 D,
0, |x − x0| > D,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 19
и пусть v(x, τ) — соответствующее решение задачи Коши (1), (2) с начальной функцией
vβ
0 (x). Тогда, по принципу сравнения, u(x, τ) > v(x, τ). Более того, не ограничивая общности
(уменьшая, если нужно, vβ
0 (x)), мы будем считать, что
∫
|x−x0|<D
vβ
0 (x) dx = ωNγ0t
β
β−λ h
β
β−λ DN .
Тогда для всех точек y0 ∈ R
N (в качестве x0) и функции vβ
0 (x) выполнены условия леммы 4,
а следовательно, и оценка (27). Отсюда, ввиду определения функции vβ
0 (x), следует, что
v(x, τ) ≡ 0 на множестве [0, t] × {|x − x0| > D + (1 + σ)D = (2 + σ)D}, т. е. при τ ∈ [0, t]
носитель функции v(x, τ) содержится в шаре Bt ≡ B(2+σ)D(x0).
Проинтегрируем теперь уравнение (1) по шару Bt, учитывая, что решение равно нулю
в окрестности границы этого шара. Интегрирование по частям в диффузионном слагаемом
дает
d
dτ
∫
Bt
vβdx +
∫
Bt
h(x, τ)vλdx = 0, τ ∈ [0, t]. (28)
Оценка (4) и применение неравенства Гельдера дают (h = h(x0, t))
∫
Bt
h(x, τ)vλdx 6 Ch
∫
Bt
vλdx 6 Ch
(
∫
Bt
vβdx
)
λ
β
(
∫
Bt
dx
)1−λ
β
=
=
(
∫
Bt
vβdx
)
λ
β
MDN β−λ
β h, (29)
где M — некоторая константа. Обозначая теперь E(τ) =
∫
Bt
vβ(x, τ) dx, из (28) и (29) по-
лучаем, что
dE
dτ
> −MhD
N β−λ
β E
λ
β ,
причем E(0) =
∫
Bt
uβ
0 (x) dx = ωNγ0t
β
β−λ h
β
β−λ DN ≡ γt
β
β−λ h
β
β−λ DN . Интегрируя это диффе-
ренциальное неравенство, приходим к оценке
E(τ)
β−λ
β > E(0)
β−λ
β −
(
β − λ
β
)
MDN β−λ
β hτ > hDN β−λ
β
[
γ
β−λ
β t −
(
β − λ
β
)
Mτ
]
.
Положим τ0 =
1
2
γ
β−λ
β
M
β
β − λ
t ≡ m0t. Тогда
E(m0t) >
(
γ
β−λ
β
2
)
hD
N β−λ
β t > 0.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
Таким образом, получаем, что для некоторого m0 = m0(N,σ, β, λ)
E(m0t) ≡
∫
Bt(x0)
vβ(x,m0t) > 0.
Следовательно, u(x,m0t) > v(x,m0t) > 0 в окрестности точки x0. Отсюда следуют два
вывода.
С одной стороны, в случае, когда ϕt(x0) не стремится к нулю при |x0| → ∞ и мы имеем
точки x0 с рассмотренным свойством при любом малом t как угодно далеко от начала
координат, это доказывает отсутствие мгновенной компактификации носителя: для любого
малого момента времени вида m0t найдется точка x0 = x0(t) как угодно далеко от начала
координат такая, что u(x, τ) > 0 в окрестности этой точки.
С другой стороны, если ϕt(x0) → 0 при |x0| → ∞, то положим x0 = x0(t), где |x0| =
= ϕ−1
t
(
γ0t
β/β−r
)
. Тогда
∮
|x−x0|<D(x0,m−1
0 (m0t))
uβ
0 (x) dx > γ0m
− β
β−λ
0 (m0t)
β
β−λ h
β
β−λ ≡ M0(m0t)
β
β−λ h
β
β−λ ,
и в то же время для всех y ∈ R
N таких, что |y| > |x0|, по определению функции ϕ−1
t (s)
выполнено
∮
|x−y|<D(x0,m−1
0 (m0t))
uβ
0 (x) dx < γ0m
− β
β−λ
0 (m0t)
β
β−λ h
β
β−λ = M0(m0t)
β
β−λ h
β
β−λ ,
т. е., по определению, |x0| = ϕ−1
m−1
0 (m0t)
(
M0(m0t)
β/(β−λ)
)
, причем u(x0,m0t) 6= 0. Ввиду прои-
звольности t, обозначая m0t снова через t, видим, что для любого малого t > 0 найдется
точка x0 = x0(t/m0) такая, что
∣
∣
∣
∣
x0
(
t
m0
)
∣
∣
∣
∣
= ϕ−1
m−1
0 t
(
M0t
β
β−λ
)
, u
(
x0
(
t
m0
)
, t
)
6= 0.
