О моделировании звуковых полей явным разностным методом
Предлагается подход к численному моделированию акустических полей в подводных неоднородных волноводах, использующий явные разностные схемы для решения волнового параболического уравнения типа Шредингера с граничным условием треьего рода. Такой подход позволяет учесть преимущества явных разностных сх...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Назва видання: | Компьютерная математика |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84602 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О моделировании звуковых полей явным разностным методом / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая, Я.В. Забабурина // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 20-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84602 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-846022015-07-12T03:01:52Z О моделировании звуковых полей явным разностным методом Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. Забабурина, Я.В. Математическое моделирование Предлагается подход к численному моделированию акустических полей в подводных неоднородных волноводах, использующий явные разностные схемы для решения волнового параболического уравнения типа Шредингера с граничным условием треьего рода. Такой подход позволяет учесть преимущества явных разностных схем и повысить эффективность вычислительных процессов, используя методику параллельных вычислений. Рассмотрены вопросы построения и исследования устойчивости явной трехслойной разностной схемы с комплекснозначными несамосопряженными операторами. Получено условие устойчивости по начальным данным. Розглянуто підхід до побудови та дослідження явної різницевої схеми для розв’язання хвильового параболічного рівняння типу Шредінгера з граничною умовою третього роду. Запропонована явна тришарова різницева схема з комплексними несамоспряженими операторами, досліджена її стійкість та отримана умова стійкості за початковими даними. An approach for construction and investigation of the explicit difference scheme for solving wave parabolic equation of Shroedinger type with third type boundary condition is considered. The explicit three-level difference scheme with complex non-self-conjugate operator is proposed. The stability of this scheme is investigated. The stability condition on initial data is obtained. 2011 Article О моделировании звуковых полей явным разностным методом / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая, Я.В. Забабурина // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 20-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. ХХХХ-0003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84602 517.9:519.6 ru Компьютерная математика Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математическое моделирование Математическое моделирование |
| spellingShingle |
Математическое моделирование Математическое моделирование Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. Забабурина, Я.В. О моделировании звуковых полей явным разностным методом Компьютерная математика |
| description |
Предлагается подход к численному моделированию акустических полей в подводных неоднородных волноводах, использующий явные разностные схемы для решения волнового параболического уравнения типа Шредингера с граничным условием треьего рода. Такой подход позволяет учесть преимущества явных разностных схем и повысить эффективность вычислительных процессов, используя методику параллельных вычислений. Рассмотрены вопросы построения и исследования устойчивости явной трехслойной разностной схемы с комплекснозначными несамосопряженными операторами. Получено условие устойчивости по начальным данным. |
| format |
Article |
| author |
Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. Забабурина, Я.В. |
| author_facet |
Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. Забабурина, Я.В. |
| author_sort |
Гладкий, А.В. |
| title |
О моделировании звуковых полей явным разностным методом |
| title_short |
О моделировании звуковых полей явным разностным методом |
| title_full |
О моделировании звуковых полей явным разностным методом |
| title_fullStr |
О моделировании звуковых полей явным разностным методом |
| title_full_unstemmed |
О моделировании звуковых полей явным разностным методом |
| title_sort |
о моделировании звуковых полей явным разностным методом |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Математическое моделирование |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84602 |
| citation_txt |
О моделировании звуковых полей явным разностным методом / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая, Я.В. Забабурина // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 20-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Компьютерная математика |
| work_keys_str_mv |
AT gladkijav omodelirovaniizvukovyhpolejâvnymraznostnymmetodom AT gladkaâûa omodelirovaniizvukovyhpolejâvnymraznostnymmetodom AT zababurinaâv omodelirovaniizvukovyhpolejâvnymraznostnymmetodom |
| first_indexed |
2025-07-06T11:40:15Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:40:15Z |
| _version_ |
1836897550847705088 |
| fulltext |
20 Компьютерная математика. 2011, № 1
Предлагается подход к численно-
му моделированию акустических
полей в подводных неоднородных
волноводах, использующий явные
разностные схемы для решения
волнового параболического урав-
нения типа Шредингера с гранич-
ным условием треьего рода. Такой
подход позволяет учесть преиму-
щества явных разностных схем и
повысить эффективность вычис-
лительных процессов, используя
методику параллельных вычисле-
ний. Рассмотрены вопросы пост-
роения и исследования устойчиво-
сти явной трехслойной разност-
ной схемы с комплекснозначными
несамосопряженными оператора-
ми. Получено условие устойчиво-
сти по начальным данным.
