Про керованість крайовими умовами Діріхле для неоднорідної струни на півосі
Розглянуто рiвняння коливання неоднорiдної струни на пiвосi з потенцiалом, що не дорiвнює сталiй, та з керуванням класу L^∞ на лiвому кiнцi. Задачу керованостi розглянуто в просторах Соболєва. Одержано достатнi умови 0- та ε-керованостi за вiльний час T > 0. Керування знайдено в явному виглядi....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84631 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про керованість крайовими умовами Діріхле для неоднорідної струни на півосі / К.С. Халiна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 24-29. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84631 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-846312015-07-12T03:02:14Z Про керованість крайовими умовами Діріхле для неоднорідної струни на півосі Халіна, К.С. Математика Розглянуто рiвняння коливання неоднорiдної струни на пiвосi з потенцiалом, що не дорiвнює сталiй, та з керуванням класу L^∞ на лiвому кiнцi. Задачу керованостi розглянуто в просторах Соболєва. Одержано достатнi умови 0- та ε-керованостi за вiльний час T > 0. Керування знайдено в явному виглядi. Рассмотрено уравнение колебания неоднородной струны на полуоси с потенциалом, который не равняется постоянной, и с управлением класса L^∞ на левом конце. Задача управляемости рассмотрена в пространствах Соболева. Получены необходимые и достаточные условия 0- и ε-управляемости за свободное время T > 0. Управление найдено в явном виде. The wave equation for an inhomogeneous string is considered on the half-axis. The potential of the string is not equal to a constant. At the left end point, we consider a control of the class L^∞. The control problem is considered in the Sobolev spaces. Sufficient conditions for the 0- and ε-controllabilities for a free time T > 0 are obtained. The control is found explicitly. 2012 Article Про керованість крайовими умовами Діріхле для неоднорідної струни на півосі / К.С. Халiна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 24-29. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84631 517.9 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Халіна, К.С. Про керованість крайовими умовами Діріхле для неоднорідної струни на півосі Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто рiвняння коливання неоднорiдної струни на пiвосi з потенцiалом, що не
дорiвнює сталiй, та з керуванням класу L^∞ на лiвому кiнцi. Задачу керованостi розглянуто в просторах Соболєва. Одержано достатнi умови 0- та ε-керованостi за вiльний час T > 0. Керування знайдено в явному виглядi. |
| format |
Article |
| author |
Халіна, К.С. |
| author_facet |
Халіна, К.С. |
| author_sort |
Халіна, К.С. |
| title |
Про керованість крайовими умовами Діріхле для неоднорідної струни на півосі |
| title_short |
Про керованість крайовими умовами Діріхле для неоднорідної струни на півосі |
| title_full |
Про керованість крайовими умовами Діріхле для неоднорідної струни на півосі |
| title_fullStr |
Про керованість крайовими умовами Діріхле для неоднорідної струни на півосі |
| title_full_unstemmed |
Про керованість крайовими умовами Діріхле для неоднорідної струни на півосі |
| title_sort |
про керованість крайовими умовами діріхле для неоднорідної струни на півосі |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84631 |
| citation_txt |
Про керованість крайовими умовами Діріхле для неоднорідної струни на півосі / К.С. Халiна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 24-29. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT halínaks prokerovanístʹkrajovimiumovamidíríhledlâneodnorídnoístruninapívosí |
| first_indexed |
2025-07-06T11:42:00Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:42:00Z |
| _version_ |
1836897660429139968 |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2012
К.С. Халiна
Про керованiсть крайовими умовами Дiрiхле
для неоднорiдної струни на пiвосi
(Представлено академiком НАН України Є.Я. Хрусловим)
Розглянуто рiвняння коливання неоднорiдної струни на пiвосi з потенцiалом, що не
дорiвнює сталiй, та з керуванням класу L∞ на лiвому кiнцi. Задачу керованостi розгля-
нуто в просторах Соболєва. Одержано достатнi умови 0- та ε-керованостi за вiльний
час T > 0. Керування знайдено в явному виглядi.
Розглянемо керовану систему на пiвосi з початковими умовами
wtt(x, t) = wxx(x, t)− q(x)w(x, t), x ∈ (0,+∞), t ∈ (0, T ), (1)
w(0, t) = u(t), t ∈ (0, T ), (2)
w(x, 0) =W 0
0 (x), wt(x, 0) =W 0
1 (x), x ∈ (0,+∞), (3)
де T > 0, u — керування таке, що u ∈ L∞(0, T ), а потенцiал q задовольняє умови
q ∈ C[0,∞)
⋂
L∞[0,∞),
∞∫
0
x|q(x)| dx <∞. (4)
У роботi вивчаються питання 0- та ε-керованостi для системи (1)–(3) за вiльний час T .
