Оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели SWAN при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений
Спектральные модели SWAN и ExEBED, применяемые к волновым процессам в прибрежной области, для описания дифракции включают разные подходы, основанные на аппроксимации уравнения пологих склонов (УПС) в терминах волновой энергии, а также разные трактовки в зоне обрушения волн, вызванного изменением глу...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2011
|
| Назва видання: | Математичні машини і системи |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83614 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели SWAN при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений / Р.И. Демченко, П.В. Дикий, П.С. Коломиец // Мат. машини і системи. — 2011. — № 3. — С. 83-96. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-83614 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-836142015-06-21T03:02:43Z Оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели SWAN при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений Демченко, Р.И. Дикий, П.В. Коломиец, П.С. Нові інформаційні і телекомунікаційні технології Спектральные модели SWAN и ExEBED, применяемые к волновым процессам в прибрежной области, для описания дифракции включают разные подходы, основанные на аппроксимации уравнения пологих склонов (УПС) в терминах волновой энергии, а также разные трактовки в зоне обрушения волн, вызванного изменением глубины. Сравнение численных результатов модели SWAN и ExEBED проведено на лабораторных данных для процесса трансформации волн на донных неоднородностях и в зоне обрушения волн на береговом уклоне. Спектральні моделі SWAN і ExEBED, які адаптовані до хвильових процесів у прибережній зоні, для опису процесу дифракції містять різні підходи, що базуються на апроксимації рівняння положистих схилів (РПС) у термінах хвильової енергії, а також різні тлумачення щодо обрушення хвиль зі зміною глибини. Порівняння числових результатів моделі SWAN і ExEBED проведене за лабораторними даними для процесу трансформації хвиль на неоднорідностях дна і у зоні обрушення хвиль на прибережному схилі. Spectral models SWAN and ExEBED being applied for the wave processes at the coastal zone include both different description methods of the diffraction, which are based on the mild slope equation (MSE) approximation in wave energy terms, and different treatments of surfer zone process. The comparison of SWAN and ExEBED models calculated results was realized with laboratory data for the wave transformation both on the bottom heterogeneity and at the surfer zone on the beach slope. 2011 Article Оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели SWAN при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений / Р.И. Демченко, П.В. Дикий, П.С. Коломиец // Мат. машини і системи. — 2011. — № 3. — С. 83-96. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83614 004.94: 532.59 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Нові інформаційні і телекомунікаційні технології Нові інформаційні і телекомунікаційні технології |
| spellingShingle |
Нові інформаційні і телекомунікаційні технології Нові інформаційні і телекомунікаційні технології Демченко, Р.И. Дикий, П.В. Коломиец, П.С. Оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели SWAN при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений Математичні машини і системи |
| description |
Спектральные модели SWAN и ExEBED, применяемые к волновым процессам в прибрежной области, для описания дифракции включают разные подходы, основанные на аппроксимации уравнения пологих склонов (УПС) в терминах волновой энергии, а также разные трактовки в зоне обрушения волн, вызванного изменением глубины. Сравнение численных результатов модели SWAN и ExEBED проведено на лабораторных данных для процесса трансформации волн на донных неоднородностях и в зоне обрушения волн на береговом уклоне. |
| format |
Article |
| author |
Демченко, Р.И. Дикий, П.В. Коломиец, П.С. |
| author_facet |
Демченко, Р.И. Дикий, П.В. Коломиец, П.С. |
| author_sort |
Демченко, Р.И. |
| title |
Оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели SWAN при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений |
| title_short |
Оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели SWAN при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений |
| title_full |
Оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели SWAN при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений |
| title_fullStr |
Оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели SWAN при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений |
| title_full_unstemmed |
Оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели SWAN при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений |
| title_sort |
оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели swan при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Нові інформаційні і телекомунікаційні технології |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83614 |
| citation_txt |
Оценка дифракции и диссипации волновой энергии в модели SWAN при исследовании трансформации нерегулярных волн на неоднородностях дна и генерации вдольбереговых течений / Р.И. Демченко, П.В. Дикий, П.С. Коломиец // Мат. машини і системи. — 2011. — № 3. — С. 83-96. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT demčenkori ocenkadifrakciiidissipaciivolnovojénergiivmodeliswanpriissledovaniitransformaciineregulârnyhvolnnaneodnorodnostâhdnaigeneraciivdolʹberegovyhtečenij AT dikijpv ocenkadifrakciiidissipaciivolnovojénergiivmodeliswanpriissledovaniitransformaciineregulârnyhvolnnaneodnorodnostâhdnaigeneraciivdolʹberegovyhtečenij AT kolomiecps ocenkadifrakciiidissipaciivolnovojénergiivmodeliswanpriissledovaniitransformaciineregulârnyhvolnnaneodnorodnostâhdnaigeneraciivdolʹberegovyhtečenij |
| first_indexed |
2025-07-06T10:25:52Z |
| last_indexed |
2025-07-06T10:25:52Z |
| _version_ |
1836892871141097472 |
| fulltext |
© Демченко Р.И., Дикий П.В., Коломиец П.С., 2011 83
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3
УДК 004.94: 532.59
Р.И. ДЕМЧЕНКО, П.В. ДИКИЙ, П.С. КОЛОМИЕЦ
ОЦЕНКА ДИФРАКЦИИ И ДИССИПАЦИИ ВОЛНОВОЙ ЭНЕРГИИ В МОДЕЛИ
SWAN ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ТРАНСФОРМАЦИИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ВОЛН НА
НЕОДНОРОДНОСТЯХ ДНА И ГЕНЕРАЦИИ ВДОЛЬБЕРЕГОВЫХ ТЕЧЕНИЙ
Анотація. Спектральні моделі SWAN і ExEBED, які адаптовані до хвильових процесів у прибере-
жній зоні, для опису процесу дифракції містять різні підходи, що базуються на апроксимації рів-
няння положистих схилів (РПС) у термінах хвильової енергії, а також різні тлумачення щодо об-
рушення хвиль зі зміною глибини. Порівняння числових результатів моделі SWAN і ExEBED прове-
дене за лабораторними даними для процесу трансформації хвиль на неоднорідностях дна і у зоні
обрушення хвиль на прибережному схилі.