А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая,
Я.В. Забабурина, 2011
ÓÄÊ 517.9:519.6
À.Â. ÃËÀÄÊÈÉ, Þ.À. ÃËÀÄÊÀß, ß.Â. ÇÀÁÀÁÓÐÈÍÀ
Î ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÈ
ÇÂÓÊÎÂÛÕ ÏÎËÅÉ
ßÂÍÛÌ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÌ ÌÅÒÎÄÎÌ
Введение. Актуальность развития методов
математического моделирования процессов
распространения звуковых волн в неодно-
родных волноводах в значительной мере
обьясняется потребностями дистанционного
зондирования и акустического мониторинга
регионов Мирового океана [1–6].
С математической точки зрения расчет
звукового поля описывается краевыми зада-
чами для эллиптического волнового уравне-
ния Гельмгольца, численное решение кото-
рых в случае неограниченных неоднородных
областей связано с известными вычислите-
льными трудностями. Использование пара-
болических аппроксимаций оператора Гель-
мгольца позволяет свести решение краевых
задач к решению задачи Коши для уравнений
параболического типа с несамосопряженным
комплекснозначным оператором.
В данной работе для численного решения
волнового параболического уравнения типа
Шредингера в волноводах с граничными ус-
ловиями третьего рода предлагается подход к
построению и исследованию устойчивости
явной трехслойной разностной схемы с ком-
плекснозначными операторами.
Постановка задачи. Для описания аку-
стического поля в осесимметричном волно-
воде { }0,0, 00 ><<∞<<= rHzrrG , где
),( zr – цилиндрические кординаты и ось z
направлена вертикально вниз, рассмотрим
краевую задачу для волнового уравнения
типа Шредингера с комплексными коэффи-
циентами [2, 3]:
О МОДЕЛИРОВАНИИ ЗВУКОВЫХ ПОЛЕЙ ЯВНЫМ РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ
Компьютерная математика. 2011, № 1 21
2
2 2
0 02
2 ( ( , ) 1 ( , )) 0
p p
ik k n r z i r z p
r z
∂ ∂+ + − + υ =
∂ ∂
. (1)
Здесь ),( zrp – комплекснозначная функция; 1−=i – мнимая единица;
0 02 /k f c= π – волновое число; 0c – нормировочная скорость звука;
0( , ) / ( , ),n r z c c r z= 0),( ≥υ zr – непрерывные достаточно гладкие функции
(коэффициенты преломления и поглощения соответственно).
Дифференциальное уравнение (1) является базовым для определения даль-
него комплекснозначного акустического давления ),( zrP , создаваемого гармо-
ническим источником. Вне источника это давление удовлетворяет уравнению
Гельмгольца
2
2 2
02
1
( ( , ) ( , )) 0
u P P
r k n r z i r z P
r r r z
∂ ∂ ∂+ + + υ = ∂ ∂ ∂
и при 10 >>rk представляется в виде (1)
0 0( , ) ( ) ( , ),P r z H k r p r z= где )()1(
0 ⋅H –
функция Ханкеля первого рода нулевого порядка.
