Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням
Запропонована узагальнена математична модель динамічного міжгалузевого балансу з урахуванням контролю надзабрудненням і приведений алгоритм її дослідження. Бібліогр.: 4 назв....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/812 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням / Бойчук М.В.,Шмуригіна Н.М. // Математические машины и системы. – 2007. – № 1. – С. 51 – 61. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-812 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-8122008-07-02T12:00:44Z Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням Бойчук, М.В. Шмуригіна, Н.М. Моделювання і управління великими системами Запропонована узагальнена математична модель динамічного міжгалузевого балансу з урахуванням контролю надзабрудненням і приведений алгоритм її дослідження. Бібліогр.: 4 назв. Предложена обобщенная математическая модель динамического межотраслевого баланса с учетом контроля надзагрязнением и приведен алгоритм ее исследования. Библиогр.: 4 назв. Generalized mathematical model of dynamic intersector balance taking into account the control above contamination and theresulted algorithm of its researching is offered. Refs.: 4 titles. 2007 Article Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням / Бойчук М.В.,Шмуригіна Н.М. // Математические машины и системы. – 2007. – № 1. – С. 51 – 61. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/812 519.863:338.3 uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами |
| spellingShingle |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами Бойчук, М.В. Шмуригіна, Н.М. Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням |
| description |
Запропонована узагальнена математична модель динамічного міжгалузевого балансу з урахуванням контролю надзабрудненням і приведений алгоритм її дослідження. Бібліогр.: 4 назв. |
| format |
Article |
| author |
Бойчук, М.В. Шмуригіна, Н.М. |
| author_facet |
Бойчук, М.В. Шмуригіна, Н.М. |
| author_sort |
Бойчук, М.В. |
| title |
Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням |
| title_short |
Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням |
| title_full |
Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням |
| title_fullStr |
Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням |
| title_full_unstemmed |
Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням |
| title_sort |
динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Моделювання і управління великими системами |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/812 |
| citation_txt |
Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням / Бойчук М.В.,Шмуригіна Н.М. // Математические машины и системы. – 2007. – № 1. – С. 51 – 61. |
| work_keys_str_mv |
AT bojčukmv dinamíčnauzagalʹnenamodelʹmížgaluzevogobalansuzurahuvannâmkontrolûnadzabrudnennâm AT šmurigínanm dinamíčnauzagalʹnenamodelʹmížgaluzevogobalansuzurahuvannâmkontrolûnadzabrudnennâm |
| first_indexed |
2025-07-02T04:26:54Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:26:54Z |
| _version_ |
1836507898219331584 |
| fulltext |
ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1
51
УДК 519.863:338.3
М.В. БОЙЧУК, Н.М. ШМУРИГІНА
ДИНАМІЧНА УЗАГАЛЬНЕНА МОДЕЛЬ МІЖГАЛУЗЕВОГО БАЛАНСУ З
УРАХУВАННЯМ КОНТРОЛЮ НАД ЗАБРУДНЕННЯМ
Abstract: Generalized mathematical model of dynamic intersector balance taking into account the control above
contamination and the resulted algorithm of its researching is offered.
Key words: intersector balance, highway, management, point of switching managements.
Анотація: Запропонована узагальнена математична модель динамічного міжгалузевого балансу з
урахуванням контролю над забрудненням і приведений алгоритм її дослідження
Ключові слова: міжгалузевий баланс, магістраль, керування, точка перемикання керувань.
Аннотация: Предложена обобщенная математическая модель динамического межотраслевого баланса с
учетом контроля над загрязнением и приведен алгоритм ее исследования
Ключевые слова: межотраслевой баланс, магистраль, управление, точка переключения управлений.
1. Вступ. Постановка проблеми
Забруднення навколишнього середовища є побічним продуктом кожної нормальної економічної
діяльності – в будь-якій із своїх численних форм воно пов'язане з певними процесами виробництва і
споживання.
