Практическая устойчивость развивающихся динамических систем
Для класса развивающихся динамических систем предложены определения практической устойчивости, которые обобщают хорошо известные. Найдены необходимые и достаточные условия практической устойчивости на основе метода функций Ляпунова....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Компьютерная математика |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84566 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Практическая устойчивость развивающихся динамических систем / Т.Н. Бойко // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 43-49. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84566 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-845662015-07-11T03:01:39Z Практическая устойчивость развивающихся динамических систем Бойко, Т.Н. Системный анализ Для класса развивающихся динамических систем предложены определения практической устойчивости, которые обобщают хорошо известные. Найдены необходимые и достаточные условия практической устойчивости на основе метода функций Ляпунова. Для класу динамічних систем, що розвиваються, запропоновані означення практичної стійкості, які узагальнюють добре відомі. Знайдені необхідні й достатні умови практичної стійкості за допомогою функцій Ляпунова. The definitions of practical stability are proposed for the class of developing dynamical systems, which generalize the well-known ones. The necessary and sufficient conditions for practical stability using Lyapunov functions are found. 2010 Article Практическая устойчивость развивающихся динамических систем / Т.Н. Бойко // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 43-49. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. ХХХХ-0003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84566 517.938 ru Компьютерная математика Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Бойко, Т.Н. Практическая устойчивость развивающихся динамических систем Компьютерная математика |
| description |
Для класса развивающихся динамических систем предложены определения практической устойчивости, которые обобщают хорошо известные. Найдены необходимые и достаточные условия практической устойчивости на основе метода функций Ляпунова. |
| format |
Article |
| author |
Бойко, Т.Н. |
| author_facet |
Бойко, Т.Н. |
| author_sort |
Бойко, Т.Н. |
| title |
Практическая устойчивость развивающихся динамических систем |
| title_short |
Практическая устойчивость развивающихся динамических систем |
| title_full |
Практическая устойчивость развивающихся динамических систем |
| title_fullStr |
Практическая устойчивость развивающихся динамических систем |
| title_full_unstemmed |
Практическая устойчивость развивающихся динамических систем |
| title_sort |
практическая устойчивость развивающихся динамических систем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84566 |
| citation_txt |
Практическая устойчивость развивающихся динамических систем / Т.Н. Бойко // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 43-49. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Компьютерная математика |
| work_keys_str_mv |
AT bojkotn praktičeskaâustojčivostʹrazvivaûŝihsâdinamičeskihsistem |
| first_indexed |
2025-07-06T11:38:06Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:38:06Z |
| _version_ |
1836897416123514880 |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2010, № 1 43
Ñèñòåìíûé àíàëèç
Для класса развивающихся дина-
мических систем предложены
определения практической устой-
чивости, которые обобщают хо-
рошо известные. Найдены необхо-
димые и достаточные условия
практической устойчивости на
основе метода функций Ляпунова.
Т.Н. Бойко, 2010
ÓÄÊ 517.938
Ò.Í. ÁÎÉÊÎ
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÀß ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ
ÐÀÇÂÈÂÀÞÙÈÕÑß
ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ
Введение. Работа посвящена вопросам прак-
тической устойчивости развивающихся ди-
намических систем [1]. Появление систем
такого типа в первую очередь связано с раз-
витием экономической теории финансово-
промышленных структур, которая становит-
ся все более актуальной в последнее время
[2]. Многие модели в данной области могут
быть описаны более адекватно в рамках
развивающихся систем дифференциальных
уравнений. На основе разработанных мето-
дов практической устойчивости могут быть
даны ответы на многие экономические во-
просы. Исследование практической устойчи-
вости систем такого вида находит примене-
ние и в таких прикладных задачах как обра-
ботка сигналов, распознавание образов и т. д.
Для развивающихся систем в работе предло-
жены определения практической устойчиво-
сти. Построены функции Ляпунова, с помо-
щью которых получены необходимые и дос-
таточные условия практической устойчиво-
сти систем такого типа. При исследовании
практической устойчивости в данной работе
проводится анализ невозмущенного движе-
ния исходя из свойств множеств начальных
данных (что является развитием идей, изло-
женных в [3, 4]). Введенное понятие практи-
ческой устойчивости развивающихся систем
позволяет значительно расширить круг ис-
следуемых задач и решить их численно.