Рассмотрим краевую задачу для уравнения (1), ограничиваясь средой без
потерь и граничными условиями третьего рода на нижней границе волновода:
2
2 2
0 02
2 ( ( , ) 1) 0, ( , ) ,
p p
ik k n r z p r z G
r z
∂ ∂+ + − = ∈
∂ ∂
(2)
00
0, 0 , ,
z
z H
p
p p r r
z=
=
∂ = + σ = ≤ < ∞ ∂
(3)
0
( ),
r r
p u z
=
= (4)
где ( )u z − заданная функция, 0.σ >
Разностная схема. Для численного решения задачи (2)–(4) с комплексным
несамосопряженным оператором на сетке
{ }ω ω ω ( ) ω ω ,h τ h τ hr,z , r , zτ = × = ∈ ∈ ,h hτ τω = ω × ω
{ } { }{ , 0, , / } 0 ,h k hz z kh k N h H N Hω = = = = = = ω ∪ ∪
{ } { }0 0, 0, 1, 2,..., ,mr r r m m rτ τω = = = + τ = = ω ∪
{ }, 1, 1 ,h kz z kh k Nω = = = = − { }, 1, ,h kz z kh k N+ω = = = =
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ, Я.В. ЗАБАБУРИНА
22 Компьютерная математика. 2011, № 1
дифференциальному уравнению (2) поставим в соответствие разностное уравнение
02 ( , ) 0, ( , ) ,z z h
r
ik y y b z r y z r τ+ + = ∈ ω� (5)
где ( )2
0( , ) ( , ) 1b r z k n r z= − и приняты следующие обозначения теории разност-
ных схем [7]:
( , ),m m
k k m ky y y y y r z= = = = 1 1ˆ ˆ, , ( ) / ,m m
k k
r
y y y y y y y+ −= = = − τ�
⌣ ⌣
1 1( ) / , ( ) / ,z k k z k ky y y h y y y h+ −= − = −
( )12
1 1
( ) 2 .m m m
z z z z k k ky y y y y y
h h += − = − +
Граничное условие третьего рода (3) в узлах ( , ) ( , ),Nr z r z r τ= ∈ ω аппрок-
симируем уравнением
0
2 2
2 ( , ) 0, ( , ) ( , ), .z N
r
ik y y y b r z y r z r z r
h h τ
α− − + = = ∈ ω� (6)
Пользуясь разложением в ряд Тейлора, легко показать, что для погрешности
аппроксимации уравнений (5),(6) справедливо соотношение
2 2
0
2 2
0
2 ( , ) ( ), ( , ) ,
2 2 (2 ( , )) ( ), , .
z z h
r
z N
r
ik p p b z r p O h r z
ik hy y hb r z y O h z z r
τ
τ
+ + = τ + ∈ω × ω
Ψ =
− − σ − = + τ = ∈ω
�
�
Для исследования свойств разностной аппроксимации дифференциальной
задачи введем гильбертово пространство H комплекснозначных функций, за-
данных на сетке +ωh . Сеточная функция )(ryy = определена на +ωh со значе-
ниями в H : ( ) { ( , ), }, ( ).m
h my r y r z z y y r+= ∈ω = Скалярное произведение и
норму в H определим по формулам
( , ) ( , ) 0,5 ,
h N Ny v y v hy vω= + 1/ 2( , ) ,y y y=
( , ) ,
h
hz
y v hyvω
∈ω
= ∑
где черта означает комплексное сопряжение.
Тогда разностную схему, аппроксимирующую дифференциальную задачу
(2)–(4), можно записать в операторном виде
О МОДЕЛИРОВАНИИ ЗВУКОВЫХ ПОЛЕЙ ЯВНЫМ РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ
Компьютерная математика. 2011, № 1 23
τω∈=+− rAyyik
r
,02 0 � , (7)
где оператор A определяется выражениями
( )
2
1 1
( , ) , ,
( , ) , , 2, 1,
2
( , ) , .
z
z z k
z
y y b r z y z h
h h
Ay y b r z y z z k N
y y b r z y z H
h
− + − =
= − − = = −
+ σ − =
Таким образом, задача (7) является явной трехслойной разностной схемой.
Отметим, что при расчетах, кроме решения при 0,r необходимо иметь значение
решения ),(1 zyy τ= , которое можно получить каким-либо другим методом.
