Теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры
В статье на основе теории возможностей вводится понятие нечеткого скачкообразного марковского процесса. С использованием этого понятия для моделирования непрерывно-дискретных систем неопределенной структуры строится нечеткий аналог систем случайной структуры - системы нечеткой структуры....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Математичні машини і системи |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83783 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры / A.С. Бычков, Е.В. Иванов, В.С. Касьянюк // Мат. машини і системи. — 2012. — № 4. — С. 115-124. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-83783 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-837832015-07-05T12:00:11Z Теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры Бычков, А.С. Иванов, Е.В. Касьянюк, В.С. Моделювання і управління В статье на основе теории возможностей вводится понятие нечеткого скачкообразного марковского процесса. С использованием этого понятия для моделирования непрерывно-дискретных систем неопределенной структуры строится нечеткий аналог систем случайной структуры - системы нечеткой структуры. У даній статті на основі теорії можливостей вводиться поняття нечіткого стрибкоподібного марківського процесу. З використанням цього поняття для моделювання неперервно-дискретних систем невизначеної структури будується нечіткий аналог систем випадкової структури - системи нечіткої структури. On the basis ofpossibility theory a concept of fuzzy Markov jump-type process is introduced in this article.Using this concept for modeling continuous-discrete systems of uncertain structure, a fuzzy analog system of random structure (a system with fuzzy structure) is constructed. 2012 Article Теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры / A.С. Бычков, Е.В. Иванов, В.С. Касьянюк // Мат. машини і системи. — 2012. — № 4. — С. 115-124. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83783 517.929 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Моделювання і управління Моделювання і управління |
| spellingShingle |
Моделювання і управління Моделювання і управління Бычков, А.С. Иванов, Е.В. Касьянюк, В.С. Теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры Математичні машини і системи |
| description |
В статье на основе теории возможностей вводится понятие нечеткого скачкообразного марковского процесса. С использованием этого понятия для моделирования непрерывно-дискретных систем неопределенной структуры строится нечеткий аналог систем случайной структуры - системы нечеткой структуры. |
| format |
Article |
| author |
Бычков, А.С. Иванов, Е.В. Касьянюк, В.С. |
| author_facet |
Бычков, А.С. Иванов, Е.В. Касьянюк, В.С. |
| author_sort |
Бычков, А.С. |
| title |
Теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры |
| title_short |
Теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры |
| title_full |
Теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры |
| title_fullStr |
Теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры |
| title_full_unstemmed |
Теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры |
| title_sort |
теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Моделювання і управління |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83783 |
| citation_txt |
Теоретико-возможностный подход к моделированию систем нечеткой структуры / A.С. Бычков, Е.В. Иванов, В.С. Касьянюк // Мат. машини і системи. — 2012. — № 4. — С. 115-124. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT byčkovas teoretikovozmožnostnyjpodhodkmodelirovaniûsistemnečetkojstruktury AT ivanovev teoretikovozmožnostnyjpodhodkmodelirovaniûsistemnečetkojstruktury AT kasʹânûkvs teoretikovozmožnostnyjpodhodkmodelirovaniûsistemnečetkojstruktury |
| first_indexed |
2025-07-06T10:39:45Z |
| last_indexed |
2025-07-06T10:39:45Z |
| _version_ |
1836893744942546944 |
| fulltext |
© Бычков А.С., Иванов Е.В., Касьянюк В.С., 2012 115
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
УДК 517.929
А.С. БЫЧКОВ, Е.В. ИВАНОВ, В.С. КАСЬЯНЮК
ТЕОРЕТИКО-ВОЗМОЖНОСТНЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ СИСТЕМ
НЕЧЁТКОЙ СТРУКТУРЫ
Анотація. У даній статті на основі теорії можливостей вводиться поняття нечіткого стриб-
коподібного марківського процесу. З використанням цього поняття для моделювання неперервно-
дискретних систем невизначеної структури будується нечіткий аналог систем випадкової стру-
ктури – системи нечіткої структури.
Ключові слова: ланцюг Маркова, випадкова структура, нечітка структура, теорія можливостей,
простір станів, нечіткий елемент, нечіткий процес, процес нечіткого блукання.
Аннотация. В статье на основе теории возможностей вводится понятие нечеткого скачкооб-
разного марковского процесса. С использованием этого понятия для моделирования непрерывно-
дискретных систем неопределенной структуры строится нечеткий аналог систем случайной
структуры – системы нечеткой структуры.
Ключевые слова: цепь Маркова, случайная структура, нечеткая структура, теория возможно-
стей, пространство состояний, нечеткий элемент, нечеткий процесс, процесс нечеткого блуж-
дания.
