Метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов
Представлен метод построения базиса смешанной краевой задачи на основе базиса кубического B-сплайна, обладающего высокой аппроксимационной способностью (такого же порядка, как и стандартный базис B-сплайна). Данный метод заключается в построении граничных элементов базиса, удовлетворяющих краевым ус...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Назва видання: | Компьютерная математика |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84614 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов / И.А. Баранов // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 122-129. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84614 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-846142015-07-12T03:01:59Z Метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов Баранов, И.А. Вычислительный эксперимент Представлен метод построения базиса смешанной краевой задачи на основе базиса кубического B-сплайна, обладающего высокой аппроксимационной способностью (такого же порядка, как и стандартный базис B-сплайна). Данный метод заключается в построении граничных элементов базиса, удовлетворяющих краевым условиям задачи и учитывающих стыковку со стандартным базисом внутри области. Представлений метод побудови базису змішаної крайової задачі на основі базису кубічного B-сплайну, що має високу апроксимаційну здатність (такого ж порядку, як і стандартний базис B-сплайну). Даний метод полягає у побудові граничних елементів базису, які задовольняють крайовим умовам задачі та враховують стикування зі стандартним базисом в середині області. A method of construction of basis for a mixed boundary-value problem based on the basis of cubic B-spline, which has high approximation characteristics (the same order as a standard B-spline basis) is presented in work. This method consists in construction of boundary elements of the basis which satisfy the boundary conditions of the problem and take into account the joint with a standard basis in a domain. 2011 Article Метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов / И.А. Баранов // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 122-129. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. ХХХХ-0003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84614 519.6 ru Компьютерная математика Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Вычислительный эксперимент Вычислительный эксперимент |
| spellingShingle |
Вычислительный эксперимент Вычислительный эксперимент Баранов, И.А. Метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов Компьютерная математика |
| description |
Представлен метод построения базиса смешанной краевой задачи на основе базиса кубического B-сплайна, обладающего высокой аппроксимационной способностью (такого же порядка, как и стандартный базис B-сплайна). Данный метод заключается в построении граничных элементов базиса, удовлетворяющих краевым условиям задачи и учитывающих стыковку со стандартным базисом внутри области. |
| format |
Article |
| author |
Баранов, И.А. |
| author_facet |
Баранов, И.А. |
| author_sort |
Баранов, И.А. |
| title |
Метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов |
| title_short |
Метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов |
| title_full |
Метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов |
| title_fullStr |
Метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов |
| title_full_unstemmed |
Метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов |
| title_sort |
метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Вычислительный эксперимент |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84614 |
| citation_txt |
Метод построения базиса краевых задач дифференциальных уравнений для применения вариационных методов / И.А. Баранов // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 122-129. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Компьютерная математика |
| work_keys_str_mv |
AT baranovia metodpostroeniâbazisakraevyhzadačdifferencialʹnyhuravnenijdlâprimeneniâvariacionnyhmetodov |
| first_indexed |
2025-07-06T11:40:58Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:40:58Z |
| _version_ |
1836897595949056000 |
| fulltext |
122 Компьютерная математика. 2011, № 1
Âû÷èñëèòåëüíûé
ýêñïåðèìåíò
Представлен метод построения
базиса смешанной краевой задачи
на основе базиса кубического
B-сплайна, обладающего высокой
аппроксимационной способностью
(такого же порядка, как и стан-
дартный базис B-сплайна). Дан-
ный метод заключается в по-
строении граничных элементов
базиса, удовлетворяющих крае-
вым условиям задачи и учиты-
вающих стыковку со стандарт-
ным базисом внутри области.
И.А. Баранов, 2011
ÓÄÊ 519.6
È.À. ÁÀÐÀÍÎÂ
ÌÅÒÎÄ ÏÎÑÒÐÎÅÍÈß
ÁÀÇÈÑÀ ÊÐÀÅÂÛÕ ÇÀÄÀ×
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
ÄËß ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß ÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÛÕ
ÌÅÒÎÄÎÂ
Введение. Вариационные методы математи-
ческой физики являются эффективным мате-
матическим аппаратом решения краевых за-
дач для дифференциальных уравнений. Од-
нако удовлетворение краевым условиям при
использовании вариационных методов соста-
вляет зачастую серьезную проблему. Струк-
турный метод R-функций [1] академика
В.Л. Рвачева позволил решить эту проблему.
