Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств

Проанализированы особенности распространения поверхностных волн на границе раздела пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства и жидкости. Обнаружено, что в зависимости от механических характеристик контактирующих сред и граничных условий (проницаемая граница или нет) в системе возможно...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Городецкая, Н.С., Соболь, Т.В., Зубарева, Л.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2008
Schriftenreihe:	Акустичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79773
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь, Л.П. Зубарева // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 50-64. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-79773
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-797732015-04-05T03:02:31Z Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. Зубарева, Л.П. Проанализированы особенности распространения поверхностных волн на границе раздела пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства и жидкости. Обнаружено, что в зависимости от механических характеристик контактирующих сред и граничных условий (проницаемая граница или нет) в системе возможно существование действительной поверхностной волны Стоунли, псевдоповерхностной волны Стоунли и псевдоповерхностной волны Рэлея. Изучены кинематические и энергетические характеристики действительной поверхностной волны. Показано, что основная часть энергии, переносимой волной этого типа, сосредоточена в пористо-упругом полупространтсве, а именно, в упругом скелете. Проаналiзовано особливостi поширення поверхневих хвиль на межi розподiлу пористо-пружного насиченого рiдиною пiвпростору й рiдини. Виявлено, що в залежностi вiд механiчних характеристик середовищ, якi контактують, та граничних умов (проникна межа чи нi) в системi можливе iснування дiйсної поверхневої хвилi Стоунлi, псевдоповерхневої хвилi Стоунлi та псевдоповерхневої хвилi Релея. Вивченi кiнематичнi й енергетичнi характеристики дiйсної поверхневої хвилi Стоунлi. Показано, що основну частину енергiї, яку переносить хвиля цього типу, зосереджено в пористо-пружному середовищi, а саме, в пружному скелетi. The surface wave propagation features at the interface of a porous-elastic fluid-saturated half-space and a fluid have been analyzed in the paper. It is found that true surface Stoneley wave, pseudo-Stoneley wave and pseudo-Rayleigh wave may occur in the system, depending on mechanical characteristics of the contacting media and boundary conditions (permeable or impermeable boundary). The kinematic and energy characteristics of the true surface wave have been studied. It is shown that most of energy transferred by the wave of the considered type is concentrated in the porous-elastic half-space, namely, in its elastic skeleton. 2008 Article Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь, Л.П. Зубарева // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 50-64. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79773 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Проанализированы особенности распространения поверхностных волн на границе раздела пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства и жидкости. Обнаружено, что в зависимости от механических характеристик контактирующих сред и граничных условий (проницаемая граница или нет) в системе возможно существование действительной поверхностной волны Стоунли, псевдоповерхностной волны Стоунли и псевдоповерхностной волны Рэлея. Изучены кинематические и энергетические характеристики действительной поверхностной волны. Показано, что основная часть энергии, переносимой волной этого типа, сосредоточена в пористо-упругом полупространтсве, а именно, в упругом скелете.
format	Article
author	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. Зубарева, Л.П.
spellingShingle	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. Зубарева, Л.П. Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств Акустичний вісник
author_facet	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. Зубарева, Л.П.
author_sort	Городецкая, Н.С.
title	Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств
title_short	Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств
title_full	Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств
title_fullStr	Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств
title_full_unstemmed	Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств
title_sort	волны на границе пористо-упругого полупространства. ii. граница пористо-упругого и жидкого полупространств
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79773
citation_txt	Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь, Л.П. Зубарева // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 50-64. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT gorodeckaâns volnynagraniceporistouprugogopoluprostranstvaiigranicaporistouprugogoižidkogopoluprostranstv AT sobolʹtv volnynagraniceporistouprugogopoluprostranstvaiigranicaporistouprugogoižidkogopoluprostranstv AT zubarevalp volnynagraniceporistouprugogopoluprostranstvaiigranicaporistouprugogoižidkogopoluprostranstv
first_indexed	2025-07-06T03:45:27Z
last_indexed	2025-07-06T03:45:27Z
_version_	1836867679168757760
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 УДК 539.3 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ ПОРИСТО-УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА. II. ГРАНИЦА ПОРИСТО-УПРУГОГО И ЖИДКОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВ Н. С. Г ОР ОД Е Ц К АЯ, Т. В. С ОБ ОЛ Ь, Л. П. ЗУ Б А РЕ ВА Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 20.05.2008 Проанализированы особенности распространения поверхностных волн на границе раздела пористо-упругого на- сыщенного жидкостью полупространства и жидкости. Обнаружено, что в зависимости от механических характери- стик контактирующих сред и граничных условий (проницаемая граница или нет) в системе возможно существование действительной поверхностной волны Стоунли, псевдоповерхностной волны Стоунли и псевдоповерхностной волны Рэлея. Изучены кинематические и энергетические характеристики действительной поверхностной волны. Показано, что основная часть энергии, переносимой волной этого типа, сосредоточена в пористо-упругом полупространтсве, а именно, в упругом скелете. Проаналiзовано особливостi поширення поверхневих хвиль на межi розподiлу пористо-пружного насиченого рiди- ною пiвпростору й рiдини. Виявлено, що в залежностi вiд механiчних характеристик середовищ, якi контактують, та граничних умов (проникна межа чи нi) в системi можливе iснування дiйсної поверхневої хвилi Стоунлi, псев- доповерхневої хвилi Стоунлi та псевдоповерхневої хвилi Релея. Вивченi кiнематичнi й енергетичнi характеристики дiйсної поверхневої хвилi Стоунлi. Показано, що основну частину енергiї, яку переносить хвиля цього типу, зосере- джено в пористо-пружному середовищi, а саме, в пружному скелетi. The surface wave propagation features at the interface of a porous-elastic fluid-saturated half-space and a fluid have been analyzed in the paper. It is found that true surface Stoneley wave, pseudo-Stoneley wave and pseudo-Rayleigh wave may occur in the system, depending on mechanical characteristics of the contacting media and boundary conditions (permeable or impermeable boundary). The kinematic and energy characteristics of the true surface wave have been studied. It is shown that most of energy transferred by the wave of the considered type is concentrated in the porous-elastic half-space, namely, in its elastic skeleton. ВВЕДЕНИЕ В природе и технике мы повсеместно встреча- емся с различными