Аbstract. On the basis ofpossibility theory a concept of fuzzy Markov jump-type process is introduced in
this article.Using this concept for modeling continuous-discrete systems of uncertain structure, a fuzzy
analog system of random structure (a system with fuzzy structure) is constructed.
Keywords: Markov's chain, random structure, fuzzy structure, possibilities theory, problem space, fuzzy
element, fuzzy process, fuzzy walk process.
1. Введение
Теоретико-вероятностные методы [1] широко используются в научных исследованиях для
моделирования в терминах случайности разных аспектов неопределенности, которая ото-
бражает неполноту знаний и их недостоверность. Вместе с тем вероятностные методы ока-
зались неэффективными при моделировании широкого класса экономических, сложных
технических и др. систем [3, 4]. Неопределенность в этих системах неадекватно моделиру-
ется вероятностными методами, поскольку не наблюдается многократного повторения со-
бытий в одинаковых условиях. В связи с этим, начиная с 1960-х годов, были разработаны
невероятностные модели неопределенности: субъективная вероятность Северджа, нечет-
кие множества Заде и др. [1,4] Одним из перспективных подходов к построению невероят-
ностных моделей неопределённости является теория возможностей, основы которой зало-
жил в 1974 году М. Сугено, введя понятие возможности события, и которую впоследствии
развивали разные авторы [2–4]. Особенность теории возможностей состоит в том, что ее
построение формально параллельно построению теории вероятностей, что позволяет пере-
носить в неё по аналогии теоретико-вероятностные результаты, и одновременно в ней
можно легко выразить все понятия теории нечетких множеств Заде. Таким образом, поня-
тия нечётких математических объектов (множеств, функций и т.п.) могут вводиться как в
смысле теории нечётких множеств Заде, так и в смысле теории возможностей. В этой ста-
тье будем использовать понятия нечётких объектов в смысле теории возможностей.
Для применения невероятностных подходов к моделированию реальных процессов
используются нечеткие дифференциальные уравнения (в смысле теории нечётких мно-
жеств Заде или в смысле теории возможностей). Существующие подходы рассматривают
такие уравнения, как дифференциальные уравнения с нечеткими параметрами [4, 5]. Глав-
ным недостатком этого подхода является то, что нечеткость моделирует погрешности в
116 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
вычислении параметров, в то время как для приложений важным является моделирование
неопределенности в возмущении правой части уравнения. В связи с этим обращаются к
применению стохастических моделей, в частности, к системам случайной структуры [7] на
основе марковских процессов, описывающих такие системы, с которыми в каждый момент
времени связаны дискретное состояние (текущая структура или режим) и непрерывное со-
стояние (параметры). Дискретное состояние определяет закон изменения непрерывного
состояния. Изменение дискретных состояний подчинено случайному процессу (как, пра-
вило, скачкообразному марковскому). Такие модели соответствуют случаю, когда для сис-
темы можно указать режимы ее функционирования, но не известно точно, когда и какие
изменения режимов произойдут. Однако полезными стохастические модели становятся
лишь тогда, когда можно определить распределения входящих в них случайных элемен-
тов, что нередко не представляется возможным из-за невозможности получить статистиче-
скую информацию путем многократных наблюдений объекта в одинаковых условиях. Не-
четкие модели основываются на экспертных оценках, а не на статистической информации,
поэтому являются актуальными нечеткие аналоги систем случайной структуры. Однако
построение таких аналогов сталкивается с недостаточной развитостью аппарата нечетких
процессов (нечеткие марковские цепи исследовались для дискретного времени [6], но не
известны исследования нечетких марковских процессов с непрерывным временем [3, 6]).
Цель данной статьи состоит в построении на базе теории возможностей основ тео-
рии нечетких аналогов систем случайной структуры, для чего, как указывалось выше, не-
обходимо построение основ теории нечетких марковских процессов с непрерывным вре-
менем.
2. Теория возможностей
В теории возможностей для события вместо вероятности предоставляется относительная
оценка возможности (в шкале ]1,0[ ) ее появления. На основе числового значения возмож-
ности происходит сравнение событий (более возможное, менее возможное, равновозмож-
ное). Свойство множества событий считается теоретико-возможностным в случае его ин-
вариантности относительно произвольного (непрерывного) преобразования шкалы воз-
можности, сохраняющего порядок на её элементах. Лишь таким свойствам предоставляет-
ся содержательное толкование.
Пусть X – непустое множество (элементарные события), A – алгебра подмно-
жеств, элементы которых интерпретируются как составные события.
Будем употреблять термин отображение в смысле всюду определенная (тотальная)
функция.
