Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам

Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам

В трехмерной постановке предложен эффективный аналитический подход к разработке методики сравнения анизотропных акустических кристаллов гексагональной, кубической и орторомбической структуры по упругим свойствам. Этот подход основан на сведении полной системы уравнений движения пространственных волн...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2008
1. Verfasser: Моисеенко, В.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут гідромеханіки НАН України 2008
Schriftenreihe:Акустичний вісник
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79775
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам / В.А. Моисеенко // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 76-84. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-79775
record_format dspace
spelling irk-123456789-797752015-04-05T03:02:38Z Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам Моисеенко, В.А. В трехмерной постановке предложен эффективный аналитический подход к разработке методики сравнения анизотропных акустических кристаллов гексагональной, кубической и орторомбической структуры по упругим свойствам. Этот подход основан на сведении полной системы уравнений движения пространственных волноводных объектов из таких материалов к решению независимых обобщенных волновых уравнений путем замены зависимых компонент вектора перемещений через независимые компоненты обобщенного векторного волнового потенциала. Основу разработанной методики составляет процедура выделения общего члена и характерных слагаемых в основном разрешающем уравнении и получение обобщенных упругих характеристик. Для широкого набора реальных анизотропных акустических кристаллов исследовано поведение обобщенных упругих характеристик и разработаны соответствующие критерии сравнения таких материалов. У тривимiрнiй постановцi запропоновано ефективний аналiтичний пiдхiд до розробки методики порiвняння анiзотропних акустичних кристалiв гексагональної, кубiчної й орторомбiчної структури за пружними властивостями. Цей пiдхiд базується на зведеннi повної системи рiвнянь руху просторових хвилеводних об'єктiв з таких матерiалiв до розв'язання незалежних узагальнених хвильових рiвнянь шляхом замiни залежних компонентiв вектора змiщень через незалежнi компоненти узагальненого векторного хвильового потенцiалу. Основу розробленої методики становить процедура видiлення загального члена й характерних доданкiв в основному розв'язувальному рiвняннi й одержання узагальнених пружних характеристик. Для широкого набору реальних анiзотропних акустичних кристалiв дослiджено поведiнку узагальнених пружних характеристик i розробленi вiдповiднi критерiї порiвняння таких матерiалiв. An efficient analytical approach for developing the technique for comparison of anisotropic acoustical crystals of a hexagonal, cubic and orthorhombic structure by their elastic properties was offered in the three-dimensional statement. The mentioned approach is based on the reducing of a complete system of motion equations for spatial waveguide objects of such materials to solution of independent generalized wave equations by substituting the dependent components of displacement vector with the independent components of vector wave potential. The developed technique is based on distinguishing the common part and representative terms in the fundamental solving equation and on obtaining the generalized elastic characteristics. For a wide range of real anisotropic acoustical crystals, the behavior of the generalized elastic characteristics has been studied and the corresponding criteria of comparison of such materials have been developed. 2008 Article Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам / В.А. Моисеенко // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 76-84. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79775 539.3:534.1:534.232:517.958 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description В трехмерной постановке предложен эффективный аналитический подход к разработке методики сравнения анизотропных акустических кристаллов гексагональной, кубической и орторомбической структуры по упругим свойствам. Этот подход основан на сведении полной системы уравнений движения пространственных волноводных объектов из таких материалов к решению независимых обобщенных волновых уравнений путем замены зависимых компонент вектора перемещений через независимые компоненты обобщенного векторного волнового потенциала. Основу разработанной методики составляет процедура выделения общего члена и характерных слагаемых в основном разрешающем уравнении и получение обобщенных упругих характеристик. Для широкого набора реальных анизотропных акустических кристаллов исследовано поведение обобщенных упругих характеристик и разработаны соответствующие критерии сравнения таких материалов.
format Article
author Моисеенко, В.А.
spellingShingle Моисеенко, В.А.
Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам
Акустичний вісник
