О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова
Рассмотрен спектральный подход к исследованию процесса одномерного симметричного случайного блуждания по целым числам с поглощающим экраном в минус один. Используя теорию обобщенных спектральных разложений самосопряженных операторов, вычислены выражения для элементов произвольной натуральной степени...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Управляющие системы и машины |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82727 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова / А.А. Вишенский, С.В. Сирик // Управляющие системы и машины. — 2009. — № 3. — С. 15-20. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-82727 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-827272015-06-07T03:01:59Z О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова Вишенский, А.А. Сирик, С.В. Новые методы в информатике Рассмотрен спектральный подход к исследованию процесса одномерного симметричного случайного блуждания по целым числам с поглощающим экраном в минус один. Используя теорию обобщенных спектральных разложений самосопряженных операторов, вычислены выражения для элементов произвольной натуральной степени матрицы переходных вероятностей и решена задача классификации состояний цепи. A spectral approach to one-dimensional symmetrical random wandering around whole numbers –1,0,1,2,… with obscuring screen in –1 is considered. Using the generalized spectral decomposition theory of self-adjoint operators the expressions for transition probabilities matrix elements in natural powers in an explicit form are obtained and the chain’s states classification problem is solved. Розглянуто спектральний підхід до вивчення процесу одновимірного симетричного випадкового блукання цілими числами з поглинаючим екраном у мінус один. Завдяки використанню теорії узагальнених спектральних розкладів самоспряжених операторів, обчислено вирази для елементів довільного натурального ступеня матриці перехідних вірогідностей та розв’язано задачу класифікації стану ланцюга. 2009 Article О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова / А.А. Вишенский, С.В. Сирик // Управляющие системы и машины. — 2009. — № 3. — С. 15-20. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0130-5395 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82727 519.217.2 ru Управляющие системы и машины Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Новые методы в информатике Новые методы в информатике |
| spellingShingle |
Новые методы в информатике Новые методы в информатике Вишенский, А.А. Сирик, С.В. О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова Управляющие системы и машины |
| description |
Рассмотрен спектральный подход к исследованию процесса одномерного симметричного случайного блуждания по целым числам с поглощающим экраном в минус один. Используя теорию обобщенных спектральных разложений самосопряженных операторов, вычислены выражения для элементов произвольной натуральной степени матрицы переходных вероятностей и решена задача классификации состояний цепи. |
| format |
Article |
| author |
Вишенский, А.А. Сирик, С.В. |
| author_facet |
Вишенский, А.А. Сирик, С.В. |
| author_sort |
Вишенский, А.А. |
| title |
О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова |
| title_short |
О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова |
| title_full |
О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова |
| title_fullStr |
О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова |
| title_full_unstemmed |
О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова |
| title_sort |
о спектральном подходе к исследованию цепей маркова |
| publisher |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Новые методы в информатике |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82727 |
| citation_txt |
О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова / А.А. Вишенский, С.В. Сирик // Управляющие системы и машины. — 2009. — № 3. — С. 15-20. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Управляющие системы и машины |
| work_keys_str_mv |
AT višenskijaa ospektralʹnompodhodekissledovaniûcepejmarkova AT siriksv ospektralʹnompodhodekissledovaniûcepejmarkova |
| first_indexed |
2025-07-06T09:20:46Z |
| last_indexed |
2025-07-06T09:20:46Z |
| _version_ |
1836888774805553152 |
| fulltext |
УСиМ, 2009, № 3 15
УДК 519.217.2
А.А. Вишенский, С.В. Сирик
О спектральном подходе к исследованию цепей Маркова
Рассмотрен спектральный подход к исследованию процесса одномерного симметричного случайного блуждания по целым
числам с поглощающим экраном в минус один. Используя теорию обобщенных спектральных разложений самосопряженных
операторов, вычислены выражения для элементов произвольной натуральной степени матрицы переходных вероятностей и
решена задача классификации состояний цепи.
A spectral approach to one-dimensional symmetrical random wandering around whole numbers –1,0,1,2,… with obscuring screen in –1 is
considered. Using the generalized spectral decomposition theory of self-adjoint operators the expressions for transition probabilities
matrix elements in natural powers in an explicit form are obtained and the chain’s states classification problem is solved.
