Градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач
Нелiнiйнiй багатопараметричнiй спектральнiй задачi у дiйсному евклiдовому просторi ставиться у вiдповiднiсть варiацiйна задача на мiнiмум деякого функцiонала. Доведено еквiвалентнiсть спектральної та варiацiйної задач. На базi градiєнтної процедури запропоновано чисельний алгоритм знаходження її в...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84352 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач / Б.М. Подлевський, В.В. Хлобистов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 22-27. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84352 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-843522015-07-07T03:02:22Z Градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач Подлевський, Б.М. Хлобистов, В.В. Математика Нелiнiйнiй багатопараметричнiй спектральнiй задачi у дiйсному евклiдовому просторi ставиться у вiдповiднiсть варiацiйна задача на мiнiмум деякого функцiонала. Доведено еквiвалентнiсть спектральної та варiацiйної задач. На базi градiєнтної процедури запропоновано чисельний алгоритм знаходження її власних значень та власних векторiв. Доведено локальну збiжнiсть та оцiнки швидкостi збiжностi алгоритму. Нелинейной многопараметрической спектральной задаче в действительном евклидовом пространстве ставится в соответствие вариационная задача на минимум некоторого функционала. Доказана эквивалентность спектральной и вариационной задач. На базе градиентной процедуры предлагается численный алгоритм нахождения ее собственных значений и собственных векторов. Доказана локальная сходимость и оценки скорости сходимости алгоритма. In a real abstract Hilbert space, the nonlinear multiparameter spectral problem is put in accordance to a variation problem on minimum of some functional. The equivalence of the spectral and variation problems is proved. On the base of a gradient procedure, the numerical algorithm of finding its eigenvalues and the eigenvectors is proposed. The local convergence of the algorithm and the estimation of the rate of its convergence are proved. 2012 Article Градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач / Б.М. Подлевський, В.В. Хлобистов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 22-27. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84352 519.6 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Подлевський, Б.М. Хлобистов, В.В. Градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач Доповіді НАН України |
| description |
Нелiнiйнiй багатопараметричнiй спектральнiй задачi у дiйсному евклiдовому просторi
ставиться у вiдповiднiсть варiацiйна задача на мiнiмум деякого функцiонала. Доведено
еквiвалентнiсть спектральної та варiацiйної задач. На базi градiєнтної процедури запропоновано чисельний алгоритм знаходження її власних значень та власних векторiв. Доведено локальну збiжнiсть та оцiнки швидкостi збiжностi алгоритму. |
| format |
Article |
| author |
Подлевський, Б.М. Хлобистов, В.В. |
| author_facet |
Подлевський, Б.М. Хлобистов, В.В. |
| author_sort |
Подлевський, Б.М. |
| title |
Градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач |
| title_short |
Градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач |
| title_full |
Градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач |
| title_fullStr |
Градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач |
| title_full_unstemmed |
Градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач |
| title_sort |
градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84352 |
| citation_txt |
Градієнтний метод розв'язування нелінійних багатопараметричних спектральних задач / Б.М. Подлевський, В.В. Хлобистов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 22-27. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT podlevsʹkijbm gradíêntnijmetodrozvâzuvannânelíníjnihbagatoparametričnihspektralʹnihzadač AT hlobistovvv gradíêntnijmetodrozvâzuvannânelíníjnihbagatoparametričnihspektralʹnihzadač |
| first_indexed |
2025-07-06T11:20:41Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:20:41Z |
| _version_ |
1836896319522734080 |
| fulltext |
УДК 519.6
© 2012
Б.М. Подлевський, В. В. Хлобистов
Градiєнтний метод розв’язування нелiнiйних
багатопараметричних спектральних задач
(Представлено академiком НАН України В. Л. Макаровим)
Нелiнiйнiй багатопараметричнiй спектральнiй задачi у дiйсному евклiдовому просторi
ставиться у вiдповiднiсть варiацiйна задача на мiнiмум деякого функцiонала. Доведено
еквiвалентнiсть спектральної та варiацiйної задач. На базi градiєнтної процедури за-
пропоновано чисельний алгоритм знаходження її власних значень та власних векторiв.