видами поверхностных волн, которые могут существовать на границах разде- ла различных сред. Например, они наблюдаются на свободной границе жидкости, на свободной гра- нице упругого полупространства (волна Рэлея), на границе жидкого и упругого полупространств (волна Шолте, ее также называют волной Сто- унли или волной Шолте – Стоунли), на границе двух упругих полупространств (волна Стоунли). Общим свойством для этого класса волн являе- тся концентрация переносимой ими энергии вбли- зи границы – внутри слоя с толщиной порядка длины волны. Поверхностные волны существуют в очень ши- роком частотном диапазоне. В области низких частот (инфразвук) распространяются сейсмиче- ские волны, имеющие длину порядка километров. Отметим, что именно такие волны изучались в течение многих десятилетий. Начиная с 1960 го- дов, благодаря применению встречно-штыревых преобразователей, частотный диапазон регистра- ции поверхностных волн был увеличен до ультра- звука, а использование лазеров для их возбуж- дения и приема привело к дальнейшему увеличе- нию верхней границы исследуемых частот. Нако- нец, поверхностные волны в области гиперзвука (на частоте порядка 1013 Гц) известны как поверх- ностные фотоны. В дальнейшем ограничим рассмотрение обла- стью относительно низких частот. В низкочасто- тном пределе при отсутствии относительного дви- жения поровой жидкости и упругого скелета дву- хфазную среду можно рассматривать как эквива- лентную однофазную с обобщенными коэффици- ентами в качестве упругих констант [1]. В этом случае поверхностные волны на границе насыщен- ной пористо-упругой среды и жидкости будут та- кими же, как и на стыке упругого и жидкого по- лупространств. Хотя исследования волн, распро- страняющихся вдоль такой границы, началось до- статочно давно [2], они интенсивно развиваются и в настоящее время [3]. Известно, что на грани- це идеальной жидкости и идеального упругого по- лупространства существует поверхностная волна Стоунли, распространяющаяся вдоль границы и затухающая в обоих полупространствах при уда- лении от границы. Волне Стоунли соответству- 50 c© Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева, 2008 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 ет действительный корень дисперсионного урав- нения, а сама она является бездисперионной. При контакте бездиссипативных сред эта волна не пе- реносит энергию в глубину жидкого и упругого по- лупространств. Кроме поверхностной волны Стоунли, на грани- це раздела жидкого и упругого полупространств существует псевдоповерхностная волна Рэлея, на- зываемая также вытекающей поверхностной вол- ной (leaky surface wave). Псевдоповерхностная вол- на Рэлея соответствует комплексному корню дис- персионного уравнения в бездисипативной среде. Она распространяется со скоростью, несколько большей, чем скорость волны Рэлея в соответству- ющем упругом полупространстве со свободной границей, и амплитудой, затухающей в направле- нии распространения. Псевдоповерхностная вол- на образована за счет взаимодействия неоднород- ных продольной и поперечной волн в упругом по- лупространстве, амплитуды которых экспоненци- ально убывают как в направлении распростране- ния, так и в глубину, а также неоднородной волны в жидкости, амплитуда которой экспоненциаль- но нарастает при удалении от границы и убывает в направлении распространения. Феномен суще- ствования волны с нарастающей амплитудой ши- роко дискутировался в 1960-ые годы, начиная с работ Викторова [4], в которых детально изуча- лись псевдоповерхностные волны на границах ти- па “упругое – жидкое полупространства” и “упру- гое полупространство – жидкий слой”. Было уста- новлено, что нарастание амплитуды неоднородной волны в жидкости обусловлено непрерывным пе- реизлучением энергии из упругого полупространс- тва в жидкость. Псевдоповерхностные волны яв- ляются промежуточными между поверхностными и объемными волнами и могут существовать толь- ко в определенной, конечной, области вблизи исто- чника, распадаясь дальше на объемные волны. Теоретическому изучению псевдоповерхностной волны Рэлея на границе жидкого и упругого по- лупространств посвящено большое количество ра- бот, например [3,5]. При этом рассматривались как среды, у которых фазовая скорость волны в жид- кости – наименьшая (cf <cs<cp), так и среды для которых выполняется условие cs<cf <cp. Здесь cf – скорость звука в жидком полупространстве; cp и cs – скорости продольной и поперечной волн в упругом полупространстве соответственно. Для любых соотношений параметров контактирующих сред всегда существуют как волна Стоунли, так и псевдоповерхностная волна Рэлея. Эксперимен- тальные данные об их распространении на границе жидкого и упругого полупространств можно най- ти в работах [5, 6]. При увеличении частоты пористо-упругую, на- сыщенною жидкостью среду уже нельзя рассма- тривать как эквивалентную однофазную среду и необходимо учитывать ее двухфазность. В насто- ящее время для описания волновых процессов в двухфазных (пористо-упругих насыщенных жид- костью) средах наибольшее распространение по- лучила теория, развитая Био [7]. В ее рамках в пористо-упругой среде существует три распро- страняющиеся независимо друг от друга объем- ные волны: быстрая и медленная продольные и поперечная. На границе пористо-упругого полу- пространства и жидкости поверхностные волны формируются за счет взаимодействия трех волн в пористо-упругой среде и одной волны в жидкости. Поверхностные волны на границе раздела пористо-упругой и жидкой сред изучались экспе- риментально и теоретически в ряде работ. Так, в статье [8] для высокочастотного диапазона, где можно пренебречь затуханием объемных волн, по- казано, что, в зависимости от соотношения ме- ханических характеристик жидкой и пористо- упругой сред, а так же от условий сопряжения, здесь могут существовать одна, две или три по- верхностные волны. При этом считалось, что по- ровая жидкость имеет такие же характеристики, что и жидкое полупространство. При нахождении поверхностных волн, кроме условий излучения, накладывалось ограничение, что действительная часть постоянной распространения намного прево- сходит мнимую (2πIm ξ/Re ξ�1), т. е. затухание за цикл колебаний мало. В обсуждаемом случае порождаются: 1) действительная (true) поверхностная волна, распространяющаяся без затухания со скоро- стью, меньшей, чем скорости всех объемных волн; 2) волна псевдо-Стоунли, скорость которой больше, чем скорость самой медленной объемной волны, но меньше скоростей остальных волн; 3) псевдорэлеевская волна, скорость которой больше скорости звука в жидком полупро- странстве (она может существовать или не существовать, в зависимости от соотношения параметров жидкости и пористо-упругого по- лупространств). Анализ поверхностных и псевдоповерхностных волн на границе раздела жидкости и пористо- упругого полупространства для высоких частот, Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева 51 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 когда затуханием, обусловленным сдвиговой вяз- костью поровой жидкости, можно пренебречь, проведен в работах [9 – 12,22]. В статье [13] экспе- риментально найдены две или три поверхностные волны для случая, когда скорость сдвиговых волн больше, чем скорость медленной продольной вол- ны в пористо-упругой среде (рассматривался слу- чай открытых на границе пор). Полученные эк- спериментальные данные хорошо согласуются с теоретическими результатами [8]. Поверхностные волны (в области высоких частот) изучались так- же на границе раздела пористо-упругого полупро- странства, насыщенного воздухом, и воздуха. В статье [14] предсказана и экспериментально найде- на поверхностная волна рэлеевского типа на гра- нице раздела пористо-упругой среды и воздуха. Заметим, что во всех цитируемых исследованиях контактирующие среды рассматривались как иде- альные, а затухание не учитывалось. Это прибли- жение, справедливое в области высоких частот, в низкочастотном диапазоне становится неправо- мерным. Данная работа посвящена изучению распро- странения поверхностных и псевдоповерхностных волн на границе пористо-упругого и жидкого по- лупространств. Показано существование действи- тельной поверхностной волны и псевдоповерхно- стных волн на проницаемой и непроницаемой гра- нице для различных соотношений характеристик контактирующих сред. Проанализированы энер- гетические и кинематические характеристики по- верхностной волны. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть пористо-упругая насыщенная жидкостью среда занимает полупространство −∞ < x < ∞, z ≤ 0, граничащее с жидкостью −∞ < x < ∞, z > 0. Пористо-упругое полупространство опи- сывается в рамках модели Био [7]. Векторы пере- мещений упругого скелета u и жидкости v удовле- творяют уравнению движения для упругой и жид- кой фаз с учетом их взаимодействия: µ∆u + (H − µ) grad div u − C grad div w = = ρ ∂2 u ∂t2 − ρf ∂2 w ∂t2 , C grad div u −M grad div w = = ρf ∂2 u ∂t2 − αρf m ∂2 w ∂t2 − F ∂w ∂t . (1) Здесь m – пористость; w=m(u−v), H , C, M – ко- эффициенты, определяемые через характеристи- ки среды [15]: H = (Ks −Kb) 2 D−Kb +Kb + 4µ 3 , M = K2 s D −Kb , C = Ks(Ks −Kb) D −Kb , D = Ks [ 1 +m ( Ks Kf − 1 )] ; (2) Ks – модуль всестороннего сжатия упругого ске- лета; Kf – модуль всестороннего сжатия поровой жидкости; Kb – модуль всестороннего сжатия по- ристой среды; µ – модуль сдвига пористой среды; α — извилистость. Средняя плотность ρ связана с плотностями упругого скелета ρs и жидкости ρf соотношением ρ = (1 −m)ρs +mρf . Диссипативное слагаемое в уравнении (1) име- ет структуру F =f(ω)ρf νf/Kpr , где νf – кинема- тическая вязкость поровой жидкости; Kpr – про- ницаемость; f(ω) – частотно-зависимая функция, определяемая характером движения жидкости по порам упругого скелета: f = kZ(k) 4(1 − 2Z(k)/ik) , k = a2 √ ω νf , Z(k) = ber′(k) + ibei′(k) ber(k) + ibei(k) . (3) Функции ber(k), bei(k) представляют собой дей- ствительную и мнимую части функций Кельвина; ω – круговая частота, a2 – структурный коэффи- циент. Параметр a2 имеет размерность длины, за- висит от размера и формы пор. Его величина опре- деляется экспериментально. В работе [7] a2 задан в виде a2 = η √ Kpr m , (4) где η – коэффициент, учитывающий геометрию пор. Согласно последним экспериментам, прове- денным на ансамбле сфер, η=3.2 [16]. Компоненты тензора напряжений в пористо- упругой среде имеют вид [7] τij = 2µeij+ +[(H − 2µ− Cm)e− (C −mM)ζ]δij, σf = m(Ce−Mζ), τij = σs ij + σf , ζ = div w, e = div u. (5) 52 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 Здесь eij – тензор деформаций; τij – тензор на- пряжений, приложенных к пористо-упругой среде; σs ij – тензор напряжений, приложенных к упруго- му скелету; σf =−mp0; p0 – давление жидкости в порах упругого скелета; δij – символ Кронекера; m – пористость; w=m(u−v). Жидкое полупространство описывается в рам- ках модели идеальной сжимаемой жидкости. В этом случае волновое поле представимо волновым уравнением относительно скалярного потенциала: ∆φ1 f = 1 c2f ∂2φ1 f ∂t2 , (6) где cf = √ K1 f/ρ 1 f – скорость звука в жидкости (здесь и далее индекс (1) соответствует жидко- му полупространству); K1 f – модуль всесторонне- го сжатия жидкости в верхнем полупространстве; ρ1 f – плотность жидкости верхнего полупространс- тва. Вектор перемещения и давление в жидком по- лупространстве выражаются через скалярный по- тенциал: u 1 = gradφ1 f , p1 f = −K1 f ∆φ1 f . (7) На границе пористо-упругого полупространства и жидкости выполняются условия [8, 17]: 1) непрерывность нормальных компонент полно- го напряжения τzz(x, 0) = σs zz(x, 0) + σf = −p1 f ; (8) 2) отсутствие касательных напряжений σ(s) xz (x, 0) = 0; (9) 3) непрерывность потока жидкости через грани- цу (1 −m)uz(x, 0) +mvz(x, 0) = u1 z; (10) 4) пропорциональность между скачком давле- ния и относительной скоростью в пористой среде p0 − p1 f = Tm(vz − uz). (11) Параметр T в последнем соотношении характе- ризует граничную поверхность пористой среды. При ограниченном обмене жидкостью между жид- ким полупространством и пористо-упругой средой T >0. В случае беспрепятственного обмена жидко- стью (T =0 – поры на границе открыты) уравне- ние (11) вырождается в p0 − p1 f = 0 (12) Если же поры закрыты (T =∞), оно изменяется так: uz(x, 0) = vz(x, 0). (13) 2. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В пористо-упругой среде раскладывая векторы смещений для поровой жидкости и скелета на ска- лярный и векторный потенциалы, находим волно- вые уравнения для быстрой и медленной продоль- ных волн и поперечной волны. В жидком полупро- странстве волновое уравнение имеет вид (6). Все решения будем искать в виде плоской поверхно- стной волны, которая образуется за счет взаимо- действия на границе трех типов волн в пористо- упругой среде и одной волны в жидкости. Она ра- спространяется вдоль свободной поверхности и эк- споненциально затухает в пористо-упругое и жид- кое полупространства. Такая волна описывается потенциалами φj = Aje i(ξx−ωt)eαjz , ψ = Bei(ξx−ωt)eα2z , φ1 f = Dei(ξx−ωt)e−αfz , αl = √ ξ2 − k2 l , j = 0, 1, l = 0, 1, 2, f. (14) Здесь ξ – волновое число поверхностной волны; k2 f = ω2 c2f ; k2 0,1 = ω2z0,1 c2 = ω2 c20,1 ; c2 = H ρ ; k2 2 = ω2ρ µ ( Γ11 + Γ12M2 + (1 −M2)iΓ ) = ω2 c22 . Величины z0,1 – корни квадратного уравнения A1z 2 −B1z +C1 = 0 (15) с коэффициентами A1 = q22q11 − q212, C1 = Γ11Γ22 − Γ2 12 + iΓ, B1 = q11Γ22 + q22Γ11 − 2q12Γ12 + iΓ, где введены обозначения q11 = H − 2Cm+Mm2 H ; q22 = Mm2 H ; q12 = Cm−Mm2 H ; c2 = H ρ ; ρ11 = (1 −m)ρs − ρ12; ρ22 = mρf − ρ12; Γij = ρij ρ ; Γ = m2ρfνf Kprρω . В безграничной пористо-упругой среде распро- страняются три типа волн: быстрая продольная с Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева 53 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 фазовой скоростью c1, медленная продольная со скоростью c0 и поперечная со скоростью c2. Фа- зовая скорость медленной продольной волны все- гда меньше, чем для быстрой продольной, а ско- рость поперечной волны – меньше скорости бы- строй продольной волны. Выполняя граничные условия (12) для случая открытых пор, получим дисперсионное уравнение αf [ β(τ0r1 − τ1r0) + ξ2α2(α0r1 − α1r0) ] + + ω2ρ1 f 2µ [ α0α1α2ξ 2(M1 −M0)m 2+ +ξ2(1 −mm2)× × ( α1(r0 +mτ0) − α0(r1 +mτ1) ) + +β ( α1(1 −mm1)(r0 +mτ0)− −α0(1 −mm0)(r1 +mτ1) )] = 0. (16) Выражение в скобках первого слагаемого совпа- дает с дисперсионным уравнением для пористо- упругого полупространства со свободной проница- емой границей [18]. Выполнение граничных условий (13) для случая закрытых пор, приводит к дисперсионному урав- нению [ α0α1α2ξ 2(M0−M1)+ +ξ2m2(α1τ0−α0τ1)+ +β(α1τ0m1−α0τ1m0) ] αf− − ω2ρ1 f 2µ k2 2 2 α0α1(M0−M1)=0. (17) Здесь M0,1 = Γ11q22 − Γ12q12 −A1z0,1 + (q22 + q12)iΓ Γ22q12 − Γ12q22 + (q22 + q12)iΓ ; τ0,1 = ξ2 − H −Cm+M0,1Cm 2µ k2 0,1; r0,1 = Cm−m2M +m2MM0,1 2µ k2 0,1; m0,1,2 = 1 −M0,1,2. Выражение в квадратных скобках уравнения (17) совпадает с дисперсионным уравнением для пористо-упругого полупространства с непроница- емой свободной границей [18]. 