Боротьба із забрудненням навколишнього середовища вимагає постійно зростаючих витрат,
приводить до створення нових виробництв по переробці і знищенню шкідливих відходів. В
результаті розширюється сама сфера суспільного виробництва: вона включає не тільки створення
матеріальних благ, але й різні види діяльності, пов'язані із зменшенням забруднення
навколишнього середовища і відновлення природних ресурсів.
Однією із основних проблем є прогнозування подальшого розвитку екологічної ситуації,
метою якого служить пошук оптимального плану розвитку економіки. Основним засобом
прогнозування у цьому випадку є динамічні моделі еколого-економічної взаємодії. Моделі цього
класу зберігають традиційну структуру економіко-математичних моделей, а також містять додаткові
змінні і зв'язки, що характеризують екологічну підсистему.
У даній роботі проводиться дослідження однієї з економічних задач – оптимізація динамічної
узагальненої моделі міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням. Процес
описується моделлю економічної динаміки, в основу якої покладений міжгалузевий баланс, а
потужності галузей описуються виробничими функціями. В динамічній моделі міжгалузевого
балансу припускається миттєвість перетворення виробничого накопичення (капітальних вкладень) у
приріст виробництва продукції.
Автори досліджували динаміку узагальненої моделі міжгалузевого балансу, визначили
можливі сценарії її розвитку і зростання, особисто запропонували алгоритм обчислення моменту
перемикання керувань.
Отже, за методами системного аналізу дослідимо процес і визначимо можливі й оптимальні
траєкторії зростання узагальненої динамічної моделі міжгалузевого балансу з метою її
використовування в задачах прогнозування, планування та управління.
ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 52
2. Аналіз основних досліджень і публікацій, в яких започатковане розв’язання поставленої
проблеми
Перша міжгалузева модель, яка охоплює взаємозв'язки економіки і навколишнього середовища,
була запропонована В. Леонтьєвим і Д. Фордом. Вона охоплює дві групи галузей (виробництв):
галузі матеріального виробництва і галузі, які знищують шкідливі відходи.
Запропонована В. Леонтьєвим на початку 50-х років динамічна міжгалузева модель [1] стала
класичним прикладом використовування систем диференціальних рівнянь у дослідженні проблем
економічного зростання. З часу своєї появи модель В. Леонтьєва знайшла широкий відгук, і вже
накопичений значний досвід практичного використовування моделі і її модифікацій на
національному і регіональному рівнях. Зокрема, в [2] проведені дослідження і числове
моделювання статичної моделі міжгалузевого балансу. Це дало можливість отримати такі
результати:
– запропонувати механізм для визначення магістральних траєкторій і відповідних їм
керувань;
– досліджувати граничні траєкторії і керування.
В [3] приведено побудову узагальненої статичної моделі міжгалузевого балансу з
урахуванням контролю над забрудненням.
Серед сучасних досліджень в області математичного моделювання еколого-економічних
систем слід зазначити роботи М.В. Михалевича, А.А. Петрова, І.Г. Поспєлова, О.В. Рюміної, І.М.
Ляшенка, В.С. Григорківа та ін., в яких обґрунтовується необхідність оцінювання еколого-
економічної взаємодії на основі моделей, що в сукупності описують систему екологічних і
економічних процесів.
3. Мета і методика проведення досліджень
Основною метою даної роботи є подальша розробка методологічних питань аналізу розвитку
економіки, дослідницьких прийомів узагальненої динамічної моделі міжгалузевого балансу з
урахуванням контролю над забрудненням.
Теоретичну і методологічну основу дослідження складають фундаментальні положення і
принципи економічної теорії, методи оптимізації, економіко-математичне моделювання, теорії
невід’ємних матриць і диференціальних рівнянь.