author_facet Моисеенко, В.А.
author_sort Моисеенко, В.А.
title Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам
title_short Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам
title_full Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам
title_fullStr Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам
title_full_unstemmed Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам
title_sort разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам
publisher Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate 2008
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79775
citation_txt Разработка методики сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам / В.А. Моисеенко // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 76-84. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series Акустичний вісник
work_keys_str_mv AT moiseenkova razrabotkametodikisravneniâanizotropnyhmaterialovpouprugimsvojstvam
first_indexed 2025-07-06T03:45:32Z
last_indexed 2025-07-06T03:45:32Z
_version_ 1836867684301537280
fulltext ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 76 – 84 УДК 539.3:534.1:534.232:517.958 РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ СРАВНЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПО УПРУГИМ СВОЙСТВАМ В. А. МО И СЕЕ Н К О Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко Получено 03.11.2008 В трехмерной постановке предложен эффективный аналитический подход к разработке методики сравнения анизо- тропных акустических кристаллов гексагональной, кубической и орторомбической структуры по упругим свой- ствам. Этот подход основан на сведении полной системы уравнений движения пространственных волноводных объектов из таких материалов к решению независимых обобщенных волновых уравнений путем замены зависимых компонент вектора перемещений через независимые компоненты обобщенного векторного волнового потенциала. Основу разработанной методики составляет процедура выделения общего члена и характерных слагаемых в основ- ном разрешающем уравнении и получение обобщенных упругих характеристик. Для широкого набора реальных анизотропных акустических кристаллов исследовано поведение обобщенных упругих характеристик и разработаны соответствующие критерии сравнения таких материалов. У тривимiрнiй постановцi запропоновано ефективний аналiтичний пiдхiд до розробки методики порiвняння анiзо- тропних акустичних кристалiв гексагональної, кубiчної й орторомбiчної структури за пружними властивостями. Цей пiдхiд базується на зведеннi повної системи рiвнянь руху просторових хвилеводних об’єктiв з таких матерiалiв до розв’язання незалежних узагальнених хвильових рiвнянь шляхом замiни залежних компонентiв вектора змi- щень через незалежнi компоненти узагальненого векторного хвильового потенцiалу. Основу розробленої методики становить процедура видiлення загального члена й характерних доданкiв в основному розв’язувальному рiвнян- нi й одержання узагальнених пружних характеристик. Для широкого набору реальних анiзотропних акустичних кристалiв дослiджено поведiнку узагальнених пружних характеристик i розробленi вiдповiднi критерiї порiвняння таких матерiалiв. An efficient analytical approach for developing the technique for comparison of anisotropic acoustical crystals of a hexagonal, cubic and orthorhombic structure by their elastic properties was offered in the three-dimensional statement. The mentioned approach is based on the reducing of a complete system of motion equations for spatial waveguide objects of such materials to solution of independent generalized wave equations by substituting the dependent components of displacement vector with the independent components of vector wave potential. The developed technique is based on distinguishing the common part and representative terms in the fundamental solving equation and on obtaining the generalized elastic characteristics. For a wide range of real anisotropic acoustical crystals, the behavior of the generalized elastic characteristics has been studied and the corresponding criteria of comparison of such materials have been developed. ВВЕДЕНИЕ Изучение закономерностей и особенностей по- ведения волновых, кинематических, силовых и энергетических характеристик при формирова- нии физико-механических полей в деформируе- мых твердых телах из анизотропных материа- лов требует подбора специфических исследуемых образцов, что всегда остается сложной проблемой. Это обусловлено тем, что объема выборки дол- жно быть достаточно для формирования общих выводов, но она не должна быть избыточной. При этом сравнение упругих констант не может быть использовано в качестве критерия отбора, так как каждая из них в отдельности не характеризует ма- териал в целом. Анизотропия упругих свойств материалов ис- следуется на протяжении уже почти ста лет и этим вопросам посвящено большое количество ра- бот. Их подробный обзор, содержащий около тре- хсот наименований, опубликован недавно в одном из центральных изданий Сибирского отделения Российской академии наук [1]. В упомянутой ста- тье объектом исследований была полная система