Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации

На основании интегральных уравнений линейной магнитной гидродинамики рассмотрены модельные краевые задачи обтекания и рассеяния магнитогидродинамического поля на неоднородностях типа сфера и эллипсоид....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автори:	Александрова, А.А., Александров, Ю.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України 2004
Назва видання:	Вопросы атомной науки и техники
Теми:	Интегральные уравнения в теории ускорителей
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/80423
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации / А.А. Александрова, Ю.Н. Александров // Вопросы атомной науки и техники. — 2004. — № 4. — С.18-23. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-80423
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-804232015-04-18T03:01:48Z Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации Александрова, А.А. Александров, Ю.Н. Интегральные уравнения в теории ускорителей На основании интегральных уравнений линейной магнитной гидродинамики рассмотрены модельные краевые задачи обтекания и рассеяния магнитогидродинамического поля на неоднородностях типа сфера и эллипсоид. На підставі інтегральних рівнянь лінійної магнітної гідродинаміки розглянуті модельні крайові задачі обтікання та розсіяння магнітогідродинамічного поля на неоднородностях типу сфера та еліпсоїд. In the basis of integral equations of linear magnetic hydrodynamics the model boundary-value problems of a flow and dispersion of magnetohydrodynamic field on nonuniformity of a type sphere and ellipsoid are considered. 2004 Article Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации / А.А. Александрова, Ю.Н. Александров // Вопросы атомной науки и техники. — 2004. — № 4. — С.18-23. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-6016 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/80423 533.51 ru Вопросы атомной науки и техники Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Интегральные уравнения в теории ускорителей Интегральные уравнения в теории ускорителей
spellingShingle	Интегральные уравнения в теории ускорителей Интегральные уравнения в теории ускорителей Александрова, А.А. Александров, Ю.Н. Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации Вопросы атомной науки и техники
description	На основании интегральных уравнений линейной магнитной гидродинамики рассмотрены модельные краевые задачи обтекания и рассеяния магнитогидродинамического поля на неоднородностях типа сфера и эллипсоид.
format	Article
author	Александрова, А.А. Александров, Ю.Н.
author_facet	Александрова, А.А. Александров, Ю.Н.
author_sort	Александрова, А.А.
title	Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации
title_short	Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации
title_full	Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации
title_fullStr	Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации
title_full_unstemmed	Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации
title_sort	плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации
publisher	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
publishDate	2004
topic_facet	Интегральные уравнения в теории ускорителей
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/80423
citation_txt	Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации / А.А. Александрова, Ю.Н. Александров // Вопросы атомной науки и техники. — 2004. — № 4. — С.18-23. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Вопросы атомной науки и техники
work_keys_str_mv	AT aleksandrovaaa plazmennyeneodnorodnostivmagnitogidrodinamičeskojinterpretacii AT aleksandrovûn plazmennyeneodnorodnostivmagnitogidrodinamičeskojinterpretacii
first_indexed	2025-07-06T04:26:12Z
last_indexed	2025-07-06T04:26:12Z
_version_	1836870243676323840