Крайову керованiсть у скiнченних областях для випадку q 6= 0, взагалi кажучи, добре
вивчено в [1–6]. На пiвосi одержано результати для випадку q = 0 за вiльний час [7, 8] та для
випадку q = const > 0 за фiксований та вiльний час [9, 10]. Зауважимо, що випадок q 6= const
потребує iнших методiв дослiдження, нiж у [7–10]. Одержанi результати сформульованi
у теоремах 5 та 6.
У роботi будемо розглядати такi простори [11; 12, гл. 1]:
S = {ϕ ∈ C∞(R) : ∀m, l ∈ N
⋃
{0} ∃Cml > 0: ∀x ∈ R | ϕ(m)(x)(1 + |x|2)l| 6 Cml},
S
′ — простiр узагальнених функцiй над S,
Hs
l = {f ∈ S
′ : (1 + x2)l/2(1 + |D|2)s/2f ∈ L2(R)}, D = −
id
dx
, s, l ∈ R,
Hs
l,o = {f ∈ Hs
l : f — непарна}, H
s
l,o = Hs
l,o ×Hs−1
l,o ,
‖f‖sl =
( +∞∫
−∞
|(1 + x2)l/2(1 + |D|2)s/2f(x)|2dx
)1/2
.
1. Постановка задачi. Нехай W 0 =
(
W 0
0
W 0
1
)
∈ H
0
0,o. Розв’язки системи (1)–(3) розгляда-
ються в просторi H0
0 . Позначимо Q — парне продовження q, а W (·, t) — непарне продовжен-
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
ня w(·, t), t ∈ (0, T ). Очевидно, що W (·, t) ∈ H0
0,o, (t ∈ (0, T )). Легко побачити, що непарне
продовження розв’язку системи (1)–(3) буде розв’язком системи
Wtt(x, t) =Wxx(x, t)−Q(x)W (x, t)− 2u(t)δ′(x), x ∈ R, t ∈ (0, T ), (5)
W (x, 0) =W 0
0 (x), Wt(x, 0) =W 0
1 (x), x ∈ R, (6)
де δ — дельта-функцiя Дiрака, δ = H ′, H — функцiя Хевiсайда.
Для заданих T > 0 та W 0 ∈ H
0
0,o через RT (W
0) позначимо множину h ∈ H
0
0,o таких, що
iснує u ∈ L∞(0, T ) таке, що розв’язок системи (5), (6) задовольняє умову
(
W (·, T )
Wt(·, T )
)
= h.
Означення 1. Стан W 0 ∈ H
0
0,o називається 0-керованим вiдносно системи (5), (6), якщо
0 належить
⋃
T>0
RT (W
0), та ε-керованим вiдносно системи (5), (6), якщо 0 належить зами-
канню
⋃
T>0
RT (W
0) у H
0
0,o.
Для подальшого дослiдження використовуються оператори перетворення, якi зберiга-
ють на нескiнченностi асимптотику розв’язку рiвняння Штурма–Лiувiлля [13, гл. 3]. У на-
ступному пунктi розглядається їх продовження у простори Hs
0,o, s = 0,−1,−2.
2. Оператори перетворення. Визначимо оператори M, M−1 : H0
0,o → H0
0,o, D(M) =
= D(M−1) = H0
0,o, за формулами
Mf(x) = f(x) + signx
∞∫
|x|
M(|x|, t)f(t) dt,
M
−1g(x) = g(x) + sign x
∞∫
|x|
N(|x|, t)g(t) dt,
(7)
де f , g ∈ H0
0,o, M(ξ, η) та N(ξ, η) — ядра операторiв, (ξ, η) ∈ [0,∞)× [0,∞), такi, що M(ξ, η) =
= N(ξ, η) = 0, коли η < ξ, i задовольняють системи [13, гл. 3]
Mxx(x, t)− Mtt(x, t) = q(x)M(x, t), Nxx(x, t)− Ntt(x, t) = −q(t)N(x, t), 0 < x < t, (8)
M(x, x) =
1
2
∞∫
x
q(ξ) dξ, N(x, x) = −
1
2
∞∫
x
q(ξ) dξ, x > 0, (9)
lim
x+t→∞
Mx(x, t) = lim
x+t→∞
Mt(x, t) = 0, lim
x+t→∞
Nx(x, t) = lim
x+t→∞
Nt(x, t) = 0. (10)
Позначимо σ(x) =
∞∫
x
|q(ξ)|dξ, σ1(x) =
∞∫
x
σ(ξ) dξ, x ∈ [0,∞). Завдяки умовам (4) можна
довести, що σ 6 σ(0) < ∞, σ1 6 σ1(0) < ∞ на [0,∞), та такi оцiнки:
|M(x, t)| 6
1
2
σ
(
x+ t
2
)
e2σ1(0), |N(x, t)| 6
1
2
σ
(
x+ t
2
)
e2σ1(0), 0 < x < t,
|M′z(x, t)| 6
1
4
∣∣∣∣q
(
x+ t
2
)∣∣∣∣+
1
2
σ(x)σ
(
x+ t
2
)
e2σ1(0), 0 < x < t, z = x, t,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 25
|N′z(x, t)| 6
1
4
∣∣∣∣q
(
x+ t
2
)∣∣∣∣+
1
2
σ(x)σ
(
x+ t
2
)
e2σ1(0), 0 < x < t, z = x, t.