Определение 1 ([3]). Шкалой возможности L называется отрезок ]1,0[ , рассматри-
ваемый как полная дистрибутивная решетка с обычным порядком на вещественных чис-
лах. Операции минимума и максимума двух элементов в L будем обозначать соответст-
венно ∧ и ∨ , а операции взятия точной нижней и верхней граней соответственно inf и
sup.
Для назначения значения возможности событию используется мера возможности.
Определение 2 ([3]). Мерой возможности на A называется отображение
LP →A: , которое удовлетворяет условию ( ) )(sup tTtTt t APAP ∈∈
=∪ для произвольного
непустого семейства множеств }|{ TtAt ∈ из A , такого, что A∈
∈∪ Tt tA .
Мера возможности P называется нормированной, если 0)( =∅P и 1)( =XP . В
дальнейшем все меры возможности будут считаться нормированными.
Определение 3 ([3]). Пространством возможностей называется тройка ),,( PX A ,
где P является мерой возможности на A .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 117
По теореме о продолжении меры возможности ([3]), мера возможности на алгебре
множеств A может быть продолжена до меры возможности на булеане множества элемен-
тарных событий X2 (доказательство существования такого продолжения является в опре-
деленном смысле конструктивным), поэтому без ограничения общности будем рассматри-
вать пространства возможностей вида ),2,( PX X . Для таких пространств мера возможно-
сти может быть представлена в виде )(sup)( xfAP
Ax∈
= , XA ⊆ , где LXf →: – отображе-
ние ( }{)( xPxf = для всех Xx∈ ). Для каждого числа 0>ε введем обозначение
}}{:{ εε >∈= xPXxX – множество элементарных событий возможности больше ε . Бу-
дем использовать запись )}({ xEP , где E – некоторый предикат на X как сокращение для
выражения )})(|({ xEXxP ∈ .
В данной статье мы ограничимся рассмотрением пространств возможности вида
),2,( PX X . Данные ниже определения касаются именно таких пространств.
Пусть Y – некоторое (непустое) множество.
Определение 4 ([3]). Нечеткой величиной называется частичная функция
YX →:ξ , определенная на всех элементарных событиях ненулевой возможности.
Определение 5 ([3]). Индексированное семейство Ttt ∈)(ξ нечетких величин называ-
ется независимым в совокупности (по другой терминологии, невзаимодействующим [1]),
если
}{inf}{ tt
Tt
tt yPyTtP ===∈∀
∈
ξξ
для произвольного индексированного семейства Ttty ∈)( элементов Y . В частности, 1ξ и
2ξ независимы, если }{}{},{ 2211221 yPyPyyP =∧==== ξξξξ для всех Yyy ∈21, .
Определение 6 ([3]). Частичная функция YXTp →×: , определённая на 0XT × ,
где ),0[ +∞=T – временная полуось, называется нечетким процессом. Обозначим )( pTr+
– множество траекторий нечеткого процесса p положительной возможности, то есть ото-
бражений YTq →: , таких, что 0)})(),(|({ >=∈∀∈ tqxtpTtXxP . Иногда в записи вто-
рой аргумент нечеткого процесса опускается.
3. Нечеткие марковские процессы
Зафиксируем некоторое пространство возможностей ),2,( PX X .
Будем считать, что переменные с названием t (возможно, индексированные) при-
нимают значения из T , поэтому выражение вида )}()({ tqtptP =∀ , где YXTp →×: –
нечеткий процесс, а YTq →: – функция, следует понимать как
)})(),(|({ tqxtpTtXxP =∈∀∈ .
Обозначим ( , )Tot T Y – множество всюду определенных функций :q T Y→ .
Определение 7. Нечеткий процесс YXTp →×: называется марковским, если для
произвольной функции ),( YTTotq∈ выполняется равенство
)}()({)}()({)}()({ 00 tqtpttPtqtpttPtqtptP =≥∀∧=≤∀==∀ .
Учитывая данное выше определение независимости, это определение означает не-
зависимость прошлой и будущей (относительно произвольного момента 0t ) эволюции
процесса при условии )()( 00 tqtp = , то есть при данном текущем состоянии.
118 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
Определение 8. Нечеткий процесс называется финитарным, если
)}()({)}()({lim 0
0
tqtptPtqtpttP
t
=∀==≤∀
+∞→
для произвольной функции ),( ITTotq∈ .
Заметим, что для произвольного нечеткого процесса p выполняется неравенство
)}()({)}()({lim 0
0
tqtptPtqtpttP
t
=∀≤=≤∀
+∞→
. Финитарность содержательно означает,
что возможности конченых фрагментов траектории определяют возможность всей траек-
тории, и таким образом является обычным предположением для процессов, которые могут
иметь физическую реализацию.
Для применения в системах нечеткой структуры нас будут интересовать процессы с
кусочно-постоянными траекториями, поэтому рассмотрим именно такой случай.
