Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса

Для розв’язування задач тепломасопереносу на багатопроцесорних комп’ютерах запропоновано економічний різницевий алгоритм розпаралелювання обчислювального процесу, який не потребує розв’язування системи різницевих рівнянь. Встановлено сумарну апроксимацію та доведено безумовну стійкість алгоритму....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Грищенко, А.Е., Марцафей, А.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84257
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса / А.Е. Грищенко, А.С. Марцафей // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 125-131. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-84257
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-842572015-07-05T03:01:53Z Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса Грищенко, А.Е. Марцафей, А.С. Системный анализ Для розв’язування задач тепломасопереносу на багатопроцесорних комп’ютерах запропоновано економічний різницевий алгоритм розпаралелювання обчислювального процесу, який не потребує розв’язування системи різницевих рівнянь. Встановлено сумарну апроксимацію та доведено безумовну стійкість алгоритму. An efficient finite-difference algorithm for multisequencing of the computational process excluding the solution of systems of finite-difference equations is proposed to solve heat and mass transfer problems using multiprocessor computers. The total approximation of the algorithm is established and its unconditional stability is proved. 2011 Article Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса / А.Е. Грищенко, А.С. Марцафей // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 125-131. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84257 519.6 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Грищенко, А.Е. Марцафей, А.С. Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса Кибернетика и системный анализ
description	Для розв’язування задач тепломасопереносу на багатопроцесорних комп’ютерах запропоновано економічний різницевий алгоритм розпаралелювання обчислювального процесу, який не потребує розв’язування системи різницевих рівнянь. Встановлено сумарну апроксимацію та доведено безумовну стійкість алгоритму.
format	Article
author	Грищенко, А.Е. Марцафей, А.С.
author_facet	Грищенко, А.Е. Марцафей, А.С.
author_sort	Грищенко, А.Е.
title	Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса
title_short	Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса
title_full	Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса
title_fullStr	Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса
title_full_unstemmed	Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса
title_sort	об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84257