Доведено локальну збiжнiсть та оцiнки швидкостi збiжностi алгоритму.
Узагальнена спектральна задача T (λ)x = 0 з операторнозначною функцiєю T (λ) : Rm →
→ X(H) (X(H) — множина лiнiйних операторiв, що дiють у деякому гiльбертовому про-
сторi H), яка лiнiйно або нелiнiйно залежить вiд декiлькох спектральних параметрiв λ1,
λ2, . . ., λm, виникає у багатьох областях аналiзу та математичної фiзики.
Рiзнi постановки таких задач, вiдповiдна спектральна теорiя, застосування та деякi чи-
сельнi методи їх розв’язування є предметом дослiдження, наприклад, у роботах [1–10].
У данiй роботi розглядається нелiнiйна за спектральними параметрами багатопараме-
трична задача на власнi значення вигляду
T (λ)x = 0, x ∈ En, x 6= 0 (1)
в дiйсному евклiдовому просторi En, усi скалярнi параметри якої λ = (λ1, λ2, . . . , λm) ∈ Em
спектральнi.
Такi задачi є ще малодослiдженими як з теоретичної точки зору (на вiдмiну вiд лiнiй-
них слабкозв’язних багатопараметричних спектральних задач, для яких розроблена спект-
ральна теорiя [2, 8, 10], та низка чисельних методiв [1, 3, 9]), так i з точки зору побудови
чисельних методiв їх розв’язування.
У данiй роботi пропонується варiацiйний пiдхiд, який вiдрiзняється вiд пiдходу, запропо-
нованого в роботах [3, 5, 6], до розв’язування таких задач, при якому багатопараметрична
спектральна задача замiняється еквiвалентною варiацiйною задачею на мiнiмум деякого
функцiонала. В основi чисельного алгоритму мiнiмiзацiї функцiонала пропонується вико-
ристати градiєнтну процедуру та метод Ньютона до розширеної задачi у просторi прямої су-
ми евклiдових просторiв En та Em. В результатi отримуємо алгоритм знаходження досить
простого для обчислення кроку градiєнтної iтерацiї та одночасного визначення власного
вектора i набору власних значень.
Власнi вектори та власнi значення як точки мiнiмуму. Нехай En — дiйсний евклi-
довий простiр зi скалярним добутком (·, ·)En та нормою ‖·‖En , а T (λ) — квадратна матриця
розмiрностi n × n, елементи якої нелiнiйно залежать вiд параметрiв λi ∈ E1, i = 1, . . . ,m.
Нелiнiйна багатопараметрична задача на власнi значення полягає у знаходженнi такого на-
бору спектральних параметрiв λ∗ = (λ∗
1, . . . , λ
∗
m), що iснує нетривiальний розв’язок x∗ 6= 0
рiвняння (1). Такий набiр спектральних параметрiв λ∗ = (λ∗
1, . . . , λ
∗
m) назвемо узагальне-
ним власним значенням або власним набором, а вiдповiдний розв’язокx∗ — узагальненим
власним вектором задачi (1).
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
Поряд з задачею (1) розглянемо задачу про знаходження такого набору параметрiв
λ = {λ1, . . . , λm} ∈ Em i таких векторiв x, на яких функцiонал
F (u) =
1
2
‖T (λ)x‖2En , ∀u = {x, λ} ∈ H = En ⊕ Em, x 6= 0, (2)
набуває мiнiмального значення, тобто
F (u) → min
u
, u ∈ U ⊂ H (x 6= 0), (3)
де U — деяка опукла множина, яка мiстить точки u∗ = {x∗, λ∗}, що задовольняють рiв-
няння (1); H — евклiдiв простiр, у якому скалярний добуток та норма визначаються таким
чином:
(u, v)H = (u1, u2)En + (v1, v2)Em, ‖u‖H =
√
‖u1‖2En + ‖v1‖2Em ,
u = {u1, v1}, v = {u2, v2}, u1, u2 ∈ En, v1, v2 ∈ Em.
