Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера

Робота присвячена побудові функцій Ляпунова-Вольтера в задачах математичної епідеміології. Розглядаються моделі SIR, SIAR та модель співіснування двох штамів вірусу....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
1. Verfasser:	Кучвара, О.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2014
Schriftenreihe:	Искусственный интеллект
Schlagworte:	Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85294
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера / О.М. Кучвара // Искусственный интеллект. — 2014. — № 1. — С. 57–63. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-85294
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-852942015-07-25T03:01:40Z Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера Кучвара, О.М. Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем Робота присвячена побудові функцій Ляпунова-Вольтера в задачах математичної епідеміології. Розглядаються моделі SIR, SIAR та модель співіснування двох штамів вірусу. Работа посвящена построению функций Ляпунова-Вольтера в задачах математической эпидемиологии. Рассматриваются модели SIR, SIAR и модель сосуществования двух штаммов вируса. The work is devoted to the construction of Lyapunov-Volterra functions in problems of mathematical epidemiology. The models SIR, SIAR and model of coexistence of two strains of the virus are considered. 2014 Article Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера / О.М. Кучвара // Искусственный интеллект. — 2014. — № 1. — С. 57–63. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85294 519.876.2:611.018.4 uk Искусственный интеллект Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем
spellingShingle	Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем Кучвара, О.М. Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера Искусственный интеллект
description	Робота присвячена побудові функцій Ляпунова-Вольтера в задачах математичної епідеміології. Розглядаються моделі SIR, SIAR та модель співіснування двох штамів вірусу.
format	Article
author	Кучвара, О.М.
author_facet	Кучвара, О.М.
author_sort	Кучвара, О.М.
title	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера
title_short	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера
title_full	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера
title_fullStr	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера
title_full_unstemmed	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера
title_sort	про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій ляпунова-вольтера
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85294
citation_txt	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера / О.М. Кучвара // Искусственный интеллект. — 2014. — № 1. — С. 57–63. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Искусственный интеллект
work_keys_str_mv	AT kučvaraom prostíjkístʹumodelâhmatematičnoíepídemíologíínaosnovífunkcíjlâpunovavolʹtera
first_indexed	2025-07-06T12:30:15Z
last_indexed	2025-07-06T12:30:15Z
_version_	1836900696883986432
fulltext	ISSN 1561-5359 «Штучний інтелект» 2014 № 1 57 2К УДК 519.876.2:611.018.4 О.М. Кучвара ДВНЗ «Тернопільський державний медичний університет імені І.Я. Горбачевського» Україна, 46001, м. Тернопіль, майдан Волі, 1, koleksandra@i.ua Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера A.M. Kuchvara I.Ya. Horbachevsky Ternopil State Medical University Ukraine, 46001, Ternopil, Str. m Voli, 1, koleksandra@i.ua On Stability in Models of Mathematical Epidemiology Based on Lyapunov-Volterra Function А.М. Кучвара Тернопольский государственный медицинский университет им. И.