Динамічна узагальнена модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над
забрудненням має вигляд:
)1()3(
13
)2(
12
)1(
11
)1( YXAXAXAX +++= ,
)2()3(
23
)2(
22
)1(
21
)2( YXAXAXAX −++= ;
)3()3(
33
)2(
32
)1(
31
)3( YXAXAXAX −++= ;
k
n
j
jkjk CIqY +=∑
=1
)1( ,
)3(
3
)2(
2
)1(
1 XBXBXBI &&& ++= ;
kkkk KIK µ−=& , 0)0( kk KK = , },...,1{ nk ∈ ;
ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1
53
NL
n
k
k ≤∑
=1
, ),,(0 )1(
kkkk LKtFX ≤≤ ;
0,, )3()2()1( ≥YYY , 0≥kI , 0≥kK ,
min
kk CC ≥ , },...,1{ nk ∈ , (1)
де −× )1(,)1( nX вектор валового випуску продукції; −× )1(,)1( nY вектор кінцевої продукції;
−× )1(,)2( nX вектор створеного рукотворного капіталу; −× )1(,)2( nY заданий запас наявного
капіталу; −× )1(,)3( nX вектор знищених забруднювачів; −× )1(,)3( nY задані ліміти на викиди
забруднювачів в навколишнє середовище; −131211 ,, AAA невід’ємні матриці матеріальних витрат;
−232221 ,, AAA невід’ємні матриці використання рукотворного капіталу; −333231 ,, AAA невід’ємні
матриці випуску забруднювачів; −I інвестиції; −C невиробниче споживання; −K основні виробничі
фонди; −L трудові ресурси; −µ норми амортизації капіталів; −× )1(,)1( nX& вектор абсолютних
приростів випуску продукції; −× )1(,)2( nX& вектор абсолютних приростів створеного рукотворного
капіталу; −× )1(,)3( nX& вектор абсолютних приростів знищених забруднювачів; −321 ,, BBB
невід’ємні матриці коефіцієнтів капіталоємності приростів відповідних виробництв.
Задача полягає в тому, щоб знайти такий процес, який би задовольняв умови (1) і був
оптимальним у змісті функціоналу
M
t dtCtgeR
∈π
∞
δ− →=π ∫ max),()(
0
, (2)
де −M множина процесів, які допускають виконання умов (1); −δ норма дисконтування.
Функції kF є виробничими функціями кожної галузі з властивостями [4]. На функцію
корисності g накладають такі вимоги: двічі неперервно-диференційована по C і неперервна по
0≥t ; монотонно зростаюча по C ; угнута по C ; ∞=
∂
∂
→ C
g
C 0
lim , 0lim =
∂
∂
∞→ C
g
C
.
Матриця структури капіталовкладень −Q невід’ємна, причому 0>kjq при всіх sk > ,
},...,1{ nj ∈ . Галузі з номерами sk ≤ такі, що для кожного sk ≤ існує хоча б одне j , при якому
0>kjq , називаються фондоутворюючими. Для кожної галузі j знайдеться фондоутворююча галузь
k така, що 0>kjq , причому 1
1
=∑
=
n
k
kjq для всіх },...,1{ nj ∈ .
У задачі (1)-(2) в ролі стану виступає вектор капіталу, а решта змінних
−CLIYXXX ,,,,,, )1()3()2()1( компоненти вектора керування.
Оскільки економіка розвивається в умовах стійкої екологічної рівноваги, то constY =)2(
,
constY =)3(
.
ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 54
З системи (1) виразимо
)2(X і
)3(X через
)1(X і продиференціюємо ці вирази:
}){()( )2()3()1(
3121
1
3222
)2( YUYXUAAUAAEX −−+−−= −
;
−+−−+−= −− )1(
3121
1
32223231
1
33
)3( )]()({[)( XUAAUAAEAAAEX
})(])([ )2(1
322232
)3(1
322232 YUAAEAYEUUAAEA −− −−−+−−− ;
)1(
3121
1
3222
)2( )()( XUAAUAAEX && +−−= −
;
)1(
3121
1
32223231
1
33
)3( )]()([)( XUAAUAAEAAAEX && +−−+−= −−
.