Пользуясь разностной формулой Грина для комплекснозначных функций [7]
( ,( ) ) (( ) , ) (( ) , ]
h hz z z z z zy av ay v a a y vω ω− = − − +
1 1 0[ ] [ ] ,z z N z zyav vay ya v va y+ − − − ( , ] ,
hz
y v hyv
+∈ω
= ∑
легко показать, что оператор A является самосопряженным в H.
Действительно, учитывая, что 0 00, 0,a a v y− = = = имеем
( ),
2
( , ) ( , ) ( , )
2h hz z z N N N N N
h
Ay w y w by w y y b y w
hω ω
= − − + + σ − =
( ),
2
( , ) ( , ) ( , )
2h hz z N z N N N N
h
y w y bw y w w b w y Aw
hω ω
= − − + + σ − =
.
Кроме того, применяя первую разностную формулу Грина получаем,
что
2
( , ) ( , ] ( , ) .z z NAy y y y by y y= − + σ
Перейдем к анализу устойчивости разностной схемы (7) по начальным дан-
ным. Введем гильбертово пространство H 2
= H⊕H как прямую сумму, т. е.
элементами пространства H 2 являются векторы вида 1{ , }m m
my y y += ,
1,m my y + ∈ H с покординатными операциями сложения и умножения. Устойчи-
вость трехслойной схемы (7) будем изучать в энергетическом пространстве H 2
D
с метрикой, порожденной некоторым (возможно зависящим от r) самосопря-
женным положительным оператором ( ),m mD D D r= = действующим в H 2 :
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ, Я.В. ЗАБАБУРИНА
24 Компьютерная математика. 2011, № 1
1/ 2( , ) ( , ), ( , ) , ,D DD
y v Dy v y y y y v= = ∈ H 2.
Следуя [7], под устойчивостью по начальным данным будем понимать выполне-
ние оценки
2
1 1 1( , ) ( , ), 0,1, 2, ...,m m m m m mD y y D y y m+ + + ≤ ρ =
где величина mρ равномерно ограничена константой, не зависящей от парамет-
ров сетки.
Обозначим 2
0 1 0 1 0 1( , ) ( , ) 1, ( , ) , 0, 0, 0.r z n r z r zε = − −ε ≤ ε ≤ ε ε ≥ ε ≥ ε + ε ≠
Имеет место
Теорема. Разностная схема (7) устойчива по начальным данным при выпол-
нении условия
2
0
2 2
0 0
2
.
4 2
k h
k h h
τ ≤
+ ε + σ
(8)
Для доказательства перепишем задачу (7) в операторной форме:
ˆ 0, ,ry y Ay rα + α + = ∈ω⌣
(9)
где 0 1,y y заданы, ( )m
my y r= ∈ H , а комплексный параметр 0 / .ikα = − τ
Запишем уравнение (9) в виде
1 1
ˆ
2 2
y Ay y Ayα + = −α −⌣
и возведем скалярно обе части равенства в квадрат. Тогда получим тождество
( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1
ˆ ˆRe , , , ,
2 2
y y Ay y y Ay Ay yα + α = α + α + α⌣ ⌣ ⌣
в правой части которого прибавим и вычтем величину
2 2
.yα Отсюда, учиты-
вая самосопряженность оператора ,A получаем соотношение
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
ˆ ˆRe , Re , ,y y Ay y y y Ay yα + α + α = α + α + α⌣ ⌣
которое можно переписать так:
2 2
2 22 21 1 1 1
ˆ , , .
2 4 2 4
y Ay E A y y y Ay E A y y
α + + α − = α + + α −
⌣ ⌣ ⌣
О МОДЕЛИРОВАНИИ ЗВУКОВЫХ ПОЛЕЙ ЯВНЫМ РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ
Компьютерная математика. 2011, № 1 25
Это означает, что квадратичная форма
2
2 21 1
ˆ ,
2 4m y Ay E A y y
Ξ = α + + α −
(10)
неотрицательна при выполнении неравенства
2 21
, 0,
4
E A y y y
α − ≥ ∈
H. (11)
В этом случае квадратичную форму (10) можно записать в виде скалярного
произведения ( ), ,m m m mD y yΞ = где 1{ , }m m
my y y += ∈H 2 , а самосопряженный
и неотрицательный оператор mD , действующий в пространстве H 2 , является
квадратной операторной матрицей второго порядка:
2
2
1
2 .
