Декомпозиция для решения двухуровневой задачи
Предложены методы декомпозиции для решения двухуровневых задач принципал-агент с лотерейными контрактами. Рассмотрены варианты декомпозиции Данцига – Вулфа на примерах....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Компьютерная математика |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84668 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Декомпозиция для решения двухуровневой задачи / В.М. Горбачук, И.А. Русанов // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 124-132. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84668 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-846682015-07-12T03:02:19Z Декомпозиция для решения двухуровневой задачи Горбачук, В.М. Русанов, И.А. Теория и методы оптимизации Предложены методы декомпозиции для решения двухуровневых задач принципал-агент с лотерейными контрактами. Рассмотрены варианты декомпозиции Данцига – Вулфа на примерах. Запропоновані методи декомпозиції для розв’язання дворівневих задач принципал-агент з лотерейними контрактами. Розглянуті варіанти декомпозиції Данцига – Вулфа на прикладах. Decomposition methods for solving bilevel principal-agent problems with lottery contracts are suggested. The variants of Dantzig – Wolfe decomposition have been analyzed with examples. 2011 Article Декомпозиция для решения двухуровневой задачи / В.М. Горбачук, И.А. Русанов // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 124-132. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. ХХХХ-0003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84668 519.8 ru Компьютерная математика Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Теория и методы оптимизации Теория и методы оптимизации |
| spellingShingle |
Теория и методы оптимизации Теория и методы оптимизации Горбачук, В.М. Русанов, И.А. Декомпозиция для решения двухуровневой задачи Компьютерная математика |
| description |
Предложены методы декомпозиции для решения двухуровневых задач принципал-агент с лотерейными контрактами. Рассмотрены варианты декомпозиции Данцига – Вулфа на примерах. |
| format |
Article |
| author |
Горбачук, В.М. Русанов, И.А. |
| author_facet |
Горбачук, В.М. Русанов, И.А. |
| author_sort |
Горбачук, В.М. |
| title |
Декомпозиция для решения двухуровневой задачи |
| title_short |
Декомпозиция для решения двухуровневой задачи |
| title_full |
Декомпозиция для решения двухуровневой задачи |
| title_fullStr |
Декомпозиция для решения двухуровневой задачи |
| title_full_unstemmed |
Декомпозиция для решения двухуровневой задачи |
| title_sort |
декомпозиция для решения двухуровневой задачи |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Теория и методы оптимизации |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84668 |
| citation_txt |
Декомпозиция для решения двухуровневой задачи / В.М. Горбачук, И.А. Русанов // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 124-132. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Компьютерная математика |
| work_keys_str_mv |
AT gorbačukvm dekompoziciâdlârešeniâdvuhurovnevojzadači AT rusanovia dekompoziciâdlârešeniâdvuhurovnevojzadači |
| first_indexed |
2025-07-06T11:44:08Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:44:08Z |
| _version_ |
1836897796556324864 |
| fulltext |
124 Компьютерная математика. 2011, № 2
Теория и методы
оптимизации
Предложены методы декомпози-
ции для решения двухуровневых
задач принципал-агент с лоте-
рейными контрактами. Рассмот-
рены варианты декомпозиции
Данцига – Вулфа на примерах.
В.М. Горбачук, И.А. Русанов, 2011
Компьютерная математика. 2011, № 2 125
УДК 519.8
В.М. ГОРБАЧУК, И.А.
РУСАНОВ
ДЕКОМПОЗИЦИЯ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ДВУХУРОВНЕВОЙ
ЗАДАЧИ
Введение. Любая задача с
ограниченной информацией
является двухуровневой – с
уровнем (агентом), являю-
щимся источником информа-
ции, и уровнем (принципа-
лом), не являющимся источ-
ником такой информации, но
зависящим от нее. При этом
между уровнями возникает
проблема риска злоупотреб-
ления информацией – про-
блема морального риска. По-
скольку решения принима-
ются на каждом уровне, то
двухуровневая задача слож-
нее обычной оптимизации
[1].
Приложениями задачи
принципал-агент являются:
страхование, когда страхов-
щик не может наблюдать
уровень осторожности за-
страхованного лица; земле-
пользование, когда землевла-
делец не может наблюдать
исходное решение фермера-
арендатора; управление, ко-
гда собственник фирмы не
может наблюдать уровень
усилий менеджера или ра-
ботника [2–9].