Следовательно, доказана оценка (22) с M1 = m−1
0 и γ1 = M0, а вместе с ней доказана
и теорема 1.
Автор выражает свою искреннюю благодарность А.Ф. Тедееву за внимание к данной работе
и ценные обсуждения в ходе ее выполнения.
1. Antontsev S.N., Diaz J. I., Shmarev S. I. Energy methods for the free boundary problems. Applications to
nonlinear PDEs and fluid mechanics. – Basel: Birkhäuser, 2002. – 334 p.
2. Antontsev S. N., Diaz J. I., Shmarev S. I. The support shrinking in solutions of parabolic equations with
non-homogeneous absorption terms // Elliptic and parabolic problems: Proc. of the 2nd Europ. conf.,
Pont-a-Mousson, June, 1994. – Harlow: Longman Scientific & Technical, Pitman Res. Notes Math., 1995. –
Ser. 325. – P. 24–39.
3. Kersner R., Shishkov A. Instantaneous shrinking of the support of energy solutions // J. Math. Anal. and
Appl. – 1996. – 198. – P. 729–750.
4. Шишков А.Е. Мертвые зоны и мгновенная компактификация носителей энергетических решений
квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка // Мат. сб. – 1999. – 190, № 12. –
С. 129–156.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 21
5. Kalashnikov A. S. On the dependence of properties of solutions of parabolic equations in unbounded domai-
ns on the behavior of the coefficients at infinity // Math. USSR Sb. – 1986. – 53. – P. 399–410.
6. Kalashnikov A. S. On quasilinear degenerating parabolic equation with singular lower-order terms and
growing initial values // Дифференц. уравнения. – 1993. – 29, No 6. – C. 999–1009.
7. Abdullaev U.G. Exact local estimates for the supports of solutions in problems for nonlinear parabolic
equations // Maт. сб. – 1995. – 186, No 8. – С. 3–24.
8. Ughi M. Initial behavior of the free boundary for a porous media equation with strong absorption // Adv.
Math. Sci. and Appl. Gakkotosho, Tokyo. – 2001. – 11, No 1. – P. 333–345.
9. Li Jun-Jie. Instantaneous shrinking of the support of solutions to certain parabolic equations with un-
bounded initial data // Nonlinear Analysis. – 2002. – 48. – P. 1–12.
10. Andreucci D., Tedeev A. F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations // Adv.
Different. Equat. – 2005. – 10, No 1. – P. 89–120.
11. Andreucci D., Tedeev A.F. Finite speed of propagation for the thin film equation and other higher order
parabolic equations with general nonlinearity // Interfaces and Free Boundaries. – 2001. – 3, No 3. –
P. 233–264.
12. Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita type result for a degenerate Neumann problem in domains with non
compact boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543–567.
13. Kazuhiro Ishige. On the existence of solutions of the Cauchy problem for a doubly nonlinear parabolic
equation // SIAM J. Math. Anal. – 1996. – 27, No 5. – P. 1235–1260.
14. Fan H. J. Cauchy problem of some doubly degenerate parabolic equations with initial datum a measure //
Acta Math. Sinica. Engl. Ser. – 2004. – 20, No 4. – P. 663–682.
15. Bernis F. Finite speed of propagation and asymptotic rates for some nonlinear higher order parabolic
equations with absorption // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. – 1986. – A104. – P. 1–19.
Поступило в редакцию 05.05.2008Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
УДК 531.36
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.М. Ковалев, А.С. Суйков
Построение функции Ляпунова при выполнении
теоремы Барбашина–Красовского
The paper presents a method of building a strong Lyapunov function from a weak one for
autonomous systems satisfying the conditions of the Barbashin–Krasovskii theorem. The method
is based on results from the invariant set theory. The resulting function is built iteratively
as a sum of the initial Lyapunov function with semidefinite derivative and several additional
functions, whose derivatives have definite signs at the points, where the derivative of the initial
function becomes zero.
Для систем, удовлетворяющих условиям теоремы Барбашина–Красовского, получено яв-
ное выражение функции Ляпунова со знакоопределенной производной. Функция строится
в виде W = V +Va, где V — исходная функция Ляпунова со знакопостоянной производной,
а Va представляет собой сумму некоторых дополнительных функций. Каждое из состав-
ляющих Va слагаемых сужает множество, на котором производная получаемой функции
обращается в нуль. В процессе построения к Va добавляются слагаемые до тех пор, пока
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
|