Критерии и методы сравнения нечётких множеств
Предложены критерии и методы определения относительного предпочтения, сравнения и ранжирования показателей эффективности принимаемого решения, представленных нечёткими множествами. Выбор конкретного алгоритма сравнения и ранжирования диктуется содержательной постановкой прикладной задачи и субъектив...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2013
|
| Series: | Системні дослідження та інформаційні технології |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85097 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Критерии и методы сравнения нечётких множеств / Ю.А. Зак // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 58-68. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85097 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-850972015-07-20T03:02:12Z Критерии и методы сравнения нечётких множеств Зак, Ю.А. Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Предложены критерии и методы определения относительного предпочтения, сравнения и ранжирования показателей эффективности принимаемого решения, представленных нечёткими множествами. Выбор конкретного алгоритма сравнения и ранжирования диктуется содержательной постановкой прикладной задачи и субъективными предпочтениями лица, принимающего решение. Развиваются подходы на основе сравнения некоторой группы показателей, определяющих гарантию получения желаемого результата, а также многокритериальные модели решения сформулированной проблемы. Разработанные модели и методы могут найти широкое применение в задачах выбора портфеля инвестиций, в перспективном планировании производства, в решении задач нечёткого регрессионного анализа и математического программирования с нечёткими данными. Запропоновано критерії та методи визначення відносної переваги, порівняння та ранжирування показників ефективності рішення, які представлено нечіткими множинами. Вибір конкретного алгоритму порівняння і ранжирування диктується змістовною постановкою прикладної задачі й суб’єктивними перевагами та рішеннями особи, котра приймає рішення. Розвиваються підходи на основі порівняння деякої групи показників, що визначають гарантію отримання бажаного результату, а також багатокритеріальні моделі вирішення сформульованої проблеми. Розроблені моделі й методи можуть знайти широке застосування в задачах вибору портфеля інвестицій, у перспективному плануванні виробництва, вирішенні завдань нечіткого регресійного аналізу та математичного програмування з нечіткими даними. The criteria and methods are developed to determine the relative preference, to compare and rank the performance of a decision represented by fuzzy sets. The choice of a specific algorithm for comparing and ranking operations is determined by the core of the problem and the subjective preferences of ta decision maker. The approaches are developed on the basis of a comparison of a group of indicators that guarantee an obtaining the desired result, as well as multi-criteria models for solving the formulated problem. The developed models and methods can be widely used in the portfolio selection problems, in the prospective production planning, fuzzy regression analysis and mathematical programming problems with fuzzy data. 2013 Article Критерии и методы сравнения нечётких множеств / Ю.А. Зак // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 58-68. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85097 519.8 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| spellingShingle |
Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Зак, Ю.А. Критерии и методы сравнения нечётких множеств Системні дослідження та інформаційні технології |
| description |
Предложены критерии и методы определения относительного предпочтения, сравнения и ранжирования показателей эффективности принимаемого решения, представленных нечёткими множествами. Выбор конкретного алгоритма сравнения и ранжирования диктуется содержательной постановкой прикладной задачи и субъективными предпочтениями лица, принимающего решение. Развиваются подходы на основе сравнения некоторой группы показателей, определяющих гарантию получения желаемого результата, а также многокритериальные модели решения сформулированной проблемы. Разработанные модели и методы могут найти широкое применение в задачах выбора портфеля инвестиций, в перспективном планировании производства, в решении задач нечёткого регрессионного анализа и математического программирования с нечёткими данными. |
| format |
Article |
| author |
Зак, Ю.А. |
| author_facet |
Зак, Ю.А. |
| author_sort |
Зак, Ю.А. |
| title |
Критерии и методы сравнения нечётких множеств |
| title_short |
Критерии и методы сравнения нечётких множеств |
| title_full |
Критерии и методы сравнения нечётких множеств |
| title_fullStr |
Критерии и методы сравнения нечётких множеств |
| title_full_unstemmed |
Критерии и методы сравнения нечётких множеств |
| title_sort |
критерии и методы сравнения нечётких множеств |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85097 |
| citation_txt |
Критерии и методы сравнения нечётких множеств / Ю.А. Зак // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 58-68. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT zakûa kriteriiimetodysravneniânečëtkihmnožestv |
| first_indexed |
2025-07-06T12:15:22Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:15:22Z |
| _version_ |
1836899760052633600 |
| fulltext |
© Ю.А. Зак, 2013
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 58
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 519.8
КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ
СРАВНЕНИЯ НЕЧЁТКИХ МНОЖЕСТВ
Ю.А. ЗАК
Предложены критерии и методы определения относительного предпочтения,
сравнения и ранжирования показателей эффективности принимаемого реше-
ния, представленных нечёткими множествами. Выбор конкретного алгоритма
сравнения и ранжирования диктуется содержательной постановкой приклад-
ной задачи и субъективными предпочтениями лица, принимающего решение.