Множину точок мiнiмуму F (u) на U будемо позначати через
U∗ = {u : u ∈ U,F (u) = 0}
i надалi вважатимемо, що оператор-функцiя T (λ) є двiчi диференцiйовною за Фреше, тобто
для будь-якого λk ∈ E1, k = 1, 2, . . . ,m, iснують частиннi похiднi ∂T (λ)/∂λk, k = 1, 2, . . . ,m,
та ∂2T (λ)/(∂λk∂λl), k, l = 1, 2, . . . ,m, та покажемо, що задачi (1) та (3) еквiвалентнi.
Якщо розглянути прирiст функцiонала F (u+∆u)−F (u) = F (x+h, λ+ q)−F (x, λ) для
будь-яких u, u+∆u ∈ U , де ∆u = {h, q} ∈ U , то пiсля нескладних викладок отримуємо, що
F (u+∆u)− F (u) = F (x+ h, λ+ q)− F (x, λ) =
= (T (λ)x, T (λ)h)En +
(
T (λ)x,
m
∑
i=1
∂T (λ)
∂λi
xqi
)
En
+
1
2
{
(T (λ)h, T (λ)h)En +
+ 2
(
T (λ)h,
m
∑
i=1
∂T (λ)
∂λi
xqi
)
En
+
(
m
∑
i=1
∂T (λ)
∂λi
xqi,
m
∑
i=1
∂T (λ)
∂λi
xqi
)
En
+
+ 2
(
T (λ)x,
m
∑
i=1
∂T (λ)
∂λi
hqi
)
En
+ (T (λ)x, d2T (λ, q)x)En
}
+ o(‖∆u‖2H). (4)
Отже, перший диференцiал функцiонала (2) набуде вигляду
d{F (x, λ); (h, q)} = (T (λ)x, T (λ)h)En +
m
∑
i=1
(T (λ)x,Bi(λ)x)Enqi =
= (T ∗ (λ)T (λ)x, h)En + (f(λ, x), q)Em = (ug,∆u)H , (5)
де
f(λ, x) = (f1(λ, x), f2(λ, x), . . . , fm(λ, x)),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 23
fi(λ, x) = (T (λ)x,Bi(λ)x)En , Bi =
∂T (λ)
∂λi
, i = 1, 2, . . . ,m.
Звiдси для градiєнта функцiонала (2) отримуємо зображення
gradF (u) = ∇F (u) = ug =
= {(T ∗(λ)T (λ)x, e1), . . . , (T
∗(λ)T (λ)x, en), f1(λ, x), f2(λ, x), . . . , fm(λ, x)},
де ei ∈ En — вектор, i-та координата якого дорiвнює 1, а решта — нулi.
Нехай T (λ)x = 0, x 6= 0. Тодi з (5) випливає, що ∇F (u) = 0. Нехай тепер ∇F (u) = 0.
Тодi також з (5) маємо
T ∗ (λ)T (λ)x = 0 ⇒ (T ∗ (λ)T (λ)x, x)En = 0 ⇒ (T (λ)x, T (λ)x)En = 0 ⇒ T (λ)x = 0,
отже справджується таке твердження.
Теорема 1. Кожний власний вектор x∗, що вiдповiдає власному набору λ∗ = (λ∗
1,
. . . , λ∗
m) задачi (1) є стацiонарною точкою u∗ = {x∗, λ∗} функцiонала (2) i, навпаки, кож-
на стацiонарна точка функцiонала (2) u∗ = {x∗, λ∗} вiдповiдає власному вектору x∗ та
власному набору λ∗ = (λ∗
1, . . . , λ
∗
m) задачi (1).
Зауваження. Оскiльки F (u) > 0, F (u∗) = 0, u, u∗ ∈ U , то кожна стацiонарна точка u∗
функцiонала F (u) є точкою його локального (а також глобального) мiнiмуму.
Оскiльки на множинi стацiонарних точок T (λ)x = 0, то з формули (4) випливає, що
d2{F (x, λ); (h, q)} =
∥
∥
∥
∥
∥
T (λ)h+
m
∑
i=1
Bixqi
∥
∥
∥
∥
∥
2
En
> 0,
тобто справджується таке твердження.