Ключові слова: дифракція, уздовжберегова течія, модель SWAN, модель ExEBED.
Аннотация. Спектральные модели SWAN и ExEBED, применяемые к волновым процессам в при-
брежной области, для описания дифракции включают разные подходы, основанные на аппрокси-
мации уравнения пологих склонов (УПС) в терминах волновой энергии, а также разные трактовки
в зоне обрушения волн, вызванного изменением глубины. Сравнение численных результатов модели
SWAN и ExEBED проведено на лабораторных данных для процесса трансформации волн на донных
неоднородностях и в зоне обрушения волн на береговом уклоне.
Ключевые слова: дифракция, вдольбереговое течение, модель SWAN, модель ExEBED.
Abstract. Spectral models SWAN and ExEBED being applied for the wave processes at the coastal zone
include both different description methods of the diffraction, which are based on the mild slope equation
(MSE) approximation in wave energy terms, and different treatments of surfer zone process. The compari-
son of SWAN and ExEBED models calculated results was realized with laboratory data for the wave
transformation both on the bottom heterogeneity and at the surfer zone on the beach slope.
Keywords: diffraction, alongshore current, SWAN model, ExEBED model.
1. Введение
Спектральные модели (осредненные по фазе), такие как WAM, WAVEWATCH-III, SWAN,
TOMAWAC, рассматривают состояние волнового поля в любой точке ( )yx, как суперпо-
зицию бесконечного числа синусоидальных волн, распространяющихся независимо друг
от друга (Pierson, et al., 1955 в [1]), представляющую собой плотность спектра волновой
энергии. Осредненные по фазе модели основаны на законе сохранения волнового действия
или балансе волновой энергии (при отсутствии течений) и являются развитием моделей,
основанных на методе геометрической оптики лучей, описывающих изменение амплитуды
и процесс рефракции волн, а также генерацию волн ветром, диссипацию волновой энергии
и нелинейное резонансное взаимодействие. Такие модели в основном применяются для
задач на значительных пространственных масштабах и первоначально не рассматривали
процесс дифракции. Для адаптации спектральной модели SWAN в прибрежных водах в
работе [2] был добавлен эффект дифракции в характерные скорости распространения вол-
нового движения через волновое число как функция, содержащая вторую производную по
пространственным координатам от амплитуды волны. В [1] Холзуйджсеном Л. было пред-
положено, что добавление дифракции в уравнение баланса энергии связано с формулиров-
кой параболической аппроксимации УПС в терминах волновой энергии.
Попытка включить компоненту дифракции в уравнение баланса энергии была пред-
принята Ли С. и Лином Р. [3] с помощью представления спектральной модели в терминах
комплексной плотности спектра волновой высоты. Волновая дифракция, полученная в [3]
с помощью УПС и добавленная в уравнение баланса в виде источника диффузии волновой
84 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3
энергии, показала приемлемое сравнение численных результатов и экспериментальных
данных по исследованию волновой рефракции и дифракции (Yu et al., 2000 в [3]). Ди-
фракционная составляющая, выраженная через волновую энергию с помощью аппрокси-
мации параболического приближения УПС, была добавлена Мэйсом Х. [4] непосредствен-
но в уравнение баланса энергии. Для полученной спектральной модели ExEBED [4] была
проведена калибровка коэффициента дифракции при сравнении с аналитическими резуль-
татами теории Зоммерфельда.
В настоящей работе с помощью аппроксимации гиперболического приближения
УПС получена дифракционная компонента в терминах волновой энергии, которая может
быть добавлена в уравнение сохранения волнового действия аналогично [4].
Сравнение численных результатов моделей SWAN и спектральной модели ExEBED
[4] проведено на экспериментах для щели между двумя волноломами [4, 5], подводных не-
однородностях в виде эллипса и полусферы [6, 7]. Различие в интерпретации процесса об-
рушения волн, вызванного изменением глубины (Takayama T. et al., 1991, Thornton & Guza,
1983 в [4] и Battjes & Janssen, 1978 в [1]), показано при сравнении с лабораторными дан-
ными по распределению профиля вдольберегового течения (эксперимент Hamilton &
Ebersole, 2001 в [8]).
2.1. Эффект дифракции в модели SWAN
Закон сохранения волнового действия в декартовых координатах имеет вид (Hasselman et
al., 1985) в [1]):
( ) ( )
( , ; , , )
x y
g gc N c NN c N c N S x y t
t x y
θ σ σ θ
θ σ σ
∂ ∂∂ ∂ ∂+ + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
. (1)
Здесь ( , ; , , ) ( , ; , , ) /N x y t E x y tσ θ σ θ σ= – плотность волнового действия, где E ,σ –
соответственно плотность энергии и относительная круговая частота; ( )x
gc , ( )y
gc – компонен-
ты групповой скорости волн соответственно в направлениях координат yx, ; cσ , cθ – ско-
рости распространения в пространстве ( )θσ , . Уравнение (1) при условии отсутствия тече-
ний приводится к уравнению баланса энергии.
Двумерный спектр плотности волнового действия ( , )N f θ может быть задан в
форме [9]:
( , ) ( ) ( , )N f S f D fθ θ= , (2)
где ( )S f – спектр частот, ( , )D f θ – спектр распространения волн.