fulltext	УДК 533.51 ПЛАЗМЕННЫЕ НЕОДНОРОДНОСТИ В МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ А.А. Александрова1, Ю.Н. Александров2 1Харьковский военный университет, 2Харьковский национальный университет радиоэлектроники 61043, Харьков, Украина; E-mail: kture.kharkov.ua На основании интегральных уравнений линейной магнитной гидродинамики рассмотрены модельные краевые задачи обтекания и рассеяния магнитогидродинамического поля на неоднородностях типа сфера и эллипсоид. _______________________________________________________________ ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2004. № 4. 18 } Объектом исследования данной работы являются магнитогидродинамические (МГД) неоднородности, представляющие собой хорошую теоретическую модель для описания дифракционных явлений реальных, возникающих на практике, структур. Можно выделить два принципиально различных направления исследований явлений рассеивания МГД волн на неоднородностях плотности плазмы и магнитного поля и обтекания этих неоднородностей потоками плазмы с точки зрения их возможных приложений. Это, с одной стороны, магнитогидродинамические явления, протекающие в ионосферах Земли и планет, атмосфере Солнца, в межпланетной и межзвездной плазме, а также явления, напрямую связанные с изучением магнитных полей колапсирующих масс, природы сверхзвезд и т.д. Именно здесь становится очевидным, что при соприкосновении с неравновесными процессами, приводящими к аномалиям в распределении ионизации, как следствие появляются МГД неоднородности. С другой стороны, это явления, связанные с различными лабораторными плазменными установками, в частности, магнитные ловушки для УТС, технологические плазменные устройства и т.д. Как известно, магнитогидродинамическое описание плазменных процессов представляет особый интерес для явлений, при которых электрическое поле может достигать больших значений. Это может быть как в результате поляризационных явлений, так и в результате индукционных процессов, вызываемых быстропеременными магнитными полями, взаимодействие которых с плазмой более удобно описывать в терминах магнитной гидродинамики, где напряженность магнитного поля считается величиной первичной, а электрический ток и напряженность электрического поля – вторичными. В настоящее время хорошо известна эффективность метода интегральных уравнений макроскопической электродинамики, разработанного Н.А.Хижняком для большого класса задач электродинамики. Практика показала особую целесообразность их применения при исследовании краевых задач на неоднородностях правильной формы, что дало несомненный вклад в развитие современной теории искусственных диэлектриков [1]. В данной работе делается попытка продемонстрировать логическое продолжение применения интегральных уравнений для изучения краевых задач на аналогичных неоднородностях, но уже в магнитогидродинамическом описании. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим общий случай краевой МГД задачи, когда малые возмущения в плазменной среде, интерпретируемой как магнитогидродинамическая, описываются вектором состояния. Вектор состояния − представляет собой совокупность отклонения скорости , магнитного поля и плотности { )t,(),t,(),t,()t,( rrbrur ρ=Ψ → )t,( ru )t,( rb )t,( rρ от их невозмущенных значений iii ,, ρBU , задающих МГД состояние среды. Предположим, что некоторая неоднородность (геометрически однородная область), которая задается параметрами 22222 BU SA V,V,,, ρ , где последние два представляют собой альфвеновскую и звуковую скорости, имеет объем , в общем случае зависящий от времени. Пусть рассматриваемая неоднородность помещена в неограниченную МГД среду, характеризуемую соответственно параметрами )t(V 11111 BU SA V,V,,, ρ , до возмущения ее падающим полем, которое задается соответствующим вектором состояния { })t,(),t,(),t,()t,( rrbrur 0000 ρ=Ψ → . Тогда интегро- дифференциальное уравнение относительно вектора можно представить в виде свертки функционалов и : )t,( r → Ψ ^ G W (1) ( ) ( ) ,t,'tt,' t,)t,( ^ rWrrG rr 0 ∗−−+ +Ψ=Ψ →→ ( ) т.