основных уравнений трехмерной линейной теории упругости. Следует отметить, что при этом, как правило, анализируются только уравнения обоб- щенного закона Гука, в которые упругие посто- янные входят непосредственно. Важным призна- ком, объединяющим все обзорные работы неза- висимо от используемых методов и методик, яв- ляется стремление авторов получить обобщенные критерии для исследования анизотропии упругих свойств материалов и последующего их сравне- ния. Очевидно, что таким критериями могут быть только определенные комбинации упругих кон- стант, полученные без ограничения строгости в явном или неявном виде путем исследования как уравнений обобщенного закона Гука, так и всей основной системы трехмерных уравнений линей- ной теории упругости. В этой работе предлагается единая методи- 76 c© В. А. Моисеенко, 2008 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 76 – 84 ка определения критериев сравнения различных анизотропных материалов по упругим свойствам для последующего ее использования при проведе- нии количественных и качественных исследований волновых, кинематических, силовых и энергети- ческих характеристик при формировании физико- механических полей в анизотропных кристаллах. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОПИСАНИЕ МЕТОДИКИ Предметом исследований является трехмерная математическая модель, представляющая собой полную систему основных уравнений трехмерной линейной теории упругости, которая связывает компоненты вектора перемещений Ui(~x, t), тензо- ра напряжений σij(~x, t) и тензора деформаций εij(~x, t) и состоит из уравнений движения, уравне- ний обобщенного закона Гука и соотношений Ко- ши [2]. Эта модель известным образом сводится к основной системе уравнений движения в переме- щениях LijUj(~x, t) = 0, i, j = 1, 2, 3. (1) Здесь Lij – дифференциальные операторы, кото- рые имеют следующую структуру: L11 = C11∂ 2 1 + G12∂ 2 2 + G13∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t , L22 = G12∂ 2 1 + C22∂ 2 2 + G23∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t , L33 = G13∂ 2 1 + G23∂ 2 2 + C33∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t , L12 = L21 = (C12 + G12)∂1∂2, L13 = L31 = (C13 + G13)∂1∂3, L23 = L32 = (C23 + G23)∂2∂3, (2) где ∂1, ∂2, ∂3 и ∂t – частные производные по про- странственным переменным x1, x2, x3 и по време- ни t; ~x = (x1, x2, x3) – радиус-вектор; C11, C22, C33, C12, C13, C23, G12, G13, G23 – упругие безразмер- ные константы, отнесенные к C0; C0 – нормиру- ющая постоянная, имеющая размерность упругих констант; ρ – плотность материала. Основная идея разрабатываемого подхода со- стоит в том, чтобы перейти от зависимых не- известных функций – компонент вектора пе- ремещений U1(~x, t), U2(~x, t), U3(~x, t) к незави- симым неизвестным функциям – компонентам обобщенного векторного волнового потенциала Ψ1(~x, t), Ψ2(~x, t), Ψ3(~x, t) с помощью полученных ранее представлений для вектора перемещений и разрешающего векторного волнового уравне- ния [3]: U1(~x, t) = L (4) 1 Ψ1(~x, t)− −(C12 + G12)∂1∂2L (2) 12 Ψ2(~x, t)− −(C13 + G13)∂1∂3L (2) 13 Ψ3(~x, t), U2(~x, t) = −(C12 + G12)∂1∂2L (2) 12 Ψ1(~x, t)+ +L (4) 2 Ψ2(~x, t) − (C23 + G23)∂2∂3L (2) 23 Ψ3(~x, t), U3(~x, t) = −(C13 + G13)∂1∂3L (2) 13 Ψ1(~x, t)− −(C23 + G23)∂2∂3L (2) 23 Ψ2(~x, t) + L (4) 3 Ψ3(~x, t), (3) где ~Ψ(~x, t) = (Ψ1(~x, t), Ψ2(~x, t), Ψ3(~x, t)) – неизвестный обобщенный векторный вол- новой потенциал, который определяется из основного векторного разрешающего уравне- ния [3] L~Ψ(~x, t) = 0. (4) Дифференциальный оператор в основном разре- шающем уравнении (4) имеет структуру L = D600∂ 6 1 + D060∂ 6 2 + D006∂ 6 3 + D420∂ 4 1∂2 2+ +D240∂ 2 1∂4 2 + D402∂ 4 1∂2 3 + D042∂ 4 2∂2 3+ +D222∂ 2 1∂2 2∂2 3 + D204∂ 2 1∂4 3 + D024∂ 2 2∂4 3− −ρ3C−3 0 ∂6 t − D400ρC−1 0 ∂4 1∂2 t − −D040ρC−1 0 ∂4 2∂2 t − D004ρC−1 0 ∂4 3∂2 t − −D220ρC−1 0 ∂2 1∂2 2∂2 t − D202ρC−1 0 ∂2 1∂2 3∂2 t − −D022ρC−1 0 ∂2 2∂2 3∂2 t + D200ρ 2C−2 0 ∂2 1∂4 t + +D020ρ 2C−2 0 ∂2 2∂4 t + D002ρ 2C−2 0 ∂2 3∂4 t , (5) В. А. Моисеенко 77 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 76 – 84 где D600 = C11G12G13; D060 = G12C22G23; D006 = G13G23C33; D420 = G2 12G13 + C11C22G13+ +C11G12G23 − G13(C12 + G12) 2; D240 = G2 12G23 + C11C22G23+ +C22G12G13 − G23(C12 + G12) 2; D402 = G12G 2 13 + C11G13G23+ +C11C33G12 − G12(C13 + G13) 2; D042 = G12G 2 23 + C22G13G23+ +C22C33G12 − G12(C23 + G23) 2; D204 = G2 13G23 + G12G13C33+ +C11G23C33 − G23(C13 + G13) 2; D024 = G13G 2 23 + G12G23C33+ +C22G13C33 − G13(C23 + G23) 2; D222 = C11C22C33 + 2G12G13G23+ +2(C12 + G12)(C13 + G13)(C23 + G23)− −C11(C 2 23 + 2C23G23) − C22(C 2 13 + 2C13G13)− −C33(C 2 12 + 2C12G12); D400 = (G12G13 + C11G13 + C11G12); D040 = (G12G23 + C22G23 + C22G12); D004 = (G13G23 + G13C33 + G23C33); D220 = G12G13 + C22G13 + G12G23+ +C11G23 + G2 12 + C11C22 − (C12 + G12) 2; D202 = G13G23 + G2 13 + G12C33 + C11C33+ +G13G12 + C11G23 − (C13 + G13) 2; D022 = G13G23 + G2 23 + G12C33 + C22C33+ +G23G12 + C22G13 − (C23 + G23) 2; D200 = (G13 + G12 + C11); D020 = (G23 + G12 + C22); D002 = (G13 + G23 + C33). Введенные в дифференциальном операторе (5) постоянные