Принципал выбирает контракт распреде-
ления рисков (схему стимулирования), мак-
симизирующий его ожидаемую полезность
при заданных ограничениях. В схеме рас-
крытия предпочтений [7, 10, 11] контракты
включают лотереи, т. е. принципал выбирает
распределение вероятности на определенном
множестве переменных, а не детерминиро-
ванную функцию (Д. Миррлиз, Э. Прескотт,
Р. Майерсон – Нобелевские лауреаты 1996,
2004, 2007 гг.). Предложенные лотерейные
контракты за счет рандомизации позволяют
избегать жестких условий для предпочтений
(полезностей) принципала и агента, а также
для используемых ними технологий (произ-
водственных функций).
В.М. ГОРБАЧУК, И.А. РУСАНОВ
Компьютерная математика. 2011, № 2 126
Широкое применение задачи принципал-агент сдерживают вычислительные
трудности. Однако в конце прошлого тысячелетия удалось найти способы све-
дения задачи принципал-агент к известным задачам линейного программирова-
ния большой размерности [12]. Далее удалось найти особенности задачи прин-
ципал-агент, позволяющие эффективно применять алгоритмы декомпозиции к
редуцированным задачам линейного программирования [13–15] и применять
некоторые приемы динамического программирования [16]. Таким образом, со-
временные вычислительные мощности позволят учитывать поведение каждого
из 7 млрд. участников мировой экономики.
В стандартном примере приложения задачи принципал-агент владелец
фирмы (принципал) делегирует ведение дел фирмы менеджеру (агенту) и не от-
слеживает действия менеджера, но наблюдает результат таких действий – вало-
вую прибыль фирмы. В ряде ситуаций у принципала есть возможности несо-
вершенного мониторинга действий менеджера [5, 6, 8, 9]. Пусть эта прибыль
зависит от действий менеджера, а также от других факторов вне власти менед-
жера – случайных факторов. Тогда, если дела фирмы идут хорошо, то владельцу
не вполне ясно, что является причиной успеха фирмы – действия менеджера или
удачное стечение обстоятельств.
После того, как принципал и агент согласились на контракт, можно выде-
лить ряд последовательных этапов проблемы морального риска:
принципал рекомендует действие агенту;
агент предпринимает скрытое (hidden) действие;
осуществляется публично наблюдаемый результат действия агента;
принципал выделяет вознаграждение агенту.
Предположим, что:
принципал наблюдает лишь конечное количество уровней валовой прибыли
(результатов) фирмы: 1q , 2q ,…, nq ;
множество A действий (actions) менеджера является непустым компактным
подмножеством конечномерного евклидова пространства nR ;
действие Aa∈ менеджера влияет на распределение )|( aqp i вероятности
(probability) результатов, ni ,...,2,1= ;
Aa∈∀ менеджер знает значение экзогенной функции )|( aqp i , но не знает
результирующего исхода 1{qqi ∈ , 2q ,…, }nq ;
предпочтения менеджера определяются функцией ),( IaU полезности (utili-
ty) фон Неймана – Моргенштерна (von Neumann – Morgenstern), где I – возна-
граждение (incentive) менеджеру от принципала (потребление менеджера);
принципал заинтересован только в чистой прибыли фирмы, т. е. валовой
прибыли минус оплата менеджера;
принципал имеет функцию полезности )( IqW i − .
В стандартной постановке принципал детерминированно рекомендует ме-
неджеру действие Aa∈ и детерминированную схему компенсации (стимулиро-
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУХУРОВНЕВОЙ ЗАДАЧИ
Компьютерная математика. 2011, № 2 127
вания) ))(),...,(),(( 21 nqIqIqII =
r
, максимизируя по переменным a , I
r
свою
ожидаемую полезность
∑
=
−
n
i
iii qIqWaqp
1
))(()|( (1)
при условии участия (participation constraint)
∑
=
≥
n
i
ii UqIaUaqp
1
))(,()|( Aa∈∀ (2)
и при условии совместимости стимулов (incentive compatibility constraint)
∑
=
≥
n
i
ii qIaUaqp
1
))(,()|( ∑
=
n
i
ii qIaUaqp
1
))(,()|( Aa ∈∀ , (3)
где U – отправная (reservation) цена менеджера, т. е. ожидаемый уровень полез-
ности, который менеджер может достичь, работая в любом другом месте.
Когда множество A имеет мощность континуума, то условие (3) можно за-
менить более простым условием первого порядка для максимизации ожидаемой
полезности агента. Для облегчения вычислений далее считаем, что множество
A конечное и состоит из элементов ja , nj ,...,2,1= .