Лема 1. Нехай T (λ) є двiчi диференцiйовною за Фреше. Тодi функцiонал (2) є опуклим
на множинi стацiонарних точок.
Таким чином, розв’язування задачi (1) еквiвалентне знаходженню стацiонарних точок
опуклого функцiонала (2), якi є його точками мiнiмуму.
Чисельний алгоритм. Цей результат дозволяє побудувати градiєнтну процедуру для
чисельного розв’язування задачi (3), а отже, i задачi (1) у виглядi
uk+1 = uk − γk∇F (uk), γk = γ(uk), k = 0, 1, 2 . . . .
Величину γk на кожному кроцi будемо обчислювати за допомогою одного кроку модифiко-
ваного методу Ньютона як для скалярного рiвняння
F (uk − γk∇F (uk)) = 0,
тобто
γk =
F (uk)
(∇F (u0),∇F (u0))H
=
F (uk)
‖∇F (u0)‖2H
. (6)
Надалi, для спрощення запису, iндекс H у позначеннi скалярного добутку та норми будемо
опускати.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
Отже, iтерацiйний процес запишеться у виглядi
uk+1 = uk −
F (uk)
‖∇F (u0)‖2
∇F (uk), k = 0, 1, 2, . . . . (7)
При виборi початкового наближення, в певному сенсi близького до власного вектора та
набору власних значень, iтерацiйний процес (7) збiгається до стацiо-нарної точки функцiо-
нала (2) u∗ = {x∗, λ∗}, у якiй досягається його мiнiмум, тобто до власного вектора x∗ та
набору власних значень λ∗ = (λ∗
1, . . . , λ
∗
m) задачi (1).
Для цього iтерацiйного процесу в роботi наведено такi теореми збiжностi та оцiнки їх
швидкостi.
Теорема 2. Нехай виконуються умови леми 1 i градiєнт функцiонала (2) задовольняє
умову Лiпшiца
‖∇F (u)−∇F (z)‖ 6 L‖u− z‖, ∀u, z ∈ U, L > 0.
Якщо для деякого початкового наближення u0 = (x0, λ
(0)) ∈ U виконується умова
0 < γ0 ≡ γ(u0) 6
1
L
,
то iтерацiйний процес (7) збiгається до точки мiнiмуму функцiонала (2) u∗ = {x∗, λ∗},
а отже, до власного вектора x∗ та набору власних значень λ∗ = (λ∗
1, . . . , λ
∗
m) задачi (1),
тобто
lim
k→∞
ρ(uk, U∗) = lim
k→∞
ρ(uk, u
∗) = 0, lim
k→∞
F (uk) = F (u∗) = 0, (8)
i справджується оцiнка
F (uk) 6 2dF (u0)[2d + γ0k]
−1, (9)
де константа d > 0 така, що ‖uk − u∗‖ 6 d, k = 0, 1, . . ..
Вiдзначимо, що якщо функцiонал буде сильно опуклим, то iснує така константа δ > 0, що
F (u)− F (v) > (∇F (v), u − v) + δ‖u− v‖2, u, v ∈ U. (10)
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 2, а матриця T (λ) задачi (1) така, що
функцiонал (2) є сильно опуклим на множинi U . Тодi iтерацiйний процес (7) збiгається до
точки мiнiмуму функцiонала (2) u∗ = {x∗, λ∗}, а, отже, до власного вектора x∗ та набору
власних значень λ∗ = (λ∗
1, . . . , λ
∗
m) задачi (1), тобто справджуються спiввiдношення (8),
а також оцiнки
F (uk) 6 F (u0)[1 + 2δγ0k]
−1, (11)
‖uk − u∗‖2 6 F (u0)[(1 + 2δγ0k)δ]
−1, k = 0, 1, . . . , (12)
де δ — константа з нерiвностi (10).