Положим I – непустое множество состояний, которое будем рассматривать как
пространство с дискретной топологией.
Обозначим ),( ITPw – класс непрерывных слева функций ITf →: , множество
точек разрыва которых не имеет предельных точек. Заметим, что функции из ),( ITPw
являются кусочно-постоянными.
Определение 9. Нечеткий процесс IXTp →×: называется нечетким скачкооб-
разным марковским процессом (НСМП), если
1) p является финитарным нечетким марковским процессом;
2) )( pTr+ ),( ITPw⊆ , то есть произвольная траектория положительной возможно-
сти процесса p осуществляет переходы между состояниями в изолированные моменты
времени, и на каждом ограниченном временном промежутке количество таких переходов
конечно.
Исследуем класс нечетких скачкообразных марковских процессов.
Пусть ITp →: – нечеткий скачкообразный марковский процесс.
Определение 10. Переходным распределением процесса p называется индексиро-
ванное семейство функций Ijiji ∈,, )(ϕ , где ),(, LTTotji ∈ϕ , определенное равенствами
})(,)({)(, jtpitpPtji =+==ϕ , Iji ∈, , Tt ∈ .
Теорема 1. Если Ijiji ∈,, )(ϕ – переходное распределение НСМП ITp →: , то
)(inf)}()({ )(),( ttqtptP tqtq
Tt
+∈
==∀ ϕ для произвольной функции ),( ITPwq∈ .
Доказательство.
Выберем некоторую функцию ),( ITPwq∈ . Пусть для некоторого L∈δ и каждого
Tt ∈0 выполняется δϕ >+ )( 0)(),( 00
ttqtq . Тогда для каждого 0t T∈ существует траектория
0t
r
процесса p , такая, что
0
{ ( ) ( )}tP t p t r t δ∀ = > ,
0 0 0( ) ( )tr t q t= и
0 0 0( ) ( )tr t q t+ = + . Так как
0
{ , } ( , )tr q Pw T I⊂ , то существует непустой интервал
0 0
( , )t ta b , такой, что
0 00 ( , )t tt a b∈ и
0
( ) ( )tr t q t= для каждого
0 0
( , )t tt a b T∈ ∩ .
Пусть [0, ]nK n= для некоторого натурального n . Семья множеств
0 0 0{( , ) | }t ta b t K∈
является открытым покрытием nK . Поскольку nK является компактом, то существует ко-
нечное подпокрытие }},...,2,1{|),{( skba
kk tt ∈ , такое, что
0
0ta ≤ и
1k kt tb a
+
< при k s< . Обо-
значим ( , ) ( , )
k k
k k
t ta b a b= . Выберем элементы kτ , },...,2,1{ sk ∈ так, что 1( , )k k
k b aτ −∈ для
1 k s< < и 1 0τ = , s nτ = . Тогда
1{ [ , ] ( ) ( )} { ( , ) ( ) ( )}k k
k k nP t p t q t P t a b K p t q tτ τ +∀ ∈ = ≥ ∀ ∈ ∩ = =
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 119
{ ( , ) ( ) ( )}
k
k k
n tP t a b K p t r t δ= ∀ ∈ ∩ = > .
Поскольку p является нечетким марковским процессом, то
1
1
{ ( ) ( )} min { [ , ] ( ) ( )}n k k
k n
P t K p t q t P t p t q tτ τ δ+≤ <
∀ ∈ = = ∀ ∈ = > .
Тогда устремим n → ∞ и, используя финитарность процесса p , получим, что
{ ( ) ( )}P p t q t δ≡ ≥ . Таким образом,
( ), ( ) ( ), ( ){ ( ) ( )} sup{ | inf ( ) } inf ( )q t q t q t q t
t T t T
P t p t q t t tδ ϕ δ ϕ+ +∈ ∈
∀ = ≥ > = .
С другой стороны,
0 00 0 0 0 ( ), ( ) 0{ ( ) ( )} { ( ) ( ), ( ) ( )} ( )q t q tP t p t q t P p t q t p t q t tϕ +∀ = ≤ = + = + = ,
для каждого 0t T∈ . Таким образом, ( ), ( ){ ( ) ( )} inf ( )q t q tt T
P t p t q t tϕ +∈
∀ = = .
Теорема доказана.
Из теоремы 1 следует, что знание переходного распределения достаточно для того,
чтобы восстановить распределение нечеткого скачкообразного марковского процесса, то
есть определить уровень возможности каждой траектории.