Постановка задачи и основные обозна-
чения. Пусть 1 2, , ..., Nτ τ τ – некоторое
разбиение отрезка ],[ 10 TT , где
Т.Н. БОЙКО
Компьютерная математика. 2010, № 1 44
1{ : [ , )}, 1,2,..., 1,j j jt t t t j N−τ = ∈ = −
1 0 0 1 2 1 1{ : [ ; ]}, ... .N N N N Nt t t t t T t t t t T− −τ = ∈ = < < < < < =
Пусть также 1 2, ,..., , 1,2,...,
jj j jK j Nτ τ τ = – некоторое подразбиение разбиения
1 2, , ..., Nτ τ τ , где
1{ : [ ; ), 1,..., ; 1,2,..., 1}jk jk jk jt t t t k K j N−τ = ∈ = = − ,
1{ : [ ; )}, 1,2,... 1,Nk Nk Nk Nt t t t k K−τ = ∈ = −
1 0 1 1 1{ : [ ; ]}, ... , 1,2,..., ,
N N N j jNK NK NK j j j jK jK jt t t t t t t t t t j N− − −τ = ∈ = < < < < = =
1
.
jK
jk j
k =
τ = τ∪
Предположим, что динамика процесса задается следующей развивающейся
системой:
( )
( ) ( )( )
( , ), , 1, , 1, ;
j
jk j
jk j
dx t
f x t t k K j N
dt
= ∈ τ = = (1)
( ) ( ) ( )
1 1( ) ( ( )), 2,3,..., ,j jk j
jk jk jx t g x t k K− −= − =
( ) ( ) ( 1) ( 1)
0 1 0( ) ( ) ( ( )), 1,2,..., ,j j j j
j j jx t x t g x t j N−
−= = − = (2)
где j
Тj
n
jjj nxxxx
j
−= ),...,,( )()(
2
)(
1 – измеримый вектор фазовых координат;
( ) : , 1,2,..., , 1,2,...,j jn njk
jk jf R R k K j N× τ → = = – вектор-функции, удовле-
творяющие условиям теорем существования и единственности решения системы
(1) при jkt ∈ τ , ( ) : , 2,3,..., , 1,2,...,j jn njk
jg R R k K j N→ = = – функции, задаю-
щие скачок; NjRRg jj nnj ,...,2,1,: 1)1( =→− задают изменение размерности
фазового состояния.
Если переключения происходят в те моменты, когда изменяется размер-
ность фазового пространства, тогда, как частный случай, получаем дифференци-
альную систему с изменением размерности фазового пространства. Вопросы
практической устойчивости для такого класса систем детально изучены в [5].
Основное отличие развивающихся систем состоит в том, что переключения и
размерность фазового пространства могут изменяться независимо друг от друга.
В дальнейшем будем предполагать, что ( ) ,jnjk
tФ R⊂ NjKk j ,1,,1 == –
компакты .0,0, )(
00
1 jk
t
n
ФGRG ∈∈⊂
Определение 1. Невозмущенное решение ( )( ) 0, ,j
jkx t t= ∈ τ 1, ,jk K=
1,j N= системы (1), (2) (предполагаем, что оно является решением системы
(1), (2)) и называется ( )(11) (12)
0 0 1{ , , ,..., , , }NNK
t t tG Ф Ф Ф T T -устойчивым, если для
ПРАКТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗВИВАЮЩИХСЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Компьютерная математика. 2010, № 1 45
любой точки 0
)1(
00
)1( )( GxTx ∈= соответствующее решение ( ) ( )( ) ,j jk
tx t Ф∈
,jkt ∈ τ jKk ,1= , Nj ,1= .
Для построения эффективных методов проверки качества практической
устойчивости развивающихся динамических систем будем рассматривать
следующие типы множеств начальных условий:
1) 1 1 1(1) (1) 1
0 { : ( ) 1}, : , ( )n n nG x R x R R C R= ∈ σ < σ → σ ∈ ;
2) частичный случай 1) (1) (1) (1) 2( ) / ,Tx x Bx cσ = где В положительно опре-
деленная матрица порядка 1n , 0>c – некоторая постоянная ( 0G =
)(1) (1) (1) 2{ : } .Tx x Bx c= <
Учитывая практическую важность перечисленных начальных множеств
(в виде эллипсоидов, и т. п.), дадим определение практической устойчивости в
этих наиболее важных случаях.