Данный метод преобразует некоторый стан-
дартный базис в базис краевой задачи, что
позволяет точно учесть граничные условия в
разрешающем алгоритме. Структура реше-
ния краевой задачи построенная по методу
R-функций преобразует все элементы базиса
под действием некоторого оператора. Такое
преобразование требует больших затрат ма-
шинного времени кроме того, чем сложнее
область решения задачи, тем сложнее функ-
ции, входящие в оператор преобразования
базиса, что также увеличивает время счета.
Кроме того, аппроксимационные свойства
такого базиса существенно зависят от опера-
тора преобразования. Таким образом, акту-
альной задачей является построение эффек-
тивных базисов краевых задач для диффе-
ренциальных уравнений. С вычислительной
точки зрения, наиболее удобными являются
базисы, состоящие из финитных функций,
которые получаются переносом некоторого
элемента [1]. Сейчас широкое употребление
получили базисные сплайны [2], благодаря
их высоким аппроксимационным свойствам
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ БАЗИСА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ…
Компьютерная математика. 2011, № 1 123
и удобству применения. В данной работе предлагается метод построения базиса
краевой задачи на основе базиса B-сплайна.
Идея метода состоит в следующем: элементы базиса, носители которых це-
ликом лежат внутри области решения краевой задачи, остаются без изменения,
таким образом, обеспечивается аппроксимация в некоторой области, целиком
лежащей в области решения задачи, а элементы базиса, носители которых пере-
секают границу области решения задачи, заменяются на базисные элементы, по-
строенные специальным образом с учетом стыковки с базисом внутри области и
удовлетворяющие краевым условиям задачи. Благодаря такой схеме существен-
но увеличивается скорость решения краевых задач.
Рассмотрим одномерный случай.
1 1
0 1
2 2
0 1
( ) ( ), ( , ); (1)
( ) ( ) 0; (2)
( ) ( ) 0. (3)
x a
x b
Au x f x u a b
k u x k u x
k u x k u x
=
=
= ∈
′+ =
′+ =
Пусть для определенности решается задача на отрезке [ ]0,1 . И пусть рас-
сматривается задача построения базиса на основе базиса кубического B-сплайна
{ }iϕ с диаметром носителя h2 . Элементы, носители которых лежат внутри
области, остаются без изменения (рис. 1).
Рассмотрим метод построения граничных элементов базиса, удовлетворяю-
щих краевому условию в 0 (в 1 – аналогично).
Пусть некоторая функция ( )xω , такая что: (0) 0ω = , (0) 1.′ω =
РИС. 1. Элементы базиса, носители которых целиком лежат внутри области
И.А. БАРАНОВ
Компьютерная математика. 2011, № 1 124
Рассмотрим произвольную функцию )(xF (рис. 2) и некоторое приближение
этой функции в окрестности 0.
2( ) ( ) ( ) ( ) .F x f x a x b x c≈ + δ = ω + ω + + δ
Данную функцию необходимо разложить по новому базису, удовлетворяю-
щему краевым условиям.
РИС. 2. Функция )(xF
Разложим функцию )(xf по новому базису в некоторой окрестности 0.
Сначала построим разложение функции 2( ) ( ) ( )f x a x b x c= ω + ω + по стан-
дартному базису кубического B-сплайна:
2
0
( ) .
n
i i
i
f x c
=
≈ ϕ∑
Рассмотрим
2 2
2 1
0 3
( ) ( ) ( )
n
i i i i
i i
f x f x f x c c
= =
≈ + = ϕ + ϕ∑ ∑ (рис. 3).
РИС. 3. Функции )(1 xf и )(2 xf
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ БАЗИСА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ…
Компьютерная математика. 2011, № 1 125
Функция )(1 xf остается без изменения.
Рассмотрим следующие разложения:
5
0
3
1 i i
i
c
=
= ϕ∑ ,
5
1
3
( ) i i
i
x c
=
ω ≈ ϕ∑ ,
5
2 2
3
( ) i i
i
x c
=
ω ≈ ϕ∑ в точке
2
3h
.
Таким образом, чтобы ( ) ( )
5( )
3 332 2
( )
j ji i
kkh hk
x c
=
ω = ϕ∑ , i, j = 0, 1, 2.
Теперь рассмотрим функции:
5
3
3
( ) , 0,
2( ) , 0,1, 2
3
0,
2
i i
k k
k
i
h
x c x
g x i
h
x
=
ω − ϕ ∈ = =
>
∑
.
Функции ]1,0[)( 2Cxg i ∈ .
В качестве функции )(2 xf возьмем следующую:
2 2 1 0( ) ( ) ( ),f ag x bg x cg x= + +ɶ
2
2 1 2 1 0
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
i i
i
f x f x f x ag x bg x cg x c
=
≈ + = + + + ϕ∑ɶ .