Для упрощения изложения предполагаем, что 0)|( >aqp i Aa∈∀ ,
ni ,...,2,1= [4, 17]. Когда контракты допускают лотереи [7, 11, 18], то принципал
выбирает распределение )(aπ вероятности на множестве A . Поскольку тогда
каждое действие может быть рекомендовано, то схема стимулирования обуслов-
лена a и iq , а принципал выбирает плотность распределения ),|)(( aqqI iiπ ус-
ловной вероятности. При этом вырожденные распределения приводят к детер-
минированным контрактам.
Оба источника рандомизации в схеме стимулирования обеспечивают ряд
преимуществ и увеличивают благосостояние, если функции полезности являют-
ся кусочно-выпуклыми. За счет рандомизации можно также ослабить условие
(3), если предпочтения являются несепарабельными. Например, если действие
влияет на несклонность к риску, то рандомизация может стать эффективным
способом осуществления такого действия.
Непосредственная замена )|( aqp i на )(aπ или ),|)(( aqqI iiπ не приводит
задачу (1)–(3) к задаче линейного программирования (ЛП). Этого можно дос-
тичь, вводя совместное распределение
)()|(),|)((),),(( aaqpaqqIaqqI iiiii ππ=π (4)
как переменную решения.
Поскольку принципал выбирает не совместное распределение ),),(( aqqI iiπ ,
а функцию распределения )(aπ вероятности и функцию распределения
),|)(( aqqI iiπ условной вероятности, то при технологических ограничениях
В.М. ГОРБАЧУК, И.А. РУСАНОВ
Компьютерная математика. 2011, № 2 128
∑∑
==
π=π
n
i
iil
n
i
li aqqIaqpaqqI
11
),),(()|(),),(( Aa ∈∀ , nl ,...,2,1= , (5)
выбор ),),(( aqqI iiπ равносилен неявному выбору принципалом )(aπ и
),|)(( aqqI iiπ , но не )|( aqp i .
За принципом раскрытия (revelation), рекомендованное действие a является
решением задачи максимизации ожидаемой полезности агента, т. е. Aa ∈∀
∑
=
≥π
n
i
iiii qIaUaqpaqqI
1
))(,()|(),|)(( ∑
=
π
n
i
iiii qIaUaqpaqqI
1
))(,()|(),|)(( .
Используя равенство
)|(),|)(()|),(( aqpaqqIaqqI iiiii π=π , (6)
в последнем неравенстве, получаем
∑
=
≥π
n
i
iii qIaUaqqI
1
))(,()|),(( ∑
=
π
n
i
i
i
i
ii qIaU
aqp
aqp
aqqI
1
))(,(
)|(
)|(
)|),(( Aa ∈∀ ,
где
)|(
)|(
)|),((
aqp
aqp
aqqI
i
i
iiπ – совместная вероятность того, что агент получает
)),(( ii qqI при рекомендованном принципалом действии a и фактическом дей-
ствии a агента. Умножая обе части равенства (6) на 0)( >π a , получаем в силу
равенства (4) соотношение
),),(()()|(),|)(()()|),(( aqqIaaqpaqqIaaqqI iiiiiii π=ππ=ππ .
Используя это в последнем неравенстве, линеаризуем его по ),),(( aqqI iiπ :
∑
=
≥π
n
i
iii qIaUaqqI
1
))(,(),),(( ∑
=
π
n
i
i
i
i
ii qIaU
aqp
aqp
aqqI
1
))(,(
)|(
)|(
),),((
Aa ∈∀ , Aa∈∀ . (7)
Если 0)( =π a , то действие a не рекомендуется, а ограничения для таких
действий тривиально удовлетворяются.
Кроме того, вероятностные ограничения гарантируют то, что ),),(( aqqI iiπ
является вероятностной мерой:
∑∑
= ∈
=π
n
i Aa
ii aqqI
1
1),),(( , (8)
0),),(( ≥π aqqI ii Aa∈∀ , ni ,...,2,1= . (9)
В постановке задачи принципал-агент, где контракты допускают лотереи,
принципал рекомендует не a и I
r
для максимизации своей ожидаемой полезно-
сти (1), а выбирает функцию совместного распределения ),),(( aqqI iiπ , для мак-
симизации ожидаемой полезности
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУХУРОВНЕВОЙ ЗАДАЧИ
Компьютерная математика. 2011, № 2 129
∑∑
= ∈
−π
n
i Aa
iiii qIqWaqqI
1
))((),),(( (10)
при технологических ограничениях (5), условии совместимости стимулов (7)
вместо (3), вероятностных ограничениях (8), (9), а также при условии участия
∑∑
= ∈
≥π
n
i Aa
iii UqIaUaqqI
1
))(,(),),(( (11)
вместо (2).
