Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь

Встановлено умови iснування неперервних розв’язкiв одного класу нелiнiйних рiзницевих рiвнянь i розроблено метод їх побудови.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Акбергенов, А.А., Пелюх, Г.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84625
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь / А.А. Акбергенов, Г.П. Пелюх // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 7-12. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-84625
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-846252015-07-12T03:02:02Z Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь Акбергенов, А.А. Пелюх, Г.П. Математика Встановлено умови iснування неперервних розв’язкiв одного класу нелiнiйних рiзницевих рiвнянь i розроблено метод їх побудови. Установлены условия существования непрерывных решений одного класса нелинейных разностных уравнений и разработан метод их построения. We have obtained conditions for the existence of continuous solutions for one class of systems of nonlinear difference equations with continuous argument and developed a method of their construction. 2012 Article Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь / А.А. Акбергенов, Г.П. Пелюх // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 7-12. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84625 517.929 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Акбергенов, А.А. Пелюх, Г.П. Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь Доповіді НАН України
description	Встановлено умови iснування неперервних розв’язкiв одного класу нелiнiйних рiзницевих рiвнянь i розроблено метод їх побудови.
format	Article
author	Акбергенов, А.А. Пелюх, Г.П.
author_facet	Акбергенов, А.А. Пелюх, Г.П.
author_sort	Акбергенов, А.А.
title	Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь
title_short	Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь
title_full	Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь
title_fullStr	Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь
title_full_unstemmed	Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь
title_sort	побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84625
citation_txt	Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь / А.А. Акбергенов, Г.П. Пелюх // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 7-12. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT akbergenovaa pobudovaneperervnihrozvâzkívodnogoklasusistemnelíníjnihríznicevihrívnânʹ AT pelûhgp pobudovaneperervnihrozvâzkívodnogoklasusistemnelíníjnihríznicevihrívnânʹ
first_indexed	2025-07-06T11:41:39Z
last_indexed	2025-07-06T11:41:39Z
_version_	1836897638029459456
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 10 • 2012 МАТЕМАТИКА УДК 517.929 © 2012 А.А. Акбергенов, Г.П. Пелюх Побудова неперервних розв’язкiв одного класу систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь (Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком) Встановлено умови iснування неперервних розв’язкiв одного класу нелiнiйних рiзницевих рiвнянь i розроблено метод їх побудови. У роботi дослiджується структура множини неперервних розв’язкiв системи нелiнiйних рiзницевих рiвнянь вигляду x(t+ 1) = Λx(t) + f(t, x(t)), (1) де t ∈ R +, Λ — стала дiйсна (n×n)-матриця, f : R+×R n → R n, в околi тривiального розв’яз- ку x(t) = 0(f(t, 0) = 0). При рiзних припущеннях вiдносно матрицi Λ i вектор-функцiї f(t, x) це питання вивчалося багатьма математиками i зараз досить добре дослiдженe [1–7]. Незва- жаючи на це в рядi випадкiв вдається отримати новi результати, якi суттєво доповнюють i розвивають отриманi ранiше. Саме це є основною метою даної роботи, в якiй система рiвнянь (1) розглядається при таких припущеннях: 1) вектор-функцiя f(t, x) є неперервною в областi D : t ∈ R +, \|x\| = max 16j6n \|xj\| 6 b, f(t, 0) = = 0, i задовольняє спiввiдношення \|f(t, x′)− f(t, x′′)\| 6 L(\|x′\|+ \|x′′\|)α\|x′ − x′′\|, де \|f \| = max 16i6n \|fi\|, L, α = const > 0, (t, x′), (t, x′′) ∈ D; 2) Λ = diag(λ1, λ2, . . . , λn), 0 < \|λ1\| < \|λ2\| < . . . < \|λn\| < 1, \|λ1\| −1\|λn\| 1+α > 1. Внаслiдок умови 2 доведена в [7] теорема про лiнеаризацiю системи рiвнянь (1) не має мiсця i, отже, актуальною є задача про побудову неперервних розв’язкiв системи рiвнянь (1) i дослiдження їх властивостей. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 7 Має мiсце така теорема. Теорема 1. Нехай виконуються умови 1, 2. Тодi в деякiй областi D∗ ⊂ D iснує замiна змiнних xi(t) = x (1) i (t), xn(t) = x(1)n (t) + γ1 ( t, x (1) 1 (t), x (1) 2 (t), . . . , x (1) n−1(t) ) , i = 1, . . . , n− 1, (2) де функцiя γ1(t, x (1) 1 (t), x (1) 2 (t), . . . , x (1) n−1(t)) є неперервною при t ∈ R +, \|x (1) i \| 6 b∗ < b, i = 1, . . . , n − 1, γ1(t, 0, 0, . . . , 0) = 0, та такою, що для довiльних (t, x1, x2, . . . , xn−1), (t, x̃1, x̃2, . . . , x̃n−1) ∈ D∗ виконується спiввiдношення \|γ1(t, x1, . . . , xn−1)− γ1(t, x̃1, . . . , x̃n−1)\| 6 K ( n−1∑ s=1 \|xs\|+ n−1∑ s=1 \|x̃s\| )α(n−1∑ i=1 \|xi − x̃i\| ) , (3) де K = const > 0, яка приводить систему рiвнянь (1) до вигляду x (1) 1 (t+ 1) = λ1x (1) 1 (t) + f (1) 1 (t, x (1) 1 (t), x (1) 2 (t), . . . , x (1) n−1(t), x (1) n (t)), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x (1) n−1(t+ 1) = λn−1x (1) n−1(t) + f (1) n−1(t, x (1) 1 (t), x (1) 2 (t), . . . , x (1) n−1(t), x (1) n (t)), x(1)n (t+ 1) = λnx (1) n (t) + f (1) n (t, x (1) 1 (t), x (1) 2 (t), . . . , x (1) n−1(t), x (1) n (t)), (4) де функцiї f (1) i (t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x(1)n ), i = 1, 2, . . . , n, є неперервними в областi D∗, задоволь- няють умову 1 вiдносно x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x(1)n та виконується спiввiдношення f (1) n (t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . ., x (1) n−1, 0) ≡ 0. Доведення. Оскiльки система рiзницевих рiвнянь (1) має вигляд x1(t+ 1) = λ1x1(t) + f1(t, x1(t), x2(t), . . . , xn−1(t), xn(t)), x2(t+ 1) = λ2x2(t) + f2(t, x1(t), x2(t), . . . , xn−1(t), xn(t)), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn−1(t+ 1) = λ1xn−1(t) + fn−1(t, x1(t), x2(t), . . . , xn−1(t), xn(t)), xn(t+ 1) = λnxn(t) + fn(t, x1(t), x2(t), . . . , xn−1(t), xn(t)), (5) то, виконуючи в (5) замiну змiнних (2), отримуємо x (1) 1 (t+ 1) = λ1x (1) 1 (t) + f1(t, x (1) 1 (t), . . . , x (1) n−1(t), x (1) n (t) + γ1(t, x (1) 1 (t), . . . , x (1) n−1(t))), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x (1) n−1(t+ 1) = = λn−1x (1) n−1(t) + fn−1(t, x (1) 1 (t), . . . , x (1) n−1(t), x (1) n (t) + γ1(t, x (1) 1 (t), . . . , x (1) n−1(t))), x(1)n (t+ 1) = =λnx (1) n (t)+λnγ 1(t, x (1) 1 (t), . . . , x (1) n−1(t))−γ1(t+1, x (1) 1 (t+1), . . . , x (1) n−1(t+1))+ + fn(t, x (1) 1 (t), x (1) 2 (t), . . . , x (1) n−1(t), x (1) n (t) + γ1(t, x (1) 1 (t), x (1) 2 (t), . . . , x (1) n−1(t))). (6) 8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10 Система рiвнянь (6) матиме вигляд (4), якщо функцiї f (1) i (t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x(1)n ), i = 1, 2, . . . , n, визначити таким чином: f (1) i (t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x(1)n ) = fi(t, x (1) 1 , . . . , x (1) n−1, x (1) n + γ1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1)), i = 1, . . . , n − 1, f (1) n (t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x(1)n ) = λnγ 1(t, x (1) 1 , . . . , x (1) n−1)− − γ1(t+ 1, x (1) 1 (t+ 1), . . . , x (1) n−1(t+ 1)) + fn(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1, x (1) n + + γ1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1)). (7) Безпосередньо iз (7) випливає, що для доведення