citation_txt	Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса / А.Е. Грищенко, А.С. Марцафей // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 125-131. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT griŝenkoae obodnomdvuxšagovomalgoritmerasŝepleniâvzadačahteplomassoperenosa AT marcafejas obodnomdvuxšagovomalgoritmerasŝepleniâvzadačahteplomassoperenosa
first_indexed	2025-07-06T11:12:15Z
last_indexed	2025-07-06T11:12:15Z
_version_	1836895789354319872
fulltext	ÓÄÊ 519.6 À.Å. ÃÐÈÙÅÍÊÎ, À.Ñ. ÌÀÐÖÀÔÅÉ ÎÁ ÎÄÍÎÌ ÄÂÓXØÀÃÎÂÎÌ ÀËÃÎÐÈÒÌÅ ÐÀÑÙÅÏËÅÍÈß Â ÇÀÄÀ×ÀÕ ÒÅÏËÎÌÀÑÑÎÏÅÐÅÍÎÑÀ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìû, ìåòîäû ðàñùåï- ëåíèÿ, ðàçíîñòíûå ñõåìû, ÄÑ-àëãîðèòìû. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ðàçâèòèå íîâûõ ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé, èññëåäîâàíèå ñëîæíûõ ïðèðîäíûõ è ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ïîä âîçäåéñòâèåì ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ, à òàêæå ñîöè- àëüíûõ ïðîáëåì îáóñëîâëèâàþò ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, óäîâëåò- âîðÿþùèõ òðåáîâàíèÿì âûñîêîé òî÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ è çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ. Äëÿ äîñòèæåíèÿ ïîñòàâëåííîé öåëè íåîáõîäèìà îáðà- áîòêà áîëüøèõ èíôîðìàöèîííûõ ïîòîêîâ, ñîäåðæàùèõ êàê âõîäíóþ èíôîðìà- öèþ, òàê è ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷. ×àñòî ýòè òðåáîâàíèÿ óñëîæíÿþò îãðàíè÷åíèÿ, íàëàãàåìûå íà âðåìÿ ïðîâåäåíèÿ êîì- ïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà (íàïðèìåð, â ðåæèìå òåêóùåãî âðåìåíè). Ðåøåíèå ïî- ñòàâëåííûõ çàäà÷ íà êëàññè÷åñêèõ îäíîïðîöåññîðíûõ êîìïüþòåðàõ íåðåàëüíî [1]. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ èññëåäîâàíèÿ ïî äàííûì ïðîáëåìàì ïðîâîäÿò â íåñêîëüêèõ íàïðàâëåíèÿõ: ðàçâèòèå ìíîãîÿäåðíûõ ïðîöåññîðîâ è ìíîãîïðîöåññîðíûõ êîì- ïëåêñîâ, ïîçâîëÿþùèõ íàðàùèâàòü ìîùíîñòü âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ; ðàçðà- áîòêà íîâûõ ýôôåêòèâíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ, îðèåíòèðîâàííûõ íà ðàñ- ïàðàëëåëèâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåññîâ; àäàïòàöèÿ óæå ñóùåñòâóþùèõ âû- ÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ äëÿ ìíîãîïðîöåññîðíûõ êîìïëåêñîâ. Â äàííîé ñòàòüå ïðåäëàãàåòñÿ ýêîíîìè÷íûé àëãîðèòì ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåññîâ ïðè ìîäåëèðîâàíèè òåïëîìàññîïåðåíîñà. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎ-ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È Çàäà÷è òåïëîìàññîïåðåíîñà ìîäåëèðóþòñÿ íà îñíîâå ïàðàáîëèçèðîâàííûõ óðàâíåíèé Íàâüå–Ñòîêñà Lu u t B u f� � � � � �( ) 0 (1) â ïðèáëèæåíèè íåñæèìàåìîé æèäêîñòè [2] � � � � � b x N � �� 0 1 (2) â öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè Q t T� � { } ( )0 , ãäå — ðåãóëÿðíàÿ îáëàñòü â R n ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé � , à òàêæå B u x B x u x b x u x N ( ) ( ) ( ) , � � � � � � � � � � � � � � �� 11 N � , (3) ïðè÷åì B x B x�� ( ) ( )� äëÿ âñåõ ( , , )� � �1 N — íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóå- ìûå ïî ñâîèì ïåðåìåííûì, B B NN �� 2 11, , � � �R , � � 1, N . (4) Ðåøåíèå çàäà÷è (1), (2) óäîâëåòâîðÿåò çàäàííûì íà÷àëüíûì è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì u u x t� � 0 0 ( ), x � ; u g x � � ( ), x �� . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 125 © À.Å. Ãðèùåíêî, À.Ñ. Ìàðöàôåé, 2011 Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ðàññóæäåíèé, äàëåå ïîëîæèì N � 2, � { ( , ) :x x1 2 0 1 0 11 2 x x, } è îáîçíà÷èì êàê îïåðàòîð òåïëîïðîâîäíîñòè � � � � � � � � � � �� x B u x�� 1 2 , (5) à îïåðàòîð êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà êàê C b u b u b x u x 1 1 2 ( ) ( )� � � �� grad � �� . (6) Ëåãêî óáåäèòüñÿ [3, 4], ÷òî ïðè âûïîëíåíèè (2) îïåðàòîð (6) ýêâèâàëåíòåí ñëåäóþùåìó: C b u bu b u x 2 1 2 ( ) ( ) ( ) � � � �� div � � �� . (7) Åñëè b xn ( ) � 0 èëè �( )x � 0 ïðè x �� , òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2) â ãèëü- áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå L2 ( ) èìååì ( ( ) , ) ( )C b b dx b dx b dx1 2 21 2 1 2 � � � � �� grad div div � � �� 1 2 02b dxn� . Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð (6) (èëè (7)) ÿâëÿåòñÿ êîñîñèììåòðè÷åñêèì. Â ñëó÷àå, êîãäà îïåðàòîð êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà ìîäåëèðóåòñÿ ðàâåíñòâîì C b x u x b x x 0 1 2 1 21 2 � � � � � � � � � � � � �� ( ) ( ( )) , (8) ( , )C� � � 0 , äàæå åñëè óñëîâèå (4) íå âûïîëíÿåòñÿ. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû â îáëàñòè ââåäåì ðàâíîìåðíóþ ñåòêó � ��h i j n i j nx x t x ih x jh t n i m� � � � � � � �1 2 1 1 2 2 11, , , ,, , : , , ; , , , ,j m�1 2 h m kk k � � � � � � 1 1 2 0( , ), � è ðàçíîñòíûå îïåðàòîðû y y y h du dx O h x i i 0 1 1 2 2 � � � �� ( ) ; y y y h du dx O hx i i� � � ��1 ( ) ; y y y h du dx O hx i i� � � ��1 ( ); � � � � �� y a y x B u x O hx x� � � � � � � � � � �� ( ) ( )2 . (9) Òîãäà íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó (1), (2) àïïðîêñèìèðóåì ðàçíîñòíîé ñõåìîé L y y y C b y C b yh ij n ij n ij n ij n ij n� � �� 1 1 1 1 0 11 � � �( ) ( ) ( ) � � � � � � � �� 2 2 1 3 3 11 1 0� �y y f fij n ij n ij n ij n( ) ( ) . (10) Çäåñü � � �1 2 3, , — ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé àïïðîêñèìàöèè è óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû, à îïåðàòîð êîíâåê- òèâíîãî ïåðåíîñà ìîæåò áûòü âûáðàí îäíîé èç ôîðì çàïèñåé C b y b x y b x y x x ( ) (( ( ) ) ( ) )� � � � 1 2 1 2 0 0 � � � � � (11) 126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 èëè C b y b x y b x y b x y bx x x( ) (( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( (� � � � � � � � �� 1 2 1 2 � � � �� x y x) ) ) � , (12) ãäå b x b x b x� �( ) ( ) ( )� �� ; b x b x b x� � � � � � �( ) ( ( ) \| ( ) \| ) 1 2 0 ; b x b x b x� � � � � � �( ) ( ( ) \| ( ) \| ) 1 2 0 , � �1 2, . Äàííûå îïåðàòîðû êîñîñèììåòðè÷åñêèå, íî ðàçíîñòíûé îïåðàòîð â âèäå (11) èìååò