3. ПОВЕРХНОСТНАЯ ВОЛНА В СРЕДЕ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ Пусть идеальная жидкость контактирует с пористо-упругой средой, поровое пространство ко- торой заполнено невязкой жидкостью. Диссипа- цией в упругом скелете также пренебрегаем. То- гда коэффициенты дисперсионных уравнений (16) и (17) действительны. Если эти уравнения имеют действительные корни, то существует поверхно- стная волна, распространяющаяся вдоль границы и затухающая вглубь жидкого и пористо-упругого полупространств. Отметим, что в области высо- ких частот, когда толщина пограничного слоя ( √ 2νf/ω) много меньше диаметра пор, указанная ситуация имеет место не только для идеализиро- ванной среды, но и для пористо-упругого полупро- странства, насыщенного вязкой жидкостью [8]. Далее, пусть характеристики жидкостей, запол- няющих верхнее полупространство и поры на- сыщенной двухфазной среды, совпадают. Анали- зируя влияние параметров среды на свойства по- верхностных волн, будем изменять модуль сдвига и пористость, а так же параметры жидкости. При этом модуль сдвига упругого скелета варьируем непрерывным образом при нескольких фиксиро- ванных значениях пористости. Будем рассматри- вать поверхностные волны для двух типов поро- вой жидкости: 1) воды с характеристиками [19] ρf =1000 кг/м3, Kf =2.25·109 Па; 2) газа с характеристиками [20] ρf =2 кг/м3, Kf =2.4·106 Па. Параметры пористо-упругой среды выбраны таки- ми [21]: ρs =2480 кг/м3, Ks =4.99·1010 Па, ν=0.2, Kpr =10−10 м2, α=1.25. Для примера заметим, что при пористости m=0.3, и модуле сдвига µ=2.25·107 Па материал с такими характеристи- ками соответствует песку. Рассмотрим пористо-упругое полупространство, насыщенное водой. Определим изменение фазо- вой скорости поверхностной волны при изменении модуля сдвига упругого скелета. В области пара- метров среды, для которых существует действи- тельный корень дисперсионного уравнения (16) для проницаемой границы и соответственно (17) для непроницаемой, вдоль оси x распространяется действительная бездисперсионная поверхностная волна, затухающая вдоль оси z, которая образова- на взаимодействием на границе четырех неодноро- дных объемных волн. Хорошо известно, что и для проницаемой, и для непроницаемой границы такая 54 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 поверхностная волна существует не для всех пара- метров среды. Это подтверждено как теоретиче- скими расчетами с использованием теории Био [8] или теории смесей [10 – 12, 22], так и эксперимен- тально [13]. В отличие от случая контакта двух упругих по- лупространств, при контакте пористо-упругого по- лупространства и жидкости не разработаны кри- терии, позволяющие определить существование поверхностной волны без нахождения действи- тельного корня дисперсионного уравнения. Одна из причин этого связана тем, что для пористо- упругой среды количество параметров, которые ее описывают, значительно больше, чем для упру- гой. Напомним, что на границе раздела идеально- го упругого полупространства и жидкости волна Стоунли существует всегда. В то же время, на гра- нице раздела двух упругих полупространств по- верхностная волна как при жестком, так и при гладком контакте существует не для всех соот- ношений упругих характеристик контактирующих сред [23]. При этом возможность существования поверхностной волны может быть предсказана в зависимости от отношений плотностей, модулей сдвига и коэффициентов Пуассона контактирую- щих сред [24, 25]. Кроме действительного корня дисперсионного уравнения, существуют комплексно-сопряженные корни, соответствующие псевдоповерхностным волнам с комплексным волновым числом ξ. При физическом анализе рассматриваются только те комплексные корни, которые удовлетворяют ря- ду условий. Прежде всего, для псевдоповерхно- стной волны справедливо Re ξ>0 и Im ξ>0. Та- кая волна распространяется вдоль оси x с фазо- вой скоростью c=ω/Re ξ и затухает вдоль нее с коэффициентом затухания Im ξ. Теперь величины αj (j=0, 1, 2, f) – комплексные числа. Из соотно- шений (14) следует, что для псевдоповерхностных волн выполняются условия Re αj Im αj>0. Возможны следующие типы псевдоповерхно- стных волн. Если фазовая скорость поверхностной волны больше фазовой скорости медленной про- дольной волны, но меньше фазовых скоростей по- перечной и быстрой продольной волн в пористо- упругом полупространстве и звуковой волны в жидком полупространстве, то получаем псевдопо- верхностную волну Стоунли. Эта волна – вытека- ющая. Чтобы лучше понять ее структуру, приве- дем выражение для перемещений упругого скеле- та: ux = iξ [ A0e α0z + A1e α1z ] − α2Be α2z, uz = α0A0e α0z + α1A1e α1z + iξBeα2z. (18) Коэффициенты A0, A1, B связаны между собой через граничные условия (12) для проницаемой границы или (13) для непроницаемой. Для вытекающей волны Стоунли слагаемые в выражениях для перемещения упругого ске- лета (18), соответствующие быстрой продольной (eα1z, Re α1>0) и поперечной (eα2z Reα2>0) волнам, будут экспоненциально затухать вглубь среды (z≤0), а слагаемое, соответствующее ме- дленной продольной волне – увеличиваться (eα0z, Re α0<0, Im α0<0). В жидком полупространс- тве поверхностная волна будет экспоненциально убывать вдоль оси z (e−αf z, Re αf >0, Im αf >0, z>0). Нарастание амплитуды поверхностной вол- ны в пористо-упругом полупространстве при уда- лении от границы раздела за счет увеличения ам- плитуды медленной продольной волны обусловле- но непрерывным переизлучением энергии, кото- рую переносят компоненты поверхностной волны, соответствующие быстрой продольной и попере- чной волне в пористо-упругом полупространстве, и волне в жидкости, в энергию, которую переносит медленная продольная волна. В пористо-упругом полупространстве образуется вытекающая неодно- родная волна, отходящая от границы. Для псевдо- поверхностной волны Стоунли решению диспер- сионных уравнений для проницаемой и непрони- цаемой границы соответствуют те ветви радика- лов, для которых Re α1>0, Re α2>0, Re αf >0, Re α0<0. Отметим, что при нахождении корней дисперсионных уравнений (12) и (13) использова- лось условие Im ξ�Re ξ – комплексное волновое число для псевдоповерхностной волны близко к вещественному значению и волна затухает слабо. Вторым типом псевдоповерхностной волны на границе раздела пористо упругого полупространс- тва и жидкости является волна Рэлея. Фазовая скорость псевдоповерхностной волны Рэлея пре- вышает как скорость медленной продольной вол- ны в пористо-упругом полупространстве, так и скорость волны в жидком полупространстве. Для вытекающей волны Рэлея слагаемые в выраже- ниях для перемещения упругого скелета и по- ровой жидкости, соответствующие быстрой про- дольной (eα1z, Reα1>0) и поперечной (eα2z, Re α2>0) волнам, будут экспоненциально зату- хать вглубь среды, а слагаемое, соответствую- щее медленной продольной волне, – увеличиваться вглубь пористо-упругой среды (eα0z, Im α0<0, Re α0<0). В жидком полупространстве эта вол- на экспоненциально растет вдоль оси z (e−αfz, Im αf <0, Re αf<0). Для вытекающей волны Рэлея характерно нарастание амплитуд волны в жидком полупространстве и медленной продоль- Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева 55 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 /Kf 0 2 4 6 Cj 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 1 2 0 Cf Cst Cr /Kf 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Cj 0 500 1000 1500 2000 1 2 0 Cf Cst Cr a а б Рис. 1. Зависимости фазовых скоростей объемных и поверхностных волн от нормированного модуля сдвига упругого скелета для проницаемой границы при m=0.3 (обе жидкости – вода), график б дан в увеличенном масштабе: 0 – медленная продольная волна; 1 – быстрая продольная волна; 2 – поперечная волна; Cf – волна в жидкости; Cst – волна Стоунли; Cr – волна Рэлея ной волны в пористо-упругом полупространстве. Как уже отмечалось, подобные эффекты обуслав- ливаются переизлучением энергии из одного типа волн в другие. В псевдоповерхностной волне Рэлея как в жидкое, так и в упругое полупространство от границы уходит неоднородная волна, а реше- нию дисперсионных уравнений (12) и (13) соответ- ствуют те ветви радикалов, для которых Reα1>0, Reα2>0, Reαf <0, Re α0<0. Кроме того, здесь также