Развиваются подходы на основе сравнения некоторой группы показателей, оп-
ределяющих гарантию получения желаемого результата, а также многокрите-
риальные модели решения сформулированной проблемы. Разработанные мо-
дели и методы могут найти широкое применение в задачах выбора портфеля
инвестиций, в перспективном планировании производства, в решении за-
дач нечёткого регрессионного анализа и математического программирова-
ния с нечёткими данными.
ВВЕДЕНИЕ
Во многих практических приложениях, связанных с принятием решений,
значение показателя эффективности может быть выражено некоторым не-
чётким множеством, что наиболее характерно для стратегических проблем
и задач перспективного планирования. В качестве наиболее ярких примеров
таких ситуаций могут быть рассмотрены: ожидаемый через определенный
период времени объем прибыли при распределении инвестиций; прогнози-
руемое время в пути в зависимости от состояния дорог, погоды, времени
суток и напряженности движения транспорта; предполагаемые объемы про-
даж и ожидаемой прибыли, выполненные на основе маркетинговых иссле-
дований и многие другие. Во всех выше рассмотренных случаях отсутствие
достаточных объемов статистических данных, а также невозможность на
основе предыстории процессов достаточно точно предсказать поведение
системы в будущем, приводит к необходимости корректировки построен-
ных на основе используемых математических моделей законов распределе-
ния значений анализируемых показателей с учетом опыта, знаний и интуи-
ции экспертов, преобразуя их в ряде случаев в нечёткие множества.
При анализе двух альтернативных решений, показатели эффективности
которых выражены соответственно двумя Fuzzy-числами (нечёткими мно-
жествами), лицу, принимающему решение, зачастую очень трудно опреде-
лить, какому из этих значений отдать предпочтение.
Критерии и методы сравнения нечётких множеств
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 59
Известны и широко используются в практике соотношения эквива-
лентности и включения для непрерывных и дискретных нечётких множеств
,)}(,{ xxA Aμ= )}(,{ xxB Bμ= в виде
BA = , если )()( xx BA μμ = ,Xx∈∀ (1)
BA ⊆ , если )()( xx BA μμ ≤ .Xx∈∀ (2)
Однако в целом ряде случаев соотношения (1), (2) не выполняются,
и возникают проблемы сравнения, упорядочения или ранжирования нечёт-
ких множеств, аналогичные проблемам сравнения и упорядочения действи-
тельных или целых чисел по их возрастанию или убыванию.
Упорядочение нечётких множеств в соответствии с увеличением или
уменьшением средневзвешенной оценки AM или координаты центра тя-
жести ,AC где
∫
∈
=
Xx
AA dxxxM )(μ ,
∫
∫
∈
∈=
Xx
A
Xx
A
A
dxx
dxxx
C
)(
)(
μ
μ
, (3)
также во многих практических приложениях не всегда обосновано.
Общая концепция сравнения или ранжирования нечётких множеств за-
ключается в том, чтобы каждому размытому множеству можно было поста-
вить в соответствие некоторую характеристику, выраженную конкретным
действительным числом, по возрастанию или убыванию которых (в зависи-
мости от содержательной постановки задачи) можно было бы упорядочить
эти множества.
В литературе [3, 5] предложены правила абсолютного предпочтения
(B)suppsup(A)supp inf > , где }0)(|{(A)supp >∈= xXx Aμ , (4)
а также различные правила абсолютного и относительного предпочтения,
основанные на сравнении интервалов области изменения переменной Xx∈
[1–3].