Определим общий вид переходного распределения нечеткого скачкообразного мар-
ковского процесса. Для каждого индексированного семейства функций Ijiji ∈,, )(ϕ ,
),(, LTTotji ∈ϕ рассмотрим условия:
M1) 1)(sup ,
,
=
∈
tji
Iji
ϕ для каждого Tt ∈ ;
M2) { }jtqitqITPwqtt tqtq
Tt
ji =+∧=∧∈= +∈
)()(),(|)(infsup)( 00)(),(0, ϕϕ , Iji ∈, , Tt ∈0 .
Теорема 2. Переходное распределение Ijiji ∈,, )(ϕ каждого скачкообразного нечетко-
го марковского процесса ITp →: удовлетворяет условиям M1, M2.
Доказательство.
По теореме 1, ( ), ( ){ ( ) ( )} inf ( )q t q t
t T
P p t q t tϕ +∈
≡ = для произвольной ( , )q Pw T I∈ . Прове-
рим выполнение условия М1. Для каждого 0t T∈ выполняется
{ }, 0 ( ), ( )
,
sup ( ) sup inf ( ) | ( , ) sup{ { ( ) ( )} | ( , )} 1i j q t q t
t Ti j I
t t q Pw T I P p t q t q Pw T Iϕ ϕ +∈∈
= ∈ = ≡ ∈ = .
Проверим выполнение условия М2. Для произвольных 0, ,i j I t T∈ ∈ выполняется
, 0 0 0( ) { ( ) , ( ) }i j t P p t i p t jϕ = = + = =
{ }0 0sup { ( ) ( )} | ( , ), ( ) , ( )P p t q t q Pw T I q t i q t j= ≡ ∈ = + = =
{ }( ), ( ) 0 0sup inf ( ) | ( , ), ( ) , ( )q t q t
t T
t q Pw T I q t i q t jϕ +∈
= ∈ = + = .
Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть Ijiji ∈,, )(ϕ – индексированное семейство функций ),(, LTTotji ∈ϕ ,
для которых выполняются условия M1, M2. Тогда существует пространство возможностей
),2,( 11
1 PX X , и нечеткий скачкообразный марковский процесс IXTp →× 1: на нем такой,
что Ijiji ∈,, )(ϕ является переходным распределением p .
Доказательство.
Определим отображение : ( , )Tot T I LΦ → равенством
120 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
( ), ( )inf ( ), ( , )
( )
0, ( , )
q t q t
t T
t q Pw T I
q
q Pw T I
ϕ +∈
∈Φ =
∉
.
Поскольку по свойству M1 при произвольном 0t T∈ , 0
,
sup ( ) 1i j
i j I
tϕ
∈
= , то
{ }( ), ( ) , 0
( , ) ,
sup ( ) sup inf ( ) | ( , ) sup ( ) 1q t q t i j
t Tq Tot T I i j I
q t q Pw T I tϕ ϕ+∈∈ ∈
Φ = ∈ = = .
Положим 1 ( , )X Tot T I= и определим на 1X меру возможности 1P равенством
1
1 1( ) sup ( )
x A
P A x
∈
= Φ для всех 1A X⊆ . Тогда для каждой индексированной семьи множеств
( )s s SA ∈ , 1 1( ) ( )s ss S s S
P A P A
∈ ∈
=∪ ∪ и 1 1( ) 1P X = . Тогда тройка 1
1 1( ,2 , )XX P является простран-
ством возможностей с нормированной мерой возможности 1:p T X I× → . Положим,
1:p T X I× → – отображение (нечеткий процесс), определенное равенством 1 1( , ) ( )p t x x t=
для всех 1 1x X∈ и t T∈ . Тогда
1 1 1 1{ ( ) ( )} ({ | ( ) ( )})P t p t q t P x X t x t q t∀ = = ∈ ∀ = = ( ), ( )( ) inf ( )q t q tt T
q tϕ +∈
Φ =
для каждого ( , )q Pw T I∈ и ( ) ( , )Tr p Pw T I+ ⊆ .
Докажем, что p является нечетким марковским процессом.
