3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації

Рассмотрены и исследованы кубатурные формулы вычисления 3D-коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на одном классе дифференцируемых функций. Информация о функции задана ее следами на взаимно перпендикулярных плоскостях, линиях и значениями функции в уз...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Литвин, О.М., Нечуйвітер, О.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2013
Schriftenreihe:	Управляющие системы и машины
Schlagworte:	Новые методы в информатике
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83213
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 6. — С. 19-24. — Бібліогр.: 5 назв. — укр., рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-83213
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-832132015-06-17T03:01:54Z 3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. Новые методы в информатике Рассмотрены и исследованы кубатурные формулы вычисления 3D-коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на одном классе дифференцируемых функций. Информация о функции задана ее следами на взаимно перпендикулярных плоскостях, линиях и значениями функции в узловых точках. Получены оценки погрешности кубатурных формул. Cubature formulas of the calculation of 3D-Fourier's coefficients by using piecewice operators of spline-interflatation in the case when information about function is set of flats, set of lines, set of knots on one class of differentiable functions are presented. The estimations of error of approaching of the cubature formulas are obtained. Запропоновано та досліджено кубатурні формули обчислення 3D-коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерфлетації на одному класі диференційовних функцій. Інформацію про функцію задано її слідами на взаємно перпендику- лярних площинах, лініях та значеннями функції у вузлових точках. Отримано оцінки похибки кубатурних формул. 2013 Article 3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 6. — С. 19-24. — Бібліогр.: 5 назв. — укр., рос. 0130-5395 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83213 621.391:517.518:510.52 uk Управляющие системы и машины Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Новые методы в информатике Новые методы в информатике
spellingShingle	Новые методы в информатике Новые методы в информатике Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. 3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації Управляющие системы и машины
description	Рассмотрены и исследованы кубатурные формулы вычисления 3D-коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на одном классе дифференцируемых функций. Информация о функции задана ее следами на взаимно перпендикулярных плоскостях, линиях и значениями функции в узловых точках. Получены оценки погрешности кубатурных формул.
format	Article
author	Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П.
author_facet	Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П.
author_sort	Литвин, О.М.
title	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
title_short	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
title_full	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
title_fullStr	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
title_full_unstemmed	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
title_sort	3d-коефіцієнти фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2013
topic_facet	Новые методы в информатике
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83213
citation_txt	3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 6. — С. 19-24. — Бібліогр.: 5 назв. — укр., рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT litvinom 3dkoefícíêntifurênaklasídiferencíjovnihfunkcíjtaínformacíjníoperatoriríznihtipívzvikoristannâmkuskovostaloísplajnínterfletacíí AT nečujvíterop 3dkoefícíêntifurênaklasídiferencíjovnihfunkcíjtaínformacíjníoperatoriríznihtipívzvikoristannâmkuskovostaloísplajnínterfletacíí
first_indexed	2025-07-06T09:56:26Z
last_indexed	2025-07-06T09:56:26Z
_version_	1836891018790699008