Пусть ],[ 21
AA hh — интервал изменения значения x нечёткого множест-
ва ,A где
,}0)(,|{min1 >∈= xXxxh AA μ .}0)(,|{max2 >∈= xXxxh AA μ (5)
Если )}(,{ xxA Aμ= и )}(,{ xxB Bμ= — два выпуклых нечётких множе-
ства, определённые на одном и том же множестве значений ,X для которых
выполняются соотношения
21
BA hh ≥ , (6)
то ,BA f т.е. нечёткое множество A является строго более предпочти-
тельным нечёткого множества .B
В практических приложениях правила абсолютного предпочтения (5),
(6), как правило, не выполняются, т.е. 11
BA hh ≥ , 22
BA hh ≥ , но 21
BA hh < . В этом
случае используются условия нестрогого предпочтения. Каждое из этих
правил является субъективным и использует специфику решаемой задачи,
а также предпочтения лица, принимающего решения.
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 60
В литературе наиболее широкое распространение получили методы,
основанные на анализе различного уровня α -сечений нечётких множеств
[3, 4], которые для случая нечётких множеств, представленных LR -
интервалами, развиты в работах автора [6, 7]; методы Chen и Jain (см. на-
пример, [3, 4]), основанные на вычислении некоторых функций ранга, мето-
ды Dubois, Prade [5], в которых был предложен многокритериальный подход,
основанный на вычислении 4 показателей. Авторы Tong и Bonissone пред-
ложили подходы, сочетающие применение количественных и лингвистичес-
ких правил при ранжировании нечётких множеств. Эти подходы подробно
описаны в монографии [3].
Следует отметить, что в настоящее время в сложных случаях не сущес-
твует методов сравнения, одинаково эффективных для различных практиче-
ских приложений. Поэтому выбор того или иного конкретного алгоритма
сравнения и ранжирования диктуется содержа тельной постановкой
конкретной прикладной задачи.
Во многих практических приложениях необходимо установить правила
относительного предпочтения нечётких множеств из условий сравнения не-
которой вычисленной меры гарантии получения желаемого результата.
С этой целью в 1-й части данной работы вводятся некоторые характеристи-
ки нечётких множеств ( Z -сечения), аналогичные следующим известным
и широко применяемым в теории вероятности и математической статистике
показателям:
• вероятность того, что значение данного показателя, заданного неко-
торой функцией распределения вероятностей, будет не меньше (или не
больше) некоторой установленной величины;
• некоторая величина, значение показателя не ниже (или не выше) ко-
торой гарантируется с некоторой наперед заданной вероятностью.
Эти подходы рассматриваются автором в следующем разделе работы.
Во второй части работы предлагаются многокритериальные подходы реше-
ния проблемы, основанные на ведении некоторого обобщенного критерия
эффективности в виде линейной свертки частных критериев, оценивающих
риск получения неблагоприятного результата и перспективы достижения
поставленных целей. Формулируется задача выбора наиболее эффективного
решения из множества рассматриваемых альтернатив, в процессе которой
может быть произведен отсев нечётких множеств, не удовлетворяющих по-
ставленной системе ограничений.
Z–СЕЧЕНИЯ НЕЧЁТКИХ МНОЖЕСТВ
Пусть условия « Re≤ » или « Re≥ » определяют условия доминирования
(предпочтения) двух нечётких множеств соответственно в сторону умень-
шения или увеличения их значений.
Рассмотрим два нечётких множества ))(,( xxA Aμ= и ))(,( xxB Bμ= .
1. 1Z и 2Z — сечения непрерывных нечётких множеств
Для непрерывных нечётких множеств )}(,{ xxA Aμ= , заданных на множест-
ве значений ,Xx∈ в диапазоне значений ],[ maxmin HHx∈ , определим сле-
дующие условия нормирования
Критерии и методы сравнения нечётких множеств
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 61
A
A
A L
x
x
)(
)(
μ
λ = , Xx∈ , где ∫
∈
=
Xx
AA dxxL )(μ , .1)( =∫
∈Xx
A dxxλ (7)
На рис. 1 приведены примеры нечёткого множества )}(,{ xxA Aμ=
и соответствующего ему нормированного множества )}.(,{ xx Aλ
Определим для 1Z -сечений
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈≥= ∫ XxdxxxZ
x
H
AA ,)(|min)(
min
1 βλβ , ;10 ≤< β (8)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤
=
;)(если,0
),(если),(
1
1
1
)(1
β
βμ
μ
β
A
AA
Z Zx
Zxx
A ⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
=
;)(если,0
,)(если),(
1
1
2
)(1
β
βμ
μ
β
A
AA
Z Zx
Zxx
A
(9)
⎩
⎨
⎧
>
≤=
;)(если0
,)(если1
1
1
3
)(1 β
βμ
β A
A
Z Zx
Zx
A
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
=
).(если,0
),(если,1
1
1
4
)(1
β
β
μ
β
A
A
Z Zx
Zx
A
(10)
На рис. 2 приведены примеры функций принадлежности −)(1
)(1 kZ
x
A β
μ
)(4
)(1 kZ
x
A β
μ .