Я. Горбачeвского Украина, 46001, г. Тернополь, площадь Воли, 1, koleksandra@i.ua Об устойчивости в моделях математической эпидемиологии на основе функций Ляпунова-Вольтера Робота присвячена побудові функцій Ляпунова-Вольтера в задачах математичної епідеміології. Розглядаються моделі SIR, SIAR та модель співіснування двох штамів вірусу. Ключові слова:математична епідеміологія, SIR-модель, функція Ляпунова-Вольтера. The work is devoted to the construction of Lyapunov-Volterra functions in problems of mathematical epidemiology. The models SIR, SIAR and model of coexistence of two strains of the virus are considered. Key words: mathematical epidemiology, SIR-model, Lyapunov-Volterra function. Работа посвящена построению функций Ляпунова-Вольтера в задачах математической эпидемиологии. Рассматриваются модели SIR, SIAR и модель сосуществования двух штаммов вируса. Ключевые слова: математическая эпидемиология, SIR-модель, функция Ляпунова-Вольтера. Другий метод Ляпунова є одним із найконструктивніших підходів до дослідження стійкості динамічних систем. Перевагою методу є те, що в певних випадках систем (наприклад, лінійних) вдається отримати не лише достатні, але й необхідні умови стійкості. У той же час проблемою залишається конструктивна побудова функцій Ляпу- нова та отримання умов стійкості для конкретних динамічних систем. Одним із важливих застосувань є задачі математичної епідеміології на основі SIR-моделювання. Слід зазначити, що проблеми стійкості таких систем вивчаються в роботі [1]. При цьому традиційно використовується підхід дослідження стійкості за першим наближенням. Отримані умови стійкості при цьому виражаються в термінах показника відтворюваності. Кучвара О.М. «Искусственный интеллект» 2014 № 1 58 2К Метою даної роботи є розробка підходу отримання достатніх умов стійкості на основі функції Ляпунова-Вольтера. Перевагою такого підходу є врахування нелі- нійного характеру моделі. Найдавнішу історію в моделях популяційної динаміки має функція Ляпунова «типу Вольтера»:  .ln 1 ii n i i xxxaV   Дана функція застосовується в моделях Лотки-Вольтера [2-5] і вперше була запропонована самим Вольтером, хоч і він не вживав термін «функція Ляпунова». Функція Ляпунова-Вольтера почала активно впроваджуватися в епідеміо- логічних моделях, починаючи з 1980-х років. Завдяки роботі [6] функції Ляпунова-Вольтера почали використовуватися для вивчення стійкості у багатовимірних системах, що ґрунтуються на законі дії мас. Складністю залишається вибір коефіцієнтів, що гарантують від’ємновираженість похідної [7]. В даній роботі розвивається загальний метод вибору коефіцієнтів функції Ляпунова-Вольтера, що ґрунтується на нерівності між середнім арифме- тичним і геометричним. Функція Ляпунова в SIR-моделі. Розглянемо SIR-модель, представлену діаграмою рис. 1. Рисунок 1 – Функція Ляпунова в SIR-моделі Модель задається такою системою звичайних диференціальних рівнянь:     . , , RIR IISI ISSNS       (1) Із загальної теорії відомо, що існує єдиний ендемічний стан рівноваги, що за- довольняє ендемічні співвідношення:   . , ,       RI ISI SISN    (2) Розглянемо функцію, що претендує бути функцією Ляпунова:    ,lnln IIIdSSSVEE   де 0d – поки що невідома стала. Її похідна на траєкторіях (1) має вигляд:       .           ISIIISd ISS S SNISSNVEE   Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій… «Штучний інтелект» 2014 № 1 59 2К Використовуючи ендемічні співвідношення (2), маємо:              .11 21 * * * ** * * ** * *** * **                         dSIISd S Sd S SdSI S S S SSSISIIdISd ISS S SSIS S SSSISVEE З другої рівності в (2) бачимо, що  . S Отже, поклавши d=1 і використавши нерівність між середніми арифметичними і геометричними бачимо, що EEV  є від’ємною, тобто .0EEV Розглянемо SIAR-модель, представлену діаграмою рис. 2. Рисунок 2 – SIAR-модель На її основі розглядається система диференціальних рівнянь:         . , , , RAIR AASA IISI SAISNS         (3) Ендемічний стан рівноваги визначається ендемічними співвідношеннями:       . , , , * * * ** RAI ASA ISI SAISN         (4) Розглянемо функцію-претендент та функцію Ляпунова:      ,lnlnln * AAAdIIISSSVEE  де d >0 – невідома система. Кучвара О.