Зафиксируем ( , )q Tot T I∈ и 0t T∈ . Рассмотрим два случая:
1) 1 0{ ( ) ( )} 0P t t p t q t∀ ≤ = > и 1 0{ ( ) ( )} 0P t t p t q t∀ ≥ = > . Тогда существуют функции
1 2, ( , )q q Pw T I∈ , такие, что 1 1 1 2{ ( ) ( )} { ( ) ( )} 0P t p t q t P t p t q t∀ = ∧ ∀ = > и 1( ) ( )q t q t= при
0t t≤ , и 2( ) ( )q t q t= при 0t t≥ . Поскольку 1 2,q q непрерывны слева, то функция q непре-
рывна слева. Обозначим D , 1D , 2D – соответственно множества точек разрыва функций
q , 1q , 2q . Если 0t D∈ , то 0 2t D∈ в силу непрерывности слева 2q . Кроме того, произволь-
ная точка 0\t T t∈ разрыва q является точкой разрыва 1q или 2q . Поэтому 1 2D D D⊆ ∪ , а,
следовательно, множество предельных точек D пустое, поскольку множества предельных
точек 1D и 2D пустые. Тогда ( , )q Pw T I∈ по определению. Тогда
1 ( ), ( ) 1{ ( ) ( )} inf ( ) inf { ( ) ( ), ( ) ( )}q t q t
t T t T
P t p t q t t P p t q t p t q tϕ +∈ ∈
∀ = = = = + = + =
0 0
1 1inf { ( ) ( ), ( ) ( )} inf { ( ) ( ), ( ) ( )}
t t t t
P p t q t p t q t P p t q t p t q t
< ≥
= = + = + ∧ = + = + ≥
1 0 1 0{ ( ) ( )} { ( ) ( )}P t t p t q t P t t p t q t≥ ∀ ≤ = ∧ ∀ ≥ = .
2) 1 0{ ( ) ( )} 0P t t p t q t∀ ≤ = = или 1 0{ ( ) ( )} 0P t t p t q t∀ ≥ = = . Тогда неравенство
1 1 0 1 0{ ( ) ( )} { ( ) ( )} { ( ) ( )}P t p t q t P t t p t q t P t t p t q t∀ = ≥ ∀ ≤ = ∧ ∀ ≥ =
тривиально выполняется.
Поскольку в обоих случаях с монотонности меры возможности следует, что
1 1 0 1 0{ ( ) ( )} { ( ) ( )} { ( ) ( )}P t p t q t P t t p t q t P t t p t q t∀ = ≤ ∀ ≤ = ∧ ∀ ≥ = ,
то в обоих случаях
1 1 0 1 0{ ( ) ( )} { ( ) ( )} { ( ) ( )}P t p t q t P t t p t q t P t t p t q t∀ = = ∀ ≤ = ∧ ∀ ≥ = .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 121
Таким образом, q является нечетким марковским процессом.
Докажем, что нечеткий процесс p финитарный. Для произвольной функции
( , )q Pw T I∈ выполняется равенство
0 0
0 0
1 ( ), ( ) 0 1 0 0 0 0{ ( ) ( )} inf ( ) inf { ( ) ( ), ( ) ( )}q t q t
t T t T
P t p t q t t P p t q t p t q tϕ +∈ ∈
∀ = = = = + = + .
Выберем произвольную функцию ( , )q Tot T I∈ и докажем, что
0
1 0 1lim { ( ) ( )} { ( ) ( )}
t
P t t p t q t P t p t q t
→+∞
∀ ≤ = = ∀ = . Рассмотрим два случая:
1) ( , )q Pw T I∈ . Тогда для произвольных 0t T∈ и 0[0, )t t∈ ,
1 0 1{ ( ) ( )} { ( ) ( ), ( ) ( )}P t t p t q t P p t q t p t q t∀ < = ≤ = + = + ,
поэтому
0
1 0 1{ ( ) ( )} inf { ( ) ( ), ( ) ( )}
t t
P t t p t q t P p t q t p t q t
<
∀ < = ≤ = + = + .
Устремляя 0t → +∞ , получаем
0 0
1 0 1 0lim { ( ) ( )} lim { ( ) ( )}
t t
P t t p t q t P t t p t q t
→+∞ →+∞
∀ ≤ = = ∀ < = ≤
1 1inf { ( ) ( ), ( ) ( )} { ( ) ( )}
t T
P p t q t p t q t P t p t q t
∈
≤ = + = + = ∀ = .
С другой стороны,
1 0 1{ ( ) ( )} { ( ) ( )}P t t p t q t P t p t q t∀ ≤ = ≥ ∀ =
для каждого 0t T∈ из-за монотонности меры возможности, поэтому
0
1 0 1lim { ( ) ( )} { ( ) ( )}
t
P t t p t q t P t p t q t
→+∞
∀ ≤ = = ∀ = .
2) ( , )q Pw T I∉ . Тогда либо множество точек разрыва q имеет некоторую предель-
ную точку *t T∈ , либо функция q не является непрерывной слева в некоторой точке
*t T∈ . В обоих случаях для каждого *
0t t> функция
0[0, ]| tq не может быть продолжена до
функции класса ( , )Pw T I , поэтому
0 01 0 1 [0, ] [0, ]{ ( ) ( )} sup{ { ( ) ( )} | ( , ), | | }t tP t t p t q t P p t r t r Tot T I r q∀ ≤ = = = ∈ = ≤
1sup{ { ( ) ( )} | ( , ) \ ( , )} 0P p t r t r Tot T I Pw T I≤ = ∈ = ,
а, значит,
0
1 0 1lim { ( ) ( )} { ( ) ( )} 0
t
P t t p t q t P t p t q t
→+∞
∀ ≤ = = ∀ = = .