Для 2Z -сечений введем следующие показатели:
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈≥= ∫ XxdxxxZ
H
x
AA ,)(|max)(
max
2 βλβ , 10 ≤< β ; (11)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥
=
;)(если,0
),(если),(
2
2
1
)(2
β
βμ
μ
β
A
AA
Z Zx
Zxx
A
⎩
⎨
⎧
>
≤=
);(если,0
),(если),(
2
2
1
)(2
β
βμμ
β
A
AA
Z Zx
Zxx
A
(12)
⎩
⎨
⎧
<
≥=
);(если,0
),(если,1
2
2
3
)(2 β
βμ
β A
A
Z Zx
Zx
A
⎩
⎨
⎧
>
≤=
).(если,0
),(если,1
2
2
4
)(2
β
βμ
β
A
A
Z Zx
Zx
A
(13)
1,0
Рис. 1. Примеры нечётких множеств )}(,{ xx Aμ и )}(,{ xx Aλ
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 62
На рис. 3 приведены примеры функций принадлежности )(1
)(2 kZ
x
A β
μ –
).(4
)(2 kZ
x
A β
μ
Введем также следующие показатели
dxxz
pz
H
ApA )()(
min
1 ∫= λβ , dxxz
H
z
ApA
p
)()(
max
2 ∫= λβ , ,,...,1 Pp = (14)
где ,pz Pp ,...,1= — некоторые значения параметра ],[ maxmin HHx∈ .
Аналогичным образом параметры 1Z и 2Z -сечений могут быть вычис-
лены для различных t - и S -норм нечётких множеств.
2. 1Z и 2Z — сечения дискретных нечётких множеств
Для дискретных Fuzzy-множеств ∑
=
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=
K
k k
kA
x
xA
1
)(μ значения AL
и )( kA xλ вычисляются соответственно по формулам:
∑
=
=
K
k
kAA xL
1
)(μ ,
A
kA
kA L
x
x
)(
)(
μ
λ = , ;,...,1 Kk = .1)(
1
=∑
=
K
k
kA xλ (15)
Значения )(1 βAZ и )(2 βAZ определяются по формулам:
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈≥= ∑
=≤≤
k
q
qqk
Kk
A XxxxZ
11
1 ;)(|min)( βλβ ;
Рис. 2. Примеры функций принадлежности )(1
)(1 kZ
x
A β
μ – )(4
)(1 kZ
x
A β
μ .
1,0 1,0
1,0 1,0
d)
Критерии и методы сравнения нечётких множеств
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 63
.;)(|max)(
1
2
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈≥= ∑
=≤≤
k
Kq
qqk
Kk
A XxxxZ βλβ (16)
Значения )(1
)(1 kZ
x
A β
μ – )(4
)(1 kZ
x
A β
μ и )(1
)(2 kZ
x
A β
μ – )(4
)(2 kZ
x
A β
μ вычисля-
ются аналогично выше приведенным формулам для непрерывных нечётких
множеств.
Поясним вышеизложенное на простом числовом примере:
++++=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=∑
=
5
4,0
4
35,0
3
3,0
2
1,0)(
1
K
k k
kA
x
xA μ
;12
12,0
11
3,0
10
5,0
9
6,0
8
8,0
7
7,0
6
4,0 +++++++
,57,412,03,05,06,08,07,04,04,035,03,01,0 =++++++++++=AL
;1532,0;0875,0;0875,0;0766,0;0656,0;022,0()( =kA xλ
.)0262,0;0656,0;1094,0;1313,0;1751,0
Зададим значение .75,0=β Для этого значения получим: =β(1
AZ
,8)75,0 == .4)75,0(2 ==βAZ Далее получим:
1,0 1,0
1,0 1,0
Рис. 3. Примеры функций принадлежности )(1
)(2 kZ
x
A β
μ – )(4
)(2 kZ
x
A β
μ
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 64
;9
6,0
8
8,0
7
7,0
6
4,0
5
4,0
4
35,0
3
3,0
2
1,0)}75,0({ 11 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +++++++==βZA
;12
12,0
11
3,0
10
5,0)}75,0({ 12 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++==βZA
);9
0,1
8
0,1
7
0,1
6
0,1
5
0,1
4
0,1
3
0,1
2
0,1()}75,0({ 13 +++++++==βZA
.12
0,1
11
0,1
10
0,1)}75,0({ 14 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++==βZA
== )}75,0({ 21 βZA
;12
12,0
11
3,0
10
5,0
9
6,0
8
8,0
7
7,0
6
4,0
5
4,0 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +++++++=
;4
35,0
3
3,0
2
1,0)}75,0({ 22 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++==βZA
;12
0,1
11
0,1
10
0,1
9
0,1
8
0,1
7
0,1
6
0,1
5
0,1)}75.0({ 23 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +++++++==βZA
.4
0,1
3
0,1
2
0,1)}75,0({ 22 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++==βZA
3. Правила относительного предпочтения на основе Z-сечений нечётких
множеств
На основе вычисленных значений параметров )(1 βAZ и )(2 βAZ могут быть
сформулированы следующие правила относительного предпочтения нечёт-
ких множеств.