коэффициенты, определяющие стру- ктуру основного разрешающего уравнения (4), яв- ным образом выражены через девять упругих констант. При дальнейшем исследовании урав- нения (4) такое представление, в сочетании с предложенной процедурой выделения характер- ных слагаемых путем ее развития для матери- алов каждого вида упругой симметрии, позво- ляет выделить общий (главный) член, а так- же определить количество и вид дополнитель- ных характерных слагаемых. Общий член еди- ной структуры присутствует всегда и при пере- ходе к изотропии дает классическое представле- ние решения исходной основной системы уравне- ний движения в перемещениях [4]. Дополнитель- ные же характерные слагаемые при переходе к изотропии тождественно обращаются в нуль и для каждого вида анизотропии имеют свою струк- туру. Именно коэффициенты при дифференциаль- ных операторах в характерных слагаемых и яв- ляются основой для определения обобщающих критериев сравнения анизотропных материалов по упругим свойствам. По разработанной ме- тодике для материалов гексагональной, куби- ческой и орторомбической структуры получе- ны явные выражения для характерных обобщен- ных коэффициентов через упругие постоянные и проведены численные исследования для широ- кого набора различных анизотропных материа- лов. Таким образом, задача определения обобщен- ных критериев для сравнения анизотропных ма- териалов по упругим свойствам свелась к зада- че исследования влияния характера анизотропии на вид основного разрешающего уравнения. По сути, достаточно исследовать структуру диффе- ренциального оператора (5) и получить специ- альные структурные формы его представления с выделением общего структурного слагаемого и до- полнительных характерных слагаемых. Это зна- чит, что для каждого случая упругой симме- трии в операторе (5) необходимо выделить сла- гаемое, которое при переходе к изотропному ма- териалу даст полное разрешающее уравнение для изотропного материала. Все остальные слагае- мые при этом должны тождественно обратиться в нуль. Ниже приведены реализация обсуждаемой ме- тодики и результаты исследований для наи- более распространенных материалов ортором- бической, гексагональной и кубической струк- туры. 78 В. А. Моисеенко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 76 – 84 2. ПОСТРОЕНИЕ БАЗОВЫХ СТРУКТУР- НЫХ ФОРМ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕН- НЫХ КРИТЕРИЕВ СРАВНЕНИЯ АНИЗО- ТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ Исследование структуры основного дифферен- циального оператора, ее анализ приводят к по- строению трех основных форм для дифферен- циального оператора (5), обладающих нужными свойствами. Они соответствуют трем базовым на- правлениями, которые определяются плоскостями упругой симметрии материала и имеют следую- щий вид: L(1) = (C11∂ 2 1 + C22∂ 2 2 + C33∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )× ×(G12∂ 2 1 + G12∂ 2 2 + G23∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )× ×(G13∂ 2 1 + G23∂ 2 2 + G13∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )+ +(K (1) 12 ∂2 1∂2 2 + K (1) 13 ∂2 1∂2 3 + K (1) 23 ∂2 2∂2 3)× ×(G23∂ 2 1 + G13∂ 2 2 + G12∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )+ +(G13 − G23)K (1) 12 (∂4 1∂2 2 − ∂2 1∂4 2)+ +(G12 − G23)K (1) 13 (∂4 1∂2 3 − ∂2 1∂4 3)+ +(G12 − G13)K (1) 23 (∂4 2∂2 3 − ∂2 2∂4 3)+ +(G13 − G23)(G23 − G12)× × [ (C22 − G12)∂ 2 2 + (C33 − G13)∂ 2 3 ] + +K (1) 123∂ 2 1∂2 2∂2 3 , (6) L(2) = (C11∂ 2 1 + C22∂ 2 2 + C33∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )× ×(G12∂ 2 1 + G12∂ 2 2 + G13∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )× ×(G13∂ 2 1 + G23∂ 2 2 + G23∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )+ +(K (2) 12 ∂2 1∂2 2 + K (2) 13 ∂2 1∂2 3 + K (2) 23 ∂2 2∂2 3)× ×(G23∂ 2 1 + G13∂ 2 2 + G12∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )+ +(G13 − G23)K (2) 12 (∂4 1∂2 2 − ∂2 1∂4 2)+ +(G12 − G23)K (2) 13 (∂4 1∂2 3 − ∂2 1∂4 3)+ +(G12 − G13)K (2) 23 (∂4 2∂2 3 − ∂2 2∂4 3)+ +(G23 − G13)(G13 − G12)× × [ (C11 − G12)∂ 2 1 + (C33 − G23)∂ 2 3 ] + +K (2) 123∂ 2 1∂2 2∂2 3 , (7) L(3) = (C11∂ 2 1 + C22∂ 2 2 + C33∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )× ×(G13∂ 2 1 + G12∂ 2 2 + G13∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )× ×(G12∂ 2 1 + G23∂ 2 2 + G23∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )+ +(K (3) 12 ∂2 1∂2 2 + K (3) 13 ∂2 1∂2 3 + K (3) 23 ∂2 2∂2 3)× ×(G23∂ 2 1 + G13∂ 2 2 + G12∂ 2 3 − ρC−1 0 ∂2 t )+ +(G13 − G23)K (3) 12 (∂4 1∂2 2 − ∂2 1∂4 2)+ +(G12 − G23)K (3) 13 (∂4 1∂2 3 − ∂2 1∂4 3)+ +(G12 − G13)K (3) 23 (∂4 2∂2 3 − ∂2 2∂4 3)+ +(G23 − G12)(G12 − G13)× × [ (C11 − G13)∂ 2 1 + (C22 − G23)∂ 2 2 ] + +K (3) 123∂ 2 1∂2 2∂2 3 . (8) Полученные базовые структурные формы (6) – (8) содержат три группы характерных обобщен- ных коэффициентов, которые обладают нужным свойством обращаться в нуль при переходе к изо- тропному материалу. Их аналитические представ- ления приведены ниже: K (1) 12 = C11C22− −G12(C11 + C22 + 2C12) − C2 12, K (1) 13 = C11C33− −G13(C11 + C33 + 2C13) − C2 13, K (1) 23 = C22C33− −G23(C22 + C33 + 2C23)− −C2 23 − (G12 − G23)(G13 − G23), K (1) 123 = C11C22C33 + 2G12G13G23+ +2(C12 + G12)(C13 + G13)(C23 + G23)− −G12K (1) 12 − G13K (1) 13 − G23K (1) 23 − −C11 [ (C23 + G23) 2 + G12G13 ] − −C22 [ (C13 + G13) 2+ +G13(G12 + G23 − G13) ] − −C33 [ (C12 + G12) 2+ +G12(G13 + G23 − G12) ] , (9a) В. А. Моисеенко 79 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 76 – 84 K (2) 12 = C11C22− −G12(C11 + C22 + 2C12) − C2 12, K (2) 13 = C11C33− −G13(C11 + C33 + 2C13)− −C2 13 − (G12 − G13)(G23 − G13), K (2) 23 = C22C33− −G23(C22 + C33 + 2C23) − C2 23, K (2) 123 = C11C22C33 + 2G12G13G23+ +2(C12 + G12)(C13 + G13)(C23 + G23)− −G12K (2) 12 − G13K (2) 13 − G23K (2) 23 − −C11 [ (C23 + G23) 2+ +G23(G12 + G13 − G23) ] − −C22 [ (C13 + G13) 2 + G12G23 ] − −C33 [ (C12 + G12) 2+ +G12(G23 + G13 − G12) ] , (9b) K (3) 12 = C11C22− −G12(C11 + C22 + 2C12)− −C2 12 − (G13 − G12)(G23 − G12), K (3) 13 = C11C33− −G13(C11 + C33 + 2C13) − C2 13, K (3) 23 = C22C33− −G23(C22 + C33 + 2C23) − C2 23, K (3) 123 = C11C22C33 + 2G12G13G23+ +2(C12 + G12)(C13 + G13)(C23 + G23)− −G12K (3) 12 − G13K (3) 13 − G23K (3) 23 − −C11 [ (C23 + G23) 2+ +G23(G13 + G12 − G23) ] − −C22 [ (C13 + G13) 2+ +G13(G23 + G12 − G13) ] − −C33 [ (C12 + G12) 2 + G13G23 ] . (9c) Очевидно, эти представления справедливы для любого анизотропного материала, у которого не более девяти независимых упругих констант. Ка- ждое базовое направление характеризуется че- тырьмя обобщенными характеристиками, что име- ет вполне понятный физический смысл. При этом определенные характеристики, соответству- ющие разным базовым направлениям, совпадают, а именно: K (1) 12 = K (2) 12 , K (1) 13 = K (3) 13 , K (2) 23 = K (3) 23 . При уменьшении количества независимых упру- гих констант представления (9a) – (9c) естествен- ным образом упрощаются. Так, для материалов гексагональной структуры, когда C22 = C11, C23 = C13, G23 = G13, C12 = C11 − 2G12 и независимыми остаются пять упругих констант C11, C33, C13, G12, G13, имеем K (1) 12 = K (2) 12 ≡ 0, K (3) 12 = (G12 − G13)(G13 − G12), K (1) 13 = K (2) 13 = K (3) 13 = = K (1) 23 = K (2) 23 = K (3) 23 = = C11C33 − G13(C11 + C33 + 2C13)− −C2 13 = K13, K (1) 123 = K (2) 123 = 2(G12 − G13)K13, K (3) 123 = 2(G12 − G13)K13 + (C33 − G12)K (3) 12 . Для материалов кубической структуры остаются всего три независимые упругие константы (C = C11 = C22 = C33, λ = C12 = C13 = C23, G = G12 = G13 = G23) и в этом случае K (1) 12 = K (1) 13 = K (1) 23 = = K (2) 12 = K (2) 13 = K (2) 23 = = K (3) 12 = K (3) 13 = K (3) 23 = = (C + λ)(C − λ − 2G), K (1) 123 = K (2) 123 = K (3) 123 = = (C − λ − 2G)× × [ (C + λ)(C − G) − 2(λ + G)2 ] . Для проведения расчетов и определения обоб- щенных критериев для сравнения анизотропных 80 В. А. Моисеенко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 76 – 84 материалов введем в рассмотрение относительные осредненные обобщенные характеристики следую- щего вида: K (S) 12 = 1 3 ( K (1) 12 C11G12 + K (2) 12 C22G12 + + K (3) 12 C33G13 ) , K (S) 13 = 1 3 ( K (1) 13 C11G12 + K (2) 13 C22G12 + + K (3) 13 C33G13 ) , K (S) 23 = 1 3 ( K (1) 23 C11G12 + K (2) 23 C22G12 + + K (3) 23 C33G13 ) , K (S) 123 = 1 3 ( K (1) 123 C11G12G13 + K (2) 123 C22G12G23 + + K (3) 123 C33G13G23 ) . (10) Правильность именно такого осреднения подтвер- ждается важным свойством, заключающимся в со- хранении усредняемыми характеристиками одина- кового знака для всех базовых направлений. Ниже в табл. 1 – 3 для ряда различных матери- алов орторомбической, тетрагональной, гексаго- нальной и кубической структуры приведены упру- гие константы [5] (они внесены в таблицы с точ- ностью до множителя 1010 Н/м2), а также вычи- сленные значения предложенных обобщенных ха- рактеристик. ВЫВОДЫ Анализ поведения обобщенных характеристик позволяет определить методику и критерии срав- нения различных анизотропных материалов. Со- гласно ней, критерием разделения всех материа- лов на группы является свойство одинакового со- четания знаков у трех обобщенных характеристик K (S) 12 , K (S) 13 , K (S) 23 . Модуль четвертой характеристи- ки K (S) 123 служит обобщенной мерой степени анизо- тропии упругих свойств. Он используется как для сравнения и упорядочивания материалов в преде- лах каждой группы, так и для сравнения анизо- тропных материалов из разных групп. При этом знак K (S) 123 является критерием разделения каждой группы еще на две подгруппы. Достоверно известно, что характерных групп всего восемь. Поэтому в каждой из таблиц все ма- териалы сгруппированы и упорядочены по ним, а внутри каждой группы разделены на подгруппы. В табл. 1, где приведены материалы орторомбиче- ской и тетрагональной структуры, представлены практически все группы. Это вполне объяснимо, так как обобщенные характеристики K (S) 12 , K (S) 13 и K (S) 23 в этом случае могу принимать любые зна- чения. В табл. 2 для материалов гексагональной структуры характерных групп всего две. Это зако- номерно, так как в этом случае обобщенная хара- ктеристика K (S) 12 имеет постоянный знак и может не учитываться. Две другие обобщенные характе- ристики K (S) 13 и K (S) 23 равны между собой, что опре- деляет всего две