Задача (5), (7)–(9), (10), (11) является задачей максимизации линейной
функции при конечном количестве линейных ограничений. Решая эту задачу для
каждого допустимого значения U , можно найти границу (frontier) Парето. Для
задачи ЛП множество допустимых решений является выпуклым. Тогда при сла-
бой вогнутости целевой функции множество допустимых полезностей также
является выпуклым, а границу Парето можно найти, используя задачу планиро-
вщика (planner) максимизации по ),),(( aqqI iiπ взвешенной суммы полезностей
принципала и агента
]))(()1())(,()[,),((
1
∑∑
= ∈
−λ−+λπ
n
i Aa
iiiii qIqWqIaUaqqI (12)
при условиях (5), (7)–(9) и без условия участия, где ]1,0[∈λ – вес агента.
Заметим, что условие совместимости стимулов (3), в отличие от условия (7),
не обязательно задает выпуклое множество и поэтому не задает всю границу
Парето. Задача (5), (7)–(9), (12) также является задачей ЛП. Решая эту задачу для
каждого ]1,0[∈λ , можно найти границу Парето.
Для поиска границы Парето можно использовать допустимые значения по-
лезностей принципала и агента в задаче (5), (7)–(9), (10), (11).
Покажем, что задача принципал-агент имеет структуру, позволяющую при-
менять вариант декомпозиции Данцига – Вулфа [19], разбивающий исходную
задачу на подзадачи, которые можно решать отдельно, существенно снижая тре-
бования к размерности (памяти) исходной задачи.
Каждая локальная подзадача nj ,...,2,1= учитывает только переменные, от-
носящиеся к действию ja , и свои вероятностные ограничения (5), (7)–(9):
1 1,
( ( ), , ) (1 ( | )) ( ( ), , ) ( | ) 0,
i l
n n
i l j l j i i j l j
i i q q
I q q a p q a I q q a p q a
= = ≠
π − − π =∑ ∑
1,...,l n= ,
∑
=
≥
−π
n
i
ik
ji
ki
ijjii qIaU
aqp
aqp
qIaUaqqI
1
0))(,(
)|(
)|(
))(,(),),(( , 1,2, ..., ,k n=
В.М. ГОРБАЧУК, И.А. РУСАНОВ
Компьютерная математика. 2011, № 2 130
∑
=
=π
n
i
jii aqqI
1
1),),(( ,
0),),(( ≥π jii aqqI , 1,2,..., .i n=
Ограничение (8), нормирующее решение подзадачи к полезности ex post, не
вписывается в стандартный алгоритм декомпозиции Данцига – Вулфа. Посколь-
ку правые части остальных ограничений нулевые, то такая нормировка не влия-
ет на отношения полезностей. Решение подзадачи в стандартном алгоритме оце-
нивает как часть целевой функции, так и часть ее аргументов.
Множество решений ),),(( jii aqqIπ , удовлетворяющих ограниченям (5), (7),
(8), (9), является выпуклым множеством с конечным числом крайних точек. По-
скольку это множество ограничено в силу ограничений (8), (9), то оно является
выпуклой оболочкой этих крайних точек. Обозначим jP множество таких край-
них точек.
Так как в локальных подзадачах j целевые функции линейные, то множест-
во допустимых значений полезностей принципала jWx и агента jUx можно
представлять выпуклыми оболочками },{ jUjWj xxX = полезностей в точках jP .
Обозначая ),( jUjW xxπ вероятность выбора пары ),( jUjW xx , координи-
рующая (master) задача состоит в максимизации по 0),( ≥π jUjW xx ожидаемой
полезности принципала
∑
=
π
n
j
jWjUjW xxx
1
),( (13)
при условии участия
∑
=
≥π
n
j
jUjUjW Uxxx
1
),( , (14)
вероятностных ограничениях
∑
=
=π
n
j
jUjW xx
1
1),( (15)
и блочном ограничении
jjUjW Xxx ∈),( . (16)
Координирующая задача ЛП (13)–(16) содержит связующие ограничения
(14) и (15). Обозначим φ двойственную переменную для ограничения (14), а ϕ
– двойственную переменную для ограничения (15). Тогда можно выписать усло-
вия оптимальности
ϕ≤φ− jUjU xx nj ,...,2,1=∀ . (17)
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУХУРОВНЕВОЙ ЗАДАЧИ
Компьютерная математика. 2011, № 2 131
Несмотря на кажущуюся простоту координирующей задачи (13)–(16), эта
задача содержит много переменных и требует поиска декомпозиции. Алгоритм
Данцига – Вулфа преодолевает проблему размерности путем вычисления только
нужных пар jjUjW Xxx ∈),( .