Определение 1. BAf в смысле ,Re BA ≥ если выполняется система
неравенств
∫∫ ≥
max
2
2
max
2
2
)(
1
)(
)(
1
)(
)()(
H
Z
Z
H
Z
Z
B
B
A
A
dxxdxx
β
β
β
β
μμ , ∫∫ ≤
)(
1
)(
)(
1
)(
1
min
1
1
min
1 )()(
β
β
β
β
μμ
A
A
A
A
Z
H
Z
Z
H
Z
dxxdxx . (17)
Определение 2. BAf в смысле ,Re BA ≥ если выполняется система
неравенств
)()( 22 ββ BA ZZ ≤ и )()( 11 ββ BA ZZ ≥ .
Определение 3. BAf в смысле ,Re BA ≤ если выполняется система
неравенств
∫∫ ≤
max
2
2
max
2
2
)(
1
)(
)(
1
)(
)()(
H
Z
Z
H
Z
Z
B
B
A
A
dxxdxx
β
β
β
β
μμ и .)()(
)(
1
)(
)(
1
)(
1
min
1
1
min
1 ∫∫ ≥
β
β
β
β
μμ
A
A
A
A
Z
H
Z
Z
H
Z
dxxdxx (18)
Определение 4. BAf в смысле ,Re BA ≤ если выполняется система
неравенств
)()( 22 ββ BA ZZ ≥ и ).()( 11 ββ BA ZZ ≤ (19)
Критерии и методы сравнения нечётких множеств
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 65
Определение 5. BAf в смысле BA Re≥ , если выполняется система
неравенств
),()( 11
pBpA zz ββ ≤ 1,...,1 Pp = ; )()(2
l
p
BlA zz ββ ≥ , 2,...,1 Pl = . (20)
BAf в смысле BA Re≤ , если выполняется система неравенств
),()( 11
pBpA zz ββ ≥ 1,...,1 Pp = ; )()(2
l
p
BlA zz ββ ≤ , 2,...,1 Pl = . (21)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СРАВНЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕД-
ПОЧТЕНИЙ НЕЧЁТКИХ МНОЖЕСТВ
В литературе предложено большое количество критериев и методов относи-
тельного предпочтения одного нечёткого множества перед другим, и выбор
какого-то определенного среди них связан с субъективным предпочтением
лица, принимающего решения. Широко используемые в практических при-
ложениях, а также новые, не рассматриваемые раннее в литературе и пред-
ложенные автором методы, рассмотрены в предыдущих разделах данной
главы. Ниже рассматриваются многокритериальные подходы решения этой
задачи.
Рассмотрим n различных нечётких множеств ))(,( xxA
iAi μ= ,
ni ,...,1= , ],[ 21 ii HH — диапазон изменения переменной нечёткого множе-
ства .iA Определим
i
ni
HH
≤≤
=
1
min min , i
ni
HH
≤≤
=
1
max max . (22)
Разобьем весь диапазон изменения ],[ maxmin HHx∈ на m лингвисти-
ческих термов (интервалов). Длина каждого k -го интервала равна
),[ min1min1 kHhHX Δ+=∈ , ),[ 11 kkkkk hhhX Δ+=∈ −− ,
],[ max1 HhX mm −∈ , (23)
где
m
HH
k
minmax −
=Δ .