возможных комбинации знаков (и соответственно двух характерных групп с деле- нием на подгруппы). У представленных в табл. 3 материалов кубической структуры совпадают уже три обобщенные характеристики K (S) 12 , K (S) 13 , K (S) 23 а четвертая – K (S) 123 – всегда положительна. Поэто- му здесь групп всего две и нет деления на под- группы. Разработанная методика учитывает только упругие свойства материала, но не его плотность. Поэтому при решении задач акустики (напри- мер, при исследовании волноводных свойств ани- зотропных материалов) этот независимый пара- метр, входящий в выражения для фазовых ско- ростей упругих волн, тоже необходимо принимать во внимание. Для изотропных материалов в этом нет необходимости, так как фазовые скорости яв- ным образом зависят от плотности материала [4] и их отношение содержит только упругие кон- станты. 1. Анин Б. Д., Остросаблин Н. И. Анизотропия упру- гих свойств материалов // Прикл. мех. техн. физ.– 2008.– 49, N 6.– С. 131–151. 2. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела.– М.: Наука, 1977.– 416 с. 3. Моiсеєнко В. О. Хвильовi потенцiали для просто- рових хвилеводних об’єктiв iз анiзотропних мате- рiалiв // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки.– 2007.– N 3.– С. 94–98. 4. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко- лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. 5. Блистанов А. А., Бондаренко В. С., Чкалова В. В. и др. Акустические кристаллы. Справочник.– М.: Наука, 1982.– 632 с. В. А. Моисеенко 81 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 76 – 84 Т а б л 1 . М а т ер и а л ы о р т о р о м б и ч еск о й и т ет р а го н а л ь н о й ст р у к т у р ы М а т ер и а л С 1 1 С 2 2 С 3 3 G 1 2 G 1 3 G 2 3 C 1 2 C 1 3 C 2 3 K ( s ) 1 2 K ( s ) 1 3 K ( s ) 2 3 K ( s ) 1 2 3 B a T iO 3 1 5 .0 0 0 0 1 5 .0 0 0 0 1 4 .6 0 0 0 4 .3 0 0 0 4 .2 0 0 0 4 .2 0 0 0 6 .6 0 0 0 6 .6 0 0 0 6 .6 0 0 0 − 0 .0 6 8 2 − 0 .0 6 8 1 − 0 .0 6 8 1 0 .0 0 4 7 T iO 3 2 7 .3 0 0 0 2 7 .3 0 0 0 4 8 .4 0 0 0 1 9 .4 0 0 0 1 2 .5 0 0 0 1 2 .5 0 0 0 1 7 .6 0 0 0 1 4 .9 0 0 0 1 4 .9 0 0 0 − 2 .3 9 0 8 − 0 .3 9 7 1 − 0 .3 9 7 1 0 .3 4 0 9 T e O 2 5 .6 0 0 0 5 .6 0 0 0 1 0 .5 1 0 0 6 .6 8 0 0 2 .7 0 0 0 2 .7 0 0 0 5 .1 6 0 0 2 .7 2 0 0 2 .7 2 0 0 − 4 .2 9 6 6 − 0 .1 9 8 9 − 0 .1 9 8 9 1 .6 3 1 6 K H C 8 H 4 O 4 1 .8 7 2 0 1 .3 6 9 0 1 .8 3 3 0 0 .6 5 2 0 0 .7 4 7 0 0 .5 1 5 0 0 .8 2 9 0 1 .1 8 5 0 0 .6 7 7 0 − 1 .1 7 0 4 − 2 .2 4 2 9 − 0 .2 5 6 8 1 .7 0 2 1 G d 2 (M o O 4 ) 3 5 .8 5 0 0 7 .3 0 0 0 1 0 .3 0 0 0 3 .3 0 0 0 2 .6 0 0 0 2 .4 5 0 0 1 .0 5 0 0 2 .8 5 0 0 3 .2 0 0 0 − 0 .3 8 7 3 − 0 .2 0 2 3 0 .2 6 6 0 0 .1 2 5 7 N a 2 C o G e O 4 1 0 .5 0 4 0 9 .4 7 3 0 1 0 .0 6 9 0 3 .5 7 2 0 3 .6 8 0 0 1 .7 0 7 0 7 .1 4 7 0 5 .7 0 9 0 5 .9 2 4 0 − 2 .0 5 0 0 − 1 .2 3 7 6 0 .1 8 7 9 2 .2 6 6 7 L iG a O 2 1 4 .0 0 0 0 1 2 .0 0 0 0 1 5 .0 0 0 0 6 .8 0 0 0 4 .9 0 0 0 5 .9 0 0 0 1 .4 0 0 0 2 .6 0 0 0 2 .7 0 0 0 − 0 .3 6 9 0 0 .4 2 4 5 − 0 .2 1 7 0 0 .0 7 4 4 L iG a O 2 1 4 .0 0 0 0 1 2 .0 0 0 0 1 4 .0 0 0 0 6 .9 0 0 0 4 .7 4 0 0 5 .7 1 0 0 1 .4 0 0 0 2 .8 0 0 0 3 .1 0 0 0 − 0 .4 2 1 4 0 .3 5 2 8 − 0 .3 1 1 2 0 .1 2 4 9 α -H IO 2 2 .9 9 5 0 5 .3 8 6 0 4 .3 5 3 0 1 .7 3 6 0 1 .1 0 6 0 1 .8 3 5 0 1 .1 5 4 0 0 .5 1 4 0 2 .1 9 3 0 − 0 .6 3 0 6 0 .5 7 6 7 − 1 .2 0 1 4 0 .2 0 3 4 С егн ет о в а я со л ь 2 .5 5 0 0 3 .8 1 0 0 3 .7 1 0 0 0 .9 7 9 0 0 .3 2 1 0 1 .3 4 0 0 1 .4 1 0 0 1 .1 6 0 0 1 .4 6 0 0 − 0 .5 6 6 9 2 .6 3 5 4 − 0 .9 0 9 1 2 .3 7 3 9 B a T iO 3 1 6 .6 0 0 0 1 6 .6 0 0 0 1 6 .2 0 0 0 4 .4 8 0 0 4 .2 9 0 0 4 .2 9 0 0 7 .6 6 0 0 7 .7 5 0 0 7 .7 5 0 0 − 0 .0 0 6 8 0 .0 2 2 7 0 .0 2 2 7 0 .0 0 1 9 B a 2 S i 2 T iO 3 1 4 .0 0 0 0 1 4 .0 0 0 0 8 .3 0 0 0 5 .9 0 0 0 3 .3 0 0 0 3 .3 0 0 0 3 .6 0 0 0 2 .4 0 0 0 2 .4 0 0 0 − 0 .5 8 1 0 0 .4 2 5 3 0 .4 2 5 3 0 .8 0 5 5 B a 2 S i 2 T iO 3 1 6 .9 5 0 0 1 6 .9 5 0 0 9 .9 9 0 0 6 .9 4 0 0 3 .1 7 0 0 3 .1 7 0 0 5 .7 7 0 0 4 .3 6 0 0 4 .3 6 0 0 − 1 .1 4 3 0 0 .6 0 3 7 0 .6 0 3 7 1 .9 0 0 2 C d S e 7 .4 2 0 0 7 .4 2 0 0 8 .4 7 7 0 4 .4 2 8 9 1 .3 4 0 0 1 .3 4 0 0 4 .5 3 0 0 3 .8 6 0 0 3 .8 6 0 0 − 3 .8 1 9 5 0 .8 1 1 6 0 .8 1 1 6 4 .1 5 7 0 H g 2 C l 2 1 .8 9 2 5 1 .8 9 2 5 8 .0 3 7 0 1 .2 2 5 0 0 .8 4 5 6 0 .8 4 5 6 1 .7 1 9 2 1 .5 6 3 0 1 .5 6 3 0 − 2 .7 7 4 9 0 .5 8 1 4 0 .5 8 1 4 − 1 1 .3 1 7 2 P Z T -5 1 2 .1 0 0 0 1 2 .1 0 0 0 1 1 .1 0 0 0 2 .2 6 0 0 2 .1 1 0 0 2 .1 1 0 0 7 .5 4 0 0 7 .5 2 0 0 7 .5 2 0 0 0 .0 3 0 0 − 0 .1 1 3 0 − 0 .1 1 3 0 − 0 .0 2 6 1 B a 2 N a N b 5 O 1 5 2 3 .9 0 0 0 2 4 .7 0 0 0 1 3 .5 0 0 0 7 .6 0 0 0 6 .6 0 0 0 6 .5 0 0 0 1 .0 4 0 0 5 .0 0 0 0 5 .2 0 0 0 1 .4 9 6 3 − 0 .1 1 1 5 − 0 .0 7 0 0 − 1 .1 4 0 2 M g B a F 2 1 0 .4 0 0 0 8 .1 0 0 0 1 2 .9 7 0 0 2 .4 7 0 0 5 .5 1 0 0 3 .2 1 0 0 2 .8 7 0 0 6 .3 7 0 0 3 .5 8 0 0 0 .5 4 2 8 − 3 .7 0 6 3 0 .1 4 6 4 1 .7 8 1 7 S b S l 3 .0 9 0 0 3 .2 7 0 0 4 .9 5 0 0 0 .6 0 0 0 0 .9 2 0 0 2 .2 1 0 0 0 .9 6 0 0 0 .9 3 0 0 1 .5 8 0 0 1 .7 4 4 6 2 .3 2 1 0 − 4 .9 2 0 3 3 .8 4 8 3 L i 2 G e O 3 1 3 .4 0 0 0 1 4 .2 0 0 0 1 5 .7 0 0 0 3 .6 0 0 0 5 .6 0 0 0 4 .4 0 0 0 3 .3 0 0 0 3 .1 0 0 0 4 .6 0 0 0 0 .9 6 3 0 0 .0 3 7 6 0 .5 2 8 