Шаг 1. Начальным приближением алгоритма является некоторое допусти-
мое решение координирующей задачи (13)–(16). Обозначим jj XX ⊂~
множест-
во крайних точек этого допустимого решения.
Шаг 2. Находим решение координирующей задачи (13)–(16) с jX
~
вместо
jX . Такая задача имеет небольшую размерность и базисное допустимое реше-
ние по предположению.
Шаг 3. Используя базисное допустимое решение, находим двойственные
переменные.
Шаг 4. Вместо нахождения коэффициентов при всех небазисных перемен-
ных, т. е. нахождения всех крайних точек каждой подзадачи, в каждой подзадаче
находим только крайнюю точку, максимизирующую целевую функцию. При
ограничениях каждой локальной подзадачи (5), (7), (8), (9) можно решать подза-
дачу максимизации по ),),(( jii aqqIπ свертки
∑
=
−φ−π
n
i
iiijjii qIqWqIaUaqqI
1
))](())(,([),),(( . (18)
Если ),( **
jUjW xx – решение подзадачи (5), (7), (8), (9), (18), то
jjUjW Xxx ∈),( ** , причем
**
jWjUjWjU xxxx φ−≤φ− jjWjU Xxx ∈∀ ),( .
Шаг 5. Тогда, если условиям оптимальности (17) удовлетворяет пара
),( **
jUjW xx , то им удовлетворяют все пары jjUjW Xxx ∈),( , т. е. пара ),( **
jUjW xx
является оптимальным решением координирующей задачи.
Шаг 6. Если же пара ),( **
jUjW xx не удовлетворяет условиям (17), то реше-
ние координирующей задачи не содержится среди крайних точек множества
jX
~
. К каждому множеству jX
~
добавляем ранее вычисленное решение под-
задачи j и возвращаемся на шаг 1.
Пример. Пусть в экономике континуум агентов, каждый из которых имеет
вогнутую по )( iqI и выпуклую по a функцию полезности
aqIqIaU ii −+= 28.0)())(,( , (19)
где потребление принимает 201 значение
tqI i 01.00)( += , 200,...,2,1=t , (20)
а уровень усилий (действие) имеет 77 значений
Ta 025.005.0 += , 76,...,2,1=T . (21)
В.М. ГОРБАЧУК, И.А. РУСАНОВ
Компьютерная математика. 2011, № 2 132
Каждый агент может лишь прикладывать усилия на своем собственном уча-
стке, скрытые от остальных. При этом результат усилий видят все, который
принимает два значения:
,5.01 =q 5.12 =q . (22)
Технология производства каждого агента задается функцией плотности рас-
пределения вероятности отдачи от его усилий:
≥−+
<−−
==
,1,
2
)1(1
,1,
2
)1(1
)|5.1( 2.0
2.0
a
a
a
a
aqp i (23)
)|5.1(1)|5.0( aqpaqp ii =−== . (24)
Заметим, что )|5.1( aqp i = обладает возрастающей отдачей от масштаба при
1≥a и уменьшающейся отдачей от масштаба при 1<a .
Так как эти вероятности независимы, то нет агрегированной неопределенно-
сти, а при отсутствии входящих и выходящих потоков экономики ресурсное ог-
раничение имеет вид полезности нейтрального к риску принципала:
∑∑∑
= = =
≤−π
2
1
201
1
77
1
0)(),,(
i t T
itTit qIaqI . (25)
Считая ex ante агентов идентичными, задача состоит в максимизации по
),,( Tit aqIπ ожидаемой полезности репрезентативного агента
∑∑∑
= = =
π
2
1
201
1
77
1
),(),,(
i t T
TtTit aIUaqI (26)
при ресурсном ограничении (25), условии совместимости стимулов (7), техноло-
гических ограничениях (5) и вероятностных ограничениях (8), (9). Эта задача
эквивалентна максимизации полезности репрезентативного агента, когда прин-
ципал довольствуется отправным уровнем своей полезности.