Висновки та зауваження. Основне завдання при виборi величини γk у процесах мi-
нiмiзацiї — це забезпечити виконання нерiвностi F (uk+1) < F (uk). Як правило, γk, де це
можливо, обчислюють одним з методiв одновимiрної мiнiмiзацiї функцiї F (uk − γk∇F (uk)).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 25
У роботi [11] пропонується вибирати γk як найбiльше з чисел, що задовольняють не-
рiвнiсть
F (uk)− F (uk − γk∇F (uk)) > qkγk‖∇F (uk)‖
2 (13)
при деяких 0 < qk < 1. У данiй роботi задачу одновимiрної мiнiмiзацiї у класичнiй постанов-
цi для визначення кроку γk замiнено обчисленням γk за методом Ньютона для вiдповiдного
скалярного рiвняння. Це не вимагає великих затрат, оскiльки потрiбно обчислювати лише
значення функцiонала у данiй точцi на кожному кроцi, причому вибiр γk у виглядi (6) за-
довольняє нерiвнiсть (13) для кожного k при qk = q = 1/2. Незважаючи на те, що оцiнки
точностi в [11] для сильно опуклого функцiонала є дещо сильнiшими вiд (11), (12), вибiр γk
у виглядi (6) є кращим з огляду на простоту та обчислювальнi затрати.
Робота виконана при частковiй пiдтримцi ДФФД України № 41.1/022.
1. Абрамов А.А., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. Метод решения многопараметрической спектральной
задачи для некоторых систем дифференциальных уравнений // Журн. вычислит. матем. и мат.
физики. – 2000. – 40, № 1. – С. 21–29.
2. Atkinson F.V. Multiparameter eigenvalue problems. matrices and compact operators. Vol. 1. – New York,
London: Academic Press, 1972. – 220 p.
3. Browne P. J., Sleeman B.D. A numerical technique for multiparameter eigenvalue problems // IMA
J. Numer Anal. – 1982. – 2(4). – P. 451–457.
4. Khlobystov V.V., Podlevskyi B.M. Variational approach to solving a class of nonlinear multiparameter
spectral problems // Журн. обчисл. та прикл. матем. – 2011. – No 2(105). – С. 44–50.
5. Khlobystov V.V., Podlevskyi B.M. Variation-gradient method of the solution of one class of nonlinear
multiparameter eigenvalue problems // Там само. – 2009. – No 1(97). – С. 70–78.
6. Подлевський Б.М. Варiацiйний пiдхiд до розв’язування лiнiйних багатопараметричних задач на влас-
нi значення // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 9. – С. 1247–1256.
7. Подлевский Б.М. О некоторых нелинейных двухпараметрических спектральных задачах математи-
ческой физики // Математ. моделирование. – 2010. – 22, № 5. – С. 131–145.
8. Sleeman B.D. Multiparameter spectral theory in Hilbert space. – London, San Francisco, Melbourne:
Pitnam Press, 1978. – 128 p.
9. Slivnik T., Tomšiи G. A numerical method for the solution of two-parameter eigenvalue problem //
J. Comp. Appl. Math. – 1986. – 15, No 1. – P. 109–115.
10. Volkmer H. Multiparameter eigenvalue problems and expansion theorems. – Berlin: Springer, 1988. – 157 p.
11. Карманов В. Г. Математическое программирование: Уч. пос. – 5-е изд. – Москва: Физматлит, 2004. –
264 с.
Надiйшло до редакцiї 26.12.2011Iнститут прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
Б.М. Подлевский, В.В. Хлобыстов
Градиентный метод решения нелинейных многопараметрических
спектральных задач
Нелинейной многопараметрической спектральной задаче в действительном евклидовом
пространстве ставится в соответствие вариационная задача на минимум некоторого
функционала. Доказана эквивалентность спектральной и вариационной задач. На базе гра-
диентной процедуры предлагается численный алгоритм нахождения ее собственных значе-
ний и собственных векторов. Доказана локальная сходимость и оценки скорости сходимо-
сти алгоритма.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
B.M. Podlevskyi, V. V. Khlobystov
A gradient method for solving the nonlinear multiparameter spectral
problems
In a real abstract Hilbert space, the nonlinear multiparameter spectral problem is put in accordance
to a variation problem on minimum of some functional. The equivalence of the spectral and varia-
tion problems is proved. On the base of a gradient procedure, the numerical algorithm of finding
its eigenvalues and the eigenvectors is proposed. The local convergence of the algorithm and the
estimation of the rate of its convergence are proved.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 27
|