теореми достатньо довести iснування розв’язку γ1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1) функцiонального рiвняння γ1(t+ 1, λ1x (1) 1 + f1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1, γ 1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1)), . . . , λn−1x (1) n−1 + fn−1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1, γ 1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1)) = =λnγ 1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1)+fn(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1, γ 1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1)). (8) Розв’язок рiвняння (8) побудуємо за допомогою методу послiдовних наближень, якi ви- значимо таким чином: γ10(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1) = 0, γ1m(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1) = = λ−1 n γ1m−1(t+ 1, λ1x (1) 1 + f1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1, γ 1 m−1(t, x (1) 1 , . . . , x (1) n−1)), . . . , λn−1x (1) n−1 + fn−1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1, γ 1 m−1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1))− − λ−1 n · fn(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1, γ 1 m−1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1)), m > 1. (9) Використовуючи умови теореми та спiввiдношення (9), можна показати, що при дос- татньо малому b∗ функцiї γ1m(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1), m = 0, 1, . . ., є неперервними при t ∈ R +, \|x (1) i \| 6 b∗ < b, i = 1, . . . , n − 1, i задовольняють умови \|γ1m(t, x̂1, . . . , x̂n−1)− γ1m(t, x̃1, . . . , x̃n−1)\| 6 K ( n−1∑ s=1 \|x̂s\|+ n−1∑ s=1 \|x̃s\| )α(n−1∑ i=1 \|x̂i − x̃i\| ) , (10) \|γ1m(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1)− γ1m−1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1)\| 6 M ·∆m−1 ( n−1∑ k=1 \|x (1) k \| )1+α , (11) де (t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . x (1) n−1), (t, x̂1, x̂2, . . . x̂n−1), (t, x̃1, x̃2, . . . , x̃n−1) ∈ D∗, K, M — деякi додатнi сталi, 0 < ∆ < 1. Безпосередньо з (11) випливає, що при t > 0, \|x (1) i \| 6 b∗ послiдовнiсть неперервних функцiй γ1m(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1), m > 0, рiвномiрно збiгається до деякої неперервної функ- цiї γ1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1). Переходячи в (9), (10) до границi при m → ∞, легко показати, ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 9 що функцiя γ1(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1) = lim m→∞ γ1m(t, x (1) 1 , x (1) 2 , . . . , x (1) n−1), є розв’язком функцiо- нального рiвняння (8) i задовольняє умову (3). Теорема доведена. Отже, виконуючи перетворення (2), ми отримуємо систему рiвнянь (4), яка при x(1)n (t) = = 0 має вигляд x(1)(t+ 1) = Λn−1x (1)(t) + f (1)(t, x(1), 0), (12) де Λn−1 = diag(λ1, . . . , λn−1), x (1) = (x (1) 1 , . . . , x (1) n−1). Зауважимо, що якщо x (1) i (t), i = 1, . . . , n− 1, — деякий розв’язок системи (12), то вико- ристовуючи (2), розв’язок системи (1) можна подати таким чином: xi(t) = x (1) i (t), xn(t) = γ1(t, x (1) 1 (t), x (1) 2 (t), . . . , x (1) n−1(t)), i = 1, . . . , n− 1. (13) При подальшому дослiдженнi системи (12) може трапитись два випадки: коли вико- нується або не виконується умова \|λ1\| −1\|λn−1\| 1+α < 1. (14) Якщо ця умова не виконується, то до системи (12) можна знову застосувати теоре- му 1 i звести її дослiдження до дослiдження системи (n − 2)-го порядку. Продовжуючи цей процес, ми можемо побудувати послiдовнiсть многовидiв γj(t, x1, . . . , xn−j), j = 1, . . . , k, i вiдповiдну їм послiдовнiсть замiн змiнних x (1) i (t) = x (2) i (t), x (1) n−1(t) = x (2) n−1(t) + γ2(t, x (2) 1 (t), x (2) 2 (t), . . . , x (2) n−2(t)), i = 1, . . . , n− 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x (k−1) i (t) = x (k) i (t), x (k−1) n−k+1(t) = x (k) n−k+1(t) + γk(t, x (k) 1 (t), . . . , x (k) n−k(t)), i = 1, . . . , n− k, (15) таку, що, поклавши послiдовно x (l) i (t) = 0, i = n, . . . , n− k + 1, l = 1, . . . , k, (16) ми отримаємо систему (n − k)-го (k — деяке цiле число, k > 1) порядку x(k)(t+ 1) = Λn−kx (k)(t) + f (k)(t, x(k), 0, . . . , 0), (17) де x(k) = (x (k) 1 , . . . , x (k) n−k ), Λn−k = diag(λ1, . . . , λn−k), f (k) : R × R k → R k, для якої уже буде виконуватись умова \|λ1\| −1 · \|λn−k\| 1+α < 1. (18) Для системи рiвнянь (17) має мiсце така теорема. 