е. интегральной операции вида Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (4), с. 18-23. ( ) 'd)'t,'('tt,''dt ^^ rrWrrGWG −−=∗ ∫ ∫ ∞ ∞− ∞ . Здесь в терминалах теории дифракции − падающее (невозмущенное) поле; )t,( r0 → Ψ ( )−t,rW разрывная функция, записанная в классе обобщенных функций, описывающая единым образом МГД среду внутри и вне неоднородности с учетом граничных и начальных условий, при этом следует подчеркнуть, что все характеристики неоднородности содержатся именно в этой функции; )( −−− 'tt,' ^ rrG функция Грина МГД уравнений свободного пространства, заданного параметрами 11111 BU SA V,V,,, ρ . В [2] получено и полностью описано фундаментальное решение (или, в другой терминологии, функция Грина) уравнений линейной магнитной гидродинамики в общем случае в движущейся среде в диадном представлении. Это представление естественным образом следует из известного факта, что всякий тензор может быть записан в виде суммы трех диад. А функция Грина для данного класса задач и является тензорной функцией положения двух точек: точки наблюдения и точки источника . Из общего вида фундаментального решения можно получить частные случаи МГД функции Грина более удобные для практических приложений. Рассмотрим применение некоторых из них для исследования конкретных краевых задач. ( 0U1 ≠ ) ) ) ( )t,r ( 't,'r ОБТЕКАНИЕ МГД ПОТОКОМ СФЕРЫ В стационарной магнитной гидродинамике при отсутствии невозмущенного движения среды функция Грина принимает достаточно простой, но характерный для магнитной гидродинамики вид ( 0U1 = ( ) ' ,G ^ ^ rr − Θ = ϕθ , (2) то есть имеет особенность вида 1rr −− ' , а зависимость от полярных углов ϕθ , радиус-вектора 'rrR −= задается матрицей [3], записанной в базисе ,B/,,, 1112321 Bseeee == связанном с выделенным направлением магнитного поля, что подчеркивает анизотропию среды. В этом случае интегральное уравнение (1), выписанное относительно скорости , принимает следующий вид )( ru ( ) ,, B B rotrot,V graddivVV)()( u ^ A u ^ SS ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Π−− −Π−+= 2 1 2 11 2 1 2 2 2 10 sss ruru (3) где − МГД потенциал скорости. ( ) 'd)',(G)'( V ^ u ^ rrrru∫=Π С помощью этого уравнения проанализируем задачу обтекания МГД потоком однородного шара радиуса . Здесь параметры потока − , а соответствующие параметры шара − . a 111B SA V,V, 222B SA V,V, В соответствии с хорошо отработанным алгоритмом исследования интегральных соотношений (3), собственно интегральным уравнением это соотношение является только для внутренних точек неоднородности (в данном случае шара) и поэтому наибольшую сложность в математическом отношении представляет именно внутренняя задача, на которой коротко и остановимся и при этом получим важный для магнитной гидродинамики результат. Основной интегральной характеристикой внутреннего поля является МГД потенциал скорости, имеющий в данном случае вид: ( ) ( ) ( ) 'd R ,' V ^ u rru ∫ Θ =Π → ϕθ . (4) Предположив для начала, что внутреннее поле постоянно и применив хорошо известный метод Лагранжа [4], получим )( ru ( )ruIu =Π → , где ( )rI имеет вид: ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − −− −++Ω− −−+ − 2 22 222 2 22 2 1 2 33 4 3 2 3 4 3 8 3 4 3 2 3 4 3 1 zyxxzyz xzzyxxy yzxyyzx Va A , здесь 12 1 2 1 −=Ω S A V V . Т.е. внутренний потенциал скорости является квадратичной функцией декартовых координат, что аналогично ньютоновскому потенциалу для электродинамических задач [2]. Отсюда сразу же следует, что если невозмущенное поле однородно, т.е. 00 uru ≡)( , то и внутреннее поле МГД шара также однородно и его можно искать в виде постоянного вектора, компоненты которого легко найти, расписав векторные дифференциальные операции в (3). Для краткости эти выражения опустим. Таким образом, можно сделать очень важный для магнитной гидродинамики вывод, что так же, как и в электродинамике и в акустике, в магнитной гидродинамике внутреннее поле сферы, помещенной в однородное внешнее поле, однородно. Но присутствующая во внешней среде магнитная анизотропия, благодаря выделенному направлению невозмущенного магнитного поля 111 Bs B/= , делает его существенно анизотропным, т.е. сильно зависящим от направления по отношению к магнитному полю не только внутренней среды, но и внешней. 