Определение 2. Невозмущенное движение ( ) ( ) 0, ,j
jkx t t= ∈ τ 1, ,jk K=
Nj ,1= системы (1), (2) будем называть ( )(11) (12)
0 1{ , , ,..., , , }NNK
t t tФ Ф Ф T Tσ -устой-
чивым, если ( ) ( )( ) , , 1, , 1,j jk
t jk jx t Ф t k K j N∈ ∈ τ = = для всех начальных условий
(1) (1) (1) (1)
0 0 0 0( ) { : ( ) 1}.x T x x x= ∈ σ <
Соответственно, если }:{ 2)1()1()1(
0 cBxxxG T <= , то невозмущенное движе-
ние системы (1), (2) ( ) ( ) 0, , 1, , 1,j
jk jx t t k K j N= ∈ τ = = будем называть
( )(11) (12)
0 1{ , , , ,..., , , }NNK
t t tc B Ф Ф Ф T T -устойчивым.
Рассмотрим два типа фазовых ограничений, для которых сформулируем
критерии практической устойчивости:
( ) ( ) ( ){ : ( , ) 1}, , 1, , 1, ,jk j j
t jk jk jФ x x t t k K j N= ψ ≤ ∈ τ = =
( ) ( ) ( ) ( ){ :| ( ) | 1, 1, }, , 1, , 1, ,jk j jk T j
t s j jk jГ x l t x s M t k K j N= ≤ = ∈ τ = =
где )()( tl jk
s – непрерывные вектор-функции размерностью jn ; ( )( , )j
jk x tψ – ска-
лярные функции, непрерывные по совокупности аргументов при jkt ∈ τ вместе
со своими частными производными по )( jx ; ( )jk
tΦ – замкнутые выпуклые мно-
жества для каждого jkt ∈ τ , которые содержат внутреннюю точку 0)()( =tx j ,
Nj ,1= .
Для получения критериев практической устойчивости будем использовать
определение функций Ляпунова, допуская их непрерывность вместе с частными
производными на областях определения. Все необходимые сведения о функциях
Ляпунова изложены, например, в [3].
Т.Н. БОЙКО
Компьютерная математика. 2010, № 1 46
Теорема 1. Если для системы (1), (2) найдутся положительно определенные
функции Ляпунова ),( )( txV j
jk , которые удовлетворяют условиям
{ }( ) ( ) ( ): ( , ) 1j j jk
jk tx V x t < ⊂ Φ , jkt ∈ τ , NjKk j ,1,,1 == ; (3)
( )
(1),(2)
( , )
0
j
jkdV x t
dt
≤
(4)
при { }( ) ( ) ( ): ( , ) 1j j j
jkx x V x t∈ < , jkt ∈ τ , NjKk j ,1,,1 == ;
для любого { }1,2, ,s N∈ …
11
( ) ( 1)
1
1 1
( ( ( ), ) ( ( ), ))
jKs
j j
jk jk jk jk j j
j k
V x t t V x t t
−−
+
+
= =
− − +∑∑
1
( ) ( 1)
11
1
( ( ( ), ) ( ( ), )) 0
j j j j j
s
j j
jK jK jK j jK jK
j
V x t t V x t t
−
+
+
=
+ − − ≥∑ ; (5)
{ }(1) (1)
0 11 10: ( , ) 1G x V x t⊂ < , (6)
то невозмущенное решение системы (1), (2) ( ) ( ) 0, , 1, , 1,j
jk jx t t k K j N= ∈ τ = =
будет ( )(11) (12)
0 0 1{ , , ,..., , , }NNK
t t tG Ф Ф Ф T T -устойчивым.
Доказательство (от противного). Пусть выполняются условия (3)–(6),
но найдутся NjKk j ≤≤≤≤ 00 1,1 и такое значение
0 0j kt ∈ τ , при котором
)()( 000 )( kj
t
j tx Φ∉ . Тогда, согласно (3) и используя непрерывность функции
Ляпунова ),( )( 0
00
txV j
kj , в точке t будет выполняться неравенство
1)),(( )( 0
00
≥ttxV j
kj . Кроме этого, согласно (4), на траекториях системы (1), (2)
имеем
0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
1
( )1 1
( ) ( )
1 1
1 1 (1),(2)
( , )
( ( ), ) ( ( ), ) 0
jk
jk
t jj k
jk j j
j k j k j j
j k t
dV x t
dt V x t t V x t t
dt
−
− −
− −
= =
+ − ≤
∑∑ ∫ .