fulltext	УСиМ, 2013, № 6 19 Новые методы в информатике УДК 621.391:517.518:510.52 О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер 3D-коефіцієнти Фур’є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації Рассмотрены и исследованы кубатурные формулы вычисления 3D-коэффициентов Фурье с использованием операторов ку- сочно-постоянной сплайн-интерфлетации на одном классе дифференцируемых функций. Информация о функции задана ее следами на взаимно перпендикулярных плоскостях, линиях и значениями функции в узловых точках. Получены оценки по- грешности кубатурных формул. Cubature formulas of the calculation of 3D-Fourier's coefficients by using piecewice operators of spline-interflatation in the case when information about function is set of flats, set of lines, set of knots on one class of differentiable functions are presented. The estimations of error of approaching of the cubature formulas are obtained. Запропоновано та досліджено кубатурні формули обчислення 3D-коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково- сталої інтерфлетації на одному класі диференційовних функцій. Інформацію про функцію задано її слідами на взаємно перпендику- лярних площинах, лініях та значеннями функції у вузлових точках. Отримано оцінки похибки кубатурних формул. Вступ. При наближенні функцій двох та трьох змінних симетричними відрізками ряду Фур'є виникає задача обчислення коефіцієнтів цього ряду за допомогою інформаційних операторів різних типів. Як дані можуть слугувати зна- чення функції у вузлових точках, значення фу- нкції на лініях або площинах, інтеграли від на- ближуваної функції вздовж вибраної системи ліній або площин, що перетинають досліджу- ваний об’єкт. Задачу наближеного обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є у випадках, коли почат- кова інформація задається різними інформа- ційними операторами, дозволяє ефективно розв’язувати апарат інтерлінації та інтерфле- тації функцій [1] на різних їх класах. Загальний підхід до побудови операторів фінітного тривимірного дискретно-неперервно- го і дискретного перетворення Фур'є на основі методу Файлона, трилінійних сплайнів (ліній- них за кожною змінною) та сплайн-інтерфле- тації на класі диференційовних функцій у ви- падку, коли задані значення функції у вузлах, викладено у [2–4]. Побудова кубатурної фор- мули на основі кусково-сталої інтерфлетації на класі Ліпшиця при даних – слідах функції на площинах, розглянуто в [5]. Метою даної стат- ті є представлення кубатурних формул набли- женого обчислення 3D-коефіцієнтів Фур'є, по- будованих на основі кусково-сталої інтерфле- тації функцій, у випадках, коли як дані задано сліди функції на площинах, на лініях та у зна- ченнях вузлових точок. Постановка задачі Для обчислення 3D-коефіцієнтів Фур'є виду 1 1 1 3 1 0 0 0 ( , , ) ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2 ,I m n p f x y z mx ny pzdxdydz      1 1 1 3 2 0 0 0 ( , , ) ( , , )cos 2 cos 2 cos 2 ,I m n p f x y z mx ny pzdxdydz      1 1 1 3 2 2 2 3 0 0 0 ( , , ) ( , , ) i mx i ny i pzI m n p f x y z e e e dxdydz         побудувати кубатурні формули з використанням операторів кусково-сталої сплайн-інтерфлетації на класі дійсних функцій трьох змінних, визна- чених на  30,1G  і таких, що  1,0,0 ( , , )f x y z M ,  0,1,0 ( , , )f x y z M ,  0,0,1 ( , , )f x y z M ,  1,1,0 ( , , )f x y z M ,  1,0,1 ( , , )f x y z M ,  0,1,1 ( , , )f x y z M ,  1,1,1 ( , , )f x y z M  , у випадку, коли інформацію про функцію за- дано її слідами на взаємно перпендикулярних площинах, слідами на лініях та значеннями функції у вузлових точках. Отримати оцінки похибки кубатурних формул. Кусково-сталі оператори інтерполяції, ін- терлінації та інтерфлетації Введемо наступні позначення    1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2, , , , , ,k k k j j j s s sX x x Y y y Z z z          20 УСиМ, 2013, № 6  1/2 1/21/2 1/21/2 1/2 , , , , , ,s s sj j jk k kX x x Y y y Z z z                            1/2 1/21/2 1/21/2 1/2 , , , , , ,s s sj j jk k kX x x Y y y Z z z            1 2 1, ,1, , ( ) ( ) 0, , 0, , jk k j k j y Yx X h x h y x X y Y       3 1, , ( ) 0, , s s s z Z h z z Z     21 