19 ОБТЕКАНИЕ МГД ПОТОКОМ ЭЛЛИПСОИДА В качестве другой модели МГД неоднородности рассмотрим трехосный эллипсоид с неоднородными внутренними параметрами, который охватывает широкий класс практически важных неоднородностей, хорошо аппроксимирующих самые разнообразные реальные области. При этом эллиптическая неоднородность объема ( )V 12 2 2 2 2 2 ≤++ c z b y a x задается границей, на которой претерпевает скачок звуковая и альфвеновская скорости (второе и третье слагаемые соотношения (3)). Аналогично предыдущему случаю для нахождения внутреннего поля изучим, используя тот же метод Лагранжа [4], МГД потенциал скорости эллипсоида. Предполагая, что постоянно, придем к тому, что потенциал имеет вид )( ru0 ( ) 321 ur ,,j,iij = → =Π δ , для краткости выпишем один из элементов матрицы ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . cb y a x c za , bc z a x b ya , ac z b y a xa ]},McMcMbM cb[aMbMbaa MMbaa{ V V S A 22 2 2 2 2 2 33 22 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 11 001 2 000 4 010 2 000 22 33010 2 00 2 3322 001010 22 112 1 2 1 22 11 11 11 12 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−−= −+−⋅ ⋅+−−+ ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= πδ . Так же как и для большинства статических и квазистатических задач математической физики, объектом которых является эллиптическое тело, внутренний МГД потенциал выражается через табулированные факторы размагничивания [5]. Кроме того, каждый элемент матрицы является квадратичной функцией декартовых координат . А так как на потенциал в (3) действует еще оператор дифференцирования второго порядка, то в случае, когда невозмущенное поле однородно 001010100000 M,M,M,M ( z,y,xPij 2=δ ) 00 uru ≡)( , внутреннее поле эллипсоида также однородно. Так же как и для сферы характерной чертой внутреннего МГД потенциала скорости является его анизотропия. Она описывается матрицей в базисе, связанном с направлением внешнего магнитного поля и зависит от направления внутреннего магнитного поля. Исходное же уравнение при этом сводится к системе трех линейных алгебраических уравнений относительно: Несмотря на громоздкий характер зависимости внутреннего поля эллипсоида от свойств среды и его параметров, «однородные свойства» магнитогидродинамического эллипсоида также легко просматриваются. Но при этом, если поле падающей волны имеет составляющие по всем трем осям, то внутреннее поле, оставаясь однородным, вообще говоря, не будет параллельно падающему. Анизотропия среды окружающего пространства значительно усложняет внутреннее поле в эллипсоиде. Теперь анизотропия внутренней среды зависит не только от внутреннего магнитного поля, но и от ориентации эллипсоида и магнитного поля в окружающей среде. .u,u,u zyx 0u Чтобы получить качественное представление о поле внутри эллипсоида в зависимости от ориентации его по отношению к внешнему магнитному полю, рассмотрим несколько численных примеров. Uy/Uoy 0,6 0,75 0,250,02 0,1 0,05 b/a 0,2 0,1 0,25 0,02 0,5 0,7 Рис.1. Зависимость Uy / Uoy от отношения полуосей эллипсоида b/a при указанных на рисунке значениях c/a (выше оси абсцисс V2 S1 - V2 S2 – больше, ниже – меньше нуля) На графиках рис.1 представлены зависимости относительной y-ой компоненты внутреннего поля от величины отношения полуосей эллипсоида b/a при неизменной третьей (c/a-const). При стремлении b/a к единице величина отношения плавно уменьшается по абсолютной величине, т.е. при вырождении эллипсоида в диск поле стабилизируется, оставаясь практически неизменным. На графиках рис.2 представлены зависимости u от b/a yy uu 0/ yy uu 0/ yy u0/ Рис.2. Зависимость Uy / Uoy от V2 S1 - V2 S2 при значениях b/a (b=c), указанных на рисунке Uy/Uoy 2 0 2 0,1 0,7 0,2 -0,2 0,7 0,1 V2 S1 - V2 S2 4 20 при b=с и различных скоростях звуковых и альфвеновских волн. Из них следует, что не при всех соотношениях параметров решения имеют столь плавный характер. При некоторых значениях отношение неограниченно возрастает, испытывая разрыв. yy uu 0/ Из рис.3 следует, что при определенных условиях внешний поток скоростей возбуждает неограниченно растущие скорости потока соответствующих компонент внутреннего поля. Можно интерпретировать это как условие существования неустойчивых эллипсоидальных МГД конфигураций. Теперь перейдем к внешнему полю, которое с помощью квадратур (интегральные слагаемые справа в (3)) выражается через найденное уже внутреннее поле. Отсюда следует, что полное поле скоростей вне неоднородности можно представить как сумму невозмущенного поля и поля , возникшего в результате возмущения, создаваемого эллипсоидом )(f ru )( ru0 ( )rud ( )rururu 0 df )()( += , причем