Поэтому
+−− )),(()),(( 1010
)1(
121111
)1(
11 ttxVttxV
++−−+ …)),(()),(( 1212
)1(
131212
)1(
12 ttxVttxV
++−−+ −−
−
−−−
−
− …)),(()),(( 2020
)10(
1201010
)10(
110 jj
j
jjj
j
j ttxVttxV
0)),(()),(( 1010
)0(
1010
)0(
00
≤−+ −−−− jj
j
kj
j
kj ttxVttxV .
ПРАКТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗВИВАЮЩИХСЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Компьютерная математика. 2010, № 1 47
Следовательно,
∑∑
−
=
+
+
−
=
+−−
10
1
)1(
1
)(
10
1
))),(()),(((
j
j
jkjk
j
kjjkjk
j
jk
k
k
ttxVttxV
0)),(()),(( 1010
)1(
11
)0(
00
≤−+ ttxVttxV j
kj .
Отсюда, используя условие (5), получаем 1)),(( 1010
)1(
11 ≥ttxV , что противо-
речит условию (6). Следовательно, наше предположение неправильно. Теорема
1 доказана.
Теорема 2. Если для системы (1), (2) найдутся положительно определены
функции Ляпунова ),( )( txV j
jk , NjKk j ,1,,1 == , которые удовлетворяют усло-
виям (3)–(5), и
{ } { }1)),((:: 1010
)1(
11
)1(2)1()1()1( <⊂< ttxVxcBxxx T , (7)
то невозмущенное движение 0)()( =tx j , jkt τ∈ , NjKk j ,1,,1 == , системы (1),
(2) , ( )(11) (12)
0 1{ , ,Ф ,Ф ,...,Ф , , }NNK
t t tc B T T -устойчиво.
Доказательство теоремы 2 полностью аналогично доказательству теоремы 1.
Теорема 3. Пусть система (1), (2) ( )(11) (12)
0 1{ , , , ,..., , , }NNK
t t tc B Ф Ф Ф T T – устойчи-
ва, функции jjk
jjk Kktxg ,...,3,2)),(( 1
)()( =−− , )),(( 0
)1()1( −−
j
jj txg Nj ,...,2,1=
одинакового размера nn j = , существуют обратные функции ( ) ( ) 1( )jk jkg −ψ = ,
т. е.
0 0
( 1) ( ) ( ) ( 1)( ) ( ( ( )))j jk j j
j jx t g x t− −− = ψ − , Nj ,2= . Тогда найдутся функции
Ляпунова ),( )( txV j
jk , jkt ∈ τ , NjKk j ,1,,1 == , которые удовлетворяют усло-
виям теоремы 2.
Доказательство. Рассмотрим функции
),(),(
1
),( )()()()(
2
)( txBFtxF
c
txV jjkjTjkj
jk = , (8)
где
( ) ( ) (11) (11) (12) ( ) ( ) ( )
1 1 2 21 11 11 10( , ) ( ( ( ( ( ( , , ), , ) , , ), , ))),jk j jk jk j
jk jk jkF x t x t t t t t t t t− − −= ϕ ψ ϕ ψ ϕ… …
( ) ( ) ( )
1 1( ) ( , , )j jk j
jk jkx t x t t− −= ϕ , jkt ∈ τ , NjKk j ,1,,1 == .
Эти функции положительно определены, поскольку (0, ) 0jkV t = и
( )( , ) 0,j
jkV x t > если выполняется условие jk
j tx τ∈≠ ,0|||| )( (решение (1), (2) су-
ществует и единственное, в случае jkt ∈ τ ). Если мы рассмотрим произвольную
Т.Н. БОЙКО
Компьютерная математика. 2010, № 1 48
траекторию системы (1), (2), которая удовлетворяет начальному условию
)1(
00
)1( )( xtx = , и выберем произвольную точку ( ) ( ),j
jkx t t ∈ τ на этой траектории,
тогда
( ) ( ) (1) (1 ) (1) (1)
0 0 0( , ) , 2, ; 1, ( ( ), , ) .jk j k
jF x t x j N k K x t t t x= = = ϕ =
Учитывая это,
( )
(1),(2)
( , )
0,
j
jk
jk
dV x t
t
dt
= ∈ τ
, так как ),( )( txV j
jk принимает
постоянные значения на траекториях jk
j ttx τ∈),()( системы (1), (2): (1)
11( , )V x t =
(1) (1)
0 0 112
1
( ) ,Tx Bx t
c
= ∈ τ . Таким образом, построенные функции Ляпунова удовле-
творяют условию (4).