В случае однонаправленного распространения спектра ( )D D θ= .
Эффект дифракции в версиях 40,51, 40,72, 40,81 модели SWAN учитывается с по-
мощью поправочного параметра Eδ , который добавляется в скорости распространения
следующим образом [2]:
1/2(1 )g g EC c Uδ= + +
r rr
, (3)
1/2(1 )g E
h U
C U h c к
h t sσ
σ δ∂ ∂ ∂ = + ⋅ ∇ − ⋅ + ∂ ∂ ∂
r
r r
, (4)
1/2 1 1
(1 )
2(1 )
E
g E
E
к к U
C c
к m m к mθ
δδ
δ
∂ ∂ ∂= − + + + ⋅ ∂ + ∂ ∂
rr
, (5)
k Uω σ= + ⋅
r r
. (6)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 85
Здесь h – глубина, ( , )s m – локальные координаты (соответственно тангенциальная
s и нормальная m к характеристической кривой с направлением волнового распростране-
ния θ ), ω – абсолютная круговая частота, U
r
– скорость течения.
Дифракционный параметр Eδ , полученный на основе пространственных осредне-
ний волнового поля, имеет вид [2]:
2
( )g
E
g
cc E
к сс E
δ
∇ ⋅ ∇
= , (7)
где c – фазовая скорость.
Если Eδ =0, скорости ( ) ( ), , , x y
g gC C C Cσ θ совпадают соответственно со скоростями
( )x
gc ,
( )y
gc , cσ , cθ , а волновой параметр k совпадает с волновым числом k .
Модель SWAN может применяться как в декартовых или криволинейных координа-
тах, так и в сферических, в зависимости от масштаба рассматриваемой области. Вычисли-
тельная схема SORDUP второго порядка и схема третьего порядка Stelling & Leendertse
[10, 11] применяются соответственно для стационарных и нестационарных задач.
Как отмечено в [12], для монохроматических волн отсутствие дифракции в модели
SWAN приводит к нереальным значениям высоты волн в теневой зоне острова. В случае
распространения спектра значительная часть энергии поступает в теневую зону и эффект
отсутствия дифракции волн заметно сказывается только в зоне радиуса порядка одной-
двух длин волн возле острова.
Энетом Ф. и др. [13] в результате численных экспериментов по моделированию
трансформации волнового поля в окрестности волнолома, расположенного параллельно
берегу, и сравнения с аналитическим решением (Wiegel R., 1962 в [13]), был сделан сле-
дующий вывод: в случае узкого спектра (ширина параметра распространения меньше 015 )
модель SWAN следует использовать с параметром дифракции Eδ ; в случае широкого
спектра рекомендуется выключать опцию дифракции.
Кроме того, в [14] результаты проведения численных экспериментов по исследова-
нию трансформации волнового поля и сравнения их с данными физического моделирова-
ния в условиях порта выявили сложности сходимости вычислительного процесса при
включении опции дифракции.
2.2. Спектральная модель ExEBED
Спектральная модель ExEBED [4], записанная для стационарных условий трансформации
волн и при отсутствии течений ( )σω = , имеет вид
( ) ( )
2 21
( cos ) cos
2 2
x y
g g diffr
g y y g yy b
c N c N Kc N
cc N cc N N
x y
θ θ θ ε
θ σ
∂ ∂ ∂ + + = − − ∂ ∂ ∂
, (8)
гле bε – параметризация диссипации волновой энергии, вызванной обрушением, diffrK –
коэффициент дифракции, определяемый при сравнении с измеренными данными, причем
0 4diffrK≤ ≤ [15].
Дифракционная компонента уравнения (8) получена на основе дифракционной со-
ставляющей параболического приближения УПС [16], представленного в виде [4]
( )2 2 2*( ) 2
2g x g g y y by y
i
c A cc A cc A A Aε
σ
− − = −
, (9)
86 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3
и при предположении
2
E A∝ , * / 4y y yyA A E� [4], где *, A A – соответственно амплитуда
волны и ее комплексно сопряженное значение.
Спектральная модель CMS-Wave [15]
( ) ( )
2 21
( cos ) cos
2 2
x y
g g diffr
g y y g yy b n
n
c N c N Kc N
cc N cc N N Q
x y
θ θ θ ε
θ σ
∂ ∂ ∂ + + = − − − ∂ ∂ ∂
∑ (10)
является развитием модели ExEBED [4]. Здесь n
n
Q∑ – дополнительные источники воздей-
ствия на распространение волн (донное трение, ветровая генерация волн и нелинейное ре-
зонансное взаимодействие).
Численная реализация модели ExEBED основана на схеме QUICK [17], которая ве-
рифицирована на лабораторных експериментах Chawla et al., 1998 в [4], Vincent & Briggs,
1989 в [8]. Впоследствии модель показала согласованные результаты тестирования с дан-
ными физического моделирования дамб, навигационных каналов, берегов с постоянными
уклонами в экспериментах Smith et al., 1998 в [15].
2.2.1. Дифракционное слагаемое на основе гиперболического приближения УПС
Нестационарная форма уравнения УПС в терминах возвышения свободной поверхности η
при условии 0U =
r
имеет вид [18, 19]:
2
2 2
2
( ) ( ) ( ) 0g g gcc cc k cc
t x x y y
η η η ω η∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
. (11)
Следуя [3, 4], будем предполагать, что
( , , , )exp( ( , , , )A x y t iS x y tη ω ω= , (12)
где А – комплексная функция волновой амплитуды, S – фазовая функция изменения вол-
нового движения. Кроме того, будем предполагать, что k S= ∇ , / cosS x k θ∂ ∂ = ,
/ sinS y k θ∂ ∂ = и ,tt xx yyA A A� . Подставляя выражение (12) в уравнение (11), имеем
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
x y
g g g gx y
g g
c c c cA A A A A A A
c c i
t x x y y x k x y k y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
. (13)
Здесь ( ) cosx
g gc c θ= , ( ) siny
g gc c θ= .