для нахождения возмущенного поля ( )rud необходимо найти внешний МГД потенциал скорости, который удается свести к виду ( ) ( ) ( ) ,c/b/a/I ,dILK I K, ^ u 222222 2 2ur γβα ωϕθ ++= −Θ=Π ∫ Ω → ,c/zb/ya/xK 222 γβα ++= −=== ++= ϕθγθβϕθα sinsin,cos,cossin ,c/zb/ya/xL 222222 координаты точки на сфере единичного радиуса. Метод Лагранжа, успешно применяемый в аналогичных задачах электродинамики благодаря теореме взаимности Айвори [4], в магнитной гидродинамике не срабатывает, так как область интегрирования ( )Ω уже существенным образом зависит от положения точки наблюдения в пространстве. Поэтому ограничимся анализом поля в дальней зоне. Учитывая, что в дальней зоне { } ~~ ,,c,b,amaxr ϕϕθθ ≈≈>> , где − сферические координаты точки наблюдения, находим, что внешний потенциал принимает вид ~~ ,,r ϕθ ( ) , r q r , abc ^ ~~^ u 0u 3 4ur = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Θ =Π → ϕθ π где ^^^ Aabcq Θ= π 3 4 − матрица обтекания эллипсоида. В итоге поле в дальней зоне можно представить соотношением Uy/Uoy ( ) ),(,P r )( ^ f ru11ru 03 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += ϕθ где некоторый оператор, который по аналогии с электродинамикой задачей можно назвать оператором (амплитудой) обтекания; он записывается в виде матрицы и является достаточно сложным физическим понятием. Его можно истолковать как оператор, описывающий возмущение, вносимое неоднородностью, которое убывает в дальней зоне, как , и существенно зависит от точки наблюдения, что отражено на рис.4,5. ( )−ϕθ ,P ^ 31 r/ Рассмотрим МГД потенциал различных предельных фигур, которые можно получить из эллипсоида вращения a=с. Пусть эллипсоид вращения имеет вид тонкого вытянутого цилиндра a=с<<b, тогда МГД потенциал в направлении магнитного поля будет иметь вид: ( )r ^ Π 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 5 4,5 4 b/a 5 4,5 Рис.3. Зависимость Uy/Uoy от b/a при Uy/Uoy V2 S1 - V2 S2,, указанных на рисунке 1,4 1,0 2 3 0,6 0,2 θ, град 90 180 Рис.4. Зависимость Uy/Uoy от угла θ в дальней зоне полуплоскости ϕ=0 при r, указанном на рисунке 21 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− 100 0120 001 u 2 1 2 1 2 1 22 S A A V V V arπ , а в направлении, перпендикулярном магнитному полю, соответственно: . cosbsin b V V sincosb V r S A A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 4 20 8 2 0 2 1210 8 20 4 2 u 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ϕϕ ϕϕ Предположим, что рассеивающей неоднородностью является сжатый эллипсоид вращения (диск) a=с>>b, тогда МГД потенциал в направлении магнитного поля равен ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 100 0120 001 2u 2 1 2 1 2 1 22 S A A V V V )/abb(r ππ , а в направлении, перпендикулярном магнитному полю, .cos,sin , ab V V ab V r S A A ϕχϕχ χπ π χπ 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2121 16 00 0 2 10 00 16 u +=+= ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− Анализ МГД потенциала скорости в ближней зоне можно продемонстрировать, если вернуться к обтекаемой неоднородности, имеющей геометрию шара. В этом случае МГД потенциал в ближней зоне примет вид: ( ) ,lr ,,j,iij 321 2ur = → =Π где ( )ϕθ ,ll ijij = , для наглядности на рис.6 представлена зависимость одного из элементов, а именно, от угла 22l θ . РАССЕЯНИЕ НА МГД ШАРЕ 0,5 1,0 1,5 -2,5 -5 2,5 5 (VS2 / VS1)2 Uy/Uoy 0 а 0,5 1,0 1,5 -2,5 -5 2,5 5 (VS2 / VS1)2 Uy/Uoy 0 б Рис. 5. Зависимость UY /UOY в дальней зоне от величины (VS2 / VS1)2 при θ=0°(а) и 180° (б); r=2( - - - ), r= 3(____ ) 90° 60° 330° 0° 30° 150° 180° 210° 240° 300° 270° 120° Рис. 6 ПРОИЗВОЛЬНОГО РАДИУСА Рассмотрим еще одну модель неоднородности, вписывающуюся в рамки магнитогидродинамического описания. Пусть в идеальной однородной жидкости, характеризуемой плотностью 1ρ и адиабатической сжимаемостью β , находится шар радиуса a, в котором имеется 22 ( ) ( )( ) ( ) , )J(Dak Jku u J M J, J M J,J 21 23 1 1 2 1 2 10 1 1 12 121 ρρ ρ −+ +−Γ− = + + − жидкость с плотностью 2ρ и той же сжимаемостью β . Внутри этого шара имеется постоянное магнитное поле . Величины B B,,i βρ предполагаются таковыми, что неоднородность находится в равновесии с окружающей средой. ( ) ( )( ) ( ) , )J(Dak Jku u J M