Підставимо останні рівності в перше і п'яте рівняння системи, отримаємо
)1(
1
)3(
1
)2(
1
)1()1( )( k
n
j
jkj
n
j
jkjkj
n
j
jkjk YYsYbzXwX +−+−= ∑∑∑
===
, },...,1{ nk ∈ ,
)1(XDI &= ,
де матриці
1
3323 )( −−= AEAU ,
1
322212 )( −−−= UAAEAZ ,
1
3313 )( −−= AEAR ,
1
322232 )( −−−= UAAERAB , 313121 ))((1 RAUAABZD +++= , 111 DAW += , RUBZS ++= )( ,
)()(2 3121
1
3222 UAAUAAED +−−= −
, )2()(2 3231
1
33321 DAAAEBDBBD +−++= −
, QDM = .
Відповідно до достатніх умов оптимальності [2, с. 382–385], необхідно оптимізувати дві
функції:
max,
),(
),(][
),(
),,,(
1
→
∂
∂+++−
∂
∂= −
=
∑ t
Kt
CtgeIK
K
Kt
ICKtR t
kkk
n
k k
ϕµϕ δ
),(minlim
0
Kt
Kt
ϕ
≥∞→
. (3)
Невідому функцію ϕ шукатимемо у вигляді
∑
=
=
n
k
kk KtKt
1
)(),( ψϕ .
Тоді (3) набуває вигляду
max),(][
11
→++−= −
==
∑∑ CtgeIKR t
k
n
k
k
n
k
kkkk
δψψµψ& ;
0)(minlim
0
=
≥∞→ kk
Kt
Kt
k
ψ , },...,1{ nk ∈∀ .
Враховуючи міжгалузеві зв'язки моделі (1), за допомогою методу множників Лагранжа
замінимо задачу про максимум R на максимум функції
=R
~
k
n
k
k
n
k
kkkk IK ∑∑
==
+−
11
][ ψψµψ& ++ δ− ),( Ctge t +
−∑
=
n
k
kLN
1
γ
ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1
55
∑ ∑∑∑∑
= ====
→
−−+++−+
n
k
M
n
j
kjkjj
n
j
kj
n
j
jkjkj
n
j
jkjkk CIqYsYbzXwX
1 1
)3(
11
)2(
1
)1()1( max)(λ (4)
на множині M всіх LIKCX ,,,,)1( моделі (1). Тут ),0( ≥γ t ),0( ≥λ tk },...,1{ nk∈ - множники
Лагранжа. Введемо позначення:
∑
=
δ− λ−=
n
k
kk
t CCtgeCtG
1
),(),( , ∑
=
λ−λ=
n
j
jkjkk wh
1
, ∑
=
−=
n
j
jjkkk q
1
λψω ;
kkkkP ψµψ +−= & , kkkkkk LXhKPLXKtR γ−+−= )1()1( ),,,( .
Тоді
++= ∑∑
==
n
k
kkk
n
k
ILXKtRR
1
)1(
1
),,,(
~ ω }){(),( )3()2(
11
jkjj
n
j
kjkj
n
k
k YsYbzNCtG ++λ+γ+ ∑∑
==
.
Задача (4) набуває такого вигляду в нових позначеннях:
0,0
),,,(0
)1(
)1(
max),,,(
≥≥
≤≤
→
kk
kk
LK
LKtFX
k LXKtR (5)
0max
0
=
≥ kk
I
I
k
ω tk,∀ . (6)
Пошук оптимального режиму економічного розвитку зводиться до максимізації функцій
),,,( )1( LXKtRk і ),( CtG і підбору таких множників )(),(),( ttt kk γλψ , щоб цей процес M∈π
виявився допустимим.
Множники γλψ ,, kk мають зміст дисконтованих до початкового моменту внутрішніх цін.