Користуючись цими оцiнками, можна довести неперервнiсть M i M−1 у H0
0,o. Нехай ϕ, ψ ∈
∈ H0
0,o. Спряженi оператори M
∗ та (M−1)∗, D(M∗) = D((M−1)∗) = H0
0,o дiють за формулами
M
∗ψ(t) = ψ(t) + sign t
|t|∫
0
M(x, |t|)ψ(x) dx, (M−1)∗ϕ(t) = ϕ(t) + sign t
|t|∫
0
N(x, |t|)ϕ(x) dx
i неперервнi вH0
0,o. Завдяки оцiнкам для ядер операторiв можна довести, що звуження спря-
жених операторiв на H1
0,o i H2
0,o будуть неперервними на цих просторах. Отже, продовженi
на H−1
0,o та H−2
0,o за правилом нижче оператори M та M
−1 будуть там неперервними:
(Mf, ψ) = (f,M∗ψ), (M−1g, ϕ) = (g, (M−1)∗ϕ),
де f, g ∈ Hs
0,o, ϕ, ψ ∈ H−s
0,o , s = −1,−2.
Тут областi визначення M та M
−1 охоплюють весь простiр Hs
0,o, s = −1, −2.
Користуючись (8), (9), неважко довести таку лему:
Лема 1. Нехай f , g ∈ H0
0,o. Тодi M(f ′′) = (Mf)′′ −QMf − 2δ′
∞∫
0
M(0, ξ)f(ξ) dξ,
M
−1(g′′) = (M−1g)′′ + M
−1(Qg) − 2δ′
∞∫
0
N(0, ξ)g(ξ) dξ.
На пiдставi оцiнок для ядер операторiв вiрною є така лема.
Лема 2. Нехай f ∈ H0
0,o така, що f ∈ L∞(R). Тодi Mf , M−1f ∈ L∞(R).
3. Умови керованостi. Розглянемо допомiжну керовану систему
Vtt(x, t) = Vxx(x, t)− 2p(t)δ′(x), x ∈ R, t ∈ (0, T ), (11)
V (x, 0) = V 0
0 (x), Vt(x, 0) = V 0
1 (x), x ∈ R, (12)
де V (·, t) ∈ H0
0,o, V
0 =
(
V 0
0
V 0
1
)
∈ H
0
0,o, p — керування таке, що p ∈ L∞(0, T ).
Для заданих T > 0 та V 0 ∈ H
0
0,o через YT (V
0) позначимо множину g ∈ H
0
0,o таких, що
iснує p ∈ L∞(0, T ) таке, що розв’язок системи (11), (12) задовольняє умову
(
V (·, T )
Vt(·, T )
)
= g.
Означення 2. Стан V 0 ∈ H
0
0,o називається 0-керованим вiдносно системи (11), (12),
якщо 0 належить
⋃
T>0
YT (V
0), та ε-керованим вiдносно системи (11), (12), якщо 0 належить
замиканню
⋃
T>0
YT (V
0) у H
0
0,o.
Питання керованостi для системи (11), (12) досить детально вивчено в [7]. Сформульо-
ванi нижче двi теореми є окремими випадками результатiв, одержаних у [7]:
Теорема 1. Стан V 0 ∈ H
0
0,o є ε-керованим вiдносно системи (11), (12) тодi i лише
тодi, коли виконано умови: (i) V 0
0 ∈ L∞(R), (ii) V 0
1 = (sign xV 0
0 )
′.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
Якщо, крiм цього,
∞∫
T
|V 0
0 (x)|
2 dx < ε2 для деяких T > 0 та ε > 0, то керування p =
= V 0
0 м. с. на (0, T ) є розв’язком задачi ε-керованостi.
