Нормализованная Φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра
Построена нормализованная Ф-функция для параллелепипеда и сфероцилиндра. Данная Ф-функция может быть использована для построения математической модели задачи компоновки объектов с учетом заданных расстояний между ними....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85390 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нормализованная Φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра / В.В. Семкин, А.М. Чугай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 36–41. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85390 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-853902015-08-02T03:01:53Z Нормализованная Φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра Семкин, В.В. Чугай, А.М. Інформатика та кібернетика Построена нормализованная Ф-функция для параллелепипеда и сфероцилиндра. Данная Ф-функция может быть использована для построения математической модели задачи компоновки объектов с учетом заданных расстояний между ними. Побудовано нормалiзовану Ф-функцiю для паралелепiпеда i сфероцилiндра. Дана Ф-функцiя може бути використана для побудови математичної моделi задачi компоновки об’єктiв з урахуванням заданих вiдстаней мiж ними. The normalized Ф-function for a parallelepiped and a spherocylinder is built. The Ф-function can be used for the construction of a mathematical model of a layout design problem with regard for the distances between objects. 2013 Article Нормализованная Φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра / В.В. Семкин, А.М. Чугай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 36–41. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85390 519.85 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Семкин, В.В. Чугай, А.М. Нормализованная Φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра Доповіді НАН України |
| description |
Построена нормализованная Ф-функция для параллелепипеда и сфероцилиндра. Данная
Ф-функция может быть использована для построения математической модели задачи
компоновки объектов с учетом заданных расстояний между ними. |
| format |
Article |
| author |
Семкин, В.В. Чугай, А.М. |
| author_facet |
Семкин, В.В. Чугай, А.М. |
| author_sort |
Семкин, В.В. |
| title |
Нормализованная Φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра |
| title_short |
Нормализованная Φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра |
| title_full |
Нормализованная Φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра |
| title_fullStr |
Нормализованная Φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра |
| title_full_unstemmed |
Нормализованная Φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра |
| title_sort |
нормализованная φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85390 |
| citation_txt |
Нормализованная Φ-функция параллелепипеда и сфероцилиндра / В.В. Семкин, А.М. Чугай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 36–41. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT semkinvv normalizovannaâphfunkciâparallelepipedaisferocilindra AT čugajam normalizovannaâphfunkciâparallelepipedaisferocilindra |
| first_indexed |
2025-07-06T12:36:16Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:36:16Z |
| _version_ |
1836901075419922432 |
| fulltext |
УДК 519.85
В.В. Семкин, А. М. Чугай
Нормализованная Φ-функция параллелепипеда
и сфероцилиндра
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Г. Стояном)
Построена нормализованная Φ-функция для параллелепипеда и сфероцилиндра. Данная
Φ-функция может быть использована для построения математической модели задачи
компоновки объектов с учетом заданных расстояний между ними.
Интенсивное развитие математических методов решения экстремальных задач обусловили
успехи в поиске оптимальных решений задач геометрического проектирования [1]. Одним
из важных направлений развития исследуемого класса задач является построение их ма-
тематических моделей и разработка методов их решения. Особый интерес представляют
задачи нерегулярного размещения трехмерных геометрических объектов, в которых прои-
зводится поиск оптимального расположения объектов в некоторой области пространства
при соблюдении ограничений на положение этих объектов. Данные ограничения задаются
обычно в виде минимальных или максимальных допустимых расстояний между геометри-
ческими объектами и между геометрическими объектами и границей области размещения.
Целью данной работы является построение нормализованной Φ-функции [2] для парал-
лелепипеда и сфероцилиндра, которая является основным инструментом при построении
математических моделей задач упаковки рассматриваемых объектов.
Пусть задан параллелепипед
P = {(x, y, z) ∈ R3 : − a 6 x 6 a, −b 6 y 6 b,−c 6 z 6 c}
и сфероцилиндр S, образованный объединением цилиндра
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 6 r2, −h 6 z 6 h}
и двух сферических сегментов высотой wj > 0, отсекаемых от шаров
Oj = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6 ρ2j},
где ρj = (r2 + w2
j )/(2wj), j = 1, 2. Также обозначим τj = ρj − wj > 0, j = 1, 2 (рис. 1).
Для параллелепипеда и сфероцилиндра допускаются только аффинные преобразования
трансляции. Пусть u1 = (x1, y1, z1) и u2 = (x2, y2, z2) — векторы трансляции параллелепи-
педа и сфероцилиндра соответственно.
Для построения Φ-функции зададим порядок нумерации вершин и ребер параллелепи-
педа, показанный на рис. 2.
Для математического описания расположения рассматриваемых объектов на заданном
расстоянии достаточно описать в аналитическом виде
© В. В. Семкин, А.М. Чугай, 2013
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
Рис. 1. Сфероцилиндр
Рис. 2. Порядок нумерации ребер и вершин параллелепипеда
расстояние между одной из граней параллелепипеда и боковой цилиндрической гранью
сфероцилиндра;
расстояние между одним из ребер параллелепипеда и поверхностью сфероцилиндра;
расстояние между одной из вершин параллелепипеда и поверхностью сфероцилиндра,
а также построить d-уровень нормализованной Φ-функции при u1 = 0.