М. «Искусственный интеллект» 2014 № 1 60 2К Її похідна та траєкторія (3) має вигляд:                .** * ASAAASdISIIIS SAIS S SNSAISNVEE           Використовуючи ендемічні співвідношення (4) маємо:                        . 112 2 * * * ** * * ** * * *** * * ** * * **** * *****                                   dSA AdS S Sd S SdSA S S S SSI S S S SSSA S SSAAASd SI S SSIIIS SAIS S SSAIS SAI S SSSAISVEE З другої рівності в (4) бачимо, що  S , а з третьої рівності в (4)  S . Отже, поклавши d = 1 і використавши нерівність між середніми арифметичними і геометричними бачимо, що EEV  є від’ємно визначеною, тобто .0EEV Функція Ляпунова в моделі співіснування двох штамів вірусу.     ,2211 SIISNS     ,iiiii ISII     ,ijjjiii RIIR     ,iiijiii YIRY   тут .,2,1, jiji  Із загальної теорії ми знаємо, що існує єдиний ендемічний стан рівноваги, який задовольняє рівняння:                       , , , ,2211 iiijii ijjjii iiii YIR RII IIS SIISN     (5) тут .,2,1, jiji  Розглянемо функцію Ляпунова:        .lnlnlnln * 2 1 2 1 * 2 1 iii i i i iii i iiiEE YYYdRRRIIISSSV    Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій… «Штучний інтелект» 2014 № 1 61 2К Її похідна вздовж траєкторій має вигляд:              SISISN S SSIISN EEV 22112211         2 1i iiiiiiii ISIISI                2 ,1 jii ijjj i iii ijjjii RI R IRRII                 iiijii i i iiijii i i YIR Y Y YIRd  2 1 . Використовуючи ендемічні співвідношення (5) маємо:         SIISSIISEEV 22112211        SISISSIIS S S 22112211                 2 1i iiii i i iiii I S SSI I IISI                                        2 ,1 jii ij j j jj i i i i ii i i ij j j jji i i ii RI I I I I R RI R RRI I I R I II      . 2 1                    ii i i j j ijii i i i i ii i i j j ijii i i Y I I R R IR Y Y Y YY I I R R IRd  де   * iiii ISI   ,   ** * * * iijj i i i i ii RI I I R RI   ,   ** * * ijii i i ii IR Y YY   ,   *** ijiiii IRY   . Тобто:                       1111 2 1 S S S SSI S S S SS i i iEEV                  j j i i j j j j j i i j j j j j i i ijj jii j I I R R Y Y d I I R R I I I I R RRI  2 ,1            i i i i i i iiii i i I I R RISI 2 1 2 1      . 2 1             i ii i i iii Y Y YYd  Кучвара О.М. «Искусственный интеллект» 2014 № 1 62 2К Враховуючи третє і четверте ендемічні співвідношення (5) маємо:                       S S S SSI S S S SS i i iEEV 22 2 1                            j j j j i i i i jjjj j i i j j j j j i i j j j j j i ijj jii j d Y Y d I I R R II I R R Y Y d I I R Rd I I I I R RRI 10 2 ,1    . 2 1      SI i i i Отже, в роботі вивчаються питання застосування другого методу Ляпунова до вивчення стійкості епідеміологічних моделей. Апробовано метод обґрунтування від’ємної визначеності похідної функції Ляпунова-Вольтера з використанням нерівності між середнім арифметичним і середнім геометричним. Список літератури 1. Марценюк В.П. Об условиях асимптотической устойчивости в SIR моделях математической епидемиологии / В.П. Марценюк, А.М. Кучвара, И.Е. Андрущак // Проблемы управления и информатики. – 2011. – № 6. – С. 125-133. 2. Beretta E. Global stability of lotka-volterra diffusion models with continuous time delay / E. Beretta and Y. Takeuchi // SIAM. – 1988, J. Appl., Math. – № 48. – P. 627-651. 3. Goh B.S. Global stability in many-species systems/ B.S. Goh // Amer. Naturalist. – 1977. – P. 135-143. 4. Harrison G.W. Global stability of predator-prey interactions / G.W. Harrison // J. Math. Biol. – 1979. – № 8. – P. 159-171. 5. Takeuchi Y. The existence of globally stable eduilibria of ecosystems of the generalized volterra type / Y. Takeuchi and N. Adachi // J. Math. Biol. – 1980. – P. 401-415. 