Розглянуто спектральний підхід до вивчення процесу одновимірного симетричного випадкового блукання цілими числами з
поглинаючим екраном у мінус один. Завдяки використанню теорії узагальнених спектральних розкладів самоспряжених опе-
раторів, обчислено вирази для елементів довільного натурального ступеня матриці перехідних вірогідностей та розв’язано за-
дачу класифікації стану ланцюга.
Введение. Цепи Маркова – один из наиболее
важных и часто применяемых разделов теории
случайных процессов, особенно богат на при-
ложения. Теория цепей Маркова используется
в таких областях, как теория массового обслу-
живания (теория очередей), теория распозна-
вания образов, математические методы эконо-
мики, финансовая математика, генетика, тео-
рия оптимального планирования, статистиче-
ская физика и теория твердого тела. При при-
менении цепи Маркова особое внимание уде-
ляется вопросу классификации состояний цепи
(актуально для теории массового обслужива-
ния). Под классификацией обычно подразуме-
вается указание определенных свойств состоя-
ний и группирование самих состояний по не-
которым признакам. Однако решение данного
вопроса требует знания элементов произволь-
ной натуральной степени матрицы переходных
вероятностей (по крайней мере, умения опре-
делять, какие из элементов равны нулю), вы-
числение которых в случае счетных цепей –
довольно серьезная проблема. Хотя в некото-
рых случаях, опираясь на определенные свой-
ства рассматриваемой цепи и применяя специ-
альные методы, это возможно.
Особый интерес частных случаев цепей Мар-
кова представляют случайные блуждания, ши-
роко применяемые в различных прикладных об-
ластях. В данной статье рассматривается про-
цесс одномерного симметричного случайного
блуждания по целым числам ,...2,1,0,1− с ве-
роятностью перехода в одно из соседних со-
стояний, равное 0,5, и поглощающим экраном
в состоянии 1− , что является частным случаем
однородной счетной цепи Маркова. В силу то-
го, что матрица переходных вероятностей в дан-
ном случае (после некоторой модификации) –
симметрична, есть возможность рассматривать
ее как действие самосопряженного оператора в
некотором гильбертовом пространстве. В свою
очередь, применяя обобщенное спектральное
разложение [1] указанного оператора и выпи-
сав в явном виде выражения для элементов
произвольной натуральной степени матрицы
переходных вероятностей, появляется возмож-
ность полностью решить задачу классифика-
ции состояний.
Вычисление переходных вероятностей
Рассмотрим одномерное симметричное слу-
чайное блуждание по целым числам {–1, 0, 1, 2,
3, …} с поглощающим экраном в точке {–1}.
Очевидно, это частный случай однородной счет-
ной цепи Маркова с матрицей переходных ве-
роятностей ijP (при ,...}2,1,0,1{, −∈ji ) следую-
щего вида:
1 0 0 0 0 .
0, 5 0 0, 5 0 0 .
0 0, 5 0 0, 5 0 .
0 0 0, 5 0 0, 5 .
. . . . . .
P
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Заметим, что при попадании в состояние –1
эволюция системы фактически заканчивается –
16 УСиМ, 2009, № 3
система навсегда остается в этом состоянии.
Поэтому нет необходимости рассматривать тра-
ектории, ведущие в состояние –1, так как эти
траектории не могут выйти из него, и задача
сводится к цепи с состояниями ...},3,2,1,0{ и
матрицей переходных вероятностей P~ , полу-
ченной из P вычеркиванием первого столбца
и строки, т.е.
0 0, 5 0 0 0 .
0, 5 0 0, 5 0 0 .
0 0, 5 0 0, 5 0 .
0 0 0, 5 0 0, 5 .
. . . . . .
P
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟≡ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
В матрице }{ ijPP = отсчет индексов (и со-
стояний в цепи) ведется от –1, а в матрице
}~{~
ijPP = от нуля. Видно, что n
ij
n
ij PP ~= при
n ≥ 0, i ≥ 0, j ≥ 0.
Переходим к рассмотрению спектральной
теории матрицы P~ . Будем описывать состоя-
ния соответствующей цепи Маркова единич-
ными векторами ∞
=δ= 0)( jijie гильбертова про-
странства ));0([2 ∞l , образующими базис в этом
пространстве:
0,...)0,0,0,1(0 ≡=e , 1,...)0,0,1,0(1 ≡=e ,
2,...)0,1,0,0(2 ≡=e , ... .
Матрица P~ рассматривается как разност-
ный оператор, действующий в ));0([2 ∞l . Мат-
ричные элементы оператора P~ имеют вид
( )1,1,2
1~)~,(~
+− δ+δ=≡= jijijiij jPiePeP .