1, ,1, , ( ) ( ) 0, , 0, , jk jk jk y Yx X h x h y x X y Y                     3 1, , ( ) 0, , s s s z Z h z z Z          21 1, ,1, , ( ) ( ) 0, , 0, , jk jk jk y Yx X h x h y x X y Y           3 1, , ( ) 0, , s s s z Z h z z Z     1 , , , , , , 1, , 2 2 2k j sx k y j z s k j s                 1 1 1 1 1 1 3/2 1 3/2 , , , 2 2 2 1 , , , 1, , sjkx k y j z s k j s                            2 2 2 2 2 2 3 2 3 , , , 2 2 2 1 , , , 1, . sjkx k y j z s k j s                  Розглянемо оператори 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( )k k k O f x y z f x y z h x     , 2 2 1 ( , , ) ( , , ) ( )j j j O f x y z f x y z h y     , 3 3 1 ( , , ) ( , , ) ( )s s s O f x y z f x y z h z     , 3/ 2 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( )k k k O f x y z f x y z h x          ,  3/ 2 2 2 1 ( , , ) ( , , ) ( )j j j O f x y z f x y z h y         , 3/ 2 3 3 1 ( , , ) ( , , ) ( )s s s O f x y z f x y z h z          , 3 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( )k k k O f x y z f x y z h x     , 3 2 2 1 ( , , ) ( , , ) ( )j j j O f x y z f x y z h y     , 3 3 3 1 ( , , ) ( , , ) ( )s s s O f x y z f x y z h z     . Означення 1. Під слідом функції f (x, y, z) на лініях розуміємо ( , , ), 0 1k jf x y z z  , ( , , ), 0 1k sf x y z y  , ( , , ), 0 1j sf x y z x  . Означення 2. Під слідом функції f (x, y, z) на площинах розуміємо ( , , ), 0 1, 0 1kf x y z y z    , ( , , ), 0 1, 0 1jf x y z x z    , ( , , ), 0 1, 0 1sf x y z x y    . Лема 1. [1] Оператор кусково-сталої інтер- флетації      1 2 3( , , ) , , , , , ,Of x y z O f x y z O f x y z O f x y z           1 2 2 3 1 3 1 2 3, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z    має властивість 3 1 ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z O         . Лема 2. [1] Оператор кусково-сталої інтер- лінації, побудований на основі інтерфлетації        1 2 1 3 1 2 3, , , , , , , ,Of x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z             2 1 2 3 2 1 3, , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O O f x y z            3 1 3 2 3 1 2, , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O O f x y z              1 2 1 3 2 3 1 2 3, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z    має властивість 3 1 ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z O          . Лема 3. [1] Оператор кусково-сталої інтер- поляції, побудований на основі інтерфлетації      1 2 3 1 3 2 1 2 3( , , ) , , , , , ,Of x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z            2 1 3 2 3 1 2 1 3, , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z              3 1 2 3 2 1 3 1 2 1 2 3, , , , , , , ,O OO f x y z O O O f x y z O OO f x y z OO O f x y z             1 3 2 2 3 1 1 2 3, , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z   має властивість 3 1 ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z O         . Лема 4. Нехай    1,1,1 3, ,f x y z C R , тоді спра- ведливі наступні співвідношення: 1.             1,1,1 , , , , , , , , , , k j s yx z x y z k j s f d d d f x y z f x y z f x y z f x y z                       , , , , , , , , ;k j k s j s k j sf x y z f x y z f x y z f x y z    2.             1,1,0 , , , , , , , , , , ; k j yx x y k j k j f z d d f x y z f x y z f x y z f x y z                        1,0,1 , , , , , , , , , , ; k s x z x z k s k s f y d d f x y z f x y z f x y z f x y z               0,1,1 , , j s y z y z f x d d      УСиМ, 2013, № 6 21        , , , , , , , , ;j s j sf x y z f x y z f x y z f x y z    3.        1,0,0 , , , , , , k x k x f y z d f x y z f x y z    ;        0,1,0 , , , , , , j y j y f x z d f x y z f x y z    ;        0,0,1 , , , , , , s z s z f x y d f x y z f x y z    . Леми 1–4 доведено. Кубатурна формула обчислення 3D-коефі- цієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерфлетації Для обчислення інтегралів 3 ( , , ),I m n p  = 1, 2, 3 пропонуємо формули   1 1 1 3 1 0 0 0 , , ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz       , 1 1 1 3 2 0 0 0 ( , , ) ( , , )cos2 cos2 cos 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz       , 1 1 1 3 2 2 2 3 0 0 0 ( , , ) ( , , ) i mx i ny i pzm n p Of x y z e e e dxdydz          . Підставимо вираз для оператора кусково- сталої сплайн-інтерфлетації та отримаємо від- повідні кубатурні формули. Теорема 1. Для кубатурної формули  3 1 , ,m n p обчислення  3 1 , ,I m n p справедли- ва оцінка    3 3 1 1 3 1 , , , , . 