1
2
m
E A
D
A E
α α
=
α α
Тогда на каждом шаге выполняется энергетическое тождество
( ) ( )1 1, , ,m m m m m mD y y D y y− −= 1,m my y − ∈ H 2 ,
которое означает, что ошибка, допущенная на некотором шаге, не возрастает.
Если в (11) выполняется строгое неравенство, то выражение ( ),m m mD y y
определяет норму в пространстве H 2 , что обеспечивает устойчивость раз-
ностной схемы (7) в этой норме. Легко видеть, что условие неотрицательности
квадратичной формы (11) означает выполнение неравенства 2 .A ≤ α Учиты-
вая, что
2
4
( , ] ( , ),z zy y y y
h
≤
2 2
( , ),Ny y y
h
≤ 0 ,
kα =
τ
2
0 02
4 2
,A k
h h
σ≤ + ε +
приходим к условию устойчивости (8).
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ, Я.В. ЗАБАБУРИНА
26 Компьютерная математика. 2011, № 1
Заключение. В работе рассматривается подход к численному моделирова-
нию акустических полей, использующий явные разностные схемы для волново-
го уравнения типа Шредингера с граничным условием третьего рода. Исследо-
ваны вопросы построения и устойчивости трехслойных явных разностных схем
с комплекснозначными несамосопряженными операторами, получено условие
устойчивости по начальным данным. Предложенная методика легко обобщается
на случай разрывных коэффициентов преломления, других краевых условий и
позволяет повысить эффективность вычислительных процессов, используя ме-
тодику параллельных вычислений.
А.В. Гладкий, Ю.А. Гладка, Я.В. Забабуріна
ПРО МОДЕЛЮВАННЯ ЗВУКОВИХ ПОЛІВ ЯВНИМ РІЗНИЦЕВИМ МЕТОДОМ
Розглянуто підхід до побудови та дослідження явної різницевої схеми для розв’язання хви-
льового параболічного рівняння типу Шредінгера з граничною умовою третього роду. Запро-
понована явна тришарова різницева схема з комплексними несамоспряженими операторами,
досліджена її стійкість та отримана умова стійкості за початковими даними.
A.V. Gladky, Yu.A .Gladka, Ya.V. Zababurina
ON MODELLING SOUND FIELDS WITH THE USE OF THE EXPLICIT DIFFERENCE
METHOD
An approach for construction and investigation of the explicit difference scheme for solving wave
parabolic equation of Shroedinger type with third type boundary condition is considered. The ex-
plicit three-level difference scheme with complex non-self-conjugate operator is proposed. The sta-
bility of this scheme is investigated. The stability condition on initial data is obtained.
1. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. – Л.: Гидроме-
теоиздат, 1982. – 264 с.
2. Распространение волн и подводная акустика / Под ред. Дж. Б. Келлера и Дж. Пападакиса.
– М.: Мир, 1980. – 230 с.
3. Lee D., McDaniel S.T. Ocean acoustic propagation by finite difference method // Comput. Math.
Appl. – 1987. – 14. – P. 305–423.
4. Lee D., Pierse A.D., Shang E.C. Parabolic equation development in the twentieth century //
J. Comput. Acoust. – 2000. – 1, N 4. – P. 527–637.
5. Гладкий А.В., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Численно-аналитические методы исследова-
ния волновых процессов. – Киев: Наук. думка, 2001. – 452 с.
6. Завадский В.Ю. Моделирование волновых процессов. – М.: Наука, 1991. – 248 с.
7. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. – М.: Наука, 1973. – 416 с.
Получено 28.10.2010
Îá àâòîðàõ:
Гладкий Анатолий Васильевич,
доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Гладкая Юлия Анатольевна,
доцент Киевского национального торгово-экономического университета,
Забабурина Ярослава Викторовна,
студентка Национального технического университета Украины «КПИ».
|