Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора

Решена задача управления линейными дискретными многосвязными объектами с вырожденными или плохо обусловленными передаточными матрицами. Изучены динамические свойства систем управления, содержащих псевдообратные модели этих объектов. Приведены числовые примеры....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Скурихин, В.И., Житецкий, Л.С., Соловчук, К.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2013
Schriftenreihe:	Управляющие системы и машины
Schlagworte:	Теория систем. Системотехника
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83162
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора / В.И. Скурихин, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 3. — С. 14-20, 29. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-83162
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-831622015-06-17T03:01:34Z Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора Скурихин, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю. Теория систем. Системотехника Решена задача управления линейными дискретными многосвязными объектами с вырожденными или плохо обусловленными передаточными матрицами. Изучены динамические свойства систем управления, содержащих псевдообратные модели этих объектов. Приведены числовые примеры. The problem of controlling the interconnected linear discrete-time plants whose transfer matrices are singular or ill-conditioned is stated and solved. The dynamical properties of the control systems containing the pseudo-inverse models of these plants are studied. To support the theoretical results, several numerical examples are given. Розв’язано задачу управління лінійними дискретними багатозв'язними об'єктами з виродженими або погано обумовленими передатними матрицями. Вивчено динамічні властивості систем управління, що містять псевдообернені моделі цих об'єктів. Подано числові приклади. 2013 Article Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора / В.И. Скурихин, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 3. — С. 14-20, 29. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0130-5395 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83162 681.5 ru Управляющие системы и машины Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Теория систем. Системотехника Теория систем. Системотехника
spellingShingle	Теория систем. Системотехника Теория систем. Системотехника Скурихин, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю. Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора Управляющие системы и машины
description	Решена задача управления линейными дискретными многосвязными объектами с вырожденными или плохо обусловленными передаточными матрицами. Изучены динамические свойства систем управления, содержащих псевдообратные модели этих объектов. Приведены числовые примеры.
format	Article
author	Скурихин, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю.
author_facet	Скурихин, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю.
author_sort	Скурихин, В.И.
title	Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора
title_short	Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора
title_full	Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора
title_fullStr	Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора
title_full_unstemmed	Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора
title_sort	управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2013
topic_facet	Теория систем. Системотехника
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83162
citation_txt	Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора / В.И. Скурихин, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 3. — С. 14-20, 29. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT skurihinvi upravleniemnogosvâznymiobʺektamisvyroždennymiiplohoobuslovlennymiperedatočnymimatricaminaosnovemetodapsevdoobratnogooperatora AT žiteckijls upravleniemnogosvâznymiobʺektamisvyroždennymiiplohoobuslovlennymiperedatočnymimatricaminaosnovemetodapsevdoobratnogooperatora AT solovčukkû upravleniemnogosvâznymiobʺektamisvyroždennymiiplohoobuslovlennymiperedatočnymimatricaminaosnovemetodapsevdoobratnogooperatora