Рассмотрим случай удовлетворения условию ( )0 0
1 2
0
( ) ( ) 0k F x k F x′− = .
Случай ( )1 1
1 2
1
( ) ( ) 0k F x k F x′+ = рассматривается аналогично.
Потребуем выполнения граничного условия от функции )(xf :
( ) ( ) ( )( )0 0 0 2 0
1 2 1 2
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )k f x k f x k a x b x c k a x x b x′ ′ ′− = ω + ω + − ω ω + ω =
0 0
1 2 0.k c k b= − =
Отсюда следует
0
02
10
1
0
1
, 0,
0, 0.
k
c b k
k
b k
= ≠
= =
Таким образом,
0 0
02 2
2 2 1 0 2 1 0 10 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0
k k
f x ag x bg x bg x ag x b g x g x k
k k
= + + = + + ≠
или
0
2 2 0 1( ) ( ) ( ), 0.f x ag x cg x k= + ≠
И.А. БАРАНОВ
Компьютерная математика. 2011, № 1 126
Таким образом, функции
{ }
=
≠
+
0,)(),(
0,)()(),(
0
112
0
100
1
0
2
12
kxgxg
kxg
k
k
xgxg
можно взять в качестве первых двух элементов базиса. Данные функции удовле-
творяют условию 0 0
1 2 0
( ) 0i ik k ′ϕ − ϕ =ɶ ɶ .
Теорема. Если в качестве функции ( )xω взять функцию ( )x xω = , то лю-
бую функцию из пространства сплайн-функций, удовлетворяющую граничным
условиям вида (2) можно точно разложить по построенному базису.
Доказательство.
Рассмотрим следующие разложения:
2
0
0
1
n
i i
i
c
=
= ϕ∑ ,
2
1
0
,
n
i i
i
x c
=
= ϕ∑
2
2 2
0
,
n
i i
i
x c
=
= ϕ∑
Тогда
2
0
( ) , 0,1, 2.i
i k k
k
g x c i
=
= ϕ =∑
Рассмотрим произвольную функцию вида
2
0
.
n
i i
i
c
=
ϕ∑
Предположим, что:
2 2 2 2 2
2 1 0
0 0 0 0 3
.
n n
i i i i i i i i i i
i i i i i
c a c b c c c c
= = = = =
ϕ = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Тогда
2 2 2 2
2 1 0
0 0 0 0
.i i i i i i i i
i i i i
c a c b c c c
= = = =
ϕ = ϕ + ϕ + ϕ∑ ∑ ∑ ∑
Получаем систему линейных алгебраических уравнений
2 1 0
0 0 0 0
2 1 0
1 1 1 1
2 1 0
2 2 2 2
.
с с с a c
с с с b c
с с с c c
=
Столбцы матрицы линейно независимые, так как функции { }21, ,x x линейно
независимые. Таким образом детерминант матрицы detС≠0. Следовательно
существует 1.C−
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ БАЗИСА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ…
Компьютерная математика. 2011, № 1 127
Тогда
0
1
1
2
.
a c
b С c
c c
−
=
Таким образом, всегда можно представить
2 2 2 2 2
2 1 0
0 0 0 0 3
.
n n
i i i i i i i i i i
i i i i i
c a c b c c c c
= = = = =
ϕ = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Теперь, если потребовать выполнения граничного условия вида (2) от произ-
вольной функции из пространства сплайн-функций
2 2
0 0
1 2
0 0
0
0
n n
i i i i
i i
k c k c
= =
′ ϕ − ϕ =
∑ ∑ , приходим к условиям
0
02
10
1
0
1
, 0,
0, 0.
k
c b k
k
b k
= ≠
= =
Теорема доказана.
Реализация предложенного метода
Рассмотрим следующую краевую задачу:
2
0
1
( ) sin( ), [0,1];
( ) ( ) 0;
( ) ( ) 0.
f x x x
f x f x
f x f x
′′ = −π π ∈
′ + =
′− + =
Аналитическим решением данной задачи будет функция sin( )xπ − π
(рис. 4).
РИС. 4. Функция sin( )xπ − π
И.А. БАРАНОВ
Компьютерная математика. 2011, № 1 128
Результаты вычислительных экспериментов приведены в табл. 1 и 2.
Для данной задачи применим метод наименьших квадратов [3].