Найдем спектр оператора P~ . Известно, что
спектр оператора – замкнутое множество, на-
ходящееся внутри круга z P= , где P –
норма оператора P~ . Поскольку P~ – самосо-
пряженный оператор, то его спектр находится
на отрезке действительной оси, попадающей в
этот круг.
Найдем норму оператора P~ . Видно, что
( )∗+= VVP
2
1~ , где V – оператор сдвига:
10,0, )1(1)1( −δ−=−δ−== kkkk ekkVVe , а ∗V –
сопряженный ему оператор. С учетом того, что
1V = и V V ∗= , из неравенства треуголь-
ника получаем: (1 1
2 2
P V V V∗= + ≤ +
) ( )1 1 1 1
2
V ∗+ = + = . С другой стороны, из
спектральных свойств оператора V следует, что
точка 1 принадлежит спектру оператора P~ . Это
значит, что 1P ≥ . Из этих двух неравенств и
заключаем, что 1P = .
Докажем, что спектр оператора P~ полно-
стью заполняет промежуток [–1; 1]. Для этого
достаточно проверить, что оператор P~ не име-
ет нормированных собственных векторов. Итак,
переходим к задаче нахождения собственных
векторов оператора P~ . Она сводится к реше-
нию следующей (дискретной) задачи Коши:
),1,0,...;2,1,0(
2
1
2
1
01
11
===
⋅λ=+
−
+−
UUj
UUU jjj
т.е. к решению линейного рекуррентного соот-
ношения с постоянными коэффициентами, ре-
шая которое и используя начальные условия,
получаем:
( )
( ) .1
12
1
1
12
1)(
1
2
2
1
2
2
+
+
−λ−λ
−λ
−
−−λ+λ
−λ
=λ
j
j
jU
(1)
Из условия 1P = следует, что 1≤λ . Это
позволяет сделать замену λ = cos θ. Тогда из
выражения (1) следует:
θ
θ+
=θ
sin
)1sin()(cos jU j .
Получили следующий результат: компонен-
тами собственного вектора оператора P~ долж-
ны быть полиномы Чебышева второго рода.
Таким образом, собственные векторы опера-
тора P~ , отвечающие собственным значениям
θ=λ cos , принимают вид:
УСиМ, 2009, № 3 17
∑
∞
= θ
θ+
=θ≡λ
0 sin
)1sin(cos
j
jj .
Собственные векторы оператора P~ не яв-
ляются нормированными, так как =λλ
∞=
θ
θ+
=∑
∞
=0
2
2
sin
)1(sin
j
j (не выполняется необхо-
димое условие сходимости ряда) для произ-
вольного л [ 1;1]∈ − .
Итак, установлено, что оператор P~ имеет
полностью непрерывный спектр, целиком за-
полняющий промежуток [–1; 1].
Для операторов с непрерывным спектром
основная теорема о спектральном разложении [1]
дает следующее представление оператора P~ :
1 1
1 1
л (л) (л) л л л (л),P dg dg
− −
= Φ ≡∫ ∫ (2)
где λλ=λΦ )( – проектор на обобщенный
собственный вектор, )(λdg – спектральная ме-
ра оператора P~ . Представим единичный опе-
ратор:
.)(
1
1
∫
−
λλλ= dgI
Оператор проектирования λλ=λΦ )( в
пространстве ));0([2 ∞l представляется беско-
нечной матрицей с матричными элементами:
).()( λλ=λλ=Φ jiij UUji
Используя представление для оператора I,
находим выражение для спектральной меры
)(λdg оператора P~ . Действительно, =ji
∫
−
λλλ=
1
1
)(dgji или =λλλ∫
−
1
1
)()()( dgUU ji
ijδ= , т.е. спектральная мера )(λdg – это весо-
вая функция, относительно которой полиномы
Чебышева второго рода ортогональны на [–1;1].
Используя известный факт, что для полиномов
Чебышева второго рода имеет место условие
ортогональности
1
2
1
2(л) (л) 1 л л ,
рi j йjU U d
−
− = δ∫
приходим к выводу, что спектральная мера опе-
ратора P~ имеет вид λλ−
π
=λ ddg 212)( , при-
чем функция g(λ)определена однозначно с
точностью до аддитивной постоянной.