выполняется условие Im ξ�Re ξ. В рамках этого исследования дисперсионные уравнения были решены численно, причем знаки перед радикалами αj (j = 0, 1, 2, f) выбирались в зависимости от соотношения фазовой скорости по- верхностной волны и скоростей объемных волн. На рис. 1 представлены зависимости фазовых скоростей объемных и поверхностных волн при изменении модуля сдвига упругого скелета (в за- висимости от µ/K1 f ) для проницаемой границы (T =0, m=0.3). Здесь и далее кривая 0 соответ- ствует медленной продольной волне в пористо- упругом полупространстве, 1 – быстрой продоль- ной, 2 – поперечной, а Cf – скорости звука в жидком полупространстве. Кривая Cst описыва- ет поверхностную волну Стоунли. В точке a (см. рис. 1, б) действительная поверхностная волна Стоунли исчезает и появляется псевдоповерхно- стная волна Стоунли. Кривая Cr соответствует псевдоповерхностной волне Рэлея. Как видно из графиков, действительная волна Стоунли, соо- тветствующая действительному корню дисперси- онного уравнения (12), существует в диапазоне па- раметров µ/K1 f ≤1.05. При µ/K1 f >1.05 для рас- сматриваемых сред появляется псевдоповерхно- стная волна Стоунли, которая также существует не для всех возможных отношений µ/K1 f , исче- зая при µ/K1 f >3.81. Псевдоповерхностная вол- на Рэлея появляется при µ/K1 f ≥2.11. В диапазо- не 2.11<µ/K1 f<3.81 на границе раздела пористо- упругой среды и жидкости распространяются две псевдоповерхностные волны – Стоунли и Рэлея. Для µ/K1 f >3.81 существует только псевдоповерх- ностная волна Рэлея. При контакте пористо-упругой среды с жид- костью необходимо сравнивать упругие коэффи- циенты пористой и жидкой сред. Исходя из этого, исследуем диапазон изменения отноше- ния µ/K1 f для реальных пористо-упругих водо- насыщенных сред. Как правило, для насыщенно- го водой песка µ/K1 f <1, однако, согласно дан- ным ряда работ, оно может достигать едини- цы или незначительно превышать ее. Например, по [16, 26] µ/Kf =2.61·107/2.25·109=1.2·10−2, в то время, как по [27] µ/Kf =3.23·109/2.25·109=1.4. Для горных пород рассматриваемое отноше- ние имеет порядок 10. Например, по [28] µ/K1 f =2.0·1010/2.3·109=8.7. В работах Николаевского [29] введен крите- рий степени уплотнения или сцементированности пористо-упругой среды, задаваемый отношением Kb/Ks≡ε. Если ε�1, то среда считается мягкой. Для горных пород ε∼0.5 – они относятся к жес- тким средам. Поскольку коэффициент объемного сжатия пористо-упругой среды Kb связан с моду- лем сдвига соотношением Kb = µ 2(1 + ν) 3(1 − 2ν) , 56 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 а коэффициенты объемного сжатия скелета и по- ровой жидкости в расчетах были постоянными, то изменение модуля сдвига µ эквивалентно измене- нию степени сцементированности пористо-упругой среды. Отношение µ/K1 f ≤1 для выбранных мате- риальных параметров соответствует ε∼0.06 (мяг- кая среда), а µ/K1 f ∼10 – ε∼0.6 (жесткая среда). Таким образом, на проницаемой границе ра- здела жидкости и водонасыщенной пористо- упругой среды могут существовать как действи- тельная поверхностная, так и псевдоповерхно- стные волны (одна или две). Действительная поверхностная волна наблюдается для мягких пористо-упругих сред, а псевдоповерхностная вол- на Рэлея – для жестких. Отметим, что псевдо- поверхностные волны Стоунли и Рэлея могут су- ществовать одновременно для достаточно большо- го диапазона изменения отношения упругих кон- стант – 2.1≤µ/K1 f ≤3.8. При этом скорость псевдо- поверхностной волны Рэлея больше, чем для вол- ны Стоунли. Напомним, что на границе раздела идеально упругой среды и жидкости действитель- ная поверхностная волна Стоунли присутствует при любых соотношениях параметров сред и яв- ляется более медленной, волна Рэлея на свободной границе [23]. Известно, что характеристики волны Стоунли существенно зависят от коэффициента проница- емости пористо-упругой среды Kpr [30]. Следу- ет отметить, что указанный параметр связан с пористостью среды m, причем эта связь опреде- ляется размерами зерен упругого скелета. Таким образом, Kpr можно рассматривать как функцию пористости [31]. Поскольку на волновые процес- сы в бездиссипативной пористо-упругой среде (без учета силы межфазного взаимодействия, обуслов- ленной сдвиговой вязкостью поровой жидкости) проницаемость не влияет, проследим за эффектом изменения пористости. На рис. 2 представлена зависимость фазовых скоростей объемных и поверхностных волн в зависимости от µ/K1 f для проницаемой грани- цы (T =0) при пористости m=0.41. Такая сре- да соответствует размеру зерен упругого скелета d=58.2·10−6 м [32]. Сравнивая рис. 1 и 2, отме- тим, что изменение пористости приводит к увели- чению фазовой скорости действительной поверх- ностной и псевдоповерхностных волн. Кроме того, диапазон значений µ/K1 f , для которых существует псевдоповерхностная волна Стоунли, при увеличе- нии пористости сужается (1.07≤µ/K1 f ≤2.74 при m = 0.41). Что же касается псевдоповерхностной волны Рэлея, она теперь появляется при меньших величинах модуля сдвига – µ/K1 f ≥1.87. Тем не /Kf 0 1 2 3 4 5 Cj 0 1000 2000 3000 4000 1 2 0 Cf Cr Cst Рис. 2. Зависимости фазовых скоростей объемных и поверхностных волн от нормированного модуля сдвига упругого скелета для проницаемой границы при m=0.41 (обе жидкости – вода) /Kf 0 200 400 600 800 1000 1200 Cj 0 500 1000 1500 0 1 2 Cf Cst Cr Рис. 3. Зависимости фазовых скоростей объемных и поверхностных волн от нормированного модуля сдвига упругого скелета для проницаемой границы при m=0.3 (обе жидкости – газ) менее, качественный характер зависимостей фа- зовых скоростей объемных и поверхностных волн при изменении пористости сохраняется. Проанализируем влияние поровой жидкости на характеристики поверхностных волн, введя в рассмотрение пористо-упругое полупространство, насыщенное газом с параметрами ρf =2 кг/м3, Kf =2.4·106 Па. Свойства упругого скелета счита- ем теми же, что выше, а пористость среды m=0.3. Верхнее полупространство заполнено тем же га- зом, что и поры. На рис. 3 приведены зависи- мости фазовых скоростей объемных и поверхно- стных волн при изменении µ/K1 f . В данном случае не существует таких комбинаций упругих характе- ристик, при которых распространялись бы однов- ременно две псевдоповерхностные волны (Стоун- Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева 57 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 /Kf 0 500 1000 Cj 0 500 1000 1500 2000 1 2 0 Cst CrCf Рис. 4. Зависимости фазовых скоростей объемных и поверхностных волн от нормированного модуля сдвига упругого скелета для проницаемой границы при m=0.3 (поровая жидкость – вода, вверху – газ) /Kf 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Wx/W 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 1 Рис. 5. Проницаемая граница: средний за период поток мощности через поперечное сечение x=const в упругом скелете при m=0.3 (обе жидкости – вода) ли и Рэлея). При изменении модуля сдвига пори- стой среды действительная волна Стоунли пре- образуется в псевдоповерхностную волну Стоун- ли, которая, в свою очередь, преобразуется в псев- доповерхностную волну Рэлея. Рассмотрим случай контактного взаимодей- ствия пористо-упругой среды, насыщенной водой, при условии, что верхнее полупространство – газ (рис. 4). На границе раздела таких сред наблю- дается действительная поверхностная волна Сто- унли, одновременно с которой может присутство- вать псевдоповерхностная волна Стоунли (в диа- пазоне 35.51≤µ/K1 f ≤90.22. Псевдоповерхностная волна Стоунли преобразуется в псевдоповерхно- стную волну Рэлея для µ/K1 f ≥90.22. Псевдопо- верхностные волны Рэлея и Стоунли одновремен- но не существуют. Таким образом, на проницаемой границе пористо-упругого полупространства и жидко- сти могут существовать