Чтобы определить расстояние между гранями параллелепипеда и сфероцилиндром, вве-
дем следующие функции:
η1(u2) = x−A, η2(u2) = y −B, η3(u2) = −x−A,
η4(u2) = −y −B, η5(u2) = z −H − w2, η6(u2) = −z −H −w1,
где A = a + r, B = b + r, H = h + c.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 37
Рис. 3. Сечение поверхности d-уровня Φ-функции плоскостью Y OZ
Очевидно, если хотя бы одно из неравенств ηi(u2) > 0, то сфероцилиндр не пересекает
ни одну из граней параллелепипеда. Это позволяет построить функцию
χ1(u2) = max
i=1,...,6
ηi(u2) (1)
такую, что если χ1(u2) > 0, то intP
⋂
intS = ∅, где intP — внутренность P [3].
Пусть сечение поверхности d-уровня Φ-функции плоскостью Y OZ имеет вид, представ-
ленный на рис. 3, откуда видно, что поверхность d-уровня формируется не одинаково для
различных ребер. Часть поверхности d-уровня, которая определяет расстояние между ре-
брами 1–4 и сфероцилиндром, определяется частью поверхности цилиндра, ось которого
проходит через соответствующее ребро. Часть поверхности d-уровня, которая определяет
расстояние между ребрами 5–12 и сфероцилиндром, определяется объединением частей
поверхностей двух цилиндров, которые отсекаются с помощью плоскостей.
Для того чтобы смоделировать расположение сфероцилиндра на расстоянии d от ребер
1–4 параллелепипеда, введем такие функции:
υj1(u2) =
√
ϕ2
x(u2) + ϕ2
y(u2)− r,
ζj1(u2) = ϕx(u2) + ϕy(u2)− r,
где ϕx(u2) = (−1)kxx− a, ϕy(u2) = (−1)kyy − b, kx, ky ∈ {0, 1}, j1 = kx + 2ky + 1.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
Это дает возможность построить функцию
φj1(u2) = min{υj1(u2), ζj1(u2)}, (2)
такую, что если φj1(u2) > 0, то intP
⋂
intS = ∅.
Для того чтобы определить расстояние между ребрами 5–8 (рис. 2) параллелепипеда
и сфероцилиндром, введем следующие функции:
υ1j2(u2) =
√
ϕ2
y(u2)+ (ϕz(u2)− h+ τs)2− ρs, ζ1j2(u2) =
ws
r
ϕy(u2)+ ϕz(u2)− h− ws,
υ2j2(u2) =
√
(ϕy(u2)− r)2+ (ϕz(u2)− h)2, ζ2j2(u2) = ϕy(u2)+
r− ws
r+ ws
(ϕz(u2)− h)− r,
где ϕz(u2) = (−1)kzz − c, kz ∈ {0, 1}, s =
{
1, если j2 ∈ {7, 8}
2, если j2 ∈ {5, 6} , j2 = ky + 2kz + 5.
Построим функции
φ1j2(u2) = min{υ1j2(u2), ζ1j2(u2)},
φ2j2(u2) = min{υ2j2(u2), ζ2j2(u2)},
φj2(u2) = max{φ1j2(u2), φ2j2(u2)},
(3)
такие, что φj2(u2) > 0, тогда intP
⋂
intS = ∅.
Для определения расстояния между ребрами 9–12 (рис. 2) параллелепипеда и сферо-
цилиндром, введем следующие функции:
υ1j3(u2) =
√
ϕ2
x(u2)+ (ϕz(u2)− h+ τs)2− ρs, ζ1j3(u2) =
ws
r
ϕx(u2)+ ϕz(u2)− h− ws,
υ2j3(u2)=
√
(ϕx(u2)− r)2+ (ϕz(u2)− h)2, ζ2j3(u2) = ϕx(u2)+
r−ws
r+ws
(ϕz(u2)− h)− r,
где s =
{
1, если j3 ∈ {11, 12}
2, если j3 ∈ {9, 10} , j3 = kx + 2kz + 9.
Это дает возможность построить функции
φ1j3(u2) = min{υ1j3(u2), ζ1j3(u2)},
φ2j3(u2) = min{υ2j3(u2), ζ2j3(u2)},
φj3(u2) = max{φ1j3(u2), φ2j3(u2)},
(4)
такие, что φj3(u2) > 0, тогда intP
⋂
intS = ∅.
На основании выражений (2)–(4) построим функцию
χ2(u2) = max
j=1,...,12
φj(u2), (5)
которая обладает следующим свойством: если χ2(u2) > 0, то intP
⋂
intS = ∅.