Таким образом, формула (2), выражающая
спектральное представление оператора P~ , мо-
жет быть записана в следующем виде: =P~
∫
−
λλ−
π
λλλ=
1
1
212 d . Тогда получим, что
матрица n-шаговых переходных вероятностей
имеет следующий вид:
1
( ) 2
1
2 1n n nP P d
−
= = λ λ λ −λ λ
π∫ .
В результате получим искомые переходные
вероятности:
1
( ) 2
1
1
2
1
2 1
2( ) ( ) 1 .
n n n
ij
n
i j
P i P j i j d
U U d
−
−
= = λ λ λ −λ λ =
π
= λ λ λ −λ λ
π
∫
∫ (3)
Для вычисления )(~ n
ijP рассмотрим унитар-
ный оператор )~exp()( PxkxS = (где k2 = –1).
Его спектральное представление –
1
2
1
2( ) 1k xS x e dλ
−
= λ λ −λ λ
π∫ .
Матричные элементы этого оператора име-
ют вид:
== jxSixFij )()(
1
2
1
2( ) ( ) 1 .k x
i je U U dλ
−
= λ λ −λ λ
π∫ (4)
Сделав замену λ = cos θ, получим выражение
∫ θθ+θ+
π
= θ
π
0
cos ))1sin(())1sin((2)( djiexF xk
ij , для
вычисления которого понадобится формула
Ангера–Якоби [7]:
∑
∞
=
θ θ+=
1
0
cos )cos()(2)(
n
n
nxk nxJkxJe ,
где k2 = –1, а Jn(x) – функция Бесселя первого
рода целого порядка n.
18 УСиМ, 2009, № 3
Тогда после несложных, но достаточно гро-
моздких преобразований, получаем выражение
)()()( 2
2 xJkxJkxF ji
ji
ji
ji
ij ++
++
−
− −= . (5)
С другой стороны, из (4) получим
0
)( )(1~~
=
=≡
x
n
ij
n
n
nn
ij dx
xFd
k
jPiP . (6)
Воспользовавшись разложением функции
Бесселя первого рода в ряд Маклорена
∑
∞
=
+
+
+
−
=
0
2
2
)!(!2
)1()(
k
ik
ikk
i ikk
xxJ ,
из (5) и (6) получим явные выражения для эле-
ментов матрицы n-шаговых переходных веро-
ятностей:
( )
2
2 2 если четно
иначе
2 ,
,
0,
0, 0, 0 .
n n
ij ij
n j i n i j
n
n n n j i
P P
C C
n i j
+ − + + +
− + −
= =
⎧ ⎫⎛ ⎞
−⎪ ⎪⎜ ⎟= ⎨ ⎬⎝ ⎠
⎪ ⎪
⎩ ⎭
≥ ≥ ≥
(7)
Здесь
)!(!
!
knk
nC k
n −
≡ .
Выражения для диагональных элементов
матрицы )(~ nP несколько упрощаются:
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 !
, 0
2 ( !)
2 ! ( !)1 , 1
2 ( !) ( 1)!( 1)!
k
ii
k
k
P
k
k i
k
k k k i
k k i k i
=
⎧
≤ ≤⎪
⎪=⎨
⎛ ⎞⎪ − ≥ +⎜ ⎟⎪ − − + +⎝ ⎠⎩
(8)
.0,0~ 12 ≥=+ iP k
ii
Классификация состояний
Предварительно введем некоторые опреде-
ления.
Определение 1. Будем считать, что состоя-
ния i и j принадлежат одному классу сообщае-
мости, если из одного состояния можно с не-
нулевой вероятностью перейти в другое за не-
которое число шагов и наоборот, иначе говоря:
n m∃ ∃ 0)( >n
ijP и 0)( >m
jiP .
Определение 2. Назовем периодом состоя-
ния i наибольший общий делитель (НОД) всех
целых чисел 1≥n , для которых 0)( >n
iiP .
Определение 3. Будем называть класс сооб-
щаемости периодичным, если он разбивается
на конечное число непересекающихся подмно-
жеств, именуемых циклами, таких что если цепь
выходит из произвольного подмножества, то
возвращаться обратно в это подмножество она
может лишь через фиксированные числа шагов,
кратные определенному числу, называемых пе-
риодом класса.
Период класса – минимальное число шагов,
через которое возможен возврат обратно в ис-
ходное подмножество. Можно показать [4], что
число циклов равно периоду класса, а период
класса равен периоду любого из состояний этого
класса.