действительная волна Стоунли, псевдоповерхностная волна Стоун- ли и псевдоповерхностная волна Рэлея. При этом, в зависимости от механических хара- ктеристик пористо-упругой среды и жидкого полупространства возможны ситуации когда одновременно наблюдаются обе псевдоповерхно- стные волны (в частности, на это указывалось в работе [8]). При определенных соотношениях параметров контактирующих сред есть только одна псевдоповерхностная волна. И, наконец, на границе пористо-упругого полупространства, насыщенного водой, и газообразного полупро- странства одновременно могут распространяться действительная и псевдоповерхностная волны Стоунли. Распространение поверхностной волны вдоль границы раздела двух сред связано с направ- ленным переносом энергии. Для энергетическо- го анализа поверхностной волны рассмотрим ком- поненты среднего за период потока мощности. В пористо-упругом полупространстве Px = − iω 4 ( σs xxu ∗ x − σs∗ xxux + σs xzu ∗ z− −σs∗ xzuz + σfv∗x − σf∗vx ) , Pz = − iω 4 ( σs zzu ∗ z − σs∗ zzuz + σs xzu ∗ x− −σs∗ xzux + σfv∗z − σf∗vz ) . (19) В жидком полупространстве P 1 x = iω 4 ( p1u1∗ x − p1∗u1 x ) , P 1 z = iω 4 ( p1u1∗ z − p1∗u1 z ) , u1 x = iξDe−α3z exp (iξx− ωt), u1 z = −α3De −α3z exp (iξx − ωt). (20) Здесь ∗ означает комплексное сопряжение. Для действительной поверхностной волны, соо- тветствующей действительному корню дисперси- онного уравнения, средний за период поток энер- гии вдоль оси z (и Pz, и P 1 z ) равен нулю, а энер- гия переносится только вдоль границы раздела, экспоненциально затухая в глубину каждого из полупространств. Для анализа распределения об- щего потока энергии поверхностной волны между 58 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 z/ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Px/P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 z/ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 P1 x/P0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 а б Рис. 6. Проницаемая граница: изменение нормированного потока мощности по глубине при µ/K1 f =1: а – пористо-упругое полупространство; б – жидкое полупространство пористо-упругим и жидким полупространствами, проинтегрируем Px и P 1 x по координате z и оценим средний за период поток мощности через попере- чное сечение x=const для ряда конкретных сред. На рис. 5 представлена величина среднего за период потока мощности через поперечное се- чение x=const в упругом скелете при измене- нии µ/K1 f для случая контакта насыщенного во- дой пористо-упругого полупространства и воды. Здесь Wx = ∫ 0 −∞ Pxdz – поток мощности в пористо- упругой среде, а W – общий поток мощности дей- ствительной поверхностной волны. Как видно из графика, более 97 % энергии волны переносится в пористо-упругой среде. При этом с увеличени- ем модуля сдвига скелета энергия, сосредоточен- ная в пористо-упругой среде, вначале уменьшае- тся, достигая минимума при µ/K1 f =0.76, а потом увеличивается. Для µ/K1 f , близких к значениям, при которых действительная поверхностная волна преобразуется в псевдоповерхностную, практичес- ки вся энергия этой волны сосредоточена в пори- стой среде. Отметим, что при существовании гра- ниц контакта “насыщенная газом пористо-упругая среда – газ” и “насыщенная водой пористо-упругая среда – газ” энергия поверхностной волны также практически полностью сосредоточена в пористо- упругой среде. То, что большая часть энергии поверхностной волны Стоунли (> 80 %) может быть сосредоточе- на в упругой среде, отмечался в статье [33], в ко- торой рассматривались волновые свойства упру- гого полого цилиндра из жесткой резины, погру- женного в воду. В случае контакта жесткой рези- ны и воды cs<cp<cf , однако при этом отношение импедансов по поперечной волне в упругой среде существенно меньше единицы [ρcs/(ρf cf)=0.43], а по продольной – несколько превышает ее [ρcp/(ρf cf )=1.06]. В силу этого разделять среды на более мягкие и более жесткие только по отно- шению импедансов, как это принято в акустике, достаточно сложно. В [33] классификация мате- риалов проводилась по отношению скоростей по- перечной волны в упругом теле к звуковой волне в жидкости. По такому критерию жесткая резина является более мягкой средой, чем вода. Именно в более мягкой среде сосредотачивается основная часть энергии волны Стоунли. Для пористо-упругих насыщенных жидкостью сред, в которых существуют три объемные вол- ны, критерий, описывающий согласованность по- ристой среды с жидкостью, ввести еще сложнее. Тем не менее, удается провести сравнение объем- ных скоростей волн в пористо-упругой среде и в жидкости. При рассмотрении контакта пористо- упругого полупространства и жидкости в диапа- зоне параметров среды, для которых существу- ет действительная волна Стоунли, справедливо cs<c 1 f , c0<c 1 f , но c1>c 1 f . Как уже отмечалось, при таком соотношении фазовых скоростей основная часть энергии поверхностной волны Стоунли со- средоточена в упругом скелете. Чтобы проанализировать степень проникнове- ния энергии поверхностной волны вглубь среды, рассмотрим зависимости Px/P0 и P 1 x/P0 от z/λ, где λ=2πc/ω; c= √ H/ρ; P0 – поток мощности поверхностной волны вдоль направления распро- странения на границе раздела. На рис. 6 представ- лена такая зависимость при µ/K1 f =1 (график а соответствует нормированному потоку мощности Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева 59 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 z/ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 uj /uz0 -1 -0.5 0 0.5 1 1 2 3 4 z/ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 uj /uz0 -1 -0.5 0 0.5 1 1 2 3 4 а б Рис. 7. Проницаемая граница: изменение по глубине нормированных амплитуд горизонтальных и вертикальных перемещений для упругого скелета и поровой жидкости при µ/K1 f =1 (график б дан в увеличенном масштабе): 1 – ux/uz(0); 2 – uz/uz(0); 3 – vx/uz(0); 4 – vz/uz(0) в пористо-упругом, а б – в жидком полупространс- тве). Очевидно, что для жидкого полупространс- тва практически вся энергия поверхностной волны сосредоточена в слое 0.2λ, а для пористо-упругого полупространства около 90 % энергии – в слое порядка λ. Отметим, что для принятых параме- тров среды λ=0.4λst. Таким образом, в пористо- упругое полупространство энергия проникает зна- чительно глубже, чем в жидкое, но она практичес- ки полностью сосредоточена в слое меньшем, чем длина поверхностной волны. Для анализа кинематических характеристик поверхностной волны рассмотрим изменение с глубиной компонент векторов перемещения для случая пористо-упругого полупространства, насыщенного водой (верхнее полупространство – вода). На рис. 7 показано изменение по глубине нормированных амплитуд горизонтальных и вертикальных перемещений для упругого скелета (кривые 1 и 2 – ux/uz(0) и uz/uz(0) соответ- ственно) и поровой жидкости (кривые 3 и 4 – vx/uz(0) и vz/uz(0)) при µ/K1 f =1. Прежде всего, отметим, что на границе раздела перемещения в поровой жидкости значительно превышают перемещения в упругом скелете. Вертикальная компонента перемещений поровой жидкости vz затухает с глубиной значительно медленнее, чем uz для упругого скелета. Кроме того, vz изменяет знак, в то время как uz знакопостоянна. В упругом скелете распределение перемещения по глубине в волне Стоунли подобно картине для волны Рэлея на свободной проницаемой границе пористо-упругого полупространства, насыщенно- го жидкостью [18]. При µ/K1 f =1 не наблюдается смены знака ux с увеличением глубины, а на глубине z/λ=0.363 амплитуды вертикальной и горизонтальной составляющих перемещения упругого скелета одинаковы, т. е. здесь частицы в волне Стоунли движутся по кругу. Для гори- зонтальной компоненты перемещения упругого скелета ux характерно существование максимума при z/λ=0.56. К глубине z/λ=5 (z/λst =1.8) амплитуды компонент перемещения спадают до значений uz/uz(0)=4·10−4, ux/uz(0)=7·10−3, vz/uz(0)=2·10−3, vx/uz(0)=4·10−2. При уменьшении модуля сдвига упругого ске- лета ситуация меняется. На рис. 8 представлены зависимости нормированных амплитуд перемеще- ния в поверхностной волне Стоунли от глубины для отношения µ/K1 f =0.76. Изменение µ слабо сказывается на характере поведения uz. В то же время, горизонтальная компонента перемещения упругого скелета ux ведет себя совсем иначе – при z/λ=0.085 наблюдается смена знака, что говорит об изменении направления движения частиц упру- гого скелета в поверхностной волне. Кроме того, отсутствует локальный максимум по глубине для величины ux и не наблюдается равенства ампли- туд ux и uz. Аналогичные изменения картины ра- спределения перемещений упругого скелета с глу- биной при изменении µ отмечались в [18] для по- верхностной волны на свободной проницаемой гра- нице пористо-упругого полупространства. Переме- щения поровой жидкости имеют меньшие ампли- туды и быстрее затухают с глубиной. Для vz на- блюдается смена знака. 