Аналогично [4] будем предполагать, что
2 *AA Eη = ∝ , * 1
4x x xxA A E≅ , * 1
4y y yyA A E≅ .
Умножая уравнение (13) на *A и складывая его с комплексно сопряженным уравне-
нием, умноженным на A , мы получим для одной гармоники с частотой ω σ= :
( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1
2 2 4 4
g g g gx y
g g x y xx yy
x y
cc cc cc ccE
c E c E i E E E E
t x y ω ω ω ω
∂ ∂ ∂+ + = + − − ∂ ∂ ∂
. (14)
В отсутствие течений уравнение сохранения плотности волнового действия (1) сво-
дится к уравнению баланса энергии [1]:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 87
( ) ( )( , ; , , ) ( , ; , , )( , ; , , ) ( , ; , , )
x y
g g
n
n
c E x y t c E x y tE x y t c E x y t
S
t x y
θω θ ω θω θ ω θ
θ
∂ ∂∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∑ , (15)
где nS – источники генерации волн ветром, диссипации волновой энергии и нелинейного
взаимодействия между гармониками различных частот.
Сравнивая уравнения (14) и (15) для одной гармоники, можно видеть, что адвектив-
ные слагаемые уравнения (15) совпадают с такими же слагаемыми уравнения (14), полу-
ченного из УПС, однако уравнение (14) содержит дополнительную диффузионную компо-
ненту, представляющую дифракционные эффекты, а уравнение (15) в своей левой части
содержит рефракцию волновой энергии по направлению распространения θ. Следуя [4],
будем предполагать, что волновая спектральная модель (15) может быть модифицирована
добавлением дифракционной компоненты в виде диффузионного источника следующим
образом:
( ) ( )
1 1
( ) ( ) ( )
2 2
x y
g g diffr
g x x g y y g xx yy n
n
c N c N KN c N
cc N cc N cc N N S
t x y
θ
θ σ σ
∂ ∂∂ ∂ + + + = + − + + ∂ ∂ ∂ ∂
∑ . (16)
Здесь ω σ= ( 0U =
r
), /N E σ= .
Следует отметить, что в спектральной модели ExEBED [4] (уравнение (8)) дифрак-
ционная составляющая не содержит изменение по направлению распространения каждой
гармоники, а только вдоль ее фронта (параболическое приближение УПС) в отличие от
полученного уравнения (16). Кроме того, дифракционные слагаемые уравнений (8) и (16)
отличаются множителем 2cos θ . Коэффициент diffrK уравнения (16) впоследствии должен
быть оптимизирован на экспериментальных данных аналогично [4, 15].
3. Трансформация волн на щели между волноломами
С помощью численных экспериментов рассмотрим изменение волнового поля для двух
случаев (узкого и широкого спектров) в прибрежной области постоянной глубины, содер-
жащей два параллельных берегу и равноудаленных от него волнолома, расстояние между
которыми составляет несколько длин волн.
В первом случае покажем сравнение численных результатов модели SWAN и ана-
литического решения, полученного согласно теории Зоммерфельда и используемого для
валидации модели (8) в работе [4].
Во втором случае проведем сравнение с численным решением Isaacson & Qu, 1990
для уравнения Гельмгольца, которое совпадает с УПС при постоянной глубине и приведе-
но в [20] для валидации модели Буссинеска. Кроме того, для широкого спектра проведем
сравнение численных результатов модели SWAN с лабораторными данными Yu, et al.,
2000 в [5].
3.1. Сравнение с аналитическим решением
Согласно численному эксперименту, представленному в [4], глубина воды 12h const м= = ,
высота sH и период pT падающей волны соответственно равны 1м и 10с. Расстояние меж-
ду волноломами 2/ =LB , где 100L м= – длина волны.
JONSWAP спектр частот запишем в виде [7]:
2 2 2
4
2
e x p ( ) / ( 2 )
4 5
( ) e x p 1, 2 5
( 2 )
p pf f f
p
g f
S f
f f
σα γ
π
−
− −
= −
, (17)
88 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y/B
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
H
s/
H
s0
Рис. 1. Распределение относительных
высот в сечении x/B=1.
SWAN: ( ) – Eδ =0, (…) – 0Eδ ≠ , (_._) –
аналитическое решение Зоммерфельда [4]
где
0,07 for
0,09 for
p
p
f f
f f
σ
σ
= ≤
= >
, γ – параметр формы спектра, 1 /p pf T= – пиковая частота, α –
линейная константа для получения требуемой вариации плотности энергии.
В настоящей работе использовалась модифицированная форма JONSWAP спектра
[5, 21]:
2 2 2
4
exp ( ) / ( 2 )2 5 5( ) exp 1, 25 p pf f f
s p
p
f
S f H f f
f
σδ γ
−
− −−
= −
, (18)
где sH – значимая высота волн, δ – коэффициент, зависящий от параметра γ:
0,0624
0,185
0,230 0,0336
1,9
δ
γ
γ
=
+ −
+
.
Спектр разнонаправленного распространения волн имеет форму типа Митсуясу
(Goda, 1987 в [22]):
[ ]2
0( , ) cos ( ) / 2s
mG f Gθ θ θ= − , (19)
где [ ]max
min
1
2
0 cos ( ) / 2 s
mG d
θ
θ
θ θ θ
−
= −
∫ ,
5
max
2,5
max
( / )
( / )
p p
p p
S f f f f
s
S f f f f−
≤=
>
.