Среди выделенных m лингвистических термов определим подмноже-
ство ,1Q включающее mm <1 термов, 1,...,1 mk = , и подмножество 2Q , со-
стоящее из 12 mmm −= — значение переменной в пределах которых явля-
ется соответственно нежелательным и благоприятным для лица,
принимающего решение },...,,...,1{21 mkQQQ ==U , .21 ∅=QQ I
Определим средневзвешенные оценки k
Ai
M нечётких множеств iA
в каждом из лингвистических интервалов:
∫
∈
⋅=
k
ii
Xx
A
k
A dxxxM )(μ , mk ,...,1= , .,...,1 ni = (24)
Введем комплексный критерий эффективности для каждого из нечёт-
ких множеств в виде
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 66
,
12
k
A
Qk
k
i
k
A
Qk
k
iA iii
MMF ∑∑
∈∈
−= αα (25)
где 10 ≤≤ k
iα , ni ,...,1= , — весовые коэффициенты, удовлетворяющие ус-
ловиям нормировки .1
1
=∑
=
m
k
k
iα
Нечёткое множество iA является эффективнее нечёткого множества
jA , т.е. ji AA f , если .
Ji AA FF ≥
Сравнение двух нечётких множеств на основе средневзвешенной оцен-
ки AM или координаты x или центра тяжести AC нечёткого множества
∫
∈
=
Xx
AA dxxxM )(μ ,
∫
∫
∈
∈=
Xx
A
Xx
A
A
dxx
dxxx
C
)(
)(
μ
μ
(26)
не учитывает степень риска получения значений хуже этих значений, что
при принятии решений является очень важным.
Вычислим следующие два показателя:
∫
=
=
− =
AMx
Xx
AA dxxxM
min
)(μ , ;)(
max
∫
=
=
+ =
Xx
Mx
AA
A
dxxxM μ (27)
∫
∫
=
=
=
=− =
A
A
Cx
Hx
A
Cx
Hx
A
A
dxx
dxxx
C
min
min
)(
)(
μ
μ
,
∫
∫
=
=
=
=+ =
max
max
)(
)(
Hx
Cx
A
Hx
Cx
A
A
A
A
dxx
dxxx
C
μ
μ
. (28)
Тогда комплексный показатель эффективности нечёткого множества
)}(,{ xxA Aμ= может быть представлен в виде:
+− +−= AAA MMMAF 3211 )( λλλ , +− +−= AAA CCCAF 3212 )( λλλ . (29)
В качестве других видов комплексных критериев эффективности не-
чётких множеств могут быть предложены линейные свертки, учитывающие
большее количество локальных показателей эффективности
−+−= +−
AAA MMMAF 3213 )( λλλ ,)}({)}({
11
1
12
1
11 ∑∑
==
+
P
q
Aqq
P
p
App ßZDßZD μγ (30)
++−= +−
AAA MMMAF 3214 )( λλλ
∑∑
==
−+
11
1
12
1
21 )}({)}({
P
q
pAqq
P
p
pApp ZDZD βμβγ (31)
или
).()()(
21
1
2
3
1
1
215 ∑∑
=
+
=
− ++−−=
P
p
qAqA
P
p
pApAA zCzCCAF βμλβγλλ (32)
Критерии и методы сравнения нечётких множеств
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 67
Здесь
∫=
)(
1
)(
11
1
min
1 )()}({
pA
pA
Z
H
ZpA dxxZD
β
β
μβ , ,)()}({
max
1
1
)(
1
)(
12 ∫=
H
Z
ZpA
pA
pA
dxxZD
β
β
μβ (33)
∫=
max
2
2
)(
1
)(
21 )()}({
H
Z
ZpA
A
pA
dxxZD
β
β
μβ , ,)()}({
)(
1
)(
12
1
min
2∫=
pA
pA
Z
H
ZpA dxxZD
β
β
μβ (34)
где ,0≥kλ ;3,2,1=k 0≥pγ , 1,...,1 Pp = ; 0≥qμ , 2,...,1 Pq = — весовые
коэффициенты, удовлетворяющие условиям нормировки
.1
21
11
3
1
=++ ∑∑∑
===
P
q
q
P
p
p
k
k μγλ
Следует отметить, что каждый из интервалов ],[ min AMHx∈ и ∈x
],[ maxHM A∈ (или ],[ min ACHx∈ и ],[ maxHCx A∈ ) в свою очередь может
быть разбит на несколько интервалов, и количество членов в выражениях
(29)–(32) будет увеличено.