first_indexed	2025-07-06T09:53:23Z
last_indexed	2025-07-06T09:53:23Z
_version_	1836890827398316032
fulltext	14 УСиМ, 2013, № 3 Теория систем. Системотехника УДК 681.5 В.И. Скурихин, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора Решена задача управления линейными дискретными многосвязными объектами с вырожденными или плохо обусловленными пере- даточными матрицами. Изучены динамические свойства систем управления, содержащих псевдообратные модели этих объектов. Приведены числовые примеры. The problem of controlling the interconnected linear discrete-time plants whose transfer matrices are singular or ill-conditioned is stated and solved. The dynamical properties of the control systems containing the pseudo-inverse models of these plants are studied. To support the theo- retical results, several numerical examples are given. Розв’язано задачу управління лінійними дискретними багатозв'язними об'єктами з виродженими або погано обумовленими передатними матрицями. Вивчено динамічні властивості систем управління, що містять псевдообернені моделі цих об'єктів. Подано числові приклади. Введение. При решении ряда прикладных за- дач автоматизации управления часто возникает потребность в поддержании нескольких взаи- мосвязанных переменных на заданных про- граммой работы системы уровнях, приводящая к построению многосвязных систем управле- ния. Требования к показателям качества функ- ционирования таких систем непрерывно воз- растает. Одно из перспективных направлений в об- ласти построения эффективно функционирую- щих систем управления многосвязными объек- тами открывает подход, основу которого со- ставляет метод обратного оператора [1]. Такой подход ориентирован, как известно, на реше- ние достаточно широкого класса так называе- мых обратных задач динамики. В идейном плане он восходит к пионерным работам [1, 2]. Даль- нейшее существенное развитие этот подход по- лучил в [3, 4]. Независимо от появления публи- каций [1, 2] и позднее идея построения итера- ционных алгоритмов, реализующих метод об- ратного оператора в простейших случаях, ко- гда число каналов передачи управляющих воз- действий и соответствующее число выходных величин объекта не превышает двух, была вы- двинута в [5, гл. 7]. Оказалось, что эти алгорит- мы формально дают решение оптимизационной задачи управления многосвязным нелинейным объектом с невырожденной матрицей линеари- зованных статических характеристик [6, с. 88]. Согласно методу обратного оператора управ- ляющую подсистему (устройство управления) следует строить на базе обратной (инверсной) модели объекта [1–4]. Такая модель осуществ- ляет функциональное преобразование сигналов, обратное тому, которое происходит с соответ- ствующими сигналами в самом объекте. Послед- ние результаты, полученные в области постро- ения систем управления многосвязными объек- тами с использованием обратных моделей, по- следовательно представлены в работах [7–9]. К сожалению, метод обратного оператора приводит к заметному ухудшению качествен- ных показателей функционирования системы управления многосвязными объектами по мере ухудшения степени обусловленности переда- точных матриц таких объектов. В предельном случае, когда эти передаточные матрицы вы- рождаются, метод обратного оператора стано- вится вообще неприменимым. В этой связи воз- никают естественные вопросы:  что произойдет при вырождении с течени- ем времени передаточной матрицы реального объекта, если передаточная матрица расчетной (опорной [6]) модели, по которой строится ал- горитм управления, невырождена (хотя, быть может, и плохо обусловлена) ? УСиМ, 2013, № 3 15  как в принципе можно управлять много- связным объектом, имеющим вырожденную пе- редаточную матрицу ? Ответ на эти вопросы частично дает работа [10], в которой, судя по доступным литератур- ным источникам, впервые получено решение задачи оптимизации систем управления много- связными статическими объектами с вырожден- ными передаточными матрицами, опирающееся на использование математического аппарата псевдообращения матриц [11]. Предложенный там подход обобщается далее на более широкий класс многосвязных