64 MI m n p m n p    Теорему доведено. Кубатурна формула обчислення 3D-коефі- цієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерлінації, побудованих на основі інтерфлетації Для обчислення інтегралів 3 ( , , ),I m n p  = 1, 2, 3 запропоновано формули:   1 1 1 3 1 0 0 0 , , ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2 ,m n p Of x y z mx ny pzdxdydz          1 1 1 3 2 0 0 0 , , ( , , )cos 2 cos 2 cos 2 ,m n p Of x y z mx ny pzdxdydz          1 1 1 3 2 2 2 3 0 0 0 , , ( , , ) .i mx i ny i pzm n p Of x y z e e e dxdydz           Підставимо вираз для оператора кусково- сталої сплайн-інтерлінації, побудованого на основі інтерфлетації, та отримаємо відповідні кубатурні формули. Теорема 2. Для кубатурної формули  3 1 , ,m n p обчислення  3 1 , ,I m n p справедли- ва оцінка  3 3 1 1( , , ) , ,I m n p m n p   3 3 1 64 16 M M        . Теорему доведено. Кубатурна формула обчислення 3D-коефі- цієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерполяції, побудованих на основі інтерфлетації Для обчислення інтегралів 3 ( , , ),I m n p  = 1, 2, 3 пропонуємо формули:   1 1 1 3 1 0 0 0 , , ( , , )sin 2 sin 2 sin 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz       ,   1 1 1 3 2 0 0 0 , , ( , , )cos 2 cos 2 cos 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz       ,   1 1 1 3 2 2 2 3 0 0 0 , , ( , , ) i mx i ny i pzm n p Of x y z e e e dxdydz          . Підставимо вираз для оператора кусково- сталої сплайн-інтерполяції, побудованого на основі інтерфлетації, та отримаємо відповідні кубатурні формули. Теорема 3. Для кубатурної формули  3 1 , ,m n p обчислення  3 1 , ,I m n p справедлива оцінка  3 3 1 1( , , ) , ,I m n p m n p   3 3 9 1 64 16 4 M M M          . За теоремами 1 та 2 маємо:    3 3 1 1, , , ,I m n p m n p  +  3 3 1 1( , , ) , ,m n p m n p    3 1 64 M  + 3 3 1 16 M  . Знайдемо оцінку  3 3 1 1( , , ) , ,m n p m n p  . Теорему доведено. Висновки. Досліджено кубатурні форму- ли обчислення 3D-коефіцієнтів Фур'є з вико- ристанням операторів кусково-сталої інтер- 22 УСиМ, 2013, № 6 флетації на класі функцій, визначених на  30,1G  і таких, що  1,0,0 ( , , )f x y z M ,  0,1,0 ( , , )f x y z M ,  0,0,1 ( , , )f x y z M ,  1,1,0 ( , , )f x y z M ,  1,0,1 ( , , )f x y z M ,  0,1,1 ( , , )f x y z M ,  1,1,1 ( , , )f x y z M  . Інформацію про функцію задано слідами на системі взаємно перпендикулярних площин, слідами на системі взаємно перпендикулярних ліній та значеннями функції у вузлових точках. У всіх випадках отримано оцінку похибки на- ближення 3D-коефіцієнтів Фур'є кубатурними формулами. Тестування та аналіз запропонованих куба- турних формул буде розглянутий у наступних статтях. Питання якості кубатурних формул, тобто чи є побудовані кубатурні формули оп- тимальними або близькими до них, буде на- ступним етапом досліджень. 1. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її за- стосування. – Харків: Основа, 2002. – 544 с. 2. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Оператори фінітно- го тривимірного перетворення Фур’є // Радиоэлек- троника и информатика. – 2004. – № 4(29). – С. 130–133. 3. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Оператори фінітно- го тривимірного дискретно-неперервного перетво- рення Фур’є на основі методу Файлона та триліній- них сплайнів, точні на тригонометричних поліно- мах заданого порядку // Інформаційно-керуючі си- стеми на залізничному транспорті. – 2005. – № 1, 2 (51, 52). – С. 19–23. 4. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Тривимірні фінітні перетворення Фур’є та Хартлі з використанням інтер- флетації функцій // Вестн. Нац. техн. ун-та «ХПИ»: Сб. научн. трудов. Тем. вып. «Автоматика и прибо- ростроение». – 2005. – № 38. – С. 90–130. 5. Литвин О.М., Нечуйвітер О.