Значения весовых коэффициентов и параметры pβ выбираются в зави-
симости от содержательной постановки задачи и в соответствии с предпоч-
тениями экспертов.
Задача выбора наилучшего значения показателя эффективности
))()(( Re jiji AFAFAA ≥→f из множества возможных альтернатив, кото-
рые заданы n различными нечёткими множествами ))(,( xxA
iAi μ= ,
ni ,...,1= , может быть сформулирована в виде многокритериальной следу-
ющей многокритериальной задачи в условиях ограничений
)(max)(
1
* il
niil AFAF
≤≤
= (35)
в условиях следующих ограничений
ppA bZ
i 1
1 )( ≤β , 1,...,1 Pp = ; qqA bZ
i 2
2 )( ≥β , ;,...,1 2Pq = (36)
ppA z
i 1
1 )( ξβ ≤ , 1,...,1 Pp = ; qqA z
i 2
2 )( ξβ ≤ , ,,...,1 2Pq = (37)
где 10 1 ≤≤ pξ , 10 2 ≤≤ qξ — некоторые значения.
Так как выбор наиболее перспективной альтернативы всегда связан со
спицификой конкретной проблемы, выбор конкретного выражения в (35)
(индекса l ), а также пороговых значений pb1 , qb2 в выражении (36), и p1ξ ,
q2ξ в выражении (36) осуществляется лицом, принимающем решение. При
увеличении степени допускаемого риска пороговые значения pb1 и q2ξ мо-
гут быть увеличены и корректироваться в процессе решения задачи.
Альтернативы, которые не удовлетворяют системе ограничений (36)–
(37), отбрасываются как неперспективные. Среди оставшихся допустимых
альтернатив выбирается такая, которая обеспечивает максимальное значе-
ние показателя эффективности.
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 68
ВЫВОДЫ
Предложенные критерии и методы определения предпочтений, сравнения
и анжирования нечётких множеств могут найти широкое применение в за-
дачах выбора наиболее эффективного портфеля инвестиций на перспективу,
выборе наиболее эффективных альтернатив в задачах перспетивного плани-
рования производства, в решении задач нечёткого регрессионного анализа,
математического программирования в условиях, когда значения коэффи-
циентов математических моделей, критериев оптимальности и левых частей
ограничений представлены нечёткими множествами, а также в решении
многих транспортных проблем и других приложениях. В зависимости от
соотношений желаемого объема получения прибыли или допустимого уров-
ня возможных затрат и степени допускаемого риска, экспертами может быть
выбран один из предлагаемых в работе групп критериев, соответствующие
им количество и величины значений )(1 βAZ и (или) ,)(2 βAZ AM , −
AM , +
AM
(или AC , −
AC , +
AC ), а также значения весовых коэффициентов. На основе
предложенных в работе критериев и подходов могут быть разработаны
и другие комплексные показатели и методы сравнения и ранжирования не-
чётких множеств.
ЛИТЕРАТУРА
1. Борисов В.В., Круглов В.В., Федулов Ф.С. Нечеткие цели и сети. — М.: Горячая
линия, Телеком, 2007. — 284 с.
2. Лю Б. Теория и практика неопределенного программирования. Пер. с англ. —
М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2005. — 416 с.
3. Rommelfanger H.J. Entscheiden bei Unscharfe: Fuzzy Decision Support-
Systeme. — Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, Secondedition, 1994. — 328 s.
4. Rommelfanger H.J. Fuzzy-Optimierungsmodelle in praktischen Anwendungen. —
W. Habenicht, B. Scheubrein, R. Scheubrein (Hrsg.) «Multi-Criteria und Fuzzy-
Systeme in Theorie und Praxis». — Wiesbaden: Deutscher Universitäts-Verlag,
2003. — 325 s.
5. Duboi D., Prade H. Fuzzy Sets and Systems: Theorir and Applications. — New
York, London, Toronto: Academie Press, 1980. — 326 p.
6. Зак Ю.А. Принятие многокритериальных решений. — М.: Экономика, 2011. —
236 с.
7. Zack Yu.A. A Determined Equivalent and Algorithms of Solving a Fuzzy-linaer Pro-
gramming Problem // Journal of Automation and Information Sciences. —
2011. — 43, № 2. — P. 7–22.
Поступила 16.01.2012
|