Зміст поточних цін мають величини
t
kk ett δψψ )()( = ,
t
kk ett δλ=λ )()( ,
tett δγ=γ )()( .
Режим розвитку економіки, визначений (5)–(6), назвемо оптимальним при даних цінах. Він
забезпечує максимум всіх видів прибутку в кожний момент часу. Ціни Π∈= ),,( γλψζ назвемо
допустимими.
Згідно з (5), споживання )0( ≥tC забезпечує максимум комерційного прибутку ),( CtG . З
урахуванням властивостей функції ),( Ctg необхідною умовою існування цього максимуму є
невід’ємність вектора )(tλ при кожному 0≥t . Якщо корисність лінійна ∑
=
θ=
n
k
kkCg
1
, то внутрішні
поточні ціни не нижче за зовнішні: },...,1{, nkkk ∈θ≥λ . Якщо
min
kk CC > , то поточна ціна даного
продукту дорівнює граничній корисності
k
k C
Ctg
∂
∂=λ ),(
. Якщо
k
k C
Ctg
∂
∂>λ ),(
, то
min
kk CC = . В
ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 56
частинному випадку, якщо ∑
=
θ=
n
k
kkCg
1
, то значення
min
kk CC > можливе тільки при такому lk = ,
що
1max =
λ
θ
=
λ
θ
k
k
kl
l . (7)
Галузь l є єдиною.
Згідно з (5), оптимальний продукт галузі kX , капітал kK і робоча сила kL повинні
забезпечити максимум прибутку kR . А це можливо при виконанні умови
=
<
>
=
.0,
,0,0
,0),,,(
k
k
kkkk
k
hякщовизначеноне
hякщо
hякщоLKtF
X (8)
Позначимо
kkkkkkkk
LKtFX
k LKPLKtFhRR
kkkk
γ−−==
≤≤
),,(max
~
),,(0
. (9)
Враховуючи лінійну однорідність виробничих функцій kF , можемо записати
kkkk LktrR ),(~~
= ,
де −= kkk LKk фондоозброєність, −γ−−= kkkkkkk kPktfhktr ),(),(~ виробничий прибуток
галузі з одиниці праці. Оскільки 0>kL для всіх k і t , отримаємо необхідні і достатні умови
максимуму kR
~
за kK і kL :
),(~max)ˆ,(~
kkkkk ktrktr = (10)
для всіх k і t . Для існування такого kk̂ необхідно, щоб 0>kP , 0>γ для всіх k і t . Якщо 0>kh і
0),( >kk ktf , 0>kP , 0>γ , то існує 0ˆ >kk .
Вектор ),...,( 1 nhhH = виражається через вектор ),...,( 1 nλλ=λ матричною формулою
λ−= )( TWEH . (11)
Із (8), згідно з (10), випливає повна загруженість галузей на оптимальному режимі:
),,( kkkk LKtFX = , },...,1{ nk ∈ , 0≥t .
На основі властивості обмеженості на сумарну робочу силу матимемо
)()(
1
tNtL
n
k
k =∑
=
, 0≥t . (12)
ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1
57
Використовуючи (9) і (10), отримаємо
γ=
∂
∂
k
kkk
k
L
LKtF
h
),,(
, k
k
kkk
k P
K
LKtF
h =
∂
∂ ),,(
(13)
для всіх k і 0≥t . Це означає, що чистий граничний прибуток з одиниці праці однаковий для всіх
галузей і повинен співпадати з ціною праці, а з одиниці фондів – з ціною їх зношення. Якщо
kk
kk
kk KF
LF
kt
∂∂
∂∂=),(η , γkk PP =~
, тоді 1),(
~ =kkk ktP η , тобто оптимальна фондоозброєність
залежить тільки від відношення ціни зношення фондів до ціни праці .