систем управления объек- тами, включающий в себя статические объек- ты, передаточные матрицы которых становятся не только вырожденными, но и плохо обуслов- ленными. Постановка задачи Рассматривается линейный многосвязный статический объект, функционирующий в дис- кретном времени n = 0,1,2, и описываемый разностным уравнением 1.n ny Bu  (1) В этом уравнении yn – N-мерный вектор вы- ходных переменных (1) ( ), , ,N n ny y доступных для измерения в каждый n-й дискретный мо- мент времени; un N-мерный вектор управляю- щих воздействий (1) ( ), , ;N n nu u 11 1 1 . . . . . . N N NN b b B b b             (2) – матрица размераN N с рангом 1 rank .B N  Основополагающим предположением отно- сительно матрицы (2) есть то, что она – плохо обусловленная или даже вырожденная, т.е. det 0B  (3) или det 0,B  (4) где det B обозначает определитель матицы B Предполагается, что элементы bij (i, j = 1, , N) этой матрицы априори точно известны конст- руктору системы (идеальный случай). Извест- но также, что найдется хотя бы одна пара чи- сел i, j (i  j) таких, что  0, , 1, , ;ijb i j N   (5) при этом вполне допускается, что все ее диа- гональные элементы равны нулю: 0 для всех 1, , .iib i N   (6) Предположение (5) означает, по существу, что объект (1) с передаточной матрицей вида (2) действительно многосвязный. Примечатель- но, что даже если условие (6) выполняется для всех i = 1, , N, то в рамках предположения (3) и (4) в принципе возможна плохая обуслов- ленность или даже вырожденность передаточ- ной матрицы B Пусть 0(1) 0( ), , N n ny y обозначают заданные программой работы системы значения выход- ных величин (1) ( ), , N n ny y соответственно. Будем исходить далее из предположения [10], что, по крайней мере, одно из этих заданных значений отлично от нуля. Математически это предпо- ложение выражается в форме 0(1) 0( ) 0N n ny y   (7) для любого целого n  [1, ) Дополнительные (не очень ограничивающие) предположения со- стоят в том, что 0 0 sup , (а) im , (б) n n n y y B n        , (8) где 0 0(1) 0( ) T[ , , ]N n n ny y y  – вектор заданных зна- чений выходных величин, а im B обозначает так называемый образ матрицы [12, п. 6.24] (здесь и в дальнейшем Т – знак транспонирования). Качество функционирования системы будем оценивать какой-либо нормой вектора 0 n n ne y y  (9) отклонений (1) 0(1) (1) ( ) 0( ) ( ), , N N N n n n n n ne y y e y y    выходных величин от заданных значений, а так- же нормой вектора управляющих воздействий un Задача состоит в том, чтобы в условиях (5)– (8) построить управляющую подсистему, по- зволяющую минимизировать норму nu век- тора un (для случая (3)) и нормы ne и nu векторов en и un (для случая (4)). В такой по- 16 УСиМ, 2013, № 3 становке ее можно интерпретировать как оп- тимизационную задачу управления. Предварительные результаты Известно [3, 4], что если det B  0 то эффек- тивное решение задачи минимизации нормы ne дает метод обратного оператора, приво- дящий к построению алгоритма управления 1 ,n n nu u Ae  (10) В этом алгоритме 1,A B (11) где 11 1 1 1 . . . . . . N N NN B              (12) обозначает матрицу, обратную матрице B Реализация алгоритма (10), (11) предусмат- ривает использование обратной модели объек- та и дискретного интегратора (сумматора на- капливающего типа). Действительно этот ал- горитм можно записать так: 1 1 . n n k k u B e   (13) Структурная схема системы управления мно- госвязным объектом по алгоритму (13) изо- бражена на рис. 1. Рис. 1. Структурная схема системы управления, построенной по методу обратного оператора Динамические свойства системы управле- ния (1), (9), (10), характерны тем, что каждая i-я выходная величина в точности повторяет ее заданное значение с запаздыванием на один такт: ( ) 0( ) 1 ( 1, , );i i n ny y i N   (14) при этом вектор управляющих воздействий un в силу уравнения (1) объекта и свойства (14) определяется как 1 0.n nu B y (15) На основании (15) получаем оценку сверху нормы вектора управляющих воздействий 1 0sup sup ,n n n n u B y   (16) а с учетом выражения (12) и определения век- тора 0 ny – еще и оценки сверху по модулю со- ставляющих этого вектора ( ) 0( ) 1 sup \| \| \| \| sup \| \|, 1, . N i j n ij n n nj u y i N      (17) Модельный эксперимент 1. Для иллюстра- ции поведения системы управления многосвяз- ным объектом по методу обратного оператора в условиях, когда \| det \| 0,B  проводилось ее моделирование при 1 1 2 1 1 6 . 