Таким образом,
0
1 0 1lim { ( ) ( )} { ( ) ( )}
t
P t t p t q t P t p t q t
→+∞
∀ ≤ = = ∀ =
для всех ( , )q Tot T I∈ , т.е. процесс p финитарный.
Докажем, что , ,( )i j i j Iϕ ∈ является переходным распределением p . По свойству M2,
для всех ,i j I∈ и 0t T∈ выполняется равенство
{ }1 0 0 0 0{ ( ) , ( ) } sup ( ) | ( , ), ( ) , ( )P p t i p t j q q Pw T I q t i q t j= + = = Φ ∈ = + = =
122 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
{ }( ), ( ) 0 0 , 0sup inf ( ) | ( , ), ( ) , ( ) ( )q t q t i j
t T
t q Pw T I q t i q t j tϕ ϕ+∈
= ∈ = + = = .
Таким образом, , ,( )i j i j Iϕ ∈ является переходным распределением p .
Теорема доказана.
Из теорем 2, 3 следует, что условия M1, M2 являются необходимыми и достаточ-
ными для того, чтобы индексированное семейство , ,( )i j i j Iϕ ∈ было переходным распределе-
нием НСМП.
4. Системы нечеткой структуры
Пусть, как и раньше, I – непустое множество состояний (не обязательно конечное), кото-
рое рассматривается как пространство с дискретной топологией, и :p T X I× → – нечет-
кий скачкообразный марковский процесс. Пусть : n n
if T × →R R , i I∈ – семейство функ-
ций.
Рассмотрим дифференциальное уравнение относительно функции : ny T X× → R ,
зависящее от параметра 0x X∈ :
( , )( , ) ( , ( , ))p t xy t x f t y t x=ɺ . (1)
Определение 11. Системой нечеткой структуры называется уравнение вида (1).
Для того, чтобы задать систему нечеткой структуры, нужно задать правую часть
уравнения (1) и процесс p . Для задания процесса p с точностью до распределения, со-
гласно теоремам 2, 3, достаточно задать его переходное распределение (удовлетворяющее
условиям М1, М2).
Теорема 4. (О существовании и единственности решения).
Предположим, что выполняются условия:
1) для каждых Tt ∈ и Ii ∈ функция ),( ytfy i֏ определена и непрерывна на nR ,
и для каждых Ii ∈ и ny R∈ функция ),( ytft i֏ измерима;
2) существует функция ),0[: +∞→Th , которая ограничена на каждом ограничен-
ном подмножестве T , такая, что )(),( thytf i ≤ для всех Ii ∈ , Tt ∈ , ny R∈ ;
3) существует функция (константа Липшица, зависящая от времени) ),0[: +∞→TL ,
которая ограничена на каждом ограниченном подмножестве T , такая, что
2121 )(),(),( yytLytfytf ii −≤− для всех Ii ∈ , Tt ∈ и nyy R∈21, .
Тогда для каждого 0
ny ∈ R существует единственный нечеткий процесс
0: ny T X× → R , такой, что 0(0, )y x y= , и для каждого 0x X∈ , функция ( , )t y t x֏ абсо-
лютно непрерывна и удовлетворяет уравнению (1) почти всюду (то есть удовлетворяет
уравнению (1) в смысле Каратеодори).
Доказательство.
Зафиксируем элемент 0x X∈ , точку 0
ny ∈R и докажем, что уравнение (1) с услови-
ем 0(0, )y x y= имеет единственное решение в смысле Каратеодори.
Определим функцию : n ng T × →R R как функцию, что задает правую часть урав-
нения (1) для зафиксированного х: ( , )( , ) ( , )p t xg t y f t y= для всех ( , ) nt y T∈ × R . По условию
1 теоремы функция ( , )y g t y֏ непрерывна на nR для каждого фиксированного t T∈ .
Поскольку функция ( , )t p t x֏ принадлежит классу ( , )Pw T I (кусочно-
постоянная), то существует монотонно возрастающая последовательность чисел ka , 1≥k ,
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 123
такая, что Taa
k
kk =
∞
=
+∪
1
1),[ , и функция ( , )t p t x֏ принимает постоянное значение на
),[ 1+kk aa для каждого 1≥k . Обозначим это постоянное значение на ),[ 1+kk aa как ki . Тогда
∪
∞
=
+ ∈∈=∈∈
1
111 }),(|),[{}),(|{
k
ikk AytfaatAytgTt
k
для произвольного 1
ny ∈R и борелевского множества dA R⊆ . Поскольку функции
1( , )it f t y֏ измеримы для всех i I∈ по условию 1 теоремы, то }),(|{ 1 AytgTt ∈∈ изме-
римо (в смысле меры Лебега) как счетное объединение измеримых множеств. Таким обра-
зом, функция 1( , )t g t y֏ измерима для каждого 1
ny ∈R .