6. Korobeinikov A. A Lyapunov function and global properties for SIR and SEIR epidemiological models with nonlinear incidence / A. Korobeinikov and P.K. Maini // Mathematical Biosciences and Engineering. – 2004. – № 1 (1). – P. 57-60. 7. Fall A. Epidemiological Models and Lyapunov Functions / A. Fall // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. – 2007. – Vol. 2, № 1. – P. 55-73. 8. Longini I.M. Containing pandemic influenza with antiviral agents / [I.M. Longini, M.E. Halloran, A. Nizam & Y. Yang] // Am. J. Epidem. – 2004. – № 159. – P. 623-633. References 1. Martsenyuk V.P. On conditions of asymptotic stability in SIR-models of mathematical epidemiology / V.P. Martsenyuk, I.Ye. Andrushchak, O.M. Kuchvara // Journal of Automation and Information Sciences. – 2011. – № 6. – P. 125-133. 2. Beretta E. Global stability of lotka-volterra diffusion models with continuous time delay / E. Beretta and Y. Takeuchi // SIAM. – 1988, J. Appl., Math. – № 48. – P. 627-651. 3. Goh B.S. Global stability in many-species systems/ B.S. Goh // Amer. Naturalist. – 1977. – P. 135-143. 4. Harrison G.W. Global stability of predator-prey interactions / G.W. Harrison // J. Math. Biol. – 1979. – № 8. – P. 159-171. 5. Takeuchi Y. The existence of globally stable eduilibria of ecosystems of the generalized volterra type / Y. Takeuchi and N. Adachi // J. Math. Biol. – 1980. – P. 401-415. 6. Korobeinikov A. A Lyapunov function and global properties for SIR and SEIR epidemiological models with nonlinear incidence / A. Korobeinikov and P.K. Maini // Mathematical Biosciences and Engineering. – 2004. – № 1 (1). – P. 57-60. 7. Fall A. Epidemiological Models and Lyapunov Functions / A. Fall // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. – 2007. – Vol. 2, № 1. – P. 55-73. 8. Longini I.M. Containing pandemic influenza with antiviral agents / [I.M. Longini, M.E. Halloran, A. Nizam & Y. Yang] // Am. J. Epidem. – 2004. – № 159. – P. 623-633. Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій… «Штучний інтелект» 2014 № 1 63 2К RESUME A.M. Kuchvara On Stability in Models of Mathematical Epidemiology Based on Lyapunov-Volterra Function In given article deals with the second method of Lyapunov. It is one of the most constructive approaches to study the stability of dynamical systems. The advantage of this method is that in some cases of systems we can get not only sufficient but also necessary conditions of stability. The investigative approach of stability of the first approximation is used. These stability conditions thus expressed in terms of the rate of reproducibility. One important application is the problem of mathematical epidemiology based on SIR- modeling. It should be noted that the problem of stability of such systems are studied in this research by a constructive method of study of negative definiteness of the derivative of the Lyapunov-Volterra function, using the inequality between the arithmetic mean and the geometric mean. The paper is devoted to the construction of Lyapunov-Volterra functions in problems of mathematical epidemiology. The models SIR, SIAR and model of coexistence of two strains of the virus are examined. The aim of this research is to develop an approach of obtaining sufficient conditions for stability based on Lyapunov-Volterra function. The advantage of this approach is the incorporation of non-linear models. We study the question of application of the second Lyapunov method to study the stability of epidemiological models. Aprobuyetsya The method of study of negative definiteness of the derivative of the Lyapunov-Volterra function using the inequality between the arithmetic mean and the geometric mean is tested. Cтаття надійшла до редакції 23.12.2013.

Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера

Institution

Ähnliche Einträge