2 5 8 B          В рассматриваемом случае N = 3, det B = –20, a 1 1,1 0,9 0,4 0,2 0,2 0,2 , 0,15 0,35 0,1 B          откуда 1 2 1,5.B  (18) В этом соотношении 2 – так называемая спектральная норма матрицы [см. 12, п. 14.48], обладающая тем свойством, что 2 , E    где E  обозначает евклидову норму матрицы [см. 12, п. 14.49]. Программа работы системы управления была задана как произвольным образом выбранная последовательность векторов 0 0 0 0 10{ } , ,ny y y  на интервале 0 10.n  При таком выборе 0{ }ny имеем       0(1) 0(2) 0,10 0,10 0(3) 0,10 sup \| \| 8, sup \| \| 15, sup \| \| 20, n n n n n n y y y       (19) а   0 0,10sup 26, 2.nn y  (20) Результаты модельного эксперимента пред- ставлены на рис. 2, где каждая i-я выходная УСиМ, 2013, № 3 17 а б в г д ж е Рис. 2. Динамические процессы в системе (1), (9), (10) в усло- виях модельного эксперимента 1: а – сигналы (1) ny и 0(1);ny б – сигналы (2) ny и 0(2);ny в – сигналы (3) ny и 0(3);ny г – управляющее воздействие (1) ;nu д – управляющее воздействие (2) ;nu е – управляющее воздействие (3) ;nu ж – норма вектора управляющих воздействий nu величина ( )i ny повторяет ее заданное значение 0( ) 1 i ny  с запаздыванием на один такт, как и долж- но быть согласно соотношению (14). При этом оказалось, что     (1) (2) 0,10 0,10sup \| \| 14,3, sup \| \| 3, 4,n nn nu u     (3) 0,10sup \| \| 4, 45,nn u  (см. рис. 2, г–е), а  0,10sup 15, 2nn u  (см. рис. 2, ж), тогда как соответствующие оценки сверху этих величин, найденных по формулам (16), (17) с учетом (18) – (20), определяются как         (1) (2) 0,10 0,10 (3) 0,10 0,10 sup \| \| 30,3, sup \| \| 8,6, sup \| \| 8, 45, sup 32,7. n nn n n nn n u u u u         Итак, в случае вырожденности матрицы B когда det B = 0 метод обратного оператора не- применим. Более того, если в качестве матри- цы А, фигурирующей в уравнении (10), взять любую невырожденную матрицу, то система уп- равления (1), (9), (10) становится неустойчивой по состоянию, определяемому парой (un, yn). Модельный эксперимент 2. Установленный факт наглядно подтверждается результатами моделирования, проведенного при 1 2 3 4 8 12 , 5 10 15 B           когда det B = 0 а A = diag (0,02; 0,05; 0,03) – диагональная матрица. При проведении этого эксперимента было принято 0(1) 0(2) 0(2)5, 12, 17;n n ny y y   (1) (2) (3) 0 0 01, 2, 3.u u u   Результаты моделирования графически пред- ставлены на рис. 3. Оно показало, что после за- вершения переходного процесса, хотя вектор выходных величин yn стабилизировался (рис. 3,а), эта стабилизация достигалась ценой неограни- ченного роста по норме вектора управляющих воздействий yn (рис. 3,б). a б Рис. 3. Динамические процессы в системе (1), (9), (20) в усло- виях модельного эксперимента 2: а – норма вектора выходных величин ;ny б – норма вектора управляю- щих воздействий nu 18 УСиМ, 2013, № 3 Таким образом, для обеспечения устойчиво- сти системы (1), (9), (20) требуется, чтобы det 0,A  (21) т.е. чтобы матрица A в выражении (10) непре- менно была вырожденной. Управление многосвязным объектом с вы- рожденной передаточной матрицей Предположим, что матрица В в уравнении (1) удовлетворяет условию вырожденности (4). Для управления рассматриваемым объектом в этих условиях предлагается в качестве матри- цы А выбирать матрицу в виде ,A B (22) где 2 1 0 : lim( )T TB B B I B      (23) – так называемая матрица, псевдообратная мат- рице В [11, теорема 3.4]. Подстановка (22) в (10) как раз и приводит к алгоритму управления 1 ,n n nu u B e  (24) реализующему метод псевдообратного опера- тора. Приведем уравнение (24) к «суммарной» форме 1 , n n k k u B e   (25) подобной (13). Тогда структурную схему сис- темы управления (1), (9), (24) можно предста- вить, как показано на рис. 4. Рис. 4. Структурная схема системы управления, построенной по методу псевдообратного оператора Исследуем теперь динамические свойства системы управления (1), (9), (24). С этой целью сначала запишем соотношение 0 1 ,n n n nu u B y B y     (26) полученное простой подстановкой выражения (9) в (24). Учитывая далее уравнение (1), при- ведем (26) к виду 0 1( ) ,n n nu I B B u B y     (27) где І – единичная матрица. В силу известных из [12, п. 6.50] уравнений Пенроуза ,BB B B B BB B     (28) и того факта, что Q := I – B+B – идемпотентная матрица [11, п. 3.7.6; 13, с. 208], т.