Для проверки выполнения условия (3) предположим, что система (1), (2)
−},,,...,,,,{ 10
)()12()11( TTФФФBc NNK
ttt устойчива, но существуют ,1 0 jKk ≤≤
Nj ≤≤ 01 и такое значение )()(
000 kj
t
j
x Φ∉ , для которого справедливо следую-
щее неравенство:
.1),(),(
1
),(
)()()()(
2
)( 0000000
00
<= txBFtxF
c
txV
jkjjTkjj
kj
Из последнего неравенства получаем, что для начальной точки
)1(
0
)()( ),(00 xtxF jkj = траектории, которая проходит через точку
)( 0jx , справедли-
во неравенство .1)(
1 )1(
0
)1(
02
<Bxx
c
T Отсюда следует, что (1)
0x ∈
(1) (1) (1) 2{ : },Tx x Bx c∈ < а поэтому с (11){ , , ,tc B Ф ( )(12)
0 1,..., , , }NNK
t tФ Ф T T − устой-
чивости системы (1), (2) следует, что )()(
000 kj
t
j
x Φ∈ и это приводит к проти-
воречию с предположением. Выполняются также условия (5), поскольку
=∈<=< },1),(:{}:{ )()(2)1()1()1(
jk
jjT ttxVxcBxxx τ ( ) ( )... { : ( , ) 1, }.N N
jNx V x t t= < ∈ τ
Условие (6) также выполнено.
Таким образом, теорема доказана.
Выводы. Получены необходимые и достаточные условия практической
устойчивости для развивающихся систем. Для наиболее распространенных в
приложениях множеств начальных данных построены функции Ляпунова, на
основании которых легко устанавливается практическая устойчивость систем.
ПРАКТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗВИВАЮЩИХСЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Компьютерная математика. 2010, № 1 49
Предложенные условия являются развитием известных работ [3, 4]. Благодаря
полученным результатам представляется возможным исследование практиче-
ской устойчивости экономических систем, которые описываются развивающи-
мися дифференциальными системами.
Т.М. Бойко
ПРАКТИЧНА СТІЙКІСТЬ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ, ЩО РОЗВИВАЮТЬСЯ
Для класу динамічних систем, що розвиваються, запропоновані означення практичної стій-
кості, які узагальнюють добре відомі. Знайдені необхідні й достатні умови практичної
стійкості за допомогою функцій Ляпунова.
T.M. Boyko
PRACTICAL STABILITY OF DEVELOPING DYNAMICAL SYSTEMS
The definitions of practical stability are proposed for the class of developing dynamical systems,
which generalize the well-known ones. The necessary and sufficient conditions for practical
stability using Lyapunov functions are found.
1. Гаращенко Ф.Г., Бойко Т.М. Математичні моделі зі зміною вимірності фазового простору
для опису діяльності фінансово-промислових структур // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. Фіз.-мат.
науки. – 2009. – Вип. 1. – С. 79–81.
2. Косачев Ю.В. Экономико-математические модели эффективности финансово-промыш-
ленных структур – М.: Логос, 2004. – 245 с.
3. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-параметрическая оптимизация
и устойчивость динамики пучков. – Киев: Наук. думка, 1985. – 304 с.
4. Башняков О.М., Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Практична стійкість та структурна оп-
тимізація динамічних систем. – К.: ВПЦ «Київський університет», 2000. – 197 с.
5. Гаращенко Ф.Г., Сопронюк Є.Ф. Теореми про практичну стійкість систем зі зміною
вимірності фазового простору // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. Фіз.-мат. науки. – 2003. – Вип. 4. –
С. 171 – 177.
Получено 25.11.2009
Îá àâòîðå:
Бойко Татьяна Николаевна,
аспирант кафедры моделирования сложных систем, факультета кибернетики
Киевского национального университета имени Тараса Шевченко.
E-mail: tbojko@gmail.com
|