П. Потрійні інтеграли від щвидкоосцилюючих функцій на класі 3 2, , ,L L LC та інтерфлетація функцій // Інформатика та системні науки (ІСН-2010): Матеріали Всеукр. конф., 18–20 березня 2010 р.– Полтава: РВВ ПУСКУ, 2010. – С. 108–110. Поступила 27.08.2013 Тел. для справок: +38 057 771-0545, 63-5923, 771-0545, 376-6026, +38 050 189-4738 (Харьков) E-mail: academ@kharkov.ua, olesya@email.com © О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер, 2013  О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер 3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и информационные операторы различных типов с использованием кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации Введение. При приближении функции двух и трех пере- менных симметричными отрезками ряда Фурье возника- ет задача вычисления коэффициентов этого ряда с помо- щью информационных операторов различных типов. В качестве данных могут быть значения функции в узловых точках, значения функции на линиях или плоскостях, ин- тегралы от приближаемой функции вдоль избранной сис- темы линий или плоскостей, пересекающих исследуемый объект. Задачу приближенного вычисления 3D-коэффи- циентов Фурье в случае, когда начальная информация задана различными информационными операторами, по- зволяет эффективно решать аппарат интерлинации и ин- терфлетации функций [1] на различных их классах. Общий подход к построению операторов финитного трехмерного дискретно-непрерывного и дискретного преобразования Фурье на основании метода Файлона, трилинейных сплайнов (линейных по каждой перемен- ной) и сплайн-интерфлетации на классе дифференциро- ванных функций в случае, когда заданы значения функ- ции в узлах, изложен в [2–4]. Построение кубатурной формулы на основе кусочно-постоянной интерфлетации на классе Липшица при данных – следах функции на плоскостях, рассмотрено в [5]. Цель данной статьи – представление кубатурных формул приближенного вы- числения 3D коэффициентов Фурье, построенное на базе кусочно-постоянной интерфлетации функций, в слу- чаях, когда в качестве данных заданы следы функции на плоскостях, на линиях и в значениях узловых точек. Постановка задачи Для вычисления 3D-коэффициентов Фурье вида 1 1 1 3 1 0 0 0 ( , , ) ( , , )sin 2 sin 2 sin 2I m n p f x y z mx ny pzdxdydz      , 1 1 1 3 2 0 0 0 ( , , ) ( , , )cos 2 cos 2 cos 2I m n p f x y z mx ny pzdxdydz      , 1 1 1 3 2 2 2 3 0 0 0 ( , , ) ( , , ) i mx i ny i pzI m n p f x y z e e e dxdydz         построить кубатурные формулы с использованием опе- раторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на классе действительных функций трех переменных, оп- ределенных на G = [0, 1]3 и таких, что УСиМ, 2013, № 6 23  1,0,0 ( , , )f x y z M ,  0,1,0 ( , , )f x y z M ,  0,0,1 ( , , )f x y z M ,  1,1,0 ( , , )f x y z M ,  1,0,1 ( , , )f x y z M ,  0,1,1 ( , , )f x y z M ,  1,1,1 ( , , )f x y z M  , в случае, когда ин- формация о функции задана ее следами на взаимно пер- пендикулярных плоскостях, следами на линиях и значе- ниями функции в узловых точках. Получить оценки по- грешности кубатурных формул. Кусочно-постоянные операторы интерполяции, интерлинации и интерфлетации Введем следующие обозначения    1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2, , , , ,k k k j j j s s sX x x Y y y Z z z          ,   1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2, , , , ,s s sj j jk k kX x x Y y y Z z z                          ,  1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2, , , , ,s s sj j jk k kX x x Y y y Z z z            , 1 2 1, ,1, , ( ) ( ) 0, , 0, , jk k j k j y Yx X h x h y x X y Y       3 1, , ( ) 0, , s s s z Z h z z Z     21 1, ,1, , ( ) ( ) 0, , 0, , jk jk jk y Yx X h x h y x X y Y                     3 1, , ( ) 0, , s s s z Z h z z Z          21 1, ,1, , ( ) ( ) 0, , 0, , jk jk jk y Yx X h x h y x X y Y           3 1, , ( ) 0, , s s s z Z h z z Z     1 , , , , , , 1, 2 2 2k j sx k y j z s k j s                 , 3/ 21 1 1 1 1 1 1 3/ 2 1 , , , , , , 1, 2 2 2sjkx k y j z s k j s                         , 32 2 2 2 2 2 2 3 1 , , , , , , 1, 2 2 2sjkx k y j z s k j s                 . Рассмотрим операторы 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( ),k k k O f x y z f x y z h