Из рис. 3 видно, что часть поверхности d-уровня, которая определяет расстояние меж-
ду вершиной параллелепипеда и сфероцилиндром, определяется объединением частей по-
верхностей шара и тора, которые отсекаются с помощью плоскостей и эллиптических ци-
линдров. Для того чтобы смоделировать расположение сфероцилиндра на расстоянии d от
вершины параллелепипеда, введем следующие функции:
ϑi(u2) =
√
ϕ2
x(u2) + ϕ2
y(u2) + (ϕz(u2)− h+ τs)2 − ρs,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 39
σi(u2) =
ws
r
ϕx(u2) +
ws
r
ϕy(u2) + ϕz(u2)− h− ws,
̟i1(u2) =
1√
2
√
ϕx(u2) + ϕy(u2) +
√
2(ϕz(u2) + τs − h))2 + (ϕx(u2)− ϕy(u2))2 − r,
̟i2(u2) =
1√
2
√
(
√
2ϕx(u2)+ϕy(u2)+ϕz(u2)+τs−h)2+(ϕy(u2)−(ϕz(u2)+τs−h))2−ρs,
̟i3(u2) =
1√
2
√
(ϕx(u2)+
√
2ϕy(u2)+ϕz(u2)+τs−h)2+(ϕx(u2)−(ϕz(u2)+τs−h))2−ρs,
где s =
{
1, если 5 6 i 6 8,
2, если 1 6 i 6 4,
i = kx + 2ky + 4kz + 1.
Эти функции определяют поверхности шара, плоскости и трех эллиптических цилинд-
ров соответственно. А также введем в рассмотрение функции
ωi(u2) =
√
(
√
ϕ2
x(u2) + ϕ2
y(u2)− r)2 + (ϕz(u2)− h)2,
δi(u2) = ϕx(u2) + ϕy(u2) +
r − ws
r + ws
(ϕz(u2)− h)− r,
κi1(u2) =
1√
2
√
(ϕx(u2) + ϕy(u2) +
√
2(ϕz(u2)− h))2 + (ϕx(u2)− ϕy(u2))2 − r,
κi2(u2) =
1√
2
√
(
√
2ϕx(u2)+ϕy(u2)−r+ϕz(u2)−h)2+(ϕy(u2)−r−(ϕz(u2)−h))2−r,
κi3(u2) =
1√
2
√
(ϕx(u2)−r+
√
2ϕy(u2)+ϕz(u2)−h)2+(ϕx(u2)−r−(ϕz(u2)−h))2−r,
которые определяют поверхности тора, плоскости и трех эллиптических цилиндров соот-
ветственно.
Исходя из этого, сформируем функцию
χ3(u2) = max
i=1,...,8
ψi(u2), (6)
где
ψi1(u2) = min{ϑi(u2), σi(u2),̟i1(u2),̟i2(u2),̟i3(u2)},
ψi2(u) = min{ωi(u2), δi(u2), κi1(u2), κi2(u2), κi3(u2)},
ψi(u2) = max{ψi1(u2), ψi2(u2)}, i = 1, . . . , 8,
такую, что χ3(u2) > 0, тогда intP
⋂
intS = ∅.
На основании функций (1), (5), (6) нормализованная Φ-функция для параллелепипеда
и сфероцилиндра может быть представлена в виде
Φ(u1, u2) = max
i=1,2,3
χi(u2 − u1). (7)
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
Рис. 4. Объекты, полученные из параллелепипеда и сфероцилиндра
Следует отметить, что построенная Φ-функция (7) может быть использована для ана-
литического описания взаимодействия трехмерных геометрических объектов, граница ко-
торых представляет собой эквидистантную поверхность к объектам, полученным в резуль-
тате вырождения метрических параметров параллелепипеда (рис. 4, а) и сфероцилиндра
(рис. 4, б ).
Таким образом, Φ-функция (7) позволяет строить математические модели задач раз-
мещения параллелепипедов, сфероцилиндров и геометрических объектов, приведенных на
рис. 4, с учетом заданных кратчайших расстояний между ними.
1. Стоян Ю.Г., Яковлев С. В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического
проектирования. – Киев: Наук. думка, 1986. – 268 с.
2. Stoyan Yu.G. Φ-function and its basic properties // Доп. НАН України. – 2001. – № 10. – С. 39–44.
3. Куратовский К. Топология. Т. 1. – Москва: Мир, 1966. – 594 с.
Поступило в редакцию 09.07.2012Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
В.В. Сьомкiн, А. М. Чугай
Нормалiзована Φ-функцiя паралелепiпеда та сфероцилiндра
Побудовано нормалiзовану Φ-функцiю для паралелепiпеда i сфероцилiндра. Дана Φ-функцiя
може бути використана для побудови математичної моделi задачi компоновки об’єктiв
з урахуванням заданих вiдстаней мiж ними.
V.V. Semkin, A.M. Chugay
The normalized Φ-function for a parallelepiped and a spherocylinder
The normalized Φ-function for a parallelepiped and a spherocylinder is built. The Φ-function can
be used for the construction of a mathematical model of a layout design problem with regard for
the distances between objects.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 41
|