Теорема 2. Стан V 0 ∈ H
0
0,o є 0-керованим вiдносно системи (11), (12) тодi i лише тодi,
коли умови (i), (ii) теореми 1 виконано та iснує таке T > 0, що suppV 0
0 ⊂ [−T, T ]. За цих
умов керування, що розв’язує задачу 0-керованостi, має вигляд p = V 0
0 м. с. на (0, T ).
Далi будемо використовувати поняття значення узагальненої функцiї в точцi [14, гл. 1
§3]. Авторами доведено таку лему, пiсля чого дається означення:
Лема 3 [14]. Якщо iснує границя g(x) = lim
α→0
f(αx+ x0), то g(x) є сталою функцiєю.
Означення 3 [14]. Значення узагальненої функцiї f у точцi x0 визначається за форму-
лою f(x0) = lim
α→0
f(αx + x0).
Зауваження 1. У [14 гл. 1, §3] показано, що якщо узагальнена функцiя локально iнте-
гровна, то її значення iснують майже скрiзь. При цьому значення f(x0) в узагальненому
сенсi та у звичайному сенсi майже скрiзь збiгаються. Отже, для функцiй f ∈ L2(R) пiд
значенням lim
x→+0
f(x) розумiємо lim
x→+0
f(x) = lim
x→0
f(|x|).
Лема 4. Нехай V (x, t) — розв’язок системи (11), (12). Тодi V (+0, t) = p(t), t ∈ (0, T ).
Доведення. З [7, (18)] одержуємо
V (x, t) =
1
2
[V 0
0 (x+ t)V 0
0 (x− t)+ Ṽ 0
1 (x+ t)− Ṽ 0
1 (x− t)]− P t(x+ t)P t(−x+ t), (13)
де Ṽ 0
1 ∈ H0
0 — парна функцiя така, що (Ṽ 0
1 )
′ = V 0
1 , P t(x) = p(x)[H(x) − H(x − t)], x ∈ R,
t ∈ (0, T ).
Користуючись зауваженням 1 та враховуючи носiї функцiй P t(x + t) i P t(−x + t), не-
парнiсть V 0
0 та парнiсть Ṽ 0
1 , з (13) одержуємо твердження леми. Лему доведено.
Теорема 3. Нехай V (·, t) = M
−1W (·, t), t ∈ (0, T ), V 0
j = M
−1W 0
j , j = 0, 1. Нехай також
u(t) = p(t) +
∞∫
0
M(0, ξ)V (ξ, t) dξ, t ∈ (0, T ), (14)
де V (ξ, t) визначається за формулою (13). Тодi:
(i) W (x, t) є розв’язком системи (5), (6) у тому i лише тому випадку, коли V (x, t)
є розв’язком системи (11), (12);
(ii) Для розв’язку W (x, t) системи (5), (6) вiрне таке: W (+0, t) = u(t), t ∈ (0, T ).
Твердження (i) доводиться шляхом застосування M до системи (11), (12), леми 1 i (14)
в один бiк, та M
−1 до системи (5), (6), леми 1, (14) i (7) в iнший бiк. Твердження (ii)
доводиться шляхом застосування M
−1 до рiвняння (5), леми 1, твердження (i) цiєї теореми
та леми 4.
Лема 5. Нехай для керування u системи (5), (6) виконано (14), де p ∈ L∞(0, T ) —
керування, що розв’язує задачу ε-керованостi для системи (11), (12). Тодi u ∈ L∞(0, T ).
Ця лема доводиться за допомогою (14), (13) та теореми 1.
Зауваження 2. Завдяки теоремi 3 легко побачити, що звуження на [0,∞) розв’язку
системи (5), (6) буде розв’язком системи (1)–(3).
Зауваження 3. З теореми 3 зрозумiло, що
(
W (·, T )
Wt(·, T )
)
∈ RT (W
0) тодi, коли
(
V (·, T )
Vt(·, T )
)
∈
∈ YT (V
0) за умови, що вiдповiднi керування зв’язанi спiввiдношенням (14).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 27
Користуючись неперервнiстю операторiв перетворення, зауваженням 3 та лемою 5, одер-
жуємо таку теорему.
Теорема 4. Нехай стан V 0 є ε-керованим вiдносно системи (11), (12) за час T > 0.