В численном эксперименте были приняты параметры [4]: 3,3=γ , средний угол
0=mθ (направление распространения волны совпадает с осью OX), параметр углового
распространения 25max =S (узкий спектр).
На рис. 1 показано сравнение чис-
ленных результатов модели SWAN
(сплошная и пунктирная кривые) с анали-
тическим решением теории Зоммерфельда
(кривая _._), приведенным в [4] для сече-
ния / 1x B = .
Как видно из рис. 1, учет параметра
дифракции Eδ в модели SWAN приближа-
ет результаты вычисления в этом случае к
аналитическому решению в теневой облас-
ти волноломов.
3.2. Сравнение с численным решением
для уравнения Гельмгольца
В работе [20] проведено сравнение резуль-
татов численного моделирования транс-
формации нерегулярных волн на щели между волноломами с помощью уравнения Бусси-
неска и численного решения Isaacson & Qu, 1990 уравнения Гельмгольца. Глубина области
10h const м= = , 1sH м= , 7pT с= , расстояние между волноломами 2/ =LB . Частотный
спектр задавался в виде JONSWAP спектра (17) с параметром 3,3=γ . Спектр разнона-
правленного распространения имеет форму Митсуясу (19) с параметром углового распро-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 89
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
y/L
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
H
s
/ H
s0
Рис. 2. Сравнение относительных высот в
сечении x/L=2.
SWAN: ( ) – Eδ =0, (…) – 0Eδ ≠ ; (х) –
уравнение Гельмгольца
Рис. 3. Схема эксперимента Yu, et al., 2000 в [5]
странения 20θσ = ° ( max 19S ≈ ). Параметр maxS пересчитывался согласно Kuik et al., 1988 в
[23] по формуле
1/2
2
( ) 1m s f
σ = +
, (20)
где
180m θ
πσ σ= .
Направление распространения спектра совпадает с осью OX ( )0=mθ .
Как видно из рис. 2, в сечении
2/ =Lx (за волноломами) уменьшение па-
раметра распространения maxS (и, соответст-
венно, увеличение ширины спектра по срав-
нению с предыдущим случаем) приводит к
значительному отклонению распределения
относительных высот в центральной части
расчетной области от численного решения
(х) уравнения Гельмгольца, приведенного в
[20]. При этом учет дифракционного пара-
метра Eδ в модели SWAN (кривая (…) )
оказывает незначительное влияние на изме-
нение результатов распространения волно-
вого спектра без дифракции (сплошная кри-
вая).
Расчет модели SWAN проводился на равномерной сетке с шагом , 10dx dy м= . При
уменьшении шага до 3м (равного шагу сетки в [20]) и включении опции дифракции про-
цесс вычисления переставал быть сходящимся.
3.3. Сравнение с лабораторным экспериментом Yu, et al., 2000 в [5]
В работе [5] представлена численная реализация с помощью метода конечных элементов
полуспектральной модели, основанной на эллиптическом приближении УПС. Верифика-
ция численного метода с улучшен-
ной трактовкой граничных волно-
вых условий проведена на прямо-
угольной области с волноломами,
представленной на рис. 3 с пара-
метрами лабораторного экспери-
мента Yu, et al., 2000 в [5].
Согласно [5], глубина облас-
ти 0,4h const м= = , 3,92B м= .
При различных углах подхода 0θ
значимые высота и период падаю-
щей волны равны соответственно
0,05sH м= , 1,2pT с= . JONSWAP
спектр с параметром 4=γ и разнонаправленный спектр типа Митсуясу используются со-
ответственно в виде (18) и (19) с параметром maxS 19= (широкий спектр). На рис. 4 пока-
зано сравнение данных, рассчитанных по спектральной модели SWAN ( Eδ 0= ) (сплошная
90 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3
кривая), с данными эксперимента Yu, et al., 2000 в [5] (•) для среднего направления волны
(отсчитываемого против часовой стрелки от оси OX) 0135mθ = , или 0
0 45θ = (рис. 3).
0 2 4 6 8 10 12 14
Y(m)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
H
s
/ H
s0
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
Xm)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
H
s
/ H
s0
а) х=0 б) у=3м
Рис. 4. Распределение относительных высот: а) вдоль оси OY, б) – профиль поперечного сечения
для y=3м () – SWAN, (•) – Yu, et al., 2000 в [5]
Следует отметить, что верификация численного метода, рассмотренного для полу-
спектральной модели эллиптического приближения УПС в работе [5], показала хорошее
совпадение с лабораторными данными Yu, et al.,2000 в случае трансформации волн с ши-
роким спектром распространения.
4. Трансформация волн на донной неоднородности
4.1. Верификация модели SWAN на данных эксперимента Vincent & Briggs. 1989 [6]
Лабораторные эксперименты по трансформации нерегулярных разнонаправленных волн
над неоднородностью дна в виде эллипсоида были выполнены Винсентом и Бригсом [6]
(рис. 5а).
Рис. 5а. Схема области эксперимента [6] Рис. 5б. Схема области эксперимента [7]
Максимальная глубина max 0,4572h м= . Направим ось OX параллельно большой оси
эллипса, а ось OY – параллельно малой оси. Тогда глубина воды над донной неоднородно-
стью запишется:
1/22 2
( , ) 0,9144 0,7620 1
4,95 3,81
c cx x y y
h x y
− − = − − −
. (21)
Здесь 13,72cx м= , 6,1cy м= , при этом min 0,1524h м= . Пусть волна распространя-
ется вдоль оси OY. Два характерных теста эксперимента [6] были выбраны для моделиро-
вания с помощью модели SWAN: тест N1 (узкий спектр, 010θσ = ) и тест B1 (широкий
спектр, 030θσ = ), отличающиеся параметром ширины спектра θσ и имеющими одинако-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 91
вые значимую высоту 1/3 0,0775H м= и период 1,3pT с= , а также параметр формы 2=γ
для JONSWAP спектра (18). В качестве спектра распространения был использован как
спектр типа Митсуясу (19), так и спектр в виде конечного ряда Фурье (Mardia, 1972 в [20]),
(Borgman,1984 в [7]), имеющий вид
2
1
1 1 ( )
( ) exp cos ( )
2 2
J
m
m
j
j
D j
σθ θ θ
π π =
= + − −
∑ . (22)
При этом в расчетах 090mθ = (угол, отсчитываемый от оси OX против часовой
стрелки), J=50.