Зокрема, для виробничої функції Кобба- Дугласа kkk
kk
t
kk LKeaF
βασ= )()( маємо
k
k
k
kk kkt
α
β
=η ),(
1)
~
( −
β
α
= k
k
k
k Pk . (14)
Позначивши γ= kk hh
~
, γλ=λ kk
~
, з (11) отримаємо
HWE T ~
)(
~ 1−−=λ ,
1
),,(~
−
∂
∂
=
k
kkk
k
L
LKtF
h , },...,1{ nk ∈ . (15)
Максимум (6) за kI визначений при умові 0
1
≤−= ∑
=
n
j
jjkkk q λψω . Тоді
=−>
<−
=
∑
∑
=
=
.0,0
,0,0
1
1
n
j
jjkk
n
j
jjkk
k
qякщо
qякщо
I
λψ
λψ
Назвемо −k ту галузь розвиваючою в момент часу t , якщо 0)( >tI k . Якщо всі галузі
розвиваються, то
jjk
n
j
k q λψ ∑
=
=
1
, },...,1{ nk∈ .
Тоді ціни зношення приймають вигляд
)
~
(
~
1
jjk
n
j
jkk vqP −=∑
=
λµ , γ
λ
= j
jv
&
, },...,1{ nk ∈ , },...,1{ sj∈ . (16)
Перші s рівнянь в (15) при заданих jλ , },...,1{ sj∈ утворюють замкнену нелінійну систему з
s невідомими jv . Позначимо через )
~
,...,
~
(~
1 sjv λλ розв’язок цієї системи при заданих sλλ
~
,...,
~
1 .
Тоді для цін фондоутворюючих продуктів jλ , },...,1{ sj∈ одержимо задачу Коші:
ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 58
λ=λ
∈γλγλνγ=λ
,)0(
},,...,1{),,...,(~
0
1j
jj
sj sj&
яку при заданій ціні праці )0( ≥tγ можна розв’язати.
Якщо відомі ціни фондоутворюючих продуктів )(tkλ , sk ≤ , ціна праці )(tγ , 0≥t , то з (16)
знаходимо ціни зношення kP
~
, з (14) – магістральні фондоозброєності )0( ≥tkkmag , з (15) – ціни
нефондоутворюючих продуктів kλ , sk > . Таким чином, ціни всіх продуктів і фондів )(),( tt kk ψλ ,
0≥t , а також магістральні фондоозброєності )0( ≥tkkmag залежать від ціни праці )(tγ та
початкових значень цін фондоутворюючих продуктів )0(kλ , },...,1{ sk∈ .
У випадку сталих і не залежних явно від часу початкових матриць системи (1), виробничих
функцій і функції корисності магістральні значення траєкторії і керування визначаються за таким
алгоритмом.
1. Задамо
t
kk e δ−λ=λ 0 , },...,1{ nk∈ ,
te δ−γ=γ 0 , де −γλ 00,k сталі, які необхідно
визначити. Тоді
0
0~
γ
λ
=λ k
k , jk
n
j
jkk qP λδµ ~
)(
~
1
+=∑
=
, },...,1{ nk∈ і система (15) при },...,1{ sk∈ є
нелінійною системою рівнянь з s невідомими kλ
~
, },...,1{ sk∈ . Позначимо її розв’язок
*~
λ . Тоді
*~
kP ,
*
kk відповідні цьому розв’язку значення з урахуванням рівності (14). Значення змінних
jλ
~
, },...,1{ nsj +∈ обчислюємо за формулою (15).
2. Нехай k
n
k
kCCg ∑
=
=
1
)( θ . Із (5) знаходимо kmagC . Якщо значення kC не визначені умовою
(5), то маємо надлишкову галузь lk = . Знайдемо
** ~max~
k
k
k
l
l
λ
θ
=
λ
θ
і задамо
*~
l
l
λ
θ
=γ .