âòîðîé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè, à â âèäå (12) — ïåðâûé. Êðîìå òîãî, (12) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ñ ðàçíîñòÿìè ïðîòèâ ïîòîêà. Îïåðàòîð � y çàïèøåì â âèäå � � �� 1 2 , à � � ( , )� �1 2 — ïî ôîðìóëå (9), ïîëàãàÿ a B x h� � � �� ( , )0 5 . ÄÂÓÕØÀÃÎÂÛÉ ÑÈÌÌÅÒÐÈÇÈÐÎÂÀÍÍÛÉ ÀËÃÎÐÈÒÌ (ÄÑ-ÀËÃÎÐÈÒÌ) Ââåäåííóþ ñåòî÷íóþ îáëàñòü � �h ðàçäåëèì íà äâà âñïîìîãàòåëüíûõ ìíîæåñòâà: �h n( , )1 è �h n( , )2 . Ýëåìåíòàìè ïåðâîãî ìíîæåñòâà íàçîâåì òî÷êè ( , , ), ,x x ti j n1 2 òà- êèå, ÷òî ñóììà èíäåêñîâ s i j n� � � ÷åòíàÿ, à îñòàëüíûå òî÷êè îòíåñåì êî âòî- ðîìó ìíîæåñòâó. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âðåìåííîé øàã 2� èìååò äâå ñîñòàâëÿþ- ùèå: íå÷åòíûé ïîëóøàã ( )2 1n � è ÷åòíûé ( )2 2n � . Íà ïîëóøàãå ( )2 1n � ñíà÷àëà âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ yij n2 1� âî âñåõ òî÷êàõ �h n( , )1 2 1� ïî ÿâíûì ðàçíîñòíûì ôîðìóëàì [5, 6] y y C b y y f ij n ij n ij n ij n ij n 2 1 2 2 2 2 1 � �� ( ) � , (13) à çàòåì â òî÷êàõ �h n( , )2 2 1� — ïî íåÿâíûì ôîðìóëàì y y C b y y f ij n ij n ij n ij n ij n 2 1 2 2 1 2 1 2 1 � � � �� ( ) � . (14) Íà ïîëóøàãå ( )2 2n � íàõîäèì ðåøåíèå çàäà÷è ñíà÷àëà â óçëàõ �h n( , )1 2 2� y y C b y y f ij n ij n ij n ij n ij n 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 � � � � �� ( ) � , (15) ïîñëå ÷åãî â òî÷êàõ �h n( , )2 2 2� ïîëó÷àåì y y C b y y f ij n ij n ij n ij n ij n 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 � � � � �� ( ) � . (16) Ñõåìà (13)–(16) ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè âî âñåõ óçëàõ � �h ïî ÿâíûì ðàñ÷åòíûì àëãîðèòìàì ñ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè O h( )�2 2� , åñëè C b( ) îïðåäåëåí ïî ôîðìóëå (11), èëè ñ ïîãðåøíîñòüþ O h( )�2 � , åñëè äëÿ îïåðàòîðà C b( ) èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà (12). Âàæíîå ìåñòî â ïîñòðîåíèè âû÷èñëèòåëüíîãî àëãîðèòìà èìååò àïïðîêñèìàöèÿ êðàåâûõ óñëîâèé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óñëîâèÿ ïåðâîãî ðîäà âî âñåõ ãðàíè÷íûõ óçëàõ ñåòî÷íîé îáëàñòè, çà èñêëþ÷åíèåì óãëîâûõ òî÷åê ïðÿìîóãîëüíèêà, à â ñëó÷àå ìíî- ãîìåðíîé îáëàñòè — ðåáåð ñåòî÷íîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, óäîâëåòâîðÿþòñÿ òî÷íî. Ðàññìîòðèì àïïðîêñèìàöèþ óñëîâèÿ òðåòüåãî ðîäà, çàäàííîãî, íàïðèìåð, íà ãðàíèöå x �1: � � � � � � �u x cu d . (17) Óñëîâèå (17) ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü îäíîñòîðîííèìè ðàçíîñòÿìè ñ ïåðâûì ïîðÿäêîì òî÷íîñòè ( )1 1 2 1 2 1 1 1 � � �� ch y y dh m j n l m j n l ( , )l �1 2 (18) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 127 èëè ñî âòîðûì ïîðÿäêîì íà òðåõòî÷å÷íîì øàáëîíå ( )1 2 4 21 2 1 2 2 2 1 1 1 1 � � � �� ch y y y dh m j n l m j n l m j n l . (19) Ïóñòü ïðèãðàíè÷íàÿ òî÷êà ( , , ) ( , ) x y tm j n h n 1 1 1 2 1 � �� , òîãäà çíà÷åíèå y m j n 1 1 2 1 � � âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå y y C b y y f m j n m j n m j n m j n m1 1 1 1 11 2 1 1 2 1 2 1 2 