Кроме того, при численном моделировании с помощью модели SWAN для двумер-
ного спектра плотности волнового действия ( , )N f θ был использован также спектр типа
Бретшнейдера-Митсуясу [24]:
( , ) ( ) ( , )N f S f G fθ θ= , (23)
где ( , )G fθ – спектр распространения типа Митсуясу (19), а спектр частот Бретшнейдера
имеет вид
2
5 41/3
1/34
1/3
( ) 0,257 exp 1,03( )
H
S f f T f
T
− − = − . (24)
Здесь pTT 95,03/1 ≈ для ветровых волн, 1/3 pT T≈ для свеллов.
При вычислениях с помощью модели SWAN в случае N1 для спектра распростра-
нения типа Митсуясу в соответствии с [24] был принят параметр ширины maxS 25= для
узких спектров, распространяющихся на относительно небольшие расстояния, и maxS 10=
в случае B1. В работе [8] для сравнения численных результатов спектральной волновой
модели, основанной на модели [4], с лабораторными данными [6] в случаях N1, B1 был
выбран JONSWAP спектр, имеющий форму (17) с параметрами 0144,0=α , 2=γ , а для
спектра распространения типа Митсуясу были приняты параметры ширины соответствен-
но maxS 75= , maxS 10= .
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
frequency (1/s)
0.0000
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.0010
0.0012
F
re
qu
en
sy
s
pe
ct
ru
m
, (
m
^2
)
/ H
z
40 60 80 100 120 140
degree
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
D
(1
/
r
ad
)
Рис. 6. S(f): 1/3H =0,0775м, pT =1,3c; Рис. 7. ( )D θ : () – 010θσ = , (- -) – 030θσ = ;
(_._) – (17), () – (18) и (_.._) – (24) ( , )D f θ : (_._) – maxS =25, (_.._) – maxS = 10
92 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3
На рис. 6 показано распределение JONSWAP спектра кривой (_._) для 2=γ и кри-
вой (__) для 2=γ , 0144,0=α , согласно формулировкам (17) и (18). Кривая (_.._) соответ-
ствует спектру частот Бретшнейдера (24), кружками обозначены измеренные данные, при-
веденные в [8].
На рис. 7 показано сравнение задаваемого согласно (22) спектра распространения
типа Боргмана ( )D θ с измеренными данными [8]. При этом кривая () соответствует па-
раметру ширины 010θσ = (случай N1), кривая (- -) – 030θσ = (случай B1). Кружки (N1) и
треугольники (B1) соответствуют измеренным данным, приведенным в [8]. Кривыми (_._),
(_.._) показано распределение задаваемого согласно (19) спектра распространения типа
Митсуясу ( , )D f θ для pf f= с соответствующими значениям параметра maxS 25= ,
maxS 10= . При этом кривая (…) для 75max =S практически совпадает с кривой Боргмана
(__).
Сравнение численных результатов спектральной модели SWAN, полученных в на-
стоящей работе, и численных расчетов с помощью модели ExEBED, полученных в [8]
( 1,5diffrK = ), для распределения относительных высот в 3-ем сечении (рис. 5а) показано на
рис. 8а, б). …….
Здесь кривая (_._) представляет численные результаты волновой модели, основан-
ной на модели ExEBED и приведенные в [8], а экспериментальные данные (•) [6] соответ-
ствуют данным, приведенным в [20] для этого эксперимента. Расчетные кривые модели
SWAN на рис. 8 соответствуют различным формам задания на входной границе области
для плотности волнового действия: () – ( )S f � JONSWAP, ( )D θ � Боргман; (…) – ( )fS
� Бретшнейдер, ( )θ,fD � Митсуясу ( )75max =S ; (_ _) – ( )S f =JONSWAP, ( , )D f θ �
Митсуясу ( maxS =25); (_.._) – ( )S f � Бретшнейдер, ( , )D f θ � Митсуясу ( )25max =S .
Отметим, что при учете параметра дифракции Eδ в модели SWAN процесс вычис-
ления переставал быть сходящимся.
10 12 14 16 18
x(m)
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
H
s
/ H
s0
10 12 14 16 18
x(m)
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
H
s
/ H
s0
а) N1: 010θσ = б) B1: 030θσ =
Рис. 8. Сравнение относительных высот между численными результатами моделей SWAN
и ExBED и измеренными данными эксперимента [6]
4.2. Верификация модели SWAN на данных эксперимента Chawla et al., 1998
В работе [25] показано сравнение результатов численного моделирования трансформации
нерегулярных волн над неоднородностью дна с помощью полуспектральной модели
HWAVE-S с данными лабораторного эксперимента [7] с применением метода [26] для
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 93
Рис. 10. Схема берегового профиля
(Hamilton & Ebersole, 2001) в [8]
описания диссипации волновой энергии. Схема расположения сечений, в которых прово-
дились измерения волновых высот, показана на рис. 5б.
Функция глубины расчетной области с круговой неоднородностью с центром в точке
( , ) (5,0 ,8,98 )c cx y м м= имеет вид [7]:
2 2
0( , ) ( 8,73) 82,81 ( ) ( )c ch x y h x x y y= − + + − − − − , (25)
причем max 0 0,4h h м= = на входной границе, min 0,03h м= – глубина над центром неодно-
родности дна. Следует отметить, что фактором ограничения по глубине для модели SWAN
есть min 0,05h м= , поэтому численные результаты не удалось получить с помощью этой
модели для области с глубинами (25).