3. З лінійної системи 1+n рівняння
kjjj
n
j
kj
n
j
jkj
n
j
jkjkjjjj
n
j
kj CLkqYsYbzLktfWE +µ+−+−=− ∑∑∑∑
==== 11
)3(
1
)2(
1
)(),()( , },...,1{ nk ∈ ,
NL
n
k
k =∑
=1
знаходимо 1+n невідому kL , },...,1{ nk∈ ; lC при
min
kk CC = , lk ≠ , sl > .
4. Якщо задовольняється нерівність
min
ll CC ≥ , то знаходимо сталий оптимальний план
kkmagkmag LkK = , kmagkkmag KI µ= , LkfX magmag )()1( = ,
ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1
59
}){()( )2()3()1(
3121
1
3222
)2( YUYXUAAUAAEX magmag −−+−−= −
,
}{)( )3()2(
32
)1(
31
1
33
)3( YXAXAAEX magmagmag −+−= −
; magIDX 1)1( −=& ,
)1()2( 2 XDX && ⋅= ,
)1(
3231
1
33
)3( )2()( XDAAAEX && ⋅+−= −
,
( ) ( )
( )
( )
, 0,
0, 0, 1,2,3,
i i
i
mag i
X якщо X
X
якщо X i
>=
≤ =
& &
&
&
збалансований за всіма умовами постановки задачі.
Ліві граничні траєкторії знаходяться з відповідних задач Коші (1). Розв’язавши їх, отримаємо
t
k
k
k
k
k
k
ke
I
K
I
tK µ
µµ
−−+= )()( 0 , },...,1{ nk∈ .
Перетин лівої граничної траєкторії з магістраллю дає точку перемикання τ . Її можна визначити
з такої задачі математичного програмування:
τmin , *0
*
1
)(
0 kmag
kkmagk I
e
eKK
k
k
≤
−
−
≤
−
−
τµ
τµµ
, 0≥τ ,
де
>
≤
= ,,
,,
0
0
0
*
kmagkkmag
kmag
k
kmagkkmag
kmag KKI
K
K
KKI
I
>+
≤−
=
.),1(
,),1(
0
0*
kmagkkkmag
kmagkkkmag
kmag KKK
KKK
K
ε
ε
Оскільки кожна компонента лівої крайової траєкторії )(tKk при прямуванні t до безмежності
наближається знизу при kmagk KK ≤0 або зверху kmagk KK >0 до відповідної компоненти
магістралі kmagK і їх не перетинають, тому введені досить малі додатні величини kε , щоб ліва
крайова траєкторія перетинала )1( kkmagK ε− при kmagk KK ≤0 або )1( kkmagK ε+ при
kmagk KK >0 .
Після визначення точки перемикання τ можна знайти компоненту лівого керування за
формулою:
τµ
τµµ
k
k
e
eKK
I kkmagk
kl −
−
−
−
=
1
)( 0
*
.
Наведемо результати дослідження динамічної узагальненої моделі міжгалузевого балансу з
урахуванням контролю над забрудненням при таких даних: 3=n , 07,01 =µ , 04,02 =µ , 05,03 =µ ;
08,01=σ , 09,02 =σ , 07,03 =σ ; 05,0=δ ; 1=s ; 1,01 =θ , 2,02 =θ , 3,03 =θ ; 30=N ;
2/1
1
2/1
1111 )()(10),( LKLKF = ,
3/2
2
3/1
2222 )()(12),( LKLKF = ,
4/3
3
4/1
3333 )()(15),( LKLKF = ;
ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 60
11
0,003 0,05 0,099
0,07 0,003 0,09
0,03 0,07 0,0056
A
=
, 12
0,03 0,02 0,01
0,09 0,025 0,03
0,06 0,059 0,06
A
=
, 13
0,04 0,02 0,05
0,02 0,085 0,073
0,18 0,045 0,025
A
=
,
21
0,0001 0,0004 0,00043
0,0002 0,0006 0,0006
0,0003 0,0007 0,00076
A
=
, 22
0,001 0,1 0,06
0,08 0,05 0,45
0,07 0,087 0,004
A
=
, 23
0,1 0,6 0,13
0,2 0,3 0,06
0,46 0,5 0,8
A
=
,
31
0,0008 0,00048 0,0009
0,00057 0,0008 0,0007
0,00073 0,00027 0,00064
A
=
, 32
0,002 0,034 0,012
0,08 0,045 0,023
0,048 0,075 0,003
A
=
,
33
0,13 0,02 0,05
0,67 0,5 0,03
0,08 0,9 0,5
A
=
,
1
0,037 0,4 0,05
0,02 0,1 0,03
0,06 0,01 0,4
B
=
, 2
0,031 0,3 0,03
0,09 0,5 0,02
0,05 0,01 0,5
B
=
, 3
0,028 0,51 0,42
0,09 0,7 0,011
0,048 0,01 0,7
B
=
;
=
000
000
111
Q ; (2)
0,005
0,004
0,003
Y
=
, (3)
0,001
0,002
0,006
Y
=
;
4010 =K , 5520 =K , 4530 =K ; 10min
1 =C , 12min
2 =C , 15min
3 =C .