8 0 .4 9 7 0 N H 4 H 2 P O 4 ,A D P 6 .1 7 0 0 6 .1 7 0 0 3 .2 8 0 0 0 .5 9 2 0 0 .8 5 0 0 0 .8 5 0 0 0 .7 2 0 0 1 .9 4 0 0 1 .9 4 0 0 8 .8 7 0 9 1 .5 5 3 7 1 .5 5 3 7 3 .5 0 7 2 N H 4 H 2 P O 4 ,A D P 6 .8 7 7 0 6 .8 7 7 0 3 .4 0 2 0 0 .6 0 2 0 0 .8 6 2 0 0 .8 6 2 0 0 .4 0 6 0 2 .0 3 8 0 2 .0 3 8 0 1 0 .5 2 9 7 1 .8 8 6 7 1 .8 8 6 7 4 .8 3 3 1 K H 2 P O 4 ,K D P 8 .0 0 0 0 8 .0 0 0 0 8 .0 0 0 0 0 .6 1 0 0 1 .2 8 0 0 1 .2 8 0 0 3 .4 0 0 0 4 .1 0 0 0 4 .1 0 0 0 6 .5 0 3 6 2 .7 4 2 8 2 .7 4 2 8 8 .8 1 8 0 K H 2 P O 4 ,K D P 7 .4 0 0 0 7 .4 0 0 0 6 .8 0 0 0 0 .6 3 0 0 1 .3 5 0 0 1 .3 5 0 0 1 .8 0 0 0 2 .7 0 0 0 2 .7 0 0 0 7 .1 4 0 7 2 .9 7 1 2 2 .9 7 1 2 1 0 .5 5 5 9 P Z T -4 1 3 .9 0 0 0 1 3 .9 0 0 0 1 1 .5 0 0 0 2 .5 6 0 0 2 .5 6 0 0 2 .5 6 0 0 7 .8 0 0 0 7 .4 3 0 0 7 .4 3 0 0 0 .6 3 9 2 0 .0 4 7 5 0 .0 4 7 5 − 0 .0 6 4 5 82 В. А. Моисеенко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 76 – 84 Т а б л 2 . М а т ер и а л ы ге к са го н а л ь н о й ст р у к т у р ы М а т ер и а л С 1 1 С 2 2 С 3 3 G 1 2 G 1 3 G 2 3 C 1 2 C 1 3 C 2 3 K (s ) 1 2 K (s ) 1 2 K (s ) 1 3 K (s ) 1 2 3 Ц Т С -1 9 1 1 .2 0 0 0 1 1 .2 0 0 0 1 0 .6 0 0 0 2 .3 9 0 0 2 .4 9 0 0 2 .4 9 0 0 6 .4 2 0 0 6 .2 2 0 0 6 .2 2 0 0 − 0 .0 0 0 1 − 0 .1 9 6 2 − 0 .1 9 6 2 0 .0 1 5 3 B a T iO 3 1 5 .0 0 0 0 1 5 .0 0 0 0 1 4 .6 0 0 0 4 .2 0 0 0 4 .4 0 0 0 4 .4 0 0 0 6 .6 0 0 0 6 .6 0 0 0 6 .6 0 0 0 − 0 .0 0 0 2 − 0 .2 0 3 1 − 0 .2 0 3 1 0 .0 1 8 0 B e 2 9 .2 3 0 0 2 9 .2 3 0 0 3 3 .6 4 0 0 1 3 .2 8 0 0 1 6 .2 5 0 0 1 6 .2 5 0 0 2 .6 7 0 0 1 .4 0 0 0 1 .4 0 0 0 − 0 .0 0 5 4 − 0 .1 9 9 7 − 0 .1 9 9 7 0 .0 6 6 3 C d 1 2 .1 2 0 0 1 2 .1 2 0 0 4 .4 5 0 0 3 .6 5 5 0 1 .8 0 0 0 1 .8 0 0 0 4 .8 1 0 0 4 .4 2 0 0 4 .4 2 0 0 − 0 .1 4 3 2 − 0 .6 4 2 6 − 0 .6 4 2 6 − 1 .3 8 7 7 Z n 1 6 .3 5 0 0 1 6 .3 5 0 0 5 .3 1 0 0 6 .8 5 5 0 3 .7 8 0 0 3 .7 8 0 0 2 .6 4 0 0 5 .1 7 0 0 5 .1 7 0 0 − 0 .1 5 7 0 − 1 .3 7 2 9 − 1 .3 7 2 9 − 2 .1 6 9 6 P Z T -5 1 2 .1 0 0 0 1 2 .1 0 0 0 1 .1 0 0 0 2 .2 8 0 0 2 .1 1 0 0 2 .1 1 0 0 7 .5 4 0 0 7 .5 2 0 0 7 .5 2 0 0 − 0 .0 0 4 2 1 7 .2 5 2 4 − 1 7 .2 5 2 4 − 2 .7 7 7 7 β -к в а р ц (S iO 2 ) 9 .0 0 0 0 9 .0 0 0 0 9 .1 5 0 0 5 .0 0 0 0 3 .6 5 0 0 3 .6 5 0 0 − 1 .0 0 0 0 1 2 .8 0 0 0 1 2 .8 0 0 0 − 0 .0 1 8 2 − 5 .9 8 0 1 − 5 .9 8 0 1 − 4 .4 4 4 3 P Z T -4 1 3 .9 0 0 0 1 3 .9 0 0 0 1 1 .5 0 0 0 3 .0 5 0 0 2 .5 6 0 0 2 .5 6 0 0 7 .8 0 0 0 7 .4 3 0 0 7 .4 3 0 0 − 0 .0 0 2 7 0 .0 4 2 7 0 .0 4 2 7 0 .0 1 1 6 P Z T -4 1 3 .9 0 0 0 1 3 .9 0 0 0 1 1 .5 0 0 0 3 .0 6 0 0 2 .5 6 0 0 2 .5 6 0 0 7 .7 8 0 0 7 .4 3 0 0 7 .4 3 0 0 − 0 .0 0 2 8 0 .0 4 2 6 0 .0 4 2 6 0 .0 1 2 0 Z n O 2 0 .9 7 1 8 2 0 .9 7 1 8 2 1 .0 9 4 1 4 .4 2 8 9 4 .2 4 4 9 4 .2 4 4 9 1 2 .1 1 4 0 1 0 .5 1 3 0 1 0 .5 1 3 0 − 0 .0 0 0 1 0 .6 9 8 0 0 .6 9 8 0 0 .0 6 0 0 C d S 9 .1 3 0 0 9 .1 3 0 0 9 .6 2 3 0 1 .6 2 5 0 1 .5 6 0 0 1 .5 6 0 0 5 .8 8 0 0 4 .9 7 0 0 4 .9 7 0 0 − 0 .0 0 0 1 1 .2 3 5 1 1 .2 3 5 1 0 .1 0 2 4 C d S 8 .1 6 0 0 8 .1 6 0 0 8 .0 8 0 0 1 .6 0 5 0 1 .4 3 0 0 1 .4 3 0 0 4 .9 5 0 0 4 .7 9 0 0 4 .7 9 0 0 − 0 .0 0 0 9 0 .4 8 3 8 0 .4 8 3 8 0 .1 1 4 4 β -к в а р ц (S iO 2 ) 1 1 .1 2 0 0 1 1 .1 2 0 0 1 0 .6 3 0 0 5 .0 0 0 0 3 .5 9 0 0 3 .5 9 0 0 1 .1 2 0 0 2 .9 0 0 0 2 .9 0 0 0 − 0 .0 1 7 4 0 .2 2 5 7 0 .2 2 5 7 0 .1 5 0 1 β -к в а р ц (S iO 2 ) 1 1 .6 4 0 0 1 1 .6 4 0 0 1 1 .0 7 0 0 5 .0 1 0 0 3 .6 0 0 0 3 .6 0 0 0 1 .6 2 0 0 3 .2 9 0 0 3 .2 9 0 0 − 0 .0 1 6 6 0 .2 4 9 2 0 .2 4 9 2 0 .1 6 7 2 C d S 9 .0 7 0 0 9 .0 7 0 0 9 .3 8 0 0 1 .6 3 0 0 1 .5 0 4 0 1 .5 0 4 0 5 .8 1 0 0 5 .1 0 0 0 5 .1 0 0 0 − 0 .0 0 0 4 1 .0 9 8 0 1 .0 9 8 0 0 .1 8 2 0 C d S e 7 .4 2 0 0 7 .4 2 0 0 8 .4 7 7 0 1 .4 4 5 0 1 .3 4 0 0 1 .3 4 0 0 4 .5 3 0 0 3 .8 6 0 0 3 .8 6 0 0 − 0 .0 0 0 3 1 .4 9 6 7 1 .4 9 6 7 0 .2 3 2 9 C d S e 7 .4 1 0 0 7 .4 1 0 0 8 .3 6 0 0 1 .4 4 5 0 1 .3 1 7 0 1 .3 1 7 0 4 .5 2 0 0 3 .9 3 0 0 3 .9 3 0 0 − 0 .0 0 0 5 1 .4 2 3 4 1 .4 2 3 4 0 .2 7 4 1 α -Z n S 1 2 .2 2 0 0 1 2 .2 2 0 0 1 3 .8 5 0 0 3 .1 6 0 0 2 .8 2 3 0 2 .8 2 3 0 5 .9 0 0 0 4 .6 0 0 0 4 .6 0 0 0 − 0 .0 0 1 0 1 .2 5 1 3 1 .2 5 1 3 0 .2 9 5 1 α -Z n S 1 2 .4 2 0 0 1 2 .4 2 0 0 1 4 .0 0 0 0 3 .2 0 3 0 2 .8 6 4 0 2 .8 6 4 0 6 .0 1 4 0 4 .5 5 4 0 4 .5 5 4 0 − 0 .0 0 1 0 1 .2 8 8 4 1 .2 8 8 4 0 .3 0 1 4 α -Z n S 1 2 .3 4 0 0 1 2 .3 4 0 0 1 3 .9 6 0 0 3 .2 4 5 0 2 .8 8 5 0 2 .8 8 5 0 5 .8 5 0 0 4 .5 5 0 0 4 .5 5 0 0 − 0 .0 0 1 1 1 .2 3 2 2 1 .2 3 2 2 0 .3 0 3 5 P b 5 (G e 4 )( V O 4 ) 2 7 .1 0 0 0 7 .1 0 0 0 8 .4 0 0 0 2 .5 0 0 0 1 .7 0 0 0 1 .7 0 0 0 2 .1 0 0 0 3 .3 0 0 0 3 .3 0 0 0 − 0 .0 1 4 9 0 .6 8 0 9 0 .6 8 0 9 0 .5 8 9 0 M g 5 .8 8 0 0 5 .8 8 0 0 5 .9 6 0 0 1 .9 2 5 0 1 .1 4 0 0 1 .1 4 0 0 2 .0 3 0 0 2 .0 2 0 0 2 .0 2 0 0 − 0 .0 3 0 2 1 .3 8 8 5 1 .3 8 8 5 1 .8 0 5 2 P b T iO 3 1 4 .2 7 0 0 1 4 .2 7 0 0 1 3 .1 0 0 0 5 .5 5 0 0 5 .5 8 0 0 5 .5 8 0 0 3 .1 7 0 0 2 .4 0 0 0 2 .4 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 2 1 7 0 .0 2 1 7 − 0 .0 0 0 2 Э к л о ги т 1 7 .1 5 0 0 1 7 .1 5 0 0 2 0 .8 1 0 0 5 .5 5 0 0 5 .8 5 0 0 5 .8 5 0 0 6 .0 5 0 0 5 .9 0 0 0 5 .9 0 0 0 − 0 .0 0 0 2 0 .3 0 1 9 0 .3 0 1 9 − 0 .0 3 1 6 C o 3 0 .7 0 0 0 3 0 .7 0 0 0 3 5 .8 0 0 0 7 .1 0 0 