Нерегулярные волны со средним углом подхода 00mθ = (вдоль оси OX ) частотного
TMA спектра и спектра распространения типа Боргмана (22) со следующими параметрами
[7]: тест 5 (узкий спектр) – 0,0233sH м= , 0,73pT м= , 10=γ , 05θσ = ; тест 6 (широкий
спектр) – 0,249sH м= , 0,71pT м= , 10=γ , 020θσ = рассмотрены с помощью модели
HWAVE-S в [25] и модели ExEBED в [4]. На рис. 9 показано сравнение измеренных (°)
относительных значимых высот волн вдоль центрального сечения, соответствующих дан-
ным [7], с результатами численного моделирования с помощью модели HWAVE-S (кривая
- - -) и модели ExEBED с разными методами определения диссипации энергии обрушения
волн для последней: A – критерий обрушения Goda, 1991, B – Thornton & Guza, 1983 в [4].
При этом коэффициент дифракции 2,5diffrK = .
а) тест 5 б) тест 6
Рис. 9. Сравнение численных и измеренных относительных значимых высот волн:
(0), ( ) – ExEBED, (- - -) - HWAVE-S, (°) – измеренные значения [7]
Сравнение численных результатов модели HWAVE-S и спектральной модели Ex-
EBED показывает приблизительно
одинаковую абсолютную погреш-
ность относительно измеренных
данных (рис. 9).
5. Сравнение осредненных
вдольбереговых течений с изме-
ренными данными экспери-
мента Hamilton & Ebersole, 2001
В настоящей работе модель COASTOX [27] была использована для расчета вдольберего-
94 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3
вых течений, генерируемых волнами в области, представленной на рис. 10. Радиационные
напряжения волнового поля определялись с помощью модели SWAN. Угол подхода волн к
берегу составляет 010 с осью OX, направленной к берегу.
0 10 20 30 40
distance offshore (m)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
H
s(
m
)
0 10 20 30 40
distance offshore (m)
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
V
(m
/s
)
а) высоты волн б) профиль вдольберегового течения
Рис. 11. Сравнение волновых высот и вдольбереговых скоростей. () – SWAN, (_._) –
Ex EBED [8], ( • ) – экспериментальные данные [8]
Представление спектра частот JONSWAP в виде (18) и спектра распространения
типа Боргмана ( )03θσ = было принято для представления плотности волнового действия
на входной границе области моделирования трансформации волнового поля на береговом
уклоне с помощью модели SWAN (процессом взаимодействия волновых триад пренебре-
гаем). При этом 0,233sH м= , 2,5pT с= , 3,3=γ [8].
На рис. 11а, б показано сравнение результатов численного моделирования значи-
мых волновых высот на береговом уклоне и вдольберегового течения, индуцируемого ра-
диационными волновыми напряжениями, полученными согласно моделям SWAN () и
ExEBED (_._) [8]. Кружками (•) обозначены экспериментальные данные Hamilton &
Ebersole, 2001, приведенные в [8].
При этом в численном эксперименте по данным Hamilton & Ebersole, 2001 в [8] па-
раметры дифракции 0=Eδ и 0=diffrK соответственно для моделей SWAN и модели
ExEbed. На рис. 11а, б видно достаточно хорошее совпадение расчетов, соответствующих
модели ExEBED (результаты приведены в [8]), с измеренными данными. Значительное от-
клонение расчетных данных модели SWAN от измеренных, возможно, связано с использо-
ванием в этой модели критерия обрушения волн, основанного на подходе Battjes & Janssen,
1978 в [11] для бора.
6. Выводы
В настоящей работе с помощью аппроксимации гиперболического приближения УПС по-
лучена дифракционная компонента в терминах волновой энергии, которая может быть до-
бавлена в уравнение сохранения волнового действия аналогично [4].
Сравнение численных результатов моделирования с помощью спектральных моде-
лей SWAN и ExEBED на экспериментальных данных [6] показало преимущество послед-
ней при сравнении с измерениями.
В случае эксперимента [7] полуспектральная модель HWAVE-S [25] и спектральная
модель ExEBED [8] показали приемлемое согласование с измеренными данными.
Сравнение численных результатов спектральных моделей SWAN и ExEBED на ла-
бораторных данных эксперимента Hamilton & Ebersole, 2001 в [8] показало лучшее соот-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3 95
ветствие с измеренными данными вдольберегового течения в случае генерирования их
волновыми напряжениями, рассчитанными моделью ExEBED [8].
Различие в численных схемах, методах интерпретации диссипации волновой энер-
гии, связанной с обрушением волн в этих спектральных моделях, а также разные модифи-
кации уравнения закона сохранения волнового действия при учете процесса дифракции,
приводит к значительному отличию численных результатов модели SWAN и модели Ex-
EBED.
Следует также отметить существенное преимущество спектральных моделей при
учете вычислительного процессорного времени по сравнению с полуспектральными моде-
лями и моделями типа Буссинеска.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Holthuijsen L. Waves in oceanic and coastal waters / Holthuijsen L. – Cambridge University Press,
2007. – 387 р.
2. Holthuijsen L.H. Phase-decoupled refraction-diffraction for spectral wave model / L.H. Holthuijsen,
A. Herman, N. Booij // Coastal Eng. – 2003. – N 49. – Р. 291 – 305.
3. Li C. A Directional Spectral Model for Combined Wave Refraction and Diffraction / С. Li, P. Lin //
The Fourteenth OMISAR Workshop on Ocean Models. Printed on recycled. – 2004. – P. 4 – 11.