60 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 Для анализа влияния типа граничных условий на поверхностные волны в рассматриваемой систе- ме перейдем к постановке с непроницаемой грани- цей. На рис. 9 представлена зависимость фазовых скоростей объемных и поверхностных волн при изменении модуля сдвига упругого скелета для этого случая (T→∞). Верхнее полупространство заполняет вода, она же является поровой жидко- стью. Сравнивая рис. 1 и 9, прежде всего отметим, что для непроницаемой границы, в отличие от про- ницаемой, действительная волна Стоунли суще- ствует для всех значений µ/Kf . При этом в обла- сти существования действительной волны Стоун- ли на проницаемой границе ее скорость больше, чем на непроницаемой. Аналогичные особенности характерны и для волны Рэлея на свободной гра- нице пористо-упругого полупространства – на про- ницаемой границе скорость поверхностной волны больше и она существует в ограниченном диапа- зоне изменения параметров среды. Для непроницаемой границы псевдоповерхно- стная волна Стоунли появляется при определен- ных значениях µ/K1 f и при дальнейшем росте мо- дуля сдвига скелета стремится к скорости зву- ковой волны в верхнем жидком полупространс- тве, оставаясь меньше Cf . Напомним, что для проницаемой границы псевдоповерхностная вол- на Стоунли существует в ограниченом сверху и снизу диапазоне изменения µ/K1 f . Скорость псев- доповерхностной волны Стоунли для непроница- емой границы оказывается выше, чем для про- ницаемой. Для случая контакта водонасыщенной пористо-упругой среды и воды с непроницаемой границей псевдоповерхностная и действительная волны Стоунли могут распространяться одновре- менно. При наличии проницаемой границы псев- доповерхностная и действительная волны Стоун- ли могут существовать одновременно лишь для пористо-упругого полупространства, насыщенно- го водой и контактирующего с газом (см. рис. 4). Для непроницаемой границы псевдоповерхно- стная волна Рэлея появляется при значительно больших отношениях µ/K1 f ≥3.5, чем для про- ницаемой (µ/K1 f ≥2.1). Скорость псевдоповерхно- стной волны Рэлея на непроницаемой границе выше, чем на проницаемой. Мы не будем рассматривать влияние измене- ния параметров скелета, поровой жидкости или свойств верхнего полупространства на поведение поверхностной и псевдоповерхностных волн на не- проницаемой границе. Остановимся на изучении энергетических и кинематических характеристик z/ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 uj /uz0 -1 -0.5 0 0.5 1 1 2 3 4 Рис. 8. Проницаемая граница: изменение по глубине нормированных амплитуд горизонтальных и вертикальных перемещений для упругого скелета и поровой жидкости при µ/K1 f =0.76 (обозначения – на рис. 7) /Kf 0 2 4 6 8 Cj 0 1000 2000 3000 1 2 3 Cf Cst Cst1 Cr Рис. 9. Зависимости фазовых скоростей объемных и поверхностных волн от нормированного модуля сдвига упругого скелета для непроницаемой границы при m=0.3 (обе жидкости – вода) /Kf 0 2 4 6 8 Wx/W 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 Рис. 10. Нероницаемая граница: средний за период поток мощности через поперечное сечение x=const в упругом скелете при m=0.3 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева 61 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 z/ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Px /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 z/ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 P1 x/P0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 а б Рис. 11. Непроницаемая граница: изменение нормированного потока мощности по глубине при µ/K1 f =0.75: а – пористо-упругое полупространство; б – жидкое полупространство действительной поверхностной волны на непрони- цаемой границе пористо-упругого полупространс- тва, насыщенного водой, когда верхнее полупро- странство – также вода. На рис. 10 представлен средний за период по- ток мощности через поперечное сечение x=const в упругом скелете при изменении µ/K1 f . Как и ра- нее, здесь Wx – поток мощности в пористо-упругой среде, а W – общий поток мощности действитель- ной поверхностной волны. По аналогии с проница- емой границей (см. рис. 5) основная часть энергии действительной поверхностной волны Стоунли со- средоточена в упругом скелете пористо-упругого полупространства, однако для непроницаемой гра- ницы в пористо-упругой среде процентное содер- жание энергии поверхностной волны оказывается несколько меньшим. Как и для проницаемой гра- ницы, при увеличении µ/K1 f доля энергии, со- средоточенной в пористо-упругой среде, вначале уменьшается, достигая минимума в 89.4 % при µ/K1 f =1.35, после чего вновь возрастает. На рис. 11 представлена зависимость среднего за период потока мощности поверхностной вол- ны в пористо-упругом полупространстве (Px/P0) вдоль направления распространения при измене- нии z/λ для µ/K1 f =0.75. Кривая 1 соответству- ет пористо-упругому, а кривая 2 – жидкому полу- пространству. Видно, что, в отличие от проницае- мой границы, здесь поверхностная волна проника- ет в пористо-упругое и жидкое полупространства на сопоставимые глубины. Данные, представленные на рис. 12, описыва- ют кинематические характеристики действитель- ной поверхностной волны в пористо-упругом полу- пространтсве с непроницаемой границей. Обозна- чения на графике те же, что и на рис. 7 (для про- ницаемой границы). Сравнивая изменение с глу- биной перемещений упругого скелета и поровой жидкости для разных типов границы, отметим, что для непроницаемой границы проникновение поверхностной волны в пористо-упругое полупро- странство значительно меньше, чем для проницае- мой. Кроме того, для непроницаемой границы вер- тикальная компонента перемещения упругого ске- лета uz не имеет максимума, превышающего пере- мещение на границе и монотонно спадает в глуби- ну полупространства. Вертикальная компонента перемещения поровой жидкости на границе имеет то же направление, что и в упругом скелете, в то время как для проницаемой границы uz(0) и vz(0) имеют разные знаки. Для обоих типов границы го- ризонтальная компонента перемещения упругого скелета ux/uz(0) меняет знак. Для поровой жид- кости при увеличении z/λ обе компоненты пере- мещения знакопостоянны. Таким образом, смена типа условий на гра- нице пористо-упругого полупространства и жид- кости существенно сказывается на акустических характеристиках поверхностной волны. Изменяе- тся кинематика движения частиц в поверхностной волне, а также степень проникновения энергии вглубь контактирующих сред. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Вдоль границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства и жидкости при отсутствии диссипации могут распространяться действительная поверхностная волна Стоунли (с фазовой скоростью, меньшей, чем скорости объем- 62 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 ных волн в обеих средах); псевдоповерхностная волна Стоунли (со скоростью, большей, чем ско- рость медленной продольной волны, но мень- шей, чем скорости поперечной и быстрой продоль- ной волны в пористо-упругом полупространстве, а также большей, чем скорость волны в жидко- сти); псевдоповерхностная волна Рэлея (ее ско- рость больше, чем скорость медленной продоль- ной волны в пористо-упругом полупространстве и скорости в жидкости, но меньше, чем скорость по- перечной и быстрой продольной волн). В зависимости от физических характеристик контактирующих сред и граничных условий (про- ницаемая или непроницаемая граница), возможны ситуации, когда присутствуют все три волны, две или только одна из них. Действительная поверхно- стная волна существует не для всех возможных со- отношений контактирующих сред. Псевдоповерх- ностные волны Стоунли и Рэлея наблюдаются для ограниченного набора соотношений контактирую- щих материалов. Тип граничных условий оказывает серьезное влияние на кинематические и энергетические ха- рактеристики поверхностной волны. При прочих равных условиях, для проницаемой границы по- верхностная волна проникает в пористо-упругую среду глубже, чем для непроницаемой. Энергия действительной поверхностной волны Стоунли для рассмотренных параметров конта- ктирующих сред сосредоточена в пористо-упругом полупространстве. Полученные результаты согласуются с резуль- татами других авторов и с предельными случая- ми. В частности, на границе насыщенного водой пористо-упругого полупространства и газа хара- ктеристики поверхностных волн близки к хара- ктеристикам поверхностной волны Рэлея на сво- бодной границе пористо-упругого полупространс- тва. 1. Динамика сплошных сред в расчетах гидротехни- ческих сооружений / Под ред. В. М. Ляхтера, Ю. С. Яковлева.– М.: Энергия, 1976.– 392 с. 2. Stoneley R. The elastic wave at the interface of separation of two solids // Proc. Roy. Soc. Lond.– 1924.– 106, N 734.– P. 416–429. 3. Zhu J., Porovics J. S. Leaky Rayleigh and Scholte waves at the fluid-solid interface subjected to transi- ent point loading // J. Acoust. Soc. Amer.– 2004.– 116, N 4, Pt. 1.– С. 2101–2110. 4. Викторов И. А. Звуковые поверхнорстные волны в твердых телах.– М.: Наука, 1981.– 287 с. 5. Glorieux C., van de Rostyne K., Nelson K., et al. On the character of acoustic waves at the interface between hard and soft solid and liquids // J. Acoust. Soc. Amer.– 2001.– 110, N 3, Pt. 1.– С. 1299–1306. z/ 0 0.01 0.02 0.03 0.04 uj /uz0 -2 -1 0 1 1 2 3 4 Рис. 12. Непроницаемая граница: изменение по глубине нормированных амплитуд горизонтальных и вертикальных перемещений для упругого скелета и поровой жидкости при µ/K1 f =0.75 (обозначения – на рис. 7) 6. Padilla F., de Billy M., Quentin G. Theoretical and experimental studies of surface waves on solid-fluid interface when the value of the fluid sound velocity is located between the shear and the longitudinal ones in the solid // J. Acoust. Soc. Amer.– 1999.– 106, N 2.– С. 666–673. 7. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid // J. Acoust. Soc. Amer.– 1956.– 28, N 2.– P. 168–191. 8. Feng S., Johnson D. L. High-frequency acoustic properties of a fluid / porous solid interface. I. New surface mode // J. Acoust. Soc. Amer.– 1983.– 74, N 3.– С. 906–914. 9. Feng S., Johnson D. L. High-frequency acoustic properties of a fluid / porous solid interface. II. The 2D reflection Green’s function // J. Acoust. Soc. Amer.– 1983.– 74, N 3.– С. 915–924. 10. Эдельман И. Я. Волны на границах пористых сред // Докл. РАН.– 2001.– 379, N 2.– С. 200–204. 11. Edelman I., Wilmanski K. Asymptotic analysis of surface waves at vacuum / porous medium and li- quid / porous medium interfaces // Cont. Mech. Thermodyn.– 2002.– 14 N 1.– С. 25–44. 12. Wilmanski K. Propagation of sound and surface waves in porous materials // WIAS-Preprint.– 2001.– N 684.– С. 1–12. 13. Mayer M. J., Nagy P. B., Adler L., Bonner B. P., Streit R. Excitation of surface waves of different modes at fluid-porous solid interface // J. Acoust. Soc. Amer.– 1986.– 79, N 2.– С. 249–252. 14. Allard J. F., Jansens G., Vermeir G., Lauriks W. Frame-borne surface waves in air-saturated porous media // J. Acoust. Soc. Amer.– 2002.– 111, N 2.– С. 690–696. 15. Столл Р. Д. Акустические волны в водонасыщен- ных осадках // Акустика морских осадков.– М.– 1977.– С. 28–46. 16. Badiey M., Cheng A. H.-D., Mu Y. From geology to geoacoustics Evaluation of Biot – Stoll sound speed and attenuation for shallow water acoustics // J. Acoust. Soc. Amer.– 1998.– 103, N 1.– P. 309–320. Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева 63 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 50 – 64 17. Deresiewicz H., Skalak R. On uniqueness in dynamic poroelasticity // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1963.– 53, N 4.– P. 783–788. 18. Городецкая Н. С., Соболь Т. В. Особенности по- верхностных волн на свободной границе пористо- упругого полупространства // Акуст. вiсн.– 2008.– 11, N 1.– С. 3–11. 19. Chotiros N. P, Yelton D. J., Stern M. An acoustic model of a laminar sand bed // J. Acoust. Soc. Amer..– 1999.– 106, N 4, Pt.1.– С. 1681-1693. 20. Михайлов Д. Н. Различие продольных волн Френ- келя – Био в водонасыщенной и газонасыщенной пористых средах // Изв. РАН. МЖГ.– 2006.– N 1.– С. 121–130. 21. Kaczmarek M., Kochanski J., Kubik J. Ultrasonic waves in saturated porous materials. Discussion of modeling and experimental results // J. Theor. Appl. Mech.– 1998.– 36, N 3.– С. 597–618. 22. Albert B. Modelling of surface waves in poroelastic saturated materials by means of a two component continuum – Lecture notes // WIAS-Preprint.– 2004.– N 952.– С. 1–44. 23. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. 24. Thurston R. N. Elastic waves in rods and clad rods // J. Acoust. Soc. Amer.– 1978.– 64, N 1.– С. 1–37. 25. Pilant W. L. Complex roots of the Stoneley-wave equation // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1972.– 62, N 1.– С. 285–299. 26. Williams K. L. An effective density fluid model for acoustic propagation in semidents derived from Biot theory // J. Acoust. Soc. Amer.– 2001.– 110, N 5, Pt. 1.– С. 2276–2281. 27. Jonton L. D., Plona T. J., Kojima H. Probi- ng porous media with first and second sound. II. Acoustic properties of water-saturated porous media // J. Acoust. Soc. Amer.– 1994.– 76, N 1.– С. 115–125. 28. Yamamoto T. Acoustic propagation in the ocean wi- th a poro-elastic bottom // J. Acoust. Soc. Amer.– 1983.– 73, N 5.– С. 1587–1596. 29. Николаевский В. Н., Басниев К. С, Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред.– М.: Недра, 1970.– 339 с. 30. Norris A. N. Stoneley-wave attenuation and dispersi- on in permeable formation // Geophysics.– 1989.– 54, N 3.– С. 330–341. 31. Ogushwitz P. R. Applicability of the Biot theory. I. Low-porosity materials // J. Acoust. Soc. Amer.– 1985.– 77, N 2.– P. 429–440. 32. Lee K., Humphrey V. F.,Kim B.-N., Yoon S. W. Frequency dependencies of phase velocity and attenuation coefficient in a water-saturated sandy sediment from 0.3 to 1.0 MHz // J. Acoust. Soc. Amer.– 2007.– 121, N 5.– P. 2553– 2558. 33. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Поверхност- ные волны в системе упругий слой на жидком основании // Акуст. вiсн.– 2005.– 8, N 4.– С. 38–45. 64 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. П. Зубарева

Волны на границе пористо-упругого полупространства. II. Граница пористо-упругого и жидкого полупространств

Institution

Ähnliche Einträge