е. Q2 = Q по- следовательное использование соотношения (27) окончательно дает 0 0( ) .n nu I B B u B y    (29) На основании (29) с учетом условия (а), фи- гурирующего в (8), получаем оценку сверху ев- клидовой нормы вектора un управляющих воз- действий в виде 0 0 .n E nE u I B B u B y      (30) Подставляя теперь выражение (29) в (1) и вновь используя уравнение Пенроуза (28), мож- но записать 0 1,n ny BB y  (31) откуда с учетом определения (9) вектора en на- ходим 0 0 1.n n ne y BB y   (32) Вводя обозначение 0 0 0 1,n n ny y y    преобра- зуем (32) к виду 0 0 1( ) .n n ne I BB y y     (33) Оценка сверху евклидовой нормы вектора en в силу (33), (8) имеет вид 0 0 1 .n n nE e I BB y y       (34) Из выражений (30), (34) следует, что систе- ма управления (1), (9), (24) устойчива по со- стоянию (un, yn) при любой вырожденной мат- рице B  RMN Согласно одному результату из [13, с. 39] имеем R min . N N EE A I B B I AB       (35) На основании (34) с учетом замечательного свойства (35) заключаем, что выбор матрицы А именно в виде (22) позволяет минимизировать норму вектора отклонений выходных величин от заданных значений. Тем самым метод псевдо- обратного оператора, реализующий алгоритм (24), позволяет решить поставленную опти- мизационную задачу. УСиМ, 2013, № 3 19 Модельный эксперимент 3. Для проверки работоспособности и эффективности метода псевдообратного оператора проведена серия мо- дельных экспериментов с системой (1), (9), (24). В частности, принято 1 2 3 4 8 12 . 5 10 15 B           В этом случае 1 / 588 4 / 588 5 / 588 2 / 588 8 / 588 10 / 588 . 3 / 588 12 / 588 15 / 588 B           Динамические процессы, показывающие, что построенная система работоспособна и доволь- но эффективна, иллюстрируют графики, при- веденные на рис. 5. Управление многосвязным объектом с пло- хо обусловленной передаточной матрицей Пусть теперь матрица В удовлетворяет не условию (4), а условию (3), т.е. В – плохо обу- словленная матрица. В этом случае cond 1,B  (36) где 1cond :B B B – так называемое число обусловленности невырожденной матрицы В [см. 12, п. 16.4]. В этом случае управление по методу обратного оператора в принципе до- пустимо. Однако реализация этого метода в условиях (3) приводит к формированию векто- ра управляющих воздействий, норма которого может оказаться недопустимо большой. Дей- ствительно, на основании (15) имеем 1 0 .n nu B y (37) А это значит, что при плохой обусловлен- ности матрицы В величина nu в силу (37) в принципе может принимать сколь угодно боль- шое значение, зависящее в конечном счете от числа обусловленности cond B матрицы В: sup nu  при cond .B  (38) Для устранения недостатка, выраженного в форме (38), предложено строить алгоритм 1 * ,n n nu u B e   (39) где * : det 0 arg inf B B B B B        (40) – вырожденная матрица, «ближайшая» к мат- рице В. а б в Рис. 5. Динамические процессы в системе (1), (9), (24) в усло- виях рассматриваемого эксперимента 3: а – норма век- тора выходных величин ;ny б – норма вектора управ- ляющих воздействий ;nu в – норма вектора nе Как и в случае вырожденности матрицы В, алгоритм (39), (40), получаемый прямой заме- ной A B  в (10), также основан на методе псев- дообратного оператора. Но он отличается от алгоритма (24) тем, что для его реализации уп- равляющая подсистема должна содержать не псевдообратную модель, а другую, которую уместно назвать «квазипсевдообратной» (рис. 6). Рис. 6. Структурная схема системы управления, построенной по методу псевдообратного оператора Используя аппарат теории псевдообращения матриц [11], после ряда математических пре- образований заключаем, что оценка сверху нор- мы управляющих воздействий в системе уп- равления (1), (9), (38) с учетом условия (а), фи- гурирующего в (8), будет определяться как 0 n nu Q u  20 УСиМ, 2013, № 3   1 0 1 sup ,n n