4. Mase H. Wave prediction model based on energy balance equation with diffraction term / H. Mase //
Workshop on Wave, Tide Observations and Modelings in the Asian-Pacific Region. – 2004. – P. 143 –
160.
5. Liu S. Self-adaptive FEM Numerical Modeling of Mild Slope Equation / S. Liu, B. Sun // Third Chi-
nese-German Joint Symposium on Coastal and Ocean Engineering National Cheng Kung University. –
Tainan, 2006. – November 8–16. – Р. 1 – 18.
6. Vincent C. Refraction-diffraction of irregular waves over a mound / C. Vincent, M. Briggs M. // Port
and Ocean Engrg. – 1989. – N 115. – Р. 269 – 284.
7. Chawla A. Spectral model for wave transformation and breaking over irregular bathymetry / A. Chawla,
H. Ozkan-Haller, J. Kirby // Port, Coastal and Ocean Engrg., 1998. – N 124 (4). – P. 189 – 198.
8. Ding Y.S. Wang Development and Validation of a Quasi-Three-Dimensional Coastal Area Morpholog-
ical Model / Ding Y.S. Wang, Y. Jia // Port, Coastal and ocean engineering, December, 2006. – Р. 462 –
476.
9. Waseda T. Evolution of random directional wave and rogue wave occurrence / T. Waseda, T. Kinoshita,
Н. Tamura // 10th International Workshop on Wave Hindcasting and Forecasting. – Honolulu, Hawaii,
U.S.A., 2008. – Nov. 11– 16. – Р. 1 – 16.
10. SWAN. Swan User Manual version 40.51. – Delft, University of Technology, 2006. – 111 р.
11. SWAN User Manual. SWAN Cycle III version 40.72. – Delft University of Technology, 2009. –
117 р.
12. Hedderwick C. An Investigation into Nearshore Wave and Sediment Dynamics at Bandy Creek Boat
Harbour / Hedderwick C. – Esperance, 2006. – 94 р.
13. Evaluation of diffraction behind a semi-infinitr breakwater in the SWAN wave model / F. Enet,
A. Nahon1, G. van Vledder [et al.] // Proc. of Ninth International Symposium on Ocean Wave Measure-
ment and Analysis – WAVES06. – Emmeloord, The Netherlands, 2006. – Р. 1 – 14.
14. Diffraction and reflection of irregular waves in a harbor employing a spectral model / N. Violante-
Carvalhoi, R. Paes-Leme, D. Asseta [et al.] // Annals of the Brazilian Academy of Sciences. – 2009. –
N 81(4). – P. 837 – 848.
15. CMS-Wave: A Nearshore Spectral Wave Processes Model for Coastal Inlets. US Army Corps of En-
gineers / L. Lin, Z. Demirbilek, Н. Mase [et al.]. – Vicksburg, 2008. – 120 р.
16. Kirby J. An Approximate Model for Nonlinear Dispersion Monochromatic Wave Propagation Models
/ J. Kirby, R. Dalrymple // Coastal Engineering. – 1986. – Vol. 9, N 6. – Р. 545 – 561.
17. Leonard B. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream inter-
polation / B. Leonard // Computer Methods in Applied Mech. and Eng. – 1979. – N 19. – Р. 59 – 98.
18. Copeland G. A practical alternative to the mild-slope wave equation / G. Copeland // Coastal Eng. –
1985. – N 9. – P. 125 – 149.
96 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 3
19. Dingemans M. Water wave propagation over uneven bottoms / M. Dingemans // Part 2. Non-linear
wave propagation. – Danvers. USA, 1997. – P. 473 – 963.
20. Nwogu O. BOUSS-2D: A Boussinesq wave model for coastal regions and harbors. Report 1. Theoreti-
cal background and user’s manual / O. Nwogu, Z. Demirbilek. – Vicksburg, 2001. – 90 р.
21. Kuang C. Sandbanks for coastal protection implications of sea-level rise / С. Kuang, Р. Stansby // Part
3: wave modeling. – Tyndal Centre for Climate Change Research, Working, 2006. – 88 р.
22. Numerical reproduction of fully nonlinear multi-directional waves by a viscous 3D numerical wave
tank / J. Park, Y. Uno, T. Sato [et al.] // Ocean Engineering. – 2004. –N 31. – P. 1549 – 1565.
23. Portilla J. Buoy data assimilation in nearshore wave modeling / Portilla J. – Civil Engineeing Catholic
University of Leuven, Belgium, 2009. – 193 р.
24. Analysis of Extreme Wave Climates in Rhode Island Waters South of Block Island / T. Asher, A. Gril-
li, S. Grilli [et al.]. – 2009. – August 12. – 37 р.
25. Демченко Р. Моделирование трансформации волн в прибрежной зоне шельфа с помощью полу-
спектральной модели HWAVE-S / Р. Демченко, П. Коломиец, М. Сорокин // Тези доповідей П’ятої
наук.-практ. конф. з міжнар. участю “Математичне та імітаційне моделювання систем. МОДС
’2010”, (Київ, 21–25 червня 2010 р.). – К., 2010. – С. 28 – 30.
26. Dally W.R. Wave Height Variation across beaches of arbitrary profile / W.R. Dally, R.G. Dean &
R.A. Dalrymple // J. Geophys. Research. – 1985. – N 90. – Р. 1917 – 11927.
27. Kivva S.L. Numerical modelling of 2-D open flow with moving boundaries: simulation of watershed
runoff and long wave runup on a beach / S.L. Kivva, M. Zheleznyak // Computational Technologies (No-
vosibirsk). – 2001. – Vol. 6, N 2. – P. 343 – 355.
Стаття надійшла до редакції 06.05.2011
|