Тодi стан W 0 є ε-керованим вiдносно системи (5), (6) за час T > 0.
З теорем 3 i 4 та леми 2 випливають достатнi умови керованостi для системи (5), (6),
а отже, i для системи (1)–(3).
Теорема 5. Стан W 0 ∈ H
0
0,o є ε-керованим вiдносно системи (5), (6), якщо виконано
умови:
(i) W 0
0 ∈ L∞(R);
(ii) W 0
1 = M(sign xM−1W 0
0 )
′.
Якщо, крiм цього,
∞∫
T
|(M−1W 0
0 )(x)|
2dx < ε2 для деяких T > 0 та ε > 0, то керування
u = p+
∞∫
0
M(0, ξ)V (ξ, ·) dξ = M
−1W 0
0 +
∞∫
0
M(0, ξ)V (ξ, ·) dξ, м. с. на (0, T ), (15)
де V (ξ, t) визначається за (13), є розв’язком задачi ε-керованостi.
Теорема 6. Стан W 0 ∈ H
0
0,o є 0–керованим вiдносно системи (5), (6), якщо умови (i),
(ii) теореми 5 виконано та iснує таке T > 0, що suppM−1W 0
0 ⊂ [−T, T ]. За цих умов
керування, що розв’язує задачу 0-керованостi, має вигляд (15) м. с. на (0, T ).
1. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями // Сиб. мат. журн. –
2000. – 41, № 4. – С. 944–959.
2. Russell D. L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent prog-
ress and open questions // SIAM Rev. – 1978. – 20, No 4. – P. 639–739.
3. Vancostenoble J., Zuazua E. Hardy inequalities, observability, and control for the wave and Schrödinger
equations with singular potentials // SIAM J. Math. Anal. – 2009. – 41, No 4. – P. 1508–
1532.
4. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым теле-
графным уравнением // Докл. АН. – 2002. – 387, № 5. – С. 600–603.
5. Khalina K. S. Controllability problems for the non-homogeneous string that is fixed at the right end point
and has the Dirichlet boundary control at the left end point // J. Math. Phys. Anal. Geom. – 2011. – 7,
No 1. – P. 34–58.
6. Khalina K. S. On the Neumann boundary controllability for the non-homogeneous string on a segment //
J. Math. Phys. Anal. Geom. – 2011. – 7, No 4. – P. 333–351.
7. Sklyar G.M., Fardigola L. V. The Markov power moment problem in problems of controllability and
frequency extinguishing for the wave equation on a half-axis // J. Math. Anal. Appl. – 2002. – 276,
No 1. – P. 109–134.
8. Фардигола Л.В. Проблема керованостi крайовими умовами Неймана для рiвняння струни на пiвосi //
Доп. НАН України. – 2009. – № 10. – С. 36–41.
9. Fardigola L. V. Controllability problems for the string equation on a half-axis with a boundary
control bounded by a hard constant // SIAM J. Control Optim. – 2008. – 47. – P. 2179–
2199.
10. Fardigola L. V. Controllability problems for the 1 − D wave equation on a half-axis with the Dirichlet
boundary control // ESAIM: Control Optim. Calc. Var. – doi:10.1051/cocv/2011169.
11. Schwartz L. Théorie des distributions. I, II. – Paris: Hermann, 1950–1951.
12. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Обобщенные функции и уравнения в свертках. – Москва: Физматлит,
1994. – 336 с.
13. Марченко В.А. Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1977. –
331 с.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
14. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. –
Москва: Мир, 1976. – 311 с.
Надiйшло до редакцiї 20.03.2012Фiзико-технiчний iнститут низьких температур
iм. Б. I. Вєркiна НАН України, Харкiв
Е.С. Халина
Об управляемости краевыми условиями Дирихле для неоднородной
струны на полуоси
Рассмотрено уравнение колебания неоднородной струны на полуоси с потенциалом, который
не равняется постоянной, и с управлением класса L∞ на левом конце. Задача управляемости
рассмотрена в пространствах Соболева. Получены необходимые и достаточные условия 0-
и ε-управляемости за свободное время T > 0. Управление найдено в явном виде.
K. S. Khalina
On the controllability over Dirichlet boundary conditions for an
inhomogeneous string on the half-axis
The wave equation for an inhomogeneous string is considered on the half-axis. The potential of the
string is not equal to a constant. At the left end point, we consider a control of the class L∞. The
control problem is considered in the Sobolev spaces. Sufficient conditions for the 0- and ε-controllabi-
lities for a free time T > 0 are obtained. The control is found explicitly.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 29
|