0 7 .5 5 0 0 7 .5 5 0 0 1 6 .5 0 0 0 1 0 .2 7 0 0 1 0 .2 7 0 0 − 0 .0 0 0 2 1 .4 4 3 9 1 .4 4 3 9 − 0 .1 7 3 1 В. А. Моисеенко 83 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 76 – 84 Т а б л 3 . М а т ер и а л ы к у б и ч еск о й ст р у к т у р ы М а т ер и а л С 1 1 С 2 2 С 3 3 G 1 2 G 1 3 G 2 3 C 1 2 C 1 3 C 2 3 K ( s ) 1 2 K ( s ) 1 2 K ( s ) 1 3 K ( s ) 1 2 3 B a F 2 9 .0 4 0 0 9 .0 4 0 0 9 .0 4 0 0 2 .5 3 0 0 2 .5 3 0 0 2 .5 3 0 0 4 .0 6 0 0 4 .0 6 0 0 4 .0 6 0 0 − 0 .0 4 5 8 − 0 .0 4 5 8 − 0 .0 4 5 8 0 .0 0 2 2 Y 3 G a 5 O 1 2 2 9 .0 3 0 0 2 9 .0 3 0 0 2 9 .0 3 0 0 9 .5 4 7 0 9 .5 4 7 0 9 .5 4 7 0 1 1 .7 3 0 0 1 1 .7 3 0 0 1 1 .7 3 0 0 − 0 .2 6 3 8 − 0 .2 6 3 8 − 0 .2 6 3 8 0 .0 7 5 5 Y 3 A l 5 O 1 2 3 3 .3 2 0 0 3 3 .3 2 0 0 3 3 .3 2 0 0 1 1 .5 0 0 0 1 1 .5 0 0 0 1 1 .5 0 0 0 1 1 .0 7 0 0 1 1 .0 7 0 0 1 1 .0 7 0 0 − 0 .0 8 6 9 − 0 .0 8 6 9 − 0 .0 8 6 9 0 .0 0 8 5 M g O 2 9 .5 9 0 0 2 9 .5 9 0 0 2 9 .5 9 0 0 1 5 .3 9 0 0 1 5 .3 9 0 0 1 5 .3 9 0 0 9 .5 4 0 0 9 .5 4 0 0 9 .5 4 0 0 − 0 .9 2 2 0 − 0 .9 2 2 0 − 0 .9 2 2 0 1 .0 5 2 4 S r T iO 3 3 1 .7 6 0 0 3 1 .7 6 0 0 3 1 .7 6 0 0 1 2 .3 5 0 0 1 2 .3 5 0 0 1 2 .3 5 0 0 1 0 .2 5 0 0 1 0 .2 5 0 0 1 0 .2 5 0 0 − 0 .3 4 1 7 − 0 .3 4 1 7 − 0 .3 4 1 7 0 .1 3 5 7 S i 1 6 .5 0 0 0 1 6 .5 0 0 0 1 6 .5 0 0 0 7 .9 3 0 0 7 .9 3 0 0 7 .9 3 0 0 6 .4 0 0 0 6 .4 0 0 0 6 .4 0 0 0 − 1 .0 0 8 1 − 1 .0 0 8 1 − 1 .0 0 8 1 1 .1 9 0 4 G e 1 3 .0 0 0 0 1 3 .0 0 0 0 1 3 .0 0 0 0 6 .7 0 0 0 6 .7 0 0 0 6 .7 0 0 0 4 .9 0 0 0 4 .9 0 0 0 4 .9 0 0 0 − 1 .0 8 9 2 − 1 .0 8 9 2 − 1 .0 8 9 2 1 .4 2 0 0 G a P 1 1 .4 0 0 0 1 1 .4 0 0 0 1 1 .4 0 0 0 7 .0 4 3 0 7 .0 4 3 0 7 .0 4 3 0 3 .4 7 5 0 3 .4 7 5 0 3 .4 7 5 0 − 1 .1 4 1 4 − 1 .1 4 1 4 − 1 .1 4 1 4 1 .7 0 4 5 G a A s 1 2 .2 6 0 0 1 2 .2 6 0 0 1 2 .2 6 0 0 6 .0 0 0 0 6 .0 0 0 0 6 .0 0 0 0 5 .7 1 0 0 5 .7 1 0 0 5 .7 1 0 0 − 1 .3 3 1 4 − 1 .3 3 1 4 − 1 .3 3 1 4 1 .9 9 7 4 L iF 1 1 .2 0 0 0 1 1 .2 0 0 0 1 1 .2 0 0 0 6 .3 2 0 0 6 .3 2 0 0 6 .3 2 0 0 4 .5 6 0 0 4 .5 6 0 0 4 .5 6 0 0 − 1 .3 3 5 9 − 1 .3 3 5 9 − 1 .3 3 5 9 2 .1 4 3 8 Z n S e 8 .7 2 0 0 8 .7 2 0 0 8 .7 2 0 0 3 .9 2 0 0 3 .9 2 0 0 3 .9 2 0 0 5 .2 4 0 0 5 .2 4 0 0 5 .2 4 0 0 − 1 .7 8 0 6 − 1 .7 8 0 6 − 1 .7 8 0 6 3 .2 8 0 0 β -Z n S 1 0 .4 6 0 0 1 0 .4 6 0 0 1 0 .4 6 0 0 4 .6 1 3 0 4 .6 1 3 0 4 .6 1 3 0 6 .5 3 0 0 6 .5 3 0 0 6 .5 3 0 0 − 1 .8 6 4 8 − 1 .8 6 4 8 − 1 .8 6 4 8 3 .5 4 5 0 Y 3 F e 5 O 1 2 2 6 .9 0 0 0 2 6 .9 0 0 0 2 6 .9 0 0 0 7 .6 4 0 0 7 .6 4 0 0 7 .6 4 0 0 1 0 .8 0 0 0 1 0 .8 0 0 0 1 0 .8 0 0 0 0 .1 5 0 4 0 .1 5 0 4 0 .1 5 0 4 0 .0 2 4 0 B i 4 (S iO 4 ) 3 1 3 .5 7 0 0 1 3 .5 7 0 0 1 3 .5 7 0 0 5 .1 8 0 0 5 .1 8 0 0 5 .1 8 0 0 2 .2 7 0 0 2 .2 7 0 0 2 .2 7 0 0 0 .2 1 1 8 0 .2 1 1 8 0 .2 1 1 8 0 .0 5 6 5 N a F 9 .7 1 0 0 9 .7 1 0 0 9 .7 1 0 0 2 .8 0 0 0 2 .8 0 0 0 2 .8 0 0 0 2 .4 3 0 0 2 .4 3 0 0 2 .4 3 0 0 0 .7 5 0 2 0 .7 5 0 2 0 .7 5 0 2 0 .6 4 4 0 N a C l 4 .9 1 1 0 4 .9 1 1 0 4 .9 1 1 0 1 .2 8 4 0 1 .2 8 4 0 1 .2 8 4 0 1 .2 8 5 0 1 .2 8 5 0 1 .2 8 5 0 1 .0 3 9 6 1 .0 3 9 6 1 .0 3 9 6 1 .2 1 1 8 C s I 2 .4 5 7 0 2 .4 5 7 0 2 .4 5 7 0 0 .6 2 9 0 0 .6 2 9 0 0 .6 2 9 0 0 .6 4 7 0 0 .6 4 7 0 0 .6 4 7 0 1 .1 0 8 7 1 .1 0 8 7 1 .1 0 8 7 1 .3 7 2 9 T lC l 4 .4 9 1 6 4 .4 9 1 6 4 .4 9 1 6 0 .9 3 7 0 0 .9 3 7 0 0 .9 3 7 0 1 .8 0 2 0 1 .8 0 2 0 1 .8 0 2 0 1 .2 1 9 7 1 .2 1 9 7 1 .2 1 9 7 1 .5 2 3 9 N a I 3 .0 4 0 0 3 .0 4 0 0 3 .0 4 0 0 0 .7 2 0 0 0 .7 2 0 0 0 .7 2 0 0 0 .9 0 0 0 0 .9 0 0 0 0 .9 0 0 0 1 .2 6 0 1 1 .2 6 0 1 1 .2 6 0 1 1 .7 2 8 8 T lB r 3 .7 8 0 0 3 .7 8 0 0 3 .7 8 0 0 0 .7 5 6 0 0 .7 5 6 0 0 .7 5 6 0 1 .4 8 0 0 1 .4 8 0 0 1 .4 8 0 0 1 .4 5 0 4 1 .4 5 0 4 1 .4 5 0 4 2 .1 5 4 5 C s B r 3 .0 7 2 0 3 .0 7 2 0 3 .0 7 2 0 0 .7 2 5 0 0 .7 2 5 0 0 .7 2 5 0 0 .8 0 0 0 0 .8 0 0 0 0 .8 0 0 0 1 .4 2 9 1 1 .4 2 9 1 1 .4 2 9 1 2 .2 5 8 4 B i 1 2 G e O 2 0 1 2 .0 0 0 0 1 2 .0 0 0 0 1 2 .0 0 0 0 2 .5 0 0 0 2 .5 0 0 0 2 .5 0 0 0 3 .9 0 0 0 3 .9 0 0 0 3 .9 0 0 0 1 .6 4 3 0 1 .6 4 3 0 1 .6 4 3 0 2 .8 5 7 4 A g B r 5 .6 3 0 0 5 .6 3 0 0 5 .6 3 0 0 0 .7 2 0 0 0 .7 2 0 0 0 .7 2 0 0 3 .3 0 0 0 3 .3 0 0 0 3 .3 0 0 0 1 .9 6 0 7 1 .9 6 0 7 1 .9 6 0 7 3 .5 1 4 6 C s C l 3 .6 4 0 0 3 .6 4 0 0 3 .6 4 0 0 0 .8 0 0 0 0 .8 0 0 0 0 .8 0 0 0 0 .9 2 0 0 0 .9 2 0 0 0 .9 2 0 0 1 .7 5 3 8 1 .7 5 3 8 1 .7 5 3 8 3 .3 8 1 5 C a F 2 1 6 .4 2 0 0 1 6 .4 2 0 0 1 6 .4 2 0 0 3 .3 7 0 0 3 .3 7 0 0 3 .3 7 0 0 4 .3 9 8 0 4 .3 9 8 0 4 .3 9 8 0 1 .9 8 7 2 1 .9 8 7 2 1 .9 8 7 2 4 .2 7 6 8 T lB r − T lI, K R S -6 4 .2 0 0 0 4 .2 0 0 0 4 .2 0 0 0 0 .7 6 0 0 0 .7 6 0 0 0 .7 6 0 0 1 .3 5 0 0 1 .3 5 0 0 1 .3 5 0 0 2 .3 1 2 5 2 .3 1 2 5 2 .3 1 2 5 5 .5 8 5 4 T lB r − T lI, K R S -5 3 .6 0 0 0 3 .6 0 0 0 3 .6 0 0 0 0 .5 5 5 0 0 .5 5 5 0 0 .5 5 5 0 1 .5 0 0 0 1 .5 0 0 0 1 .5 0 0 0 2 .5 2 7 0 2 .5 2 7 0 2 .5 2 7 0 6 .3 2 4 0 B i 1 2 S iO 2 0 1 2 .8 0 0 0 1 2 .8 0 0 0 1 2 .8 0 0 0 2 .5 0 0 0 2 .5 0 0 0 2 .5 0 0 0 2 .8 0 0 0 2 .8 0 0 0 2 .8 0 0 0 2 .4 3 7 5 2 .4 3 7 5 2 .4 3 7 5 6 .5 3 1 3 A g C l 6 .0 1 0 0 6 .0 1 0 0 6 .0 1 0 0 0 .6 2 5 0 0 .6 2 5 0 0 .6 2 5 0 3 .6 2 0 0 3 .6 2 0 0 3 .6 2 0 0 2 .9 2 2 6 2 .9 2 2 6 2 .9 2 2 6 7 .6 8 0 8 84 В. А. Моисеенко

Ähnliche Einträge