ТАБЛИЦА 1. Результаты вычислительного эксперимента (количество сплайнов 21)
x solution sin(xπ)–π Abs(solution–
–(sin(xπ)–π))
0.00000000000 –3.14159006974 –3.14159265359 0.00000258385
0.10000000000 –2.83257333046 –2.83257565921 0.00000232876
0.20000000000 –2.55380530275 –2.55380740130 0.00000209854
0.30000000000 –2.33257374338 –2.33257565921 0.00000191584
0.40000000000 –2.19053433877 –2.19053613729 0.00000179853
0.50000000000 –2.14159089549 –2.14159265359 0.00000175810
0.60000000000 –2.19053433878 –2.19053613729 0.00000179852
0.70000000000 –2.33257374340 –2.33257565921 0.00000191582
0.80000000000 –2.55380530278 –2.55380740130 0.00000209851
0.90000000000 –2.83257333050 –2.83257565921 0.00000232872
1.00000000000 –3.14159006979 –3.14159265359 0.00000258380
Рассмотрим краевую задачу Дирихле
2
0
1
( ) sin( ), [0,1];
( ) ;
( ) .
f x x x
f x
f x
′′ = −π π ∈
= −π
= −π
Пусть 1( ) ( )f x f x= − π . Тогда данная задача сводится к следующей:
2
1
1 0
1 1
( ) sin( ), [0,1];
( ) 0;
( ) 0.
f x x x
f x
f x
′′ = −π π ∈
=
=
Аналитическим решением однородной задачи будет функция 1( )f x =
sin( )x= π , а неоднородной задачи – ( ) sin( )f x x= π − π .
ТАБЛИЦА 2. Результаты вычислительного эксперимента (количество сплайнов 21)
x solution sin(xπ)–π
Abs(solution–
–(sin(xπ)–π))
0.00000000000 –3.14159265359 –3.14159265359 0.00000000000
0.10000000000 –2.83257591430 –2.83257565921 0.00000025509
0.20000000000 –2.55380788660 –2.55380740130 0.00000048530
0.30000000000 –2.33257632722 –2.33257565921 0.00000066800
0.40000000000 –2.19053692260 –2.19053613729 0.00000078531
0.50000000000 –2.14159347932 –2.14159265359 0.00000082573
0.60000000000 –2.19053692260 –2.19053613729 0.00000078531
0.70000000000 –2.33257632722 –2.33257565921 0.00000066800
0.80000000000 –2.55380788660 –2.55380740130 0.00000048530
0.90000000000 –2.83257591430 –2.83257565921 0.00000025509
1.00000000000 –3.14159265359 –3.14159265359 0.00000000000
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ БАЗИСА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ…
Компьютерная математика. 2011, № 1 129
Выводы. В работе представлен метод построения базиса смешанной крае-
вой задачи на основе базиса B-сплайна, обладающий высокой аппроксимацион-
ной способностью (такого же порядка, как и стандартный базис).
Особенно эффективным данный подход будет для дифференциальных урав-
нений, оператор которых представляет линейную комбинацию самой функции
и ее различных производных. Тогда, например, для методов наименьших квадра-
тов, Ритца и др. [3] элементы матрицы системы линейных алгебраических уравне-
ний будут повторяться, и которые можно будет вычислить даже аналитически.
Данный метод можно применить и для других граничных условий. В даль-
нейшем данный метод будет распространен на двумерный случай.
І.А. Баранов
МЕТОД ПОБУДОВИ БАЗИСУ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ
ДЛЯ ВИКОРИСТАННЯ ВАРІАЦІЙНИХ МЕТОДІВ
Представлений метод побудови базису змішаної крайової задачі на основі базису кубічного
B-сплайну, що має високу апроксимаційну здатність (такого ж порядку, як і стандартний ба-
зис B-сплайну). Даний метод полягає у побудові граничних елементів базису, які задоволь-
няють крайовим умовам задачі та враховують стикування зі стандартним базисом в середині
області.
I.A. Baranov
A METHOD OF BASIS CONSTRUCTION FOR BOUNDARY-VALUE PROBLEMS
OF DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR VARIATIONAL METHODS USE
A method of construction of basis for a mixed boundary-value problem based on the basis of cubic
B-spline, which has high approximation characteristics (the same order as a standard
B-spline basis) is presented in work. This method consists in construction of boundary elements of
the basis which satisfy the boundary conditions of the problem and take into account the joint with a
standard basis in a domain.
1. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. – Киев: Наук. думка, 1982.
– 552 с.
2. Д. Роджерс, Дж. Адамс. Математические основы машинной графики.– М.: Мир, 2001. –
604 с.
3. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. – М.: Наука, 1970. – 512 с.
Получено 12.12.2010
Îá àâòîðå:
Баранов Игорь Андреевич,
ведущий инженер отдела нетрадиционных энерготехнологий
Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины.
e-mail bia.84@mail.ru
|