Поскольку простейшая задача (5), (7)–(9), (19)–(26), моделирующая поведе-
ние экономических участников (агентов), имеет более 300000 переменных и бо-
лее 6000 ограничений, то требует применения декомпозиции.
В.М. Горбачук, І.А. Русанов
ДЕКОМПОЗИЦІЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗАННЯ ДВОРІВНЕВОЇ ЗАДАЧІ
Запропоновані методи декомпозиції для розв’язання дворівневих задач принципал-агент з
лотерейними контрактами. Розглянуті варіанти декомпозиції Данцига – Вулфа на прикладах.
V.M. Gorbachuk, I.A. Rusanov
DECOMPOSITION FOR SOLVING BILEVEL PROGRAM
Decomposition methods for solving bilevel principal-agent problems with lottery contracts are
suggested. The variants of Dantzig – Wolfe decomposition have been analyzed with examples.
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУХУРОВНЕВОЙ ЗАДАЧИ
Компьютерная математика. 2011, № 2 133
1. Горбачук В.М. Методи індустріальної організації. – К.: А. С. К., 2010. – 224 с.
2. Горбачук В.М., Конакова Е.Н., Русанов И.А. Модернизация и частные компании, допол-
няющие государственные функции // Моделювання та інформатизація соціально-
економічного розвитку України. – 2010. – Вип. 11. – С. 233–244.
3. Горбачук В.М., Русанов И.А. Регулирование монополии при асимметричной информации
// Компьютерная математика. – 2010. – № 1. – С. 3–10.
4. Grossman S., Hart O. An analysis of the principal agent problem // Econometrica. – 1983,
January. – P. 7–45.
5. Harris M., Raviv A. Optimal incentive contracts with imperfect information // J. of economic
theory. – 1979. – 20. – P. 231–259.
6. Holmstrom B. Moral hazard and observability // Bell journal of economics. – 1979. – 10. – P. 74–91.
7. Mirrlees J. The theory of moral hazard and unobservable behaviour: part I // Review of
economic studies. – 1999, January. – P. 3–21.
8. Shavell S. On moral hazard and insurance // Quarterly j. of economics. – 1979. – 93. –
P. 541–562.
9. Shavell S. Risk sharing and incentives in the principal agent relationship // Bell j. of economics.
– 1979. – 10. – P. 55–73.
10. Myerson R.B. Optimal coordination mechanisms in generalized principal-agent problems // J. of
mathematical economics. – 1982, June. – P. 67–81.
11. Prescott E.S., Townsend R.M. Pareto optima and competitive equilibria with adverse selection
and moral hazard // Econometrica. – 1984, January. – P. 21–54.
12. Prescott E.S. Computing moral-hazard problems using the Dantzig–Wolfe decomposition
algorithm // Federal Reserve Bank of Richmond working paper 98-6. – 1998. – 28 p.
13. Гамецкий А.Ф., Соломон Д.И. Исследование операций. Т. 1. – Кишинэу: Еврика, 2004. –
456 с.
14. Лаптин Ю.П., Журбенко Н.Г. Некоторые вопросы решения блочных нелинейных задач
оптимизации со связанными ограничениями // Кибернетика и системный анализ. – 2006.
– № 2. – С. 47–55.
15. Шор Н.З. Применение обобщенного градиентного спуска в блочном программировании
// Кибернетика. – 1967. – № 3. – С. 53–55.
16. Prescott E.S. Computing solutions to moral-hazard programs using the Dantzig–Wolfe
decomposition algorithm // J. of economic dynamics and control. – 2004. – 28. – P. 777–800.
17. Горбачук В.М., Бойко В.В., Русанов И.А. Проектирование контрактов в условиях риска //
Теория оптимальных решений. – 2011. – № 1. – С. 3–9.
18. Townsend R.M. The medieval village economy: a study of the Pareto mapping in general
equilibrium models. – Princeton, NJ: Princeton University Press, 1993. – 180 p.
19. Dantzig G.B., Wolfe P. The decomposition principle for linear programs // Operations research.
– 1960. – 8. – P. 101–111.
Получено 19.04.2010
Об авторах:
Горбачук Василий Михайлович,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
GorbachukVasyl@netscape.net
Русанов Иван Анатольевич,
директор Фонда поддержки инфраструктурных мероприятий.
IRusanov@FAPIM.ru
|