Определение 4. Пусть )(n
iif обозначает веро-
ятность того, что отправляясь из состояния i,
система впервые возвратится в это состояние
через n переходов. Состояние i в цепи Маркова
будем называть возвратным, если 1
1
)( =∑
∞
=n
n
iif ;
в противном случае – состояние невозвратно.
Смысл возвратности в том, что выходя из i,
система с вероятностью 1 когда-нибудь воз-
вратится в i.
Справедлива следующая теорема [3, 5]: со-
стояние i является возвратным тогда, когда
∞=∑
∞
=1n
n
iiP . Используя результаты, подобные из-
вестной лемме Бореля–Кантелли [5], можно по-
казать, что невозвратное состояние i посещает-
ся лишь конечное число раз за всю продолжи-
тельность жизни системы. Возвратность и не-
возвратность являются характеристиками класса
сообщаемости, т.е. все состояния класса сооб-
щаемости либо возвратны, либо невозвратны.
Теперь применим описанную классифика-
цию состояний к рассматриваемому случаю
одномерного симметричного случайного блу-
ждания по целым числам ,...2,1,0,1− с погло-
щающим экраном в –1. При этом будем поль-
УСиМ, 2009, № 3 19
зоваться выведенными формулами (7) и (8) для
элементов натуральной степени матрицы пе-
реходных вероятностей.
Используя выражения (7) в нашем случае,
видно, что пространство состояний разбивает-
ся отношением сообщаемости на два класса
состояний: }1{− и ,...}3,2,1,0{ .
Пользуясь явными выражениями (8) для ди-
агональных элементов степеней матрицы )(~ nP ,
можно показать, что период произвольного со-
стояния i класса ,...}3,2,1,0{ равен двум: дей-
ствительно, НОД степеней матрицы P, для ко-
торых 0>n
iiP , равняется двум. Тогда заключа-
ем, что период класса ,...}3,2,1,0{ равен двум,
причем сам класс разбивается на два цикла:
...},2,...,2,0{ k и ...},12,...,3,1{ +k .
Класс }1{− имеет период 1, так как 0>n
iiP
при 1−=i для всех целых 1≥n .
Используя выражения (8), можно показать,
что класс ,...}3,2,1,0{ невозвратный. Действи-
тельно, доказав сходимость ряда (2 2
1
(2 )! 1
2 ( !)k
k i
k
k
∞
= +
−∑
2( !)
( 1)!( 1)!
k
k i k i
⎞
− ⎟− − + + ⎠
, мы тем самым докажем
невозвратность состояния ,...}3,2,1,0{∈i . Ис-
пользуя признак Раабе и формулу Стирлинга
для асимптотической оценки факториала, не-
сложно показать, что вышеуказанный ряд схо-
дится.
Класс }1{− является возвратным, так как
∞=∑
∞
=1n
n
iiP при 1−=i .
С помощью выведенных формул для вы-
числения переходных вероятностей можно ус-
тановить более глубокие результаты. Докажем,
что блуждающая частица с вероятностью
единица поглощается состоянием –1, но по-
глощения в среднем следует ожидать беско-
нечно долго. Для этого вычислим сначала ве-
роятность )(n
kf того, что поглощение состоя-
нием –1 произойдет в точности на n-м шаге,
если исходным состоянием было состояние k.
Действительно, поглощение состоянием –1 на
n-м шаге может произойти лишь в том случае,
если система на (n – 1)-м шаге была в состоя-
нии 0. Тогда с вероятностью 0,5 система из со-
стояния 0 переходит в состояние –1. Произво-
дя в формуле (3) замену θ=λ cos , получаем
интегральное представление вероятности )(n
kf :
,sin))1sin((cos1
sin))1sin((cos2
2
1
2
1
0
1
0
11
0
)(
∫
∫
θθθ+θ
π
=
=θθθ+θ
π
⋅==
−
−−
π
π
dk
dkPf
n
nn
k
n
k
причем 01
0 =−n
kP , если kn +−1 нечетно. Заме-
тим, что вероятность события, заключающего-
ся в том, что блуждающая частица, выходя из
состояния k, будет когда-нибудь поглощена
состоянием –1, равна ∑
∞
=
=
1
)(
n
n
kk ff . Тогда, рас-
сматривая отдельно случаи четного и нечетно-
го k, после несложных, но достаточно гро-
моздких выкладок получаем следующий ре-
зультат: 0≥∀k 1=kf , т.е. с вероятностью еди-
ница происходит поглощение блуждающей
частицы состоянием –1, откуда бы она не на-
чала свой путь.