J, J M J,J 21 23 1 1 2 1 2 10 1 1 12 121 ρρ ρ −+ +−Γ− = + + + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),ajak'hkakhajD ,u JJJ ' JJ M J,J Γ−ΓΓ= = 1 2 11 2 0 При отсутствии магнитного натяжения и давления во внешней среде функция Грина в соотношениях (1) принимает свой частный вид, характерный именно для акустических задач: где ( )( )−akhJ 1 2 сферическая функция Ханкеля второго рода. ( ) [ ] , ' V/'iexp V V ' S ^ S ^ S ^ rr rr 4 1rrG 1 2 2 1 2 1 − −− ⋅ ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ×∇×∇−=− ω ε ω ε π При этом отклонение магнитного поля от его равновесного значения или, другими словами, возмущение магнитного поля будет иметь вид: ( ) .Yrju i )( M jl " l l,M,J M Jl Brb ×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω×ΩΓ Γ = →→→ ∑ω где ε̂ − единичный аффинор, а временная зависимость предполагается как ( )tiexp ω . С помощью квадратур по известному внутреннему полю находится рассеянное поле. В данной постановке первичным является поле скоростей, относительно которого интегральные соотношения (1) приобретают вид ( ) [ ] ( ) ,k ,'d)'( ' 'ikexp rotrotk)()( V βρω ρ ρ 11 1 1 2 2 10 rru rr rr 1 ruru = − −− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −× ×−+= ∫ (5) Так же как и в электродинамике [1], интерес представляет анализ возможных резонансов, которые могут возникнуть при следующем условии ( ) ( ) ( ) ( ) . akJ akJ aJ aJ /l /l /l /l 121 121 21 21 1 2 + − + − = Γ Γ ρ ρ (7) Из (7) видно, что резонансные частоты зависят от размера сферы, от гидродинамических характеристик сред и от порядкового номера, причем в резонансном случае поле в волновой зоне определяется не всей суммой (6), а лишь отдельными слагаемыми, что значительно облегчает анализ рассеянного поля. а поле давлений и возмущенное магнитное поле являются вторичными, причем, магнитное поле и его возмущение локализованы в объеме (V). )(p r )( rb Продолжая цепочку классических работ по рассеянию на шаре, начатую G.Mie и P.Debye, систематизированную Дж.А.Стрэттоном и Р.Ньютоном и в дальнейшем обобщенную на случай анизотропной среды Н.А.Хижняком (все ссылки имеются в монографии [1]) и используя основную идеологию этих работ, внутреннее поле скоростей, согласно интегральному уравнению (5), примет вид: ЛИТЕРАТУРА 1. Н.А.Хижняк. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: «Наукова Думка». 1986, с.278. ( ) ,Yrju)( M l,Jl J J JM J Jl M l,J ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ΩΓ= →→∞ = −= + −= ∑ ∑ ∑ 1 1 1 ru (6) 2. А.А.Александрова, Ю.Н.Александров. Фундаментальное решение уравнений линейной магнитной гидродинамики в движущейся среде // ЖТФ. 2001, т.71, вып.7, с.1-6. 3. А.А.Александрова, Н.А.Хижняк. Краевые задачи магнитной гидродинамики. Харьков: «Тест- Радио» ЛТД. 1993, с.230. где сферическая функция Бесселя порядка l; векторные сферические функции, образующие полную ортогональную систему функций на поверхности единичной сферы; − вектор на этой поверхности; ( )−Γrjl − → M lJY , ( )Ω r/r=Ω → βρω 2=Γ . 4. Л.Н.Сретинский. Теория ньютоновского потенциала. М.-Л.: «ОГИЗ». 1949, с.317. 5. Р.З.Муратов. Потенциалы эллипсоида. М.: «Атомиздат». 1976, с.144. 6. А.А.Александрова, Н.А.Хижняк. Рассеяние на МГД шаре произвольного радиуса, находящемся в гидродинамической среде // Физика плазмы. 1991, т.17, вып.11, с.1303-1309. Согласно [6] амплитудные множители разложения внутреннего поля имеют вид: PLASMA NONUNIFORMITY OF MAGNETORHYDRODYNAMIC INTERPRETATION A.A. Aleksandrova, Yu.N. Aleksandrov In the basis of integral equations of linear magnetic hydrodynamics the model boundary-value problems of a flow and dispersion of magnetohydrodynamic field on nonuniformity of a type sphere and ellipsoid are considered. ПЛАЗМОВІ НЕОДНОРІДНОСТІ В МАГНІТОГІДРОДИНАМІЧНІЙ ІНТЕРПРЕТАЦІЇ 23 А.О.Олександрова, Ю.М. Олександров На підставі інтегральних рівнянь лінійної магнітної гідродинаміки розглянуті модельні крайові задачі обтікання та розсіяння магнітогідродинамічного поля на неоднородностях типу сфера та еліпсоїд. 24 1Харьковский военный университет, ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИТЕРАТУРА

Плазменные неоднородности в магнитогидродинамической интерпретации

Репозитарії

Схожі ресурси