B B y         (41) если только матрица В удовлетворяет требова- нию \|\| \|\| 1.B   (42) Здесь : ,B B    (43) а * : .Q I B B B        Оценка (41) позволяет заключить, что тре- бование (42), по существу вытекающее из (36), достаточно для обеспечения устойчивости по состоянию (un, yn) рассматриваемой системы управления. А это с учетом (43) в конечном счете означает, что лишь близость матрицы В к матрице ,B определяемой выражением (40), гарантирует такую устойчивость. Величина ║║ косвенно указывает на сте- пень обусловленности матрицы В: ведь в силу (43) ║║ тем меньше, чем «ближе» матрица В к вырожденной матрице * .B Установленный факт означает, что оценка сверху нормы ║un║ управляющих воздействий, определяемая вы- ражением (41), остается ограниченной при ║║ 0 (в отличие от оценки сверху нормы вектора управляющих воздействий, которая оп- ределяется выражением (37)). Модельные эксперименты 4 и 5. В экспе- рименте 4 в качестве матрицы А выбрана мат- рица из условия (11) как . 5025- 01-4 10-0,549 1            BA Проведению модельного эксперимента 5 предшествовало определение вырожденной матрицы * ~B из условия (40). При этом оказа- лось, что            105,25 824 25,01 ~ B ).0~(det B Отсюда найдена матрица .~ *)5,220/1( TBA  Рис. 7. Процессы управления в модельных экспериментах 4 (пунктирная линия) и 5 (сплошная линия) Результаты моделирования системы (1), (9), (10) при выборе матрицы А по методам обрат- ного и псевдообратного операторов представ- лены на рис. 7. Они показывают, что в экспе- рименте 4 норма вектора управляющих воз- действий ║un║ заметно меньше в сравнении с экспериментом 5; впрочем такое уменьшение ║un║ достигается путем определенного увели- чения нормы ║en║ вектора отклонений выход- ных величин от заданных значений. Заключение. Теоретические и эксперимен- тальные исследования показали, что в рамках предложенного достаточно общего метода псев- дообратного оператора удается получить эффек- тивное решение задачи управления в дискрет- ном времени линейными многосвязными стати- ческими объектами, имеющими плохо обуслов- ленные и даже вырожденные передаточные мат- рицы. В практическом плане этот факт позво- ляет существенно расширить область автома- тизации управления техническими системами. 1. Жук К.Д., Пятенко Т.Г., Скурихин В.И. Вопросы син- теза управляющих моделей в многосвязных автома- тических системах // Тр. сем. «Методы мат. модели- рования и теория электр. цепей». – 1964. – С. 3−17. 2. Пухов Г.Е., Жук К.Д. Синтез многосвязных систем управления по методу обратных операторов. – Ки- ев: Наук. думка, 1966. – 218 с. 3. Скурихин В.И., Житецкий Л.С., Проценко Н.М. Ите- ративно-табличные автоматы. – Киев: Наук. думка, 1977. – 165 с. 4. Об оценке допустимой неадекватности модели объ- екта при построении системы управления техноло- гическим процессом по методу обратного операто- ра / В.И. Скурихин, Н.М. Проценко, Л.С. Житецкий и др. // Электронное моделирование. – 1982. – № 6. – С. 11–16. Окончание на стр. 29 УСиМ, 2013, № 3 29 Окончание статьи В.И. Скурихина и др. 5. Ли Т.Г., Адамс Г.Э., Гейнз У.М. Управление процес- сами с помощью вычислительных машин. Моде- лирование и оптимизация. – М.: Сов. радио, 1972. – 312 с. 6. Катковник В.Я. Градиентные законы управления в задачах стабилизации многомерных систем управ- ления // Теория и методы построения систем мно- госвязного регулирования. – М.: Наука, 1973. – С. 84–93. 7. Lyubchik L.M., Kostenko Yu.T. The output control of multivariable systems with unmeasurable arbitrary dis- turbances: the inverse model approach // Proc. 2nd Eu- rop. Control Conf. – 1993. – 2. – P. 1160−1165. 8. Костенко Ю.Т., Любчик Л.М. Системы управления с динамическими моделями. – Харьков: Основа, 1996. – 212 с. 9. Lyubchyk L.M. Disturbance rejection in linear discrete multivariable systems: inverse model approach // Prep. 18th IFAC World Congr. (Milano, Italy, Aug. 28 – Sept. 2, 2011). – Milano, 2011. – P. 7921–7926. 10. Скурихин В.И., Житецкий Л.С., Соловчук К.Ю. Ме- тод псевдообратного оператора в задаче оптималь- ного управления многосвязным объектом с выро- жденной передаточной матрицей // Матеріали XIX міжнар. конф. з автоматичного управління «Автома- тика–2012», (м. Київ, 26–28 вер. 2012 р.). – К.: НУХТ, 2012. – С. 63–64. 11. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррент- ное оценивание. – М.: Наука, 1977. – 224 с. 12. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисле- ния. – М.: Наука, 1984. – 320 с. 13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 578 с. Поступила 06.03.2013 Тел. для справок: +38 044 526-1154 (Киeв) © В.И. Скурихин, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук, 2013  3.pdf 29.pdf << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <FEFF005400610074006f0020006e006100730074006100760065006e00ed00200070006f0075017e0069006a007400650020006b0020007600790074007600e101590065006e00ed00200064006f006b0075006d0065006e0074016f002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b00740065007200e90020007300650020006e0065006a006c00e90070006500200068006f006400ed002000700072006f0020006b00760061006c00690074006e00ed0020007400690073006b00200061002000700072006500700072006500730073002e002000200056007900740076006f01590065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f007400650076015900ed007400200076002000700072006f006700720061006d0065006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076011b006a016100ed00630068002e> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000640065002000410064006f0062006500200061006400650063007500610064006f00730020007000610072006100200069006d0070007200650073006900f3006e0020007000720065002d0065006400690074006f007200690061006c00200064006500200061006c00740061002000630061006c0069006400610064002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <FEFF03a703c103b703c303b903bc03bf03c003bf03b903ae03c303c403b5002003b103c503c403ad03c2002003c403b903c2002003c103c503b803bc03af03c303b503b903c2002003b303b903b1002003bd03b1002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503c403b5002003ad03b303b303c103b103c603b1002000410064006f006200650020005000440046002003c003bf03c5002003b503af03bd03b103b9002003ba03b103c42019002003b503be03bf03c703ae03bd002003ba03b103c403ac03bb03bb03b703bb03b1002003b303b903b1002003c003c103bf002d03b503ba03c403c503c003c903c403b903ba03ad03c2002003b503c103b303b103c303af03b503c2002003c503c803b703bb03ae03c2002003c003bf03b903cc03c403b703c403b103c2002e0020002003a403b10020005000440046002003ad03b303b303c103b103c603b1002003c003bf03c5002003ad03c703b503c403b5002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503b9002003bc03c003bf03c103bf03cd03bd002003bd03b1002003b103bd03bf03b903c703c403bf03cd03bd002003bc03b5002003c403bf0020004100630072006f006200610074002c002003c403bf002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002003ba03b103b9002003bc03b503c403b103b303b503bd03ad03c303c403b503c103b503c2002003b503ba03b403cc03c303b503b903c2002e> /HEB <FEFF05D405E905EA05DE05E905D5002005D105D405D205D305E805D505EA002005D005DC05D4002005DB05D305D9002005DC05D905E605D505E8002005DE05E105DE05DB05D9002000410064006F006200650020005000440046002005D405DE05D505EA05D005DE05D905DD002005DC05D405D305E405E105EA002005E705D305DD002D05D305E405D505E1002005D005D905DB05D505EA05D905EA002E002005DE05E105DE05DB05D90020005000440046002005E905E005D505E605E805D5002005E005D905EA05E005D905DD002005DC05E405EA05D905D705D4002005D105D005DE05E605E205D505EA0020004100630072006F006200610074002005D5002D00410064006F00620065002000520065006100640065007200200035002E0030002005D505D205E805E105D005D505EA002005DE05EA05E705D305DE05D505EA002005D905D505EA05E8002E05D005DE05D905DD002005DC002D005000440046002F0058002D0033002C002005E205D905D905E005D5002005D105DE05D305E805D905DA002005DC05DE05E905EA05DE05E9002005E905DC0020004100630072006F006200610074002E002005DE05E105DE05DB05D90020005000440046002005E905E005D505E605E805D5002005E005D905EA05E005D905DD002005DC05E405EA05D905D705D4002005D105D005DE05E605E205D505EA0020004100630072006F006200610074002005D5002D00410064006F00620065002000520065006100640065007200200035002E0030002005D505D205E805E105D005D505EA002005DE05EA05E705D305DE05D505EA002005D905D505EA05E8002E> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Управление многосвязными объектами с вырожденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного оператора

Institution

Ähnliche Einträge