Оценим среднее время до поглощения.
Обозначим его через М, тогда очевидно, что
∑
∞
=
⋅=
1
)(
n
n
kfnM . Из формулы (7) можно полу-
чить явное выражение для вероятностей )(n
kf :
( ) 2
( 1)! ( 1)! .
1 1 1 3! ! ! !
2 2 2 2
n n
kf
n n
n k n k n k n k
−= ×
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎜ ⎟× −
− − + − + + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Используя выписанное выражение и при-
знак Раабе, можно показать, что ряд в выраже-
нии для М расходится, значит среднее время
до поглощения бесконечно большое.
Заключение. В данной работе рассмотрено
одномерное симметричное случайное блужда-
ние по целым числам { ,...2,1,0,1− } с погло-
20 УСиМ, 2009, № 3
щающим экраном в –1. Ясно, что этот процесс
является однородной счетной цепью Маркова.
Для детального изучения ее свойств, а также
классификации состояний, необходимо иметь
возможность определять произвольные нату-
ральные степени матрицы P переходных веро-
ятностей, что вызывает дополнительные слож-
ности, поскольку фазовое пространство в дан-
ном случае счетное. Для упрощения сложив-
шейся ситуации обычно прибегают к различ-
ным методикам, связанным с применением
теории ортогональных полиномов [3], теории
потенциала и границ фазового пространства
[2, 4, 5], комбинаторных методов [2–6], стара-
ясь избежать прямых вычислений. Это связано
исключительно со сложностью самой задачи
вычисления степеней матрицы P для цепей со
счетным фазовым пространством и отсутстви-
ем общих подходов к ее решению. Хотя заме-
тим, что элементы )(nP – важнейшие характе-
ристики цепи. Их вычисление актуально для
различных приложений.
Для решения данной задачи использована
теория обобщенных спектральных разложений
самосопряженных операторов. В явном виде
вычислены выражения для элементов произ-
вольной натуральной степени матрицы Р пере-
ходных вероятностей для рассматриваемого
блуждания и полностью решен вопрос о клас-
сификации состояний.
Показано, что фазовое пространство разби-
вается на два класса сообщаемости: }1{− и
,...}3,2,1,0{ .
Класс ,...}3,2,1,0{ является невозвратным и
периодичным с периодом два; класс }1{− воз-
вратный и имеет период единицу.
Исследования показали, что блуждающая
частица с вероятностью единица поглощается
состоянием –1, но среднее время до поглоще-
ния равно бесконечности.
1. Березанский Ю.М. Разложение по собственным
функциям самосопряженных операторов. – Киев:
Наук. думка, 1965. – 798 с.
2. Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Теоремы и задачи о
процессах Маркова. – М.: Наука, 1967. – 232 с.
3. Карлин С. Основы теории случайных процессов. –
М.:Мир, 1971. – 536 с.
4. Кемени Дж., Снелл Дж., Кнепп А. Счетные цепи
Маркова. – М.: Наука, 1987. – 416 с.
5. Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. – М.:
Мир, 1969. – 472 с.
6. Чжун Кай-лай. Однородные цепи Маркова. – М.:
Мир, 1964. – 425 с.
7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные
функции. Функции Бесселя, функции параболичес-
кого цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Нау-
ка. Главная редакция физико-математической ли-
тературы, 1966. – 296 с.
Поступила 10.02.2009
Тел. для справок: (044) 489-7077, 8(095) 6313766 (Киев)
© А.А. Вишенский, С.В. Сирик, 2009
Внимание !
Оформление подписки для желающих
опубликовать статьи в нашем журнале обязательно.
В розничную продажу журнал не поступает.
Подписной индекс 71008
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000620065006400730074002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c002000700072006500700072006500730073002d007500640073006b007200690076006e0069006e00670020006100660020006800f8006a0020006b00760061006c0069007400650074002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e>
/DEU <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>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <FEFF0055007300740061007700690065006e0069006100200064006f002000740077006f0072007a0065006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020005000440046002000700072007a0065007a006e00610063007a006f006e00790063006800200064006f002000770079006400720075006b00f30077002000770020007700790073006f006b00690065006a0020006a0061006b006f015b00630069002e002000200044006f006b0075006d0065006e0074007900200050004400460020006d006f017c006e00610020006f007400770069006500720061010700200077002000700072006f006700720061006d006900650020004100630072006f00620061007400200069002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000690020006e006f00770073007a0079006d002e>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|