x    2 2 1 ( , , ) ( , , ) ( ),j j j O f x y z f x y z h y    3 3 1 ( , , ) ( , , ) ( ),s s s O f x y z f x y z h z    3/2 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( ),k k k O f x y z f x y z h x         3/2 2 2 1 ( , , ) ( , , ) ( ),j j j O f x y z f x y z h y         3/2 3 3 1 ( , , ) ( , , ) ( ),s s s O f x y z f x y z h z         3 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( ),k k k O f x y z f x y z h x     3 2 2 1 ( , , ) ( , , ) ( ),j j j O f x y z f x y z h y    3 3 3 1 ( , , ) ( , , ) ( ).s s s O f x y z f x y z h z    Определение 1. Под следом функции ( , , )f x y z на линиях понимается ( , , ), 0 1k jf x y z z  , ( , , ), 0 1k sf x y z y  , ( , , ), 0 1j sf x y z x  . Определение 2. Под следом функции ( , , )f x y z на плоскостях понимается ( , , ), 0 1, 0 1kf x y z y z    , ( , , ), 0 1, 0 1jf x y z x z    , ( , , ), 0 1, 0 1sf x y z x y    . Лемма 1. [1] Оператор кусочно-постоянной интерф- летации      1 2 3( , , ) , , , , , ,Of x y z O f x y z O f x y z O f x y z           1 2 2 3 1 3 1 2 3, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z    имеет свойство 3 1 ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z O         . Лемма 2. [1] Оператор кусочно-постоянной интер- линации, построенный на основе интерфлетации        1 2 1 3 1 2 3, , , , , , , ,Of x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z             2 1 2 3 2 1 3, , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O O f x y z            3 1 3 2 3 1 2, , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O O f x y z              1 2 1 3 2 3 1 2 3, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z    имеет свойство 3 1 ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z O           . Лемма 3. [1] Оператор кусочно-постоянной интер- поляции, построенный на основе интерфлетации      1 2 3 1 3 2 1 2 3( , , ) , , , , , ,Of x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z            2 1 3 2 3 1 2 1 3, , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z            3 1 2 3 2 1 3 1 2, , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z              1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3, , , , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z    имеет свойство 3 1 ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z O         . Лемма 4. Пусть    1,1,1 3, ,f x y z C R , тогда справедли- вы следующие соотношения: 1.             1,1,1 , , , , , , , , , , k j s yx z x y z k j s f d d d f x y z f x y z f x y z f x y z                       , , , , , , , ,k j k s j s k j sf x y z f x y z f x y z f x y z    ; 2.             1,1,0 , , , , , , , , , , ; k j yx x y k j k j f z d d f x y z f x y z f x y z f x y z                        1,0,1 , , , , , , , , , , ; k s x z x z k s k s f y d d f x y z f x y z f x y z f x y z                        0,1,1 , , , , , , , , , , ; j s y z y z j s j s f x d d f x y z f x y z f x y z f x y z            3.        1,0,0 , , , , , , k x k x f y z d f x y z f x y z    ;        0,1,0 , , , , , , j y j y f x z d f x y z f x y z    ;        0,0,1 , , , , , , s z s z f x y d f x y z f x y z    . Леммы 1–4 доказаны. 24 УСиМ, 2013, № 6 Кубатурная формула вычисления 3D-коэффици- ентов Фурье с использованием операторов кусочно- постоянной интерфлетации Для вычисления интегралов 3 ( , , ), 1, 2,3I m n p   пред- ложены формулы   1 1 1 3 1 0 0 0 , , ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz       , 1 1 1 3 2 0 0 0 ( , , ) ( , , )cos2 cos2 cos 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz       , 1 1 1 3 2 2 2 3 0 0 0 ( , , ) ( , , ) i mx i ny i pzm n p Of x y z e e e dxdydz          . Подставим выражение для оператора кусочно-посто- янной сплайн-интерфлетации и получим соответствую- щие кубатурные формулы. Теорема 1. Для кубатурной формулы  3 1 , ,m n p вы- числения  3 1 , ,I m n p справедлива оценка    3 3 1 1 3 1 , , , , 64 MI m n p m n p    . Теорема доказана. Кубатурная формула вычисления 3D-коэффици- ентов Фурье с использованием операторов кусочно- постоянной интерлинации, построенных на основе интерфлетации Для вычисления интегралов 