В результаті розрахунків отримали магістраль:
– ціни зношення 1 0,118P =% , 2 0,102P =% , 3 0,094P =% ;
– ціни продуктів 1 0,788λ =% , 2 0,78λ =% , 3 0,979λ =% ;
– надлишкова галузь 3=l ;
– початкове значення ціни праці 0 0,307γ = ;
– початкові значення цін продуктів 10 0,242λ = , 20 0,239λ = , 30 0,3λ = ;
– трудові ресурси 1 5,365L = , 2 12,361L = , 3 12,274L = ;
– невиробниче споживання 101=C , 122 =C , 3 25,275C = ;
– капітал 1 45,46K = , 2 59,532K = , 3 43,339K = ;
– валовий випуск (1)
1 156,164X = , (1)
2 249,189X = , (1)
3 252,382X = ;
– створений рукотворний капітал (2)
1 518,04X = , (2)
2 773,446X = , 1098)2(
3 =X ;
– знищені забруднювачі (3)
1 109,352X = , (3)
2 405,717X = , (3)
3 920,798X = ;
– приріст випуску продукції (1)
1 6,381X =& , (1)
2 1,45X =& , 0)1(
3 =X& ;
– приріст рукотворного капіталу (2)
1 5,817X =& , (2)
2 8,684X =& , (2)
3 12,332X =& ;
– приріст знищеного забруднення (3)
1 1,229X =& , (3)
2 4,556X =& , (3)
3 10,343X =& ;
ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1
61
– кінцева продукція (1)
1 17,73Y = , 12)1(
2 =Y , (1)
3 25,275Y = ;
– інвестиції 1 3,182I = , 2 2,381I = , 3 2,167I = ;
– лівий момент перемикання 3,25τ = ;
– ліве керування за інвестиціями 1 3,163lI = , 2 0,865lI = , 3 0,532lI = .
4. Висновки
Економічне обґрунтування для отриманих результатів таке: спочатку на часовому проміжку
(0; 3,25) перша галузь виробництва вкладає 74,282% капіталу на споживання і 25,718% на
накопичення щодо кінцевої продукції, а друга і третя галузі вкладають весь свій капітал на
споживання, накопичення капіталу не відбувається. Починаючи з моменту перемикання 3,25τ =
розвиток усіх галузей іде за магістральним режимом.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика: Пер. с англ. / Автор предисл. и науч. ред. А.Г. Гранберг. – М.: ОАО
издательство «Экономика», 1997. – 479 с.
2. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. – М.: Знание, 1990. – 430 с.
3. Ляшенко І.М. Деякі узагальнення моделі Леонтьєва “Витрати-випуск” // International Conference: Dynamical
system modelling and stability investigation. – Kyiv. – 2003. – May 27–30. – С. 200.
4. Колемаев В.А. Математическая экономика. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 240 с.
|