1� � � � � � � � � ��( ( ) � j n2 ) , à y m j n 1 2 1� — èç óñëîâèÿ (18) èëè (19). Åñëè òî÷êà ñ èíäåêñàìè ( , , )m j n1 1 2 1� � ïðèíàäëåæèò �h n( , )2 2 1� , òî y m j n 1 1 2 1 � � è y m j n 1 2 1� îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû a y a y b a y a y m j n m j n m j n m j 11 1 2 1 12 2 1 1 21 1 2 1 22 1 1 1 1 � � � � � � � � , 2 1 2 n b� � � � � � � , ãäå aij ( , , )i j �1 2 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàçíîñòíûõ îïå- ðàòîðîâ C b( ) è �. ÑÕÅÌÛ ÐÀÑÙÅÏËÅÍÈß ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÇÀÄÀ× Ïîñòðîåíèå ñõåì ðàñùåïëåíèÿ çàäà÷ òåïëîìàññîïåðåíîñà îñíîâàíî íà äâóõ ïðèíöèïàõ: ðàñùåïëåíèå ïî ôèçè÷åñêèì ïðîöåññàì è ðàñùåïëåíèå ïî ïðî- ñòðàíñòâåííûì êîîðäèíàòàì. Â ïåðâîì ñëó÷àå âûäåëÿþòñÿ äâà ðàçíîñòíûõ îïåðàòîðà: C b( ) è �, êîòîðûå îïèñûâàþò ïðîöåññ êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà è òåïëîïðîâîäíîñòè. Îáîçíà÷èâ A C b1 � ( ), A2 � � è ó÷èòûâàÿ, ÷òî A A1 1� � � ; A A2 2 0� �� , äëÿ çàäà÷è òåïëîìàññîïåðåíîñà ìîæíî íàðÿäó ñî ñõåìàìè ñóììàðíîé àïïðîêñèìà- öèè [3] èñïîëüçîâàòü ñõåìó ïåðåìåííûõ íàïðàâëåíèé y y A y A y y y A y n n n n n n n � � � � � � � � � � 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 0 5 0 5 / / / , , , � � � n n nA y� �� 1 2 2 1/ .� (20) Òàêèå ñõåìû äåòàëüíî èññëåäîâàíû â [7, 8]. Ñðåäè ñõåì ñóììàðíîé àïïðîêñèìàöèè ðàñùåïëåíèÿ ïî ôèçè÷åñêèì ïðîöåñ- ñàì ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ àääèòèâíàÿ ñõåìà ñ âåñàìè y y A y y n n n n n � �� 1 2 1 1 1 2 1 1 1 / /( ( ) ) � � � � , y y A y y n n n n n � � � �� 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 / /( ( ) ) � � � � , (21) � � � 1 2 n n n� � . Óñòîé÷èâîñòü è ñõîäèìîñòü â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå (ñ ó÷åòîì ñóììàð- íîé àïïðîêñèìàöèè) îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè � �1 2 0 5, ,� . Ïðè ðåøåíèè ìíîãîìåðíûõ çàäà÷ àëãîðèòì ðàñùåïëåíèÿ ñòðîèòñÿ íà îñíîâå àääèòèâíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ îïåðàòîðîâ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ B u( ) (ñì. (3)) â âèäå ñóììû îäíîìåðíûõ îïåðàòîðîâ êîíâåêöèè A� è òåïëîïðîâîäíîñòè � � â íàïðàâëå- íèè x� : B u B u( ) ( )� � � � � 1 2 , B u A u u� � �( ) � � � ( , )� �1 2 . (22) 128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 Èíîãäà ëîêàëüíî-îäíîìåðíûå ðàçíîñòíûå ñõåìû ñóììàðíîé àïïðîêñèìàöèè ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå êîìáèíèðîâàííîãî ðàñùåïëåíèÿ ïî íàïðàâëåíèÿì è ôèçè÷åñ- êèì ïðîöåññàì [4] y y A y y n n n n � � � � � �� / ( )/ / ( )/~ ( ( ) )] 4 1 4 4 1 41 � �� n ( , ),� �1 4 (23) ïðè÷åì ~ A A� �� ( , )� �1 2 è ~ A� �� 2 ( , )� � 3 4 ; � � � � �n n n n n� � � � 1 2 3 4 . Äàííàÿ ñõåìà óñòîé÷èâà ïðè � � � 0 5, ( , )� �1 4 . ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÀÄÄÈÒÈÂÍÛÕ ÑÕÅÌ ÐÀÑÙÅÏËÅÍÈß ÏÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÛÌ ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈßÌ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÄÑ-ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ Ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé (21) èëè (23) íà êàæäîì äðîáíîì è öåëîì øàãàõ íåîáõîäèìî ðåøàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé. Èñïîëüçîâàíèå ÄÑ-àë- ãîðèòìà ïîçâîëÿåò èçáàâèòüñÿ îò ýòîé ïðîöåäóðû. Ñ ó÷åòîì ïðèâåäåííîé âûøå îáùåé ñõåìû ÄÑ-àëãîðèòìà (13)–(16) çàïèøåì àääèòèâíóþ ñõåìó ðàñ- ùåïëåíèÿ ïî ïðîñòðàíñòâåííûì íàïðàâëåíèÿì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî � � � � � b x � �� 0 1 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð êîíâåêòèâíîãî ïå- ðåíîñà C b( ) — êîñîñèììåòðè÷åñêèé. Îáîçíà÷èì C b C b A A( ) ( )� � � � � � � 1 1 1 2 1 2 ; � � �� 1 2 . Èíäåêñû 1 è 2 óêàçûâàþò íàïðàâëåíèå äåéñòâèÿ îïåðàòîðîâ A� è � � âäîëü ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò x1 è x2 . Àääèòèâíóþ ñõåìó ðàñùåïëåíèÿ (ñ ñóììàðíîé àïïðîêñèìàöèåé) çàïèøåì êàê ïîñëåäîâàòåëüíîå ðåøåíèå ñîâîêóïíîñòè îäíîìåðíûõ ðàçíîñòíûõ çàäà÷: 1 2 4 1 2 1 4 2 1 1 4 2 1 y y A y y ij n ij n ij n � � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) � � � � � � � ij n ij n i j n h nx x t 4 2 1 4 2 1 1 2 1 4 � � � � � � � ( ) ( ) , , ( , ~ , ( , , ) � � � � 1 2 1� �( )) ,� (24) 1 2 4 1 2 1 4 2 1 1 4 1 2 1 y y A y ij n ij n ij n � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) � � � � � �� y x x t ij n ij n i j n h 4 1 2 1 4 2 1 1 2 2 � � � � �� ( ) ( ) , , ( ~ , ( , , ) , ( )) ,4 1 2 1n� � �� (25) 1 2 4 2 2 1 4 1 2 1 1 4 1 2 1 y y A y ij n ij n ij n � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � �� y x x tij n ij n i j n 4 1 2 1 4 2 2 1 1 2 ( ) ( ) , , ~ , ( , , ) � � h n( , ( )) ,1 4 2 2 1� � � (26) 1 2 4 2 2 1 4 1 2 1 1 4 2 2 1 y y A y ij n ij n ij n � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � �� y x x tij n ij n i j n 4 2 2 1 4 2 2 1 1 2 ( ) ( ) , , ~ , ( , , ) � � h n( , ( )) ,2 4 2 2 1� � � (27) � �1 2, ; ~ .� �ij n ij n� �1 1 2 Ïîëàãàÿ â ôîðìóëàõ (24)–(27) � �1, ÿâíî âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, êîòî- ðàÿ ïðèáëèæàåò ðåøåíèå çàäà÷è ðàñùåïëåíèÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ x1. Ïîëàãàÿ äàëåå � � 2 è ïðîâîäÿ ïîñëåäîâàòåëüíûå âû÷èñëåíèÿ ïî òåì æå ôîðìóëàì, íà- õîäèì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è âäîëü x2 è â öåëîì. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 129 Ñóììèðóÿ ôîðìóëû (24) è (27), à òàêæå (25) è (26), ïîëó÷åííûå ïðè � �1, ñ òî÷íîñòüþ äî O( )�2 , ïîëó÷àåì 1 2 2 1 2 4 2 4 1 1 4 1 1 4 1 4 1y y A y y ij n ij n ij n ij n ij n � � � �� , (28) à ïðè � � 2 èìååì 1 2 2 1 2 4 4 4 2 1 2 4 3 2 4 3 4 3y y A y y ij n ij n ij n ij n ij n � � � � �� . (29) Ïðèáàâèâ ê (28) ôîðìóëó (29), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì y y A y A y y ij n ij n ij n ij n ij n 4 4 4 1 1 4 1 1 2 4 3 1 4 1 2 4 � � � �� yij n ij n4 3 4 2� �� . (30) Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (30) àïïðîêñèìèðóåò äèôôåðåí- öèàëüíîå óðàâíåíèå (1) ñ ïåðâûì ïîðÿäêîì ïî �. Ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì îïðåäåëÿåòñÿ ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè êîí- âåêòèâíîãî îïåðàòîðà. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÀËÃÎÐÈÒÌÀ (24)–(27) Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîãî àëãîðèòìà ïðîâåäåì çà äâà øàãà: ñíà- ÷àëà ïîëîæèì � ij � 0 è èññëåäóåì óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì, à çà- òåì ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñ íåíóëåâîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Çàïèøåì àëãîðèòì ðàñùåïëåíèÿ (24)–(27) â îïåðàòîðíîì âèäå. Îáîçíà÷èì L A1 1 1 1� � � , L A2 1 2 2� � � , à ÷åðåç yn áóäåì îáîçíà÷àòü âåêòîðû ñ êîîðäèíàòà- ìè yij n ( , , , )i m j m� �1 11 2 . Ðàññìîòðèì ñëó÷àé êîãäà � �1: � � y E L yn n4 1 1 42� � �( )� â óçëàõ �h n( , )1 4 1� , (31) ( )E L y yn n� ��2 1 4 1 4� � � â óçëàõ �h n( , )2 4 1� , (32) � � y E L yn n4 2 1 4 12� �� ( )� â óçëàõ �h n( , )1 4 1� , (33) ( )E L y yn n� �� 2 1 4 2 4 1� � � â óçëàõ �h n( , )2 4 1� . (34) Ïîäñòàâëÿÿ (31) â (34), à (32) â (33), ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷àåì y E L E L yn n4 2 1 1 42 2� �� ( ) ( )� � , (35) y E L E L yn n4 2 1 1 42 2� �� ( )( )� � . (36) Îáîçíà÷èì A E L� �( )2 1� , B E L� �( )2 1� . (37) Ëåììà 1. Îïåðàòîðû A è B �1, îïðåäåëåííûå ôîðìóëàìè (37), ïåðåñòàíîâî÷íûå. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åñëè C è D — ïåðåñòàíîâî÷íûå îïåðàòîðû, òî C è D �1 òàêæå ïåðåñòàíîâî÷íûå. Äåéñòâèòåëüíî, CD D DC D D CD D D C� � � � � �� 1 1 1 1 1 1( ) ( ) . Äàëåå, èç íåïîñðåäñòâåííîãî óìíîæåíèÿ A B è B A (ôîðìóëû (37)) è ñðàâíå- íèÿ ðåçóëüòàòà ïðèõîäèì ê óòâåðæäåíèþ ëåììû 1. Èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî ôîðìóëû (35) è (36) ýêâèâàëåíòíû. Ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷àåì è äëÿ ñëó÷àÿ � � 2 . Ñëåäî- âàòåëüíî, � � y E L E L yn n4 4 2 2 1 4 22 2� � �� ( )( )� � . (38) Èç (36) è (38) çàïèøåì � � y E L E L E L E L yn n4 4 2 2 1 1 1 1 42 2 2 2� � �� ( )( ) ( )( )� � � � 130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 èëè, îáîçíà÷èâ G E L E L� � �� ( )( )2 2 ( , )� �1 2 è G G G� 1 2 , ïîëó÷èì � � y G yn n4 4 4� � èëè � � y G yn n4 4 0� � . (39) Çäåñü G — îïåðàòîð ïåðåõîäà èç ñëîÿ 4n íà ñëîé 4 4n � . Òåîðåìà. ÄÑ-àëãîðèòì (24)–(27), áåçóñëîâíî, óñòîé÷èâ ïî íà÷àëüíûì äàííûì. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî îïåðàòî- ðîâ G n ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Ââåäåì áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ñåòî÷íûõ ôóíêöèé Bh . Î÷åâèäíî, ÷òî \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\|G G G� 1 2 . Îöåíèì \|\| \|\|G� ( , )� �1 2 : \|\| \|\| sup (( )( ) , ( )( G E L E L E L E � � � � �� 2 0 12 2 2 2 � � � � � ! � � � L� � � � ) ) ( , ) � � 1 � � � � � � � � � ! sup (( ) , ( ) ) (( ) , ( ) )" " " " "0 2 2 2 2 E L E L E L E L � � � � � � � � � � � �! sup ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ," " " " " " " " " "0 2 2 4 4 4 � � � � � � � L L L L L� ��" " ") ( , )� � 4 1 L ïðè ( , )L� " " � 0 . Çäåñü " � � �( )E L2 1� �� . Ëåììà 2. Îïåðàòîð L� ( , )� �1 2 ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûé. Ïîñêîëüêó L A� � �� 1 � , ãäå A 1 � — êîñîñèììåòðè÷åñêèé , à � � — ïîëîæè- òåëüíî-îïðåäåëåííûé îïåðàòîðû, èìååì ( , ) ( , ) ( , ) ( , )L y y A y y y y y y� � � �� 1 0� � . Ñëåäîâàòåëüíî, \|\| \|\|G � 1 è óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì äîêàçàíà. Äîêàçàòåëüñòâî óñòîé÷èâîñòè ïî ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìû ñ òî÷íîñòüþ äî ïðå- îáðàçîâàíèé àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó, ïðèâåäåííîìó â ðàáîòå [5]. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ òåïëîìàññîïåðåíîñà íà ìíîãîïðîöåññîðíûõ êîìïüþòåðàõ ïðåäëîæåí ýêîíîìè÷íûé ðàçíîñòíûé äâóõøàãîâûé àëãîðèòì ðàñïàðàëëåëèâà- íèÿ âû÷èñëèòåëüíîãî ïðîöåññà, èñêëþ÷àþùèé íåîáõîäèìîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåì ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé íà êàæäîì âðåìåíí�ì øàãå. Óñòàíîâëåíà ñóììàðíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ àëãîðèòìà è äîêàçàíà åãî áåçóñëîâíàÿ óñòîé÷èâîñòü. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Â è ê î ð è ñ ò à í í ÿ áàãàòîïðîöåñîðíèõ êîìï’þòåð³â äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ðîçðàõóíêó ì³öíîñò³ êîíñòðóêö³é / Î.Ì. Õ³ì³÷, Â.Â. Ïîëÿíêî, Î.Â. Ïîïîâ, Î.Â. Ðóäè÷ // Ïðàö³ ì³æíàð. ñèìï. «Ïèòàííÿ îï- òèì³çàö³¿ îá÷èñëåíü» (ÏÎÎ-XXXV). — Êè¿â, 2009. — 2. — C. 382–387. 2. Ë à ä û æ å í ñ ê à ÿ Î . À . Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû äèíàìèêè íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. — Ì.: Íàóêà, 1970. — 288 c. 3. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Â à á è ù å â è ÷ Ï . Í . Âû÷èñëèòåëüíàÿ òåïëîïåðåäà÷à. — Ì.: ÓÐÑÑ, 2003. — 784ñ. 4. Ê î â å í ÿ Â . Ì . , ß í å í ê î Í . Í . Ìåòîäû ðàñùåïëåíèÿ â çàäà÷àõ ãàçîâîé äèíàìèêè. — Íîâîñè- áèðñê: Íàóêà, 1981. — 304 ñ. 5. Ã ð è ù å í ê î Î . Þ . ÄÑ-ð³çíèöåâ³ àëãîðèòìè ðîçâ’ÿçóâàííÿ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîë³÷íèõ ð³â- íÿíü äðóãîãî ïîðÿäêó // Â³ñí. Êè¿â. óí-òó. Ñåð³ÿ: ô³ç.-ìàò. íàóêè. — 2000. — Âèï. 1. — C. 227–231. 6. Ë ÿ ø ê î Í . È . , Ã ð è ù å í ê î À . Å . , Î í î ö ê è é Â . Â . Îá îäíîì àëãîðèòìå ðåãóëÿðèçàöèè óïðàâ- ëåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêèìè ñèñòåìàìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 1. — Ñ. 86–94. 7. Ì à ð ÷ ó ê Ã . È . Ìåòîäû âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 608 ñ. 8. Ì à ð ÷ ó ê Ã . È . Ìåòîäû ðàñùåïëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 264 ñ. Ïîñòóïèëà 23.04.2010 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 131

Об одном двуxшаговом алгоритме расщепления в задачах тепломассопереноса

Institution

Ähnliche Einträge