3 ( , , ), 1, 2,3I m n p   пред- ложены формулы:   1 1 1 3 1 0 0 0 , , ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz        ,   1 1 1 3 2 0 0 0 , , ( , , )cos 2 cos 2 cos 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz        ,   1 1 1 3 2 2 2 3 0 0 0 , , ( , , ) i mx i ny i pzm n p Of x y z e e e dxdydz           . Подставим выражение для оператора кусочно-посто- янной сплайн-интерлинации, построенного на основе интерфлетации, и получим соответствующие кубатурные формулы. Теорема 2. Для кубатурной формулы  3 1 , ,m n p вы- числения  3 1 , ,I m n p справедлива оценка  3 3 1 1( , , ) , ,I m n p m n p   3 3 1 64 16 M M        . Теорема доказана. Кубатурная формула вычисления 3D-коэффици- нтов Фурье с использованием операторов кусочно- постоянной интерполяции, построенных на основе интерфлетации Для вычисления интегралов 3 ( , , ), 1,2,3I m n p   пред- ложены формулы   1 1 1 3 1 0 0 0 , , ( , , )sin 2 sin 2 sin 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz       ,   1 1 1 3 2 0 0 0 , , ( , , )cos 2 cos 2 cos 2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz       ,   1 1 1 3 2 2 2 3 0 0 0 , , ( , , ) i mx i ny i pzm n p Of x y z e e e dxdydz          . Подставим выражение для оператора кусочно-постоян- ной сплайн-интерполяции, построенного на основе ин- терфлетации, и получим соответствующие кубатурные формулы. Теорема 3. Для кубатурной формулы  3 1 , ,m n p вы- числения  3 1 , ,I m n p справедлива оценка  3 3 1 1( , , ) , ,I m n p m n p   3 3 9 1 64 16 4 M M M          . По теоремам 1 и 2 имеем    3 3 1 1, , , ,I m n p m n p   3 3 1 1( , , ) , ,m n p m n p   ≤  3 1 64 M  + 3 3 1 16 M  . Найдем оценку  3 3 1 1( , , ) , ,m n p m n p  . Теорема доказана. Заключение. Исследованы кубатурные формулы вы- числения 3D-коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной интерфлетации на клас- се функций, определенных на  30,1G  и таких, что  1,0,0 ( , , )f x y z M ,  0,1,0 ( , , )f x y z M ,  0,0,1 ( , , )f x y z M ,  1,1,0 ( , , )f x y z M ,  1,0,1 ( , , )f x y z M ,  0,1,1 ( , , )f x y z M ,  1,1,1 ( , , )f x y z M  . Информация о функции за- дана следами на системе взаимно перпендикулярных плоскостей, следами на системе взаимно перпендикуляр- ных линий и значениями функции в узловых точках. Во всех случаях получена оценка погрешности приближе- ния 3D-коэффициентов Фурье кубатурными формулами. Тестирование и анализ предлагаемых кубатурных формул будет рассмотрен в следующих статьях. Вопрос качества кубатурных формул, т.е., будут ли построен- ные кубатурные формулы оптимальными или близкими к ним, будет следующим этапом исследований.  << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e4007400740065006900640020006b00760061006c006900740065006500740073006500200074007200fc006b006900650065006c007300650020007000720069006e00740069006d0069007300650020006a0061006f006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e000d000a> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <FEFF004b0069007600e1006c00f30020006d0069006e0151007300e9006701710020006e0079006f006d00640061006900200065006c0151006b00e90073007a00ed007401510020006e0079006f006d00740061007400e100730068006f007a0020006c006500670069006e006b00e1006200620020006d0065006700660065006c0065006c0151002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0061007400200065007a0065006b006b0065006c0020006100200062006500e1006c006c00ed007400e10073006f006b006b0061006c0020006b00e90073007a00ed0074006800650074002e0020002000410020006c00e90074007200650068006f007a006f00740074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b00200061007a0020004100630072006f006200610074002000e9007300200061007a002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020007600610067007900200061007a002000610074007400f3006c0020006b00e9007301510062006200690020007600650072007a006900f3006b006b0061006c0020006e00790069007400680061007400f3006b0020006d00650067002e> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

3D-коефіцієнти Фур'є на класі диференційовних функцій та інформаційні оператори різних типів з використанням кусково-сталої сплайн-інтерфлетації

Institution

Ähnliche Einträge