10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10 Теорема 2. Нехай виконуються умови 1, 2 та (18). Тодi в деякiй областi D∗ ⊂ D iснує замiна змiнних x(k)(t) = k(t, y(t)) = y(t) + χ(t, y(t)), (19) де вектор-функцiя χ(t, y(t)) є неперервною при t ∈ R, \|y\| 6 b∗ < b, χ(t, 0) = 0, i такою, що для довiльних (t, y′) та (t, y′′) з областi D∗ виконується спiввiдношення \|χ(t, y′)− χ(t, y′′)\| 6 K(\|y′\|+ \|y′′\|)α\|y′ − y′′\|, (20) де K = const, яка приводить систему рiвнянь (17) до вигляду y(t+ 1) = Λky(t). (21) Доведення теореми аналогiчне доведенню теореми 1 iз [7]. Оскiльки загальний неперервний розв’язок системи рiвнянь (21) має вигляд yi(t) = \|λi\| tωi(t), i = 1, . . . , n− k, (22) де ωi(t), i = 1, . . . , n − k, — довiльнi функцiї, що задовольняють умови ωi(t+ 1) = ωi(t) sign λi, i = 1, . . . , n− k, (23) то з урахуванням (15), (16), (19) та (22) можна побудувати сiм’ю неперервних розв’язкiв системи (1), що залежить вiд n − k довiльних функцiй, якi задовольняють умови (23). Бiльше того, кожен розв’язок xi(t), i = 1, . . . , n, iз цiєї сiм’ї визначається формулами xi(t) = x (1) i (t), i = 1, . . . , n− 1, xn(t) = γ1(x (1) 1 (t), . . . , x (1) n−1(t)), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x (k−1) i (t) = x (k) i (t), i = 1, 2, . . . , n− k, x (k−1) n−k+1(t) = γk(x (k) 1 (t), . . . , x (k) n−k(t)), x(k)(t) = y(t) + χ(t, y(t)), де x(k)(t) = (x (k) 1 (t), . . . , x (k) n−k (t)), y(t) = (y1(t), . . . , yn−k(t)) i yi(t), i = 1 . . . , n − k, визна- чаються спiввiдношеннями (22). 1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – Моск- ва: Наука, 1978. – 304 с. 2. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. – Mосква; Ленинград: Гостехиздат, 1947. – 392 с. 3. Tokano B.K. Solutions containing arbitrary periodic functions of systems of nonlinear difference equa- tions // Funkc. ekvacioj. – 1973. – 16, No 2. – P. 137–164. 4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Москва: Мир, 1970. – 720 с. 5. Пелюх Г.П. Общее решение систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 7. – С. 936–953. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 11 6. Пелюх Г.П. О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестнос- ти положения равновесия // Доп. НАН України. – 2009. – № 9. – С. 36–41. 7. Пелюх Г.П. Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разност- ных уравнений с непрерывным аргументом // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 1. – С. 99–108. Надiйшло до редакцiї 23.05.2012Iнститут математики НАН України, Київ А.А. Акбергенов, Г. П. Пелюх Построение непрерывных решений одного класса систем нелинейных разностных уравнений Установлены условия существования непрерывных решений одного класса нелинейных раз- ностных уравнений и разработан метод их построения. А.А. Akbergenov, G.P. Pelyukh Constructing the continuous solutions for one class of systems of nonlinear difference equations We have obtained conditions for the existence of continuous solutions for one class of systems of nonlinear difference equations with continuous argument and developed a method of their construc- tion. 12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10

Побудова неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь

Репозитарії

Схожі ресурси