Из условия 2 теоремы следует, что )(),( 1 thytg ≤ для всех t T∈ . Также из условия
3 следует, что 2121 )(),(),( yytLytgytg −≤− для всех 1 2, ny y ∈ R . Следовательно, для
уравнения ( , )y g t y=ɺ , 0(0, )y x y= выполнены условия теоремы Каратеодори о существо-
вании и единстве решений дифференциальных уравнений [9]. В силу произвольности эле-
мента 0x X∈ получается, что существует единственный нечеткий процесс 0: ny T X× → R ,
удовлетворяющий уравнению (1) в смысле Каратеодори, и начальное условие 0(0, )y x y= .
Теорема доказана.
Неформально, функционирование системы нечеткой структуры (1) можно описать
на основе теоремы 1 таким образом. Пусть Ijiji ∈,, )(ϕ – переходное распределение процесса
p . Система в каждый момент времени Tt ∈ имеет определенную структуру Ii ∈ и пара-
метры )(ty . В каждый момент времени Tt ∈ структура системы может либо измениться
на }{\ iIj ∈ с возможностью )(, tjiϕ , либо остаться той же с возможностью )(, tiiϕ . При
этом система может изменить структуру конечное число раз на каждом ограниченном
промежутке времени. На каждом промежутке времени, на котором структура i системы
постоянна, параметры системы )(ty изменяются согласно уравнению ))(,()( tytfty i=ɺ .
При изменении структуры параметры не могут скачкообразно изменяться.
Заметим, что основные свойства процесса решения уравнения (1) могут быть най-
дены методами теории управления (рассматривая траектории процесса как возможные
управления системой (1), стоимости которых соответствуют уровням возможности).
5. Выводы
В статье на базе теории возможностей построен нечеткий аналог системы случайной
структуры, для чего построены основы теории нечетких скачкообразных марковских про-
цессов с непрерывным временем (НСМП). Основные результаты, полученные в статье для
НСМП, включают формальное определение НСМП в терминах теории возможностей и
понятия переходного распределения НСМП, интерпретацию и взаимосвязь переходного
распределения НСМП и распределения процесса (теорема 1), общий вид переходного рас-
пределения НСМП (теоремы 2, 3). Эти результаты использованы для построения систем
нечеткой структуры. В частности, дано формальное определение системы нечеткой струк-
туры, аналогичное системе случайной структуры, и предложено использовать переходные
распределения НСМП для практического задания систем нечеткой структуры с точностью
до распределения. Также доказаны условия, при которых система нечеткой структуры
имеет единственное решение (теорема 4).
124 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
Полученные результаты могут быть полезными при моделировании экономических,
сложных технических и прочих систем с изменчивой или неопределенной структурой, для
которых вероятностные модели не могут быть применены, например, из-за отсутствия или
недостаточности статистической информации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility / L.A. Zadeh // Fuzzy Sets and Systems. –
1978. – N 1. – P. 3 – 28.
2. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дю-
буа, А. Прад. – М.: Радио и связь, 1990. – 288 с.
3. Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические ос-
новы, применение / Пытьев Ю.П.– М.: Физматлит, 2007. – 464 с.
4. De Cooman G. Possibility theory. Part I: Measure- and integral-theoretic groundwork / G. de Cooman //
Int. J. of General Systems. – 1997. – N 25. – P. 291 – 371.
5. Yeoul Park J. Existence and uniqueness theorem for a solution of fuzzy differential equations / Park J.
Yeoul, Han H. Keun // Internat.J.Math.&Math.Sci. – 1999. – Vol. 22 (2). – P. 115 – 131.
6. Avrachenkov K. Fuzzy Markov Chains and Decision-Making / K. Avrachenkov, E. Sanchez // Fuzzy
Optimization and Decision Making. – 2002. – Vol.1, N 2. – P. 143 – 159.
7. Kats I.Y. Stability and Stabilization on Nonlinear Systems with Random Structure / I.Y. Kats,
A.A. Martynyuk. – Taylor and Francis, London and New York, 2002. – 236 p.
8. Белоконов И.В. Статистический анализ динамических систем (анализ движения летательных
аппаратов) / Белоконов И.В. – Самара: СГАУ им. Королева, 2001. – 64 с.
9. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / Филиппов А.Ф. ─
М.: Наука, 1985. – 225 с.
Стаття надійшла до редакції 02.04.2012
|